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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI DAS MISSÕES
URI – CAMPUS DE ERECHIM
MICHELI PÉRSIA HAIDUCK
ESTUDO ANALÍTICO E NUMÉRICO DE MODELOS
EPIDEMIOLÓGICOS CLÁSSICOS DO TIPO
S.I., S.P.R. E S.I.S.
ERECHIM
2008
1
MICHELI PÉRSIA HAIDUCK
ESTUDO ANALÍTICO E NUMÉRICO DE MODELOS
EPIDEMIOLÓGICOS CLÁSSICOS DO TIPO
S.I., S.P.R. E S.I.S.
Monografia apresentada para obtenção do grau de Licenciado em Matemática, no Curso de Graduação de Licenciatura em Matemática: na Área de concentração em Matemática Aplicada, Departa-mento de Ciências Exatas e da Terra da Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – URI Campus de Erechim.
Orientador: Profº: M.Sc. Clémerson Alberi Pedroso.
ERECHIM
2008
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RESUMO
Neste trabalho, apresenta-se um estudo das soluções analíticas e numéricas de alguns modelos clássicos epidemiológicos. As soluções analíticas foram obtidas algebricamente e comparadas com as simulações numéricas obtidas por rotinas computacionais implementadas no software MATLAB. Nas simulações numéricas, fez-se uso das técnicas de diferenças-finitas e Runge-Kutta. Na primeira técnica, considerou-se a fórmula avançada para a aproximação das derivadas temporais, na segunda, o método de Runge-Kutta de 1ª ordem ou também conhecido por método de Euler. Os modelos considerados são do tipo Suscetível-Infectado (S.I.), Suscetível-Portador-Recuperado (S.P.R.) e Suscetível-Infectado-Suscetível (S.I.S.) para população constante. Os três modelos foram resolvidos analiticamente e numericamente, obtendo uma boa aproximação entre as duas metodologias. Para o modelo Suscetível-Infectado-Suscetível (S.I.S.), quando considerado com população variável, optou-se pela metodologia numérica, pelo fato da não linearidade e complexidade de resolução pelo processo analítico, realizando assim, apenas simulações a partir das variáveis consideradas para situações hipotéticas que ocorrem quando há um processo epidêmico em uma determinada comunidade.
Palavras-chaves: Modelos matemáticos epidemiológicos. Métodos numéricos e analíticos
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LISTA DE FIGURAS
Figura 1 −−−− Iceberg da doença – Modelo representativo de uma doença, há nível clínico e
sub-clínico ...................................................................................................... 11
Figura 2 −−−− Esquema das atividades intelectuais da Modelagem Matemática ..................... 14
Figura 3 −−−− Esquema S.I. com representação da taxa de transmissão α .............................. 18
Figura 4 −−−− Campo de direções do Modelo S.I................................................................... 19
Figura 5 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica (6.254 iterações) ............. 20
Figura 6 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica (10.000 iterações) ........... 20
Figura 7 −−−− Esquema S.P.R. com representação das taxa de remoção α e β ....................... 22
Figura 8 −−−− Comparativo entre às soluções numérica de suscetíveis para os portadores após
10.000 iterações .............................................................................................. 23
Figura 9 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica dos portadores após 8.022
iterações.......................................................................................................... 23
Figura 10 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica dos suscetíveis após 9.048
iterações.......................................................................................................... 24
Figura 11 −−−− Esquema S.I.S. com as taxas de transmissão e recuperação ............................. 25
Figura 12 −−−− Campo de direções, ponto de equilíbrio assintoticamente estável .................... 26
Figura 13 −−−− Gráfico comparativo das soluções numérica e analítica para o modelo S.I.S.... 28
Figura 14 −−−− Esquema S.I.S. com as taxas de transmissão, recuperação, natalidade e
mortalidade..................................................................................................... 29
Figura 15 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,8, β=0,
γ=0,8 e η=0,2.................................................................................................. 30
Figura 16 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,3, β=0,
γ=0,3 e η=0,2.................................................................................................. 30
Figura 17 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,8,
β=0,7, γ=0,2 e η=0,1....................................................................................... 31
4
Figura 18 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,3,
β=0,2, γ=0,2 e η=0,1....................................................................................... 32
Figura 19 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,1,
β=0,05, γ=0,3 e η=0,1..................................................................................... 32
Figura 20 −−−− Esquema do fluxo de indivíduos entre os quatro compartimentos não
interceptantes .................................................................................................. 35
5
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 06
2. EPIDEMIOLOGIA........................................................................................................ 08
2.1 HISTÓRIA DA SAÚDE PÚBLICA................................................................................. 08
2.2 FATORES AGRAVANTES ............................................................................................ 10
2.3 MÉTODOS EPIDEMIOLÓGICOS.................................................................................. 11
3. MODELAGEM MATEMÁTICA ................................................................................. 13
4. MÉTODOS NUMÉRICOS............................................................................................ 15
4.1 TÉCNICA DE DIFERENÇAS-FINITAS ......................................................................... 15
4.2 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA ..................................................................................... 16
5. MODELOS MATEMÁTICOS...................................................................................... 18
5.1 MODELO SUSCETÍVEL–INFECTADO (S.I.) ............................................................... 18
5.2 MODELO SUSCETÍVEL–PORTADOR-REMOVIDO (S.P.R.) ...................................... 21
5.3 MODELO SUSCETÍVEL – INFECTADO – SUSCETÍVEL (S.I.S.) ............................... 25
5.3.1 Modelo S.I.S. −−−− População Constante ........................................................................ 25
5.3.2 Modelo S.I.S. −−−− População Variável........................................................................... 28
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS......................................................................................... 34
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................ 37
ANEXOS .............................................................................................................................. 39
Apêndice A – Resolução numérica do Modelo S.I.................................................................. 40
Apêndice B – Resolução numérica do Modelo S.P.R. ............................................................ 43
Apêndice C – Resolução numérica do Modelo S.I.S. Com População Constante .................... 47
Apêndice D – Resolução numérica do Modelo S.I.S. Com População Variável ...................... 55
6
1 INTRODUÇÃO
Uma das preocupações da epidemiologia é utilizar métodos adequados para estudar as
condições de saúde da população e a ocorrência de doenças, procurando identificar os fatores
de influência, a fim de encontrar formas de atuação pertinentes à melhora e à prevenção.
Nessa perspectiva, atualmente a epidemiologia faz uso da modelagem matemática, para
descrever as complexas interações entre os seres vivos. Dessa forma, os modelos matemáticos
e as simulações numéricas têm auxiliado na compreensão das epidemias, no estudo dos
mecanismos de controle e apesar de serem muitas vezes simplificações do fenômeno, geram
boas previsões futuras.
A biomatemática que abrange a modelagem matemática e procedimentos numéricos,
surge no sentido de tentar representar matematicamente fenômenos biológicos, tendo sido
fortalecida, ao longo dos anos, pelo desenvolvimento de computadores com maior capacidade
de cálculos. Desta maneira, fica evidente o vínculo da matemática com outras áreas do
conhecimento, tornando a mesma atrativa, pela sua vasta aplicabilidade na obtenção de
resultados cada vez mais realísticos.
Ao pensar em sistemas preventivos dos problemas da saúde pública, pensa-se também,
em epidemiologia. Nesta perspectiva, esta pesquisa baseia-se no estudo de modelos
matemáticos epidemiológicos, objetivando a análise de soluções analíticas e numéricas dos
modelos do tipo: Suscetível-Infectado (S.I.), Suscetível-Portador-Recuperado (S.P.R.) e
Suscetível-Infectado-Suscetível (S.I.S.).
Na segunda seção deste trabalho apresenta-se um breve apanhado da história da saúde
pública no Brasil, onde, ao passar dos anos, melhorou gradativamente com a ação da
epidemiologia, principalmente quando ocorreu a introdução da computação eletrônica, dando
origem a sua matematização. Ainda nesta seção, comenta-se sobre alguns aspectos que
influenciam no grau de saúde de uma população, sendo em seguida, descrito alguns métodos
epidemiológicos, o qual é subdividido em epidemiologia descritiva e analítica.
Num terceiro momento, fala-se sobre a importância da modelagem para o
entendimento de fenômenos do mundo real, sendo esta eficiente, permitindo tomar decisões e
fazer previsões futuras. Mas para que isso aconteça, é necessário obter modelos matemáticos
7
que sejam coerentes ao modelado e, de maneira geral, possam proporcionar um arsenal de
resultados pela utilização de técnicas de resolução numéricas e/ou analíticas.
