ESTUDO DA LÓGICA PROPOSICIONALportal.sceaconcursos.com.br/wp-content/uploads/2016/01/MÓDULO-D… · 3°) (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes:

Diferente por apostar em você!

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RACIOCÍNIO LÓGICO – ARGEU CARDIM

ESTUDO DA LÓGICA PROPOSICIONAL

1) PROPOSIÇÃO

EXEMPLO

A) 2+3 = 5

B) Aracaju é capital de Sergipe

C) (-3)² = -9

D) O sol é uma estrela

CONTRA - EXEMPLO

A) x+2=1 (sentença aberta, depende de x)

B) Que lindo dia! (Frase exclamativa)

C) Que dia é hoje? (Frase interrogativa)

D) Vá para casa (Frase imperativa)

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM

1°) (STJ - CESPE) Tendo como referência as informações acima, julgue os itens que se seguem.

1) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.

A: 12 é menor que 6

B: Para qual time você torce?

C: x+3>10

D: existe vida após a morte.

2°) (BB - CESPE) A partir desses conceitos, julgue os próximos itens:

3) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:

(I) O BB foi criado em 1980

(II) Faça seu trabalho corretamente

(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade

3°) (BB - CESPE) A partir desses conceitos, julgue os próximos itens:

1) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.

(I) “A frase dentro destas aspas é uma mentira”

(II) A expressão x + y é positiva

(III) O valor de √4 + 3 = 7

(IV) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira

(V) O que é isto?

4°) (TRT - CESPE) A partir desses conceitos, julgue os próximos itens:

2) Na sequência de frases abaixo, há três proposições:

(I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil?

(II) O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas.

(III) Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso de TRT/ES

(IV) Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no concurso de TRT/ES


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EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Julgue as afirmações que se seguem.

1°) (TCE/AC) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições.

(I) Esta frase é falsa.

(II) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre.

(III) Quantos são os conselheiros do TCE/AC?

2°) (MRE) Considere a seguinte lista de sentenças:

(I) Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?

(II) O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.

(III) As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.

(IV) O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.

3°) (PRODEST) Considere a seguinte lista de frases:

(1) Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.

(2) Qual é o horário do filme?

(3) O Brasil é pentacampeão de futebol.

(4) Que belas flores!

(5) Mariene não é atriz é Djanira é pintora.

Nessa lista, há exatamente 4 proposições.

4°) (FCC) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o

que se declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:

1. A terça parte de um número.

2. Jasão é elegante.

3. Mente sã em corpo são.

4. Dois mais dois são 5.

5. Evite o fumo.

6. Trinta e dois centésimos.

É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças APENAS os itens de números

(A) 1, 4 e 6

(B) 2, 4 e 5

(C) 2, 3 e 5

(D) 3 e 5

(E) 2 e 4

GABARITO

1°) ERRADO 2°) ERRADO 3°) ERRADO 4°) E


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1.1) VALORES LÓGICOS DE UMA PROPOSIÇÃO

Considere uma proposição “p” para representarmos o valor lógico dessa proposição usaremos a simbologia V(p), que

significa, o valor lógico da proposição p.

Se “p” é verdadeira, então V(p) = V ou V(p) = 1

Se “p” é falsa, então V(p) = F ou V(p) = 0

1.2) PRINCÍPIOS

Para que a lógica matemática seja desenvolvida corretamente é necessário obedecer aos princípios básicos. Os mais

importantes são os 3 seguintes:

I) Principio da identidade:

Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.

II) Principio da não-contradição:

Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa

III) Principio do terceiro excluído:

Uma proposição ou é verdadeiro ou é falsa

1.3) TIPOS DE PROPOSIÇÕES

1.3.1) PROPOSIÇÃO SIMPLES (ATÔMICA):

EXEMPLOS

a) p: 3+7<10

b) q: Bahia é um estado do Nordeste

c) r: Joana é dentista

1.3.2) PROPOSIÇÃO COMPOSTA (MOLECULAR):

Os conectivos são:

CONECTIVO OPERAÇÃO LÓGICA LEITURA EXEMPLOS

EXEMPLOS

A) 4 é par e 5 < 6 (conectivo “e”)

B) 2<3 ou 9 é um numero primo (conectivo “ou”)

C) Ou 2 é par ou 10 é primo (conectivo “ou...ou...”)

D) Se 2 ∈ N então 2 ∈ R (conectivo “se... então...”)

E) É brasileiro se, e somente se nasceu no Brasil (conectivo “se, e somente se”)


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1º) (SEBRAE 2008)(adaptada). Com relação a lógica formal, julgue os itens subseqüentes:

1) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples

2) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo 2 valores lógicos.

5) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por

duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

2º) (SEBRAE/BA - 2008)(adaptada)Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como

verdadeira(V) ou falsa (F), mas não como ambas. A partir dessas definições, julgue os itens abaixo:

4) A proposição “O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros” é uma proposição simples.

3°) (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes:

Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.

A resposta branda acalma o coração irado.

O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem.

Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.

Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes.

1) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.

2) A segunda frase é uma proposição lógica simples.

3) A terceira frase é uma proposição lógica composta.

4) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

4°) Transforme da linguagem escrita para a linguagem escrita para a linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) O gato mia e o cachorro não late

b) João não é médico ou Maria é dentista

c) Ou Paulo é carioca ou Paulo é baiano

d) João não vai para a praia e Cláudio não vai para a festa.

e) Ou Fernando é dentista ou Fernando não é médico.

f) Se Paula não vai ao médico então Fernanda não vai aproveitar a sua carona


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g) Paulo só viajará se, e somente se, seus filhos forem aprovados.

h) Se José não vai para Bahia então Carlos vai para o Ceará.

i) Fernanda não passará no concurso se, e somente se, Fernanda não estudar

j) Se 3 < 4 então √3 ≥ √4

k) Se Pedro é dentista e João não é médico então Paulo é economista

l) Se Maria não é alta e José é baixo então Claudio não é baixo e Carlos não é alto

m) Se Pedro não é baiano então Fernando não é baiano ou José é carioca

n) Se 2 divide 4 e 4 é divisível por 4 então 4 não é um número primo

o) Maria trabalha na diretoria ou trabalha na presidência

1.4) APROFUNDANDO NOS CONECTIVOS


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Em concursos públicos, são cobradas duas partes do operador lógico: a linguagem escrita e a tabela verdade. Por

isso, vamos agora nos familiarizar com a parte da linguagem escrita para em seguida trabalhar com as tabelas

verdades.

I) DISJUNÇÃO (INCLUSIVA):

Além da forma explicitada nos exercícios trabalhados acima, existe outras formas dos concursos cobrarem o

operador lógico da disjunção (inclusiva), conforme exemplos abaixo.

EXEMPLO

1) p: Carlos está alocado na região B3

q: Carlos está alocado na região B4

FORMA JÁ CONHECIDA: p ∨ q: Carlos está alocado na região B3 ou Carlos está alocado na região B4

FORMA NOVA: p ∨ q: Carlos está alocado na região B3 ou B4

II) DISJUNÇÃO EXCLUSIVA:

A disjunção exclusiva não possui outra forma de leitura, porém é importante saber que a CESPE considera que

NÃO EXISTE DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, ou seja, quando ele colocar numa sentença o conectivo “ou...ou.. ”

considere uma DISJUNÇÃO (INCLUSIVA).

CONCLUSÃO: Para CESPE “ou...ou...” é DISJUNÇÃO (INCLUSIVA).

III) CONJUNÇÃO:

Além da forma explicitada nos exercícios trabalhados anteriormente, existe outras formas dos concursos

cobrarem o operador lógico da conjunção, conforme exemplos abaixo.

EXEMPLO

1) p: O sol é uma estrela

q: A lua é um satélite

FORMA JÁ CONHECIDA: p ∧ q: O sol é uma estrela e a lua é um satélite.

FORMA NOVA: p ∧ q: O sol é uma estrela, mas a lua é um satélite.

FORMA NOVA: p ∧ q: Tanto o sol é uma estrela, como a lua é um satélite.

FORMA NOVA: p ∧ q: O sol é uma estrela a lua é um satélite, embora a lua seja um satélite.

FORMA NOVA: p ∧ q: O sol é uma estrela a lua é um satélite, apesar de a lua ser um satélite.

OBSERVAÇÃO!!! A expressão “e”, do ponto de vista lógico, representa uma simultaneidade de acontecimento.

Por isso, quando se diz: “Hoje vou à praia e ao cinema”, significa que irá à praia e também ao cinema, ou seja,

as duas coisas irão acontecer.

IMPORTANTÍSSIMO SABER!!!

O CESPE considera proposição simples: A proposição com sujeitos diferentes, porém o mesmo predicado.

EXEMPLO IMPORTANTE

1) p: Pedro é analista do SEBRAE.

q: Paulo é analista do SEBRAE.

FORMA JÁ CONHECIDA: p ∧ q: Pedro é analista do SEBRAE e Paulo é analista do SEBRAE.

FORMA NOVA: p ∧ q: Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE.

(Em termos de lógica a proposição é composta, mas para a CESPE é uma proposição simples.)

IV) CONDICIONAL


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Além da forma explicitada nos exercícios trabalhados anteriormente, existe outras formas dos concursos

cobrarem o operador lógico da condicional, conforme exemplos abaixo.

EXEMPLO

1) p: Mário é inocente

q: João é culpado

FORMA JÁ CONHECIDA: p → q: Se Mário é inocente então João é culpado.

FORMA NOVA: p → q: Mário ser inocente implica João ser culpado.

FORMA NOVA: p → q: Mário é inocente consequentemente João é culpado.

FORMA NOVA: p → q: Quando Mário for inocente, João será culpado.

FORMA NOVA: p → q: No caso de Mário ser inocente, João será culpado.

FORMA NOVA: p → q: João é culpado, se Mário é inocente.

FORMA NOVA: p → q: João é culpado, contanto que Mário seja inocente.

FORMA NOVA: p → q: João é culpado, no caso de Mário ser inocente.

FORMA NOVA: p → q: João é culpado, portanto Mário é inocente.

OBSERVAÇÃO!!! A operação lógica de condicional é uma relação de causa e efeito, daí basta lembrar que p →

q significa, causa → efeito.

V) BICONDICIONAL

A bicondicional não possui outra forma de leitura, porém mais adiante veremos umas formas de leituras

equivalentes.


1°) (CESPE) Considere as proposições seguintes.

Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cairá para a segunda divisão”.

A: “O Estrela Futebol Clube vence”;

B: “O Estrela Futebol Clube perde”.

C: “O Estrela Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.

Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por A B → C.

2°) (CESPE) Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da rescrita das

proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “”,

“”, “~” e “”sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector

condicional. Considere também a proposição a seguir.

Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro

trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumido que

P = “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”, Q = “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô, R = “Ele sempre leva

um guarda-chuva” e S = “Ele sempre leva dinheiro trocado”.

(A) P (Q R)

(B) (P Q) R)

(C) (P Q) (R S)

(D) P (Q (R S)

3°) (ICMS FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa em concurso”.


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Nessa proposição o conectivo lógico é:

(A) disjunção inclusiva

(B) disjunção exclusiva

(C) condicional

(D) bicondicional

(E) conjunção

4°) (CESPE) Considerando a proposição P: “Mário pratica natação e judô”, julgue o item seguinte.

1) Simbolizando a proposição P por A B, então a proposição Q: “Mário pratica natação, mas não pratica judô é

corretamente simbolizada por A (B).

5°) (CESPE) A sentença “O Departamento Cultural do Itamaray realiza eventos culturais e o Departamento de

Promoção Comercial não estimula o fluxo de turistas para o Brasil” é uma proposição que pode ser simbolizada na

forma A (B).


1°) (CESPE) Considere as proposições a seguir.

R: “Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão”;

A: “O Saturno Futebol Clube vence”;

B: “O Saturno Futebol Clube perde”;

C: “O Saturno Futebol Clube cairá para a segunda divisão”.

Nesse caso, a proposição R pode ser expressa, simbolicamente, Por A (B → C).

2°) (CESPE) Ao empregar os símbolos P, Q e R para as proposições primitivas “Paulo lê revistas cientificas”, “Paulo lê

jornais” e “Paulo lê gibis” respectivamente, é correto simbolizar a proposição composta “ Paulo lê gibis ou não lê

jornais e não lê revistas científicas” por ((R Q) P).

3°) Texto para os itens 3 e 4.

(CESPE) considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S:

P: Nesse país o direito é respeitado

Q: O país é próspero.

R: O cidadão se sente seguro.

S: Todos os trabalhadores têm emprego.

Considere também que os símbolos “”, ””, “” e “”representem os conectivos lógicos “ou”, e “e”, “se... então” e

“não”, respectivamente.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

3. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada

simbolicamente por P (R).

4. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada

simbolicamente por Q → S.

GABARITO

1°) CERTO 2°) ERRADO 3°) CERTO; CERTO

1.5) TABELA VERDADE DOS OPERADORES LÓGICOS

1.5.1.) NEGAÇÃO


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Colocando-se não (~) antes da proposição, obtemos uma proposição que é negação da primiera. Se a proposição é

verdadeira (falsa), a negação é falsa (verdadeira).

TABELA VERDADE

P ~p

CONCLUSÃO:

EXEMPLOS

I) p: Argeu é baiano

A proposição ~p será:

1.5.2.) CONJUNÇÃO:

A proposição composta resultante da operação de conjunção de duas ou mais proposições só será verdadeira, se

todas as proposições envolvidas na operação forem verdadeiras.

TABELA VERDADE

P q p ∧ q

CONCLUSÃO:

EXEMPLOS

p: A Bahia é um estado do Nordeste

I)

q: Toda cobra é venenosa

A proposição p ∧ q será:


1) Sendo VL (p) = V e VL(q) = F, determine o valor lógico de:

a) p ∧ q

b) ~p ∧ q

c) p ∧ ~q

d) ~p ∧ ~q


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e) ~(p ∧ q)

1.5.3.) DISJUNÇÃO (INCLUSIVA):

A proposição composta resultante da operação da disjunção de duas ou mais proposições só será falsa, se todas as

proposições envolvidas na operação forem falsas.

