Estruturas de Aço e Madeira Aula 12 Bases de Cálculo · Ortotropia da Madeira • Apesar de não ser um material elástico ideal, a madeira pode ser considerada como tal para a

Prof. Juliano J. Scremin

Estruturas de Aço e Madeira – Aula 12

Bases de Cálculo

- Ensaios de Madeira;

- Correlações entre as Propriedades Mecânicas;

- Combinações de Ações e Segurança;

1

Aula 12 - Seção 1:

Ensaios de Madeira

2

Ortotropia da Madeira

• Apesar de não ser um material

elástico ideal, a madeira pode

ser considerada como tal para a

maioria das aplicações

estruturais;

• Ortotropia – diferentes

módulos de elasticidade e

resistências a compressão e

tração nas direções paralela às

fibras e normal às fibras;

3

Ensaio de Compressão Paralela às Fibras (1)

4 Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter

𝐿𝑜 15 𝑐𝑚

5 𝑐𝑚

𝜎𝑐 < 𝑓𝑐0 𝑓𝑐0

Ensaio de Compressão Paralela às Fibras (2)

5

Ec0

Módulo de elasticidade em

compressão paralela (axial)

às fibras

fc0

Resistência à compressão

paralela (axial) às fibras

Fonte: Estruturas de Madeira - 6ª Ed. 2012. Pfeil, Walter

𝑡𝑔𝛼 = 𝐸𝑐0 =𝜎50% −𝜎10%Δ휀

휀 =Δ𝐿

𝐿𝑜

𝑓𝑐0 =𝑁𝑢𝐴

𝜎 =𝑁

𝐴

𝑓𝑐𝑜

𝑓𝑐𝑒𝑙

𝜎50%

𝜎10%

Δ휀

Ensaio de Compressão Normal às Fibras (1)

6


https://www.youtube.com/watch?v=20nJUfXxjdE

15 𝑐𝑚

5 𝑐𝑚

𝜎𝑐90

5 𝑐𝑚



Ensaio de Compressão Normal às Fibras (2)

7

Ec90

Módulo de elasticidade

em compressão

normal (perpendicular)

às fibras

fc90

Resistência à compressão

normal (perpendicular)

às fibras

𝑡𝑔𝛼′ = 𝐸𝑐90 =𝜎50% −𝜎10%Δ휀


휀 =Δ𝐿

𝐿𝑜

𝑓𝑐90 =𝑁𝑢𝐴𝑡

𝑓𝑐90

𝜎50%

𝜎10%

𝜎 =𝑁

𝐴𝑡

Ensaio de Tração Paralela às Fibras (1)

8


≥ 15 𝑐𝑚

𝑑 ≤ 2 𝑐𝑚

Corte A-A

Área A

(inicial)

𝐿𝑜

F F

Ensaio de Tração Paralela às Fibras (2)

9


휀 =Δ𝐿

𝐿𝑜

𝑓𝑡0

𝜎50%

𝜎10%

𝜎 =𝑁

𝐴

Et0


em tração

paralela (axial)

às fibras

ft0

Resistência à tração

paralela (axial)

às fibras

𝑓𝑐0

Compressão

Tração

𝐸𝑡0

Resistência à Tração Normal às Fibras

10

ft90 Resistência à tração normal

(perpendicular)

às fibras

baixa resistência mecânica e alta deformabilidade;

− resistência de difícil determinação;

− deve ser evitada sua consideração nos projetos;

Flexão em Peças de Madeira

• Na flexão simples, ocorrem quatro tipos diferentes de solicitações:

a) Compressão paralela às fibras, no banzo superior, para momentos

positivos.

b) Tração paralela às fibras, no banzo inferior, para momentos positivos.

c) Cisalhamento horizontal entre fibras.

d) Compressão normal (perpendicular) às fibras, na região dos apoios.

11 Fonte: Apostila de Madeira Prof. Miguel Hilgenberg Neto (UFPR)

Ensaio de Flexão (1)


𝑀 =𝑃𝐿

4

𝛿 =𝑀𝐿2

12𝐸𝐼

𝐿 = 105 𝑐𝑚

𝑃

Diagrama de

Momentos Fletores

Deformada

Ensaio de Flexão (2)


𝐸𝑀

Δ𝛿

𝑀𝑢

𝑀50%

𝑀10%

𝑀𝑒𝑙𝑎𝑠

𝑀

𝛿

EM


na flexão

fM

Resistência à flexão

𝐸M =M50% −M10%Δδ

L2

bh3

𝑓M =MuW=6Mubh2

Modos de Cisalhamento

14 Fonte: Slides de Aulas do Prof. Gavassoni (UFPR)

fibras

Cisalhamento Vertical

Corte ortogonal

das fibras

Cisalhamento Horizontal

Deslizamento

paralelo entre as fibras.

