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PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
UNIDIMENSIONAIS POR
TRANSFORMADA INTEGRAL
GENERALIZADA UTILIZANDO A
TÉCNICA DE DOMÍNIO ENVOLVENTE
LEANDRO MARTINS DA SILVA
SETEMBRO DE 2010
LEANDRO MARTINS DA SILVA
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONAISPOR TRANSFORMADA INTEGRAL
GENERALIZADA UTILIZANDO A TÉCNICA DEDOMÍNIO ENVOLVENTE
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânicada UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção dotítulo de Mestre em Ciências em EngenhariaMecânica
Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
NITERÓI, SETEMBRO DE 2010
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONAISPOR TRANSFORMADA INTEGRAL
GENERALIZADA UTILIZANDO A TÉCNICA DEDOMÍNIO ENVOLVENTE
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:
Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
(Orientador)
Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Renato Machado Cotta (Ph.D.)Universidade Federal do Rio de Janeiro – COPPE/UFRJ
Agradecimentos
Gostaria primeiramente de agradecer ao professor Leandro Alcoforado Sphaier por ter
me aceitado como seu orientado, foram as suas recomendações, paciência e dedicação
que me guiaram ate esse ponto.
Gostaria também de agradecer a minha família, em especial a Marilu Martins
Machado, minha mãe, que cuidou e me educou de modo a que eu pudesse estar aqui
hoje. Não esquecendo, ainda, do suporte que me foi dado por ela todos os dias onde,
sem ele, seria impossível estar aqui.
Gostaria, ainda, de agradecer a Tuane da Silva Zardo, pessoa que tanto amo, que
compartilhou comigo todos esses dias, bons e ruins. Acredito que sem o seu apoio e
compreensão, não concluiria este trabalho.
Finalmente, gostaria de agradecer a Deus, por ter me dado esta oportunidade.
iv
Resumo
A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) é um método híbrido analítico-
numérico capaz de resolver uma variedade de problemas de equações diferenciais par-
ciais, e ao longo das últimas décadas se mostrou bastante efetiva para a solução de
diversos problemas de convecção-difusão. Apesar de grandes avanços no desenvolvi-
mento da GITT, a solução de problemas definidos em domínios móveis ainda é prob-
lemática. Atualmente, para lidar com essa classe de problemas, apenas o método da
tranformação integral generalizada onde o problema de autovalor é definido acom-
panhando o dóminio móvel é utilizado. Neste contexto, este trabalho utiliza uma
nova metodologia para abordar problemas em domínios móvel, denominada a Téc-
nica de Domínio Envolvente (TDE). Esta metodologia propõe utilizar uma base de
autofunções auxiliares definidas em um domínio regular fixo, que envolve o domínio
original para escrever a solução do problema estudado. Assim, com esta nova téc-
nica, todas as dificuldades inerentes ao domínio móvel são tratadas dentro da equação
diferencial e não no problema de autovalor. Apesar do potencial avanço associado
a esta nova metodologia, diversas complicações são geradas ao utilizar um problema
de autovalor em um domínio diferente do problema original. Desta forma, o objetivo
deste trabalho é de avaliar a aplicabilidade da TDE em um cenário mais simples, uni-
dimensional. Apesar de domínios móvel não aparecerem em problemas 1D, a TDE
pode ser utilizada para resolver problemas deste tipo para assim verificar inicialmente
se é viável a aplicação desta metodologia. Assim sendo, a solução de problemas de
autovalor unidimensionais e problemas de difusão unidimensionais incluindo proble-
mas em domínio em movimento, são formalmente apresentadas e problemas testes são
implementados e analisados de modo a demonstrar a aplicabilidade da TDE.
Palavras-chave: Transformação Integral, GITT, Domínio Móvel
v
Abstract
The Generalized Integral Transform Technique (GITT) is a hybrid analitical-numerical
method capable of solving a variety of partial differential equations problems, and dur-
ing the last few decades is has been show to be very effective for handling several
convection-diffusion problems. In spite of the advancements in the development of
the GITT, the solution of problems defined within moving boundaries is still problem-
atic. Currently, one main method is employed for tackling these type of problems:
Setting the eigenvalue problem to follow the moving domain. In this context, this
work employs a new methodology for handling problems in irregular domains, called
the Enclosing Domain Approach (EDA). This methodology proposes that an eigen-
function basis defined within a regular fixed domain that encloses the moving one
be used for the solution of the a given problem. As a result all difficulties inherent
to the moving domain are treated within the differential equation itself instead of in
the eigenvalue problem. Despite the potential advancements associated with this new
method, numerous complications are introduced while using an eigenvalue problem
defined within a domain that is different from the original one. Hence, the objective of
this study is to evaluate the applicability of the EDA within a simpler one-dimensional
scenario. Although moving domains are not in fact present in 1D problems, the EDA
can be applied for solving 1D problems in order to initially verify the suitability of
such methodology. Thus, the solution of one-dimensional eigenvalue problems and
diffusion problems, including problems within moving boundaries are formally pre-
sented, test-case problems are implemented and the obtained results are analyzed in
order to demonstrate the applicability of the EDA.
Key-words: Integral transform, Irregular Domains, Diffusion Problem
vi
Sumário
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Problemas de autovalor unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Problema de autovalor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Par de Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Transformação do problema original . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2.1 Simplificação da Matriz S . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. Problemas de difusão unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1 Problema de difusão unidimensional generalizado . . . . . . . . . . . . 18
3.2 Solução através da técnica de domínio envolvente . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Transformação do problema de difusão unidimensional gener-
alizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1.1 Simplificação da Matriz S . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Problema de autovalor unidimensional em domínio móvel . . . . . . . 28
4.1.1 Par de Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.1.2 Transformação do problema original . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Problema de difusão unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2.1 Solução tradicional por GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Solução através da Técnica de Domínio Envolvente . . . . . . . . . . . 34
vii
Sumário viii
4.3.1 Transformação do problema de difusão . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Problemas testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1 Solução de problemas de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.1.1 Definição do problema teste simplificado . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Solução de problemas de difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 Problema em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.2 Problema em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 Solução de problemas de autovalor em domínio móvel . . . . . . . . . 55
5.3.1 Definição do problema teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6. Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6.1 Problema de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.2 Problema de difusão em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Problema de difusão em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . 88
6.4 Problema de autovalor com domínio móvel . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A. Resultados do problema de autovalor unidimensional . . . . . . . . . . . 102
B. Resultados do problema de difusão unidimensional . . . . . . . . . . . . . 127
C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional . . . . . 150
Lista de Tabelas
6.1 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.4 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.5 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.6 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
6.7 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.8 Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.9 Erro para o caso 1 com a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.10 Erro para o caso 1 com a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.11 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.12 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 75
6.13 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 76
6.14 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
ix
Lista de Tabelas x
6.15 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.16 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.17 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.18 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 81
6.19 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 82
6.20 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para casos
3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.21 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.22 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.23 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.24 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.25 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, rb = 0.75 , t∗ = 1 e t∗ = 10−2 . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.26 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, rb = 0.75 e t∗ = 10−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.27 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, rb = 0.9 , t∗ = 1 e t∗ = 10−2 . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.28 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, rb = 0.9 e t∗ = 10−4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Lista de Tabelas xi
6.29 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = t , b(t ) = 1/2+ t e t = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.30 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A.1 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.3 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.4 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.5 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.6 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.7 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.8 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.9 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.10 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.11 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.12 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Lista de Tabelas xii
A.13 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.14 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.15 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.16 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.17 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.18 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.19 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.20 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.21 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.22 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.23 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.24 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.1 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 128
B.2 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 129
Lista de Tabelas xiii
B.3 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B.4 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.5 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B.6 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 133
B.7 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 134
B.8 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para casos
3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.9 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B.10 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B.11 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . 138
B.12 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 139
B.13 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 140
B.14 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.15 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.16 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Lista de Tabelas xiv
B.17 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.18 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 145
B.19 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os ca-
sos 1 e 2 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 146
B.20 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para casos
3 com x=0.5, t∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.21 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−2, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
B.22 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t∗ = 10−4, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C.1 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = t , b(t ) = 1/2+ t e t = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
C.2 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Nomenclatura
f (x) Função da condição inicial
T n(t ) Potencial Transformado
Pn(t ) Função termo independente
B, B∗ operador de condição de contorno
a, b contorno no problema original
d parametros do problema de autovalor
k Coeficiente do termo difusivo
N norma das autofunções
J0 Função de Bessel de ordem zero do 1º tipo
Vetores e tensores
Ai , j Matriz coeficientes
Bi , j Matriz coeficientes
Di , j Matriz coeficientes
Si , j Matriz coeficientes
Símbolos Gregos
α∗, β∗ parâmetros da condição de contorno
α, β parâmetros da condição de contorno
δi , j delta de Kronecker
Ψn autofunção original
Ωi autofunção auxiliar
µn autovalores do problema original
γi autovalores do problema auxiliar
ϕ(t ) Parâmetros do problema de difusão generalizado
σ(t ) Parâmetros do problema de difusão generalizado
xv
Nomenclatura xvi
Ω∗i (x) Autofunção auxiliar normalizada
w(x) Função peso
φ(x) Função da condição de contorno
Ψe (x) Autofunção original extendida
Capítulo 1
Introdução
No decorrer dos anos, a solução de problemas de difusão lineares ou não lineares
definidos em domínios regulares ou irregulares vem sendo obtida por meio de métodos
puramente numéricos, que estão se mostrando eficientes e flexíveis ao lidar com esses
tipos de problemas. Paralelamente a isso, um número crescente de esquemas de cont-
role de erro tem sido propostos e testados a fim de aprimorar a exatidão das soluções
para esses métodos. Mesmo assim, quando consideradas as aplicações multidimen-
sionais através de problemas definidos ou não em domínios irregulares, o controle de
erro global automático e as estimativas de erro dentro dos esquemas propostos apresen-
tam sérias dificuldades, que são inerentes a natureza discreta destes tipos de métodos.
No outro extremo, encontra-se a solução de casos simples de problemas de difusão
que é obtida pelos métodos analíticos, que proporcionam soluções melhores e mais
rápidas do ponto de vista computacional.
Neste contexto, diferentes metodologias vêm sendo propostas, que tentam combi-
nar a exatidão dos métodos analíticos com a flexibilidade dos métodos numéricos. Tais
estratégias são chamadas de métodos híbridos, devido sua natureza analítica e solução
numérica.
Neste sentido a Técnica da Transformação Integral Generalizada (GITT1) [1–3] foi
apresentada. Essa técnica, que é uma extensão natural da técnica da transformada inte-
1 A abreviação vem do inglês Generalized Integral Transform Technique
1
1. Introdução 2
gral clássica (CITT 2) [4], é baseada na expansão do potencial estudado em termos de
autofunções ortogonais. Assim, a solução é obtida pela transformação integral de todas
as variáveis independentes menos uma, reduzindo então, a equação diferencial parcial
em um sistema de equações diferenciais ordinárias, que é resolvido numericamente e,
em alguns casos, analiticamente.
Dentre as aplicações bem sucedias do GITT podem ser citados: o trabalho de
Guerrero e Cotta [5], que apresentou a solução e resultados para a validação de prob-
lemas bi-dimensionais de escoamento em regime permanente descritos pela equação
de Navier-Stokes utilizando uma formulação com funções de corrente; o trabalho de
Guerrero e Cotta [6], que apresentou a formulação e a solução de problemas de escoa-
mento turbulento em canais de paredes paralelas; o trabalho de Pereira et al. [7], que
apresentou a formulação e solução de problemas de escoamento turbulento em canais
de geometria cilíndrica; e o trabalho de da Silva J. S. Guerrero et al. [8] que apresen-
tou a formulação e solução de problemas de escoamento de fluidos incompreensíveis
em placas paralelas e comparou a convergência da solução para o método híbrido e o
método numérico das diferenças finitas.
Ainda no campo de escoamento de fluidos, o trabalho de Maia et al. [9] apresentou
a solução dos potenciais de temperatura em um escoamento de um fluido não newto-
niano utilizando o modelo de Power-Law em um duto de perfil de área elíptica. En-
tretanto, para contornar a dificuldade de se lidar com o domínio elíptico, foi proposto
uma mudança de variáveis para tornar o problema cartesiano. Já o trabalho de Ribeiro
et al. [10] apresentou o estudo de escoamento de fluidos não newtonianos sujeitos a
reações químicas dentro de placas paralelas.
No trabalho de Liu et al. [11], o problema de difusão unidimensional em meios
porosos heterogêneos contendo termos de absorção e decaimento lineares ou não lin-
eares foi estudado. Os autores demonstraram que, para o problema selecionado, a
solução obtida é analítica, quando considerados somente os termos lineares. Uma vez
considerados os termos não lineares a solução passa a ser híbrida, com a solução da
2 A abreviação vem do inglês Classical Integral Transform Technique
1. Introdução 3
variável temporal obtida numericamente. A solução numérica foi, então, comparada
quanto aos tipos de termos não lineares e pelo tempo necessário para obter a solução.
Portanto, inúmeras outras aplicações podem ser citadas, como o estudo de disper-
são de poluentes na atmosfera [12], onde um modelo advectivo e difusivo bidimen-
sional transiente que descreve a dispersão de poluentes na atmosfera é apresentado,
o estudo do transporte de contaminantes dentro de mídias porosas heterogênias [13],
onde um modelo advectivo com dispersão e coeficientes de transporte dependentes da
posição é apresentado, etc.
Alguns estudos foram elaborados, também, no campo de domínios infinitos como
o demonstrado em de Almeida et al. [12]. Neste trabalho, o problema de difusão com
efeitos convectivos definidos em domínios semi-infinitos foi estudado, sendo que duas
metodologias de solução foram propostas: A primeira definiu o problema de autovalor
associado à transformação integral em um domínio finito de tamanho ε, truncando,
portanto, o domínio semi-infinito. Já a segunda metodologia utilizou uma função de
mapeamento de modo a transformar o domínio infinito em um domínio finito definido
em uma nova variável. Deste modo, ambos os métodos foram aplicados com sucesso,
demonstrando assim a flexibilidade do GITT.
Ao observar esse crescente número de aplicações, foi necessário desenvolver maneiras
de tornar a solução de problemas multidimensionais mais eficientes quanto ao custo
computacional. Essas soluções são normalmente descritas na forma de somatórios du-
plos ou triplos sendo, portanto, truncadas em cada direção. Assim, com essa prática, o
número de termos calculados da solução aumentava proporcionalmente ao número de
direções, o que torna a solução proibitiva em muitos casos.
Assim, em Almeida e Cotta [14], ao estudar a aplicação do GITT em problemas de
difusão e convecção aplicados a reservatórios de petróleo, a metodologia de ordena-
mento de autovalores foi proposta. Os autores, no caso, perceberam que a maneira mais
eficiente de computar os autovalores em cada direção é, antes, ordená-los de modo a
computar, primeiro, as combinações que exerciam um maior peso para a solução.
Após, em Cotta e Mikhailov [15], duas regras de ordenamento para somatórios du-
1. Introdução 4
plos e triplos, desenvolvidas no programa Mathematica [16], foram propostas. Essas
regras foram elaboradas de modo a promover o reordenamento automático de auto-
valores e a eliminação de equações redundantes na solução de equações diferencias
ordinárias truncadas.
Entretanto, no caso de computar a solução analítica de problemas multi dimension-
ais com autovalores ordenados, se a precisão requerida for aumentada toda a solução
deverá ser recalculada com uma novo valor para a ordem de truncamento. Para con-
tornar esse problema, Corrêa et al. [17] apresentou a idéia de que caso a solução com
N termos não atingisse a precisão requerida, então somente os termos N + 1 seriam
avaliados e somados à solução até que a precisão fosse atingida.
No campo de problemas não lineares, a contribuição de Macêdo et al. [18] foi no
sentido de apresentar uma nova estratégia de filtragem, denominada pelos autores de
filtro instantâneo local. Essa estratégia consiste em definir um filtro que apresenta de-
pendência tanto no tempo quando no espaço, sendo, este, extraída da forma linearizada
ou analítica do problema original. Deste modo, o filtro é resolvido analiticamente pelo
método da transformada integral clássica e, para cada subdomínio de tempo, atual-
izando a informação do potencial de temperatura no termo que traz a não linearidade.
Assim, os efeitos das não linearidades, que são, entre outros, responsáveis pelo efeito
de piora da convergência, são reduzidos e, então, uma melhor convergência é obtida.
Mais recentemente, o trabalho de Gondim et al. [19] traz a solução de problemas
de difusão com efeitos convectivos não linear e transiente utilizando a metodologia
de filtro instantâneo local. Assim, ao apresentar os resultados da solução proposta,
empregando, como caso teste, em um problema de convecção laminar transiente dentro
de um canal de placas paralelas com o escoamento em desenvolvimento térmico, ficou
claro que a utilização do filtro proposto trouxe uma excelente convergência para o
problema.
Assim, uma vez obtido significavos avanços na convergência e eficiência no GITT,
se fez necessário comparar a solução de problemas de difusão e escoamento pelos
métodos híbridos com os métodos puramente numéricos. Neste contexto, em [20] o
1. Introdução 5
problema de escoamento em placas paralelas com escoamento cineticamente desen-
volvido porém em desenvolvimento térmico foi estudado e uma comparação entre o
GITT e o método de volume finitos (MVF) foi realizado. Este estudo foi estendido
em [21], onde foi considerado o problema com fluidos não newtoniano. Conforme a
metodologia apresentada, para ambos os métodos, o problema proposto foi manipu-
lado de modo a obter um sistema de equações diferenciais ordinárias linear, sendo esta
resolvida analiticamente. Assim, ao comparar a convergência dos métodos, os autores
identificaram uma superioridade do GITT em relação ao MVF, uma vez que para o
primeiro são necessárias 25 termos para obter uma convergência de quatro dígitos en-
quanto no segundo método são necessários seiscentas divisões no domínio para obter
a mesma convergência. Apesar desses resultados, este campo de pesquisa esta em de-
senvolvimento e novos estudos são necessários para uma melhor comparação entre os
métodos ser obtida.
Mesmo com os recentes avanços, aplicar a GITT para resolver problemas lin-
eares ou não lineares definidos por equações parciais diferencias pode se tornar prob-
lemático, uma vez que é preciso operar matematicamente as equações antes de aplicar
o método. Esta característica do GITT se torna uma desvantagem quando comparado
aos métodos puramente numéricos, que são compilados em pacotes e possuem in-
terface amigável com o usuário. De modo a contornar esse problema, o trabalho de
Sphaier et al. [22] apresentou um esquema de solução unificado de problemas definidos
por equações diferencias parciais através de métodos híbridos. Tal algoritmo, denomi-
nado pelos autores de "UNIT"3, provê uma plataforma de desenvolvimento para obter
a solução destes tipos de problemas de maneira simplificada, onde o objetivo dos au-
tores é construir uma ferramenta de simulação computacional por métodos híbridos
para problemas físicos e de engenharia.
Paralelamente a estes avanços, o campo de problemas definidos em domínios ir-
regulares começaram a ser desenvolvidos com o estudo de aletas com perfil variável
[23], o estudo do escoamento forçado laminar em dutos com seção triangular [24], o
3 A abreviação vem do inglês Unified Integral Transform
1. Introdução 6
estudo do escoamento forçado laminar em dutos com seção hexagonal [25], o estudo
do escoamento cineticamente desenvolvido porém em deselvolvimento térmico dentro
de dutos com área de seção triangular [26] e com o estudo do escoamento de fluidos
newtonianos em dutos de seção regular porém variável na extensão do duto [27].
Neste contexto, o trabalho de Barbuto e Cotta [28] apresentou a solução de prob-
lemas de difusão bidimensionais elípticos definidos em um domínio irregular, onde o
caso em que uma das coordenadas do domínio estava definida em relação a outra, de
modo a definir, por exemplo, dois problemas de autovalor, um em domínio regular e
a outra mapeado o domínio irregular. Assim, a metodologia foi testada no estudo do
escoamento em dutos de seção isósceles triangular, duto de seção elíptica e em dutos
de seção circular.
Em Sphaier e Cotta [29], uma formulação generalizada para problemas de difusão
multidimensional em domínios irregulares é apresentada. Primeiramente, a metodolo-
gia propôs mapear o contorno irregular de modo a obter funções do tipo: x− > x,
y− > y(x) e z− > z(x, y). Desta forma, os problemas de autovalor foram definidos
com base no contorno mapeado em cada direção, que por sua vez, tornaram possível
definir a transformada integral e a fórmula inversa. Deste modo, o trabalho propôs
resolver um problema de difusão bidimensional em coordenadas cilíndricas, definido
como uma porção de um circulo com o ângulo variável φ, mapeando o contorno em
coordenadas cartesianas. A partir deste teste foi possível verificar que as melhores
taxas de convergência foram obtidas nos casos em que o ângulo φ assumia os valores
de φ= 90 e φ= 180. Nestes casos, as funções de mapeamento eram mais simples que
nos outros casos, portanto, indicando que o tipo de função interfere na performance da
solução.
Entretanto, esta solução, apesar de matematicamente correta, pode levar a um
esforço computacional elevado, quando consideradas funções de mapeamento com-
plexas. Para tanto, em [30], uma extensão dessa metodologia foi proposta: Subdividir
a função de mapeamento em finitas funções lineares de modo a calcular a matriz que
leva as informações de contorno analiticamente. Deste modo, foi possível reduzir o
1. Introdução 7
custo computacional utilizado na solução. Ainda, é importante observar que, nesta
metodologia o domínio não é discretizado, uma vez que a solução final permanece
analítica e explicita em todo o domínio.
Apesar dos avanços passados, a solução de problemas definidos em domínios irreg-
ulares é ainda problemática, uma vez que a metodologia atual é baseada em domínios
utilizando as funções de mapeamento do contorno, como descrito anteriormente. Den-
tre outras dificuldades, tal pratica inviabiliza a solução quando são considerados funções
de mapeamento complexo ou domínios que não podem ser mapeados da maneira pro-
posta. Para contornar esse problema uma nova metodologia é aqui proposta: definir o
problema de autovalor em um domínio regular que envolve o domínio irregular orig-
inal. Assim, todas as dificuldades inerentes ao contorno arbitrário são tratadas dentro
do sistema de equações diferenciais ordinárias e não no problema de autovalor.
Desta maneira e primeiramente, este trabalho visa estudar o caso de escrever o
próprio problema de autovalor definido em um domínio irregular como uma expansão
em termos de um problema de autovalor auxiliar, sendo este ultimo definido em um
domínio regular que envolve o domínio original. Para tanto, quatro problemas teste
de autovalor unidimensional foram selecionados e comparados, que correspondem a
diferentes combinações de condição de contorno para o problema original. Ainda, de
modo a verificar a convergência dos diferentes tipos de combinação de condição de
contorno do problema auxilar, quatro casos testes foram escolhidos e comparados. É
importante lembrar que esse estudo foi apresentado de maneira simplificada em [31],
onde um problema teste e quatro casos testes foram analisados.
Em seguida, a mesma metodololia é aplicada na solução de problemas de difusão
com efeitos convectios unidimensional. Neste caso, quatro problemas teste simplifica-
dos unidimensionais são selecionados, sendo três deles em coordenadas cartesianas e
um em coordenadas cilíndricas. Cada problema teste foi escolhido com uma combi-
nação de condições de contorno e condição inicial única, sendo que para cada prob-
lema teste foram selecionados três casos testes, para os problemas cartesianos, e um
caso teste, para os problemas cilíndricos. Desta forma, será possível analisar os difer-
1. Introdução 8
entes tipos de combinação de condição de contorno para determinar a melhor aplicação
em cada caso. Assim, de maneira similar ao anterior, esse estudo foi apresentado de
maneira simplificada em [32], onde somente um problema teste cartesiano e três casos
testes foram analisados.
Por fim, os problemas de autovalor e difusão com domínio em movimento são estu-
dados e uma solução com base na presente metodologia é apresentada. Tais problemas
foram recentemente resolvidos pelo GITT, conforme apresentado em [3]. Assim, como
teste, um problema simplificado é escolhido e tanto a solução via o método da trans-
formada integral generalizada e o presente método são apresentados e comparados.
Capítulo 2
Problemas de autovalor unidimensionais
O propósito deste capítulo é apresentar uma metodologia alternativa para a solução
de problemas de autovalor unidimensionais. Utilizando o método da transformação
integral é possível escrever as autofunções dos problemas de autovalor como uma ex-
pansão com base em um problema de autovalor auxiliar, sendo este último definido
em um domínio que envolve o domínio original. Desta forma, será definido o prob-
lema de autovalor original, o problema de autovalor auxiliar, o par de transformação
proposto, a simplificação da matriz que contém as informações de contorno e toda a
análise matemática decorrente da transformação do problema original.
2.1 Problema de autovalor unidimensional
O problema de autovalor unidimensional generalizado é amplamente conhecido como
o problema de Sturm-Liouville [33], e é definido como:
d
dx
(k(x)
dΨ(x)
dx
)+ (µ2 w(x) − d(x))Ψ(x) = 0, para a ≤ x ≤ b, (2.1)
BΨ(x) = 0, para x = a, (2.2)
BΨ(x) = 0, para x = b, (2.3)
9
2. Problemas de autovalor unidimensionais 10
Onde o operador da condição de contorno B é definido como:
B ≡(α(x) + β(x)k(x)
∂
∂x
). (2.4)
Esse problema possui a seguinte propriedade de ortogonalidade:
∫ b
aw(x)Ψn(x)Ψm(x) dx = δn,m N (µn), (2.5)
Onde Ψm e Ψn são autofunções que correspondem respectivamente aos autovalores
µm e µn , δn,m é o delta de Kronecker e N (µn) é a norma, definida como:
N (µn) ≡∫ b
aw(x)Ψn(x)2 dx. (2.6)
A solução desse problema é analítica e direta em alguns casos e pode ser obtida de
várias maneiras. Entretanto, neste trabalho, uma rota alternativa é proposta: usar um
problema de autovalor auxiliar para escrever a solução do problema de autovalor orig-
inal. Essa solução é definida como uma expansão com base em autofunções definidas
em um domínio que envolve o domínio original. Essa solução é chamada de técnica
do domínio envolvente (TDE).