Na quarta seção, é apresentado resumidamente, a técnica de aproximação em
diferenças-finitas e o método de Runge-Kutta, os quais foram utilizados paralelamente aos
métodos analíticos, para a resolução dos modelos epidemiológicos considerados. Tais técnicas
numéricas podem possibilitar a resolução e o entendimento de modelos matemáticos, que
muitas vezes por sua complexidade não apresentam solução analítica.
Em seguida, define-se os modelos matemáticos do tipo: Suscetível-Infectado (S.I.),
Suscetível-Portador-Infectado (S.P.R.), Susceível-Infectado-Suscetível (S.I.S.), com
população constante e Susceível-Infectado-Suscetível (S.I.S.) com população variável. Os três
primeiros foram resolvidos numericamente e analiticamente, baseando-se em situações
hipotéticas de doenças transmissíveis. Contudo, para o último modelo, não foi possível
comparar a solução numérica com a analítica, devido à complexidade das equações para a
obtenção da solução analítica.
Finalmente, na última seção, destaca-se algumas considerações sobre os modelos
analisados. Além disso, descreve-se as perspectivas de continuidade relacionados ao tema
abordado.
8
2 EPIDEMIOLOGIA
Segundo Rouquayrol e Almeida (1999), epidemiologia é a ciência que estuda o
processo saúde-doença na comunidade, analisando as distribuições, freqüências, causas e
agravos das enfermidades a saúde coletiva, com a finalidade de propor medidas específicas de
prevenção, controle ou erradicação de doenças, fornecendo indicadores que sirvam de suporte
ao planejamento, administração e avaliação das ações da saúde.
Por esta razão, descreve-se aqui, alguns aspectos importantes da epidemiologia, como:
em que momento na história da saúde pública no Brasil a epidemiologia desencadeou, seus
fatores agravantes, seus métodos epidemiológicos e sua relação com a matemática.
2.1 HISTÓRIA DA SAÚDE PÚBLICA
No Brasil, a saúde pública começou a engatinhar em 1829 quando foi criada a
Imperial Academia de Medicina, por ordem de Dom Pedro I. Essa academia funcionou como
órgão consultivo do imperador nas questões ligadas à saúde pública nacional. Apesar da
retificação dos conceitos epidemiológicos e da atuação dos institutos de pesquisas, a maior
parte das oligarquias estaduais não se dispunham a gastar dinheiro. Desta forma, os
brasileiros, principalmente os do interior, continuavam a sofrer muitas enfermidades de
caráter endêmico (doença que existe constantemente em determinado lugar e ataca número
maior ou menor de indivíduos). Apenas em 31 de outubro de 1904, após várias situações
tensas, finalmente a lei que estabelecia a obrigatoriedade da vacina foi aprovada pelo
Congresso Nacional. Mas esta não foi muito bem aceita, dando origem a Revolta da Vacina.
Após, o governo revogou a obrigatoriedade da vacina, buscando outras formas de se
relacionar com o povo (FILHO, 2004).
No ano de 1930, Getúlio Vargas determinou uma ampla remodelação dos serviços
sanitários do país, mas praticamente de nada adiantou. Foi então que em 1953, Vargas, criou o
Ministério da Saúde, mas o ministério falhou, então em 1960, visando o aperfeiçoamento do
sistema, o governo federal sancionou a Lei Orgânica da Previdência Social. A partir deste
9
momento, começa a melhorar gradativamente a questão da saúde pública. Ao lado de todos
estes acontecimentos, no ano de 1960 houve uma verdadeira revolução na epidemiologia com
a introdução da computação eletrônica. A investigação epidemiológica experimentou a mais
profunda transformação, tendo como resultado uma forte matematização da área.
A tendência à matematização da Epidemiologia recebe um considerável reforço nas décadas seguintes. São propostos então modelos matemáticos de distribuição de inúmeras patologias [...]. O campo da Epidemiologia encontra assim uma identidade provisória, justificando a consolidação de uma autonomia enquanto disciplina, impondo-se no terreno da investigação sobre o complexo saúde-doença-cuidado com o recurso à matemática [...] (ROUQUAYROL; ALMEIDA, 1999, p. 10).
Depois desta grande revelação da epidemiologia ligada aos avanços tecnológicos, tudo
mudou para a área da saúde. Os principais usuários de dados epidemiológicos são os
profissionais de saúde, os pesquisadores e ainda os diferentes profissionais, que embora não
estejam ligados diretamente com as responsabilidades da saúde pública, procuram estar a par
do teor das informações epidemiológicas para aplicar em seu próprio trabalho (PEREIRA,
1995).
Pode-se dizer que a epidemiologia surge no sentido de impedir que ocorram agravos à
saúde das populações, desse modo, ela pode informar a situação da saúde pública, ao
diagnosticar os principais problemas, investigar os fatores que influenciam a situação de
saúde e ainda, ao avaliar o impacto das ações propostas para alterar a situação encontrada
(PEREIRA, 1995).
Para que seja possível alcançar tais informações e diagnósticos, é necessário, que a
epidemiologia fundamente-se em hipóteses matemáticas para a formulação de modelos que
sejam capazes de quantificar alguns aspectos do fenômeno biológico. Desta forma, é possível
verificar a viabilidade do modelo por meio de técnicas computacionais, como por exemplo,
Runge-Kutta, sendo que, não se deve pensar em um modelo que retrate fielmente o objeto
estudado, pois apenas se aprimoram por meio das descobertas das ciências médica e
biológica.
Assim, pode-se dizer que a matemática está interligada com outras áreas de
conhecimento, neste caso, à Biologia. E que os modelos matemáticos obtidos a partir de
hipóteses podem ou não descrever o comportamento de um fenômeno biológico, pois os
métodos e modelos matemáticos são constantemente modificados, objetivando auxiliar os
10
profissionais da saúde, médicos e pesquisadores, com o propósito de contribuir para uma
melhor saúde pública.
2.2 FATORES AGRAVANTES
O grau de saúde de uma população depende de fatores que interagem continuamente,
tais como, agressores ambientais, hereditariedade, hábitos, etc. Mas são os aspectos
socioeconômicos que mais impedem o controle eficaz das doenças, principalmente em países
pobres, onde problemas como a desnutrição e falta de condições básicas de higiene
contribuem para a formação de focos endêmicos (doença que existe constantemente em
determinado lugar e ataca número maior ou menor de indivíduos) e epidêmicos (doença que
surge rapidamente num lugar e acomete, a um tempo, grande número de pessoas)
(BELLUSCI, 1995).
E ainda, para Bellusci, uma das preocupações da epidemiologia é utilizar uma
metodologia que seja adequada para estudar as condições de saúde da população e a
ocorrência de doenças, procurando identificar os fatores de influência, a fim de encontrar
formas de atuação pertinentes à melhora e à prevenção.
Para Sanmartín (1981 apud BELLUSCI, 1995), o processo de uma doença é como um
iceberg, ou seja, a parte superior visível da Figura 1, fora da água – são os casos das doenças
de nível clínico (são doenças diagnosticadas por sintomas), e a parte inferior, submersa – são
os casos das doenças de nível sub-clínico (doenças nas quais devem ser diagnosticadas
mediante autópsia), ficando claro que, se a doença for de nível sub-clínico, tornará mais difícil
o combate ao fenômeno diagnosticado, de caráter epidemiológico.
11
2.3 MÉTODOS EPIDEMIOLÓGICOS
Bellusci (1995) comenta sobre as diferenças entre a Epidemiologia Descritiva e a
Epidemiologia Analítica. A primeira retrata as características gerais de distribuição de uma
doença, em relação à pessoa, lugar e tempo além de aspectos culturais, econômicos e
políticos. Além disso, a epidemiologia descritiva é dividida em três principais tipos de
estudos: estudo de correlação, estudo de caso e o estudo transversal.
O estudo de correlação utiliza os dados da população total para comparar a freqüência
de doenças entre tipos de grupos, durante o mesmo período de tempo ou em tempos diferentes
na mesma população. Já o segundo tipo de estudo epidemiológico, consiste em um cuidadoso
e detalhado estudo feito em um único paciente por um ou mais profissionais. E o estudo
transversal, trata da condição do indivíduo com respeito à presença ou ausência de doença e
de exposição investigada no mesmo momento.