TABELA VERDADE

P q p ∨ q

CONCLUSÃO:

EXEMPLOS


a)

q: Toda cobra é venenosa

A proposição p ∨ q será:


1) Sendo VL (p)=1 e VL(q)=0, determine o valor lógico de:

a) p ∨ q

b) ~p ∨ q

c) p ∨ ~q

d) ~p ∨ ~q

e) ~(p ∨ q)

1.5.4.) DISJUNCAO EXCLUSIVA:


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A proposição composta resultante da operação da disjunção exclusiva de duas ou mais proposições só será verdadeira

se as proposições envolvidas tiverem valores lógicos contrários, isto é, se uma for verdadeira e a outra, falsa. Se

tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas), a proposição resultante da disjunção exclusiva será

falsa.

IMPORTANTE !!!

A disjunção exclusiva pode apresentar 3 representações simbólicas que são: ∨ ; ∨̇ ; ∨̂

TABELA VERDADE

P q p ∨ q

CONCLUSÃO:

EXEMPLOS


a)

q: A Bahia é um estado do Norte

A proposição p ∨ q será:


1) Sendo VL (p)=V e VL(q)=F, determine o valor lógico de:

a) p ∨ q

b) ~p ∨ q

c) p ∨ ~q

d) ~p ∨ ~q

e) ~(p ∨ q)

1.5.5.) CONDICIONAL:


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A proposição composta resultante da operação de implicação de uma proposição em outra só será falsa, se a

antecedente (hipótese) for verdadeira e a conseqüente for falsa. Em todos os outros casos, proposição resultante da

implicação será verdadeira.

TABELA VERDADE

P q p → q

CONCLUSÃO:

EXEMPLOS

p: Hoje é feriado

a)

q: Amanhã irei a praia

A proposição p → q será:



a) p → q

b) p → ~q

c) ~p → q

d) ~p → ~q

e) ~(p → q)

f) [(~p ∧ ~q) → (p ∨ ~q)] → ~p

1.5.6.) BICONDICIONAL:


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A proposição composta resultante da operação da dupla implicação de uma proposição em outra só será verdadeira se

ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas). Se

uma for verdadeira e a outra falsa a dupla implicação será falsa.

TABELA VERDADE

CONCLUSÃO:

EXEMPLOS

p: Argeu é baiano

a)

q: Argeu nasceu na Bahia

A proposição p ↔ q será:



a) p ↔ q

b) ~p ↔ q

c) ~p ↔ ~q

d) p ↔ ~q

e) ~(p ↔ q)

f) [(~p → q) ∧ q] ↔ [(q → ~p) ∨ ~q]


P Q p ↔ q


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1°) Considere que as proposições p; q e r tem valorações respectivamente iguais a verdadeiro; verdadeiro e falso

então determine os valores lógico de:

a) ~p ∧ q

b) ~r ∨ p

c) ~r → ~q

d) ~p ↔ r

e) ~p ∨ ~r

f) ~p ∨ ~q

g) ~q ∧ ~r

h) p → ~q

i) ~q → ~r

j) ~r ↔ ~q

k) (q ∨ ~p) → (~p ∧ r)

l) (q ∨ ~r) ↔ (~p → r)

m) (~r ↔ ~q) ∧ (p → ~q)

n) (~r ↔ ~p) ∨ (~q → ~r)

o) [(p ↔ ~q) ↔ (~q ∨ ~r)] → (~q ∧ ~r)

p) r → {[(~p ∨ ~q) → (r ↔ q)] ↔ [ (~r ∨~q ) ∧ (~p↔ ~r)]}


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q) { [ (r → ~p) ∨ (~q → r)] ↔ [(q ↔ ~r) ∨ (~q ↔ ~p)]} ∧ ~p

2°) Assinale a alternativa que representa uma proposição composta cujo valor é verdadeiro.

a) 42 = 24 ∧ (−3)2 = −9

b) 2 + 3 = 6 ∨ 21 é 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

c) 7 ≤ 7 → −1 < −2

d) 32 = 8 → 1 < 2

e) 3 − 2 = 1 → 4 ≤ 3

3°) Sabendo-se que a proposição p ∧ ~q tem valor lógico verdadeiro então determine o valor lógico das proposições

simples p e q.

4°) Sabendo-se que a proposição ~p ∨ q tem valor lógico falso então determine o valor lógico das proposições simples p

e q.

5°) Sabendo-se que a proposição ~p → ~q tem valor lógico falso então determine o valor lógico das proposições simples

p e q.

6°) Sabendo-se que a proposição (~p ∧ q) → ~r tem valor lógico falso então determine o valor lógico da proposição

(~r ↔ ~p) ∨ (~q → ~r)

7°) Julgue os itens seguintes.

Considere as proposições abaixo:

P: 4 é um número par;

Q: A PETROBRAS é a maior exportadora de café do Brasil.

Nesse caso, é possível concluir que a proposição P V Q é verdadeira.

8°) (CESPE) Considere que a proposição “Silvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então, pode-se

garantir que a proposição “Silvia ama Tadeu” é verdadeira.



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1°) (CESPE-PM) Considere as seguintes proposições:

(A) 3 + 4 = 7 ou 7 – 4 = 3

(B) 3 + 4 = 7 e 3 + 4 > 8

(C) Se 32 = – 1 então 32 = 9

(D) Ou 12 = 1 ou 32 = 9

Nesse caso, entre 4 proposições, apenas duas são V.

2°) Seja dado que as proposições P: José foi se divertir, Q: João foi à universidade e R: José está de férias são,

respectivamente, verdadeira, verdadeira e falsa.

Sejam também as proposições compostas:

I. Se José está de férias, então ele foi se divertir e João não foi a universidade.

II. Se José foi se divertir, então ele não está de férias e João não foi à universidade.

III. Se João não foi à universidade,então José não está de férias, mas foi se divertir.

Quanto ao valor verdade, as proposições I; II e III são respectivamente,

a) V; F e V

b) V; V e F

c) V; F e F

d) F; F e V

e) F; V e V

3°) Se sob o ponto de vista dos valores lógicos, as proposições compostas P (Q R),Q (P R) e R (P Q)

são, respectivamente, verdadeira (V), falsa (F) e verdadeira (V), então as proposições P, Q e R são, respectivamente,

a) V, F e F

b) V, F e V

c) V, V e F

d) V, V e V

e) F, F e F

4°) (CESPE) Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “”, “”, “→” e “” representem, os

conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras – V– ou como falsas – F.

Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados à lógica proporcional.

2. Considere que as proposições B e A → (B) sejam V. Nessa caso, o único valor lógico possível para A é V.

5°) (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos , e são operadores

lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e ou respectivamente. Na lógica proposicional, cada

proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.

1. P Q é verdadeira.

2. [( P Q) ( R S) é verdadeira.

3. [P (Q S)] ( [(R Q) (P S)]) é verdadeira.

4. (P ( S)) (Q ( R )) é verdadeira.

GABARITO

1°) ERRADO 2°) A 3°) A 4°) ERRADO 5°) CERTO; ERRADO; ERRADO; CERTO

DESAFIO DO DIA!!! (É PARA MOSTRAR AO PAI QUE ESTÁ SABENDO MUITO)


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(AGENTE -PF/2004) Texto para os itens de 1 a 8.

Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos , , e sejam operadores

lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica

proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F),

mas nunca ambos.

______________________________________________

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( P) ( Q) também é verdadeira.

2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R ( T) é falsa.

3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a propósito (P R) ( Q) é

verdadeira.

________________________________________________

Considere as sentenças abaixo.

I. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.

II. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.

III. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

IV. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.

V. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente,

muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir

P Fumar deve ser proibido

Q Fumar deve ser encorajado.

R Fumar não faz bem à saúde.

T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

4. A sentença l pode ser corretamente representada por P ( T).

5. A sentença II pode ser corretamente representada por ( P) ( R).

6. A sentença III pode ser corretamente representada por R P

7. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P.

8. A sentença V pode ser corretamente representada por T (( R) ( P)).

GABARITO

1. E 2. E 3. C 4. E 5.C 6.C 7.C 8.E

1.6) NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO


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1.6.1) PROPOSIÇÃO SIMPLES:

A negação de uma proposição p, indicada por ~p ou ¬p, assumirá valor lógico verdadeiro ou falso conforme o valor

lógico que a proposição p assumir, ou seja, se p é verdadeira, então ~p é falsa, ou, se p é falsa, então ~p é verdadeira.

CONCLUSÃO: A proposição ~p (¬p) terá valor lógico contrário ao valor lógico de p.

Essas colocações acima são referentes as valorações, contudo é importante sabermos negar uma proposição, seja ela

representada na forma simbólica, seja ela representada por forma escrita. Abaixo veremos alguns casos de negação

comuns em concursos.

È fundamental lembrarmos que a negação de uma proposição que já está negada se faz necessário a supressão do

conectivo de negação. Ou seja: ~(~p) = p

EXEMPLOS

p: João é dentista

~p:

I) ~p:

~p:

q: Argeu não é baiano

~q:

II) ~q:

~q:

~q:

OBSERVAÇÃO 1: Negar uma proposição não é torná-la falsa, e sim, trocar seu valor lógico.

OBSERVAÇÃO 2: Quando uma proposição apresenta alguns símbolos matemáticos, na sua negação haverá

mudanças nesses símbolos e não nas operações matemáticas. Veja quadro de negação dos símbolos abaixo:

SÍMBOLOS NEGAÇÃO

=

≠

>

<

≥

≤

EXEMPLOS

p: 3 + 5 ≤ 8

I)

~p:

q: 3 -1 < 4

II)

~q:

r: (-2)² = 4

III)

~r:


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1°) (SEBRAE 2008) (Adaptada) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes:

2. A negação da proposição “ 2+ 5 = 9 ” é a proposição “ 2 + 5 = 7 ”.

2°) Em um trecho da letra da música “Sampa”, Caetano Veloso se refere á cidade de São Paulo dizendo que ela é o

“avesso, do avesso, do avesso, do avesso”. Admitindo que uma cidade represente algo bom e que o seu avesso

represente algo ruim, do ponto de vista lógico, o trecho da música de Caetano Veloso afirma que São Paulo é uma

cidade:

a) Equivalente a seu avesso.

b) Similar a seu avesso.

c) Ruim e boa.

d) Ruim.

e) Boa.

3°) (FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: “No dia do crime, não fui a lugar nenhum.

Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: – hoje não compro nada. Isso posto, não

compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime.”

a) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime.

b) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime.

c) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime.

d) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e tem coisa a declarar sobre o crime.

e) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime.

1.6.2) PROPOSIÇÃO COMPOSTA

A negação da proposição simples, o processo é apenas colocar o advérbio “não” antes do verbo de ligação ou retirar o

citado advérbio, se a proposição o possuir. Já no caso das proposições compostas, devemos utilizar as fórmulas de

negação, isto é, expressões equivalentes a negação das proposições. Veja a tabela abaixo:

PROPOSIÇÃO

NEGAÇÃO

p ∧ q

p ∨ q

p → q

p ↔ q

OBSERVAÇÃO: Provaremos mais adiante essas negações quando chegarmos ao assunto equivalência lógica.



20


1º) Determine a negação de:

a) p ∧ ~q

b) ~p ∨ q

c) ~p ∧ q

d) p ∨ ~q

e) ~p ∧ ~q

f) p → ~q

g) ~p → q

h) ~p → ~q

i) (p ∨ q) → r

j) (p ∧ ~q) → ~r

k) p → (~r ∨ q)

l) ~p → (r ∧ ~q)

m) (~p ∨ q) → (r ∧ ~s)

n) ~p ↔ q

2º) Determine a negação de:

a) Ana é paulista e Argeu não é baiano

b) João não é dentista ou Mario é médico

c) O gato mia e o cachorro não late

d) Se João é carioca então José não é paulista

e) Se Paulo não é artista então Carla é atriz


21


f) Se Pedro é dentista e João não é médico então Paulo é economista

g) Se Maria não é alta e José é baixo então Claudio não é baixo e Carlos não é alto

h) Se 3 + 1 ≠ 5 então 9 + 1 ≥10

i) Maria trabalha na diretoria ou trabalha na presidência

3º) (PRODEST/ES – ANALISTA/2006) (Adaptada) Julgue os itens seguintes:

3. Proposições da forma ¬ (P ∨ Q) E ¬ P ∧ ¬ Q são equivalentes.

4º) “Se uma função é ímpar, então é injetora”. A negação da proposição é:

a) Uma função não é ímpar e é injetora

b) Uma função não é impar e não é injetora

c) Se uma função não é ímpar, então não é injetora

d) Uma função é ímpar e não é injetora

e) Se uma função não é injetora, então não é ímpar

5º) A negação de “ x > 4 ou x < 2 ” é:

a) x < 4 e x > 2

b) x < 4 ou x > 2

c) x ≤ 4 e x ≥ 2

d) x ≤ 4 ou x ≥ 2

e) se x ≤ 4, então x < 2

6º) Sejam as proposições simples:

p: Salvador é a capital da Bahia

q: Porto Seguro não tem praias

A negação da proposição ~p ∨ ~q pode ser lida como:

a) Se Salvador é a capital da Bahia, então Porto Seguro não tem praias

b) Salvador não é a capital da Bahia e Porto Seguro tem praias

c) Salvador é a capital da Bahia e Porto Seguro não tem praias

d) Salvador não é a capital da Bahia ou Porto Seguro tem praias

e) Salvador é a capital da Bahia ou Porto Seguro não tem praias



22


1°) (TRT 17ª regisão 2009/CESPE) A negação da proposição “O juiz determinou a liberatação de um estelionatário e de

um ladrão” é expressa na forma “O juiz não determinou a libertação de um estelionatário nem de um ladrão”.

2°) (ESAF) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:

a) Milão não é a capital da Itália.

b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.

d) Paris não é a capital da Inglaterra.

e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.

3°) (CESPE-adaptada) Com base nas informações do texto I, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores

lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por [P → (Q)] possui os

mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por

a) (P) Q.

b) (Q) → P.

c) [() (Q)]

d) [(P → Q)]

e) P Q

4°) (CESPE) Considere as seguintes proposições.

A: Jorge briga com sua namorada Sílvia

B: Sílvia vai ao teatro

Nesse caso, independentemente das valorações V ou F para A e B, a expressão (A B) correspondente à

proposição C: “Jorge não briga com sua namorada Sílvia e Sílvia não vai ao teatro”.

5°)(CESPE) Considere as proposições:

A: O cachorro mordeu a bola;

B: O prédio do MCT fica na Esplanada.

Nessa caso, um enunciado correto da proposição (A B) é: O cachorro não mordeu a bola nem o prédio do

MCT fica na Esplanada.