Sendo Ω(x) e γi as autofunções auxiliares e os autovalores correspondentes, re-
spectivamente. Já autofunções normalizadas são obtidas aplicando a seguinte modifi-
cação:
Ω∗(x) = Ω(x)√N (γn)
, (2.7)
o problema de autovalor auxiliar normalizado pode ser escrito como:
d
dx
(k(x)
dΩ∗(x)
dx
)+ (γ2 w(x) − d(x))Ω∗(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (2.8)
B∗Ω∗(x) = 0, para x = 0, (2.9)
B∗Ω∗(x) = 0, para x = 1, (2.10)
2. Problemas de autovalor unidimensionais 11
Onde a propriedade de ortogonalidade é descrita como:
∫ 1
0w(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx = δi , j , (2.11)
Neste caso, as autofunções auxiliares (Ω∗i (x)) são ortogonais no domínio envolvente,
porém não são no intervalo a ≤ x ≤ b , onde é assumido que 0 ≤ a < b ≤ 1, de modo
que o domínio original é envolvido pelo domínio do problema auxiliar.
O operador B∗ é definido como:
B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)
d
dx
), (2.12)
A função peso w(x), o coeficiente difusivo k(x) e a função d(x) são considerados
os mesmos utilizados no problema original. O estudo da utilização destas funções
diferentes do problema original está fora do escopo deste trabalho.
2.1.1 Par de Transformação
O objetivo da presente metodologia é usar a base provida pelas autofunções auxiliares
para escrever uma expressão para a autofunção original, da seguinte forma:
Ψ(x) =∞∑
i=1Ψi Ω
∗i (x), para a ≤ x ≤ b . (2.13)
A expressão acima é chamada de fórmula de inversão. Baseado na expressão anterior e
na propriedade de ortogonalidade das autofunções auxiliares, a seguinte fórmula para
a transformação integral é obtida:
Ψi =∫ 1
0w(x)Ψ(x)Ω∗
i (x) dx . (2.14)
Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada no
mesmo domínio do problema original. Aqui, a transformação tradicional será chamada
de transformação integral em domínio coincidente. Na forma descrita pela equação
(2.14) a transformação será chamada de transformação integral em domínio envol-
2. Problemas de autovalor unidimensionais 12
vente.
Na transformada integral em domínio envolvente (2.14), a autofunção Ψ(x) não é
válida para x > b e x < a. Para contornar esse problema, a função Ψ(x) estendida é
definida, permitindo que a função seja reduzida para o limite de integração original:
Ψi ,e (x) = Ψ(x), para a ≤ x ≤ b , (2.15)
Ψi ,e (x) = 0, para x < a ou x > b . (2.16)
Introduzindo essa definição na equação da transformação integral em domínio envol-
vente (2.14), a seguinte expressão é obtida:
Ψi =∫ a
0w(x)Ψe (x)Ω∗
i (x) dx +∫ b
aw(x)Ψe (x)Ω∗
i (x) dx +
+∫ 1
bw(x)Ψe (x)Ω∗
i (x) dx (2.17)
Nesta equação o primeiro e o último termo do lado da direita são nulos. Portanto, o
termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser reescrito, sem perda
da generalidade, como:
Ψi =∫ b
aw(x)Ψ(x)Ω∗
i (x) dx . (2.18)
2.1.2 Transformação do problema original
O problema de autovalor original é transformado utilizando a base fornecida pelo prob-
lema de autovalor auxiliar. Para tanto, o operador∫ b
a ( )Ω∗i (x)dx é aplicado à equação
(2.1), obtendo:
∫ b
a
d
dx
(k(x)
dΨ(x)
dx
)Ω∗
i (x) dx + µ2∫ b
aw(x)Ψ(x)Ω∗
i (x) dx+
−∫ b
ad(x)Ψ(x)Ω∗
i (x) dx = 0 . (2.19)
2. Problemas de autovalor unidimensionais 13
O termo que leva em consideração os efeitos de difusão (primeiro termo da esquerda)
pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green. Esta, por conseguinte,
é definida, na forma unidimensional como [34]:
∫ x f
x0
u(x) v ′′(x) dx = (u(x) v ′(x) − v(x)u′(x))∣∣x f
x0+
∫ x f
x0
v(x)u′′(x) dx. (2.20)
Portanto, o termo é transformado de modo a obter a seguinte expressão:
∫ b
a
d
dx
(k(x)
dΨ(x)
dx
)Ω∗
i (x) dx =∫ b
a
d
dx
(k(x)
dΩ∗i (x)
dx
)Ψ(x) dx+
+ [k(x) (Ψ(x)′Ω∗
i (x)−Ψ(x)Ω∗i′(x))
]∣∣x=bx=a . (2.21)
Nesta equação, as informações de contorno estão contidas no último termo da direita,
que pode ser simplificado pelas condições de contorno do problema original. Desta
forma, as condições de contorno do problema auxiliar não devem ser utilizadas, uma
vez que o contorno do domínio envolvente (x = 0 e x = 1) não é idêntico ao contorno
original (x = a e x = b).
No caso do segundo termo do lado da direita, a simplificação pode ser obtida uti-
lizando o problema de autovalor auxiliar, fazendo, por exemplo:
d
dx
(k(x)
dΩ∗i (x)
dx
)= −(γ2
i w(x) − d(x))Ω∗i (x). (2.22)
Entretanto, simplificações deste tipo serão evitadas neste ponto da análise, de modo a
manter a generalidade do estudo.
A fórmula de inversão (2.13) é, então, substituída nas equações (2.19) e (2.21), e
as seguintes expressões são obtidas:
∞∑j=1
[(∫ b
a
d
dx
(k(x)
dΩ∗j (x)
dx
)Ω∗
i (x) dx + µ2∫ b
aw(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx +
−∫ b
ad(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx
]Ψ j = 0, (2.23)
2. Problemas de autovalor unidimensionais 14
∞∑j=1
[∫ b
a
d
dx
(k(x)
dΩ∗j (x)
dx
)Ω∗
i (x) dx −∫ b
a
d
dx
(k(x)
dΩ∗i (x)
dx
)Ω∗
j (x) dx
]Ψ j =
=∞∑
j=1Ψ j
[k(x) (Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x)−Ω∗j (x)Ω∗
i′(x))
]∣∣∣x=b
x=a. (2.24)
Então, os seguintes coeficientes podem ser introduzidos:
Ai , j =∫ b
a
d
dx
(k(x)
dΩ∗j (x)
dx
)Ω∗
i (x) dx, (2.25)
Bi , j =∫ b
aw(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (2.26)
Di , j =∫ b
ad(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (2.27)
Si , j =[k(x) (Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x)−Ω∗j (x)Ω∗
i′(x))
]∣∣∣x=b
x=a. (2.28)
Portanto, as equações (2.23) e (2.24) podem ser escritas como:
∞∑j=1
(A j ,i + µ2 B j ,i − D j ,i
)Ψ j = 0, (2.29)
∞∑j=1
(A j ,i − Ai , j
)Ψ j =
∞∑j=1
S j ,i Ψ j . (2.30)
Na forma matricial, as equações acima são equivalentes a:
(A + µ2 B − D
)Ψ = 0, (2.31)
(A − AT −S
)Ψ = 0. (2.32)
2. Problemas de autovalor unidimensionais 15
Entretanto, a segunda equação implica que:
A = AT +S, (2.33)
Desta forma permite que a equação (2.31) seja reescrita como:
(AT +S +µ2 B −D
)Ψ = 0. (2.34)
Esse sistema representa um problema de autovetor algébrico, o qual pode ser usado
para determinar o problema de autovetor original µ e as autofunções transformadas
(dados pelos autovetores do problema algébrico). Então, a seguinte matriz pode ser
definida:
M = B−1 (AT +S −D
), (2.35)
Assim, o sistema (2.34) pode ser reescrito na forma tradicional como:
(M − µ2 I
)Ψ = 0. (2.36)
A equação (2.36) proporciona o cálculo direto dos autovalores µi , que são avaliados
pela raiz quadrada dos autovalores do tensor M . Já as autofunções Ψi (x) são determi-
nadas usando a fórmula de inversão (2.13), onde para cada autovalor µi , a correspon-
dente autofunção é reconstruída usando os componentes do autovetor associado Ψ.
2.1.2.1 Simplificação da Matriz S
A matriz S, na forma apresentada anteriormente, não leva em consideração as infor-
mações sobre as condições de contorno do problema original. Se tal informação for
considerada, os coeficientes da matriz podem ser simplificados:
2. Problemas de autovalor unidimensionais 16
Primeiro, as condições de contorno, descritas em (2.2) e (2.3) são reescritas como:
Ψ(x) = − β(x)k(x)Ψ′(x)
α(x), (2.37)
Ψ′(x) = − α(x)Ψ(x)
β(x)k(x). (2.38)
Em seguida, as equações são, então, aplicadas na equação (2.28), de modo a obter as
seguintes expressões:
[k(x) (Ψ′(x)Ω∗i (x) −Ψ(x)Ω∗
i′(x))]|x=b
x=a =
= −[
k(x)Ψ(x)
(α(x)
β(x)k(x)Ω∗
i (x) +Ω∗i′(x)
)]∣∣∣∣x=b
x=a. (2.39)
[k(x)(Ψ′(x)Ω∗i (x) −Ψ(x)Ω∗
i′(x)]|x=b
x=a =
=[
k(x)Ψ′(x)
(Ω∗
i (x) + β(x)k(x)
α(x)Ω∗
i′(x)
)]∣∣∣∣x=b
x=a, (2.40)
onde a primeira equação deve ser empregada para β 6= 0 e a segunda equação para α 6=0. Ainda, as duas expressões podem ser combinadas utilizando a regra das proporções,
da seguinte forma:
[k(x)(Ψ′(x)Ω∗i (x) −Ψ(x)Ω∗
i′(x))]|x=b
x=a =
=[
k(x) (Ψ′(x)−Ψ(x))(α(x)Ω∗
i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)
)α(x) + β(x)k(x)
]∣∣∣∣∣x=b
x=a
, (2.41)
Conforme explicado anteriormente, não é possível utilizar as condições de contorno
do problema de autovalor auxiliar para simplificar a matriz que contém as informações
do contorno, uma vez que o problema de autovalor auxiliar é definido em um contorno
diferente do problema original.
2. Problemas de autovalor unidimensionais 17
Então, a fórmula de inversão (2.18) é utilizada, obtendo:
∞∑j=1Ψ j (x)
[k(x) (Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x)−Ω∗j (x)Ω∗
i′(x))
]∣∣∣x=b
x=a=
=∞∑
j=1Ψ j (x)
[k(x) (Ω∗
j′(x)−Ω∗
j (x))(α(x)Ω∗
i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)
)α(x) + β(x)k(x)
]∣∣∣∣∣x=b
x=a
. (2.42)
Assim, os coeficientes da matriz Si , j podem ser reescritos como:
Si , j =[
k(x) (Ω∗j′(x)−Ω∗
j (x))(α(x)Ω∗
i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)
)α(x) + β(x)k(x)
]∣∣∣∣∣x=b
x=a
, (2.43)
Para os casos em que se tem condições de contorno de Dirichlet ou Neumann em um
dos contornos, isto é, para α(x) 6= 0 ou β(x) 6= 0, as seguintes expressões alternativas
podem ser utilizadas:
Si , j =(k(x)Ω∗
j′(x)
(Ω∗
i (x) + β(x)k(x)
α(x)Ω∗
i′(x)
))∣∣∣∣x=b
x=a, para α(x) 6= 0 , (2.44)
Si , j = −(k(x)Ω∗
j (x)
(α(x)
β(x)k(x)Ω∗
i (x) +Ω∗i′(x)
))∣∣∣∣x=b
x=a, para β(x) 6= 0 . (2.45)
Portanto, como pode ser observado, a formulação matemática para a solução de prob-
lemas de autovalor unidimensinais utilizando a técnica do domínio envolvente foi for-
malmente apresentada, abrindo caminho, então, para o teste da metodologia.
Capítulo 3
Problemas de difusão unidimensionais
Neste capítulo, a técnica do domínio envolvente (TDE) é utilizada para obter a solução
de problemas de difusão unidimensionais generalizados. Para tanto, será definido o
par de transformação aplicado à solução do problema. Tal transformação, tem como
base as autofunções auxiliares, sendo estas, por sua vez, definidas em um domínio
que envolve o domínio original. Deste modo, toda a análise matemática decorrente da
solução do problema de difusão unidimensional, pelo método do domínio envolvente,
é descrita de modo a obter a forma mais simplificada possível.
3.1 Problema de difusão unidimensional generalizado
O problema de difusão linear unidimensional pode ser escrito como:
ϕ(t ) w(x)∂T (x, t )
∂t= ∂
∂x
(k(x)
∂T (x, t )
∂x
)+
+ (σ(t ) w(x) − d(x)
)T (x, t ) + P (x, t ), para a ≤ x ≤ b, (3.1)
BT (x, t ) = φ(a, t ), para x = a, (3.2)
BT (x, t ) = φ(b, t ), para x = b, (3.3)
T (x,0) = f (x), para a ≤ x ≤ b. (3.4)
18
3. Problemas de difusão unidimensionais 19
Onde o operador da condição de contorno é definido como:
B ≡(α(x) + β(x)k(x)
∂
∂x
). (3.5)
A solução exata é obtida pela transformação integral clássica [33] e pode ser escrita
como:
T (x, t ) =∞∑
n=1
1
N (µn)Tn(t )Ψn(x) (3.6)
onde Ψn(x) e µn são autofunções e autovalores do problema de Sturm-Liouville, esse
problema foi definido pela equação (2.1).
Os potenciais transformados (Tn(t )) são obtidos na solução do sistema desacoplado:
ϕ(t )dTn(t )
dt+ (µ2
n −σ(t ))
Tn(t ) = gn(t ), (3.7)
Tn(0) = fn , (3.8)
para n = 1, . . . ,∞. A condição inicial transformada e os termos transformados são
dados por:
fn =∫ b
aw(x) f (x)Ψn(x) dx, (3.9)
gn(t ) =∫ b
aP (x, t )Ψn(x) dx +
[φ(x, t )
(Ψn(x) ± k(x)Ψ′
n(x)
α(x)+β(x)
)]x=b
x=a. (3.10)
A solução do sistema transformado é facilmente obtido por:
Tn(t ) = (fn +
∫ t
0gn(τ)eγn (τ))e−γn (t ) dτ, (3.11)
no qual:
γn(t ) =∫ t
0
µ2n −σ(τ)
ϕ(τ)dτ. (3.12)
Portanto, a solução analítica para o problema de difusão generalizado, dado por (3.1),(3.2),(3.3)
3. Problemas de difusão unidimensionais 20
e (3.4)), é obtido diretamente uma vez que o problema de autovalor, definido pelas
equações (2.1),(2.2) e (2.3)), é conhecido.
3.2 Solução através da técnica de domínio envolvente
O objetivo da presente metodologia é utilizar a base de autofunções auxiliares (2.8),
(2.9) e (2.10), definidas em um domínio que envolve o domínio original, para escrever
a forma da solução do problema de difusão unidimensional, como mostrado abaixo:
T (x, t ) =∞∑
i=1Ti (t )Ω∗
i (x), para a ≤ x ≤ b . (3.13)
Esse expressão é chamada de fórmula de inversão.
O problema de autovalor auxiliar normalizado (2.8,2.9 e 2.10) possui a seguinte
propriedade de ortogonalidade:
∫ 1
0w(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx = δi , j . (3.14)
Desta forma, a seguinte transformada integral pode ser escrita:
Ti (t ) =∫ 1
0w(x)T (x, t )Ωi (x) dx . (3.15)
Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada no
mesmo domínio do problema original. Esta transformação, como apresentada anteri-
ormente, é chamada de transformação integral em domínio coincidente. Novamente,
na forma descrita pela equação (3.15) a transformação será chamada de transformação
integral em domínio envolvente.
Na expressão apresentada acima, a função Ti (t ) não é definida para x > b e x <a. Para contornar esse problema, uma função T (x, t ) estendida é criada, de modo a
permitir a redução do limite de integração, aplicado ao domínio envolvente, para o
3. Problemas de difusão unidimensionais 21
domínio original:
Te (x, t ) = T (x, t ), para a ≤ x ≤ b , (3.16)
Te (x, t ) = 0, para x < a ou x > b . (3.17)
Introduzindo a definição acima na fórmula da transformada integral (3.15), a seguinte
expressão pode ser obtida:
Ti (t ) =∫ a
0w(x)Te (x, t )Ω∗
i (x) dx +
+∫ b
aw(x)Te (x, t )Ω∗
i (x) dx +∫ 1
bw(x)Te (x, t )Ω∗
i (x) dx (3.18)
Nesta equação o primeiro e o último termo do lado da direita são nulos. Portanto,
o termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser reescrito, sem a
perda da generalidade, como:
Ti (t ) =∫ b
aw(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx . (3.19)
3.2.1 Transformação do problema de difusão unidimensional generalizado
Utilizando a base de autofunções auxiliares definida no item anterior, o problema de
difusão unidimensional generalizado, dado pelas equações (3.1), (3.2), (3.3) e (3.4)), é
transformado aplicando o seguinte operador∫ b
a ( )Ω∗i (x) dx, de forma a obter:
ϕ(t )∫ b
aw(x)
∂T (x, t )
∂tΩ∗
i (x) dx =
=∫ b
aP (x, t )Ω∗
i (x) dx +∫ b
a
∂
∂x
(k(x)
∂T (x, t )
∂x
)Ω∗
i (x) dx+
+ σ(t )∫ b
aw(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx −∫ b
ad(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx. (3.20)
O termo que leva em consideração os efeitos de difusão de calor (primeiro termo da
esquerda) pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green, que pode ser
3. Problemas de difusão unidimensionais 22
escrita na forma unidimensional como [34]:
∫ x f
x0
u(x) v ′′(x) dx = (u(x) v ′(x) − v(x)u′(x))∣∣x f
x0+
∫ x f
x0
v(x)u′′(x) dx. (3.21)
Assim, a seguinte expressão pode ser obtida:
∫ b
a
∂
∂x
(k(x)
∂T (x, t )
∂x
)Ω∗
i (x) dx =∫ b
a
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗i (x)
∂x
)T (x, t ) dx+
+[
k(x)
(∂T (x, t )
∂xΩ∗
i (x)−T (x, t )Ω∗i′(x)
)]x=b
x=a(3.22)
Nesta equação, as informações do contorno estão contidas no último termo à direita,
que pode ser simplificado pelas condições de contorno do problema original. Desta
forma, as condições de contorno do problema auxiliar não devem ser utilizadas, uma
vez que o contorno do domínio envolvente (x = 0 e x = 1) não é idêntico ao contorno
original (x = a e x = b).
No caso do primeiro termo do lado direito, a simplificação pode ser obtida uti-
lizando o problema de autovalor auxiliar, fazendo, por exemplo:
d
dx
(k(x)
dΩ∗i (x)
dx
)= −(γ2
i w(x) − d(x))Ω∗i (x). (3.23)
Entretanto, para manter a generalidade do estudo, simplificações deste tipo serão evi-
tadas neste ponto da análise.
Após, a fórmula de inversão (3.13) é substituída nas equações (3.22) e (3.20), ob-
tendo:
∞∑j=1
ϕ(t )
(∫ b
aw(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx
)T ′
j (t ) =
= Pi (t ) +∞∑
j=1
(∫ b
a
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗j (x)
∂x
)Ω∗
i (x) dx+
+σ(t )∫ b
aw(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx −
∫ b
ad(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx
)T j (t ), (3.24)
3. Problemas de difusão unidimensionais 23
∞∑j=1
(∫ b
a
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗j (x)
∂x
)Ω∗
i (x) dx+
−∫ b
a
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗i (x)
∂x
)Ω∗
j (x) dx
)T j (t ) =
=∞∑
j=1
[k(x)
(Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x) −Ω∗j (x)Ω∗
i′(x)
)]∣∣∣x=b
x=aT j (t ), (3.25)
onde
Pi (t ) =∫ b
aP (x, t )Ω∗
i (x) dx. (3.26)
Neste ponto, é útil, definir os coeficientes abaixo:
Ai , j =∫ b
a
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗j (x)
∂x
)Ω∗
i (x) dx, (3.27)
Bi , j =∫ b
aw(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (3.28)
Di , j =∫ b
ad(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (3.29)
Si , j =[k(x) (Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x)−Ω∗j (x)Ω∗
i′(x))
]∣∣∣x=b
x=a. (3.30)
Então, ao introduzir os coeficientes, dado pelas equações (3.27), (3.28), (3.29) e (3.30),
as equações (3.24) e (3.25) são reescritas como:
ϕ(t )∞∑
j=1Bi , j T ′
j (t ) =∞∑
j=1
(Ai , j + σ(t )Bi , j − Di , j
)T j (t ) + Pi (t ), (3.31)
∞∑j=1
(Ai , j − A j ,i
)T j (t ) =
∞∑j=1
Si , j T j (t ) + bi (t ), (3.32)
onde o termo bi (t ) corresponde ao termo independente da condição de contorno. Este
termo será explicado mais adiante na análise da matriz que contém as informações de
contorno.
3. Problemas de difusão unidimensionais 24
O sistema acima, na forma matricial, é equivalente a:
ϕ(t )B T′(t ) = (
A + σ(t )B − D)
T (t ) + P (t ), (3.33)(A − AT −S
)T (t ) = b(t ). (3.34)
Ainda, a equação (3.34) implica que:
A T (t ) = (AT +S) T (t ) + b(t ). (3.35)
e a equação (3.33) pode ser reescrita como:
ϕ(t )B T′(t ) = (
AT +S + σ(t )B −D)
T (t ) + P (t ) + b(t ). (3.36)
Essa equação deverá, então, ser resolvida com a seguinte condição inicial:
T (0) = f , (3.37)
onde, os coeficientes de f são obtidos pela seguinte expressão:
fi =∫ b
aw(x) f (x)Ω∗
i (x) dx. (3.38)
Com algumas operações matriciais, a equação (3.36) pode ser reescrita como:
T′(t ) = B−1 M T (t ) + g (t ), (3.39)
onde M e g são definidos como:
M = 1
ϕ(t )
(AT + S + σ(t )B − D
), (3.40)
g (t ) = 1
ϕ(t )B−1 (
P (t ) + b(t )). (3.41)
O sistema, dado pelas equações (3.39) e (3.37), proporciona uma solução analítica em
3. Problemas de difusão unidimensionais 25
forma fechada:
T (t ) = C (t )
(f +
∫ t
0C−1(τ) g (t ) dτ
), (3.42)
onde as matrizes envolvidas são descritas na forma de uma matriz exponencial [34]:
C (t ) = exp(−B−1M t
)e C−1(t ) = exp
(B−1M t
)(3.43)
Apesar da solução acima estar apresentada em uma forma analítica fechada, a avali-
ação da matriz exponencial poderá ser problemática para altas ordens de truncamento
1. Portanto, uma solução numérica direta para equações diferenciais (3.36) e (3.37) é
implementada, utilizando a função NDSolve do programa Mathematica [16] e com-
parada com a solução analítica. Uma vez que o potencial transformado é obtido, o
campo de temperatura é avaliado usando a fórmula de inversão (3.13).
3.2.1.1 Simplificação da Matriz S
A matriz S, na forma apresentada anteriormente, não leva em consideração as infor-
mações sobre as condições de contorno do problema de difusão. Se tais informações
forem levadas em consideração, os coeficientes da matriz podem ser simplificados:
Primeiro, reescrevemos as condições de contorno, descritas em (3.2) e (3.3), como:
T (x, t ) =(φ(x, t ) − β(x)k(x)
∂T (x, t )
∂x
)1
α(x), (3.44)
∂T (x, t )
∂x= (
φ(x, t ) − α(x)T (x, t )) 1
β(x)k(x). (3.45)
Utilizando as equações (3.44) e (3.45), os coeficientes da matriz S podem ser reescritos
como:
k(x)
α(x)
(∂T (x, t )
∂xα(x)Ω∗
i (x) − φ(x, t )Ω∗i′(x)+ β(x)k(x)
∂T (x, t )
∂xΩ∗
i′(x)
)∣∣∣∣x=b
x=a, (3.46)
1 A ordem de truncamento é o número de termos utilizado no cálculo da solução
3. Problemas de difusão unidimensionais 26
k(x)
β(x)k(x)
(φ(x, t )α(x)Ω∗
i (x) − α(x)T (x, t )Ω∗i (x)+
−T (x, t )β(x)k(x)Ω∗i′(x)
)∣∣x=bx=a , (3.47)
onde a primeira equação deve ser empregada para α 6= 0 e a segunda equação para β 6=0. Ainda, as duas expressões podem ser combinadas utilizando a regra das proporções,
da seguinte forma:
k(x)
α(x) + β(x)k(x)
(∂T (x, t )
∂xα(x)Ω∗
i (x) − φ(x, t )Ω∗i′(x)+
+β(x)k(x)∂T (x, t )
∂xΩ∗
i′(x) + φ(x, t )α(x)Ω∗
i (x) − α(x)T (x, t )Ω∗i (x) +
−T (x, t )β(x)k(x)Ω∗i′(x)
)∣∣x=bx=a . (3.48)
Essa equação pode, ainda, ser reescrita como:
k(x)
α(x) + β(x)k(x)
[(∂T (x, t )
∂x− T (x, t )
)(α(x)Ω∗
i (x) + β(x)k(x)Ω∗i′(x)
)]∣∣∣∣x=b
x=a+
+ k(x)
α(x) + β(x)k(x)
[φ(x, t )
(Ω∗
i (x) −Ω∗i′(x)
)]∣∣∣∣x=b
x=a, (3.49)
onde o primeiro termo contém as informações da parte homogênea do contorno e o
segundo termo contém as informações da parte não homogênea. Portanto, a matriz
Si , j e o termo independente bi (t ), são reescritos como:
Si , j = k(x)
α(x) + β(x)k(x)
[(∂Ω∗
j (x)
∂x−Ω∗
j (x)
)(α(x)Ω∗
i (x)
+β(x)k(x)Ω∗i′(x)
)]∣∣x=bx=a , (3.50)
bi (t ) = k(x)
α(x) + β(x)k(x)
[φ(x, t )
(Ω∗
i (x) −Ω∗i′(x)
)]∣∣∣∣x=b
x=a. (3.51)
Para os casos em que se tem condições de contorno de Dirichlet ou Neumann em um
dos contornos, isto é α(x) 6= 0 ou β(x) 6= 0, pode-se utilizar uma expressão alternativa
3. Problemas de difusão unidimensionais 27
da seguinte maneira:
Si , j =(k(x)Ω∗
j′(x)
(Ω∗
i (x) + β(x)k(x)
α(x)Ω∗
i′(x)
))∣∣∣∣x=b
x=a, para α(x) 6= 0 , (3.52)
bi (t ) = −k(x)
α(x)φ(x, t )Ω∗
i′(x)
∣∣∣∣x=b
x=a, para α(x) 6= 0 , (3.53)
Si , j = −(k(x)Ω∗
j (x)
(α(x)
β(x)k(x)Ω∗
i (x) +Ω∗i′(x)
))∣∣∣∣x=b
x=a, para β(x) 6= 0 (3.54)
bi (t ) = k(x)
β(x)k(x)φ(x, t )Ω∗
i (x)
∣∣∣∣x=b
x=a, para β(x) 6= 0. (3.55)
Portanto, a formulação formal da solução de problemas unidimensionais pela téc-
nica do domínio envolvente foi apresentada. Essa formulação envolveu a definição do
par de transformação inerentes à metodologia, a análise matemática da transformação
do problema original e a análise dos coeficientes que compõem a solução. Desta forma
o solução de problemas de difusão pode ser facilmente obtida pela simplificação da
formulação e dos coeficientes apresentados, conforme os requisitos do problema estu-
dado.