Após a escolha do tipo de estudo a ser feito e os dados colhidos, o epidemiologista
formula uma hipótese a respeito da doença, sendo esta, uma pergunta cuja resposta poderá
esclarecer eventos importantes da doença.
Figura 1 – Iceberg da doença – Modelo representativo de uma doença, há nível clínico e sub-clínico Fonte: Sanmartín (1981 apud BELLUSCI, 1995, p. 26)
12
E ainda, Bellusci (1995), relata sobre a epidemiologia analítica, que está vinculada a
análise de doenças, ou seja, os estudos analíticos são feitos para testar hipóteses formuladas
com base nos dados colhidos nos estudos descritivos, sendo esta epidemiologia dividida em:
estudo analítico observacional e estudo analítico experimental.
No primeiro, o investigador observa o curso natural dos eventos para quem é exposto e
não-exposto e quem desenvolve ou não o resultado de interesse. Já no estudo analítico
experimental, o investigador distribui a exposição e acompanha os indivíduos para observar o
desenvolvimento da doença ou evento de interesse.
Existem dois tipos de estudo analítico observacional: o caso – controle e o estudo de
coorte. No primeiro, um grupo de casos ou série de pacientes que têm a doença de interesse é
comparado com um grupo sem a doença. No estudo de coorte, os indivíduos são selecionados
pela presença e ausência de exposição a um fator de risco em particular, e acompanhados por
algum tempo para observar o desenvolvimento da doença.
Os estudos experimentais controlados ou não-controlados são utilizados para testar
fatores de proteção, como vacinas e alimentos, sendo que a finalidade da análise é geralmente
julgar se uma exposição em particular cause ou previna determinada doença.
13
3 MODELAGEM MATEMÁTICA
Uma das abordagens que cresceu consideravelmente no número de trabalhos nas
últimas décadas sobre fenômenos biológicos, tem sido a Modelagem Matemática, para
descrever as complexas interações entre os seres vivos. Dessa forma, os modelos matemáticos
ajudam na compreensão de epidemias, no estudo dos mecanismos de controle e apesar de
serem muitas vezes simplificações do fenômeno, geram previsões futuras, além de
interpolação (YANG, 2001b).
Modelagem Matemática é um processo dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de abstração e generalização com a finalidade de previsão de tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual (BASSANEZI, 2002, p. 24).
Bassanezi (2002) propõe uma seqüência de etapas para que se possa transformar as
situações da realidade em problemas matemáticos. Dessa forma, deve-se partir do problema,
no qual deve ser feita sua experimentação (onde se processa a obtenção de dados), passando
para a abstração (procedimento que deve levar à obtenção dos modelos matemáticos),
posteriormente, deve-se fazer a resolução do modelo matemático em questão (substitui-se a
linguagem natural pela linguagem matemática coerente), chegando à validação e modificação
(reformulação do problema caso a validação não seja satisfatória), e finalmente, podendo
fazer sua aplicação. Essas atividades intelectuais da Modelagem Matemática são bem
representadas pela Figura 2.
A modelagem eficiente permite, tomar decisões, fazer previsões, explicar e entender.
Para que isso aconteça, é necessário obter modelos coerentes e úteis, de uma maneira geral,
pode-se classificar como atividade do matemático aplicado a construção e análise desses
modelos matemáticos, que são relacionados com a realidade e vistos como pertencentes à
Matemática Aplicada.
14
A importância do modelo matemático consiste em se ter uma linguagem concisa que expressa nossas idéias de maneira clara e sem ambigüidades, além de proporcionar um arsenal enorme de resultados (teoremas) que propiciam o uso de métodos computacionais para calcular suas soluções numéricas (Bassanezi, 2002, p. 27).
O matemático aplicado faz uso da matemática para situações do dia-a-dia, ou seja,
utiliza a modelagem matemática para o entendimento de fenômenos do mundo real. Nessa
perspectiva, surgiu a biomatemática, na tentativa de representar matematicamente fenômenos
biológicos, a qual, encorajada pelo aparecimento de novas teorias, teve um forte
desenvolvimento nas últimas décadas.
Figura 2 – Esquema das atividades intelectuais da Modelagem Matemática Fonte: Bassanezi (2002, p. 27)
15
4 MÉTODOS NUMÉRICOS
Há problemas importantes relacionados à resolução de modelos matemáticos
aplicados, especialmente modelos de equações diferenciais não lineares que não apresentam
solução analítica ou, para se chegar a ela, apresentam um trabalho complexo. Em
contrapartida os métodos numéricos apresentam-se como uma alternativa simples e eficiente
para a resolução de modelos matemáticos, se comparados com os analíticos. Nesta seção será
apresentado, de maneira geral, a técnica de aproximação em diferenças-finitas e o método de
Runge-Kutta, os quais foram utilizados paralelamente aos métodos analíticos, para a
resolução dos modelos epidemiológicos considerados neste trabalho.
4.1 TÉCNICA DE DIFERENÇAS-FINITAS
A essência da técnica de diferenças-finitas está na discretização do contínuo, ou seja,
discretizar a região onde está se procurando a solução, tornando “finito” o problema. Ela
consiste em transformar equações diferenciais parciais em equações algébricas (CUNHA,
2000). A ferramenta matemática básica na definição da aproximação das derivadas em
diferenças-finitas é a expansão em série de Taylor. Assumindo que ( )xy têm derivadas até
ordem 1n + , então a função pode-ser escrita como
)(y)!1n(
h)x(y
!nh
...)x(y!2
h)x(yh)x(y)hx(y )1n(
1n)n(
n2
ξ+
+++′′+′+=+ ++
, (1)
sendo h o espaçamento entre os pontos discretos do domínio considerado. Se 1n = na
equação acima, tem-se a fórmula avançada da aproximação em diferenças-finitas, com erro de
ordem dois, logo aproximação de primeira ordem, é dada por
h)x(y)hx(y
)x(y−+=′ . (2)
16
De modo análogo, para h− na equação (1), ainda com 1n = , pode-se escrever a
fórmula atrasada,
h)hx(y)x(y
)x(y−−=′ . (3)
Agora, tomando 2n = , para h- e h+ , tem-se que
)x(y!2
h)x(yh)x(y)hx(y
2
′′+′+=+ , (4)
)x(y!2
h)x(yh)x(y)hx(y
2
′′+′−=− . (5)
Subtraindo a equação (4) da (5), obtém-se a fórmula centrada para aproximação em
diferenças-finitas,
h2)hx(y)hx(y
)x(y−−+=′ . (6)
As fórmulas centrada, atrasada e avançada fornecem uma aproximação para a derivada na
qual o erro é da ordem 2h , assim a aproximação é de primeira ordem.
4.2 MÉTODO DE RUNGE-KUTTA
Além da facilidade de implementação do método Runge-Kutta, este aproveita a
qualidade dos métodos da série de Taylor e ao mesmo tempo elimina seu maior defeito que é
o cálculo das derivadas da função. Dessa forma, o uso de coeficientes possibilita obter
soluções com precisão temporal, atingindo características apropriadas de amortecimento de
erro (De BORTOLI, 1999).
O método de Runge-Kutta de 1ª ordem, nada mais é que o método de Euler, que
provém da equação diferencial de primeira ordem. Esse método é definido, ao calcular 1ky +
a partir de ky .
17
( )( ) 0,1,...k para ,y,xhfyy
xyy
kkk1k
00
=+==
+
Segundo Ruggiero e Lopes (1996), o método de Runge-Kutta de 3ª ordem ou método
de Euler Aperfeiçoado, faz uso de coeficientes o que possibilita obter precisão temporal de
ordem três. Tal método pode ser ilustrado por:
( )
( )
��
���
� ++=
���
����
�++=
=
=+++=
=
+
)2(kk
)3(
)1(
kk)2(
kk)1(
)3()2()1(k1k
00
C43
y,h43
xhfC
2C
y,2h
xhfC
y,xhfC
0,1,...k para ,C94
C93
C92
yy
xyy
De maneira geral, o método de Runge-Kutta pode ser definido para ordens maiores,
como o de 4ª, 5ª e 6ª ordens, e assim sucessivamente. O método de Runge-Kutta de 4ª ordem
é o mais usado, por ser uma combinação de simplicidade, alta precisão e economia, sendo
provavelmente, um dos processos numéricos mais populares (ZILL; CULLEN, 2001). Seja
qual for à ordem do método de Runge-Kutta escolhido, os erros de truncamento surgem em
cada passo, devido ao fato que não se considera todos os termos da série de Taylor, se
comportando, como por exemplo, com erro de truncamento local de ordem três, para o caso
de Runge-Kutta de 4ª ordem, assim quanto maior a ordem maior é a aproximação com a
solução exata.