A direção das tensões

é igual a direção do

comprimento das fibras.

Rolling Shear

Rolagem das fibras

uma sobre as outras.

A direção das tensões

é perpendicular as fibras.

Cisalhamento Vertical (Normal)

15

• Não é crítico pois muito antes da ruptura por

cisalhamento ocorre ruptura por compressão

normal – esmagamento da seção nos apoios.

Fonte: Slides de Aulas do Prof. Gavassoni (UFPR)

𝝉𝒚: tensão cisalhante na direção normal às fibras

𝝉𝒚′

𝝉𝒙′

𝝉𝒚

𝝉𝒙

Cisalhamento Horizontal


• Forma crítica de cisalhamento pois a

resistência ao corte horizontal é menor do

que a resistência ao corte vertical .

A A

𝝉𝒙: tensão cisalhante na direção paralela às fibras

𝝉𝒙 = 𝝉𝒚

Rolling Shear


• Situação muito rara em projeto.

• A norma europeia assume a resistência ao

“rolling shear” como sendo o dobro da

resistência à tração ortogonal.

• Cisalhamento Inclinado: - Não abordado

pela NBR 7190/1997

fibras

Ensaio de Cisalhamento


𝒇𝐯 =𝐅𝐮𝐀

fv

Resistência ao

Cisalhamento

Aula 12 - Seção 2:

Correlações entre as Propriedades Mecânicas

19

Correlações entre as Propriedades Mecânicas (1)

20

• Módulos de Elasticidade:

– Ec0

= módulo de elasticidade paralelo às fibras (longitudinal)

– EM

= módulo de elasticidade aparente (flexão)

– Ec90

= módulo de elasticidade normal às fibras (transversal)

• Admite-se que sejam iguais os valores médios dos módulos de elasticidade à compressão e à tração paralelas às fibras, ou seja:

• A norma NBR 7190/97 prevê correlações para os demais módulos e elasticidade baseando-se em Ec0,m (sendo o sub-índice “m” relativo a valor médio).

Et0,m = Ec0,m


21

• Módulos de Elasticidade:

– Ec0

= módulo de elasticidade paralelo às fibras (longitudinal)

– EM

= módulo de elasticidade aparente (flexão)

– Ec90

= módulo de elasticidade normal às fibras (transversal)

𝑬𝒄𝟗𝟎 =𝑬𝒄𝟎𝟐𝟎

𝑬𝑴 = 𝟎, 𝟖𝟓𝑬𝒄𝟎

𝑬𝑴 = 𝟎, 𝟗𝟎𝑬𝒄𝟎

(Para CONÍFERAS)

(Para DICOTILEDÔNEAS)


22

• Para as espécies usuais, na falta de determinação experimental,

permite-se adotar as seguintes relações para os valores

característicos das resistências:

Coníferas Dicotiledôneas

fc0k / ft0k fc90k / fc0k fe0k / fc0k fe90k / fc0k fv0k / fc0k fv0k / fc0k

0,77 0,25 1,0 0,25 0,15 0,12

ft0k : resistência à tração paralela às fibras;

fc90k : resistência à compressão normal às fibras;

fe0k e fe90k : resistência ao embutimento paralelo e normal às fibras

respectivamente;


23

• Resistência à compressão inclinada:

fc0k : resistência à compressão paralela às fibras;

fc90k : resistência à compressão normal às fibras;

fcαk : resistência à compressão inclinada de um ângulo “α”;

Fórmula de Hankinson

𝒇𝒄𝜶 =𝒇𝒄𝟎. 𝒇𝒄𝟗𝟎

𝒇𝒄𝟎. 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜶 + 𝒇𝒄𝟗𝟎. 𝒄𝒐𝒔

𝟐𝜶

Aula 12 – Seção 3:

Combinações de Ações

24

Projeto Estrutural

25

Fases do Projeto Estrutural:

a) anteprojeto / projeto básico:

- definição do sistema estrutural, materiais e sistema

construtivo;

b) dimensionamento (cálculo estrutural) :

- dimensões dos elementos e suas ligações;

c) detalhamento :

- elaboração dos desenhos executivos e especificação de

componentes;

Método das Tensões Admissíveis (ASD)

26

– O Método das Tensões Admissíveis (ASD – allowable stress

design) origina-se da resistência dos materiais em regime

elástico;