Capítulo 4
Problemas unidimensionais em domínio móvel
O propósito deste capítulo é apresentar uma metodologia alternativa para a solução de
problemas unidimensionais em domínios em movimento. Serão considerados proble-
mas de autovalor assim como problemas de difusão. Assim, conforme a metodologia
apresentada nos capítulos anteriores, o problema a ser estudado, o par de transformação
proposto e análise matemática decorrente da transformação integral serão apresenta-
dos.
4.1 Problema de autovalor unidimensional em domínio móvel
O problema de autovalor unidimensional generalizado em domínio móvel [3], e é
definido como:
d
dx
(k(x)
dΨ(x, t )
dx
)+ (µ2(t ) w(x) − d(x))Ψ(x, t ) = 0,
em a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (4.1)
e
BΨ(x, t ) = 0, em x = a(t ), (4.2)
BΨ(x, t ) = 0, em x = b(t ), (4.3)
28
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 29
onde o operador da condição de contorno B é definido como:
B ≡(α(x) + β(x)k(x)
∂
∂x
). (4.4)
Esse problema possui a seguinte propriedade de ortogonalidade:
∫ b(t )
a(t )w(x)Ψn(x, t )Ψm(x, t ) dx = δn,m N (µn), (4.5)
Onde Ψm e Ψn são autofunções que correspondem respectivamente aos autovalores
µm e µn , δn,m é o delta de Kronecker e N (µn) é a norma, definida como:
N (µn) ≡∫ b(t )
a(t )w(x)Ψn(x, t )2 dx. (4.6)
A solução desse problema é analítica e direta em alguns casos e pode ser obtida de
várias maneiras. Entretanto, neste trabalho, uma rota alternativa é proposta: usar um
problema de autovalor auxiliar para escrever a solução do problema de autovalor orig-
inal. Essa solução é definida como uma expansão com base em autofunções definidas
em um domínio que envolve o domínio original. Essa solução é chamada de técnica
do domínio envolvente (TDE).
É importante observar que, diferentemente das autofunções originais, as autofunções
auxiliares Ω∗(x) não dependem do tempo e, portanto, são definidas pelas equações
(2.8), (2.9) e (2.10).
4.1.1 Par de Transformação
O objetivo da presente metodologia é usar a base provida pelas autofunções auxiliares
para escrever uma expressão para a autofunção original, da seguinte forma:
Ψ(x, t ) =∞∑
i=1Ψi (t )Ω∗
i (x), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ) . (4.7)
A expressão acima é chamada de fórmula de inversão. Baseado na expressão anterior e
na propriedade de ortogonalidade das autofunções auxiliares, a seguinte fórmula para
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 30
a transformação integral é obtida:
Ψi (t ) =∫ 1
0w(x)Ψ(x, t )Ω∗
i (x) dx . (4.8)
Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada
no mesmo domínio do problema original. Como mencionado anteriormente, a trans-
formação tradicional é chamada de transformação integral em domínio coincidente.
Na forma descrita pela equação (4.8) a transformação é chamada de transformação
integral em domínio envolvente.
Na transformada integral em domínio envolvente (4.8), a autofunção Ψ(x, t ) não
é definida para x > b(t ) e x < a(t ). Para contornar esse problema, a função Ψ(x, t )
estendida é definida, permitindo que a função seja reduzida para o limite de integração
original:
Ψe (x, t ) = Ψ(x), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ) , (4.9)
Ψe (x, t ) = 0, para x < a(t ) ou x > b(t ) . (4.10)
Introduzindo essa definição na equação da transformação integral em domínio envol-
vente (4.8), a seguinte expressão é obtida:
Ψi (t ) =∫ a(t )
0w(x)Ψe (x, t )Ω∗
i (x) dx +∫ b(t )
a(t )w(x)Ψe (x, t )Ω∗
i (x) dx +
+∫ 1
b(t )w(x)Ψe (x, t )Ω∗
i (x) dx (4.11)
Nesta equação o primeiro e o último termos do lado da direita são nulos. Portanto, o
termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser rescrito, sem perda
da generalidade, como:
Ψi =∫ b(t )
a(t )w(x)Ψ(x)Ω∗
i (x) dx . (4.12)
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 31
4.1.2 Transformação do problema original
O problema de autovalor original é transformado aplicando o operador∫ b(t )
a(t ) ( )Ω∗i (x)dx
na equação (4.1), obtendo:
∫ b(t )
a(t )
d
dx
(k(x)
dΨ(x)
dx
)Ω∗
i (x) dx + µ2∫ b(t )
a(t )w(x)Ψ(x)Ω∗
i (x) dx+
−∫ b(t )
a(t )d(x)Ψ(x)Ω∗
i (x) dx = 0 . (4.13)
Como pode ser observado, a transformação da equação (4.1) é identica ao apre-
sentado anteriormente, salvo o domínio móvel. Portanto, somente os coeficientes,
introduzidos pelas equações (2.25), (2.26), (2.27) e (2.28), serão modificados, sendo
portanto, rescritos como:
Ai , j =∫ b(t )
a(t )
d
dx
(k(x)
dΩ∗j (x)
dx
)Ω∗
i (x) dx, (4.14)
Bi , j =∫ b(t )
a(t )w(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (4.15)
Di , j =∫ b(t )
a(t )d(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (4.16)
Si , j =[k(x) (Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x)−Ω∗j (x)Ω∗
i′(x))
]∣∣∣x=b(t )
x=a(t ). (4.17)
Assim, a equação transformada pode ser rescrita na forma vetorial como:
(AT +S +µ2(t )B −D
)Ψ(t ) = 0. (4.18)
Esse sistema representa um problema de autovetor algébrico, o qual pode ser usado
para determinar a solução os autovalores originais µn(t ) e as autofunções transfor-
madas (dados pelos autovetores do problema algébrico). Então, a seguinte matriz pode
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 32
ser definida:
M = B−1 (AT +S −D
), (4.19)
Assim, o sistema (4.18) pode ser reescrito na forma tradicional como:
(M − µ2(t ) I
)Ψ(t ) = 0. (4.20)
A equação (4.20) proporciona o cálculo direto dos autovalores µn , que são avalia-
dos pela raiz quadrada dos autovalores do tensor M . Já as autofunções Ψn(x, t ) são
determinadas usando a fórmula de inversão (4.7), onde para cada autovalor µn(t ), a
autofunção correspondente é reconstruída usando os componentes do autovetor asso-
ciado Ψn(t ).
4.2 Problema de difusão unidimensional
O problema de difusão unidimensional com domínio em movimento pode ser escrito
como:
ϕ(t ) w(x)∂T (x, t )
∂t= ∂
∂x
(k(x)
∂T (x, t )
∂x
)+
+ (σ(t ) w(x) − d(x)
)T (x, t ) + P (x, t ), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (4.21)
BT (x, t ) = φ(a, t ), para x = a(t ), (4.22)
BT (x, t ) = φ(b, t ), para x = b(t ), (4.23)
T (x,0) = f (x), para a(t ) ≤ x ≤ b(t ). (4.24)
Onde o operador da condição de contorno é definido como:
B ≡(α(x) + β(x)k(x)
∂
∂x
). (4.25)
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 33
4.2.1 Solução tradicional por GITT
Utilizando a base de autofunções definidas pela equação (4.1), o seguinte par de trans-
formação é definido:
T (x, t ) =∞∑
i=1
Ti (t )Ψi (x, t )
N (µi ), (4.26)
Ti (t ) =∫ b(t )
a(t )T (x, t )Ψi (x, t ) dx. (4.27)
Assim, o problema de difusão é transformado levando ao seguinte sistema de equações
diferenciais ordinárias acopladas:
dTi (t )
dt+ µ2
i (t ) Ti (t ) −∞∑
j=1a∗
i , j T j (t ) = gi (t ) (4.28)
Ti (0) = fi =∫ b(0)
a(0)f (x)Ψ(x,0) dx (4.29)
Onde a∗i , j e gi (t ) são definidos como:
a∗i , j =
∫ b(t )
a(t )Ψ j (x, t )
∂Ψi (x, t )
∂tdx, (4.30)
gi (x) = g∗i (t ) + Fb,i (t ) − Fa,i (t ), (4.31)
onde gi∗, Fb,i (t ) e Fa,i (t ) são definidos como:
g∗i (t ) =
∫ b(t )
a(t )P (x, t )Ψi (x, t ) dx +
(∂T (x, t )
∂xΨi (x, t )− ∂Ψi (x, t )
∂xT (x, t )
)∣∣∣∣b(t )
a(t ), (4.32)
Fb,i (t ) = b′(t ) w(b(t ))Ψi (b(t ), t )T (b(t ), t ), (4.33)
Fa,i (t ) = a′(t ) w(a(t ))Ψi (a(t ), t )T (a(t ), t ), (4.34)
A solução da equação (4.28) pode ser obtida numericamente utilizando, por exemplo,
a função NDSolve do Mathematica [16].
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 34
4.3 Solução através da Técnica de Domínio Envolvente
O objetivo da presente metodologia é usar as autofunções auxiliares, definidas em um
domínio que envolve o domínio original. Elas são descritas pelo problema de Sturm-
Liouville (eqs. (2.8)–(2.10)). Assim o par de transformação é definido pelas equações
(3.13) e (3.15).
4.3.1 Transformação do problema de difusão
O problema da difusão com domínio móvel, definido pela equação (4.22) é transfor-
mado aplicando o operador∫ b(t )
a(t ) ( )Ω∗(x)d x, obtendo:
ϕ(t )∫ b(t )
a(t )w(x)
∂T (x, t )
∂tΩ∗
i (x) dx =∫ b(t )
a(t )P (x, t )Ω∗
i (x) dx+
+∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k(x)
∂T (x, t )
∂x
)Ω∗
i (x) dx + σ(t )∫ b(t )
a(t )w(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx+
−∫ b(t )
a(t )d(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx, (4.35)
O termo que leva em consideração os efeitos de difusão (primeiro termo da direita)
pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green, que pode ser escrita na
forma unidimensional como [34]:
∫ x f
x0
u(x) v ′′(x) dx = (u(x) v ′(x) − v(x)u′(x))∣∣x f
x0+
∫ x f
x0
v(x)u′′(x) dx (4.36)
Assim temos:
∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k(x)
∂T (x, t )
∂x
)Ω∗
i (x) dx =∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗i (x)
∂x
)T (x, t ) dx+
+[
k(x)
(∂T (x, t )
∂xΩ∗
i (x)−T (x, t )Ω∗i′(x)
)]x=b(t )
x=a(t ). (4.37)
O último termo da direita pode ser simplificado utilizando as condições de contorno
do problema de difusão original, sendo esta análise análoga ao apresentado no capitulo
anterior. Já o segundo termo no lado da direita da equação acima pode ser simplificado
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 35
com informações do problema auxiliar escolhido, isto é, fazendo:
d
dx
(k(x)
dΩ∗(x)
dx
)= −(γ2 w(x) − d(x))Ω∗(x). (4.38)
Entretanto, para manter a generalidade do estudo, simplificações deste tipo serão evi-
tadas neste ponto da análise.
O primeiro termo da esquerda da equação (4.35) pode ser simplificado utilizando
a regra de Leibniz [34]:
ϕ(t )∫ b(t )
a(t )w(x)
∂T (x, t )
∂tΩ∗
i (x) dx = ϕ(t )∫ b(t )
a(t )
∂
∂t
(w(x)T (x, t )Ω∗
i (x))
dx =
= ϕ(t )∂
∂t
∫ b(t )
a(t )w(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx − (w(x)T (x, t )Ω∗
i (x))
x=b(t ) b′(t )+
+ (w(x)T (x, t )Ω∗
i (x))
x=a(t ) a′(t ). (4.39)
Substituindo a equação (4.39) em (4.35), a seguinte expressão pode ser obtida:
ϕ(t )∂
∂t
∫ b(t )
a(t )w(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx =
=∫ b(t )
a(t )P (x, t )Ω∗
i (x) dx +∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k(x)
∂T (x, t )
∂x
)Ω∗
i (x) dx+
+ σ(t )∫ b(t )
a(t )w(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx −∫ b(t )
a(t )d(x)T (x, t )Ω∗
i (x) dx+
+ (w(x)T (x, t )Ω∗
i (x))
x=b(t ) b′(t ) − (w(x)T (x, t )Ω∗
i (x))
x=a(t ) a′(t ), (4.40)
A formula de inversão, dada pela equação (3.13), é substituída nas equações acima,
obtendo:
∞∑j=1
ϕ(t )
(∫ b(t )
a(t )w(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx
)T ′
j (t ) = Pi (t )+∞∑
j=1
(∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗j (x)
∂x
)Ω∗
i (x) dx+
+∞∑
j=1T j (t )
[(w(x)Ω∗
j (x)Ω∗i (x)
)x=b(t )
b′(t ) −(w(x)Ω∗
j (x)Ω∗i (x)
)x=a(t )
a′(t )]+
+σ(t )∫ b(t )
a(t )w(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx −
∫ b(t )
a(t )d(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx
)T j (t ), (4.41)
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 36
∞∑j=1
(∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗j (x)
∂x
)Ω∗
i (x) dx −∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k∂Ω∗
i (x)
∂x
)Ω∗
j (x) dx
)T j (t ) =
=∞∑
j=1
[k(x)
(Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x) −Ω∗j (x)Ω∗
i′(x)
)]∣∣∣x=b(t )
x=a(t )T j (t ), (4.42)
onde
Pi (t ) =∫ b(t )
a(t )P (x, t )Ω∗
i (x) dx. (4.43)
Neste ponto, é útil, definir os coeficientes abaixo:
Ai , j =∫ b(t )
a(t )
∂
∂x
(k(x)
∂Ω∗j (x)
∂x
)Ω∗
i (x) dx, (4.44)
Bi , j =∫ b(t )
a(t )w(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (4.45)
Di , j =∫ b(t )
a(t )d(x)Ω∗
i (x)Ω∗j (x) dx, (4.46)
Si , j =[k(x) (Ω∗
j′(x)Ω∗
i (x)−Ω∗j (x)Ω∗
i′(x))
]∣∣∣x=b(t )
x=a(t ). (4.47)
Hi , j =(w(x)Ω∗
j (x)Ω∗i (x)
)x=b(t )
b′(t ) −(w(x)Ω∗
j (x)Ω∗i (x)
)x=a(t )
a′(t ) (4.48)
Então, ao introduzir os coeficientes dado pelas equações (4.44)–(4.48), as equações
(4.41) e (4.42) podem ser reescritas como:
ϕ(t )∞∑
j=1Bi , j T ′
j (t ) =∞∑
j=1
(Ai , j + σ(t )Bi , j − Di , j + Hi , j
)T j (t ) + Pi (t ), (4.49)
∞∑j=1
(Ai , j − A j ,i
)T j (t ) =
∞∑j=1
Si , j T j (t ) + bi (t ), (4.50)
onde o temo bi (t ) corresponde ao termo independente da condição de contorno. Para
condições homogêneas de primeiro tipo no problema original, o coeficiente Hi , j será
zero porque T (a(t ), t ) = T (b(t ), t ) = 0. Nestas condições, esse acoplamento em t é
nulo.
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 37
O sistema acima, na forma vetorial, é equivalente a:
ϕ(t )B T′(t ) = (
A + σ(t )B − D + H)
T (t ) + P (t ), (4.51)(A − AT −S
)T (t ) = b(t ). (4.52)
Ainda, a equação (4.52) implica que:
A T (t ) = (AT +S) T (t ) + b(t ), (4.53)
Assim, a equação (4.51) pode ser reescrita como:
ϕ(t )B T′(t ) = (
AT +S + σ(t )B −D + H)
T (t ) + P (t ) + b(t ), (4.54)
Essa equação deverá, então, ser resolvida com a seguinte condição inicial:
T (0) = f , (4.55)
Onde os coeficientes de f são dados por:
fi =∫ b(t )
a(t )w(x) f (x)Ω∗
i (x) dx (4.56)
Diferentemente da solução do problema de difusão em domínio fixo pela Técnica do
Domínio Envolvente, todas as matrizes de coeficientes dependem do tempo. Este fato
acaba com a possibilidade de uma solução analítica utilizando exponenciais de ma-
trizes visto que a inversão do matriz B precisaria ser feito de forma simbólica, o que
é inviável até para baixas ordens de truncamento. A solução para este sistema tem
que ser feita numericamente sem utilizar a inversão numérica de B como feito para
domínios fixos. Testes foram feitos utilizando a função NDSolve do programa Mathe-
matica [16], porém devido ao acoplamento na derivada temporal gerado pela matriz B ,
a solução numérica não foi possível, nem para baixas ordens de truncamento. Assim,
o teste da solução do problema de difusão com o domínio móvel não foi realizado,
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel 38
sendo deixado como trabalho futuro para implementação utilizando uma rotina em
outro sistema operacional, como por exemplo a IVPAG do IMSL.
Capítulo 5
Problemas testes
Uma vez apresentada a solução formal para problemas de autovalor unidimensionais,
problemas de difusão unidimensionais e de problemas de difusão unidimensionais com
o domínio em movimento, os problemas testes utilizados na análise dos resultados
destas soluções são apresentados. Desta forma, para cada formulação proposta, um
conjunto de problemas teste e casos teste será definido.
Para o teste da solução de problemas de autovalor unidimensionais, este capítulo
apresenta quatro problemas, que correspondem a um versão simplificada do problema
de autovalor original com diferentes combinações de condições de contorno. Ainda,
dentro de cada problema teste, serão definidos quatro casos particulares que correspon-
dem às diferentes combinações de contorno do problema de autovalor auxiliar.
No caso do teste da solução de problemas de difusão unidimensionais, três proble-
mas escritos em coordenadas cartesianas e um problema escrito em coordenadas cilín-
dricas são escolhidos, sendo que cada problema é proposto com uma combinação única
de condições de contorno e condições iniciais. Para os problemas escritos no sistema
cartesiano, serão definidos três casos particulares que correspondem às diferentes com-
binações de contorno do problema de autovalor auxiliar. Entretanto, para o problema
escrito em coordenadas cilíndricas, será apresentado somente um caso particular.
Por fim, para o teste da solução de problemas de autovalor unidimensionais com
o domínio em movimento, somente um problema teste com quatro casos teste serão
39
5. Problemas testes 40
apresentados. Desta forma, as formas matemáticas dos coeficientes e equações serão
definidas de modo à facilitar a implementação dos mesmos no ambiente de desenvolvi-
mento.
5.1 Solução de problemas de autovalor
5.1.1 Definição do problema teste simplificado
De maneira a testar a presente metodologia para a solução de problemas de auto-
valor unidimensionais, uma versão simplificada do problema original (Equação de
Helmholtz) foi selecionado:
Ψ′′(x) + µ2Ψ(x) = 0, para a ≤ x ≤ b, (5.1)
Desta forma, são definidas quatro diferentes combinações de condição de contorno
para o problema de autovalor original, como descrito abaixo.
• Problema teste 1: Condições de contorno de Dirichlet em ambos os lados.
Ψ(x) = 0, para x = a, (5.2)
Ψ(x) = 0, para x = b, (5.3)
• Problema teste 2: Condições de contorno de Dirichlet e Neumann.
Ψ(x) = 0, para x = a, (5.4)
Ψ′(x) = 0, para x = b, (5.5)
• Problema teste 3: Condições de contorno de Dirichlet e Robin.
Ψ(x) = 0, para x = a, (5.6)
Ψ(x) + Ψ′(x) = 0, para x = b, (5.7)
5. Problemas testes 41
• Problema teste 4: Condições de contorno de Neumann e Robin.
Ψ‘(x) = 0, para x = a, (5.8)
Ψ(x) + Ψ′(x) = 0, para x = b, (5.9)
Os problemas teste 1 e 2 possuem solução analítica bem conhecida, que pode ser escrita
como:
Ψn(x) = sin(µn (x −a)), onde (5.10)
µn = nπ
b −a. (5.11)
Ψn(x) = sin(µn (x −a)), onde (5.12)
µn = (n −1/2)π
b −a. (5.13)
Onde as equações (5.10) e (5.11) deverão ser utilizadas para o problema teste 1 e as
equações (5.12) e (5.13) deverão ser utilizadas para o problema teste 2. No caso do
problema teste 3, a solução pode ser escrita como:
Ψn(x) = sin(µn (x −a)), (5.14)
onde µn é obtido pela solução da equação transcendental:
sin(µn (b −a)) + µn cos(µn(b −a)) = 0. (5.15)
Para o problema teste 4, a solução pode ser escrita como:
Ψn(x) = cos(µn (x −a)), (5.16)
5. Problemas testes 42
onde µn é obtido pela solução da equação transcendental:
cos(µn (b −a)) − µn sin(µn(b −a)) = 0. (5.17)
Assim, o problema de autovalor auxiliar normalizado e similar ao problema original é
escolhido:
Ω∗′′(x) + γ2Ω∗(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (5.18)
B∗Ω∗(x) = 0, para x = 0, (5.19)
B∗Ω∗(x) = 0, para x = 1, (5.20)
onde o operador B∗ é definido como:
B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)
d
dx
). (5.21)
Para os problemas teste escolhido e independentemente do tipo de condição de con-
torno selecionado, os coeficientes (2.25), (2.26) e (2.27), podem ser simplificados,
obtendo:
Bi , j =∫ b
aΩ∗
j (x)Ω∗i (x) dx, (5.22)
Ai , j = −γ2j Bi , j , (5.23)
Di , j = 0, (5.24)
Os coeficientes onde estão contidos as informações do contorno (2.43), são reescritos
conforme o contorno do problema teste escolhido:
Si , j =[
(Ω∗j′(x) −Ω∗
j (x))Ω∗i (x)
]x=b
x=a, (5.25)
Si , j =[
(Ω∗j′(x) −Ω∗
j (x))Ω∗i′(x)
]x=b
−[
(Ω∗j′(x) −Ω∗
j (x))Ω∗i (x)
]x=a
, (5.26)
5. Problemas testes 43
Si , j =[
(Ω∗j′(x) −Ω∗
j (x))(Ω∗i (x) +Ω∗
i′(x))
]x=b
−[
(Ω∗j′(x) −Ω∗
j (x))Ω∗i (x)
]x=a
,
(5.27)
Si , j =[
(Ω∗j′(x) −Ω∗
j (x))(Ω∗i (x) +Ω∗
i′(x))
]x=b
−[
(Ω∗j′(x) −Ω∗
j (x))Ω∗i′(x)
]x=a
,
(5.28)
onde as equações (5.25), (5.26), (5.27) e (5.28), se referem aos problemas teste 1, 2, 3
e 4, respectivamente.
Para os problemas teste propostos, quatro diferentes casos são selecionados, os
quais compreendem quatro combinações diferentes de contorno para o problema de
autovalor auxiliar. Desta forma, as diferentes condições de contorno e as autofunções
auxiliares resultantes, para cada caso selecionado, são descritas abaixo.