18
αSI S I
Figura 3 −−−− Esquema S.I. com representação da taxa de transmissão α
5 MODELOS MATEMÁTICOS
De acordo com Maliska (1995), na obtenção da solução de qualquer problema físico,
requer a habilidade do problema físico correspondente, e que o modelo matemático deve ser
tal que possa ser resolvido com tempos de computação não proibitivos e que os resultados
obtidos bem representem o fenômeno físico em questão. Nessa perspectiva, realizou-se as
simulações numéricas utilizando o software Matlab 7.0 por ser de fácil implementação, pois
fornece recursos de programação similares aos de outras linguagens de programação e
também, pelo fato de fornecer operações com vetores que permitem a manipulação rápida de
conjunto de dados de uma maneira diferenciada.
As variáveis dos modelos considerados na pesquisa são:
S = S(t): para pessoas sadias, mas suscetíveis à epidemia;
I = I(t): para pessoas infectadas e que podem transmitir a doença;
P = P(t): para pessoas portadoras da doença, mas que não são transmissoras;
R = R(t): para pessoas removidas – aquelas que são isoladas, mortas ou curadas;
N = S + I + P + R: para tamanho da população;
5.1 MODELO SUSCETÍVEL–INFECTADO (S.I.)
O primeiro modelo considerado admite uma comunidade isolada, onde não haja as
taxas de natalidade e mortalidade, todos os indivíduos dessa comunidade são suscetíveis,
sendo sujeitos à infecção através do contato com os indivíduos infectados, conforme ilustra a
Figura 3.
19
Segundo Boyce e DiPrima (2002), se S é a proporção de indivíduos suscetíveis e I a
proporção de indivíduos infectados, de tal forma que 1IS =+ , a taxa de indivíduos infectados
é proporcional ao número de contatos entre as pessoas suscetíveis e as infectadas, conforme o
modelo
ISdtdI α= , (7)
sendo α um fator de proporcionalidade. Admitindo I1S −= , a equação pode ser reescrita
como
( )I1IdtdI −α= . (8)
Essa equação pode ser facilmente resolvida separando as variáveis e considerado a condição
inicial 0I)0(I = . Salienta-se que a resolução analítica de forma mais detalhada da equação (8)
pode ser encontrada no Anexo A. A função que descreve a solução do modelo S.I., é
( ) 00t
0
II1e
I)t(I
+−= α−
. (9)
Os pontos de equilíbrio, da equação (8) são I igual a 1, para população inteiramente
infectada, o que torna a solução assintoticamente estável por não haver mais nenhum
indivíduo a ser infectado (S = 0), e I igual a 0, quando nenhum indivíduo é infectado, ou seja,
todos são suscetíveis, tornando a solução instável. Tal situação pode ser verificada através do
campo de direções na Figura 4.
Figura 4−−−− Campo de direções do Modelo S.I.
MAPLE
S
I
20
O modelo S.I. também foi resolvido numericamente usando diferenças-finitas e o
método de Euler, para tempo adimensional igual a dez e condição inicial para infectados igual
a 0,1. A equação usada para a recursividade foi
( )kkk1k I1ItII −α∆+=+ , (10)
sendo t∆ o espaçamento temporal.
A Figura 5 compara a solução numérica, obtida após 6.254 iterações e erro absoluto
igual a 6109971,9 −⋅ , com a solução analítica dada pela equação (10). Note que as soluções
representam comportamentos diferentes, logo para que houvesse similaridade entre elas,
considerou-se 10.000 iterações e erro igual a 7106508,1 −⋅ , conforme representado pela
Figura 6.
Figura 5 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica (6.254 iterações)
t
Figura 6 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica (10.000 iterações)
t
21
5.2 MODELO SUSCETÍVEL–PORTADOR–REMOVIDO (S.P.R.)
Este modelo considera as doenças nas quais os indivíduos são apenas portadores, ou
seja, não exibem seus sintomas apenas a transmite, como por exemplo, a tifo. Conforme
Boyce e DiPrima (2002), β é a taxa de remoção dos indivíduos portadores identificados e, S e
P, são respectivamente, o número de indivíduos suscetíveis e portadores na população,
conforme o modelo
PdtdP β−= . (11)
Essa equação pode ser facilmente resolvida separando as variáveis e considerado a
condição inicial 0P)0(P = . A forma mais detalhada da resolução analítica desta, pode ser
encontrada no Anexo B. A função que descreve a solução particular do modelo S.P.R, é
0t Pe)t(P β−= . (12)
Se for considerado que a doença se propague a uma taxa remoção α sendo esta
proporcional ao produto de S por P, a equação (11) pode ser reescrita da forma
SPdtdS α−= , (13)
agora, para que se possa utilizar o resultado da equação (12) para encontrar o valor de S em
qualquer instante de tempo t, a equação (13) pode ser reescrita como
0tPSe
dtdS β−α−= , (14)
que separando as variáveis S e t e utilizando como condição inicial ( ) 0S0S = , a resolução
desta equação pode ser facilmente encontrada pela separação das variáveis, sendo que a forma
mais detalhada da resolução se encontra no Anexo B. A função que descreve a solução do
modelo S.P.R é
22
Figura 7 −−−− Esquema S.P.R. com representação das taxa de remoção α e β
αSP
S P SP
β
βα−β−α
=0Pte.0P
0eS)t(S . (15)
A Figura 7 ilustra a situação apresentada anteriormente, onde os indivíduos portadores
e suscetíveis – portadores são removidos.
Para a solução numérica do modelo S.P.R, considerou-se o tempo adimensional igual
a dez e as condições iniciais, 0,1 para portadores e 0,9 para os suscetíveis, sendo as taxas α e
β, respectivamente, 1,1 e 1,05. As equações aproximadas usadas para a recursividade foram
kk1k PtPP β∆−=+ , (16)
1kkk1k PStSS ++ α∆−= , (17)
sendo t∆ o espaçamento temporal.
A Figura 8 compara a solução analítica dos indivíduos suscetíveis e portadores, obtida
após 10.000 iterações sendo o erro absoluto para S igual -6109.9853 ⋅ e para P igual a
-5101.1714 ⋅ . Note que as soluções representam comportamentos diferentes, pois, para o valor
dado inicialmente de 9,0 da população de suscetíveis, no tempo aproximando-se de vinte,
decai para quase 8,0 da população. Ao decair o número de suscetíveis, pode-se constatar que
decai também o número de indivíduos portadores. Analisando a população inicial de 1,0 , de
portadores, ainda na Figura 8, pode-se perceber facilmente, que o número de portadores tende
para zero, ou seja, não haverá mais a epidemia tendo em vista as taxas de remoções α e β.
23
Deve-se considerar que, os indivíduos suscetíveis que interagem com os portadores e
o próprio grupo dos portadores, ao serem identificados, são removidos, pertencendo a outro
grupo, dos doentes, por exemplo. Portanto, para a situação considerada, a epidemia, conforme
na Figura 8, os portadores estão se aproximando de zero, hora, se caso não considerarmos as
taxas de remoções α e β, o comportamento deverá ser diferente, pois haverá um aumento de
pessoas portadoras e um decréscimo no número de pessoas suscetíveis, assim, a epidemia
deverá se estabilizar num tempo adimensional maior que vinte.
Na Figura 9, compara-se a solução numérica, obtida após 8.022 iterações e erro
absoluto igual a 12109822,9 −⋅ , com a solução analítica dada pela equação (12) para
indivíduos portadores.
Figura 8 −−−− Comparativo entre as soluções numérica de suscetíveis para os portadores após 10.000 iterações
t
Figura 9 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica dos portadores após 8.022 iterações
t
24
Na Figura 10, compara-se a solução numérica obtida após 9.048 iterações e erro
absoluto igual -1310 9,9942. , com a solução analítica dada pela equação (15) para indivíduos
infectados. Note que, nas Figuras 9 e 10, as soluções analítica e numérica são próximas para
ambos os casos, tornando a simulação satisfatória.
