Capítulo 6

Modelagem da Turbulência

Modelos de Turbulência

•O fechamento das equações filtradas passa pelo estabelecimento de uma relação entre as tensões de Reynolds e o campo de velocidade média:

u u f u ,ui j i j

•Bousinesq propôs fechar o sistema de equações, modelando o tensor de Reynolds com o conceito de viscosidade turbulenta, o que será abordado a seguir.

Conceito de viscosidade turbulenta

•Boussinesq, em 1877, propôs, estabelecendo uma analogia com o modelo de Stokes para as tensões viscosas moleculares, o seguinte modelo de fechamento para o tensor de Reynolds

uu 2jiu u ki j t ijx x 3j i

1 1 2 2 2k u u u wi j2 2

onde

•O termo envolvendo o delta de Kronecker surge devido à necessidade de compatibilizar a definição de k acima com a soma do traço do tensor de Reynolds modelado através da hipótese de Boussinesq. De fato,

u 2 1iu u 2 k 2k k u ui i t ii i ix 3 2i

•Ressalta-se que é a viscosidade turbulenta, é uma propriedade do escoamento e não do fluido como a viscosidade molecular. Esta característica implica na dificuldade maior de avaliação desta propriedade uma vez que ela depende da natureza do próprio escoamento.

•A energia cinética turbulenta k também aparece no modelo de fechamento proposto por Boussinesq. No entanto, como ela depende apenas do traço do tensor de Reynolds, ela tem uma natureza semelhante à pressão e pode ser incorporada ao gradiente de pressão, como será explicado.

Modelagem das Equações Médias de Reynolds

uu u1 p ji iu u u ui j i jt x x x x xj i j j i

•Reescreve-se as equações médias de Reynolds

•Substituindo-se o modelo de Boussinesq nesta equação, tem-se o fechamento, via hipótese de viscosidade turbulenta

u uu u u1 p 2j ji i iu u ki j t ijt x x x x x x x 3j i j j i j i

2 2 kk ijx 3 3 xj i •Observa-se que

* uu u1 p ji iu ui j tt x x x x xj i j j i

• logo,

* 2p p k3

• onde

• Comentários: k-eps

• Resta ainda o cálculo da viscosidade turbulenta, papel fundamental dos chamados modelos de turbulência. Para tanto, lança-se mão de uma analogia estreita entre o que se passa a nível de partícula de fluido e que se passa a nível de estruturas turbulentas.

Troca molecularde quantidadede movimento

Troca turbilhonar De quantidade demovimento

A n a l o g i a e n t r e o p r o c e s s o d e d i f u s ã o t u r b u l e n t a e d e

d i f u s ã o m o l e c u l a rP r o c e s s o d e D i f u s ã o M o l e c u l a r P r o c e s s o d e D i f u s ã o T u r b u l e n t a

M o v i m e n t o e c o l i s õ e s e n t r e m o l é c u l a s ; M o v i m e n t o e c o l i s ã o e n t r e e s t r u t u r a s

t u r b i l h o n a r e s ;

T r a n s f e r ê n c i a d e q u a n t i d a d e d e

m o v i m e n t o e n t r e p a r t í c u l a s d e f l u i d o s e

d á a t r a v é s d e m o v i m e n t o d e m o l é c u l a s

e n t r e a s p a r t í c u l a s ;

T r a n s f e r ê n c i a d e q u a n t i d a d e d e

m o v i m e n t o e n t r e d i f e r e n t e s s í t i o s d o

e s c o a m e n t o s e d á a t r a v é s d e m o v i m e n t o

d e e s t r u t u r a s t u r b i l h o n a r e s ;

E s t a t r a n s f e r ê n c i a é m o d e l a d a a n í v e l d e

c o n t í n u o v i a v i s c o s i d a d e m o l e c u l a r :

C

C : E s c a l a d e v e l o c i d a d e m o l e c u l a r ;

: E s c a l a d e c o m p r i m e n t o m o l e c u l a r ;

E s t a t r a n s f e r ê n c i a p o d e s e r m o d e l a d a ,

p o r a n a l o g i a , c o m o c o n c e i t o d e

v i s c o s i d a d e t u r b u l e n t a :

ULt

U : E s c a l a d e v e l o c i d a d e d e t r a n s p o r t e

d o s t u r b i l h õ e s ;

L : E s c a l a d e c o m p r i m e n t o d o s

t u r b i l h õ e s ;

•A analogia apresentada na tabela acima é a base do cálculo da viscosidade turbulenta. Destaca-se, no entanto, algumas deficiências entre esta analogia:

Na teoria cinética dos gases pressupõe-se que o tamanho de uma partícula de fluido é muito superior ao livre caminho médio molecular. No entanto, para a turbulência, pode-se ter estruturas turbilhonares muito maiores que o comprimento característico L normalmente avaliado para cada escoamento.