• Caso 1: Ω∗(0) =Ω∗(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 sin(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.29)
• Caso 2: Ω∗′(0) =Ω∗(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 cos(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.30)
• Caso 3: Ω∗(0) =Ω∗′(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 sin(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.31)
• Caso 4: Ω∗′(0) =Ω∗′(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 cos(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.32)
Ωi (x) = 1, γi = 0, (para n = 0) (5.33)
Para todos os problemas teste, cada um dos casos selecionados irá produzir valores
diferentes para os coeficientes de Bi , j , como descrito abaixo:
5. Problemas testes 44
• Casos 1 e 3:
Bi , j = 2∫ b
asin(γi x) sin(γ j x) dx =
=[
sin((γi −γ j )x)
γi −γ j− sin((γi +γ j )x)
γi +γ j
]x=b
x=a
(5.34)
Bi ,i = 2∫ b
asin2(γi x) dx = (b −a)−
[sin(2γi x)
2γi
]x=b
x=a(5.35)
• Casos 2 e 4:
Bi , j = 2∫ b
acos(γi x) cos(γ j x) dx =
=[
sin((γi +γ j )x)
γi +γ j+ sin((γi −γ j )x)
γi −γ j
]x=b
x=a
(5.36)
Bi ,i = 2∫ b
acos2(γi x) dx = (b −a)+
[sin(2γi x)
2γi
]x=b
x=a(5.37)
Bi ,0 = 2∫ b
acos(γi x) dx = 2
[sin(γi x)
γi
]x=b
x=a(5.38)
B0, j = 2∫ b
acos(γ j x) dx = 2
[sin(γ j x)
γ j
]x=b
x=a
(5.39)
B0,0 = (b −a) (5.40)
Já os coeficientes da matriz Si , j variam de acordo com o problema teste e com os casos
selecionados, como descrito abaixo:
• Problema teste 1
5. Problemas testes 45
1. Casos 1 e 3:
Si , j = 2γ j (sin(γi b)cos(γ j b) − sin(γi a)cos(γ j a))+
− 2(sin(γ j b) sin(γi b) − sin(γ j a) sin(γi a)) (5.41)
Si ,i = 2γi (sin(γi b)cos(γi b)+
− sin(γi a)cos(γi a)) − 2(sin(γi b)2 − sin(γi a)2) (5.42)
2. Casos 2 e 4:
Si , j = −2γ j (cos(γi b)sin(γ j b) − cos(γi a)sin(γ j a))+
− 2(cos(γi b) cos(γ j b) − cos(γi a) cos(γ j a)) (5.43)
Si ,i = −2γi (cos(γi b)sin(γi b)+
− cos(γi a)sin(γi a)) − 2(cos(γi b)2 − cos(γi a)2) (5.44)
Si ,0 = −2(cos(γi b) − cos(γi a)) (5.45)
S0, j = −2γ j (sin(γ j b) − sin(γ j a)) − 2(cos(γi b) − cos(γi a)) (5.46)
S0,0 = 0 (5.47)
• Problema teste 2
1. Casos 1 e 3:
Si , j = +2γi γ j cos(γ j b) cos(γi b) − 2γi sin(γ j b) cos(γi b)+
− 2γ j cos(γ j a) sin(γi a) + 2 sin(γ j a) sin(γi a) (5.48)
5. Problemas testes 46
Si ,i = +2(γi cos(γi b))2+
− 2γi sin(γi b) cos(γi b) − 2γi cos(γi a) sin(γi a) + 2 sin(γi a)2 (5.49)
2. Casos 2 e 4:
Si , j = +2γ j γi sin(γ j b)sin(γi b) + 2γi cos(γ j b) sin(γi b)+
+ 2γ j sin(γ j a) cos(γi a) + 2 cos(γ j a) cos(γi a) (5.50)
Si ,i = +2(γi sin(γi b))2 + 2γi cos(γi b) sin(γi b)+
+ 2γi sin(γi a) cos(γi a) + 2 cos(γi a)2 (5.51)
Si ,0 = +2γi sin(γi b) + 2 cos(γi a) (5.52)
S0, j = +2γ j (sin(γ j a) + 2 cos(γ j a)) (5.53)
S0,0 = 2 (5.54)
• Problema teste 3
1. Casos 1 e 3:
Si , j = 2γ j cos(γ j b)sin(γi b) + 2γi γ j cos(γ j b) cos(γi b)+
− 2 sin(γ j b) sin(γi b) − 2γi sin(γ j b) cos(γi b)+
− 2γ j cos(γ j a) sin(γi a) + 2 sin(γ j a) sin(γi a) (5.55)
Si ,i = +2(γi cos(γi b))2 − 2 sin(γi b)2+
− 2γi cos(γi a)sin(γi a) + 2 sin(γi a)2 (5.56)
5. Problemas testes 47
2. Casos 2 e 4:
Si , j = −2γ j sin(γ j b) cos(γi b) − 2 cos(γ j b) cos(γi b)+
+ 2γi γ j sin(γ j b) sin(γi b) + 2γi cos(γ j b) sin(γi b)+
+ 2γ j sin(γ j a) cos(γi a) + 2 cos(γ j a) cos(γi a) (5.57)
Si ,i = −2 cos(γi b)2 + 2γ2i sin(γi b)2+
+ 2γi sin(γi a) cos(γi a) + 2 cos(γi a)2 (5.58)
Si ,0 = −2 cos(γi b) + 2γi sin(γi b) + 2 cos(γi a) (5.59)
S0, j = −2γ j sin(γ j b) − 2 cos(γ j b) + 2γ j sin(γ j a) + 2 cos(γ j a) (5.60)
S0,0 = 0 (5.61)
• Problema teste 4
1. Casos 1 e 3:
Si , j = 2γ j cos(γ j b)sin(γi b) + 2γi γ j cos(γ j b) cos(γi b)+
− 2 sin(γ j b) sin(γi b) − 2γi sin(γ j b) cos(γi b)+
− 2γi γ j cos(γ j a) cos(γi a) + 2γi sin(γ j a) cos(γi a)+ (5.62)
Si ,i = 2(γi cos(γi b))2 − 2 sin(γi b)2+
− 2(γi cos(γi a))2 + 2γi sin(γi a) cos(γi a) (5.63)
5. Problemas testes 48
2. Casos 2 e 4:
Si , j = −2γ j sin(γ j b) cos(γi b) − 2 cos(γ j b) cos(γi b)+
+ 2γi γ j sin(γ j b) sin(γi b) + 2γi cos(γ j b) sin(γi b)+
− 2γ j γi sin(γ j a)sin(γi a) + 2γi cos(γ j a) sin(γi a) (5.64)
Si ,i = −2 cos(γi b)2 + 2γ2i sin(γi b)2+
− 2γ2i sin(γi a)2 + 2γi cos(γi a) sin(γi a) (5.65)
Si ,0 = −2 cos(γi b) + 2γi sin(γi b) + 2γi sin(γi a) (5.66)
S0, j = −2γ j sin(γ j b) − 2 cos(γ j b) (5.67)
S0,0 = −2 (5.68)
5.2 Solução de problemas de difusão
5.2.1 Problema em coordenadas cartesianas
De maneira a ilustrar a presente metodologia de solução de problemas de difusão uni-
dimensional, uma versão simplificada do problema de difusão unidimensional gener-
alizado é considerado:
∂T (x∗, t∗)
∂t∗= ∂2T (x∗, t∗)
∂x2, para a ≤ x∗ ≤ b, (5.69)
onde
t∗ = t α
(b −a)2. (5.70)
5. Problemas testes 49
Este problema tem uma solução analítica bem conhecida e pode ser escrita como:
T (x∗, t∗) =∞∑
n=1
(∫ 10 f (x∗)Ψn(x∗) dx
)N (µn)
exp(−µ2
n t∗)Ψn(x∗). (5.71)
Uma vez conhecidas as condições de contorno, o problema é resolvido facilmente.
Desta forma, com o intuito de enriquecer o estudo, serão considerados, analisados
e comparados três combinações de contorno e condição inicial diferentes, definidos
como descrito abaixo.
• Problema teste 5
T (0, t∗) = φ(0, t∗) = 0, para x∗ = 0, (5.72)
T (1, t∗) = φ(1, t∗) = 0, para x∗ = 1, (5.73)
T (x∗,0) = 1, para 0 ≤ x∗ ≤ 1, (5.74)
• Problema teste 6
T (0, t∗) = φ(0, t∗) = 0, para x∗ = 0, (5.75)
∂T (1, t∗)
∂x= φ(1, t∗) = 0, para x∗ = 1, (5.76)
T (x∗,0) = 1, para 0 ≤ x∗ ≤ 1, (5.77)
• Problema teste 7
T (0, t∗) = φ(0, t∗) = 0, para x∗ = 0, (5.78)
T (1, t∗) = φ(1, t∗) = 0, para x∗ = 1, (5.79)
T (x∗,0) = x∗, para 0 ≤ x∗ ≤ 1, (5.80)
Onde as autofunções (Ψn(x∗)), os autovalores µn e a norma N (µn), para os problemas
teste 5, 6 e 7, podem ser escritos como:
5. Problemas testes 50
• Para o problema teste 5 e 7
Ψn(x∗) = sin(µn x∗) (5.81)
N (µn) =∫ 1
0Ψn(x∗)2 dx∗ (5.82)
µn = nπ (5.83)
• Para o problema teste 6
Ψn(x∗) = sin(µn x∗) (5.84)
N (µn) =∫ 1
0Ψn(x∗)2 dx∗ (5.85)
µn = (n − 1
2)π (5.86)
De maneira a resolver o problema utilizando a metodologia proposta, um problema de
autovalor auxiliar (com autofunções normalizadas) similar as do problema original é
escolhido:
Ω′′(x) + γ2Ω(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (5.87)
B∗Ω = 0, para x = 0, (5.88)
B∗Ω = 0, para x = 1, (5.89)
Onde o operador B∗ é definido como:
B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)
d
dx
). (5.90)
Apesar da equação (5.87) ser definida de maneira similar ao problema original, o
domínio é definido de modo a obter 0 ≤ a ≤ x ≤ b ≤ 1, onde a ≤ x ≤ b é o domínio
do problema original e 0 ≤ x ≤ 1 é o domínio do problema envolvente. Assim, difer-
entes combinações de condições de contorno para Ωi (x) são analisados e comparados,
conforme descrito abaixo:
5. Problemas testes 51
• Caso 1: Ω(0) =Ω(1) = 0.
Ωi (x) = p2 sin(γi x), γi = nπ, n = 1,2, . . . (5.91)
• Caso 2: Ω′(0) =Ω(1) = 0.
Ωi (x) = p2 cos(γi x), γi = (n −1/2)π, n = 1,2, . . . (5.92)
• Caso 3: Ω(0) =Ω′(1) = 0.
Ωi (x) = p2 sin(γi x), γi = (n −1/2)π, n = 1,2, . . . (5.93)
Neste ponto é interessante observar que, diferentemente da análise da metodologia
proposta na solução de problemas de autovalor unidimensionais generalizado, o caso
4, onde o contorno em ambos os lados são considerados do segundo tipo (Neumann),
não é considerado.
No caso dos coeficientes dados pelas equações (3.27), (3.28) e (3.29), independente
do tipo de condição de contorno utilizado, são simplificados, fornecendo:
Bi , j =∫ b
aΩ j Ωi dx, (5.94)
Ai , j = −γ2j Bi , j , (5.95)
Di , j = 0, (5.96)
Já o coeficiente Si , j , dado pela equação (3.50), varia de acordo com o tipo de con-
torno escolhido para o problema teste. Desta forma, para os problemas teste 5 e 7, o
coeficiente pode ser escrito como:
Si , j =[
(Ω′j −Ω j )Ωi
]x=b
x=a. (5.97)
5. Problemas testes 52
Já para o problema teste 6, o coeficiente Si , j pode ser escrito como:
Si , j =[
(Ω′j −Ω j )Ω′
i
]x=b
−[
(Ω′j −Ω j )Ωi
]x=a
. (5.98)
Quando levado em conta o contorno do problema de autofunção auxiliar normalizado,
os coeficientes (3.27, 3.28, 3.29 e 3.50) são simplificados novamente. No caso do
problema teste 5 e 7, os coeficientes são dados pelas equações (5.1.1 e 5.1.1). Já no
caso do problema teste 6, os coeficientes são dados pelas equações (5.1.1 e 5.1.1).
5.2.2 Problema em coordenadas cilíndricas
O problema de difusão unidimensional simplificado na forma cilíndrica, pode ser es-
crito como:
∂T (r, t∗)
∂t∗= ∂
∂r
(r∂T (r, t∗)
∂r
), para ra ≤ r ≤ rb , (5.99)
Onde t∗ = t α. Este problema é facilmente obtido fazendo as seguintes transformações
na equação do problema da difusão unidimensional generalizado (3.1) na forma carte-
siana:
w(x) = r k(x) = r x 7→ r (5.100)
d(x) = 0 P (x, t ) = 0 σ(t ) = 0 (5.101)
Este problema tem uma solução analítica bem conhecida e esta pode ser escrita como:
T (r, t∗) =∞∑
n=1
(∫ rbra
r f (r )Ψn(r ) dr)
N (µn)exp
(−µ2n t∗
)Ψn(r ). (5.102)
5. Problemas testes 53
Assim, o problema de autovalor correspondente é escrito como:
d
dr
(r
dΨ(r )
dx
)+ µ2 rΨ(r ) = 0, para ra ≤ x ≤ rb , (5.103)
BΨ(r ) = 0, para r = ra , (5.104)
BΨ(r ) = 0, para r = rb , (5.105)
onde o operador B é definido como:
B∗ ≡(α(r ) + β(r )r
d
dr
). (5.106)
Sendo que o operador de contorno é descrito na equação (2.4). Similarmente ao prob-
lema cartesiano, uma vez conhecido as condições de contorno, o problema é resolvido
facilmente. Desta forma, serão apresentados dois problemas testes que compreendem
duas combinações de contorno diferente, definidos como:
• Problema teste 8
T (rb , t∗) = φ(rb , t∗) = 0, para r = rb , (5.107)
T (r,0) = 1, para 0 ≤ r ≤ rb , (5.108)
Sendo que os problemas testes foram definidos considerando a condição de contorno
no centro do cilindro como: ∣∣T (0, t∗)∣∣<∞ (5.109)
que implica que o potencial T no raio zero não pode ser infinito. Assim, as autofunções
(Ψn(r )) e norma (N (µn)) para os problemas teste 8, pode ser escrito como:
Ψn(r ) = J0(µn r ) (5.110)
N (µn) = 1
2r 2 (
J0(µn r )+ J1(µn r ))
(5.111)
5. Problemas testes 54
Onde Jν(µn r ) é a função de Bessel de ordem ν de primeiro tipo [34]. Os autovalores
µn são obtidos pela solução da seguinte equação:
J0(µn rb) = 0. (5.112)
De maneira a resolver o problema utilizando a metodologia proposta, um problema de
autofunções auxiliares normalizado e similar ao problema original é escolhido:
r Ω∗′′(r ) +Ω∗′(r ) + γ2 r Ω∗(r ) = 0, para 0 ≤ r ≤ 1, (5.113)
B∗Ω∗(r ) = 0, para r = 0, (5.114)
B∗Ω∗(r ) = 0, para r = 1, (5.115)
Onde o operador B∗ é definido como:
B∗ ≡(α∗(r ) + β∗(r )r
d
dr
). (5.116)
Apesar da equação (5.113) ser definida de maneira similar ao problema original, o
domínio é definido de modo a obter 0 ≤ ra ≤ r ≤ rb ≤ 1, onde ra ≤ r ≤ rb é o
domínio do problema original e 0 ≤ r ≤ 1 é o domínio do problema envolvente. No
caso particular para r = 0 a condição de contorno nas coordenadas cilíndricas deve ser:
|Ω∗(0)| < ∞ (5.117)
Assim, um caso de condições de contorno para Ω∗i (r ) é apresentado:
• Caso 1: Ω∗(1) = 0.
Ω∗i (r ) = Jo(γi r )√
N (γi )Jo(γi ) = 0, i = 1,2, . . . (5.118)
5. Problemas testes 55
Independente do tipo de condição de contorno utilizado nos problemas teste, os coefi-
cientes dados pelas equações (3.27), (3.28) e (3.29) são simplificados, fornecendo:
Bi , j =∫ rb
0r Ω j (r )Ωi (r ) dr (5.119)
Ai , j = −γ2j Bi , j (5.120)
Di , j = 0, (5.121)
Assim, quando considerado o caso teste, os coeficientes da matriz Bi , j e Si , j podem
ser reescritas como:
Bi , j = 1
N (γi )
∫ rb
0r J0(γi r ) J0(γ j r ) dr, (5.122)
Si , j = (J ′0(γ j rb) − J0(γ j rb))J0(γi rb) − (J ′0(γ j ra) − J0(γ j ra))J0(γi ra) (5.123)
Si ,i = (J ′0(γi rb) − J0(γi rb))J0(γi rb) − (J ′0(γi ra) − J0(γi ra))J0(γi ra) (5.124)
Si ,0 = 0 (5.125)
S0, j = (J ′0(γ j rb) − J0(γ j rb)) − (J ′0(γ j ra) − J0(γ j ra)) (5.126)
S0,0 = 0 (5.127)
5.3 Solução de problemas de autovalor em domínio móvel
5.3.1 Definição do problema teste
De maneira a ilustrar a presente metodologia, uma versão simplificada do problema de
autovalor unidimensional com domínio em movimento generalizado, aqui chamado de
5. Problemas testes 56
problema teste 9, é considerado:
∂2
∂x2Ψn(x, t ) + µ2
nΨn(x, t ) = 0 para a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (5.128)
Ψ(a(t ), t ) = 0 para x = a(t ), (5.129)
Ψ(b(t ), t ) = 0 para x = b(t ), (5.130)
A solução deste problema é analítica e é escrita da seguinte forma:
Ψn(x, t ) = sin(µn (x − a(t ))), (5.131)
µn = nπ
b(t ) − a(t ). (5.132)
De maneira a resolver o problema utilizando a metodologia proposta, um problema de
autofunções auxiliares normalizadas e similar ao problema original é escolhido:
Ω′′(x) + γ2Ω(x) = 0, para 0 ≤ x ≤ 1, (5.133)
B∗Ω = 0, para x = 0, (5.134)
B∗Ω = 0, para x = 1, (5.135)
Onde o operador B∗ é definido como:
B∗ ≡(α∗(x) + β∗(x)k(x)
d
dx
). (5.136)
Apesar da equação (5.133) ser definida de maneira similar ao problema original, o
domínio é definido de modo a obter 0 ≤ a(t ) ≤ x ≤ b(t ) ≤ 1, onde a(t ) ≤ x ≤ b(t )
é o domínio do problema original e 0 ≤ x ≤ 1 é o domínio do problema envolvente.
Assim, diferentes combinações de condições de contorno para Ωi (x) são analisados e
comparados, conforme descrito abaixo:
• Caso 1: Ω∗(0) =Ω∗(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 sin(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.137)
5. Problemas testes 57
• Caso 2: Ω∗′(0) =Ω∗(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 cos(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.138)
• Caso 3: Ω∗(0) =Ω∗′(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 sin(γi x), γi = (i −1/2)π, i = 1,2, . . . (5.139)
• Caso 4: Ω∗′(0) =Ω∗′(1) = 0.
Ω∗i (x) = p
2 cos(γi x), γi = i π, i = 1,2, . . . (5.140)
Ωi (x) = 1, γi = 0, (para n = 0) (5.141)
No caso dos coeficientes dados pelas equações (4.14), (4.15), (4.16) e (4.17), indepen-
dente do tipo de condição de contorno utilizado, são simplificados, fornecendo:
Bi , j =∫ b(t )
a(t )Ω j Ωi dx, (5.142)
Ai , j = −γ2j Bi , j , (5.143)
Di , j = 0, (5.144)
Si , j =[
(Ω′j −Ω j )Ωi
]x=b
x=a. (5.145)
Para o casos teste selecionado, cada um dos casos selecionados irão produzir valores
diferentes para os coeficientes de Bi , j , como descrito abaixo:
• Casos 1 e 3:
Bi , j = 2∫ b(t )
a(t )sin(γi x) sin(γ j x) dx (5.146)
Bi ,i = 2∫ b(t )
a(t )sin2(γi x) dx (5.147)
5. Problemas testes 58
• Casos 2 e 4:
Bi , j = 2∫ b(t )
a(t )cos(γi x) cos(γ j x) dx (5.148)
Bi ,i = 2∫ b(t )
a(t )cos2(γi x) dx (5.149)
Bi ,0 = 2∫ b(t )
a(t )cos(γi x) dx (5.150)
B0, j = 2∫ b(t )
a(t )cos(γ j x) dx (5.151)
B0,0 = (b(t ) − a(t )). (5.152)
Assim, o mesmo ocorre com os coeficientes da matriz Si , j , como descrito abaixo:
• Casos 1 e 3:
Si , j = 2γ j (sin(γi b(t ))cos(γ j b(t )) − sin(γi a(t ))cos(γ j a(t )))+
− 2(sin(γ j b(t )) sin(γi b(t )) − sin(γ j a(t )) sin(γi a(t ))) (5.153)
Si ,i = 2γi (sin(γi b)cos(γi b)+
− sin(γi a(t ))cos(γi a(t ))) − 2(sin(γi b)2 − sin(γi a(t ))2) (5.154)
• Casos 2 e 4:
Si , j = −2γ j (cos(γi b(t ))sin(γ j b(t )) − cos(γi a(t ))sin(γ j a(t )))+
− 2(cos(γi b(t )) cos(γ j b(t )) − cos(γi a(t )) cos(γ j a(t ))) (5.155)
Si ,i = −2γi (cos(γi b(t ))sin(γi b(t ))+
− cos(γi a(t ))sin(γi a(t ))) − 2(cos(γi b(t ))2 − cos(γi a(t ))2) (5.156)
5. Problemas testes 59
Si ,0 = −2(cos(γi b(t )) − cos(γi a(t ))) (5.157)
S0, j = −2γ j (sin(γ j b(t )) − sin(γ j a(t ))) − 2(cos(γi b(t )) − cos(γi a(t )))
(5.158)
S0,0 = 0 (5.159)
Assim, foram apresentados os problemas testes e casos testes para todas as soluções
apresentadas nos capítulos anteriores, exceto para o caso do problema de difusão
unidimensional com o domínio móvel. Desta forma, soluções para todos os proble-
mas aqui apresentados foram implementadas no ambiente de desenvolvimento Mathe-
matica [16] utilizando computação simbólica e numéricas e os resultados produzidos
foram analisados e comparados, como apresentado no capítulo seguinte.
Capítulo 6
Resultados e discussão
A solução de problemas de autovalor unidimensionais e difusão unidimensionais pela
TDE, apresentada nos capítulos anteriores, foi implementada no programa Mathemat-
ica [16] e é agora apresentada. Assim, de modo a obter uma melhor compreensão dos
resultados, a análise foi realizada levando em conta duas fases: a primeira teve como
objetivo analisar a convergência dos resultados e a segunda, teve como objetivo, uma
análise comparativa entre os problemas testes e os casos selecionados.
Para isso, serão apresentados as seguintes variáveis: A ordem de truncamento, a
precisão de trabalho e o domínio do problema. A ordem de truncamento, aqui repre-
sentada como imax é o numero de autovalores e autovetores utilizado no cálculo da
solução. Já a precisão de trabalho, aqui representada como WP (WorkingPrecision1)
é o número de dígitos decimais usado nos computadores na realização dos cálculos
matemáticos. É sabido que a precisão padrão dos computadores é de aproximadamente
dezesseis casa decimais (para representação em ponto flutuante com 16 bits), entre-
tanto, nem sempre essa precisão foi o suficiente para obter um resultado satisfatório.
Por último, o domínio do problema original é variado para se obter basicamente dois
casos: um domínio envolvente próximo ao domínio original (a = 0.1 e b = 0.9) e um
domínio envolvente longe do domínio original (a = 0.25 e b = 0.75). Ainda, devido às
1 Esta variável é definida no Mathematica controlando o número de dígitos decimais utilizados emoperações aritméticas computacional.
60
6. Resultados e discussão 61
características de cada problema estudado, novas variáveis serão definidas e analisadas
e, se for o caso, comparadas.
6.1 Problema de autovalor
Os resultados do problema de autovalor unidimensional serão apresentados na forma
de tabelas, onde somente os primeiros dez autovalores são calculados e comparados
com a solução exata, obtidas pela equação (5.10) e (5.12), para diferentes ordens de
truncamento (imax) e diferentes valores de precisão (WorkingPrecision – WP).
As Tabelas 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4 apresentam resultados calculados para os casos 1,2,3
e 4, respectivamente, usando o contorno como: a = 0.25 e b = 0.75. Como pode ser
observado, os primeiros autovalores convergem mais rápido que os últimos. Ainda,
é observado que com o aumento da ordem de truncamento, a precisão requerida tam-
bém é aumentada. Portanto, é observada uma convergência com ambas as ordens de
truncamento e precisão.
Em seguida, as tabelas 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8 apresentam resultados dos cálculos para os
mesmos quatro casos, sendo a = 0.1 e b = 0.9. Analisando esses resultados novamente,
observa-se que para garantir a convergência de grandes ordens de truncamento, uma
maior precisão numérica é requerida. Ainda, conforme a tabela anterior, os primeiros
autovalores convergem mais rápidos que os últimos.
Comparando a taxa de convergência resultante dos quatro problemas teste, é obser-
vado que todos os casos apresentam o mesmo comportamento com respeito à ordem de
truncamento. Entretanto, diferentes valores de precisão são requeridos para cada caso.
Para a = 0.25 e b = 0.75, o caso 4 apresenta a pior taxa de convergência com respeito à
precisão. Isso pode ser visto uma vez que para 40 autovalores calculados, é necessário
uma precisão numérica de cinqüenta casas decimais para obter a convergência dos dez
primeiros autovalores. Já o caso 1, possuiu uma taxa de convergência ruim, entretanto
um pouco melhor que o caso 4. Os casos 2 e 3 apresentam taxas de convergência
similares com respeito à precisão, com o caso 2 tendo a melhor performance.
Repetindo a analise para a = 0.1 e b = 0.9, é observado que menor disparidade
6. Resultados e discussão 62
entre os casos, entretanto, pode ser observado que o caso 4, novamente, é a pior opção.
Além disso, comparando os resultados dos dois diferentes domínios (dados por a e b)
é observado que o domínio com a = 0.25 e b = 0.75 necessita de maiores valores de
precisão para se obter a convergência. Isso sugere que usando o domínio envolvente
próximo do domínio do problema real pode levar a uma melhor convergência.
O caso com o domínio envolvente próximo ao domínio original (a = 0.1 e b = 0.9)
apresenta uma taxa de convergência que pode ser separada em duas partes. A primeira
é utilizando uma ordem de truncamento baixa, isto é, para imax ≤ 25. Neste caso,
mesmo com uma precisão de vinte casas decimais, não é possível verificar uma con-
vergência para o primeiro autovalor . Agora, analisando uma ordem de truncamento
alta, isto é imax ≥ 25, pode-se observar que a precisão necessária para obter a con-
vergência dos dez primeiros autovalores é baixa (W P = 20) quando comparada com o
caso do domínio envolvente longe do domínio original. Já o caso com o domínio en-
volvente longe do domínio original (a = 0.25 e b = 0.75) é exatamente o contrário do
discorrido acima. Para pequenas ordens de truncamento é possível observar uma con-
vergência relativamente boa para os primeiros autovalores, sendo que utilizando uma
precisão maior. Tal comportamento pode ser observado nas tabelas 6.9, 6.10, onde são
apresentado os erros para dos primeiros dez autovalores, usando o contorno original
afastado do domínio envolvente (a = 0.25 e b = 0.75) e o contorno original próximo
ao domínio envolvente (a = 0.1 e b = 0.9), respectivamente. Portanto, esses dados
sugerem que para um dado problema, uma análise qualitativa pode ser feita com um
pequeno custo computacional se utilizado um domínio envolvente longe do domínio
original. Já no caso de uma analise quantitativa, os dados sugerem que se utilizando
um domínio envolvente próximo ao domínio original obtém-se melhores resultados.
Para os problemas teste 2,3 e 4, que foram definidos anteriormente, não foram
observados grandes discrepâncias ao observado para o problema teste 1, de modo que
não é possível determinar se um problema teste é melhor que outro ou se um caso teste
é sempre melhor que outro, independentemente do problema teste escolhido. Assim,
os resultados desses problemas testes estão apresentados no apêndice A.
6. Resultados e discussão 63
Tab.
6.1:
Prob
lem
ate
ste
1-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
res
para
oca
sos
1co
ma=
0.25
eb=
0.75
.i m
ax
WP
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
1010
45.1
740
157.
914
430.
263
631.
655
791.
499
1428
.35
1870
.17
4131
.51
-102
14.8
-173
95.1
1015
39.4
785
157.
914
355.
307
631.
655
987.
775
1427
.89
2838
.00
4131
.72
-112
82.8
-174
10.3
1020
39.4
785
157.
914
355.
307
631.
655
987.
775
1427
.89
2838
.00
4131
.72
-112
82.8
-174
10.3
1510
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
1515
146.
278
157.
914
399.
829
631.
655
752.
438
1177
.78
1421
.22
1558
.95
2217
.67
2527
.55
1520
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2527
.36
3201
.50
4257
.65
2010
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
0.00
000
2015
157.
914
631.
655
1421
.22
2526
.62
3947
.84
−3.7×1
06−3
.2×1
07−7
.8×1
071.
4×10
84.
4×10
8
2020
39.4
784
157.
914
355.
306
526.
473
631.
655
986.
961
1421
.22
1905
.14
1934
.44
2526
.62
2520
21.0
530
157.