Ainda, analiticamente, pode-se encontrar a proporção da população que escapa da
epidemia, encontrando o valor de S, ao fazer o limite da equação (15) quando t→∝ obtendo,
( ) βα−
βα−β−α
→∝→∝==
0P
0
0Pte.0P
0tt
e.Se.SlimtPlim . (18)
Assim para os valores considerados: α igual a 1,1, β igual a 1,05, S0 igual a 0,9 e P0
igual a 0,1, tem-se que os indivíduos suscetíveis que escapam da epidemia é igual a
0,81048502, de 1 inteiro da população. Note que este valor é muito próximo do obtido pela
simulação numérica apresentado pela Figuras 8 e 10.
Figura 10 −−−− Comparativo entre as soluções analítica e numérica dos suscetíveis após 9.048 iterações
t
25
Figura 11 −−−− Esquema S.I.S. com as taxas de transmissão e recuperação
αSI
βI S I
5.3 MODELO SUSCETÍVEL – INFECTADO – SUSCETÍVEL (S.I.S.)
O modelo S.I.S. considera indivíduos que num primeiro momento são suscetíveis à
doença e ao entrar em contato com a mesma, passam a ser infectados, estes por sua vez, ao
recuperar-se, não obtém nenhuma imunidade, podendo ter uma recaída e tornando-se
suscetível novamente. O modelo considera que o período de incubação da doença é
relativamente pequeno (P ≅ 0) e as pessoas não são isoladas (R = 0).
Inicialmente, considerou-se para este modelo, as hipóteses de que a população seja
constante, não havendo mortes e nem nascimentos. Após, considera-se as taxas de natalidade
e mortalidade, ou seja, população variável.
5.3.1 Modelo S.I.S. −−−− População Constante
Admitindo que a população N seja constante, conforme Bassanezi e Ferreira Jr.
(1988), α e β são, respectivamente, constantes de proporcionalidade de transmissão e de
recuperação da doença, com I a quantidade de indivíduos infectados e S a quantidade de
indivíduos suscetíveis, então
ISN += . (19)
O modelo com população constante considera que uma pessoa sadia é infectada
(agindo a constante de proporcionalidade de transmissão da doença, α) e posteriormente é
recuperada (agindo a constante de proporcionalidade de recuperação, β), tal situação pode ser
esquematizada através do ciclo da doença representado pela Figura 11.
26
αβ
αβ−N
S
I
Figura 12 −−−− Campo de direções, ponto de equilíbrio assintoticamente estável
Conforme a Figura 11, observe que, para obter a taxa de variação das pessoas sadias,
os indivíduos que estão passando de sadios para infectados devem ser subtraídos (−αSI) e os
indivíduos recuperados, que passam a pertencer ao grupo dos suscetíveis, devem ser
adicionados (+βI). Já para obter a taxa de variação de pessoas infectadas, os indivíduos que
são infectados devem ser adicionados (+αSI) e os recuperados, que agora pertencem ao grupo
dos suscetíveis, devem ser subtraídos (−βI). Dessa forma, formula-se o seguinte modelo
matemático para a população constante, dado pelo sistema de equações (20).
���
��
β−α=
β+α−=
ISIdtdI
ISIdtdS
. (20)
Conforme o modelo, pode-se notar que
��
���
�
αβ−α==− SI
dtdI
dtdS
, (21)
cujos pontos críticos são: ( ) ( )αβ−αβ= N,I ,S e 0) (N, I) (S, = . O primeiro ponto crítico,
representado pela Figura 12, considera que se S é igual a αβ , implica que, da equação (19), I
é igual a αβ−N . Neste ponto a epidemia manterá num nível constante na população
(BASSANEZI e FERREIRA Jr., 1988). O outro ponto crítico acontece quando o número de
infectados for zero ( 0I = ), o que implica que a população é igual aos suscetíveis ( NS = ),
também pela equação (19). Mas para este último ponto crítico não haverá epidemia, pois
0dtdS = e 0dtdI = .
27
Usando a condição (19) e substituindo o valor de S na segunda equação do sistema
(20) a taxa de infectados passa a ser
( ) IIINdtdI β−−α= , (22)
que pode ser reescrita como:
( ) α−=β−α− 2' INII , (23)
sendo 0I ≠ e αβ−≠ NI . A equação (23) pode ser facilmente resolvida já que é uma
Equação do tipo Bernoulli, sendo sua resolução mais detalhada apresentada no Anexo C. A
solução para a condição inicial, I(0) = I0, é
( ) ( )tN
0e
I1
N
N)t(I
β−α−��
��
�α−β−α+α
β−α= . (24)
Para que se possa saber, o valor máximo ou mínimo dos infectados será considerado o
critério da derivada de segunda ordem. Desta maneira, considerando o ponto crítico
αβ−= NI na derivada de segunda ordem para a equação (22), obtém-se que
0NN2Ndt
Id2
2<β+α−=�
�
���
�
αβ−α−β−α= , (17)
Note que, o último termo é menor que zero porque N é maior que o quociente de β por α. O
que caracteriza um ponto de máximo valor para os infectados.
Considerando a primeira equação do sistema (21), com SNI −= , para a análise do
número de pessoas sadias, obtém-se a equação
( )( )S-NS-dtdS β+α= . (26)
A equação pode ser facilmente resolvida, também por separação de variáveis,
resolvendo a integral obtida por soma de frações parciais. A resolução detalhada dessa
equação é apresentada no Anexo C. A solução particular para a condição inicial, ( ) 0S0S = é
28
( )
( )tN
0
0
tN
0
0
eNSS
NeNSS
)t(Sα−β
α−β
���
����
�
−α+β−
+α−
β−���
����
�
−α+β−
= . (27)
Salienta-se que o limite para o número de suscetíveis, também, é igual a αβ−N , pois
o processo epidêmico tende estabilizar, não havendo mais a propagação da doença, isso pode
ser verificado pelas soluções apresentadas na Figura 13, que compara as soluções numérica e
analítica, dos indivíduos suscetíveis e infectados, obtidas após 71 iterações e com erro
absoluto igual a -4101,8269 ⋅ .
5.3.2 Modelo S.I.S. −−−− População Variável
Admitindo, agora, que a população N seja variável, havendo as taxas de natalidade γ e
mortalidade η , sendo os nascidos saudáveis, e ainda, conforme Bassanezi e Ferreira Jr.
(1988), α e β são respectivamente, constantes de proporcionalidade de transmissão e de
recuperação da doença.
Da mesma maneira que o modelo anterior o modelo com população variável considera
que uma pessoa sadia é infectada e posteriormente é recuperada, para ambos os grupos, sadios
e infectados, a taxa de mortalidade é considerada. Os nascidos dessa população são
Figura 13 −−−− Gráfico comparativo das soluções numérica e analítica para o modelo S.I.S.
t
29
Figura 14 −−−− Esquema S.I.S. com as taxas de transmissão, recuperação, natalidade e mortalidade
αSI
βI S I
Nascidos
Nγ
Iη Sη
considerados sadios e passando ser suscetíveis a doença. As situações descritas podem ser
esquematizadas através do ciclo da doença ilustrado pela Figura 14.
Conforme o diagrama, observe que, para obter a taxa de variação das pessoas sadias,
os indivíduos que estão passando de sadios para infectados devem ser subtraídos (−αSI), os
indivíduos recuperados e os bebês, passam a pertencer ao grupo dos suscetíveis, devem ser
adicionados (+βI+γN). E, ainda, descontar do número de indivíduos suscetíveis os que
morrem (ηS). Já para obter a taxa de variação de pessoas infectadas, os indivíduos que são
infectados devem ser adicionados (+αSI), os recuperados (que agora pertencem ao grupo dos
suscetíveis) e os que morrem, devem ser subtraídos (−βI−ηI). Dessa forma, formula-se o
seguinte modelo matemático para população variável, dado pelo sistema de equações (28).
���
��
η−β−α=
η−γ+β+α−=
IISIdtdI
SNISIdtdS
(28)
Considerando a não linearidade da equação, e possivelmente a complexidade de
resolução pelo processo analítico, optou-se nesse trabalho, pelo processo numérico, fazendo
simulações a partir das variáveis consideradas para situações que ocorrem quando há um
processo epidêmico em uma determinada comunidade.
30
A primeira simulação com população variável, parte da situação em que, uma doença
que seja letal, não possui taxa de recuperação (β=0), mas sim uma taxa de transmissão muito
alta (α=0,8), com taxas de mortalidade e natalidade consideradas, respectivamente, γ=0,8 e
η=0,2. Essa situação é ilustrada na Figura 15. Note que, como não há taxa de recuperação, os
suscetíveis são infectados e morrem, como por exemplo, no caso de uma doença causada pela
exposição de uma população a uma arma química.