A viscosidade molecular é uma grandeza escalar. No entanto a turbulência tem como característica altos níveis de anisotropia, sobretudo para as grandes escalas dos escoamentos. Isto diz que, tomar a viscosidade turbulenta como uma grandeza não tensiorial, pode ser uma aproximação comprometedora.

Nos últimos anos apareceram novas filosofias de simulação, as quais têm permitido tornar esta analogia mais realista: é o caso da Simulação de Grandes Escalas. Filosoficamente, procura-se resolver as grandes escalas e modelar apenas as menores, onde a hipótese de isotropia se torna mais realista.

Apesar destes pontos, o conceito de viscosidade turbulenta permitiu um enorme avanço no campo da modelagem e da simulação de escoamentos turbulentos.

Classificação dos Modelos de Turbulência

Os modelos de turbulência podem ser classificados segundo a dependência ou não do conceito de viscosidade turbulenta. Em ambos os grupos torna-se necessário obter equações de transporte adicionais para o cálculo da viscosidade turbulenta ou para o fechamento alternativo das equações médias de Reynolds, sem passar pelo conceito de viscosidade turbulenta. Neste sentido tem-se dois grandes grupos de modelos:

Modelos de turbulência

Modelos que dependem de t

Modelos que não dependem de t

•Modelos a zero equação de transporte

Modelo do comprimento de mistura de Prandtl

Modelos sub-malha

•Modelos a uma equação de transporte

Modelo k-L e alguns modelos sub-malha

•Modelos a duas equações de transporte

Família de Modelos k-

•Modelos das tensões de Reynolds

•Modelos modelos baseados em relações algébricas

Modelos do comprimento de mistura de Prandtl

•A viscosidade turbulenta é calculada através de uma velocidade e de um comprimento característicos:

V̂t m

•Para escoamentos mais simples, do tipo camada de mistura, jatos e esteiras, considera-se que o cizalhamento médio transversal ao escoamento é predominante sobre o cizalhamento médio em relação às outras direções. Logo,

uV̂ m y

•Esta é a chamada hipótese de Prandtl, uma das primeiras tentativas de se calcular a viscosidade turbulenta.

•O comprimento de mistura permanece como uma incógnita.

•Tomando como exemplo uma camada de mistura em desenvolvimento espacial ilustrada na figura abaixo, pode-se estimar o comprimento de mistura de Prandtl.

x

(x)

y

t

Analisando a figura acima observa-se que este tipo de escoamento apresenta um comportamento bem determinado em termos do enlarguecimento criado pela dinâmica das estruturas coerentes. O comprimento característico deste escoamento é a espessura da camada de mistura . Logo,

x C xm m

•A constante C é empírica e diferente para cada tipo de escoamento considerado, em função da sua natureza física. Na tabela abaixo mostra-se diferentes valores desta constante para alguns tipos mais clássicos de escoamentos.

•Observa-se que a viscosidade turbulenta passa a depender de x e de y, como mostra a equação abaixo. A função é empírica, deduzida a partir de experimentos, para todos os tipos de escoamentos apresentados.

u2xt m y

•Para escoamentos completamente desenvolvidos em dutos ou canais, Nikuradse propôs a seguinte expressão para o comprimento característico:

2 4y ym 0,14 0,08 1 0,06 1R R R

onde R é o raio para dutos circulares e a meia largura para canais planos. A coordenada y representa tanto uma coordenada cartesiana quanto uma coordenada cilíndrica.

1 / 2/wy 1 exp ym A

Próximo às paredes utiliza-se uma equação apropriada para modelar esta região especial do escoamento, ou seja, a função de amortecimento de Van Driest:

onde A=26 : constante; : é a constante de Von Karmam; : tensão de cizalhamento na parede;w

y /wy 40

•Este amortecimento junto à parede é necessário uma vez que os efeitos viscosos são predominantes sobre os efeitos turbulentos.