– Considera a necessidade da máxima tensão solicitante σ

Sd máx ser menor do que a tensão de escoamento de cálculo –

tensão admissível σyd, ou seja:

– ϓ é o coeficiente de segurança – redutor de capacidade

resistente;

– Limitação devido ao uso de um coeficiente de segurança único

para traduzir todas as incertezas;

𝝈𝑺𝒅𝒎á𝒙 < 𝝈𝒚𝒅 =𝒇𝒚𝒌

𝜸

Método dos Estados Limites (LRFD)

27

– O Método dos Estados Limites (LRFD – load resistance factor design) considera que uma estrutura é inadequada quanto atinge um dos estados limites abaixo:

• Estados limites últimos:

• Perda de equilíbrio como corpo rígido;

• Ruptura de uma ligação ou seção;

• Instabilidade em regime elástico;

• Estados limites de utilização:

• deformações excessivas e consequente dano a acessórios como alvenarias e esquadrias;

• vibrações excessivas;

Ações (1)

28

• Ações: - cargas ou deformações impostas à uma estrutura;

• São classificadas de acordo com a taxa de variação de seus valores

ao longo do tempo de vida da construção:

– Permanentes (pequena variação)

• peso próprio

– Variáveis (grande variação)

• vento, veículos, ocupação

– Excepcionais (duração extremamente curta e baixa probabilidade

de ocorrência)

• terremoto, impacto de veículo, explosão

• As cargas podem ser obtidas por critério estatístico ou critério

determinístico

Ações (2)

29

• Em função da dificuldade de se aplicar tratamento estatístico

para as cargas, as normas, em geral, fixam os valores a serem

adotados no projeto de estruturas;

• Normas brasileiras que se ocupam das cargas sobre as

estruturas são:

– NBR 6120 – cargas para cálculo de estruturas de edificações;

– NBR 6123 – forças devidas ao vento em edificações;

– NBR 7188 – cargas móveis em pontes rodoviárias e passarelas de

pedestres;

– NBR 7189 – cargas móveis para projeto estrutural de obras

ferroviárias

Aplicação do Método dos Estados Limites (1)

30

• Classes de Carregamento

ELU – Combinações Normais e de Construção

Gi – carga(s) permanente(s);

Q1 – ação variável principal;

Qj – ação(ões) variável(eis) em combinação com a principal;

ϓgi – coef. de majoração de carga permanente;

ϓq1 – coef. de majoração da ação variável principal;

ϓqj – coef. de majoração de ações variáveis secundárias;

Ψ0j – fator de combinação de ações em estado limite de projeto;

31

𝑺𝒅 = 𝜸𝒈𝒊𝑮𝒊 + 𝜸𝒒𝟏𝑸𝟏 + 𝜸𝒒𝒋𝑸𝒋𝜳𝟎𝒋

ELU – Combinações Excepcionais

Gi – carga(s) permanente(s);

E – ação excepcional;

Qj – ação(ões) variável(eis) em combinação com a principal;

ϓgi – coef. de majoração de carga permanente;

ϓq1 – coef. de majoração da ação variável principal;

ϓqj – coef. de majoração de ações variáveis secundárias;

Ψ0j – fator de combinação de ações em estado limite de projeto;

32

𝑺𝒅 = 𝜸𝒈𝒊𝑮𝒊 + 𝑬 + 𝜸𝒒𝒋𝑸𝒋𝜳𝟎𝒋

Coeficientes de Majoração de Ações (𝜸𝒈 e 𝜸𝒒)

33

Ações

Combinações

Normais Especiais /

Construção Excepcionais

Perm

an

en

tes

Grande Variabilidade ( adotado quando o

peso próprio da estrutura não supera 75%

da totalidade das cargas permanentes )

1,4 (0,9) 1,3 (0,9) 1,2 (0,9)

Pequena Variabilidade ( peso da madeira

classificada estruturalmente, cuja

densidade tenha coeficiente de variação

não superior a 10% )

1,3 (1,0) 1,2 (1,0) 1,1 (1,0)

Ações Indiretas ( efeitos de recalques de

apoio e de retração dos materiais ) 1,2 (0) 1,2 (0) 0 (0)

Vari

áveis

Ações variáveis em geral, incluídas as

cargas acidentais móveis 1,4 1,2 1,0

Efeitos de temperatura 1,2 1,1 0

Ação do Vento

34

• É considerada uma carga de curta duração.