914
171.
012
631.
655
794.
453
1278
.33
1421
.22
1752
.42
Com
plex
oC
ompl
exo
2525
15.5
066
141.
347
157.
914
592.
704
631.
655
1103
.34
1421
.22
1622
.11
2200
.33
2526
.62
2530
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
3025
38.3
729
157.
914
357.
132
631.
655
996.
811
1218
.13
1421
.22
Com
plex
oC
ompl
exo
1934
.86
3030
38.7
866
157.
914
354.
758
631.
655
989.
977
1216
.39
1421
.22
Com
plex
oC
ompl
exo
1935
.08
3035
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
3530
15.6
147
140.
236
157.
914
406.
538
631.
655
1276
.61
1421
.22
Com
plex
oC
ompl
exo
1847
.84
3535
14.2
651
128.
314
157.
914
357.
453
631.
655
991.
396
1421
.22
1568
.08
2164
.52
2526
.62
3540
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
4035
16.3
457
138.
933
157.
914
398.
654
631.
655
781.
245
1421
.22
1846
.90
2522
.28
2526
.62
4040
13.8
189
124.
098
157.
914
343.
365
631.
655
670.
846
1421
.22
1523
.94
2147
.03
2526
.62
4045
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
Exa
to39
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
014
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
4
6. Resultados e discussão 64
Tab.
6.2:
Prob
lem
ate
ste
1-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
res
para
oca
so2
com
a=
0.25
eb=
0.75
.i m
ax
WP
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
1010
39.4
785
157.
914
355.
306
631.
656
988.
289
1445
.59
2847
.55
4591
.13
-111
88.2
-209
24.4
1015
39.4
785
157.
914
355.
306
631.
656
988.
289
1445
.60
2847
.55
4591
.12
-111
88.2
-209
24.4
1020
39.4
785
157.
914
355.
306
631.
656
988.
289
1445
.60
2847
.55
4591
.12
-111
88.2
-209
24.4
1510
41.0
026
158.
513
362.
807
531.
261
693.
264
962.
556
1268
.27
1521
.44
1875
.95
2582
.95
1515
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2527
.64
3211
.02
4265
.45
1520
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2527
.64
3211
.02
4265
.45
2010
Com
plex
oC
ompl
exo
384.
495
Com
plex
oC
ompl
exo
Com
plex
oC
ompl
exo
1284
.07
2244
.81
2464
.15
2015
37.0
887
157.
308
355.
472
633.
063
986.
791
1422
.47
1936
.07
2509
.97
3195
.94
Com
plex
o20
2039
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
014
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
425
15C
ompl
exo
Com
plex
o36
4.69
4C
ompl
exo
Com
plex
oC
ompl
exo
Com
plex
o11
59.2
5C
ompl
exo
Com
plex
o25
2033
.536
716
1.35
736
9.52
748
5.43
267
3.38
698
5.95
512
92.4
815
31.6
519
08.9
923
27.6
225
2539
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
014
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
430
1591
.383
018
1.68
234
4.38
756
4.87
872
4.50
310
40.7
213
29.2
615
53.0
621
23.1
926
02.4
530
2085
.214
917
0.57
331
0.12
152
4.26
569
0.20
396
6.53
712
93.0
915
33.7
018
40.6
923
06.2
730
2539
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
014
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
435
20C
ompl
exo
Com
plex
o34
0.45
5C
ompl
exo
Com
plex
oC
ompl
exo
Com
plex
o10
94.5
0C
ompl
exo
Com
plex
o35
2533
.449
916
0.34
737
8.81
544
9.24
166
3.24
399
3.98
512
69.9
815
14.5
619
01.3
2365
.77
3530
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
4025
83.3
932
168.
375
303.
568
516.
647
683.
333
955.
221
1285
.02
1527
.76
1933
.17
2365
.58
4030
39.3
985
157.
840
355.
435
631.
716
986.
934
1421
.23
1934
.49
2526
.63
3197
.77
3947
.93
4035
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
Exa
to39
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
014
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
4
6. Resultados e discussão 65
Tab.
6.3:
Prob
lem
ate
ste
1-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
res
para
oca
so3
com
a=
0.25
eb=
0.75
.i m
ax
WP
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
1010
39.4
785
157.
914
355.
306
631.
656
988.
286
1445
.67
2843
.31
4598
.02
-113
79.6
-206
72.9
1015
39.4
785
157.
914
355.
306
631.
656
988.
286
1445
.67
2843
.31
4598
.01
-113
79.6
-206
72.9
1020
39.4
785
157.
914
355.
306
631.
656
988.
286
1445
.67
2843
.31
4598
.01
-113
79.6
-206
72.9
1510
38.6
644
160.
086
362.
555
529.
058
694.
100
962.
579
1267
.03
1526
.430
1858
.45
2617
.51
1515
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2527
.640
3211
.03
4265
.22
1520
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2527
.640
3211
.03
4265
.22
2010
89.5
080
174.
641
323.
034
536.
539
701.
244
988.
377
1302
.31
1483
.40
1962
.77
2368
.920
1536
.626
115
8.31
435
4.73
363
1.01
398
6.34
614
21.0
819
31.4
725
13.2
532
18.0
3C
ompl
exo
2020
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
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Com
plex
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Com
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Com
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1934
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2526
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Exa
to39
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21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
4
6. Resultados e discussão 66
Tab.
6.4:
Prob
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ate
ste
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2025
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2030
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97.7
539
47.8
4
6. Resultados e discussão 67
Tab.
6.5:
Prob
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ste
1-C
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to15
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986.
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1249
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1542
.13
6. Resultados e discussão 68
Tab.
6.6:
Prob
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2020
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42.1
3
6. Resultados e discussão 69
Tab.
6.7:
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42.1
3
6. Resultados e discussão 70
Tab.
6.8:
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——
——
——
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215
42.1
335
100.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
035
1515
.421
113
8.78
924
6.74
246.
872
385.
532
675.
772
755.
641
1089
.42
1249
.12
1585
.22
3520
15.4
213
61.6
8513
8.79
124
6.74
385.
531
555.
165
755.
642
986.
9612
49.1
215
42.1
340
100.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
00.
0000
040
1513
.666
761
.864
246.
7428
1.68
555.
2260
5.14
898
6.93
610
04.0
515
04.5
315
42.2
4020
15.4
213
61.6
8513
8.79
224
6.74
385.
531
555.
165
755.
642
986.
9612
49.1
215
42.1
340
2515
.421
361
.685
138.
791
246.
7438
5.53
155
5.16
575
5.64
298
6.96
1249
.12
1542
.13
Exa
to15
.421
361
.685
138.
791
246.
7438
5.53
155
5.16
575
5.64
298
6.96
1249
.12
1542
.13
6. Resultados e discussão 71
Tab. 6.9: Erro para o caso 1 com a = 0.25 e b = 0.75.imax WP µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
Caso 1 Com a = 0.25 a b = 0.75.10 10 14.42 0 21.09 0 19.8 0.5 3.32 63.51 419.43 540.6210 15 0 0 0 0 0.08 0.46 46.7 63.52 452.83 541.10 20 0 0 0 0 0.08 0.46 46.7 63.52 452.83 541.15 20 0 0 0 0 0 0 0 0.02 0.11 7.8415 25 0 0 0 0 0 0 0 0.02 0.11 7.8415 30 0 0 0 0 0 0 0 0.02 0.11 7.8420 20 0 0 0 16.63 36. 30.55 26.53 24.6 39.5 36.20 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Tab. 6.10: Erro para o caso 1 com a = 0.1 e b = 0.9.imax WP µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6 µ7 µ8 µ9 µ10
Caso 1 Com a = 0.1 a b = 0.9.10 10 0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.3510 15 0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.3510 20 0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.3515 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 015 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 020 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
6.2 Problema de difusão em coordenadas cartesianas
A temperatura calculada utilizando a Técnica do Domínio Envolvente é apresentada
em tabelas e comparado com a solução exata, obtida da equação (3.27). O resultado
foi calculado para diferentes ordens de truncamento (imax) e números de dígitos uti-
lizados nos cálculos (WP). Foram ainda utilizado três diferentes valores para o t∗, de
modo a simular as situações de equilíbrio e de regime transiente. Entretanto, o erro
nos autovalores calculados e seus autovetores associados é significativamente maior
para os dois últimos autovalores. Portanto, quando a matriz exponencial é avaliada,
os últimos dois autovalores (e seus autovetores associados) precisam ser descartados.
Quando isso não é feito, o erro é amplificado pelas exponenciais. Portanto, um uma
6. Resultados e discussão 72
ordem de truncamento pequena foi usada no cálculo da solução final (envolvendo o
calculo da matriz exponencial), chamado de id . Essas duas ordens de truncamento
diferente são chamadas de ordem de truncamento do problema de autovalor (imax) e a
ordem de truncamento do problema de difusão (id ).
As tabelas 6.11, 6.12 e 6.13 apresentam os resultados para os casos 1 e 2 do prob-
lema teste 5, usando a = 0.25, b = 0.75 e x = 0.5, sendo que t∗ = 1, t∗ = 0.01 e
t∗ = 10−4 para as tabelas 6.11, 6.12 e 6.13, respectivamente. Como pode ser observado,
para todas as tabelas, o caso 1 precisa de um número de dígitos de precisão (WP) maior
ou igual que a ordem de truncamento, para obter o potencial de temperatura. Esse fato,
porém, não se mantém quando considerado o caso 2 sugerindo, então, que o este pos-
sui uma melhor convergência que o caso 1. Já nas tabelas 6.11, 6.12 e 6.13, a mesma
análise feita nas tabelas citadas anteriormente é realizada, porém somente o caso 3 é
representado. Como pode ser observado, em relação à taxa de convergência, o caso 3
possui um comportamento similar ao caso 2.
As tabelas 6.17, 6.20, 6.18, 6.21, 6.19 e 6.22 apresentam os resultados para os
casos 1, 2 e 3, usando a = 0.1, b = 0.9 e x = 0.5, sendo que t∗ = 1 para as tabelas
6.17 e 6.20, t∗ = 0.01 para as tabelas 6.18 e 6.21 e t∗ = 10−4 para as tabelas 6.19 e
6.22. Como pode ser observado, a taxa de convergência para todos os casos são muito
semelhantes, sugerindo, então, que o tipo de caso escolhido não interfere na solução
quando considerado o contorno original próximo ao contorno do domínio envolvente.
Para todos os casos e tipos de contorno analisados ate agora, quando comparado
a variação da variável t∗, como esperado, para valores pequenos, isto é, em regime
transiente, a solução piora. No caso de valores grandes t∗, isto é, em regime regime
permanente, a solução se comporta de maneira melhor. Os resultados obtidos estão
de acordo com os observados no item anterior, onde a solução com um domínio de
envolve o problema é próximo ao domínio do problema original, apresenta melhor
taxa de convergência.
As tabelas 6.23 e B.9, apresentam os resultados para os casos 1, 2 e 3 do problema
teste 6, usando a = 0.25, b = 0.75, x = 0.5 e t∗ = 1. Como pode ser observados, o prob-
6. Resultados e discussão 73
lema teste 6 apresenta o mesmo comportamento apresentado pelo problema teste 5,
exceto na taxa de convergência do caso 1, que agora, é superior ao caso 2 e 3. Este fato
sugere que para o cada tipo de problema teste existe um caso de condições de contorno
que oferece uma taxa de convergência ótima. Desta forma, como o comportamento do
problema teste 6 é similar ao problema teste 5, as demais tabelas referentes ao primeiro
estão apresentadas no apêndice B.
De forma análoga, as tabelas referentes ao problema teste 7, que apresenta um
comportamento idêntico ao apresentado pelo problema teste 5, estão apresentadas no
apêndice B.
6. Resultados e discussão 74
Tab.
6.11
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=1,
a=0.
25e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
Com
plex
o9.
1551
8×10
−18
9.15
518×
10−1
89.
1551
8×10
−18
9.15
518×
10−1
89.
1551
8×10
−18
9.15
518×
10−1
8
2624
—9.
1424
6×10
−18
9.14
246×
10−1
89.
1424
6×10
−18
9.14
246×
10−1
89.
1424
6×10
−18
9.14
246×
10−1
8
3028
—C
ompl
exo
9.13
473×
10−1
89.
1347
3×10
−18
9.13
473×
10−1
89.
1347
3×10
−18
9.13
473×
10−1
8
3432
—C
ompl
exo
9.12
969×
10−1
89.
1296
9×10
−18
9.12
969×
10−1
89.
1296
9×10
−18
9.12
969×
10−1
8
3836
——
1.78
×1014
3059
49.
1262
0×10
−18
9.12
620×
10−1
89.
1262
0×10
−18
9.12
620×
10−1
8
4240
——
Com
plex
o9.
1231
0×10
−18
9.12
369×
10‘−
189.
1236
9×10
−18
9.12
369×
10−1
8
4644
——
—C
ompl
exo
9.12
183×
10−1
89.
1218
3×10
−18
9.12
183×
10−1
8
5048
——
——
9.12
041×
10−1
89.
1204
1×10
−18
9.12
0411
0−18
5452
——
——
Com
plex
o9.
1193
0×10
−18
9.11
930×
10−1
8
5856
——
——
—C
ompl
exo
9.11
841×
10−1
8
6260
——
——
—C
ompl
exo
9.11
769×
10−1
8
Cas
o2
2220
9.15
659×
10−1
89.
1565
9×10
−18
9.15
659×
10−1
89.
1565
9×10
−18
9.15
659×
10−1
89.
1565
9×10
−18
9.15
659×
10−1
8
2624
9.14
329×
10−1
89.
1432
9×10
−18
9.14
329×
10−1
89.
1432
9×10
−18
9.14
329×
10−1
89.
1432
9×10
−18
9.14
329×
10−1
8
3028
—9.
1352
7×10
−18
9.13
527×
10−1
89.
1352
7×10
−18
9.13
527×
10−1
89.
1352
7×10
−18
9.13
527×
10−1
8
3432
—9.
1300
5×10
−18
9.13
005×
10−1
89.
1300
5×10
−18
9.13
005×
10−1
89.
1300
5×10
−18
9.13
005×
10−1
8
3836
—9.
1264
6×10
−18
9.12
646×
10−1
89.
1264
6×10
−18
9.12
646×
10−1
89.
1264
6×10
−18
9.12
646×
10−1
8
4240
——
Com
plex
o9.
1238
8×10
−18
9.12
388×
10−1
89.
1238
8×10
−18
9.12
388×
10−1
8
4644
——
Com
plex
o9.
1219
7×10
−18
9.12
197×
10−1
89.
1219
7×10
−18
9.12
197×
10−1
8
5048
——
Com
plex
o9.
1205
2×10
−18
9.12
052×
10−1
89.
1205
2×10
−18
9.12
052×
10−1
8
5452
——
—9.
1193
8×10
−18
9.11
938×
10−1
89.
1193
8×10
−18
9.11
938×
10−1
8
5856
——
—C
ompl
exo
9.11
848×
10−1
89.
1184
8×10
−18
9.11
848×
10−1
8
6260
——
——
9.11
775×
10−1
89.
1177
5×10
−18
9.11
775×
10−1
8
Sol.
Ana
lític
o9.
1127
9×10
−18
9.11
279×
10−1
89.
1127
9×10
−18
9.11
279×
10−1
89.
1127
9×10
−18
9.11
279×
10−1
89.
1127
9×10
−18
6. Resultados e discussão 75
Tab.
6.12
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=10
−2,a
=0.2
5e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
Com
plex
o0.
8492
460.
8492
460.
8492
460.
8492
460.
8492
460.
8492
4626
24—
0.84
822
0.84
822
0.84
822
0.84
822
0.84
822
0.84
822
3028
—C
ompl
exo
0.84
7594
0.84
7594
0.84
7594
0.84
7594
0.84
7594
3432
—C
ompl
exo
0.84
7184
0.84
7184
0.84
7184
0.84
7184
0.84
7184
3836
——
6×10
1430
50.
8468
990.
8468
990.
8468
990.
8468
9942
40—
—C
ompl
exo
0.84
6693
0.84
6695
0.84
6695
0.84
6695
4644
——
Com
plex
oC
ompl
exo
Com
plex
o0.
8465
420.
8465
4250
48—
——
Com
plex
oC
ompl
exo
0.84
6426
0.84
6426
5452
——
——
Com
plex
o0.
8463
350.
8463
3558
56—
——
——
Com
plex
o0.
8462
6262
60—
——
——
Com
plex
o0.
8462
04C
aso
222
200.
8493
580.
8493
580.
8493
580.
8493
580.
8493
580.
8493
580.
8493
5826
240.
8482
870.
8482
870.
8482
870.
8482
870.
8482
870.
8482
870.
8482
8730
28—
0.84
7638
0.84
7638
0.84
7638
0.84
7638
0.84
7638
0.84
7638
3432
—0.
8472
130.
8472
130.
8472
130.
8472
130.
8472
130.
8472
1338
36—
0.84
692
0.84
692
0.84
692
0.84
692
0.84
692
0.84
692
4240
——
Com
plex
o0.
8467
10.
8467
10.
8467
10.
8467
146
44—
—C
ompl
exo
0.84
6554
0.84
6554
0.84
6554
0.84
6554
5048
——
Com
plex
o0.
8464
350.
8464
350.
8464
350.
8464
3554
52—
——
0.84
6342
0.84
6342
0.84
6342
0.84
6342
5856
——
—C
ompl
exo
0.84
6268
0.84
6268
0.84
6268
6260
——
—C
ompl
exo
0.84
6208
0.84
6208
0.84
6208
Sol.
Ana
lític
o0.
8458
0.84
580.
8458
0.84
580.
8458
0.84
580.
8458
6. Resultados e discussão 76
Tab.
6.13
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=10
−4,a
=0.2
5e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
Com
plex
o0.
8224
590.
8224
590.
8224
590.
8224
590.
8224
590.
8224
5926
24—
0.61
0171
0.61
0171
0.61
0171
0.61
0171
0.61
0171
0.61
0171
3028
—C
ompl
exo
1.30
226
1.30
226
1.30
226
1.30
226
1.30
226
3432
—C
ompl
exo
1.50
113
1.50
113
1.50
113
1.50
113
1.50
113
3836
——
8×10
142
0.47
731
0.47
731
0.47
731
0.47
731
4240
——
Com
plex
o0.
6211
350.
6207
250.
6207
250.
6207
2546
44—
—C
ompl
exo
Com
plex
oC
ompl
exo
1.76
757
1.76
757
5048
——
—C
ompl
exo
Com
plex
o0.
8783
310.
8783
3154
52—
——
—C
ompl
exo
0.42
5844
0.42
585
5856
——
——
Com
plex
oC
ompl
exo
1.51
656
6260
——
——
Com
plex
o1.
0048
1.00
491
Cas
o2
2220
0.83
5304
0.83
5304
0.83
5304
0.83
5304
0.83
5304
0.83
5304
0.83
5304
2624
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
3028
—1.
2858
31.
2858
31.
2858
31.
2858
31.
2858
31.
2858
334
32—
1.45
228
1.45
229
1.45
229
1.45
229
1.45
229
1.45
229
3836
—0.
5071
010.
5071
130.
5071
130.
5071
130.
5071
130.
5071
1342
40—
—C
ompl
exo
0.66
5836
0.66
5836
0.66
5836
0.66
5836
4644
——
Com
plex
o1.
7149
51.
7149
51.
7149
51.
7149
550
48—
—C
ompl
exo
0.86
6896
0.86
6897
0.86
6897
0.86
6897
5452
——
—0.
4769
160.
4769
130.
4769
130.
4769
1358
56—
——
Com
plex
o1.
4898
91.
4899
21.
4899
262
60—
——
Com
plex
o0.
9890
520.
9890
850.
9890
85So
l.A
nalít
ico
1.1.
1.1.
1.1.
1.
6. Resultados e discussão 77
Tab.
6.14
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=1,
a=0.
25e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
9.15
659×
10−1
89.
1565
9×10
−18
9.15
659×
10−1
89.
1565
9×10
−18
9.15
659×
10−1
89.
1565
9×10
−18
9.15
659×
10−1
8
2624
9.14
329×
10−1
89.
1432
9×10
−18
9.14
329×
10−1
89.
1432
9×10
−18
9.14
329×
10−1
89.
1432
9×10
−18
9.14
329×
10−1
8
3028
—9.
1352
7×10
−18
9.13
527×
10−1
89.
1352
7×10
−18
9.13
527×
10−1
89.
1352
7×10
−18
9.13
527×
10−1
8
3432
—9.
1300
5×10
−18
9.13
005×
10−1
89.
1300
5×10
−18
9.13
005×
10−1
89.
1300
5×10
−18
9.13
005×
10−1
8
3836
—9.
1264
6×10
−18
9.12
646×
10−1
89.
1264
6×10
−18
9.12
646×
10−1
89.
1264
6×10
−18
9.12
646×
10−1
8
4240
——
Com
plex
o9.
1238
8×10
−18
9.12
388×
10−1
89.
1238
8×10
−18
9.12
388×
10−1
8
4644
——
Com
plex
o9.
1219
7×10
−18
9.12
197×
10−1
89.
1219
7×10
−18
9.12
197×
10−1
8
5048
——
Com
plex
o9.
1205
2×10
−18
9.12
052×
10−1
89.
1205
2×10
−18
9.12
052×
10−1
8
5452
——
—9.
1193
8×10
−18
9.11
938×
10−1
89.
1193
8×10
−18
9.11
938×
10−1
8
5856
——
—9.
1184
8×10
−18
9.11
848×
10−1
89.
1184
8×10
−18
9.11
848×
10−1
8
6260
——
——
9.11
775×
10−1
89.
1177
5×10
−18
9.11
775×
10−1
8
Sol.
Ana
lític
o9.
1127
9×10
−18
9.11
279×
10−1
89.
1127
9×10
−18
9.11
279×
10−1
89.
1127
9×10
−18
9.11
279×
10−1
89.
1127
9×10
−18
6. Resultados e discussão 78
Tab.
6.15
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=10
−2,a
=0.2
5e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.84
9358
0.84
9358
0.84
9358
0.84
9358
0.84
9358
0.84
9358
0.84
9358
2624
0.84
8287
0.84
8287
0.84
8287
0.84
8287
0.84
8287
0.84
8287
0.84
8287
3028
—0.
8476
380.
8476
380.
8476
380.
8476
380.
8476
380.
8476
3834
32—
0.84
7213
0.84
7213
0.84
7213
0.84
7213
0.84
7213
0.84
7213
3836
—0.
8469
20.
8469
20.
8469
20.
8469
20.
8469
20.
8469
242
40—
—C
ompl
exo
0.84
671
0.84
671
0.84
671
0.84
671
4644
——
Com
plex
o0.
8465
540.
8465
540.
8465
540.
8465
5450
48—
—C
ompl
exo
0.84
6435
0.84
6435
0.84
6435
0.84
6435
5452
——
—0.
8463
420.
8463
420.
8463
420.
8463
4258
56—
——
0.84
6268
0.84
6268
0.84
6268
0.84
6268
6260
——
—C
ompl
exo
0.84
6208
0.84
6208
0.84
6208
Sol.
Ana
lític
o0.
8458
0.84
580.
8458
0.84
580.
8458
0.84
580.
8458
6. Resultados e discussão 79
Tab.
6.16
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=10
−4,a
=0.2
5e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.83
5367
0.83
5367
0.83
5367
0.83
5367
0.83
5367
0.83
5367
0.83
5367
2624
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
0.64
8361
3028
—1.
2857
91.
2857
91.
2857
91.
2857
91.
2857
91.
2857
934
32—
1.45
229
1.45
229
1.45
229
1.45
229
1.45
229
1.45
229
3836
—0.
5070
870.
5071
330.
5071
330.
5071
330.
5071
330.
5071
3342
40—
—C
ompl
exo
0.66
5826
0.66
5826
0.66
5826
0.66
5826
4644
——
Com
plex
o1.
7149
41.
7149
51.
7149
51.
7149
550
48—
—C
ompl
exo
0.86
6902
0.86
6902
0.86
6902
0.86
6902
5452
——
—0.
4768
280.
4768
290.
4768
290.
4768
2958
56—
——
1.49
058
1.49
061
1.49
058
1.49
058
6260
——
—C
ompl
exo
0.98
8555
0.98
8594
0.98
8594
Sol.
Ana
lític
o1.
1.1.
1.1.
1.1.
6. Resultados e discussão 80
Tab.
6.17
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=1,
a=0.
1e
b=0.
9I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
2.56
167×
10−7
2.56
167×
10−7
2.56
167×
10−7
2.56
167×
10−7
2.56
167×
10−7
2.56
167×
10−7
2.56
167×
10−7
2624
2.55
978×
10−7
2.55
978×
10−7
2.55
978×
10−7
2.55
978×
10−7
2.55
978×
10−7
2.55
978×
10−7
2.55
978×
10−7
3028
——
——
——
—34
322.
5578
8×10
−72.
5578
8×10
−72.
5578
8×10
−72.
5578
8×10
−72.
5578
8×10
−72.
5578
8×10
−72.
5578
8×10
−7
3836
2.55
743×
10−7
2.55
743×
10−7
2.55
743×
10−7
2.55
743×
10−7
2.55
743×
10−7
2.55
743×
10−7
2.55
743×
10−7
4240
2.55
713×
10−7
2.55
713×
10−7
2.55
713×
10−7
2.55
713×
10−7
2.55
713×
10−7
2.55
713×
10−7
2.55
713×
10−7
4644
2.55
690×
10−7
2.55
691×
10−7
2.55
691×
10−7
2.55
691×
10−7
2.55
691×
10−7
2.55
691×
10−7
2.55
691×
10−7
5048
2.55
674×
10−7
——
——
——
5452
0.2.
5566
2×10
−72.
5566
2×10
−72.
5566
2×10
−72.
5566
2×10
−72.
5566
2×10
−72.
5566
2×10
−7
5856
0.2.
5565
2×10
−72.
5565
2×10
−72.
5565
2×10
−72.
5565
2×10
−72.
5565
2×10
−72.
5565
2×10
−7
6260
—2.
5564
4×10
−72.
5564
4×10
−72.
5564
4×10
−72.
5564
4×10
−72.
5564
4×10
−72.