•Para escoamentos mais complexos o modelo do comprimento de mistura de Prandtl torna-se não aplicável devido às dificuldades de se avaliar o comprimento de mistura. Além disto este tipo de modelo se tornaria pouco representativo, mesmo que o comprimento de mistura pudesse ser avaliado.

0,4

Modelo a uma equação de transporte

•No modelo a uma equação de transporte busca-se o cálculo de uma das grandezas características da turbulência, utilizadas para o cálculo da viscosidade turbulenta, por exemplo a energia cinética turbulenta, com a qual calcula-se a velocidade característica:

V̂ k onde1 2 2 2k u v w2

•Lembrando que ˆCVLt

então, C k Lt

Conde é uma constante a ser determinada empiricamente.

•Esta relação foi proposta por Kolmogorov e Prandtl. Eles sugeriram também a dedução de uma equação de transporte para k.

•Para tanto rescreve-se as equações de Navier-Stokes e as equações médias de Reynolds:

uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i

uu u1 p ji iu u u ui j i jt x x x x xj i j j i

•Com estas duas equações pode-se deduzir uma equação para a flutuação de velocidade, subtraindo-se uma da outra, obtém-se a seguinte equação:

uu u1 p ji iu u u u u u u ui j i j i j i jt x x x x x xj i j j i j

a qual pode ser rescrita como segue:

uu u u1 p ji i iu u u u u u ui j i j i jjt x x x x x x xj i j j i j j

• Multiplicando-se esta equação por u´i, utilizando-se a regra da cadeia para as derivadas, fazendo-se a média de toda a equação, chega-se à equação de transporte para a energia cinética turbulenta:

u u uk k 1 1i i iu k u u u u u p uj i j i i j jt x x x x x x x 2j j k k j j j

O lado esquerdo representa a derivada substantiva de k, ou seja, a taxa de mudança de k à medida que se acompanha uma partícula de fluido no interior de um escoamento turbulento.

O primeiro termo do lado direito da equação, que é o produto do tensor de Reynolds pela taxa de deformação imposta pelo escoamento médio representa a conhecida produção de k que significa a taxa de transferência de energia do escoamento médio para a turbulência.

•O segundo termo, é classicamente conhecido por taxa de dissipação da energia cinética turbulenta:

• Esta dissipação deve ser convertida em energia interna do escoamento

u ui ix xk k

O quarto termo representa a difusão molecular de k.

O triplo produto de flutuações de velocidade ou o momento de terceira ordem, que aparece no último parênteses, representa o processo de transporte turbulento de k, ou seja, a taxa de transporte de k através do fluido pelas flutuações turbulentas.

A correlação de flutuação de velocidade com a flutuação de pressão representa a difusão de k, gerada pelas flutuações de pressão.

• Comentar sobre o problema de fechamento!

1 1 ktu u u p ui i j j2 xk j

•Fechamento (com base em experimentos e em SND)

• O termo de dissipação também deve ser modelado. Nota-se, que no todo, tem-se ainda duas incógnitas, o taxa de dissipação e o comprimento característico. Taylor (1935), utilizando-se de análise dimensional, propôs a seguinte relação:

3 / 2kCD

• A constante deve ser determinada empiricamente.

• Nota-se que esta proposta pressupõe que k e eps não dependem de qualquer propriedade física do fluido.

• Resta ainda a determinação do comprimento característico do escoamento. Uma longa discussão sobre o assunto é apresentada por Wilcox (1998).

• Rescrevendo a equação de transporte para k, tem-se que:

3 / 2uk k ki tu k u u Cj i j Dt x x x xj j j k j

• O tensor de Reynolds já está modelado, a menos do cálculo de l. A viscosidade turbulenta pode ser rescrita da seguinte forma:

1 / 2 2k C k /t D

• Bobyleva, seguindo idéias de Von Karman propôs o seguinte modelo para o cálculo de l:

k /y

1 / 2k

Objetivando-se uma melhor compreensão do todo já apresentado, faz-se um resumo e apresenta-se uma sucinta seqüência de passos para a solução das equações.