Na Figura 16, considera-se iguais às taxas de natalidade e de recuperação da primeira
simulação, mas com taxa de transmissão menor (α=0,3) e com taxa de mortalidade, γ, igual a
0,3. Neste caso, o número de indivíduos que são suscetíveis decai para aproximadamente
0,65, pois são infectados a uma taxa de transmissão baixa se comparada a situação anterior,
fazendo com que, a um certo tempo não tenha mais indivíduos infectados, ou seja, a epidemia
cessará.
Figura 15 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,8, β=0, γ=0,8 e η=0,2.
t
Figura 16 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,3, β=0, γ=0,3 e η=0,2
t
31
A terceira simulação considera uma epidemia branda (não letal), com taxas: 0,8 para a
taxa de transmissão, 0,7 para a taxa de recuperação, 0,2 para a taxa de natalidade e 0,1 para a
taxa de mortalidade. Na Figura 17, percebe-se que como a taxa de natalidade é maior que a de
mortalidade, num primeiro momento o grupo dos suscetíveis teve um acréscimo, após, por
haver uma taxa de transmissão um pouco maior, os suscetíveis passam a ser infectados, ou
seja, no tempo adimensional 50, quase toda a população será infectada.
Na Figura 18, considera-se para simulação numérica, iguais a taxa de natalidade e
mortalidade da terceira simulação, para uma epidemia branda, sendo as taxas de transmissão e
de recuperação, respectivamente, 0,3 e 0,2. Diferente da Figura 17, que também considera
uma epidemia branda, num primeiro momento, pelo fato de existir uma taxa de natalidade,
aumenta o número de suscetíveis, mas, mesmo sendo pequena a taxa de transmissão, esta
influencia no número de suscetíveis, tornando uma parcela, infectados, mas se estabilizando
em, aproximadamente, 1,2 para os suscetíveis e, aproximadamente, 0,8 para os infectados.
Figura 17 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,8, β=0,7, γ=0,2 e η=0,1
t
32
Na última simulação, considerou-se o caso em que uma população estivesse
envelhecendo, dessa forma, considerou-se as taxas de transmissão, recuperação, natalidade e
mortalidade, respectivamente, 0,1, 0,05, 0,3 e 0,1. Na Figura 19, pode-se perceber que houve
um aumento no número de pessoas suscetíveis, ou seja, houve um aumentou significativo da
população, pelo fato da taxa de natalidade ser maior que as taxas de transmissão e de
mortalidade, mas a epidemia tende a estabilizar em 1,5.
Figura 18 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,3, β=0,2, γ=0,2 e η=0,1
t
Figura 19 −−−− Simulação numérica para indivíduos suscetíveis e infectados, com α=0,1, β=0,05, γ=0,3 e η=0,1
t
33
De maneira geral, para todas as situações simuladas numericamente apresentadas nesta
seção, o número de iterações ficou em torno de 10.000 e os erros na ordem de 710− . Salienta-
se que, todas as simulações feitas são baseadas em suposições, justificando possivelmente a
incompatibilidade com situações reais de epidemia.
34
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
A ciência tem sido desafiada ao longo dos séculos a encontrar formas adequadas de
controle de doenças infecto-contagiosas. Neste contexto, a epidemiologia tem um papel
fundamental, ao prover estudos e métodos de controle cada vez mais adequados, no sentido de
impedir que ocorram agravos à saúde da população. Para que isso seja possível, é necessário
que a epidemiologia fundamente-se em hipóteses matemáticas para a formulação de modelos
que sejam capazes de quantificar alguns aspectos do fenômeno biológico.
Neste trabalho, foi estudado alguns modelos do tipo S.I., S.I.S. e S.P.R. relacionados à
epidemiologia, procurando resolvê-los numericamente e analiticamente, afim de analisar
situações hipotéticas de doenças transmissíveis. Usou-se para a resolução numérica as
técnicas de diferenças-finitas e o método de Runge-Kutta de primeira ordem (método de
Euler). Tais técnicas foram de fácil implementação e apresentaram convergência rápida e boas
soluções, algumas dessas soluções foram comparadas com as soluções analíticas de forma
satisfatória, o que validou as rotinas desenvolvidas no software MATLAB.
Nos modelo Suscetível-Infectado (S.I.) e Suscetível-Portador-Infectado (S.P.R.), as
soluções numéricas foram comparadas satisfatoriamente com as soluções analíticas clássicas,
apresentadas pelo Boice e DiPrima (2002). O modelo Suscetível-Infectado-Suscetível (S.I.S.),
com população constante, também foi obtida uma boa aproximação entre a solução numérica
e analítica. Mas, esses modelos não consideram as taxas de natalidade e mortalidade, por isso
fez-se a escolha do modelo S.I.S. com população variável apresentado por Bassanezi e
Ferreira (1988). Contudo, para este último modelo, não foi possível fazer o comparativo da
solução numérica com a analítica, devido à complexidade das equações. Assim, optou-se por
apenas pela resolução numérica, fazendo algumas conjecturas a partir da situação modelada
baseado na análise de diferentes representações gráficas.
Destaca-se que os modelos estudados são simplistas e de pouca validade prática, pois
não consideram todas as variáveis envolvidas numa epidemia, sendo estas importantes na
obtenção de resultados mais realísticos. Entretanto, os modelos S.I., S.I.S. e S.P.R. servem de
parâmetro, para demonstrar como um modelo epidemiológico é formulado e a partir do
35
Figura 20 – Esquema do fluxo de indivíduos entre os quatro compartimentos não interceptantes Fonte: Yang (2001a, p.37)
mesmo, fazer simulações e análises. Nesse sentido, deve-se salientar o quão são importantes
os procedimentos matemáticos numéricos desenvolvidos computacionalmente, contribuindo
para o fortalecimento da biomatemática aliada a epidemiologia, medicina, entre outras
ciências.
Assim, com este trabalho, e as atividades nele desenvolvidas, contribuíram na minha
formação acadêmica, tornando o interesse pela biomatemática, já existente, mais acentuada. À
nível de uma pós-graduação, objetiva-se estudar novos modelos, como por exemplo, o
proposto por YANG (2001a), que considera, conforme o esquema da Figura 20, todas as
variáveis envolvidas quando se tem numa epidemia mais realística, sendo µ a taxa de
mortalidade, )a,t(λ uma função relacionada a força de infecção dependente das variáveis
temporal e idade (a), σ a taxa de incubação, γ a taxa de recuperação, π a taxa de perda de
imunidade e ( )a,tν uma função relacionada a vacinação em função do tempo e da idade. As
funções )a,t(H , )a,t(Y , )a,t(Z e )a,t(X , são respectivamente, os indivíduos expostos,
infectados, recuperados e suscetíveis.
36
O sistema de equações proposto por Yang (2001a), que segundo ele são encontradas
com a nomenclatura Suscetível-Exposto-Infectado-Recuperado (S.E.I.R.), que modelam o
esquema apresentado pela Figura 20, são:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a,tHa,tYa,tXa,ta,tZa
a,tZt
a,tYa,tHa,tYa
a,tYt
a,tHa,tXa,ta,tHa
a,tHt
a,tZa,tXa,ta,ta,tXa
a,tXt
µ+π−γ+ν=∂∂+
∂∂
µ+γ−σ=∂∂+
∂∂
µ+σ−λ=∂∂+
∂∂
π+µ+λ+ν−=∂∂+
∂∂
(29)
Sendo a população total dada pela soma de todos os grupos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )a,tZa,tYa,tHa,tXa,tN +++= . (30)
E, sua taxa de variação dada pela equação
( ) ( ) ( )a,tNa,tNa
a,tNt
µ−=∂∂+
∂∂
. (31)
Note que essas equações diferenciais são parciais, sendo as mesmas mais complexas
que as apresentadas neste trabalho. Assim, provavelmente o modelo proposto por Yang
(2001a), não possua soluções analíticas, sendo necessário fazer uso de outras técnicas
numéricas para a obtenção de soluções numéricas.
37
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BASSANEZI, Rodney C. Ensino aprendizagem com modelagem matemática. São Paulo: Contexto, 2002
BASSANEZI, Rodney C.; FERREIRA Jr., Wilson C. Equações diferenciais com aplicações. São Paulo: Harbra, 1988
BEAGLEHOLE, R.; BONITA, R. KJELLSTRÖM, T. Epidemiologia básica. São Paulo: Editora Santos, 2001.