5564
4×10
−7
Cas
o2
2220
2.56
194×
10−7
2.56
194×
10−7
2.56
194×
10−7
2.56
194×
10−7
2.56
194×
10−7
2.56
194×
10−7
2.56
194×
10−7
2624
-3.1
2171
×10−
8-3
.121
71×1
0−8
-3.1
2171
×10−
8-3
.121
71×1
0−8
-3.1
2171
×10−
8-3
.121
71×1
0−8
-3.1
2171
×10−
8
3028
2.55
839×
10−7
2.55
839×
10−7
2.55
839×
10−7
2.55
839×
10−7
2.55
839×
10−7
2.55
839×
10−7
2.55
839×
10−7
3432
2.55
791×
10−7
2.55
791×
10−7
2.55
791×
10−7
2.55
791×
10−7
2.55
791×
10−7
2.55
791×
10−7
2.55
791×
10−7
3836
2.55
738×
10−7
2.55
738×
10−7
2.55
738×
10−7
2.55
738×
10−7
2.55
738×
10−7
2.55
738×
10−7
2.55
738×
10−7
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Sol.
Ana
lític
o2.
5558
9×10
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5558
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5558
9×10
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5558
9×10
−7
6. Resultados e discussão 81
Tab.
6.18
:Pro
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cia
doca
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dete
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9918
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9918
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9918
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9918
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9918
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9912
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9912
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9912
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9912
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9912
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——
——
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——
——
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9907
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9907
30.
9907
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9907
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9907
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9907
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9907
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9907
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9907
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0645
0.99
0645
6. Resultados e discussão 82
Tab.
6.19
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
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com
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——
——
——
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——
——
——
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9.78
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1.01
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9965
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9965
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9965
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9965
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9965
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9956
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9956
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9956
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9956
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9956
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9956
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61.
2921
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51.
2921
51.
2921
51.
2921
51.
2921
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91.
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9755
0.99
9755
Sol.
Ana
lític
o1.
1.1.
1.1.
1.1.
6. Resultados e discussão 83
Tab.
6.20
:Pro
blem
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5-C
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2.55
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10−7
2.55
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Sol.
Ana
lític
o2.
5558
9×10
−72.
5558
9×10
−72.
5558
9×10
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5558
9×10
−72.
5558
9×10
−7
6. Resultados e discussão 84
Tab.
6.21
:Pro
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5-C
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cia
doca
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mpe
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rapa
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120.
9917
120.
9917
120.
9917
120.
9917
120.
9917
120.
9917
1226
240.
4434
30.
4434
30.
4434
30.
4434
30.
4434
30.
4434
30.
4434
330
280.
9909
390.
9909
390.
9909
390.
9909
390.
9909
390.
9909
390.
9909
3934
320.
9908
630.
9908
630.
9908
630.
9908
630.
9908
630.
9908
630.
9908
6338
360.
9908
020.
9908
020.
9908
020.
9908
020.
9908
020.
9908
020.
9908
0242
400.
9907
780.
9907
780.
9907
780.
9907
780.
9907
780.
9907
780.
9907
7846
44-3
.042
25-3
.042
25-3
.042
25-3
.042
25-3
.042
25-3
.042
25-3
.042
2550
480.
9907
30.
9907
30.
9907
30.
9907
30.
9907
30.
9907
30.
9907
354
520.
9907
210.
9907
210.
9907
210.
9907
210.
9907
210.
9907
210.
9907
2158
560.
9907
080.
9907
080.
9907
080.
9907
080.
9907
080.
9907
080.
9907
0862
600.
9907
030.
9907
030.
9907
030.
9907
030.
9907
030.
9907
030.
9907
03So
l.A
nalít
ico
0.99
0645
0.99
0645
0.99
0645
0.99
0645
0.99
0645
0.99
0645
0.99
0645
6. Resultados e discussão 85
Tab.
6.22
:Pro
blem
ate
ste
5-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=10
−4,a
=0.1
eb=
0.9
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
322
200.
9956
580.
9956
580.
9956
580.
9956
580.
9956
580.
9956
580.
9956
5826
2418
.461
418
.461
418
.461
418
.461
418
.461
418
.461
418
.461
430
281.
0124
1.01
241.
0124
1.01
241.
0124
1.01
241.
0124
3432
1.00
502
1.00
502
1.00
502
1.00
502
1.00
502
1.00
502
1.00
502
3836
0.99
6593
0.99
6593
0.99
6593
0.99
6593
0.99
6593
0.99
6593
0.99
6593
4240
0.99
5662
0.99
5662
0.99
5662
0.99
5662
0.99
5662
0.99
5662
0.99
5662
4644
1.86
282
1.86
282
1.86
282
1.86
282
1.86
282
1.86
282
1.86
282
5048
1.00
109
1.00
109
1.00
109
1.00
109
1.00
109
1.00
109
1.00
109
5452
1.00
081.
0008
1.00
081.
0008
1.00
081.
0008
1.00
0858
560.
9999
70.
9999
70.
9999
70.
9999
70.
9999
70.
9999
70.
9999
762
600.
9997
550.
9997
550.
9997
550.
9997
550.
9997
550.
9997
550.
9997
55So
l.A
nalít
ico
1.1.
1.1.
1.1.
1.
6. Resultados e discussão 86
Tab.
6.23
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=1,
a=0.
25e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
0.00
0045
2043
0.00
0045
2043
0.00
0045
2043
0.00
0045
2043
0.00
0045
2043
0.00
0045
2043
0.00
0045
2043
2624
0.00
0045
4162
0.00
0045
4162
0.00
0045
4162
0.00
0045
4162
0.00
0045
4162
0.00
0045
4162
0.00
0045
4162
3028
—0.
0000
4557
10.
0000
4557
10.
0000
4557
10.
0000
4557
10.
0000
4557
10.
0000
4557
134
32—
0.00
0045
6891
0.00
0045
6891
0.00
0045
6891
0.00
0045
6891
0.00
0045
6891
0.00
0045
6891
3836
—0.
0000
4578
220.
0000
4578
220.
0000
4578
220.
0000
4578
220.
0000
4578
220.
0000
4578
2242
40—
—0.
0000
4585
740.
0000
4585
740.
0000
4585
740.
0000
4585
740.
0000
4585
7446
44—
—0.
0000
4591
950.
0000
4591
950.
0000
4591
950.
0000
4591
950.
0000
4591
9550
48—
—0.
0000
4597
160.
0000
4597
160.
0000
4597
160.
0000
4597
160.
0000
4597
1654
52—
—0.
0000
4601
590.
0000
4601
590.
0000
4601
590.
0000
4601
590.
0000
4601
5958
56—
——
0.00
0046
0541
0.00
0046
0541
0.00
0046
0541
0.00
0046
0541
6260
——
—0.
0000
4608
730.
0000
4608
730.
0000
4608
730.
0000
4608
73C
aso
222
200.
0000
4515
380.
0000
4515
380.
0000
4515
380.
0000
4515
380.
0000
4515
380.
0000
4515
380.
0000
4515
3826
246.
50×1
03773
9336
0.00
0045
3804
0.00
0045
3804
0.00
0045
3804
0.00
0045
3804
0.00
0045
3804
0.00
0045
3804
3028
—0.
0000
4554
440.
0000
4554
440.
0000
4554
440.
0000
4554
440.
0000
4554
440.
0000
4554
4434
32—
0.00
0045
6685
0.00
0045
6685
0.00
0045
6685
0.00
0045
6685
0.00
0045
6685
0.00
0045
6685
3836
—C
ompl
exo
0.00
0045
7657
0.00
0045
7657
0.00
0045
7657
0.00
0045
7657
0.00
0045
7657
4240
——
0.00
0045
8439
0.00
0045
8439
0.00
0045
8439
0.00
0045
8439
0.00
0045
8439
4644
——
0.00
0045
9083
0.00
0045
9083
0.00
0045
9083
0.00
0045
9083
0.00
0045
9083
5048
——
0.00
0045
9621
0.00
0045
9621
0.00
0045
9621
0.00
0045
9621
0.00
0045
9621
5452
——
—0.
0000
4600
780.
0000
4600
780.
0000
4600
780.
0000
4600
7858
56—
——
0.00
0046
047
0.00
0046
047
0.00
0046
047
0.00
0046
047
6260
——
—0.
0000
4608
120.
0000
4608
120.
0000
4608
120.
0000
4608
12So
l.A
nalít
ico
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
6. Resultados e discussão 87
Tab.
6.24
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=1,
a=0.
25e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.00
0045
2588
0.00
0045
2588
0.00
0045
2588
0.00
0045
2588
0.00
0045
2588
0.00
0045
2588
0.00
0045
2588
2624
0.00
0045
4542
0.00
0045
4542
0.00
0045
4542
0.00
0045
4542
0.00
0045
4542
0.00
0045
4542
0.00
0045
4542
3028
—0.
0000
4559
910.
0000
4559
910.
0000
4559
910.
0000
4559
910.
0000
4559
910.
0000
4559
9134
32—
0.00
0045
7108
0.00
0045
7108
0.00
0045
7108
0.00
0045
7108
0.00
0045
7108
0.00
0045
7108
3836
—C
ompl
exo
0.00
0045
7994
0.00
0045
7994
0.00
0045
7994
0.00
0045
7994
0.00
0045
7994
4240
——
0.00
0045
8714
0.00
0045
8714
0.00
0045
8714
0.00
0045
8714
0.00
0045
8714
4644
——
0.00
0045
9311
0.00
0045
9311
0.00
0045
9311
0.00
0045
9311
0.00
0045
9311
5048
——
0.00
0045
9813
0.00
0045
9813
0.00
0045
9813
0.00
0045
9813
0.00
0045
9813
5452
——
—0.
0000
4602
420.
0000
4602
420.
0000
4602
420.
0000
4602
4258
56—
——
0.00
0046
0613
0.00
0046
0613
0.00
0046
0613
0.00
0046
0613
6260
——
—0.
0000
4609
360.
0000
4609
360.
0000
4609
360.
0000
4609
36So
l.A
nalít
ico
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
0.00
0046
5672
6. Resultados e discussão 88
6.3 Problema de difusão em coordenadas cilíndricas
A temperatura calculada pela solução do problema cilíndrico utilizando a Técnica
do Domínio Envolvente é apresentada em tabelas e comparado com a solução ex-
ata, obtida da equação (5.102). O resultado foi calculado para diferentes ordens de
truncamento (imax) e números de dígitos utilizados nos cálculos (WP). Foram ainda
utilizados três diferentes valores para o t∗, de modo a simular as situações de equilíbrio
e de regime transiente. Entretanto, as mesmas dificuldades quando ao erro nos auto-
valores calculados e seus autovetores associados são encontrados aqui . Portanto, um
uma ordem de truncamento menor foi usada no cálculo da solução final (envolvendo
o cálculo da matriz exponencial), chamado de id . Essas duas ordens de truncamento
diferente são chamadas de ordem de truncamento do problema de autovalor (imax) e a
ordem de truncamento do problema de difusão (id ).
As tabelas 6.25, 6.28 apresentam os resultados para o caso 1, usando rb = 0.75
e r = 0.5, sendo que a primeira tabela apresenta os valores de t∗ = 1, t∗ = 0.01 e a
segunda apresenta os valores para t∗ = 10−4. Como pode ser observado, somente foram
apresentados os resultados para trinta (30) termos. Os resultados com uma ordem de
truncamento maior resulta em um custo computacional elevado que impossibilitou a
geração de todos os dados.
As tabelas 6.27, 6.28 apresentam os resultados para o caso 1, usando rb = 0.9
e r = 0.5, sendo que a primeira tabela apresenta os valores de t∗ = 1, t∗ = 0.01 e
a segunda apresenta os valores para t∗ = 10−4. Todas as observações feitas para as
tabelas anteriores são mantidas para estas tabelas. Entretanto, de um modo geral, a
convergência para o caso do domínio original próximo ao domínio envolvente é melhor
que o caso com o domínio original longe do domínio envolvente, o que vai de acordo
com o apresentado até agora.
Para o caso estudado e os tipos de contorno analisados ate agora, quando com-
parado a variação da variável t∗, como esperado, para valores pequenos, isto é, em
regime transiente, a solução piora. No caso de valores grandes t∗, isto é, em regime
regime permanente, a solução se comporta de maneira melhor.
6. Resultados e discussão 89
Tab.
6.25
:Pro
blem
ate
ste
8-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s1
com
r=
0.5,
r b=
0.75
,t∗=
1e
t∗=
10− 2
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
1co
mt∗
=1
2220
0.00
0024
9565
0.00
0024
9565
0.00
0024
9565
0.00
0024
9565
0.00
0024
9565
0.00
0024
9565
0.00
0024
9565
2624
0.00
0024
9407
0.00
0024
9407
0.00
0024
9407
0.00
0024
9407
0.00
0024
9407
0.00
0024
9407
0.00
0024
9407
3028
0.00
0024
9309
0.00
0024
9309
0.00
0024
9309
0.00
0024
9309
0.00
0024
9309
0.00
0024
9309
0.00
0024
9309
Sol.
Ana
lític
o0.
0000
2490
130.
0000
2490
130.
0000
2490
130.
0000
2490
130.
0000
2490
130.
0000
2490
130.
0000
2490
13C
aso
1co
mt∗
=10
− 222
200.
9089
850.
9089
850.
9089
850.
9089
850.
9089
850.
9089
850.
9089
8526
240.
9078
80.
9078
80.
9078
80.
9078
80.
9078
80.
9078
80.
9078
830
280.
9071
830.
9071
830.
9071
830.
9071
830.
9071
830.
9071
830.
9071
83So
l.A
nalít
ico
0.90
5081
0.90
5081
0.90
5081
0.90
5081
0.90
5081
0.90
5081
0.90
5081
6. Resultados e discussão 90
Tab.
6.26
:Pro
blem
ate
ste
8-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s1
com
r=
0.5,
r b=
0.75
et∗
=10
− 4I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
com
t∗=
10− 4
2220
1.03
606
1.03
606
1.03
606
1.03
606
1.03
606
1.03
606
1.03
606
2624
0.97
9155
0.97
9155
0.97
9155
0.97
9155
0.97
9155
0.97
9155
0.97
9155
3028
0.99
7958
0.99
7958
0.99
7958
0.99
7958
0.99
7958
0.99
7958
0.99
7958
Sol.
Ana
lític
o1.
0004
41.
0004
41.
0004
41.
0004
41.
0004
41.
0004
41.
0004
4
6. Resultados e discussão 91
Tab.
6.27
:Pro
blem
ate
ste
8-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s1
com
r=
0.5,
r b=
0.9
,t∗=
1e
t∗=
10− 2
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
1co
mt∗
=1
2220
0.00
0764
787
0.00
0764
787
0.00
0764
787
0.00
0764
787
0.00
0764
787
0.00
0764
787
0.00
0764
787
2624
0.00
0764
432
0.00
0764
432
0.00
0764
432
0.00
0764
432
0.00
0764
432
0.00
0764
432
0.00
0764
432
3028
0.00
0764
223
0.00
0764
223
0.00
0764
223
0.00
0764
223
0.00
0764
223
0.00
0764
223
0.00
0764
223
Sol.
Ana
lític
o0.
0007
6364
0.00
0763
640.
0007
6364
0.00
0763
640.
0007
6364
0.00
0763
640.
0007
6364
Cas
o1
com
t∗=
10− 2
2220
0.99
4746
0.99
4746
0.99
4746
0.99
4746
0.99
4746
0.99
4746
0.99
4746
2624
0.99
4225
0.99
4225
0.99
4225
0.99
4225
0.99
4225
0.99
4225
0.99
4225
3028
0.99
4024
0.99
4024
0.99
4024
0.99
4024
0.99
4024
0.99
4024
0.99
4024
Sol.
Ana
lític
o0.
9936
930.
9936
930.
9936
930.
9936
930.
9936
930.
9936
930.
9936
93
6. Resultados e discussão 92
Tab.
6.28
:Pro
blem
ate
ste
8-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s1
com
r=
0.5,
r b=
0.9
et∗
=10
− 4I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
com
t∗=
10− 4
2220
0.99
0898
0.99
0898
0.99
0898
0.99
0898
0.99
0898
0.99
0898
0.99
0898
2624
1.00
383
1.00
383
1.00
383
1.00
383
1.00
383
1.00
383
1.00
383
3028
1.01
261.
0126
1.01
261.
0126
1.01
261.
0126
1.01
26So
l.A
nalít
ico
0.99
7915
0.99
7915
0.99
7915
0.99
7915
0.99
7915
0.99
7915
0.99
7915
6. Resultados e discussão 93
6.4 Problema de autovalor com domínio móvel
Os resultados do problema de autovalor unidimensional com domínio móvel serão ap-
resentados na forma de tabelas, onde somente os primeiros dez autovalores são calcu-
lados e comparados com a solução exata, obtidas pela equação (5.131), para diferentes
ordens de truncamento (imax), diferentes valores de precisão (WP) e diferentes tempos.
As tabelas 6.29 e C.1 apresentam os resultados calculados para o caso 1, usando
o contorno como a(t ) = t e b(t ) = 1/2+ t , sendo que para a tabela 6.29 t = 0 e para
tabela C.1 t = 0.5. Deste modo, a diferença b(t )−a(t ) é constante para qualquer valor
utilizado no tempo. Assim, pode ser observado que os resultados encontrados estão
de acordo com o apresentado anteriormente na solução de problemas de autovalor
unidimensionais. A única diferença é o número de dígitos necessário para obter a
solução que, neste caso, aumentou significativamente. Tal fato reforça a idéia que o
tamanho do contorno em relação ao contorno envolvente afeta significativamente a
convergência da solução, mas a posição relativa deste contorno original em relação ao
contorno envolvente parece não afetar a taxa convergência.
As tabelas C.2 e 6.30 apresentam os resultados calculados para o caso 1, usando o
contorno como a(t ) = 0 e b(t ) = t , sendo que para a tabela C.2 t = 0.5 e para tabela 6.30
t = 0.9. Mais uma vez os resultados vão de acordo com o apresentado anteriormente,
sendo que no caso representado pela tabela 6.30, a convergência é melhor porque o
domínio original é próximo ao domínio envolvente. Assim, o leitor poderá consultar
as tabelas C.1 e C.2 no apêndice C.
6. Resultados e discussão 94
Tab.
6.29
:Pro
blem
ate
ste
9-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
res
para
oca
sos
1co
ma
(t)=
t,b
(t)=
1/2+t
et=
0.i m
ax
WP
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
1020
39.4
784
131.
636
157.
914
355.
306
476.
232
631.
655
795.
375
986.
96C
ompl
exo
Com
plex
o10
2539
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
1421
.71
2003
.18
3518
.913
904.
2-7
0612
.410
3039
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
1421
.71
2003
.18
3518
.913
904.
2-7
0612
.415
200.
0.0.
0.0.
0.0.
0.0.
0.15
2539
.478
415
7.91
418
3.50
135
5.30
646
0.60
763
1.65
579
6.87
998
6.96
1189
.214
21.2
215
3039
.478
415
7.91
418
3.74
535
5.30
646
1.24
863
1.65
579
7.38
998
6.96
1189
.24
1421
.22
2040
19.7
992
39.4
784
157.
914
171.
2435
5.30
644
1.42
763
1.65
578
7.5
986.
9614
21.2
220
4539
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
2050
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
9614
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
425
5539
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
5C
ompl
exo
Com
plex
o98
6.96
1421
.22
Com
plex
oC
ompl
exo
2560
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
9614
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
425
6539
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
3065
39.4
784
148.
928
157.
914
355.
306
404.
346
631.
655
755.
604
986.
9611
78.6
714
21.2
230
7039
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
3075
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
9614
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
435
8039
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
5C
ompl
exo
Com
plex
o98
6.96
1421
.22
Com
plex
oC
ompl
exo
3585
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
9614
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
435
9039
.478
415
7.91
435
5.30
663
1.65
598
6.96
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
4080
19.6
083
39.4
784
135.
703
157.
914
355.
306
384.
8863
1.65
572
3.83
398
6.96
1159
.07
4085
15.8
206
39.4
784
140.
806
157.
914
355.
306
382.
786
631.
655
726.
8998
6.96
1156
.27
4090
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
9614
21.2
219
34.4
425
26.6
231
97.7
539
47.8
4E
xato
39.4
784
157.
914
355.
306
631.
655
986.
960
1421
.22
1934
.44
2526
.62
3197
.75
3947
.84
6. Resultados e discussão 95
Tab.
6.30
:Pro
blem
ate
ste
9-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
res
para
oca
sos
1co
ma
(t)=
0,b
(t)=
te
t=
0.9.
i ma
xW
Pµ
1µ
2µ
3µ
4µ
5µ
6µ
7µ
8µ
9µ
10
1010
12.7
682
50.6
991
113.
078
-175
.67
199.
385
309.
384
443.
008
600.
2778
1.29
598
6.96
1015
12.7
682
50.6
991
113.
078
-175
.67
199.
385
309.
384
443.
008
600.
2778
1.29
598
6.96
1020
12.7
682
50.6
991
113.
078
-175
.67
199.
385
309.
384
443.
008
600.
2778
1.29
598
6.96
1510
12.1
933
48.7
712
109.
727
195.
052
304.
735
438.
764
597.
135
779.
855
986.
9612
18.5
615
1512
.193
348
.771
210
9.72
719
5.05
230
4.73
543
8.76
459
7.13
577
9.85
598
6.96
1218
.56
1520
12.1
933
48.7
712
109.
727
195.
052
304.
735
438.
764
597.
135
779.
855
986.
9612
18.5
620
1012
.185
48.7
401
109.
665
194.
959
304.
622
438.
653
597.
053
779.
822
986.
9612
18.4
720
1512
.185
48.7
401
109.
665
194.
959
304.
622
438.
653
597.
053
779.
822
986.
9612
18.4
720
2012
.185
48.7
401
109.
665
194.
959
304.
622
438.
653
597.
053
779.
822
986.
9612
18.4
725
1012
.184
748
.733
710
9.67
519
4.95
630
4.61
843
8.65
159
7.05
677
9.86
298
6.96
1218
.49
2515
12.1
847
48.7
388
109.
662
194.
955
304.
618
438.
649
597.
0577
9.82
198
6.96
1218
.47
2520
12.1
847
48.7
388
109.
662
194.
955
304.
618
438.
649
597.
0577
9.82
198
6.96
1218
.47
3010
12.7
972
43.7
462
104.
809
273.
938
397.
616
543.
737
717.
549
986.
9610
00.4
813
08.6
930
1512
.184
748
.738
810
9.66
219
4.95
530
4.61
743
8.64
959
7.05
779.
821
986.
9612
18.4
730
2012
.184
748
.738
810
9.66
219
4.95
530
4.61
743
8.64
959
7.05
779.
821
986.
9612
18.4
735
1047
6.47
398
6.96
1101
.44
1309
.517
79.7
120
27.7
929
76.7
732
14.0
433
56.8
733
82.5
335
1512
.184
748
.738
810
9.66
219
4.95
530
4.61
743
8.64
959
7.05
779.
821
986.
9612
18.4
735
2012
.184
748
.738
810
9.66
219
4.95
530
4.61
743
8.64
959
7.05
779.
821
986.
9612
18.4
740
100.
0.0.
0.0.
0.0.
0.0.
0.40
1512
.184
748
.738
810
9.66
219
4.95
530
4.61
743
8.64
959
7.05
779.
821
986.
9612
18.4
740
2012
.184
748
.738
810
9.66
219
4.95
530
4.61
743
8.64
959
7.05
779.
821
986.
9612
18.4
7E
xato
12.1
847
48.7
388
109.
662
194.
955
304.
617
438.
649
597.
0577
9.82
198
6.96
1218
.47
Capítulo 7
Conclusões
Neste trabalho foi apresentado uma rota alternativa para resolver problemas em domínios
irregulares. O método proprõe escrever o problema estudado na forma de uma expan-
são na base de um problema de autovalor auxiliar definido em um domínio que envolve
o domínio original. Esta metodologia é aqui chamada de Técnica do Domínio Envol-
vente (TDE).
Assim, foram apresentados a formulação da solução de problemas de autovalor
unidimensionais, problemas de difusão unidimensionais e problemas de autovalor e
difusão unidimensionais com domínio móvel. Em cada solução foi definido o prob-
lema geral estudado, a forma da solução analítica ou numérica associada, o par de
transformação proposto, a transformação do problema geral com base na metodologia
proposta e a análise dos coeficientes inerentes à transformação integral.
Com o objetivo de enriquecer a comparação dos resultados, uma série de proble-
mas testes e casos testes foram definidos como uma combinação única de condição de
contorno e condição inicial. Assim, tais problemas e casos foram implementados no
programa Mathematica [16] e foram apresentados na forma de tabelas e gráficos. Os
casos e problemas teste foram comparados com seus valores exatos conhecidos e uma
análise de convergência foi realizada. De modo geral, a taxa de convergência não só
depende da ordem de truncamento, mais também do número de casas decimais usado
no cálculo computacional (WP). Os resultados mostram, também, a tendência natu-
96
7. Conclusões 97
ral em que grandes autovalores ou potencias de temperatura requerem maior ordem
de precisão e de modo geral. Para todos os casos testados, e para ambos domínios, o
comportamento quanto a ordem de truncamento é o mesmo. Apesar disso, um compor-
tamento diferente foi observado quando a precisão (WP), para cada caso e problema
teste. De maneira geral, os resultados sugerem que para cada combinação de condição
de contorno do problema original há um contorno do problema auxiliar, sendo este
de tipo diferente do problema original, onde uma melhor precisão pode ser obtida. O
domínio no qual o contorno foi defino próximo ao contorno envolvente apresenta uma
melhor taxa de convergência com a precisão (WP). Também, as autofunções auxiliares
baseadas em condições de contorno mistas, isto é, condições de Dirichlet em uma das
pontas e Neumann na outra, apresentam melhores resultados no caso da solução do
problema de autovalor. No caso do problema de difusão com domínio móvel apesar da
solução ter sido formalmente apresentada a implementação foi comprometida pois a
função NDSolve do programa Mathematica [16] não foi capaz de resolver a equação.
Assim, uma extensão natural para este trabalho é utilizar uma rotina mais robusta de
solução de equações diferenciais ordinárias.
É importante observar que por esta metodologia ser nova, o teste de sua aplicabili-
dade no problema unidimensional se fez necessária antes de a mesma ser aplicada em
problemas multidimensionais. Assim, um extensão natural deste trabalho é estender
a metodologia a problemas multidimensionais. Ficou evidente também, ao lidar com
o problema em domínio móvel, que uma rotina mais robusta de solução de equações
diferenciais ordinárias é necessária.
Referências
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98
7. Conclusões 99
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7. Conclusões 100
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form solutions for thermally developing non-newtonian fluid flow. In Proc. of the
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7. Conclusões 101
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Mass Diffusion. Dover Publications, INC., 31 East 2nd Street, Mineola, N.Y.,
11501, 1st edition, 1984.
[34] M. D. Greenberg. Advanced Engineering Mathematics. Prentice Hall, Upper
Saddle River, NJ, 2nd edition, 1998.