SISTEMA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAS QUE COMPÕEM O MODELO DE

TURBULÊNCIA A UMA EQUAÇÃO

* uu u1 p ji iu ui j tt x x x x xj i j j i

3 / 2uk k ki tu k u u Cj i j Dt x x x xj j j k j

ui 0xi

uu 2jiu u ki j t ijx x 3j i

1 / 2 2k C k /t D k /y

1 / 2k

SEQUÊNCIA DE CÁLCULO

1. Iniciar todas as variáveis.2. Com as variáveis no tempo precedente resolve-se as equações para as velocidades médias e para a pressão.3. Ainda com no tempo precedente resolve-se a equação para k.4. Calcula-se l.5. Com k e l recalcula-se a viscosidade turbulenta.6. Retorna-se ao passo 2 e recalcula-se as velocidades e a pressão.7. Verifica-se a convergência de todas as variáveis.8. Incrementa-se o tempo.

Modelo a uma Equação para a Viscosidade Turbulenta: Spalart Almaras

• Modelo voltado para problemas de camada limite

t f 1

• Viscosidade Cinemática Turbulenta

• Equação para a Viscosidade Cinemática Turbulenta

2 c1 b2U c S c fij b1 w1t x d x x x xj k k k k

Modelo a uma Equação para a Viscosidade Turbulenta: Spalart Almaras

2 c1 b2U c S c fij b1 w1t x d x x x xj k k k k

• Coeficientes de fechamento e relações auxiliares

c 0,135; c 0 ,622; cb1 b2 7 ,1; 2 / 31

1 cc b2b1c ; c 0 ,3; c 2; 0 ,411 2 32

1 / 663 1 c 3f ; f 1 ; f g1 23 3 6 61 f 1c g c1 3

6; g r c r r ; r ; S S f ; S 22 2 ij ij2 2 2 2S d d

UU1 ji : é o tensor rotaçãoij 2 x xj i

Observa-se que este modelo apresenta um caráter dinâmico, uma vez que parte dos coeficientes dependem da natureza do escoamento.

The standard - two-equation model (Launder-Sharma)

Modelo a duas equação de transporte

A viscosidade turbulenta é definida como uma função da energia cinética turbulenta e de sua taxa de dissipação, , como:

2

t C f

O coeficiente deste modelo é determinado com a hipótese de equilíbrio, estabelecida para escoamentos a altos números de Reynolds. A função f é modelada em termos de um Reynolds turbulento.

O modelo a duas equações padrão é dado pelas equações seguintes:

jm t

j i i

uP

t x x x

Onde P é o termo de produção, dado por:

2ji i m n

tj i j m n

uu u u u2 2P

x x x 3 x 3 x

f2 é uma nova função de amortecimento para o escoamento parietal.

2j t1 2 2 m

j i i

uC P f C

t x x x

As constantes do modelo são dadas a seguir:

C 0.09 1C 1.44 2C 1.92 1.0

1.3 1.3

As funções de amortecimento para proximidades de paredes são da dadas por:

2t

22 t

f exp 3.4 / 1 0.02 Re

f 1 0.3exp Re

e 2

tRe

É importante lembrar que o modelo k-eps padrão não inclui as funções precedentes. Elas foram adicionadas para enfatizar que sem estas funções, não é viável utilizar este tipo de modelo para escoamentos com a presença de paredes.

Condições de Contorno:

• Corrente livre: t 0.0000001

tM

10L

2

t

C

• Não deslizamento:

• neta é a direção normal

0 2

2

• Simetria: gradientes nulos

• Entrada: de acordo com dados experimentais

• É importante enfatizar que o modelo - padrão é um modelo para escoamentos turbulentos desenvolvidos a altos números de Reynolds. Os efeitos da viscosidade molecular neste tipo de modelo são desprezíveis. Quando os efeitos de escoamentos a baixos números de Reynolds devem ser levados em conta (escoamentos próximos de paredes sólidas, por exemplo), funções amortecedoras devem ser inseridas no modelo, como apresentadas anteriormente, resultando em uma espécie de - para baixos números de Reynolds.

• Na realidade, nos códigos comerciais utilizam-se as chamadas leis de parede em conjunto com o modelo -.• Muitas são as versões de modelo -, em função do tipo de funções de amortecimento utilizadas: Jones-Launder, Lam-Bremhorst, Chien, Yang-Shih and Fan-Lakshminarayana-Barnett, entre muitos outros ...Estes modelos diferem apenas na forma destas funções que servem para modelar os efeitos de baixo Reynolds e também em mudanças nas constantes do termo de produção e destruição de .