6°) (CESPE) Sabe-se que as proposições (A B) e (A) (B) têm os mesmos valores lógicos para todas as

possíveis valorações de A e de B. Então a negação da proposição “O Brasil possui embaixada em Abu Dhabi e não

em Marrocos” pode ser simbolizada da forma ( A) B.

7°) (CESPE) Se A é a proposição “O soldado Brito é jovem e casado”, então a proposição “O soldado Brito não é jovem

mas é solteiro” é um enunciado correto para a proposição A.

GABARITO

1°) ERRADO 2°) B 3°) E 4°) ERRADO 5°) CERTO 6°) CERTO 7°) ERRADO

REVISÃO DA PARTE INICIAL


23


1°) Encontre o valor lógico das proposições abaixo:

a) 2 + 3 = 5 ou 5 + 3 = 8

b) 8 < 5 e 6 > 7

c) 6 < 0 ou 3 < 4

d) Se 2 é par, então 3 é ímpar

e) Se 8 é impar, então 5 é menor que 7

f) Se 5 é primo, então 3 + 4 < 7

g) 8 é quadrado perfeito se e somente se 2 é primo

h) Se 4 é par então 2 não divide 4

i) 2 > 3 ∧ 6 < 7

j) 3 + 1 ≠ 4 ∨ (-5)² = 25

k) (7 < 8) → (5 < 4)

l) (−3)² = −9 → 10² ≠100

m) 2 < 3 → ~(3 > 4)

2°) Considere as proposições:

p: Existe um número natural que não é par nem impar

q: Todo número racional apresenta inverso

Assinale verdadeiro (V) ou falso (F):

a) p ∧ q ( )

b) p ∨ q ( )

c) p → q ( )

d) p ↔ q ( )

e) ~p ∧ q ( )

f) ~p → q ( )

g) p ↔ ~q ( )


24


h) (p ∧ q) → ~q ( )

i) (~p ∨ q) ↔ (~p ∧ ~q) ( )

j) (~p → q) ↔ (~q → q) ( )

3°) Seja p, q e r três sentenças então a proposição (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) é:

a) Falsa se q é falsa e p e r são verdadeiras

b) Verdadeira se p é falsa e q e r são verdadeiras

c) Verdadeira se r é verdadeira e p e q são falsas

d) Falsa se p, q e r são verdadeiras

e) Verdadeira se p e q são verdadeiras e r é falsa

4°) (Gestor Fazendário-MG) Considere a afirmação:

P: “A ou B”, onde A e B, por sua vez são as seguintes afirmações.

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista, Enio não é economista, Juca não é arquiteto.

b) Carlos não é dentista, Enio é economista, Juca não é arquiteto.

c) Carlos não é dentista, Enio é economista, Juca é arquiteto.

d) Carlos é dentista, Enio não é economista, Juca não é arquiteto.

e) Carlos é dentista, Enio é economista, Juca não é arquiteto.

5°) (MPE-AM/2008)(Adaptada) Com referência ao texto I, julgue os itens a seguir:

4. No fluxograma ilustrado abaixo, as instruções devem ser executadas seguindo-se os fluxos das setas de acordo

com a avaliação da proposição que ocorre em cada caixa oval. Nesse caso, quando A e B tem valorações

contrarias, a execução do fluxograma termina em NEGA.

V F AFIRMA A → ¬ B A ∨ B

V F NEGA


25


6°) (IPAJM/2006) Julgue os itens seguintes a respeito de raciocínio lógico.

1. Suponha que A e B sejam enunciados falsos. Nesse caso, o enunciado ¬ [( ¬ A ∨ B) ∨ ( ¬ B ∨ A)] é verdadeiro.

2. Considere as seguintes proposições:

p: Pedro é Rico

q: Pedro é forte

r: é falso que Pedro é pobre ou forte

Nesse caso, a proposição r pode ser escrita na forma simbólica como r: ¬ (¬ p ∨ q).

3. A proposição “ Se 1 + 3 = 5 então 2 + 2 = 4 ” é falsa.

7°) (CENSIPAM-TÉCNICO/2006) Uma proposição pode ter valoração verdadeira(V) ou falsa (F). Os caracteres ¬, ∨ e ∧

, que simbolizam “não”, “ou” e “e”, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P

e Q são proposições simples, então P ∧ Q; P∨ Q e ¬ P são proposições compostas. Considere as proposições a

seguir.

A: as despesas foram previstas no orçamento

B: os gastos públicos aumentaram

C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único

D: a lei é igual para todos

A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.

1. A proposição “ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no orçamento” está

corretamente simbolizada por ( ∨ B) ∨ ( ¬ A)

2. A ∧ (C ∨ (¬ B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e, ou os

funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram .”

3. A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único nem que os

gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (¬ C) ∧ (¬ B)

8°) (ANCINE – ANALISTA /2006) Julgue os seguintes itens.

3. Suponha que as proposições I, II e III a seguir sejam verdadeiras.

I. Se o filme Dois filhos de Francisco não teve a maior bilheteria de 2005, então esse filme não teve o maior

número de cópias vendidas.

II. Se o filme Dois filhos de Francisco teve a maior bilheteria de 2005, então esse filme foi exibido em mais

de 300 salas de projeção.

III. O filme Dois filhos de Francisco teve o maior número de cópias vendidas.

Nessa situação, é correto concluir que a proposição O filme Dois filhos de Francisco foi visto em mais de 300

salas de projeção é uma proposição verdadeira.

GABARITO

1°) V;F;V;V;V; F;F;F;F;V;F;V;V

2°) p: F e q: F daí: F;F;V;V;F; F;F;V;V;V

3°) E 6°) 1. ERRADO 2. CERTO 3. ERRADO

7°)1. ERRADO 2. CERTO 3. CERTO

8°) CERTO

4°) B

5°) CERTO


26


2) TABELA VERDADE

É a tabela na qual figuram todas as possíveis valorações lógicas de uma proposição composta quando não são

conhecidos os valores lógicos das proposições simples componentes.

O ponto fundamental de compor uma tabela verdade é descobrir a quantidade de linhas que ela apresentará, daí

devemos saber que o numero de linhas de uma tabela-verdade é igual a 2n ; em que n representa o número de

proposições simples. (com n ≥ 1)


1°) Determine a quantidade de linhas da tabela verdade de:

a) p ∨ ~q

b) (~p ∧ ~q) ↔ ~r

c) p → ~p

ESTRUTURAÇÃO DOS VALORES LÓGICOS NA TABELA VERDADE:

1) UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES:

Número de linhas:

P

2) DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES:

Número de linhas:

P q

3) TRÊS PROPOSIÇÕES SIMPLES:

Número de linhas:

P q R


27



1°) Construa as tabelas verdades das proposições abaixo:

a) p ∧ ~q

b) ~( p ∨ ~q)

c) ~p ↔ (q → p)

d) (~p ∨ q) ↔ r


28


2°) (M.SAUDE/2008)(Adaptada) Tendo como referência as informações apresentadas no texto, julgue os seguintes

itens:

2. Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela abaixo, se necessário,

conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição composta A → (B → A).

A B B → A A → ( B → A)

V V V

V F V

F V V

F F F

3°) (STJ-TÉCNICO/2008)(Adaptada) Tendo como referência as informações acima, julgue os itens que se seguem.

5. Considerando-se as possíveis valorações V ou F das proposições A e B e completando-se as colunas da tabela

abaixo, se necessário, é correto afirmar que a ultima coluna dessa tabela corresponde à tabela-verdade da

proposição [ A ∨ (¬ B ) ] → [ ¬ (A ∨ B ) ]

A B ¬ B A ∨ (¬ B) A ∨ B ¬ (A ∨ B) [ A ∨ (¬ B ) ] → [ ¬ (A ∨ B ) ]

V

V

V

V

F

V

F

V

F

F

F

F

4°) (SEGER/ES/2008)(Adaptada) Considerando as definições apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir:

5. Existem no máximo, duas combinações de valoração das proposições P e Q para as quais a proposição

¬ P ∨ ¬ Q assume valoração verdadeira.


29



1°) (CESPE) Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela verdade da

proposições (A → B) (C → D) será superior a 15.

2°) (CESPE) Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A, B e C para as quais a

proposição composta(A ∨ B) ∧ (~C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F.

3°) (CESPE) Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “”, “”, “→” e “” representem, os

conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras –– V–– ou como falsas –

– F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados à lógica proporcional.

03. Considerando todos os possíveis valores lógicos, V ou F, atribuídos às proposições simples A e B, é correto

afirmar que a proposição composta [(A) (B)] possui exatamente dois valores lógicos V.

4°) (CESPE) Considere que P, q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “ ”, “”, “→” e “” representem,

respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras – V –

ou como falsas – F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional.

A última coluna da tabela verdade abaixo corresponde à proposição (P) (Q → R).

P Q R P Q → R (P) (Q → R).

V V V V

V V F F

V F V V

V F F V

F V F V

F V F V

F F V V

F F F V

5°) (CESPE) Caso as colunas em branco na tabela abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa

tabela corresponderá à expressão [P (Q)] [Q → P].

P Q Q P ( Q) Q → P [P (Q)] [Q → P].

V V V

V F V

F V F

F F V

6°) (CESPE) A tabela abaixo corresponde à tabela verdade da proposição A B → A B.

A B A B → A B

V V V

V F F

F V F

F F F

GABARITO

1°) CERTO 2°) CERTO 3°) ERRADO 4°) CERTO 5°) CERTO 6°) ERRADO


30


2.1) TAUTOLOGIA; CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA (INDETERMINAÇÃO)

5.1) DEFINIÇÃO DE TAUTOLOGIA:

Uma proposição composta P (p; q; r; ...) é uma tautologia se P (p; q; r; ...) tem valor lógico verdadeiro (V) quaisquer que

sejam os valores lógicos das proposições componentes p; q; r; ...; ou seja, uma tautologia conterá apenas verdadeiro

(V) na última coluna de sua tabela-verdade.

EXEMPLOS

Um exemplo de tautologia é a proposição “p ou não p”, isto é, p ∨ (~p) é uma tautologia. Basta observarmos a tabela

verdade dessa proposição:

p ~p p ∨ (~p)

5.2) DEFINIÇÃO DE CONTRADIÇÃO:

Uma proposição composta P (p; q; r; ...) é uma contradição se P (p; q; r; ...) tem valor lógico falso (F) quaisquer que

sejam os valores lógicos das proposições componentes p; q; r; ..., ou seja, uma contradição conterá apenas falso (F) na

última coluna de sua tabela-verdade.

EXEMPLOS

Um exemplo de contradição é a proposição “p e não p”, isto é, p ∧ (~p) é uma contradição. Basta observarmos a tabela

verdade dessa proposição:

p ~p p ∧ (~p)

5.3) DEFINIÇÃO DE CONTINGÊNCIA (INDETERMINAÇÃO):

Uma proposição composta P (p; q; r; ...) é uma contingência se P (p; q; r; ...) não for classificada em tautologia ou

contradição, ou seja, assume os valores lógicos de verdadeiro (V) como falso (F) na última coluna quaisquer que sejam

os valores lógicos das proposições componentes p; q; r;.... possam assumir.

EXEMPLOS

Um exemplo de contingência é a proposição “p e não q”, isto é, p ∧ (~q) é uma contingência. Basta observarmos a

tabela verdade dessa proposição:

p q ~q p ∧ (~q)


31



1°) Mostre que a sua proposição (p ∧ ~p) → (q ∨ p) é uma tautologia

P Q ~p (p ∧ ~p) (q ∨ p) (p ∧ ~p) → (q ∨ p)

2°) Mostre que a proposição (p ∧ ~q) ↔ (~p ∨ q) é uma contradição.

P Q ~p ~q (p ∧ ~q) (~p ∨ q) (p ∧ ~q) ↔ (~p ∨ q)

3°) (ESAF) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira independentemente da verdade dos

termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:

a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.

b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.

c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.

d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.

e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

4°) (M.SAUDE/2008) (Adaptada) Tendo como referência as informações apresentadas no texto, julgue os seguintes

itens.

1. Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição

¬ (A ∨ B) → ( ¬ A ∧ ¬ B) é uma tautologia.

A B (A ∨ B) ¬ A ¬ B ¬ (A ∨ B) ( ¬ A ∧ ¬ B) ¬ (A ∨ B) → ( ¬ A ∧ ¬ B)

V V

V F

F V

F F

5°) (CESPE) A sentença “No Palácio Itamaraty há quadros de Portinari ou no Palácio Itamaraty não há quadros de

Portinari” é uma proposição sempre verdadeira.


32


2.1.1) TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES FAMOSAS

Conforme já sabemos, o tempo num concurso público é importante, daí, se lembrarmos de alguns casos famosos de

tautologia e contradição, nos fará poupar tempo. Abaixo segue os mais interessantes.

TAUTOLOGIAS FAMOSAS:

1) p p

2) p → p

3) (p → ((p→ q)

4) p q → p

5) p q → q

6) p → p

7) p → p q

8) q → p q

9) ((p → q) q) → p

CONTRADIÇÕES FAMOSAS:

1) p p

2) (p → p)

3) p (p → q) q


1°) (FCC) Considere a seguinte proposição: “Na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”.

Do ponto de vista lógica, a afirmação da proposição caracteriza:

a) Um silogismo

b) Uma tautologia

c) Uma equivalência

d) Uma contingência

e) Uma contradição

2°) (CESPE) Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição

(A B) → A B é uma tautologia.

3°) A sentença “Paula vai à praia e Paula não vai à praia” tem sempre valoração falsa.

4°) (CESPE) Se A e B são proposições que podem assumir valores lógicos verdadeiro (V) ou falso (F), porém

independentemente das combinações de valorações de A e B, a proposição (A ∨ ~B) ∧ (~A ∧ B) é uma

contradição.

A B A B A B (A B) A B (A B) → A B

V V

V F

F F

F V


33



1°) (CESPE) Na tabela abaixo, a proposição [A → B] [B → A] é uma tautologia.

A B A B A → B ( B) → ( A) [A → B] [(B) → (A)]

V V

V F

F V

F F

2°) (CESPE) A proposição (A B) → A B é uma tautologia.

3°) (AFR-SP) Considere as afirmações abaixo:

I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.

II. A proposição “ ( 10 < √10 ) ↔ (8 – 3 = 6) ” é falsa.

III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q) ∨ (~q)” é uma tautologia.

É verdade o que se afirma apenas em:

a) I

b) II

c) III

d) I e II

e) I e III

4°) (CESPE) A proposição (A B) → A B é uma tautologia.