• De acordo com a NBR 7190, para se levar em conta a maior

resistência da madeira sob ação de cargas de curta duração,

na composição de combinação de ações de longa

duração em que o vento representa a ação variável

principal, o valor da solicitação deste deverá ser

multiplicada por 0,75.

Fatores de Combinação e de Utilização

35

Ações em estruturas correntes ψ0 ψ1 ψ2

- Variações uniformes de temperatura em relação à média

anual local 0,6 0,5

0,3

- Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0

Cargas acidentais dos edifícios ψ0 ψ1 ψ2

- Locais em que não há predominância de pesos de

equipamentos fixos, nem de elevadas concentrações de

pessoas

0,4 0,3 0,2

- Locais onde há predominância de pesos de

equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de

pessoas

0,7 0,6 0,4

- Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6

Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos ψ0 ψ1 ψ2

- Pontes de pedestres 0,4 0,3 0,2*

- Pontes rodoviárias 0,6 0,4 0,2*

- Pontes ferroviárias (ferrovias não especializadas) 0,8 0,6 0,4*

Valores Característicos das Propriedades Mecânicas

36

• Resistência Característica (a partir de dados médios de obtidos via ensaios)

- Variação conforme o esforço solicitante considerado:

compressão paralela às fibras:

tração paralela às fibras:

cisalhamento paralelo às fibras:

𝒇𝐜𝐤,𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟕 ⋅ 𝒇𝐜,𝐦é𝐝𝐢𝐚,𝟏𝟐%

𝒇𝒕𝐤,𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟕 ⋅ 𝒇𝐭,𝐦é𝐝𝐢𝐚,𝟏𝟐%

𝒇𝒗𝐤,𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟓𝟒 ⋅ 𝒇𝐜,𝐦é𝐝𝐢𝐚,𝟏𝟐%

Valores de Cálculo das Propriedades Mecânicas

37

• Resistência de Cálculo - Obtida a partir do valor da resistência característica pela

expressão:

𝒇𝐱𝐱,𝒅 = 𝑲𝒎𝒐𝒅𝒇𝐱𝐱,𝒌𝜸𝒘

𝑲𝒎𝒐𝒅 = 𝑲𝒎𝒐𝒅𝟏. 𝑲𝒎𝒐𝒅𝟐. 𝑲𝒎𝒐𝒅𝟑

K mod1

– leva em conta o tipo de produto de madeira empregado e o

tempo de duração da carga;

K mod2

– considera o efeito da umidade;

K mod3

– leva em conta a classificação estrutural da madeira;

Coeficientes Kmod

38

Kmod1 Kmod2 Kmod3

Classes

de Carreg.

Madeira

Serrada,

laminada

colada ou

compensada

Madeira

Recomposta

Classes

de

Umidade

Madeira

Serrada,

laminada

colada ou

compens

ada

Madeira

Recompo

sta

Tipo K mod3

Permanente 0,60 0,30 (1) e (2) 1,0 1,0 Coníferas 0,8

Longa

Duração 0,70 0,45

(3) e (4) 0,8 0,9

Dicotiledône

as de 1a.

categoria

1,0 Média

Duração 0,80 0,65

Curta

Duração 0,90 0,90

Peças de 2a.

categoria 0,8

Instantânea 1,10 1,10

Classes de Umidade

39

Classe

de

Umidade

Umidade Relativa

do Ambiente Uamb

Umidade de

Equilíbrio

da Madeira Uamb

1 ≤65% 12%

2 65% < Uamb ≤75% 15%

3 75% < Uamb ≤85% 18%

4 Uamb > 85% ≥ 25%

Coeficientes de Ponderação para ELU

40

Solicitação 𝜸w

Compressão paralela às fibras 1,4

Tração paralela às fibras 1,8

Cisalhamento paralelo às fibras 1,8

Nota: adota-se 𝜸w =1,0 para ELS (ELUti)

Módulo de Elasticidade Efetivo

41

• O módulo de elasticidade efetivo é calculado como:

𝑬𝐜𝟎,𝒆𝒇 = 𝑲𝒎𝒐𝒅. 𝑬𝐜𝟎,𝒎

Ec0,ef : módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras

Ec0,m : módulo de elasticidade médio à compressão paralela às fibras

Kmod : coeficiente de modificação

Classes de Madeira

42

• A definição da madeira a ser utilizada em um projeto pode ser feita com

base na “Espécie” ou utilizando o sistema de “Classes de Madeira”

CONÍFERAS:

( valores na condição padrão de referência U = 12%)

Classe fc0k

(MPa)

fvk

(MPa)

Ec0,m

(MPa)