Resultados de diferentes versões do modelo - padrão e a solução teórica para o escoamento sobre uma placa a Re = 106

u y para y 11.2

u 5.5 2.5 ln y para y 11.2

Re uy y

Re y

uu u

Re y

Solução teórica

u yy

wu

yy k

Re

Camada de mistura espacial

1

uy0.50.5tanh10

Ux

Jato Plano

2

1

u yexp 81

U x

Modelo a duas equações de transporte

Os modelos a duas equações mais utilizados nos últimos tempos são aqueles do tipo k-w e aqueles do tipo -. A primeira equação, já estabelecida, serve para modelar o transporte da energia cinética turbulenta. A Segunda equação, como sugerido por Kolmogorov, em 1942, deve ser uma equação para a taxa específica de dissipação, w, ou para a dissipação , as quais podem se relacionar com k, l e com a viscosidade turbulenta das formas seguintes:

1 / 2tk / ; k e k /

Utilizando-se destas relações e de um procedimento semelhante ao que foi adotado para se deduzir a equação para k, pode-se deduzir equações similares para e w para .

Modelo do tipo k-w

Viscosidade turbulenta cinemática

Energia cinética turbulenta

* *ij i j t

j j j j

uk ku k u u k

t x x x x

Taxa de dissipação específica

2ij i j t

j j j j

uu u u

t x k x x x

1 / 2tk / ; k e k /

ij jk ki *

03*0

S1 70 9f ; ;

1 80 100

* * *0 0 * 0

13 1 9; f ; f ; ;

25 2 125

Relações complementares e constantes de fechamento

k* 2

kk 3j jk2

k

1 se 01 k

f ;1 680x xse 0

1 400

•Avalia-se também a dissipação viscosa e o comprimento característico

* k 1 / 2k

e

• Nas equações acima aparecem os tensores rotação média e taxa de deformação média, definidos abaixo:

jiij

j i

uu1

2 x x

jiij

j i

uu1S

2 x x

Modelo a seis equações ou modelo das tensões de Reynolds ou modelo Rij

•O modelo baseado nas tensões de Reynolds não passa pela hipótese da viscosidade turbulenta de Boussinesq. Neste trabalho apresenta-se apenas as idéias básicas relativas ao mesmo.

•Observa-se que, nos itens anteriores, modelava-se as tensões de Reynolds, via viscosidade turbulenta, e buscava-se calcular, de diferentes formas, as escalas da turbulência, com as quais se determinava própria viscosidade turbulenta. O modelo das tensões de Reynolds está fundamentado em deduzir equações de transporte diretamente para as tensões de Reynolds.

•Utilizando-se de um procedimento similar àquele utilizado para obter as equações da energia cinética turbulenta e para sua dissipação viscosa, pode-se obter um conjunto de seis equações para as componentes do tensor de Reynolds. Em notação tensorial, elas são escritas da seguinte forma:

ijiju TF

t x

•Observa-se que esta equação é composta de todos os termos clássicos de uma equação de transporte, onde o segundo membro representa, termos de produção, difusão e dissipação da variável conservada, que são as componentes do tensor de Reynolds .

• Como já comentado, as componentes do tensor de Reynolds são momentos de segunda ordem. Logo, no processo de geração das equações de transporte, origina-se termos que envolvem momentos de terceira ordem. Por tanto, faz-se necessário um processo de fechamento do modelo, via equações complementares de proporcionalidade, as quais exigem a determinação de constantes ad-hoc.

• Este tipo de modelo é muito mais geral, que os precedentes. Isto significa que com um mesmo conjunto de constantes, pode-se simular escoamentos mais diversificados, com boa confiabilidade. No entanto, observa-se que são seis equações de transporte adicionais, o que o torna muito mais caro computacionalmente.

• No que segue será apresentada uma metodologia alternativa, com a qual se busca ao mesmo tempo, simplicidade, generalidade e confiabilidade.

• Busca-se também uma ferramenta que permita analisar escoamentos turbulentos fisicamente. Isto significa que, enquanto nos modelos clássicos torna-se viável apenas a obtenção de resultados médios dos escoamentos, procura-se alternativamente, modelos matemáticos que permitam obter informações mais refinadas para compreender fisicamente a dinâmica da Turbulência nos Fluidos.

• Isto pode ser feito com Simulação Numérica Direta, porém com o grande limitante a baixos números de Reynolds. A metodologia de Simulação de Grandes Escalas se posiciona de forma intermediária, viabilizando a simulação da natureza física de escoamentos turbulentos, mesmo a altos números de Reynolds. Sua fundamentação e principais características são apresentadas no capítulo seguinte.

Modelagem Sub Malha

Capítulo seguinte