A B A B (A B) (A B) A B (A B)→ A B

V V F F

V F F V

F V V F

F F V V

GABARITO

1°) CERTO 2°) ERRADO 3°) E 4°) CERTO


34


2.2) EQUIVALÊNCIA LÓGICA

Duas proposições P e Q são logicamente equivalentes quando apresentarem tabelas verdadeiras idênticas.

Indicamos que P é equivalente a Q do seguinte modo: P ⇔ Q

OBSERVAÇÃO:

O símbolo ↔ , quando usado entre duas proposições, representa uma operação que resulta em uma proposição.

O símbolo ⇔ , quando usado entre duas proposições, representa que existe uma equivalência entre as proposições.

EXEMPLOS

Vamos verificar se existe equivalência lógica entre as proposições P (p;q) = p → q e Q (p;q) = ~q → ~p.

P (p;q) = p → q Q (p;q) = ~q → ~p.

P Q p → q

p q ~q ~p ~q → ~p

Logo, temos que as proposições P e Q são equivalentes, pois suas tabelas verdades são iguais. Daí:

P ⇔ Q ∴ p → q ⇔ ~q → ~p

OBSERVAÇÃO: Essa equivalência acima é chamada de CONTRAPOSITIVA.

Vamos verificar, agora, se existe equivalência lógica entre (p → q) e ~p ∨ q. Para isso construiremos as tabelas

verdades.

p → q ~p ∨ q

P Q p → q

p q ~p ~p ∨ q

Logo, temos que as proposições (p → q ) e ~p ∨ q são equivalentes, pois suas tabelas verdades são iguais. Daí:

(p → q ) ⇔ ~p ∨ q

OBSERVAÇÃO: Essa equivalência é também considerada uma equivalência notável, e vários concursos fazem alusão

a ela, com isso o concurseiro deverá ir para uma prova com ela bem fixa na memória.

Vamos demonstrar, agora, um caso daquelas negações que fiz anteriormente, e que prometi que iria mostrar de onde

surgiram aquelas “regras”. Tomemos a regra da negação da condicional em que ~(p → q) e p ∧ ~q. Para isso

construiremos as tabelas verdades.

~ ( p → q ) p ∧ ~q

p q p → q ~ ( p → q )

p q ~q p ∧ ~q

Logo, temos que as proposições ~ (p → q ) e p ∧ ~q são equivalentes, pois suas tabelas verdades são iguais. Daí:

~ (p → q ) ⇔ p ∧ ~q. (Daí como sabemos que é sempre equivalente utilizamos como regra da negação)


35


COMUNICADO IMPORTANTE:

Como forma de treino de tabela verdade e equivalência demonstrem todas as outras negações.

EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS

1) DA CONJUNÇÃO:

p ∧ p ⇔ p

p ∧ q ⇔ q ∧ p

2) DA DISJUNÇÃO:

p ∨ p ⇔ p

p ∨ q ⇔ q ∨ p

3) QUE ENVOLVEM CONJUNÇÃO E DISJUNÇÃO:

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

EQUIVALÊNCIAS OPERATÓRIAS

1) LEIS ASSOCIATIVAS:

Conjunção: p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q ) ∧ r

Disjunção: p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r

2) LEIS DISTRIBUTIVAS:

Conjunção: p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Disjunção: p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)

EQUIVALÊNCIAS NOTÁVEIS:

1°) TODAS AS NEGAÇÕES

2°) p → q ⇔ ~q → ~p (CONTRAPOSITIVA)

3°) p → q ⇔ ~p ∨ q (NEGAÇÃO DA NEGAÇÃO DA CONDICIONAL)

4°) p ↔ q ⇔ q ↔ p (IDENTIDADE DA BICONDICIONAL)

5°) p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) (EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL)

6°) p ∨ q ⇔ ~q → p (EQUIVALÊNCIA DA DISJUNÇÃO)

COMUNICADO IMPORTANTE:

Se o concurseiro lembrar essas equivalências notáveis, então não será necessária a construção da tabela verdade para

verificação da equivalência.


36



1°) Determine o equivalente de:

a) Se 4 é um número par então 2 divide 4.

b) Aprendo se e somente se estudo.

c) Se Paulo não é dentista então Maria é médica.

d) Se José é alto então Maria é baixa

e) Se João é feio então Mario não é feio

f) Se Claudio não viajar para Roma então Marcos não viajará para o Chile.

g) Se Fernando não é alto e João é baixo então Claudio não é baixo

h) Carlos não vai trabalhar ou Maria vai à praia

i) Maria é feia ou José não é bonito

j) Claudio é bonito ou João é bonito

k) Fernando não é paulista ou Pedro não é baiano


37


2°) (PAPILOCOPISTA – PF/2004) Julgue os itens subseqüentes.

6. As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ~P são iguais.

7. As proposições (P ∨ Q) → S e (P → S) ∨ (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.

3°) (PRODEST/ES-ANALISTA/2006) (Adaptada) Julgue os itens seguintes.

7. A proposição “Se a promotoria condenar Gabriel, então Gabriel é culpado” isso é equivalente à proposição “A

promotoria não condenará Gabriel ou Gabriel é culpado”.

4°) (FT/98/ESAF) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer

que:

a) Se Pedro é Pedreiro, então Paulo é paulista

b) Se Paulo é Paulista, então Pedro é pedreiro

c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista

e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

5°) (ICMS/SP – 2006 – FCC) Se p e q são proposições, então a proposição p ∧ (~q) é equivalente a:

a) ~(p → ~q)

b) ~(p → q)

c) ~q ∨ ~p

d) ~(q → ~p)

e) ~(p ∨ q)

6°) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro

b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro

c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro

d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista

e) André não é artista e Bernardo é engenheiro


1°) Verifique se as proposições (p → q) (q → p) e (p q) são equivalentes.

2°) As proposições compostas A → (B) e B → (A) têm exatamente os mesmos valores lógicos, independentemente

das atribuições V ou F dadas às proposições simples A e B.


38


3°) (AFRFB 2009/ESAF) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica molhado”. Sendo

assim, pode-se afirmar que:

a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.

b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.

c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.

d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.

e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou

4°) (ATRFB 2009/ESAF) A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale logicamente a:

a) Se João não chegou, Maria está atrasada.

b) João chegou e Maria não está atrasada.

c) Se João chegou, Maria não está atrasada.

d) Se João chegou, Maria está atrasada.

e) João chegou ou Maria não está atrasada.

5°) (FCC) São dadas as seguintes proposições:

(1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, então ele é eficiente.

(2) Se Jaime não trabalha no Tribunal de Contas, então ele não é eficiente.

(3) Não é verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e não é eficiente.

(4) Jaime é eficiente ou não trabalha no Tribunal de Contas.

É correto afirmar que são logicamente equivalente apenas as proposições de números.

a) 2 e 4.

b) 2 e 3.

c) 2, 3 e 4.

d) 1, 2 e 3.

e) 1, 3 e 4.

6°) Proposições das formas A → B, A B e B → A são sempre equivalentes. A partir dessa informação e das

definições incluídas no texto, julgue os itens a seguir.

1. As proposições “Se Hélio é conselheiro do TCE/AC, então Hélio é formado em Contabilidade” e “Hélio não é

conselheiro do TCE/AC ou Hélio é formado em Contabilidade” são equivalentes.

2. Considere a seguinte proposição: “Se Antônio resolver corretamente esta prova, então ele passará no concurso”.

Nessa situação, é correto concluir que “Se Antônio não resolver corretamente esta prova, então ele não passará no

concurso”.

3. Considere a seguinte proposição: “Alice não foi ao cinema ou Bernardo foi jogar futebol”. Dessa proposição, é

correto concluir que “Se Bernardo não foi jogar futebol, então Alice não foi ao cinema”.

GABARITO

1°) CERTO 2°) ERRADO 3°) E 4°) D 5°) A 6°) CERTO; ERRADO; CERTO


39


2.2.1) EQUIVALÊNCIAS DE LEITURAS DA CONDICIONAL E BICONDICIONAL

A condicional e a bicondicional apresentam outras formas de leitura,que são bastante cobrados em concursos públicos

e nesse capítulo iremos trabalhar essa parte.

1) CONDICIONAL:

O esquema abaixo apresenta uma forma muito cobrada em concurso.

p → q

Na expressão “Se passo de ano, então passo em matemática” notemos que “passar de ano” é a causa e “passar em

matemática” é o efeito. Daí essa sentença pode ser reescrito das seguintes formas:

1° FORMA:

OBSERVAÇÃO:

A causa é condição suficiente para o efeito, note que a ordem é direta, ou seja, não muda a posição p → q .

2° FORMA:

OBSERVAÇÃO:

O efeito é condição necessária para a causa, note que a ordem não é direta, ou seja, muda a posição p → q .

DICA: Nos tipos de questões que cobrem essas leituras, aconselho primeiramente descobrir qual é a causa e o efeito e

depois observar a condição se é suficiente (causa para efeito) ou necessária (efeito para causa).

2) BICONDICIONAL:

Na expressão “Estou vivo se e somente se eu respiro” o conectivo de bicondicional tem a função de condicional que

pode inverter sem causar prejuízo para a relação. Daí essa sentença também pode ser reescrito das seguintes formas:

1° FORMA:

2° FORMA:

OBSERVAÇÃO:

Note que a bicondicional p ↔ q, nessa forma de leitura, pode trocar as proposições “p” e “q” de ordem que não altera o

resultado.


1°) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:

a) Seu esforço é condição suficiente para vencer

b) Seu esforço é condição necessária para vencer

c) Se você não se esforçar, então não irá vencer

d) Você vencera só se se esforçar

e) Mesmo que se esforce, você não vencerá


40


2°) (CESPE) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica protegido de

ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O pais ficar protegido de ataques

especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais em moeda forte aumentem”.

3°) (CESPE) A proposição P: “Ser honesto é condição necessária para um cidadão ser a admitido no serviço público” é

corretamente simbolizada na forma A → B, em que A representa “ser honesto” e B representa “para um cidadão ser

admitido no serviço público”.

4°) A sentença “2 divide 4 se e somente se 4 for um número par ” pode ser reescrita como “4 ser um número par e

condição suficiente e necessária para 2 dividir 4”.


1°) (MPOG 2009 ESAF) Considere que: “se o dia está bonito, então não chove”. Desse modo:

a) Não chover é condição necessária para o dia estar bonito.

b) Não chover é condição suficiente para o dia estar bonito.

c) Chover é condição necessária para o dia estar bonito.

d) O dia estar bonito é condição necessária e suficiente para chover.

e) Chover é condição necessária para o dia não estar bonito.

2°) Considerando que A e B simbolizem, respectivamente, as proposições “A publicação usa e cita documentos do Itamaraty” e “ O autor envia duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty”, então a proposição B → A é uma simbolização correta para a proposição “Uma condição necessária para que o autor envie duas cópias de sua publicação de pesquisa para a Biblioteca do Itamaraty é que a publicação use e cite documentos do Itamaraty”.

3°) (FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz uma reclamação formal, então

é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação é correto

concluir que

a) A existência de uma reclamação formal de um cliente é uma necessário para que o departamento de qualidade

seja acionado.

b) A existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o departamento de

qualidade seja acionado.

c) A abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de

qualidade seja acionado.

d) Se um processo interno foi aberto, então é aberto, então um cliente fez uma reclamação formal.

e) Não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno poderá ser aberto.

4°) (AFC-STN/2005 ESAF) Se Marcos não estuda, então João não passeia. Logo:

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.

b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear

c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.

d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.

e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

GABARITO

1°) A 2°) CERTO 3°) B 4°) B


41


3) LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO

DEFINIÇÃO DE ARGUMENTO:

Dadas as proposições P1; P2; ...; Pn (n ≥ 1) e Q, simples ou composta, chama-se argumento toda afirmação de que uma

certa seqüência finita de proposições tem como conseqüência uma proposição final.

As proposições iniciais P1; P2; ...; Pn são as premissas do argumento e a proposição final Q é a conclusão do

argumento.

3.1) TIPOS DE ARGUMENTOS:

3.1.1) ARGUMENTOS HIPOTÉTICOS:

São argumentos compostos por sentenças conjuntivas, disjuntivas, condicionais ou bicondicionais. Em geral,

apresentam conjecturas, possibilidades ou contingências para a realização da conclusão.

EXEMPLOS

Se Maria vai para França então Maria vai para a Europa;

1) Maria não foi para a França;

Logo, Maria não foi para a França

Carlos passará no concurso se e somente se Carlos estudar

2) Carlos não passou no concurso;

Portanto, Carlos não estudou.

3.1.2) ARGUMENTOS CATEGÓRICOS:

São aqueles compostos por premissas representadas por enunciados simples, em que observamos um quantificador,

um sujeito, um predicado e um verbo de ligação (cópula).

EXEMPLOS

Todos os Homens são mortais;

1) Sócrates é Homem;

Logo, Sócrates é mortal.

Alguns cariocas são feios;

2) Todos os feios sabem nadar;

Então, existe carioca que sabe nadar.


42


3.2) CLASSIFICAÇÃO QUANTO AO MÉTODO:

3.2.1) ARGUMENTO DEDUTIVO (INFERÊNCIA)

Um argumento será dedutivo quando sua conclusão traz apenas informações obtidas das premissas, ainda

que implícitas. È um argumento de conclusão não ampliativa. Para um argumento dedutivo válido, caso se tenha

premissas verdadeiras, a conclusão será necessariamente verdadeira.

Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apresentam nenhum conhecimento

novo. Como dissemos, a conclusão já está contida nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo

que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo

de rigor dentro da lógica. Ou seja, num argumento dedutivo, a conclusão está explicita nas premissas e não

acrescenta qualquer informação adicional além das que foram expostas nas premissas.

EXEMPLOS

Carlos passará no concurso se e somente se Carlos estudar

1) Carlos não passou no concurso;

Portanto, Carlos não estudou.

Todos os Homens são mortais;

2) Sócrates é Homem;


3.2.2) ARGUMENTO INDUTIVO

Um argumento é dito indutivo quando sua conclusão traz mais informações que as premissas fornecem. È um

argumento de conclusão ampliativa.

É o mais usado pelas ciências. Por meio dos argumentos indutivos é que as ciências descobrem as leis gerais

da natureza. O argumento indutivo geralmente parte de dados da experiência e desses dados chega a enunciados

universais. Além disso, todas as conjecturas que a ciência faz têm por base a indução. Com base em dados particulares

do presente as ciências fazem as conjecturas do futuro.