BELLUSCI, Silvia M. Epidemiologia. São Paulo: Senac, 1995.
BOICE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos – LTC, 2002.
CUNHA, Cristina. Métodos numéricos. São Paulo: Editora da Unicamp, 2000.
De BORTOLI, Á.L.; Introdução à Dinâmica de Fluidos Computacional. Porto Alegre: Editora da UFRGS, 1999.
FILHO, Claudia Bertolli. História da saúde pública no Brasil. São Paulo: Ática, 2004.
MALISKA, C. R.; Transferência de Calor e Mecânica dos Fluidos Computacional. 2 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos – LTC, 2004.
PEREIRA, Maurício Gomes. Epidemiologia: teoria e prática. Rio de Janeiro: Guanabara Koogon S. A., 1995.
ROUQUAYROL, Maria Zélia; ALMEIDA, Naomar. Epidemiologia e saúde. Rio de Janeiro: Medsi, 1999.
RUGGIERO, Márcia A. G.; LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2 ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996.
38
SPERANDIO, D.; MENDES, João T.; SILVA, Luiz M. Cálculo numérico: característica matemáticas. São Paulo: Prentice Hall, 2003.
YANG, Hyun Mo. Epidemiologia matemática: estudo dos efeitos da vacinação em doenças de transmissão direta. São Paulo: Editora da Unicamp, 2001a.
YANG, Hyun Mo. Como os modelos matemática podem ser aplicáveis em epidemiologia. Tendência em Matemática Aplicada e Computacional. São Paulo, n.2, 2001b. Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/>, Acesso em:29 de maio 2008.
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações diferenciais. v. 2. 3.ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2001.
39
ANEXOS
40
APÊNDICE A – RESOLUÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA DO MODELO
SUSCETÍVEL – INFECTADO (S.I.)
41
RESOLUÇÃO ANALÍTICA DO MODELO S.I.
( )I1IdtdI −α=
( ) �� α=−
dtI1I
dI
Por soma de frações parciais
( ) ( )I1IBIIAA
I1B
IA
I1I1
−+−=
−+=
−
( ) ( )I1IBIIAA
I1II01
−+−=
−⋅+
�
==+−
1A 0BA
1B 0B1-
==+
Assim, ( ) �� α=−
dtI1I
dI = � �α=
−+ dtdI
I1B
IA
( ) CtI1lnIln +α=−−
CtI1
Iln +α=�
�
���
�
−
CtI1I
lnee +α
��
���
�
− =
C.eI1
I tα=−
C.IeC.eI tt αα −=
C.eC.IeI tt αα =+
C.e1
C.e)t(I
t
t
α
α
+=
Sendo ( ) 0I0I = , tem-se que: 0
0I1
IC
−= .
Dessa forma, a solução particular igual a ( ) 00
t0
II1e
I)t(I
+−=
α−.
42
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO MODELO S.I.
A rotina foi desenvolvida usando o software MATLAB, salienta-se que a numeração a
esquerda não faz parte da rotina, apenas serve de orientação aos leitores.
function SI(n,p)
1. % n : numero de iterações 2. % p : precisao (tolerancia para o erro) 3. % a (alpha) : fator de proporcionalidade positiva 4. % y : individuos infectados 5. % x : individuos sucetiveis 6. % x+y=1 7. % dt : espacamento temporal 8. 9. a=1.1; 10. tempo=10; 11. dt=tempo/n; 12. y(1)=0.1; %numero de infectados no inicio da epidemia 13. 14. for i=1:(n-1) 15. y(i+1)=y(i)+dt*a*y(i)*(1-y(i)); 16. i,erro=abs(y(i+1)-y(i)) 17. if erro<p 18. t=linspace(0,tempo,i+1); 19. for j=1:(i+1) 20. SA(j)=y(1)/(exp(-a*t(j))*(1-y(1))+y(1)); 21. end 22. plot(t,y,'b:',t,SA,'r-') 23. break 24. end 25. end 26. t=linspace(0,tempo,i+1); 27. for j=1:(i+1) 28. SA(j)=y(1)/(exp(-a*t(j))*(1-y(1))+y(1)); 29. end 30. plot(t,y,'k:',t,SA,'k-')
43
APÊNDICE B – RESOLUÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA DO MODELO
SUSCETÍVEL – PORTADOR – REMOVIDO (S.P.R.)
44
RESOLUÇÃO ANALÍTICA DO MODELO S.P.R.
Em relação aos portadores:
PdtdP β−=
dtP
dP�� β−=
CtPln +β−=
CtPln ee +β−=
Ce)t(P tβ−=
Sendo ( ) 0P0P = , tem-se que 0PC = e a solução particular fica 0t Pe)t(P β−= .
Em relação aos suscetíveis:
Considerando 0t PeP β−= na equação SP
dtdS α−= obtém-se que
0t PSe
dtdS β−α−=
��β−α−= dteP
SdS t
0
CeP
Slnt
0 +β
α−=
β−
Cee
te0PSln += β
β−α−
Ce)t(S
te0Pβ
β−α−
=
Sendo ( ) 0S0S = , tem-se
βα=
0
0y
xC , donde a solução particular para os suscetíveis é
βα−β−α
=0Pte0P
0 e.S)t(S .
45
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO MODELO S.P.R.
Nesta rotina, também desenvolvida usando o software MATLAB, as linhas de 21 a 31
referem-se à solução para os indivíduos portadores (representado por y), as linhas de 33 a 43
referem-se à solução para os indivíduos suscetíveis (representado por x) e as linhas de 45 à 53
a construção para a representação gráfica dos suscetíveis e portadores. Quando se desejava,
por exemplo, a representação da solução gráfica dos suscetíveis, apagava-se o comando “%”,
que indica comentário no software MATLAB, nas linhas de 33 a 43, e acrescentava o “%” nas
linhas de 21 a 31.