Apêndice A
Resultados do problema de autovalor unidimensional
102
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 103
Tab.
A.1
:Pro
blem
ate
ste
2-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
res
para
oca
sos
1co
ma=
0.25
eb=
0.75
.i m
ax
WP
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
1010
9.86
961
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.44
1199
.88
1794
.54
3470
.24
-136
08.
−1.0
6907
×106
1015
9.86
961
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.44
1199
.89
1794
.54
3470
.23
-136
08.
−1.0
6907
×106
1020
9.86
961
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.44
1199
.89
1794
.54
3470
.23
-136
08.
−1.0
6907
×106
1510
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.68
2855
.55
3623
.07
1515
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.68
2855
.56
3623
.11
1520
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.68
2855
.56
3623
.11
2010
47.4
034
200.
463
350.
653
480.
986
624.
117
987.
903
1327
.04
1830
.92
1972
.01
2560
.97-
736.
416
i20
159.
8696
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.43
811
94.2
216
67.9
622
20.6
628
52.3
235
62.9
320
209.
8696
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.43
811
94.2
216
67.9
622
20.6
628
52.3
235
62.9
325
1085
.957
3C
ompl
exo
Com
plex
oC
ompl
exo
Com
plex
o68
8.20
510
03.4
214
37.7
619
30.6
2C
ompl
exo
2515
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.66
2852
.32
3562
.93
2520
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.66
2852
.32
3562
.93
3015
46.9
238
210.
301
329.
751
394.
986
644.
047
988.
184
Com
plex
oC
ompl
exo
1937
.19
2469
.41
3020
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.66
2852
.32
3562
.93
3025
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.66
2852
.32
3562
.93
3520
59.9
46C
ompl
exo
Com
plex
o39
8.81
660
1.89
964
4.85
999
7.82
214
42.3
419
30.4
923
54.6
535
259.
8696
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.43
811
94.2
216
67.9
622
20.6
628
52.3
235
62.9
335
309.
8696
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.43
811
94.2
216
67.9
622
20.6
628
52.3
235
62.9
340
2546
.617
227.
6527
7.57
337
3.55
566
0.67
598
4.69
Com
plex
oC
ompl
exo
1936
.51
Com
plex
o40
309.
8751
288
.819
724
6.73
348
3.61
179
9.43
111
94.2
316
67.9
622
20.6
628
52.3
235
62.9
240
359.
8696
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.43
811
94.2
216
67.9
622
20.6
628
52.3
235
62.9
340
409.
8696
88.8
264
246.
7448
3.61
179
9.43
811
94.2
216
67.9
622
20.6
628
52.3
235
62.9
3E
xato
9.86
9688
.826
424
6.74
483.
611
799.
438
1194
.22
1667
.96
2220
.66
2852
.32
3562
.93
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 104
Tab.
A.2
:Pro
blem
ate
ste
2-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
res
para
oca
so2
com
a=
0.25
eb=
0.75
.i m
ax
WP
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
1010
9.86
962
88.8
265
246.
7448
3.61
279
9.44
412
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Com
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oC
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20.6
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2011
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20.6
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9.86
9688
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622
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62.9
3
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 105
Tab.
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20.7
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20.6
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8696
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20.6
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3E
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99.8
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9.86
9688
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6.74
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799.
562
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3850
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3
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 107
Tab.
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14.1
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7
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 108
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2015
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Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 109
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Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 111
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Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 113
Tab.
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Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 114
Tab.
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525
100.
9691
6717
.796
264
.148
141.
275
249.
228
388.
025
557.
663
758.
139
989.
459
1251
.62
2515
0.97
7812
17.7
914
64.1
481
141.
274
249.
231
388.
025
557.
661
758.
139
989.
459
1251
.62
2520
0.97
7812
17.7
914
64.1
481
141.
274
249.
231
388.
025
557.
661
758.
139
989.
459
1251
.62
3010
44.5
208
67.4
084
185.
724
3.58
141
9.93
254
4.30
156
2.73
5-8
36.0
1297
4.82
810
85.1
930
150.
9777
1417
.791
364
.148
114
1.27
424
9.23
138
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175
8.13
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9.45
812
51.6
230
200.
9777
1417
.791
364
.148
114
1.27
424
9.23
138
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7.66
175
8.13
898
9.45
812
51.6
235
1045
.251
771
.682
218
5.17
624
4.68
541
2.15
954
2.01
771
9.15
4-8
23.7
7997
1.61
411
02.1
535
150.
9777
117
.791
364
.148
141.
274
249.
231
388.
025
557.
661
758.
138
989.
458
1251
.62
3520
0.97
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17.7
913
64.1
4814
1.27
424
9.23
138
8.02
555
7.66
175
8.13
898
9.45
812
51.6
240
1038
.141
66.2
938
162.
032
250.
309
366.
489
553.
696
649.
772
953.
749
1028
.98
1385
.29
4015
0.97
771
17.7
913
64.1
4814
1.27
424
9.23
138
8.02
555
7.66
175
8.13
898
9.45
812
51.6
240
200.
9777
117
.791
364
.148
141.
274
249.
231
388.
025
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758.
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989.
458
1251
.62
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117
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364
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274
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388.
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557.
661
758.
138
989.
458
1251
.62
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional 126
Tab.
A.2
4:Pr
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ma
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-314
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148
141.
397
250.
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0.97
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17.7
914
64.1
486
141.
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249.
236
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047
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156
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458
1251
.78
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0.97
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17.7
914
64.1
486
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279
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.78
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758.
139
989.
458
1251
.62
2015
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17.7
913
64.1
481
141.
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.62
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661
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2510
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175
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51.6
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9777
117
.791
364
.148
141.
274
249.
231
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661
758.
138
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64.1
4814
1.27
424
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138
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555
7.66
175
8.13
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51.6
230
150.
9777
117
.791
364
.148
141.
274
249.
231
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025
557.
661
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138
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1251
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64.1
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175
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51.6
235
100.
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117
.791
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.148
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249.
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117
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141.
274
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231
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661
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1251
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8.02
555
7.66
175
8.13
898
9.45
812
51.6
2
Apêndice B
Resultados do problema de difusão unidimensional
127
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 128
Tab.
B.1
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
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0.91
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0.91
3334
0.91
3334
0.91
3334
0.91
3334
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0.91
4597
0.91
4597
0.91
4597
0.91
4597
0.91
4597
0.91
4597
0.91
4597
3028
—0.
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80.
9155
80.
9155
80.
9155
80.
9155
80.
9155
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0.91
6361
0.91
6361
0.91
6361
0.91
6361
0.91
6361
0.91
6361
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950.
9169
950.
9169
950.
9169
950.
9169
950.
9169
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—0.
9175
180.
9175
180.
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180.
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180.
9175
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—0.
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580.
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580.
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—0.
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320.
9183
320.
9183
320.
9183
320.
9183
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52—
—0.
9186
530.
9186
530.
9186
530.
9186
530.
9186
5358
56—
——
0.91
8933
0.91
8933
0.91
8933
0.91
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6260
——
—0.
9191
780.
9191
780.
9191
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9130
260.
9130
260.
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260.
9130
260.
9130
260.
9130
260.
9130
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9143
670.
9143
670.
9143
670.
9143
670.
9143
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0.91
5401
0.91
5401
0.91
5401
0.91
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0.91
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0.91
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9162
180.
9162
180.
9162
180.
9162
180.
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180.
9162
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9168
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9168
790.
9168
790.
9168
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—0.
9174
220.
9174
220.
9174
220.
9174
220.
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—0.
9178
770.
9178
770.
9178
770.
9178
770.
9178
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—0.
9182
620.
9182
620.
9182
620.
9182
620.
9182
6254
52—
——
0.91
8593
0.91
8593
0.91
8593
0.91
8593
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——
—0.
9188
80.
9188
80.
9188
80.
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——
0.91
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9229
0.92
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0.92
290.
9229
0.92
290.
9229
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 129
Tab.
B.2
:Pro
blem
ate
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6-C
onve
rgên
cia
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0.91
6828
0.91
6828
0.91
6828
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0.83
6274
0.83
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0.83
6274
0.83
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0.83
6274
0.83
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31.
1851
31.
1851
31.
1851
31.
1851
31.
1851
334
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1.17
826
1.17
826
1.17
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1.17
826
1.17
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1.17
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390.
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390.
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390.
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390.
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10.
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10.
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10.
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56—
——
1.26
181
1.26
179
1.26
179
1.26
179
6260
——
—0.
9429
950.
9429
840.
9429
840.
9429
84C
aso
222
200.
9574
070.
9574
070.
9574
070.
9574
070.
9574
070.
9574
070.
9574
0726
242.
50×1
03767
0.94
5409
0.94
5409
0.94
5409
0.94
5409
0.94
5409
0.94
5409
3028
—1.
1386
51.
1386
51.
1386
51.
1386
51.
1386
51.
1386
534
32—
1.02
793
1.02
793
1.02
793
1.02
793
1.02
793
1.02
793
3836
—C
ompl
exo
0.81
657
0.81
657
0.81
657
0.81
657
0.81
657
4240
——
1.03
978
1.03
978
1.03
978
1.03
978
1.03
978
4644
——
1.18
955
1.18
955
1.18
955
1.18
955
1.18
955
5048
——
0.82
9848
0.82
9848
0.82
9849
0.82
9849
0.82
9849
5452
——
—0.
9554
40.
9554
430.
9554
430.
9554
4358
56—
——
1.17
064
1.17
051.
1704
91.
1704
962
60—
——
0.89
6608
0.89
6586
0.89
6526
0.89
6526
Sol.
Ana
lític
o1.
1.1.
1.1.
1.1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 130
Tab.
B.3
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=10
−2,a
=0.2
5e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.91
3762
0.91
3762
0.91
3762
0.91
3762
0.91
3762
0.91
3762
0.91
3762
2624
0.91
4898
0.91
4898
0.91
4898
0.91
4898
0.91
4898
0.91
4898
0.91
4898
3028
—0.
9158
040.
9158
040.
9158
040.
9158
040.
9158
040.
9158
0434
32—
0.91
6534
0.91
6534
0.91
6534
0.91
6534
0.91
6534
0.91
6534
3836
—C
ompl
exo
0.91
7133
0.91
7133
0.91
7133
0.91
7133
0.91
7133
4240
——
0.91
7631
0.91
7631
0.91
7631
0.91
7631
0.91
7631
4644
——
0.91
8051
0.91
8051
0.91
8051
0.91
8051
0.91
8051
5048
——
0.91
841
0.91
841
0.91
841
0.91
841
0.91
841
5452
——
—0.
9187
20.
9187
20.
9187
20.
9187
258
56—
——
0.91
8991
0.91
8991
0.91
8991
0.91
8991
6260
——
—0.
9192
290.
9192
290.
9192
290.
9192
29So
l.A
nalít
ico
0.92
290.
9229
0.92
290.
9229
0.92
290.
9229
0.92
29
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 131
Tab.
B.4
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=10
−4,a
=0.2
5e
b=0.
75I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.89
1645
0.89
1645
0.89
1645
0.89
1645
0.89
1645
0.89
1645
0.89
1645
2624
0.75
9091
0.75
9091
0.75
9091
0.75
9091
0.75
9091
0.75
9091
0.75
9091
3028
—1.
2047
1.20
471.
2047
1.20
471.
2047
1.20
4734
32—
1.29
181
1.29
181
1.29
181
1.29
181
1.29
181
1.29
181
3836
—C
ompl
exo
0.66
7164
0.66
7164
0.66
7164
0.66
7164
0.66
7164
4240
——
0.79
0031
0.79
0031
0.79
0031
0.79
0031
0.79
0031
4644
——
1.47
111.
4711
1.47
111.
4711
1.47
1150
48—
—0.
9011
850.
9011
840.
9011
850.
9011
850.
9011
8554
52—
——
0.66
7772
0.66
7772
0.66
7772
0.66
7772
5856
——
—1.
3189
41.
3189
51.
3189
51.
3189
562
60—
——
0.98
6898
0.98
698
0.98
698
0.98
698
Sol.
Ana
lític
o1.
1.1.
1.1.
1.1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 132
Tab.
B.5
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=1,
a=0.
1e
b=0.
9I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
0.01
8652
90.
0186
529
0.01
8652
90.
0186
529
0.01
8652
90.
0186
529
0.01
8652
926
240.
0187
665
0.01
8766
50.
0187
665
0.01
8766
50.
0187
665
0.01
8766
50.
0187
665
3028
0.01
8849
60.
0188
496
0.01
8849
60.
0188
496
0.01
8849
60.
0188
496
0.01
8849
634
320.
0188
299
0.01
8829
90.
0188
299
0.01
8829
90.
0188
299
0.01
8829
90.
0188
299
3836
0.01
8862
30.
0188
623
0.01
8862
30.
0188
623
0.01
8862
30.
0188
623
0.01
8862
342
400.
0188
685
0.01
8868
50.
0188
685
0.01
8868
50.
0188
685
0.01
8868
50.
0188
685
4644
0.01
8894
0.01
8894
0.01
8894
0.01
8894
0.01
8894
0.01
8894
0.01
8894
5048
0.01
8921
60.
0189
216
0.01
8921
60.
0189
216
0.01
8921
60.
0189
216
0.01
8921
654
520.
0189
151
0.01
8915
10.
0189
151
0.01
8915
10.
0189
151
0.01
8915
10.
0189
151
5856
0.01
8928
30.
0189
283
0.01
8928
30.
0189
283
0.01
8928
30.
0189
283
0.01
8928
362
600.
0189
312
0.01
8931
20.
0189
312
0.01
8931
20.
0189
312
0.01
8931
20.
0189
312
Cas
o2
2220
0.01
8643
80.
0186
438
0.01
8643
80.
0186
438
0.01
8643
80.
0186
438
0.01
8643
826
240.
0187
422
0.01
8742
20.
0187
422
0.01
8742
20.
0187
422
0.01
8742
20.
0187
422
3028
0.01
8789
30.
0187
893
0.01
8789
30.
0187
893
0.01
8789
30.
0187
893
0.01
8789
334
320.
0188
243
0.01
8824
30.
0188
243
0.01
8824
30.
0188
243
0.01
8824
30.
0188
243
3836
0.01
8850
30.
0188
503
0.01
8850
30.
0188
503
0.01
8850
30.
0188
503
0.01
8850
342
400.
0188
702
0.01
8870
20.
0188
702
0.01
8870
20.
0188
702
0.01
8870
20.
0188
702
4644
0.01
8887
60.
0188
876
0.01
8887
60.
0188
876
0.01
8887
60.
0188
876
0.01
8887
650
480.
0189
011
0.01
8901
10.
0189
011
0.01
8901
10.
0189
011
0.01
8901
10.
0189
011
5452
0.01
8913
10.
0189
131
0.01
8913
10.
0189
131
0.01
8913
10.
0189
131
0.01
8913
158
560.
0189
233
0.01
8923
30.
0189
233
0.01
8923
30.
0189
233
0.01
8923
30.
0189
233
6260
0.01
8931
90.
0189
319
0.01
8931
90.
0189
319
0.01
8931
90.
0189
319
0.01
8931
9So
l.A
nalít
ico
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 133
Tab.
B.6
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=10
−2,a
=0.1
eb=
0.9
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
122
200.
9942
880.
9942
880.
9942
880.
9942
880.
9942
880.
9942
880.
9942
8826
240.
9946
150.
9946
150.
9946
150.
9946
150.
9946
150.
9946
150.
9946
1530
280.
9948
490.
9948
490.
9948
490.
9948
490.
9948
490.
9948
490.
9948
4934
320.
9947
90.
9947
90.
9947
90.
9947
90.
9947
90.
9947
90.
9947
938
360.
9948
590.
9948
590.
9948
590.
9948
590.
9948
590.
9948
590.
9948
5942
400.
9948
650.
9948
650.
9948
650.
9948
650.
9948
650.
9948
650.
9948
6546
440.
9949
210.
9949
210.
9949
210.
9949
210.
9949
210.
9949
210.
9949
2150
480.
9949
910.
9949
910.
9949
910.
9949
910.
9949
910.
9949
910.
9949
9154
520.
9949
680.
9949
680.
9949
680.
9949
680.
9949
680.
9949
680.
9949
6858
560.
9949
980.
9949
980.
9949
980.
9949
980.
9949
980.
9949
980.
9949
9862
600.
9950
020.
9950
020.
9950
020.
9950
020.
9950
020.
9950
020.
9950
02C
aso
222
200.
9936
870.
9936
870.
9936
870.
9936
870.
9936
870.
9936
870.
9936
8726
240.
9943
890.
9943
890.
9943
890.
9943
890.
9943
890.
9943
890.
9943
8930
280.
9946
390.
9946
390.
9946
390.
9946
390.
9946
390.
9946
390.
9946
3934
320.
9947
570.
9947
570.
9947
570.
9947
570.
9947
570.
9947
570.
9947
5738
360.
9948
240.
9948
240.
9948
240.
9948
240.
9948
240.
9948
240.
9948
2442
400.
9948
690.
9948
690.
9948
690.
9948
690.
9948
690.
9948
690.
9948
6946
440.
9949
070.
9949
070.
9949
070.
9949
070.
9949
070.
9949
070.
9949
0750
480.
9949
360.
9949
360.
9949
360.
9949
360.
9949
360.
9949
360.
9949
3654
520.
9949
630.
9949
630.
9949
630.
9949
630.
9949
630.
9949
630.
9949
6358
560.
9949
850.
9949
850.
9949
850.
9949
850.
9949
850.
9949
850.
9949
8562
600.
9950
050.
9950
050.
9950
050.
9950
050.
9950
050.
9950
050.
9950
05So
l.A
nalít
ico
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 134
Tab.
B.7
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raos
caso
s1
e2
com
x=0.
5,t∗
=10
−4,a
=0.1
eb=
0.9
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
122
200.
9845
040.
9845
040.
9845
040.
9845
040.
9845
040.
9845
040.
9845
0426
241.
0001
71.
0001
71.
0001
71.
0001
71.
0001
71.
0001
71.
0001
730
281.
0101
21.
0101
21.
0101
21.
0101
21.
0101
21.
0101
21.
0101
234
321.
0055
1.00
551.
0055
1.00
551.
0055
1.00
551.
0055
3836
0.99
7111
0.99
7111
0.99
7111
0.99
7111
0.99
7111
0.99
7111
0.99
7111
4240
0.99
578
0.99
578
0.99
578
0.99
578
0.99
578
0.99
578
0.99
578
4644
0.99
9227
0.99
9227
0.99
9227
0.99
9227
0.99
9227
0.99
9227
0.99
9227
5048
1.00
132
1.00
132
1.00
132
1.00
132
1.00
132
1.00
132
1.00
132
5452
1.00
084
1.00
084
1.00
084
1.00
084
1.00
084
1.00
084
1.00
084
5856
0.99
9865
0.99
9865
0.99
9865
0.99
9865
0.99
9865
0.99
9865
0.99
9865
6260
0.99
9674
0.99
9674
0.99
9674
0.99
9674
0.99
9674
0.99
9674
0.99
9674
Cas
o2
2220
0.98
0144
0.98
0144
0.98
0144
0.98
0144
0.98
0144
0.98
0144
0.98
0144
2624
0.99
4904
0.99
4904
0.99
4904
0.99
4904
0.99
4904
0.99
4904
0.99
4904
3028
1.00
585
1.00
585
1.00
585
1.00
585
1.00
585
1.00
585
1.00
585
3432
1.00
361
1.00
361
1.00
361
1.00
361
1.00
361
1.00
361
1.00
361
3836
0.99
8028
0.99
8028
0.99
8028
0.99
8028
0.99
8028
0.99
8028
0.99
8028
4240
0.99
7304
0.99
7304
0.99
7304
0.99
7304
0.99
7304
0.99
7304
0.99
7304
4644
0.99
9809
0.99
9809
0.99
9809
0.99
9809
0.99
9809
0.99
9809
0.99
9809
5048
1.00
114
1.00
114
1.00
114
1.00
114
1.00
114
1.00
114
1.00
114
5452
1.00
058
1.00
058
1.00
058
1.00
058
1.00
058
1.00
058
1.00
058
5856
0.99
9802
0.99
9802
0.99
9802
0.99
9802
0.99
9802
0.99
9802
0.99
9802
6260
0.99
9716
0.99
9716
0.99
9716
0.99
9716
0.99
9716
0.99
9716
0.99
9716
Sol.
Ana
lític
o1.
1.1.
1.1.
1.1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 135
Tab.
B.8
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
raca
sos
3co
mx=
0.5,
t∗=
1,a=
0.1
eb=
0.9
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
322
200.
0187
261
0.01
8726
10.
0187
261
0.01
8726
10.
0187
261
0.01
8726
10.
0187
261
2624
0.01
8771
0.01
8771
0.01
8771
0.01
8771
0.01
8771
0.01
8771
0.01
8771
3028
0.01
8808
40.
0188
084
0.01
8808
40.
0188
084
0.01
8808
40.
0188
084
0.01
8808
434
320.
0188
365
0.01
8836
50.
0188
365
0.01
8836
50.
0188
365
0.01
8836
50.
0188
365
3836
0.01
8859
20.
0188
592
0.01
8859
20.
0188
592
0.01
8859
20.
0188
592
0.01
8859
242
400.
0188
781
0.01
8878
10.
0188
781
0.01
8878
10.
0188
781
0.01
8878
10.
0188
781
4644
0.01
8893
20.
0188
932
0.01
8893
20.
0188
932
0.01
8893
20.
0188
932
0.01
8893
250
480.
0189
064
0.01
8906
40.
0189
064
0.01
8906
40.
0189
064
0.01
8906
40.
0189
064
5452
0.01
8917
30.
0189
173
0.01
8917
30.
0189
173
0.01
8917
30.
0189
173
0.01
8917
358
560.
0189
269
0.01
8926
90.
0189
269
0.01
8926
90.
0189
269
0.01
8926
90.
0189
269
6260
0.01
8935
30.
0189
353
0.01
8935
30.
0189
353
0.01
8935
30.
0189
353
0.01
8935
3So
l.A
nalít
ico
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
0.01
9057
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 136
Tab.
B.9
:Pro
blem
ate
ste
6-C
onve
rgên
cia
doca
mpo
dete
mpe
ratu
rapa
rao
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=10
−2,a
=0.1
eb=
0.9
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
322
200.
9951
850.
9951
850.
9951
850.
9951
850.
9951
850.
9951
850.
9951
8526
240.
9948
710.
9948
710.
9948
710.
9948
710.
9948
710.
9948
710.
9948
7130
280.
9948
170.
9948
170.
9948
170.
9948
170.
9948
170.
9948
170.
9948
1734
320.
9948
30.
9948
30.
9948
30.
9948
30.
9948
30.
9948
30.
9948
338
360.
9948
60.
9948
60.
9948
60.
9948
60.
9948
60.
9948
60.
9948
642
400.
9948
930.
9948
930.
9948
930.
9948
930.
9948
930.
9948
930.
9948
9346
440.
9949
220.
9949
220.
9949
220.
9949
220.
9949
220.
9949
220.
9949
2250
480.
9949
50.
9949
50.
9949
50.
9949
50.
9949
50.
9949
50.
9949
554
520.
9949
740.
9949
740.
9949
740.
9949
740.
9949
740.
9949
740.
9949
7458
560.
9949
950.
9949
950.
9949
950.
9949
950.
9949
950.
9949
950.
9949
9562
600.
9950
140.
9950
140.
9950
140.
9950
140.
9950
140.
9950
140.
9950
14So
l.A
nalít
ico
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
0.99
5322
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 137
Tab.
B.1
0:Pr
oble
ma
test
e6
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
oca
sos
3co
mx=
0.5,
t∗=
10−4
,a=0
.1e
b=0.
9I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.99
3776
0.99
3776
0.99
3776
0.99
3776
0.99
3776
0.99
3776
0.99
3776
2624
1.00
572
1.00
572
1.00
572
1.00
572
1.00
572
1.00
572
1.00
572
3028
1.01
172
1.01
172
1.01
172
1.01
172
1.01
172
1.01
172
1.01
172
3432
1.00
497
1.00
497
1.00
497
1.00
497
1.00
497
1.00
497
1.00
497
3836
0.99
6974
0.99
6974
0.99
6974
0.99
6974
0.99
6974
0.99
6974
0.99
6974
4240
0.99
5928
0.99
5928
0.99
5928
0.99
5928
0.99
5928
0.99
5928
0.99
5928
4644
0.99
9073
0.99
9073
0.99
9073
0.99
9073
0.99
9073
0.99
9073
0.99
9073
5048
1.00
106
1.00
106
1.00
106
1.00
106
1.00
106
1.00
106
1.00
106
5452
1.00
075
1.00
075
1.00
075
1.00
075
1.00
075
1.00
075
1.00
075
5856
0.99
9944
0.99
9944
0.99
9944
0.99
9944
0.99
9944
0.99
9944
0.99
9944
6260
0.99
9754
0.99
9754
0.99
9754
0.99
9754
0.99
9754
0.99
9754
0.99
9754
Sol.
Ana
lític
o1.
1.1.
1.1.
1.1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 138
Tab.
B.1
1:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
osca
sos
1e
2co
mx=
0.5,
t∗=
1,a=
0.25
eb=
0.75
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
122
200.
4.57
759×
10−1
84.
5775
9×10
−18
4.57
759×
10−1
84.
5775
9×10
−18
4.57
759×
10−1
84.
5775
9×10
−18
2624
—4.
5712
3×10
−18
4.57
123×
10−1
84.
5712
3×10
−18
4.57
123×
10−1
84.
5712
3×10
−18
4.57
123×
10−1
8
3028
—−6
.20×
1054
1895
4.56
736×
10−1
84.
5673
6×10
−18
4.56
736×
10−1
84.
5673
6×10
−18
4.56
736×
10−1
8
3432
—0.
4.56
484×
10−1
84.
5648
4×10
−18
4.56
484×
10−1
84.
5648
4×10
−18
4.56
484×
10−1
8
3836
——
−4.6
6×10
1429
933
4.56
310×
10−1
84.
5631
0×10
−18
4.56
310×
10−1
84.
5631
0×10
−18
4240
——
−1.3
5×10
2369
040
4.56
185×
10−1
84.
5618
5×10
−18
4.56
185×
10−1
84.
5618
5×10
−18
4644
——
—C
ompl
exo
4.56
091×
10−1
84.
5609
1×10
−18
4.56
091×
10−1
8
5048
——
——
4.56
020×
10−1
84.
5602
0×10
−18
4.56
020×
10−1
8
5452
——
——
−2.1
8×10
5985
104
4.55
965×
10−1
84.
5596
5×10
−18
5856
——
——
—4.