O grande problema da indução é que ela é probabilística. Não há a necessidade como a dedução. Como vimos

na dedução, a conclusão decorre necessariamente das premissas. Já na indução isso é impossível, uma vez que ela

enumera casos particulares e por probabilidade ela infere uma verdade universal. A conclusão da indução tem apenas a

probabilidade de ser verdadeira. Ou seja, a característica desse tipo de argumento é que a conclusão é provável, mas

não é certa, já que as premissas são construídas por observações empíricas.

EXEMPLOS

Vi um cisne branco no lago

Vi dois cisnes brancos no lago

Vi três cisnes brancos no lago

1) ...

Vi n cisnes brancos no lago

Logo, todos os cisnes do lago são brancos


43


Todos os corvos observados até hoje são pretos.

2) Asdrúbal tem um corvo

Logo, o corvo do Asdrúbal é preto


1°) (CESPE/2004) No Brasil, os pobres tem mais poder que os ricos.Isso ocorre por que o sistema político adotado no

Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece, e, no Brasil existe mais pobres que ricos.

Com relação ao argumento anterior, julgue os itens seguintes.

2. A afirmativa “No Brasil, os pobres tem mais poder que os ricos”, é uma premissa.

3. A oração “no Brasil, existem mais pobres que ricos” é a conclusão do texto.

4. O trecho “o sistema político adotado no Brasil é a democracia, no qual a vontade da maioria prevalece” é uma

hipótese.

5. O argumento apresentado no texto é um exemplo de argumento indutivo.

3.3) REPRESENTAÇÃO DE UM ARGUMENTO:

Podemos representar um argumento de duas formas.

3.3.1.) FORMA SIMBÓLICA:

Podemos indicar um argumento de premissas P1; P2; ...; Pn e conclusão Q da seguinte forma:

P1; P2; ...; Pn ⊢ Q

Premissas

Traço de asserção

Conclusão

Que poderá ser lido das seguintes formas:

I) “Q decorre de P1; P2; ...; Pn”

II) “Q se deduz de P1; P2; ...; Pn”

III) “Q se infere de P1; P2; ...; Pn”

IV) “P1; P2; ...; Pn acarretam Q”

O símbolo ⊢ é chamado traço de asserção. Indica que a proposição Q só poderá ser deduzida a partir das premissas

que se encontram à esquerda do traço.

3.3.2.) FORMA PADRONIZADA:

Podemos indicar um argumento de premissas P1; P2; ...; Pn e de conclusão Q, também da seguinte forma:

P1 P2

⋮

Pn

Premissas

___ Q Conclusão


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EXEMPLOS

EXEMPLO 1: Pedro é estudioso ou preguiçoso. Pedro não é estudioso. Logo, Pedro é preguiçoso.

Inicialmente vamos transformar da linguagem escrita para a linguagem simbólica, daí chamando de P a proposição

“Pedro é estudioso” como conseqüência natural ~P representa a proposição “Pedro não é estudioso”. Chamando agora

de Q a proposição “Pedro é preguiçoso”, sendo assim a proposição “Pedro é estudioso ou preguiçoso” escreve-se

P ∨ Q.

Escrevendo o argumento na forma simbólica, usando as letras sentenciais, vem:

Escrevendo na forma padronizada, temos:

EXEMPLO 2: Se Pedro viajar então Maria vai à praia. Pedro não viajou. Portanto, Maria não vai à praia.


“Pedro viajar” como conseqüência natural ~P representa a proposição “Pedro não viajar”. Chamando agora de Q a

proposição “Maria vai à praia”, sendo assim a proposição “Maria não vai à praia” escreve-se ~ Q.



EXEMPLO 3: Se Bruno briga com Regina, então Regina vai à praia. Se Regina vai à praia, então Ana vai ao teatro. Se

Ana vai ao tetro, então Samuel briga com Ana. Samuel não briga com Ana. Portanto, Ana não vai ao teatro e Bruno não

briga com Regina


“Bruno briga com Regina” como conseqüência natural ~P representa a proposição “Bruno não briga com Regina”.

Chamando agora de Q a proposição “Regina vai à praia” e R a proposição “Ana vai ao teatro”, temos que a proposição

“Ana não vai ao teatro” escreve-se como ~R. De modo análogo, adotemos que S representa a proposição “Samuel

briga com Ana” então ~S será a proposição “Samuel não briga com Ana”. Notemos que:




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3.4) SILOGISMO CATEGÓRICO:

Um argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão chamam-se silogismo. Poderemos usar os termos

hipótese, no lugar de premissa, e tese, no lugar de conclusão. Vejamos os seguintes exemplos:

EXEMPLO 1: Pedro é estudioso ou preguiçoso. Pedro não é estudioso. Logo, Pedro é preguiçoso.


“Pedro é estudioso” como conseqüência natural ~P representa a proposição “Pedro não é estudioso”. Chamando agora

de Q a proposição “Pedro é preguiçoso”, sendo assim a proposição “Pedro é estudioso ou preguiçoso” escreve-se

P ∨ Q.


P ∨ Q ; ~P ⊢ Q.


P ∨ Q

~P

Q

EXEMPLO 2: Se Pedro viajar então Maria vai à praia. Pedro não viajou. Portanto, Maria não vai à praia.


“Pedro viajar” como conseqüência natural ~P representa a proposição “Pedro não viajar”. Chamando agora de Q a

proposição “Maria vai à praia”, sendo assim a proposição “Maria não vai à praia” escreve-se ~ Q.


P → Q ; ~ P ⊢ ~ Q.


P → Q

~ P

~ Q

CONTRA EXEMPLO:

Se Bruno briga com Regina, então Regina vai à praia. Se Regina vai à praia, então Ana vai ao teatro. Se Ana vai ao

tetro, então Samuel briga com Ana. Samuel não briga com Ana. Portanto, Ana não vai ao teatro e Bruno não briga com

Regina


“Bruno briga com Regina” como conseqüência natural ~P representa a proposição “Bruno não briga com Regina”.

Chamando agora de Q a proposição “Regina vai à praia” e R a proposição “Ana vai ao teatro”, temos que a proposição

“Ana não vai ao teatro” escreve-se como ~R. De modo análogo, adotemos que S representa a proposição “Samuel

briga com Ana” então ~S será a proposição “Samuel não briga com Ana”. Notemos que:


P → Q ; Q→ R ; R → S; ~S ⊢ ~R ∧ ~P.


P → Q

Q → R

R → S

~S

~R ∧ ~P


46


OBSERVAÇÃO: Note nesse contra exemplo que nem todo argumento é um silogismo.

3.5) VALIDADE DE UM ARGUMENTO:

Determinar a verdade ou falsidade das premissas é tarefa que incube a ciência, em geral, pois as premissas podem

referir-se a qualquer tema. Determinar a validade ou não-validade dos raciocínios está inteiramente dentro do domínio

da lógica. O lógico está interessado na validade até daqueles argumentos cujas premissas possam ser falsas. Aliás, a

lógica só se preocupa com a validade dos argumentos, e não com a verdade ou falsidade das premissas e das

conclusões.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Logo,

afirmar que um dado argumento é valido significa afirmar que as premissas estão relacionadas com a

conclusão, que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas forem verdadeiras.

Daí diz-se que um argumento é válido, se, e somente se, a conclusão for verdadeira, partindo do pressuposto todas as

premissas são verdadeiras.

Assim, o argumento: P1; P2; P3; ...; Pn ⊢ Q é válido, se, e somente se, a conclusão Q for verdadeira, todas as vezes

que as premissas P1; P2; P3; ...; Pn forem verdadeiras.

Portanto, em todo argumento válido, a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

OBSERVAÇÃO 1: Verdade e falsidade são predicados das proposições, nunca dos argumentos.

OBSERVAÇÃO 2: Validade ou não-validade são os atributos dos argumentos, nunca das proposições.

3.6) ANÁLISE DA VALIDADE ATRAVÉS DA TABELA-VERDADE

Para demonstrar ou verificar ou testar se um dado argumento é válido ou não-valido, mediante tabela-verdade, pode-se

proceder do seguinte modo.

Constrói-se destacando uma coluna para cada premissa e outra para conclusão.

Após a construção da tabela- verdade verifica-se na coluna das premissas as linhas em que os valores lógicos

são todos verdadeiros (V). Se em todas essas linhas o valor lógico relativo a coluna da conclusão for, também,

verdadeira (V), o argumento é válido.

Se ao menos em uma das linhas em que os valores lógicos das premissas são verdadeiras (V), o valor lógico

relativo à coluna for falsa (F), então, o argumento é não válido.

Contudo, esse processo é mais demorado, veremos um método mais prático em sala de aula.


1º) Verifique as validades dos argumentos abaixo:

a) p ∨ q

~p

q

b) p → q ; ~p ⊢ ~q

c) p ∨ ~q ; q ⊢ ~p ↔ q


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d) (p ∧ q) → r

~r

~p ∨ ~q

e) Se Ana estudar então ela aprendeu. Ana não aprendeu. Logo, Ana não estudou.

2°) (CESGRANRIO) Quando se fala em proposição,fala-se de verdade e falsidade; quando se fala de argumento, fala-

se em validade e invalidade. Sejam dados os argumentos a seguir:

I. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele foi ao cinema. Portanto, ele tomará sorvete.

II. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele não foi ao cinema. Portanto, ele não tomará sorvete.

III. Se Pedro for ao cinema, tomará sorvete. Sabe-se que ele não tomou o sorvete. Portanto, ele não foi ao

cinema.

Os argumentos I;II e III são, respectivamente,

a) válido, válido e válido

b) válido, inválido e válido

c) válido, válido e inválido

d) inválido, inválido e válido

e) inválido, válido e inválido


48


3º) (CESPE/2008) Julgue os seguintes itens.

Uma seqüência de três proposições – I, II e III -, em que as duas primeiras – I e II – são hipóteses e verdadeiras, e a

terceira – III – é verdadeira por conseqüência das duas hipóteses serem verdadeiras, constitui um raciocínio lógico

correto. De acordo com essas informações e considerando o texto, julgue os itens que se seguem a cerca de raciocínio

lógico.

6. Considere a seguinte seqüência de proposições:

I. Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o concurso

II. Penha não vencerá o concurso

III. Penha não é linda

Nessa situação, a seqüência de proposições constitui um raciocínio lógico correto.


I. Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia tem salário baixo.

II. Josélia é ótima estagiária.

III. Josélia tem salário baixo.

Nessa situação, essa seqüência constitui um raciocínio lógico correto.

4º) (BB /2007)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes.

1. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:

Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto, José

será aprovado no concurso.


Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto,

Célia tem um bom currículo.

5º) (ANCINE – TÉCNICO/2008)(Adaptada) Julgue a validade de cada argumentação descrita nos itens a seguir.

1. Premissa P1: Se esse número é maior do que 5, então o quadrado desse número é maior do que 25.

Premissa P2: Esse número não é maior do que 5.

Conclusão Q: O quadrado desse número não é maior do que 25.

2. Premissa P1: Se a casa for perto do lago, então, podemos nadar.

Premissa P2: Não podemos nadar.

Conclusão Q: A casa não é perto do lago.


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IMPORTANTE!!!

Neste momento, vocês vão notar que nem todo argumento é um silogismo. Ou seja, todo silogismo é um argumento,

mas nem todo argumento é um silogismo, justamente porque o silogismo é uma forma específica de argumentação. Os

exemplos abaixo mostram casos de argumentos que não são silogismos e, assim, vamos aprender como determinar a

validade, ou não, desses argumentos.


1°) Se Mônica tem uma função gratificada no trabalho, então ela te uma boa casa. Se ela gasta tudo em salões de

beleza, então ela não tem uma boa casa. Foi descoberto que Mônica não tem uma boa casa; logo, Mônica:

a) Gasta tudo em salões de beleza

b) Não gasta tudo em salões de beleza

c) Tem uma função gratificada no trabalho

d) Não tem uma função gratificada no trabalho

e) Tem uma função gratificada no trabalho e gasta tudo em salões de beleza.

2°) (CESPE) Julgue a validade de cada argumentação descrita nos itens a seguir.


Se Bruno briga com Regina, então Regina vai à praia.

Se Regina vai à praia, então Ana vai ao teatro.

Se Ana vai ao tetro, então Samuel briga com Ana.

Samuel não briga com Ana.

Portanto, Ana não vai ao teatro e Bruno não briga com Regina


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Se Paulo vai para Roma então Fernando vai para Paris.

Se Maria vai para Lisboa, Paula vai para Madri.

Paulo vai para Roma ou Maria vai para Lisboa.

Logo, Fernando vai para Paris ou Paula vai para Madri.


Se eu for à Bahia, então irei ao Pelourinho

Se eu for à São Paulo, então correrei a São Silvestre

Não irei ao Pelourinho ou não correrei a São Silvestre

Portanto, não irei à Bahia ou não irei à São Paulo.


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1°) (CESPE) Julgue a validade de cada argumentação descrita nos itens a seguir.


Antônio jogar futebol é condição necessária para Carla ir às compras

Antônio jogar futebol é condição suficiente para Bruna ficar feliz.

Bruna ficar feliz é condição necessária e suficiente para a Diana tomar banho.

Diana não toma banho.

Logo, Antônio não jogar futebol e Carla não vai às compras e Diana não toma banho.


Ou Antropologia é fácil ou Beto não gosta de Antropologia

Se Citologia é fácil, então Antropologia é difícil.

Beto gosta de Antropologia.

Portanto, Se Antropologia é fácil, então Citologia é fácil.


Pulo ou corro

Levito ou não pulo

Nado ou não corro

Não nado

Logo, pulo e levito.


Se não esqueço, não acelero.

Se contemplo, não esqueço.

Se não pratico, acelero.

Se mexo, não pratico.

Portanto, se contemplo, não mexo.


Se tens amor, então vale a pena viver

Se vale a pena viver, então tens felicidades

Logo, se tens amor, então tens felicidades.

GABARITO

1. C 2. E 3. C 4. C 5. C


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3.7) FALÁCIA OU SOFISMA

È o argumento que parte de premissas verdadeiras, ou tida como verdadeiras, e chega a uma conclusão inadmissível,

que não pode enganar ninguém, mas que se apresenta como resultante das regras formais do raciocínio. Ou seja,

argumento inválido, formulado de propósito para induzir outrem a erro.

EXEMPLOS

1) O sódio e o cloro, componentes atômicos do sal. O sódio e o cloro são, cada um deles, mortalmente

venenosos. Logo, o sal é venenoso.