function SPR(n,p)
1. % n : numero de iterações 2. % p : precisao (tolerancia para o erro) 3. % a (alpha) : taxa de propagação 4. % b (beta) : taxa de remocao dos portadores 5. % y : individuos portadores 6. % x : individuos suscetiveis 7. % x+y=1 8. % dt : espacamento temporal 9. 10. a=1.1; 11. b=1.05; 12. tempo=20; 13. dt=tempo/n; 14. y(1)=0.1; %percentual de portadores 15. x(1)=1-y(1); %percentual de sucetiveis 16. 17. for i=1:(n-1) 18. y(i+1)=y(i)-dt*b*y(i); 19. x(i+1)=x(i)-dt*a*x(i)*y(i+1); 20. 21. %Solucao para y 22. i 23. erroy=abs(y(i+1)-y(i)) 24. if erroy<p 25. t=linspace(0,tempo,i+1); 26. for j=1:(i+1) 27. SA_y(j)=y(1)*exp(-b*t(j)); 28. end 29. plot(t,y,'k:',t,SA_y,'k-') 30. break 31. end
46
32. 33. %Solucao para x 34. %i 35. %errox=abs(x(i+1)-x(i)) 36. %if errox<p 37. % t=linspace(0,tempo,i+1); 38. % for j=1:(i+1) 39. % SA_x(j)=x(1)*exp((a*y(1)/b)*(exp(-b*t(j))-1)); 40. % end 41. % plot(t,x,'k:',t,SA_x,'k-') 42. % break 43. %end 44. 45. %Solucao para ambos Suscetiveis e Portadores 46. %i 47. %errox=abs(x(i+1)-x(i)) 48. %erroy=abs(y(i+1)-y(i)) 49. %if (errox<p)|(erroy<p) 50. % t=linspace(0,tempo,i+1); 51. % plot(t,x,'k:',t,y,'k-') 52. % break 53. %end 54. end
47
APÊNDICE C – RESOLUÇÃO ANALÍTICA E NUMÉRICA MODELO
SUSCETÍVEL – INFECTADO – SUSCETÍVEL (S.I.S.) COM POPULAÇÃO
CONSTANTE
48
RESOLUÇÃO ANALÍTICA DO MODELO S.I.S. COM POPULAÇÃO CONSTANTE
���
��
β−α=
β+α−=
ISIdtdI
ISIdtdS
Analise de pessoas infectadas:
Se 00 ISN += substituindo o valor de S em ISIdtdI β−α= , temos
( ) IIINdtdI β−−α=
��
��
� −��
���
�
αβ−α=
��
��
�
αβ−−α=
INII
INIdtdI
'
α−β−α= 2' IINII
( ) α−=β−α− 2' INII
A equação é do tipo Bernoulli, podendo ser resolvida, de tal forma que se encontre I(t) = u.v:
( ) α−=β−α− 2' INII
( ) ( )2uvNuv'uvv'u α−=β−α−+
( ) 22'' vuvuvNvvu α−=+β+α−
Primeiramente considera-se
( )β+α− vNvv '
β+α= vNvdtdv
( )�� β−α= dtNv
dv
( )tNvln β−α=
49
( )tNev β−α=
Em seguida
22' vuvu α−=
( ) ( )( )t2N2tN euedtdu β−αβ−α α−=
( )�� ��� ��
*
tN2 dteduu ��β−α− α−=
( )�� ��� ��
*
tN dte�β−αα− =
( )tNu β−α=
dtduN
1 α−=
αβ−
− ( ) Ce
N1
dueN
1 tNu +
αβ−α
−=
αβ−
− β−α�
Assim ( )� �
β−α− α−= dteduu tN2 é
( ) CeNu
1 tN +β−α
α−=− β−α
( )
u
NCe
11
N
=
β−α+α−
−
β−α
( ) Ce
Nu
N +αβ−α= β−α
Dessa forma tem-se que I(t) = u.v vai ser igual a
( )( )
2tN
tN
Ce
Ne)t(I
+αβ−α= β−α
β−α
50
Considerando que I(0) = I0 tem-se:
( )( )
2tN
tN
Ce
Ne)t(I
+αβ−α= β−α
β−α
Ce
-Ne)0(I
00
+αβα=
CN
I0 +αβ−α=
0IN
Cβ−α=
Assim, como a solução geral pode ser reescrita como
( ) ( )tN
0e
I1
N
N)t(I
β−α−��
��
�α−β−α+α
β−α=
Analise de pessoas sadias:
Considera-se
ISI-dtdS β+α= , sendo I = N – S
( )( )S-NS-dtdS β+α=
Assim,
( )( )� �=β+α
dtdSS-NS-
1
Resolvendo por soma de frações parciais
( )( )S-NS-1β+α
= ( )( )S-NS-BSBASAN
SNB
SA
β+αβ+α−−=
−+
β+α−
( ) ANBBASS01 +β+α−−=+
51
�
=+βα=↔=α−−
1ANBB-A 0BA
Substituindo α= B-A na segunda equação do sistema acima
1NBB =α−β
N1
Bα−β
= logo N
Aα−βα−=
Dessa forma
( )( )� �=β+α
dtdSS-NS-
1 vai ser ( )( ) ( )( )� � �=
α−β+
β+α−α−βα−
dtdSS-NN
1dS
SN
( )( )
( )( )� � �=
α−β−+
α−ββ+α−α−
−−dtdS
NSN
dSN
S 11
Cuja solução geral é:
( )( )
( )( ) Ct
NSNln
NSln +=
α−β−−
α−βα−β+α−α−
( ) ( ) 1CNttSNlnSln +α−β=−−β+α−
1CNttSN
Sln +α−β=�
�
���
�
−β+α−
Ntt2eC
SNS α−β=−
β+α−
( ) ( ) β−=+α− α−βα−β Ntt2
Ntt2 NeCeSCS
( )( )Ntt
2
Ntt2
eC
NeC)t(S α−β
α−β
+α−
β−=
Para esta equação, considera-se S(0) = S0, obtendo com solução particular
Se S(0) = S0
( )( )Ntt
2
Ntt2
eC
NeC)t(S α−β
α−β
+α−
β−=
02
02
eC
NeC)0(S
+α−
β−=
52
2
20 C
NCS
+α−β−
=
β−=+α− NCCSS 2200
NSS
C0
02 −
α+β−=
Logo
( )
( )tN
0
0
tN
0
0
eNSS
NeNSS
)t(Sα−β
α−β
���
����
�
−α+β−
+α−
β−���
����
�
−α+β−
=
53
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO MODELO S.I.S. COM POPULAÇÃO CONSTANTE
As linhas da rotina abaixo de 24 a 33 referem-se ao critério de parada do processo iterativo
pelos erros e em conseqüência a representação gráfica das soluções, caso a tolerância não
fosse atingida pelos erros então os comandos das linhas de 36 a 42 representariam as soluções
graficamente.
function SIS_C(n,p)
1. % n : numero de iterações 2. % p : precisao (tolerancia para o erro) 3. % a (alpha) : constante de proporcionalidade de transmissão 4. % b (beta) : constante de proporcionalidade de transmissão 5. % S : individuos suscetíveis 6. % I : individuos infectados 7. % N=S+I 8. % dt : espacamento temporal 9. 10. a=0.2; 11. b=0.1; 12. tempo=70; 13. dt=tempo/n; 14. I(1)=0.1; 15. S(1)=1-I(1); 16. N=I(1)+S(1); 17. 18. for i=1:(n-1) 19. S(i+1)=S(i)+dt*(-a*S(i)*I(i)+b*I(i)); 20. I(i+1)=I(i)+dt*(a*S(i)*I(i)-b*I(i)); 21. i 22. erroI=abs(I(i+1)-I(i)) 23. erroS=abs(S(i+1)-S(i)) 24. if (erroS<p)|(erroS<p) 25. t=linspace(0,tempo,i+1); 26. for j=1:(i+1) 27. aux=(-b+a*S(1))/(S(1)-N); 28. SA_S(j)=(aux*N*exp((b-a*N)*t(j))-b)/(-a+aux*exp((b-a*N)*t(j))); 29. SA_I(j)=(a*N-b)/(a+((a*N-b)/I(1)-a)*exp(-(a*N-b)*t(j))); 30. end 31. plot(t,S,'k:',t,SA_S,'k-',t,I,'k:',t,SA_I,'k-') 32. break 33. end 34. end 35.
54
36. t=linspace(0,tempo,i+1); 37. for j=1:(i+1) 38. aux=(-b+a*S(1))/(S(1)-N); 39. SA_S(j)=(aux*N*exp((b-a*N)*t(j))-b)/(-a+aux*exp((b-a*N)*t(j))); 40. SA_I(j)=(a*N-b)/(a+((a*N-b)/I(1)-a)*exp(-(a*N-b)*t(j))); 41. end 42. plot(t,S,'k:',t,SA_S,'k-',t,I,'k:',t,SA_I,'k-')
55
APÊNDICE D – RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO MODELO SUSCETÍVEL –
INFECTADO – SUSCETÍVEL (SIS) COM POPULAÇÃO VARIÁVEL
56
RESOLUÇÃO NUMÉRICA DO MODELO S.I.S. COM POPULAÇÃO VARIÁVEL
Nesta rotina a representação gráfica das soluções numéricas para os suscetíveis (representado
aqui por S) e infectados (representado aqui por I), é obtida nas linhas 28 a 32 ou, quando a
tolerância para o erro não era atingida, nas linhas 35 e 36.
function SIS_V(n,p)
1. % n : numero de iterações 2. % p : precisao (tolerancia para o erro) 3. % a (alpha) : constante de proporcionalidade de transmissão 4. % b (beta) : constante de proporcionalidade de recuperação 5. % S : individuos suscetíveis 6. % I : individuos infectados 7. % N:S+I 8. % dt: espacamento temporal 9. % g: taxa de natalidade 10. % e: taxa de mortalidade 11. 12. a=0.8; 13. b=0.7; 14. g=0.2; 15. e=0.1; 16. tempo=500; 17. dt=tempo/n; 18. I(1)=0.1; 19. S(1)=1-I(1); 20. N=I(1)+S(1); 21. 22. for i=1:(n-1) 23. S(i+1)=S(i)+dt*(-a*S(i)*I(i)+b*I(i)+g*N-e*S(i)); 24. I(i+1)=I(i)+dt*(a*S(i)*I(i)-b*I(i)-e*I(i)); 25. i 26. erroI=abs(I(i+1)-I(i)) 27. erroS=abs(S(i+1)-S(i)) 28. if (erroI<p)|(erroI<p) 29. t=linspace(0,tempo,i+1); 30. plot(t,S,'k:',t,I,'k-') 31. break 32. end 33. end 34. 35. t=linspace(0,tempo,i+1); 36. plot(t,S,'k:',t,I,'k-')