5592
0×10
−18
4.55
920×
10−1
8
6260
——
——
—4.
5588
4×10
−18
4.55
884×
10−1
8
Cas
o2
2220
4.57
798×
10−1
84.
5779
8×10
−18
4.57
798×
10−1
84.
5779
8×10
−18
4.57
798×
10−1
84.
5779
8×10
−18
4.57
798×
10−1
8
2624
4.57
145×
10−1
84.
5714
5×10
−18
4.57
145×
10−1
84.
5714
5×10
−18
4.57
145×
10−1
84.
5714
5×10
−18
4.57
145×
10−1
8
3028
—4.
5675
1×10
−18
4.56
751×
10−1
84.
5675
1×10
−18
4.56
751×
10−1
84.
5675
1×10
−18
4.56
751×
10−1
8
3432
—4.
5649
4×10
−18
4.56
494×
10−1
84.
5649
4×10
−18
4.56
494×
10−1
84.
5649
4×10
−18
4.56
494×
10−1
8
3836
—4.
5631
7×10
−18
4.56
317×
10−1
84.
5631
7×10
−18
4.56
317×
10−1
84.
5631
7×10
−18
4.56
317×
10−1
8
4240
——
4.56
189×
10−1
84.
5618
9×10
−18
4.56
189×
10−1
84.
5618
9×10
−18
4.56
189×
10−1
8
4644
——
4.56
095×
10−1
84.
5609
5×10
−18
4.56
095×
10−1
84.
5609
5×10
−18
4.56
095×
10−1
8
5048
——
4.56
023×
10−1
84.
5602
3×10
−18
4.56
023×
10−1
84.
5602
3×10
−18
4.56
023×
10−1
8
5452
——
—4.
5596
7×10
−18
4.55
967×
10−1
84.
5596
7×10
−18
4.55
967×
10−1
8
5856
——
—4.
5592
2×10
−18
4.55
922×
10−1
84.
5592
2×10
−18
4.55
922×
10−1
8
6260
——
—4.
5588
6×10
−18
4.55
886×
10−1
84.
5588
6×10
−18
4.55
886×
10−1
8
Sol.
Ana
lític
o4.
5563
9×10
−18
4.55
639×
10−1
84.
5563
9×10
−18
4.55
639×
10−1
84.
5563
9×10
−18
4.55
639×
10−1
84.
5563
9×10
−18
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 139
Tab.
B.1
2:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
osca
sos
1e
2co
mx=
0.5,
t∗=
10−2
,a=0
.25
eb=
0.75
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
122
20−2
.09×
1014
980.
4246
230.
4246
230.
4246
230.
4246
230.
4246
230.
4246
2326
24—
0.42
411
0.42
411
0.42
411
0.42
411
0.42
411
0.42
411
3028
—−2
.18×
1054
210.
4237
970.
4237
970.
4237
970.
4237
970.
4237
9734
32—
−1.7
9×10
1019
90.
4235
920.
4235
920.
4235
920.
4235
920.
4235
9238
36—
—−5
.64×
1014
302
0.42
345
0.42
345
0.42
345
0.42
345
4240
——
−4.6
4×10
2369
10.
4233
480.
4233
470.
4233
470.
4233
4746
44—
—C
ompl
exo
Com
plex
o0.
4232
710.
4232
710.
4232
7150
48—
——
Com
plex
o0.
4232
130.
4232
130.
4232
1354
52—
——
Com
plex
o−4
.14×
1059
856
0.42
3167
0.42
3167
5856
——
——
—0.
4231
310.
4231
3162
60—
——
——
0.42
3102
0.42
3102
Cas
o2
2220
0.42
4654
0.42
4654
0.42
4654
0.42
4654
0.42
4654
0.42
4654
0.42
4654
2624
0.42
4128
0.42
4128
0.42
4128
0.42
4128
0.42
4128
0.42
4128
0.42
4128
3028
—0.
4238
090.
4238
090.
4238
090.
4238
090.
4238
090.
4238
0934
32—
0.42
360.
4236
0.42
360.
4236
0.42
360.
4236
3836
—0.
4234
550.
4234
550.
4234
550.
4234
550.
4234
550.
4234
5542
40—
—0.
4233
510.
4233
510.
4233
510.
4233
510.
4233
5146
44—
—0.
4232
740.
4232
740.
4232
740.
4232
740.
4232
7450
48—
—0.
4232
150.
4232
150.
4232
150.
4232
150.
4232
1554
52—
——
0.42
3169
0.42
3169
0.42
3169
0.42
3169
5856
——
—0.
4231
330.
4231
330.
4231
330.
4231
3362
60—
——
0.42
3103
0.42
3103
0.42
3103
0.42
3103
Sol.
Ana
lític
o0.
4229
0.42
290.
4229
0.42
290.
4229
0.42
290.
4229
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 140
Tab.
B.1
3:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
osca
sos
1e
2co
mx=
0.5,
t∗=
10−4
,a=0
.25
eb=
0.75
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
122
20−1
.89×
!1016
0.41
1224
0.41
1224
0.41
1224
0.41
1224
0.41
1224
0.41
1224
2624
—0.
3050
880.
3050
880.
3050
880.
3050
880.
3050
880.
3050
8830
28—
−3.9
3×10
560.
6511
350.
6511
350.
6511
350.
6511
350.
6511
3534
32—
−1.3
5×10
103
0.75
0563
0.75
0563
0.75
0563
0.75
0563
0.75
0563
3836
——
−2.7
6×10
146
0.23
8653
0.23
8653
0.23
8653
0.23
8653
4240
——
−1.5
2×10
238
0.31
0394
0.31
0365
0.31
0365
0.31
0365
4644
——
Com
plex
oC
ompl
exo
0.88
3784
0.88
3784
0.88
3784
5048
——
—C
ompl
exo
0.43
9165
0.43
9165
0.43
9165
5452
——
—C
ompl
exo
−1.3
8×10
604
0.21
2922
0.21
2924
5856
——
—C
ompl
exo
Com
plex
o0.
7582
970.
7582
9962
60—
——
—C
ompl
exo
0.50
2412
0.50
2421
Cas
o2
2220
0.40
2015
0.40
2015
0.40
2015
0.40
2015
0.40
2015
0.40
2015
0.40
2015
2624
0.28
3419
0.28
3419
0.28
3419
0.28
3419
0.28
3419
0.28
3419
0.28
3419
3028
—0.
6668
640.
6668
640.
6668
640.
6668
640.
6668
640.
6668
6434
32—
0.77
9425
0.77
9425
0.77
9425
0.77
9425
0.77
9425
0.77
9425
3836
—0.
2109
760.
2109
760.
2109
760.
2109
760.
2109
760.
2109
7642
40—
—0.
2865
690.
2865
690.
2865
690.
2865
690.
2865
6946
44—
—0.
9265
860.
9265
860.
9265
860.
9265
860.
9265
8650
48—
—0.
4355
570.
4355
580.
4355
580.
4355
580.
4355
5854
52—
——
0.17
8295
0.17
8294
0.17
8294
0.17
8294
5856
——
—0.
7863
790.
7863
760.
7863
760.
7863
7662
60—
——
0.50
5076
0.50
5139
0.50
5139
0.50
5139
Sol.
Ana
lític
o0.
50.
50.
50.
50.
50.
50.
5
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 141
Tab.
B.1
4:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
oca
sos
3co
mx=
0.5,
t∗=
1,a=
0.25
eb=
0.75
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
322
204.
5786
0×10
−18
4.57
860×
10−1
84.
5786
0×10
−18
4.57
860×
10−1
84.
5786
0×10
−18
4.57
860×
10−1
84.
5786
0×10
−18
2624
4.57
183×
10−1
84.
5718
3×10
−18
4.57
183×
10−1
84.
5718
3×10
−18
4.57
183×
10−1
84.
5718
3×10
−18
4.57
183×
10−1
8
3028
—4.
5677
5×10
−18
4.56
775×
10−1
84.
5677
5×10
−18
4.56
775×
10−1
84.
5677
5×10
−18
4.56
775×
10−1
8
3432
—4.
5651
1×10
−18
4.56
511×
10−1
84.
5651
1×10
−18
4.56
511×
10−1
84.
5651
1×10
−18
4.56
511×
10−1
8
3836
—4.
5632
9×10
−18
4.56
329×
10−1
84.
5632
9×10
−18
4.56
329×
10−1
84.
5632
9×10
−18
4.56
329×
10−1
8
4240
——
4.56
198×
10−1
84.
5619
8×10
−18
4.56
198×
10−1
84.
5619
8×10
−18
4.56
198×
10−1
8
4644
——
4.56
102×
10−1
84.
5610
2×10
−18
4.56
102×
10−1
84.
5610
2×10
−18
4.56
102×
10−1
8
5048
——
4.56
028×
10−1
84.
5602
8×10
−18
4.56
028×
10−1
84.
5602
8×10
−18
4.56
028×
10−1
8
5452
——
—4.
5597
1×10
−18
4.55
971×
10−1
84.
5597
1×10
−18
4.55
971×
10−1
8
5856
——
—4.
5592
5×10
−18
4.55
925×
10−1
84.
5592
5×10
−18
4.55
925×
10−1
8
6260
——
—4.
5588
9×10
−18
4.55
889×
10−1
84.
5588
9×10
−18
4.55
889×
10−1
8
Sol.
Ana
lític
o4.
5563
9×10
−18
4.55
639×
10−1
84.
5563
9×10
−18
4.55
639×
10−1
84.
5563
9×10
−18
4.55
639×
10−1
84.
5563
9×10
−18
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 142
Tab.
B.1
5:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
oca
sos
3co
mx=
0.5,
t∗=
10−2
,a=0
.25
eb=
0.75
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
322
200.
4247
040.
4247
040.
4247
040.
4247
040.
4247
040.
4247
040.
4247
0426
240.
4241
590.
4241
590.
4241
590.
4241
590.
4241
590.
4241
590.
4241
5930
28—
0.42
3829
0.42
3829
0.42
3829
0.42
3829
0.42
3829
0.42
3829
3432
—0.
4236
130.
4236
130.
4236
130.
4236
130.
4236
130.
4236
1338
36—
0.42
3465
0.42
3465
0.42
3465
0.42
3465
0.42
3465
0.42
3465
4240
——
0.42
3359
0.42
3359
0.42
3359
0.42
3359
0.42
3359
4644
——
0.42
328
0.42
328
0.42
328
0.42
328
0.42
328
5048
——
0.42
322
0.42
322
0.42
322
0.42
322
0.42
322
5452
——
—0.
4231
730.
4231
730.
4231
730.
4231
7358
56—
——
0.42
3135
0.42
3135
0.42
3135
0.42
3135
6260
——
—0.
4231
050.
4231
050.
4231
050.
4231
05So
l.A
nalít
ico
0.42
290.
4229
0.42
290.
4229
0.42
290.
4229
0.42
29
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 143
Tab.
B.1
6:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
oca
sos
3co
mx=
0.5,
t∗=
10−4
,a=0
.25
eb=
0.75
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
322
200.
4333
080.
4333
080.
4333
080.
4333
080.
4333
080.
4333
080.
4333
0826
240.
3649
450.
3649
450.
3649
450.
3649
450.
3649
450.
3649
450.
3649
4530
28—
0.61
8951
0.61
8951
0.61
8951
0.61
8951
0.61
8951
0.61
8951
3432
—0.
6728
620.
6728
620.
6728
620.
6728
620.
6728
620.
6728
6238
36—
0.29
6144
0.29
6144
0.29
6144
0.29
6144
0.29
6144
0.29
6144
4240
——
0.37
9265
0.37
9265
0.37
9265
0.37
9265
0.37
9265
4644
——
0.78
8363
0.78
8363
0.78
8363
0.78
8363
0.78
8363
5048
——
0.43
1336
0.43
1335
0.43
1335
0.43
1335
0.43
1335
5452
——
—0.
2985
50.
2985
410.
2985
410.
2985
4158
56—
——
0.70
4254
0.70
4373
0.70
4373
0.70
4373
6260
——
—0.
4824
330.
4823
450.
4823
450.
4823
45So
l.A
nalít
ico
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 144
Tab.
B.1
7:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
osca
sos
1e
2co
mx=
0.5,
t∗=
1,a=
0.1
eb=
0.9
I ma
xI m
ax
dif
WP=
20W
P=30
WP=
40W
P=50
WP=
60W
P=70
WP=
80C
aso
122
201.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−7
2624
1.27
989×
10−7
1.27
989×
10−7
1.27
989×
10−7
1.27
989×
10−7
1.27
989×
10−7
1.27
989×
10−7
1.27
989×
10−7
3028
——
——
——
—34
321.
2789
4×10
−71.
2789
4×10
−71.
2789
4×10
−71.
2789
4×10
−71.
2789
4×10
−71.
2789
4×10
−71.
2789
4×10
−7
3836
1.27
871×
10−7
1.27
871×
10−7
1.27
871×
10−7
1.27
871×
10−7
1.27
871×
10−7
1.27
871×
10−7
1.27
871×
10−7
4240
1.27
856×
10−7
1.27
856×
10−7
1.27
856×
10−7
1.27
856×
10−7
1.27
856×
10−7
1.27
856×
10−7
1.27
856×
10−7
4644
1.27
845×
10−7
1.27
845×
10−7
1.27
845×
10−7
1.27
845×
10−7
1.27
845×
10−7
1.27
845×
10−7
1.27
845×
10−7
5048
——
——
——
—54
520.
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
5856
0.1.
2782
6×10
−71.
2782
6×10
−71.
2782
6×10
−71.
2782
6×10
−71.
2782
6×10
−71.
2782
6×10
−7
6260
—1.
2782
2×10
−71.
2782
2×10
−71.
2782
2×10
−71.
2782
2×10
−71.
2782
2×10
−71.
2782
2×10
−7
Cas
o2
2220
1.28
111×
10−7
1.28
111×
10−7
1.28
111×
10−7
1.28
111×
10−7
1.28
111×
10−7
1.28
111×
10−7
1.28
111×
10−7
2624
1.43
291×
10−7
1.43
291×
10−7
1.43
291×
10−7
1.43
291×
10−7
1.43
291×
10−7
1.43
291×
10−7
1.43
291×
10−7
3028
1.27
917×
10−7
1.27
917×
10−7
1.27
917×
10−7
1.27
917×
10−7
1.27
917×
10−7
1.27
917×
10−7
1.27
917×
10−7
3432
1.27
895×
10−7
1.27
895×
10−7
1.27
895×
10−7
1.27
895×
10−7
1.27
895×
10−7
1.27
895×
10−7
1.27
895×
10−7
3836
1.27
870×
10−7
1.27
870×
10−7
1.27
870×
10−7
1.27
870×
10−7
1.27
870×
10−7
1.27
870×
10−7
1.27
870×
10−7
4240
1.27
859×
10−7
1.27
859×
10−7
1.27
859×
10−7
1.27
859×
10−7
1.27
859×
10−7
1.27
859×
10−7
1.27
859×
10−7
4644
1.97
262×
10−7
1.97
262×
10−7
1.97
262×
10−7
1.97
262×
10−7
1.97
262×
10−7
1.97
262×
10−7
1.97
262×
10−7
5048
1.27
835×
10−7
1.27
835×
10−7
1.27
835×
10−7
1.27
835×
10−7
1.27
835×
10−7
1.27
835×
10−7
1.27
835×
10−7
5452
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
1.27
831×
10−7
5856
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
6260
1.27
823×
10−7
1.27
823×
10−7
1.27
823×
10−7
1.27
823×
10−7
1.27
823×
10−7
1.27
823×
10−7
1.27
823×
10−7
Sol.
Ana
lític
o1.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−7
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 145
Tab.
B.1
8:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
osca
sos
1e
2co
mx=
0.5,
t∗=
10−2
,a=0
.1e
b=0.
9I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
0.49
5947
0.49
5947
0.49
5947
0.49
5947
0.49
5947
0.49
5947
0.49
5947
2624
0.49
5612
0.49
5612
0.49
5612
0.49
5612
0.49
5612
0.49
5612
0.49
5612
3028
——
——
——
—34
320.
4954
330.
4954
330.
4954
330.
4954
330.
4954
330.
4954
330.
4954
3338
360.
4954
040.
4954
040.
4954
040.
4954
040.
4954
040.
4954
040.
4954
0442
400.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
8746
440.
4953
750.
4953
750.
4953
750.
4953
750.
4953
750.
4953
750.
4953
7550
48—
——
——
——
5452
−2.7
1×10
5801
0.49
536
0.49
536
0.49
536
0.49
536
0.49
536
0.49
536
5856
0.0.
4953
550.
4953
550.
4953
550.
4953
550.
4953
550.
4953
5562
60—
0.49
5351
0.49
5351
0.49
5351
0.49
5351
0.49
5351
0.49
5351
Cas
o2
2220
0.49
598
0.49
598
0.49
598
0.49
598
0.49
598
0.49
598
0.49
598
2624
0.51
0265
0.51
0265
0.51
0265
0.51
0265
0.51
0265
0.51
0265
0.51
0265
3028
0.49
5479
0.49
5479
0.49
5479
0.49
5479
0.49
5479
0.49
5479
0.49
5479
3432
0.49
5435
0.49
5435
0.49
5435
0.49
5435
0.49
5435
0.49
5435
0.49
5435
3836
0.49
5403
0.49
5403
0.49
5403
0.49
5403
0.49
5403
0.49
5403
0.49
5403
4240
0.49
539
0.49
539
0.49
539
0.49
539
0.49
539
0.49
539
0.49
539
4644
0.56
6212
0.56
6212
0.56
6212
0.56
6212
0.56
6212
0.56
6212
0.56
6212
5048
0.49
5365
0.49
5365
0.49
5365
0.49
5365
0.49
5365
0.49
5365
0.49
5365
5452
0.49
536
0.49
536
0.49
536
0.49
536
0.49
536
0.49
536
0.49
536
5856
0.49
5355
0.49
5355
0.49
5355
0.49
5355
0.49
5355
0.49
5355
0.49
5355
6260
0.49
5352
0.49
5352
0.49
5352
0.49
5352
0.49
5352
0.49
5352
0.49
5352
Sol.
Ana
lític
o0.
4953
220.
4953
220.
4953
220.
4953
220.
4953
220.
4953
220.
4953
22
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 146
Tab.
B.1
9:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
osca
sos
1e
2co
mx=
0.5,
t∗=
10−4
,a=0
.1e
b=0.
9I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o1
2220
0.49
7542
0.49
7542
0.49
7542
0.49
7542
0.49
7542
0.49
7542
0.49
7542
2624
0.50
4377
0.50
4377
0.50
4377
0.50
4377
0.50
4377
0.50
4377
0.50
4377
3028
——
——
——
—34
320.
5032
380.
5032
380.
5032
380.
5032
380.
5032
380.
5032
380.
5032
3838
360.
4980
640.
4980
640.
4980
640.
4980
640.
4980
640.
4980
640.
4980
6442
400.
4973
160.
4973
160.
4973
160.
4973
160.
4973
160.
4973
160.
4973
1646
440.
4993
070.
4993
070.
4993
070.
4993
070.
4993
070.
4993
070.
4993
0750
48—
——
——
——
5452
−7.6
5×10
570.
5005
030.
5005
030.
5005
030.
5005
030.
5005
030.
5005
0358
56−1
.02×
1078
0.49
9994
0.49
9994
0.49
9994
0.49
9994
0.49
9994
0.49
9994
6260
—0.
4998
510.
4998
510.
4998
510.
4998
510.
4998
510.
4998
51C
aso
222
200.
4966
720.
4966
720.
4966
720.
4966
720.
4966
720.
4966
720.
4966
7226
240.
0377
204
0.03
7720
40.
0377
204
0.03
7720
40.
0377
204
0.03
7720
40.
0377
204
3028
0.50
9726
0.50
9726
0.50
9726
0.50
9726
0.50
9726
0.50
9726
0.50
9726
3432
0.50
4161
0.50
4161
0.50
4161
0.50
4161
0.50
4161
0.50
4161
0.50
4161
3836
0.49
7566
0.49
7566
0.49
7566
0.49
7566
0.49
7566
0.49
7566
0.49
7566
4240
0.49
6569
0.49
6569
0.49
6569
0.49
6569
0.49
6569
0.49
6569
0.49
6569
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3765
0.48
3765
0.48
3765
0.48
3765
0.48
3765
0.48
3765
0.48
3765
5048
0.50
0811
0.50
0811
0.50
0811
0.50
0811
0.50
0811
0.50
0811
0.50
0811
5452
0.50
0647
0.50
0647
0.50
0647
0.50
0647
0.50
0647
0.50
0647
0.50
0647
5856
0.49
9995
0.49
9995
0.49
9995
0.49
9995
0.49
9995
0.49
9995
0.49
9995
6260
0.49
9809
0.49
9809
0.49
9809
0.49
9809
0.49
9809
0.49
9809
0.49
9809
Sol.
Ana
lític
o0.
50.
50.
50.
50.
50.
50.
5
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 147
Tab.
B.2
0:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
caso
s3
com
x=0.
5,t∗
=1,
a=0.
1e
b=0.
9
I ma
xI m
ax
dif
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WP=
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322
201.
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3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−71.
2808
3×10
−7
2624
−4.7
4545
×10−
7−4
.745
45×1
0−7
−4.7
4545
×10−
7−4
.745
45×1
0−7
−4.7
4545
×10−
7−4
.745
45×1
0−7
−4.7
4545
×10−
7
3028
1.27
921×
10−7
1.27
921×
10−7
1.27
921×
10−7
1.27
921×
10−7
1.27
921×
10−7
1.27
921×
10−7
1.27
921×
10−7
3432
1.27
896×
10−7
1.27
896×
10−7
1.27
896×
10−7
1.27
896×
10−7
1.27
896×
10−7
1.27
896×
10−7
1.27
896×
10−7
3836
1.27
868×
10−7
1.27
868×
10−7
1.27
868×
10−7
1.27
868×
10−7
1.27
868×
10−7
1.27
868×
10−7
1.27
868×
10−7
4240
1.27
857×
10−7
1.27
857×
10−7
1.27
857×
10−7
1.27
857×
10−7
1.27
857×
10−7
1.27
857×
10−7
1.27
857×
10−7
4644
−4.0
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×10−
6−4
.030
97×1
0−6
−4.0
3097
×10−
6−4
.030
97×1
0−6
−4.0
3097
×10−
6−4
.030
97×1
0−6
−4.0
3097
×10−
6
5048
1.27
836×
10−7
1.27
836×
10−7
1.27
836×
10−7
1.27
836×
10−7
1.27
836×
10−7
1.27
836×
10−7
1.27
836×
10−7
5452
1.27
832×
10−7
1.27
832×
10−7
1.27
832×
10−7
1.27
832×
10−7
1.27
832×
10−7
1.27
832×
10−7
1.27
832×
10−7
5856
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
1.27
825×
10−7
6260
1.27
822×
10−7
1.27
822×
10−7
1.27
822×
10−7
1.27
822×
10−7
1.27
822×
10−7
1.27
822×
10−7
1.27
822×
10−7
Sol.
Ana
lític
o1.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−71.
2779
4×10
−7
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 148
Tab.
B.2
1:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
oca
sos
3co
mx=
0.5,
t∗=
10−2
,a=0
.1e
b=0.
9I m
ax
I ma
xd
ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.49
5733
0.49
5733
0.49
5733
0.49
5733
0.49
5733
0.49
5733
0.49
5733
2624
-0.0
8119
5-0
.081
195
-0.0
8119
5-0
.081
195
-0.0
8119
5-0
.081
195
-0.0
8119
530
280.
4954
610.
4954
610.
4954
610.
4954
610.
4954
610.
4954
610.
4954
6134
320.
4954
290.
4954
290.
4954
290.
4954
290.
4954
290.
4954
290.
4954
2938
360.
4953
990.
4953
990.
4953
990.
4953
990.
4953
990.
4953
990.
4953
9942
400.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
870.
4953
8746
44-3
.748
5-3
.748
5-3
.748
5-3
.748
5-3
.748
5-3
.748
5-3
.748
550
480.
4953
660.
4953
660.
4953
660.
4953
660.
4953
660.
4953
660.
4953
6654
520.
4953
610.
4953
610.
4953
610.
4953
610.
4953
610.
4953
610.
4953
6158
560.
4953
540.
4953
540.
4953
540.
4953
540.
4953
540.
4953
540.
4953
5462
600.
4953
510.
4953
510.
4953
510.
4953
510.
4953
510.
4953
510.
4953
51So
l.A
nalít
ico
0.49
5322
0.49
5322
0.49
5322
0.49
5322
0.49
5322
0.49
5322
0.49
5322
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional 149
Tab.
B.2
2:Pr
oble
ma
test
e7
-Con
verg
ênci
ado
cam
pode
tem
pera
tura
para
oca
sos
3co
mx=
0.5,
t∗=
10−4
,a=0
.1e
b=0.
9I m
ax
I ma
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ifW
P=20
WP=
30W
P=40
WP=
50W
P=60
WP=
70W
P=80
Cas
o3
2220
0.49
9027
0.49
9027
0.49
9027
0.49
9027
0.49
9027
0.49
9027
0.49
9027
2624
18.8
805
18.8
805
18.8
805
18.8
805
18.8
805
18.8
805
18.8
805
3028
0.50
2678
0.50
2678
0.50
2678
0.50
2678
0.50
2678
0.50
2678
0.50
2678
3432
0.50
086
0.50
086
0.50
086
0.50
086
0.50
086
0.50
086
0.50
086
3836
0.49
9026
0.49
9026
0.49
9026
0.49
9026
0.49
9026
0.49
9026
0.49
9026
4240
0.49
9093
0.49
9093
0.49
9093
0.49
9093
0.49
9093
0.49
9093
0.49
9093
4644
1.40
888
1.40
888
1.40
888
1.40
888
1.40
888
1.40
888
1.40
888
5048
0.50
0275
0.50
0275
0.50
0275
0.50
0275
0.50
0275
0.50
0275
0.50
0275
5452
0.50
0151
0.50
0151
0.50
0151
0.50
0151
0.50
0151
0.50
0151
0.50
0151
5856
0.49
9975
0.49
9975
0.49
9975
0.49
9975
0.49
9975
0.49
9975
0.49
9975
6260
0.49
9946
0.49
9946
0.49
9946
0.49
9946
0.49
9946
0.49
9946
0.49
9946
Sol.
Ana
lític
o0.
50.
50.
50.
50.
50.
50.
5
Apêndice C
Tabelas de resultados do problema de autovalor
unidimensional
150
Apêndice C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional 151
Tab.
C.1
:Pro
blem
ate
ste
9-C
onve
rgên
cia
dos
auto
valo
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Apêndice C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional 152
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