2) Queijo suíço tem buracos. Quanto mais buracos há no queijo suíço, mais se perdeu dele. Se aumentarmos o

tamanho do queijo, teremos mais buracos. Portanto, quanto maior o queijo suíço, menos se tem dele.


1°) (CESPE) Considere a seguinte sequência de proposições:

(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso.

(2) O criminoso não foi preso.

(3) Portanto, o crime foi perfeito.

Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a sequência é uma

dedução lógica correta.

2°) (CESPE) Considere como premissas as seguintes proposições:

- “Ou o candidato é brasileiro nato ou o candidato não pode se inscrever no concurso para ingresso na carreira

diplomática”

- “O candidato não pode inscrever-se no concurso para ingresso na carreira diplomática”

Nesse caso, obtém-se uma argumentação lógica correta se for apresentada como conclusão a proposição: “O

candidato não é brasileiro nato”.

3°) (CESPE) Considere como verdadeira a seguinte proposição (hipótese): “Joana mora em Guarapari ou Joana nasceu

em Iconha.” Então, concluir que a proposição “Joana mora em Guarapari” é verdadeira constitui um raciocínio

lógico correto.

4°) (CESPE) Se a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha e no estado do Espírito Santo são produzidas

orquídeas” for considerada verdadeira por hipótese, então a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha”

tem de ser considerada verdadeira, isto é, o raciocínio lógico formado por essas duas proposições é correto.

GABARITO

1°) E 2°) E 3°) E 4°) C


53


EXERCÍCIOS PROPOSTOS (REVISÃO DA LÓGICA PROPOSICIONAL)

1.) (TRT – 16ª REGIÃO/2005)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes:

1. A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do

crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado”, é uma tautologia.

2. A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu

cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro” não é uma tautologia.

2.) (SEGER/ES/2008)(Adaptada) Julgue os itens a seguir:

1. Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições.

Mariana mora em Piúma.

Em Vila Velha, visita o convento da Penha.

A Expressão algébrica x + y é positiva.

Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas.

A SEGER oferece 220 vagas em concurso público.

2. Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A; B e C para as quais a

proposição composta (A ∨ B) ∨ (¬ C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F.

3. Toda proposição da forma (P → Q) ∧ (¬ Q → ¬ P) é uma tautologia, isto é, tem somente a valoração V.

4. Se P → Q é F, então ¬ P ∨ Q é V.

5. Existem, no máximo, duas combinações de valorações das proposições P e Q para as quais a proposição

¬ P ∨ Q assume valoração V.

3.)(MPE/TO – TÉCNICO/2006)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes:

1. Considere as seguintes proposições.

(7 + 3 =10) ∧ (5 -12 = 7)

A palavra “crime” e dissílaba

Se “lâmpada” é uma palavra trissílaba, então “lâmpada” tem acentuação gráfica.

(8 - 4 = 4) ∧ (10 + 3 = 13)

Se x = 4 então x + 3 < 6

Entre essas proposições, há exatamente duas com interpretação F.

2. Todas as interpretações possíveis para proposição P ∨ ¬ (P ∧ Q) são V.

3. Não é possível interpretar como V a proposição (P → Q) ∧ (P ∧ ¬ Q).

4. Ao empregar os símbolos P, Q e R para as proposições primitivas “Paulo lê revistas cientificas”, “Paulo lê

jornais” e “Paulo lê gibis”, respectivamente, é correto simbolizar a proposição composta “Paulo lê gibis ou não

lê jornais e não lê revistas científicas” por ¬ [ ( R ∨ Q) ∧ ¬ P].

5. É válido o seguinte argumento: Se Ana cometeu um crime perfeito, então Ana não é suspeita, mas (e) Ana

não cometeu um crime perfeito, então Ana é suspeita.

4º) (SEBRAE/BA - 2008)(Adaptada) Uma proposição é uma sentença afirmativa ou negativa que pode ser julgada como

verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como ambas. Nesse sentido, considere o seguinte diálogo:

(1) Você sabe dividir? – Perguntou Ana

(2) Claro que sei! – Respondeu Mauro

(3) Então, qual é o resto da divisão de onze milhares, onze centenas e onze por três? – Perguntou Ana

(4) O resto é dois. – Respondeu Mauro, após fazer a conta.


54


(5) Está errado! Você não sabe dividir – Respondeu Ana.

A partir das informações e do diálogo acima julgue os itens que se seguem.

1. A frase indicada por (3) não é uma proposição.

2. A sentença (5) é F.

3. A frase (2) é uma proposição.

4. A proposição “O SEBRAE facilita e orienta o acesso a serviços financeiros” é uma proposição simples.

5. Considerando que as proposições “Seu chefe lhe passa uma ordem” e “Você não aceita a ordem sem

questioná-la” sejam V, a proposição “Se seu chefe lhe passa uma ordem, então você aceita ordem sem

questioná-la” é julgada como F.

6. A proposição simbólica (A ∧ B) → (¬ (A → ( ¬ B ))) é sempre julgada como V, independentemente de A e B

serem V ou F.

7. Se A; B e C são proposições simples, então existem exatamente duas possibilidades para que a proposição

(A ∧ B) ∧ C seja avaliada como V.

8. Se as proposições “Se um artesão recebe o prêmio SEBRAE TOP 100 de artesanato, então ele fica feliz” e “Se

um artesão recebe o prêmio SEBRAE TOP 100 de artesanato, então ele produz mais” forem avaliadas como V,

a proposição “Se um artesão fica feliz, então ele produz mais” também será avaliada como V.

5º) (ANCINE-ANALISTA/2006)(Adaptada) Julgue os itens seguintes.

4. Considere que duas proposições são equivalentes se e somente se possuem exatamente as mesmas

valorações V e F. Nesse caso, se A e B são equivalentes, é correto afirmar que ¬ A ∧ B é sempre F.

6º) (AFR-SP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo:

a) Seu esforço é condição suficiente para vencer.

b) Seu esforço é condição necessária para vencer.

c) Se você não se esforçar, então não irá vencer.

d) Você vencerá só se se esforçar.

e) Mesmo que se esforce, você não vencerá.

7º) (MPE-AM/2008)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes.

3. As proposições (¬ A) ∨ (¬ B) e (¬ A) → B tem exatamente as mesmas valorações V ou F, independentemente das

valorações V ou F atribuídas as proposições básicas A e B.

5. A proposição “Se o coelho branco não olhou o relógio, então Alice não perseguiu o coelho branco” pode ser

simbolizada por ( ¬ B) → ( ¬ A).

6. A proposição “Se o coelho branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o coelho branco” é equivalente a

proposição “O coelho branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o coelho branco”.

8º) (PRODEST/ES-ANALISTA/2006)(Adaptada)Julgue os itens seguintes.

1. Há exatamente duas possibilidades para que a proposição ¬ (p ∧ q) ∧ (p ∧ q) tenha valoração F.

2. A proposição ¬ P ∨ ¬ Q tem mais de uma possibilidade de ter valoração F.

3. Proposições da forma ¬ (P ∨ Q)e ¬ P ∧ ¬ Q são equivalentes.

4. De acordo com a simbologia apresentada, a proposição “Se a promotoria não condenar Gabriel, então Gabriel

não é culpado” pode ser representada na forma P → Q.

5. Em uma argumentação, suponha que as proposições: “se Gabriel não é culpado, então a promotoria não

condenara Gabriel” e “Gabriel é culpado” sejam ambos V. Nessa situação, é correto inferir que “A promotoria

condenara Gabriel”.

6. Em uma argumentação, suponha que as proposições “Se Gabriel não é culpado, então a promotoria não

condenara Gabriel” e “A promotoria condenará Gabriel” sejam ambas V. Nessa situação, ao inferir que “Gabriel

é culpado”, obtém-se uma argumentação correta.

7. A proposição “Se a promotoria condenar Gabriel, então Gabriel é culpado” é equivalente à proposição “A

promotoria não condenara Gabriel ou Gabriel é culpado”.


55


10º) (SECAD/TO-2008)(Adaptada) Julgue os itens a seguir.

1. Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:

O raciocínio de Pedro está correto, ou julgamento de Paulo foi injusto.

O raciocínio de Pedro não está correto.

Portanto, se a conclusão for a proposição, o julgamento foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta.


(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso.

(2) O criminoso não foi preso.

(3) Portanto, o crime foi perfeito .

Se (1) e (2)são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é uma

dedução lógica correta.

GABARITO

1°) 1. C

2. E

2°) 1. C

2. C

3. E

4. E

5. E

3°) 1. C

2. C

3. C

4. E

5. E

4°) 1. E

2. E

3. E

4. E

5. C

6. C

7. E

8. E

5°) 4. C

6°) A

7°) 3. E

5. C

6. C

8°) 1. E

2. E

3. C

4. E

5. E

6. C

7. C

9°) 1. C

2. E


56


ESTUDO DA LOGICA COM SENTENCA ABERTA

É uma expressão que depende da variável ou do quantificador para ter valor lógico verdadeiro ou falso.

EXEMPLOS

∃ x ∈ N; x + 5 = 8

CONCLUSÃO: É fácil verificar que para x = 3 a sentença é verdadeira, e, para x ≠ 3, a sentença, é falsa.

1.) QUANTIFICADOR

São elementos lógicos que acrescentamos as sentenças abertas para transformá-las em proposições. Eles são:

1.1) QUANTIFICADOR UNIVERSAL:

Símbolo: ∀

FORMA DE LEITURA:

1.2) QUANTIFICADOR EXISTENCIAL:

Símbolo: ∃

FORMA DE LEITURA:

1.3) QUANTIFICADOR EXISTENCIAL DE UNICIDADE:

Símbolo: ∃|

FORMA DE LEITURA:

OBSERVAÇÃO: Os símbolos ∄; ~ ∃ 𝑒 ¬ ∃ significam


57



1º) Assinale verdadeiro (V) ou falso(F):

a) ( ) ∃ 𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥² = 16;

b) ( ) ∃ 𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥² = −16;

c) ( ) ∃| 𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥2 = 9;

d) ( ) ∃| 𝑥 ∈ 𝑁; 𝑥2 = 9;

e) ( ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅; 𝑥

𝑥= 1;

f) ( ) ∀ 𝑥 ∈ 𝑅∗;𝑥

𝑥= 1.

2.) NEGAÇÃO DOS QUANTIFICADORES

É muito comum encontrarmos em provas de concursos coisas como “Dizer que não é verdade que todos os atores são

charmosos é logicamente equivalente a (...)”.

Bem, dizer que não é verdade é a mesma coisa que “negar”, não é mesmo? Assim, negar que “todos os atores são

charmosos” implica alguma coisa que prove que isso não é verdade.

I) NEGAÇÃO DE “TODO”

Se alguém lhe dissesse que “todos os homens são sinceros” e você quisesse negar essa afirmação, bastaria

você dizer: “Eu conheço um homem que não sincero”, assim você nega essa afirmação, concorda? Desta forma,

quando alguma afirmação é feita sobre “Todo A é B”, sua negação implica simplesmente em encontrar “Pelo

menos um A que não seja B”, em outras palavras, negar “Todo A é B” é a mesma coisa que falar “Pelo menos

um A não é B” ou , ainda, “Algum A não é B”.

Note que nossa tendência natural é negar “Todos os homens são sinceros”, dizendo “Nenhum homem é

sincero”. Mas esta não é a negação correta, pois, para que a primeira proposição seja falsa, não é necessário

que nenhum homem seja sincero, mas que somente que algum homem não seja sincero.

II) NEGAÇÃO DE “NENHUM”

Da mesma forma, se alguém afirma que “Nenhum homem é sincero” e queremos negar essa sentença,

precisamos apenas mostrar que conhecemos pelo menos um homem sincero, ou seja, bastaria afirmarmos que

“Algum homem é sincero”.

Essa negação traz o mesmo tipo de provocação que a anterior, pois negaríamos “Nenhum homem é sincero”,

dizendo “Todo homem é sincero”. Isso também não está logicamente correto, porque, para que não seja verdade

que “Nenhum homem é sincero”, não é necessário que todos o sejam, mas apenas que “Pelo menos um homem

seja sincero”.

III) NEGAÇÃO DE “ALGUM”

Nesta última situação, imagine que você escute a sentença “Algum homem é sincero”. O que seria necessário

para negá-la? Você precisaria afirmar “Nenhum homem é sincero”, já que a primeira sentença simplesmente

afirmou “Algum é”.

De forma análoga, se a primeira proposição fosse “Algum homem não é sincero”, você negaria com “Todo

homem é sincero”, ou, ainda, com “Nenhum homem não é sincero”.


58


TABELA DE NEGAÇÃO DOS QUANTIFICADORES

PROPOSIÇÃO INICIAL

EXEMPLO INICIAL NEGAÇÃO EXEMPLO DA NEGAÇÃO

TODO A É B “Todo homem é sincero”

Algum A não é B; Pelo menos um A não é B

“Algum homem não é sincero” ou “Pelo menos um homem não é

sincero”

NENHUM A É B “Nenhum homem é sincero”

Algum A é B; Pelo menos um A é B

“Algum homem é sincero” ou “Pelo menos um homem é sincero”

ALGUM A É B “Algum homem é sincero”

Nenhum A é B “Nenhum homem é sincero”

ALGUM A NÃO É B “Algum homem não é sincero”

Todo A é B “Todo homem é sincero”

ESQUEMA IMPORTANTE:

EXEMPLOS

I) P: Ninguém será condenado sem o devido processo legal ou sem defesa

~P:

II) P: Todos são condenados sem o devido processo legal ou sem defesa

~P:

P: Algum médico fala a verdade

III) ~P:

~P:

P: “ ∀𝑥 ; (𝑥 + 7 ≤ 10) 𝑒 ∃𝑥 ; (2𝑥 − 1 = 3)

IV) ~P:

~P:


59


EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

1°) Determine a negação das proposições:

a) Todo baiano é bonito

b) Alguém fala a verdade

c) Ninguém ama os pobres

d) Todo advogado não fala a verdade

e) Alguém não gosta de música.

f) Existe um número que divide 5.

g) Não existe um número que não divida 10.