ρbas,m

(kg/m³)

ρap

(kg/m³)

C20 20 4 3500 400 500

C25 25 5 8500 450 550

C30 30 6 14500 500 600

DICOTILEDÔNEAS:

( valores na condição padrão de referência U = 12%)

Classe fc0k

(MPa)

fvk

(MPa)

Ec0,m

(MPa)

ρbas,m

(kg/m³)

ρap

(kg/m³)

C20 20 4 9500 500 650

C30 30 5 14500 650 800

C40 40 6 19500 750 950

C60 60 8 24500 800 1000

Propriedades Médias por Espécies

43

Influência da Umidade nas Propriedades (1)

44

• Os módulos de elasticidade e as resistências características são

definidos com base na umidade padrão de 12% (Classe de

Umidade 1)

• Conforme a NBR 7190, os valores de resistência média obtidos em

ensaios para umidades entre 10% e 20% podem ser corrigidos

para o valor padrão de 12% pela expressão:

• Note-se que a expressão admite 3% de variação na resistência para

cada 1% de variação da umidade.

𝒇𝒎é𝒅𝒊𝒂,𝟏𝟐% = 𝒇𝒎é𝒅𝒊𝒂,𝑼% 𝟏 +𝟑

𝟏𝟎𝟎(𝑼% − 𝟏𝟐%)

Influência da Umidade nas Propriedades (2)

45

• Da mesma forma que para a resistência, a NBR 7190 possibilita a

conversão dos valores de módulo de elasticidade médios

obtidos em ensaios para umidades entre 10% e 20% para o

padrão de 12% através da expressão:

• Note-se que a expressão admite 2% de variação na resistência para

cada 1% de variação da umidade

𝑬𝒎é𝒅𝒊𝒐,𝟏𝟐% = 𝑬𝒎é𝒅𝒊𝒐,𝑼% 𝟏 +𝟐

𝟏𝟎𝟎(𝑼% − 𝟏𝟐%)

Estado Limite de Utilização – ELUti (ELS) (1)

• Os deslocamentos são calculados a partir de combinações de ações

diferentes do ELU (estado limite último);

• Todas as ações são combinadas sem majoração;

– Combinações de longa duração:

– Combinações de duração

média, curta e instantânea:

46

𝑺 = 𝑮𝒊 + 𝑸𝒋𝜳𝟐𝒋

𝑺 = 𝑮𝒊 +𝜳𝒏𝑸𝟏 + 𝜳𝒌𝑸𝒋

Valores de 𝜓𝑛 e 𝜓𝑘:

Tipo de Combinação 𝛙𝐧 𝛙𝐤

Média Duração 𝛙𝟏 𝛙𝟐

Curta Duração 1 𝛙𝟏

Instantânea (ação especial) 1 𝛙𝟐

Estado Limite de Utilização – ELUti (ELS)(2)

• Valores limites de deslocamentos verticais segundo a NBR 7190/97:

47

Ações a considerar Deslocamentos

calculados

Deslocamentos

limites

Construções

Correntes

Permanentes + variáveis

em combinação de longa

duração

Em um vão L entre

apoios L/200

Em balanço de vão Lb Lb/100

Construções com

materiais frágeis

não-estruturais

Permanentes + variáveis

em combinação de longa

duração

Em um vão L entre

apoios L/350

Em balanço de vão Lb Lb/175

Variáveis em combinação

de longa duração

Em um vão L entre

apoios L/300<=15mm

Em balanço de vão Lb L/150<=15mm

FIM

48

Exercício 12.1

49

• Um estrutura em madeira está sujeita às seguintes cargas:

a) Peso próprio G = 0,8kN/m

b) Carga acidental Q = 1,5kN/m

c) Vento de sobrecarga V1 = 1,3 kN/m

d) Vento de sucção V2 = -1,8 kN/m

• Calcular de acordo com a NBR 7190/1997 as combinações

normais de projeto para ELU.

Exercício 12.2

50

• Uma edificação em madeira será construída em uma região com

umidade relativa do ar média de 70%;

• A madeira empregada será o Louro Pardo que em condições de

15% de umidade tem as seguintes propriedades:

fc0m = 61 MPa

ft0m = 123 MPa

fv0m = 11,4 Mpa

• Determinar fc0d, ft0d, fc90d, fvd para combinação normal de ações

com cargas de longa duração;

Documents

Estruturas de Aço e Madeira Aula 12 Bases de Cálculo · Ortotropia da Madeira • Apesar de não ser um material elástico ideal, a madeira pode ser considerada como tal para a