2°) (FACCEBA)Existe um numero real x, tal que 2x =3. A negação da proposição em destaque é:

a) Existe um numero real x, tal que 2x ≠3

b) Não existe um numero real x, tal que 2x ≠3

c) Para todo numero real x; 2x ≠3

d) Para alguns números reais x; 2x =3

e) Para todo numero real x, 2x =3

3°) A negação da sentença “todo baiano é bem humorado” é :

a) Não existe baiano mal humorado

b) Existe baiano mal humorado

c) Alguns baianos são bem humorados

d) Existe baiano bem humorado

e) Nenhum baiano é mal humorado

4°) (SEBRAE-2008)(Adaptada) Julgue os itens subseqüentes

6. A negação da proposição “ Ninguém aqui é brasiliense ” é a proposição “ Todos aqui são brasilienses ”.

5°) (BB/2008)(Adaptada)Julgue os itens subseqüentes.

4. A negação da proposição “Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares

investidos” pode ser assim redigida: “Nenhum banco brasileiro fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares

investidos”.


60


6°) (MPE/TO – TECNICO/2006)(Adaptada)julgue os itens seguintes:

12. A negação da proposição “Algum promotor de justiça do MPE/TO tem 30 anos ou mais” é “Nem todo promotor

de justiça do MPE/TO tem 30 anos ou mais”.

7°) (SEBRAE-2008)(Adaptada) Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado

sem julgamento”. Julgue os itens que se segue a cerca dessa proposição.

12. A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento”, é uma

proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.

13. “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente

equivalente à negação da proposição acima.

EXERCICIOS PROPOSTOS

1°) Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques.

Assinale a opção correspondente à negação da frase acima.

a) Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque.

b) Quase todos os jogadores do Estrela Futebol Clube não são craques.

c) Existe algum jogador do Estrela Futebol Clube que não é craque.

d) Apenas alguns jogadores do Estrela Futebol Clube são craques.

2°) (CESPE) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasilense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”.

3°) (CESGRANRIO) A negação de “Todos os caminhos levam a Roma” é

a) “Todos os caminhos não levam a Roma”

b) “Nenhum caminho leva a Roma”

c) “Pelo menos um caminho leva a Roma”

d) “Pelo menos um caminho não leva a Roma.

e) “Não há caminhos para Roma”

4°) (CESGRANRIO) Qual é a negação de “Todos os candidatos desse concurso têm mais de 18 anos”?

a) Todos os candidatos desse concurso têm menos de 18 anos.

b) Pelo menos um candidato desse concurso tem menos de 18 anos.

c) Pelo menos um candidato desse concurso tem 18 anos ou menos.

d) Nenhum candidato desse concurso tem menos de 18 anos.

e) Nenhum candidato tem exatamente 18 anos.

GABARITO

1°) C 2°) ERRADO 3°) D 4°) C

3.) SILOGISMO ENVOLVENDO QUANTIFICADORES


61


Geralmente, os problemas sobre silogismo apresentam expressões como “todos”, “algum”, “nenhum”, “pelo menos um”.

Muitos problemas encontrados são resolvidos mais facilmente com base na teoria de conjuntos e utilizando-se dos

diagramas de Venn.

2.1) ANALISE DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS

I. TODO A É B:

Subentende-se que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, se um elemento pertence ao conjunto A, então

pertence também a B.

Considere a tabela abaixo:

PROPOSIÇÃO CATEGÓRICA

REPRESENTAÇÃO SIMBÓLICA

LEITURA DIAGRAMA DE VENN

Todo A é B

∀𝑥(𝐴(𝑥) → 𝐵(𝑥))

Qualquer que seja x, se ele pertence a A, pertence necessariamente a B.

II. ALGUM A É B: (PELO MENOS UM A É B)

Subentende-se que os conjuntos A e B tem algo em comum (interseção não vazia), ou seja existe pelo menos um

elemento comum aos conjuntos A e B.




Algum A é B

∃𝑥 (𝐴(𝑥) ∧ 𝐵(𝑥))

Existe um elemento x tal que x pertence a A e também

pertence a B.

III. NENHUM A É B:

Subentende-se que os conjuntos A e B não apresentam elementos em comum (interseção vazia), ou seja, se um

elemento pertence ao conjunto A, então não pertence a B, e vice versa.




Nenhum A é B

∄𝑥 (𝐴(𝑥) ∧ 𝐵(𝑥))

Não existe um elemento x tal que x pertence a A e também

pertence a B

IV. ALGUM A NÃO É B:


62


Subentende-se que o conjunto A não está contido no conjunto B, ou seja, existe pelo menos um elemento que pertence

a A, então esse elemento não pertence a B, e vice versa.




Algum A não é B

∃𝑥 (𝐴(𝑥) ∧ ~𝐵(𝑥))

Existe um elemento x tal que x pertence a A e não pertence a

B

EXERCICIOS DE APRENDIZAGEM

1°) Represente através de diagrama de Venn as sentenças abaixo:

a) Todo baiano é feio.

b) Algum aluno é esportista

c) Nenhum médico é feliz

d) Algum homem não é educado

2°) (AFR-SP)Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo sabe nadar. Segue-se que:

a) Algum diplomata não é gordo.

b) Algum diplomata sabe nadar.

c) Nenhum diplomata sabe nadar.

d) Nenhum diplomata é gordo.

e) Algum gordo sabe nadar.

3°) (AFCE) Se é verdade que “Alguns escritores são poetas” e que “nenhum músico é poeta” então também é

necessariamente verdade que:


63


a) Nenhum músico é escritor

b) Algum escritor é músico

c) Algum músico é escritor

d) Algum escritor não é músico

e) Nenhum escritor é músico

4°) (MPE-AM/2008) (Adaptada) Julgue os itens a seguir.

1. Considerando-se como premissas as proposições “Nenhum pirata é bondoso” e “Existem piratas que são

velhos”, se a conclusão for “Existem velhos que não são bondosos”, então essas três proposições constituem

um raciocínio válido.

2. Considere como premissas as proposições “Todos os hobbits são baixinhos” e “Todos os habitantes da colina

são hobbits”, e como conclusão, a proposição “todos os baixinhos são habitantes da colina”. Nesse caso, essas

três proposições constituem um raciocínio válido.

5°) (CESGRANRIO) Considere verdadeira a declaração: “Toda criança gosta de brincar”.

Com relação a essa declaração, assinale a opção que corresponde a uma argumentação correta.

a) Como Marcelo não é criança, não gosto de brincar.

b) Como Marcelo não é criança, gosta de brincar.

c) Como João não gosta de brincar, então não é criança.

d) Como João gosta de brincar então é criança.

e) Como João gosta de brincar, então não é criança.

6°) (CESGRANRIO) Considerando “toda prova de Lógica é difícil” uma proposição verdadeira, é correto inferir que

a) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

c) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira.

e) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa.

4.) OBSERVAÇÕES SOBRE A LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO (HIPOTÉTICA OU CATEGÓRICA)


64


Em lógica buscamos a correção nos argumentos. Em inglês esta propriedade é chamada de soundness. Os

argumentos corretos são aqueles que possuem premissas e conclusão verdadeiras, e além disso, possuem uma forma

válida. Portanto, não basta o argumento ter uma forma válida e enunciar proposições falsas; da mesma maneira, não

basta um argumento ter proposições verdadeiras e uma forma inválida. Os argumentos devem ser corretos. Para

ilustrar a importância da forma (estrutura) da inferência, invoco o (pseudo) silogismo mais utilizado em toda a história da

filosofia:

Todos os homens são mortais

Sócrates é homem


Posso seguramente dizer que a maior parte dos seres humanos, até os leigos em filosofia, concordarão que no

silogismo acima é válido e se ocultarmos a conclusão, ela surgirá imediatamente na mente ao pensarmos nas duas

premissas:

Todos os homens são mortais

Sócrates é homem

Logo …

É neste instante que nos deparamos com a necessidade lógica. No argumento válido, a conclusão, de alguma forma já

está contida nas premissas e parece ser inevitável que a aceitemos como consequência.

Por este silogismo ser válido, pode-se dizer que a forma dele é válida, ou seja, não importa quais termos estejam no

lugar de “homens”, “mortais” e “Sócrates”, a conclusão será sempre necessária. Se substituirmos os termos sujeito,

predicado e termo médio por outras palavras, teremos o seguinte resultado:

Todos os filósofos são jogadores de futebol

Sócrates é filósofo

Logo, Sócrates é jogador de futebol

Neste caso, a verdade da primeira premissa pode ser discutida e mostrar-se como falsa, resultando em uma conclusão

falsa, mas de qualquer maneira, o silogismo ainda continua válido. Vamos examinar outro caso:

Todos os animais aquáticos têm duas asas

A vaca é um animal aquático

Logo, a vaca tem duas asas.

Apesar de ter premissas e conclusão falsas, o argumento também é válido. E finalmente:

Todas as aranhas tem 4 patas

O tigre é uma aranha

Logo, o tigre tem 4 patas.

Também é um argumento válido, com duas premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Isso é surpreendente e pode

ser usado para confundir muitas mentes, pode ser usado por muitos sofistas. Este último exemplo mostra que o fato de

uma conclusão ser verdadeira não quer dizer que o argumento é correto, ou seja, válido e com premissas e conclusão

verdadeiras; é por isso que ao avaliar um argumento deve-se verificar como a conclusão foi alcançada, ou seja, deve-se

verificar as premissas, em todo argumento.

Notemos abaixo que o argumento tem premissas falsas e conclusão também. No entanto, o argumento é correto.

Todos os homens são analfabetos

Raquel de Queiroz é homem

Logo, Raquel de Queiroz é analfabeta.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS (REVISÃO DA LÓGICA DE SENTENÇA ABERTA)


65


1°) (PETROBRAS) Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) é denominada

proposição.Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões A ∨ B e ~A sejam proposições

compostas. A proposição A ∨ B é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ~A é F quando A é V, e é V quando A é

F.

De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir:

12. Se a afirmativa “Todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa “Algum

beija-flores não voam rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.

2°) (MPE-TO-ANALISTA/2006) Considere o texto para os itens de 6 a 12

Proposições também são definidas por predicados que dependem de variáveis e, nesse caso, avaliar uma

proposição como verdadeira (V) ou falsa (F) vai depender do conjunto onde essas variáveis assumem valores. Por

exemplo, a proposição "Todos os advogados são homens", que pode ser simbolizada por ( x) (A(x) H(x)), em

que A(x) representa "x é advogado" e H(x) representa "x é homem", será verdadeira (V), se x pertencer a um

conjunto de pessoas que torne a implicação V; caso contrário, será F. Para expressar simbolicamente a

proposição "Algum advogado é homem"; escreve-se (∃x) (A(x) H(x}). Nesse caso, considerando que x pertença

ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposição é V.

Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam predicados, estão simbolizadas algumas formas de proposições.

proposição Forma simbólica

Todo A é B (x) (A(x) B(x))

Nenhum A é B (x) (A(x) B(x))

A partir das informações dos textos acima, julgue os itens subseqüentes.

6. A proposição "Nenhum pavão é misterioso" está corretamente simbolizada por (x)(P(x)M(x)), se P(x)

representa "x é um pavão" e M(x) representa "x é misterioso".

8. Considere que as proposições "Todo advogado sabe lógica” e "Todo funcionário do fórum é advogado" são

premissas de uma argumentação cuja conclusão é "Todo funcionário do fórum sabe lógica". Então essa

argumentação é válida.

9. Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma

1. Nenhuma A é B.

2. Todo C é A

e a conclusão é da forma "Nenhum C é B". Essa argumentação não pode ser considerada válida.

3°) Se todos os jaguadartes são momorrengos e todos os momorrengos são cronópios então pode-se concluir que:

a) È possível existir um jaguadarte que não seja momorrengo.

b) È possível existir um momorrengo que não seja jaguadarte.

c) Todos os momorrengos são jaguadartes

d) È possível existir um jaguadarte que não seja cronópio.

e) Todos os cronópios são jaguadartes.

4°) Algum A é B. Todos A é C. Logo:


66


a) Algum D é A.

b) Todo B é C.

c) Todo C é A

d) Todo B é A

e) Algum B é C.

5°) Se “Alguns poetas são nefelibatas” e “Todos os nefelibatas são melancólicos”, então, necessariamente:

a) Todo melancólico é nefelibata.

b) Todo nefelibata é poeta.

c) Algum poeta é melancólico

d) Nenhum melancólico é poeta.

e) Nenhum poeta não é melancólico.

6°) (PRODEST/ES-TÉCNICO/2006) Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus

tipos de elementos. Um elemento específico.

O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença “Todos os seres humanos são bípedes”.

O diagrama da direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosótis é bípedes”. Nessas condições, é

correto concluir que “Miosótis é um ser humano”.

GABARITO

1) 12. C 2) 6. C ;8. C ; 9. E 3) B 4) E 5) C

6) E

EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE REVISÃO GERAL


67


1°) Sabe-se que sentenças são orações com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se

declara sobre o sujeito). Na relação seguinte há expressões e sentenças:

1. Três mais nove é igual a doze.

2. Pelé é brasileiro

3. O jogador de futebol

4. A idade de Maria

5. A metade de um número

6. O triplo de 15 é maior que 10.

É correto afirmar que, na relação dada, são sentenças apenas os itens de números

(a) 1, 2 e 6

(b) 2, 3 e 4

(c) 3, 4 e 5

(d) 1, 2, 5 e 6

(e) 2, 3, 4 e 5

2°) (CESPE - PM) Considere as seguintes sentenças:

(I) O Acre é um estado da Região Nordeste.

(II) Você viu o cometa Halley?

(III) Há vida no planeta Marte

(IV) Se x < 2 então x + 3 > 1

Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições.

3°) (CESPE -SEBRAE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes.

1. A frase "Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE" é uma proposição simples.

2. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.

3. A negação da proposição "2 + 5 = 9" é a proposição " 2 + 5 = 7".

4. A proposição "Ninguém ensina a ninguém" é um exemplo de sentença aberta.

5. A proposição "João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma" é um exemplo de proposição formada por


6. A negação da proposição "Ninguém aqui é brasiliense" é a proposição "Todos aqui são brasiliense".

_____________________________________________________________________________

Os conectivos e, ou, não e o condicional se ... então são, simbolicamente, representados por , , e ,

respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são

usadas para valores lógicos verdadeiros e falsos, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações,

julgue os itens seguintes.

7. A proposição "Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês" poderia ser

representada por uma expressão do tipo P[(Q)(R)].

8. A proposição (P Q) é equivalente à proposição (P) (Q).

9. A proposição [(PQ) (Q R)] (P R) é uma tautologia.

10. Considere o quadro abaixo, que contém algumas colunas da tabela verdade da proposição P [QVR].


68


Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta.

________________________________________________________________________

11. Considere o quadro abaixo, que apresenta algumas colunas da tabela verdade referente à proposição P [Q R]

P Q R P[QR]

V V V V

V V F F

V F V V

V F F F

F V V V

F V F F

F F V F

F F F F

Nesse caso, pode-se afirmar que a última coluna foi preenchida de forma totalmente correta.

_______________________________________________________________________

Considere a seguinte proposição: "Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento". Julgue os itens

que se seguem, acerca dessa proposição.

12. A proposição "Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento" é uma proposição

logicamente equivalente à negação da proposição acima.

13. "Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento" não é uma proposição logicamente

equivalente à negação da proposição acima.

P Q R P [QVR]

V V V V

V V F V

V F V V

V F F F

F V V V

F V F V

F F V V

F F F V


69


4°) (CESPE) Se A e B são proposições, então ~( A ↔ B ) tem as mesmas valorações que [(~A) →(~B)] ∧ [(~B) →(~A)]

5°) (FCC) Considerando “toda livro é instrutivo” uma proposição verdadeira, é correto inferir que

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

c) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

6°) (MPE/TO) Na lista abaixo, há exatamente três proposições.

Faça suas tarefas.

Ele é um procurador de justiça muito competente.

Celina não terminou seu trabalho.

Esta proposição é falsa.

O número 1.024 é uma potência de 2.

7°) (CESPE 2009) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.

(I) A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica.

(II) Por que existem juízes substitutos?

(III) Ele é um advogado talentoso.

8°) (TRT 17ª região) A proposição “Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é

juiz nem é muito competente.”

9°) (ESAF MPOG 2009) A negação de “Maria comprou uma blusa nova e foi ao cinema com José” é:

a) Maria não comprou uma blusa nova ou não foi ao cinema com José.

b) Maria não comprou uma blusa nova e foi ao cinema sozinha.

c) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema com José.

d) Maria não comprou uma blusa nova e não foi ao cinema.

e) Maria comprou uma blusa nova, mas não foi ao cinema com José.

10°) A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês” poderia ser

representada por uma expressão do tipo P [(Q) (R)].

11°) (CESPE 2008) Considere as proposição abaixo.

T: “João será aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas não em ambos”;

A: “João será aprovado no concurso do TRT”.

B: “João será aprovado no concurso do TSE”

Nesse caso, a proposição T estará corretamente simbolizada por (A B) [ (A B)]

12°) (AFC-STN 2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo,


b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.





70


13°) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista”, é do ponto de vista lógico o mesmo que dizer que:

a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.

b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.

c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.

d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.

e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

14°) Toda proposição simbolizada na forma A → B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B → A.

15°) (CESPE) As proposição (P Q) é equivalente à proposição (P) (Q).

16°) (CESPE) As proposições (A B) e (A B) são equivalentes.

17°) (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos , , e → sejam

operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica

proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F),

mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

1) Se as proposições P e Q são ambos verdadeiras, então a proposição (P) ( Q) também é verdadeira.

2) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → ( T)

3) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R) (Q) é

verdadeira

18°) (CESPE) Considerando-se as possíveis valorações V ou F das proposições A e B e completando-se as colunas da

tabela abaixo, se necessário, é correto afirmar que a última coluna dessa tabela corresponde à tabela verdade da

proposição [A ( B)] [ (A B)].

A B B A (B) A B (A B) [A (B)] → [ (A B)]

V V F

V F F

F V V

F F V

19°) (CESPE) Na tabela a seguir, são representadas duas avaliações para as proposições básicas A e B, e para a

proposição composta Q, na qual ocorrem apenas A e B como proposições básicas.

Linha A B Q

1 V F V

2 F F V

Considerando as definições do texto anterior e os dados da tabela acima, julgue os itens a seguir.

1) Para as valorações de A e B apresentadas na linha 1, a proposição (A → B) é F.

2) De acordo com as valorações da linha 2, a proposição (B A) Q é V.

20°) (CESPE) Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela abaixo, se

necessário, conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição composta A →

(B → A).


71


A B B → A A → (B → A)

V V V

V F V

F F V

F V F

21°) (CESPE) Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição

(A B) → A (B).

A B B (A B) A (B) (A B) → A (B)

V V F

V F V

F F V

F F V

22°) Na tabela abaixo, a última coluna da direita corresponde à tabela verdade da proposição (A) B → (A B).

A B A ( A) B) (A B) ( A) B → (A B)

V V V

V F F

F V V

F F V

23°) (CESPE) A proposição simbolizada por (A → B) → (B → A) possui uma única valoração F.

24°) (CESPE) A proposição simbólica (P Q) R possui, no máximo, 4 avaliações V.

25°) (CESPE) Se as proposições A, B e C tiverem valores lógicos V, F e V, respectivamente, então a proposição

composta (A B) C terá valor lógico F.

26°) (CESPE) Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A, B e C para as quais a

proposição composta (A B) (C) pode ser avaliada, assumido valoração V ou F.

27°) (ICMS FCC 2006) Considere as afirmações abaixo:

I. O número de linhas de uma tabela verdade é sempre um número par.

II. A proposição 10 < √10 ↔ 8 − 3 = 6 é falsa.

É verdade o que se afirma APENAS em:

a) I.

b) II.

c) I e II.

d) nenhum dos dois.

28°) (FCC) Dadas as proposições compostas:

I) 3 + 4 = 7 5³ = 125

II) 3 + 2 = 6 → 4 + 4 = 9

III) 3 > 1 não é um número real

IV) 2 > 1 → 2° = 2

V) –2 > 0 ² < 0

A que tem valor lógico FALSO é a

a) I

b) II

c) III


72


d) V

e) IV

29°) (MPOG ESAF/2009) Entre as opções abaixo, a única com valor lógico verdadeiro é:

a) Se Roma é a capital da Itália, Londres é a capital da França.

b) Se Londres é a capital da Inglaterra, Paris não é a capital da França.

c) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou Paris é a capital da França.

d) Roma é a capital da Itália e Londres é a capital da França ou paris é a capital da Inglaterra.

e) Roma é a capital da Itália e Londres não é a capital da Inglaterra.

30°) (FCC) Considere as proposições abaixo:

I. Entre estas seis proposições, apenas três são falsas.

II. 2 + 2 = 4

III. 3 x 6 = 17

IV. 8 : 4 = 2

V. 13 – 6 = 5

VI. Apenas as proposições 2 e 4 são verdadeiras.

Do ponto de vista lógico, para que haja contradição entre as frases, são verdadeiras apenas:

a) II, IV e VI.

b) II, IV e V.

c) II e IV.

d) I, II e IV.

e) I, II, IV e VI.

31°) (AFC-STN 2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo,


b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.




32°) Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito

dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro,

então as operações de crédito no país não aumentam” é também V.

33°) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista”, é do ponto de vista lógico o mesmo que dizer que:

a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista.

b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro.

c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista.

d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista.

e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.

34°) Toda proposição simbolizada na forma A → B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B → A.

35°) (CESPE) As proposição (P Q) é equivalente à proposição (P) (Q).

36°) (CESPE) As proposições (A B) e (A B) são equivalentes.

37°) (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:

a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.


73


b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.

c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.

d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.

e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

38°) (ENAP 2006/ESAF) Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.

d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.

e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

39°) (CESPE 2009) Caso a proposição “Se a EMBASA promover ações de educação ambiental, então a população

colaborará para a redução da poluição das águas” seja V, a proposição “Se a EMBASA não promover ações de

educação ambiental, então a população não colaborará para a redução da poluição das águas” também será V.

40°) (PF 2009/CESPE) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não

será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida”

são equivalentes.

41°) (ESAF 2009) Entre as opções abaixo, qual exemplifica uma contradição formal?

a) Sócrates não existiu ou Sócrates existiu.

b) Sócrates era ateniense ou Sócrates era espartano.

c) Todo filósofo era ateniense e todo ateniense era filósofo.

d) Todo filósofo era ateniense ou todo ateniense era filósofo.

e) Todo filósofo era ateniense e algum filósofo era espartano.

42°) (SEGER) É correto concluir que as três frases seguintes são proposições.

(I) No ano de 2002, os brasileiros usuários da Internet gostavam, mensalmente, em média, 10 horas e 11 minutos

navegando na rede.

(II) Em quantos anos a média mensal de tempo de uso da Internet no Brasil saltou de 8 horas para 21 horas 40

minutos?

(III) Se, em 2006, o tempo médio mensal on-line dos brasileiros era de 21 horas e 20 minutos, então essa médio

aumentou em mais de 20 minutos em 2007.

43°) (CESPE) Considere como V as seguintes proposições.

A: Jorge briga com sua namorada Silva.

B: Sílvia vai ao teatro

Nesse caso, (A → B) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Sílvia não vai ao teatro”.

44°) (CESPE) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres , e , que simbolizam

“não”, “ou” e “e”, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P e Q são

proposições, então PQ, QP e P também são proposições. Considere as proposições seguir:

A: as despesas foram previstas no orçamento

B: os gastos públicos aumentaram

C: os funcionários públicos são sujeitos ao regime Jurídico único

D: a lei é igual para todos.

A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.

1) A(C(B) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e ou os

funcionários públicos são sujeitos ao regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram.”

2) A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao regime Jurídico Único nem que os

gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (C) (B).


74


3) A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no orçamento” está

corretamente simbolizada por ( B) (A).

45°) (CESPE) Suponha que P represente a proposição “Hoje choveu”, Q represente a proposição “José foi à praia” e R

represente a proposição “Maria foi ao comércio”. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens

seguintes.

1) A sentença “Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia” pode ser corretamente

representada por P → ( R Q).

2) A sentença “Hoje choveu e José não foi à praia” pode ser corretamente representada por P Q.

3) Se a proposição “Hoje não choveu” for valorada como F e a proposição “José foi à praia” for valorada como V,

então a sentença representada por P → Q é falsa.

4) o número de valorações possíveis para (Q R) → P é inferior a 9.

46°) (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes.

1) A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples.

2) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.

3) A negação da proposição “ 2 + 5 = 9” é a proposição “ 2 + 5 = 7”.

4) A proposição “Ninguém ensina a ninguém “ é um exemplo de sentença aberta.

5) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por


47°) (ESAF) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

48°) Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no país aumentam então os bancos ganham muito

dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro,

então as operações de crédito no país não aumentam” é também V.

49°) (SERPRO/96) Uma sentença logicamente EQUIVALENTE a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:

a) Pedro é economista ou Luisa é solteira.

b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.

c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista.

d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira.

e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

50°) (ENAP 2006/ESAF) Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer:

a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz.

b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre.

c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz.

d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz.

e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz.

51°) (CESPE 2009) Caso a proposição “Se a EMBASA promover ações de educação ambiental, então a população

colaborará para a redução da poluição das águas” seja V, a proposição “Se a EMBASA não promover ações de

educação ambiental, então a população não colaborará para a redução da poluição das águas” também será V.

52°) (PF 2009/CESPE) As proposições “Se o delegado não prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra não

será bem-sucedida” e “Se o delegado prender o chefe da quadrilha, então a operação agarra será bem-sucedida”

são equivalentes.


75


GABARITO

1°) A

2°) E

3°) 1. C

2. E

3. E

4. E

5. C

6. E

7. C

8. C

9. C

10. C

11. E

12. E

13. C

4°) E

5°) D

6°) E

7°) E

8°) E

9°) A

10°) C

11°) C

12°) E

13°) A

14°) E

15°) C

16°) E

17°) 1. E

2. E

3. C

18°) C

19°) 1. E

2. C

20°) E

21°) E

22°) E

23°) C

24°) E

25°) C

26°) C

27°) A

28°) E

29°) C

30°) D

31°) E

32°) C

33°) A

34°) E

35°) C

36°) E

37°) E

38°) C

39°) E

40°) E

41°) E

42°) E

43°) E

44°) 1. C

2. C

3. E

45°) 1. C

2. C

3. E

4. C

46°) 1. C

2. E

3. E

4. E

5. C

47°) E

48°) C

49°) E

50°) C

51°) E

52°) E

RACIOCÍNIO LÓGICO ANALÍTICO


76


QUESTÃO 1

UTILIZE AS INFORMAÇÕES ABAIXO PARA RESPONDER AS QUESTÕES 2; 3; 4 e 5

QUESTÃO 2

QUESTÃO 3

QUESTÃO 4

QUESTÃO 5


77


QUESTÃO 6

QUESTÃO 7

QUESTÃO 8

QUESTÃO 9


78


QUESTÃO 10

QUESTÃO 11

QUESTÃO 12


79


QUESTÃO 13

QUESTÃO 14

QUESTÃO 15


80


Marcos está se arrumando para ir ao teatro com sua nova namorada quando todas as luzes de seu

apartamento apagam. Apressado, ele corre até uma de suas gavetas onde guarda 24 meias de cores diferentes,

a saber: 5 pretas, 9 brancas, 7 azuis e 3 amarelas. Para que Marcos não saia com sua namorada vestindo

meias de cores diferentes, o número mínimo de meias que Marcos deverá tirar da gaveta para ter a certeza de

obter um par de mesma cor é igual a:

a) 30

b) 40

c) 246

d) 124

e) 5

QUESTÃO 16

Em uma caixa há caixas há 2 bolas azuis, 3 bolas amarelas e 4 bolas pretas. Serão retiradas N bolas dessa

caixa, simultaneamente e de forma totalmente aleatória. O menor valor positivo de N, para que se possa

garantir que haverá bolas de todas as cores, é:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

QUESTÃO 17

Em um baú há 15 lenços brancos, 25 vermelhos e 12 pretos. O número mínimo de lenços que devem ser

retirados do baú para que se possa garantir que, entre os lenços retirados, haja pelo menos quatro de mesma

cor é:

a) 44

b) 10

c) 12

d) 4

e) 45

QUESTÃO 18

QUESTÃO 19


81


QUESTÃO 20

QUESTÃO 21


82


QUESTÃO 22

QUESTÃO 23


83


QUESTÃO 24

QUESTÃO 25


84


QUESTÃO 26

QUESTÃO 27

QUESTÃO 28


85


PARA RESPONDER AS QUESTÕES 29 E 30 UTILIZE AS INFORMAÇÕES DO TEXTO ABAIXO

QUESTÃO 29

QUESTÃO 30


86


QUESTÃO 31

GABARITO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 E D E D E B E D C

1 C E E E D E E B B A

2 C A D A D B B B D C

3 B D

Documents

ESTUDO DA LÓGICA PROPOSICIONALportal.sceaconcursos.com.br/wp-content/uploads/2016/01/MÓDULO-D… · 3°) (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes: