Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à

Centro de Tecnologia e UrbanismoDepartamento de Engenharia Elétrica

Vitor Augusto Sborgi Lovo

Estudo de Desempenho de Metodologias deControle Aplicadas à Planta da Perna de um

Paciente Paraplégico

Londrina

2014

Universidade Estadual de Londrina

Centro de Tecnologia e UrbanismoDepartamento de Engenharia Elétrica


Estudo de Desempenho de Metodologias de ControleAplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico

Trabalho de Conclusão de Curso orientado pelo Prof. Dr. Márcio Ro-berto Covacic intitulado “Estudo de Desempenho de Metodologias deControle Aplicadas à Planta da Perna de um Paciente Paraplégico” eapresentado à Universidade Estadual de Londrina, como parte dos requi-sitos necessários para a obtenção do Título de Bacharel em EngenhariaElétrica.

Orientador: Prof. Dr. Márcio Roberto Covacic

Coorientador: Prof. Dr. Ruberlei Gaino

Londrina

2014

Ficha Catalográfica

Vitor Augusto Sborgi LovoEstudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Pernade um Paciente Paraplégico - Londrina, 2014 - 78 p., 30 cm.Orientador: Prof. Dr. Márcio Roberto Covacic1. Engenharia de Reabilitação. 2. Teoria de Controle. 3. Matlab R©. 4. Índices deDesempenho.I. Universidade Estadual de Londrina. Curso de Engenharia Elétrica. II. Estudode Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à Planta da Perna de umPaciente Paraplégico.


Estudo de Desempenho de Metodologias deControle Aplicadas à Planta da Perna de um

Paciente Paraplégico

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de En-genharia Elétrica da Universidade Estadual de Londrina, comorequisito parcial para a obtenção do título de Bacharel em Enge-nharia Elétrica.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Márcio Roberto CovacicUniversidade Estadual de Londrina

Orientador

Prof. Dr. Ruberlei GainoUniversidade Estadual de Londrina

Coorientador

Prof. Dr. Newton da SilvaUniversidade Estadual de Londrina

Londrina, 27 de novembro de 2014

Dedico este trabalho a toda minha família, emespecial aos meus pais Helio Vitor Lovo e Eliane

Sborgi Lovo, que sempre me incentivaram a seguirem frente e nunca desistir do curso.

Agradecimentos

A Deus pela saúde e perspicácia que tive durante todos esses anos de curso.

À minha família que sempre esteve ao meu lado, dando-me suporte e apoio para vencerem todas as etapas de minha vida, em especial durante os anos de graduação.

Aos meus colegas da faculdade de Engenharia Elétrica que me serviram como exemplopara concluir o curso e pelos momentos de descontração.

Ao meu orientador, Márcio Roberto Covacic, pelo seu apoio, orientação, dedicação e oincentivo que me deu durante esse trabalho. Ao Ruberlei Gaino, que foi meu coorientador.

Aos professores Márcio Covacic e Ruberlei Gaino por terem me dado a oportunidade departicipar de uma iniciação científica que culminou com a realização deste trabalho, devido osconhecimentos aprendidos durante todo esse período.

A todos os professores do curso de Engenharia Elétrica da UEL que além de contribuíremcom o conhecimento acadêmico, também passaram suas experiências de vida.

“A maior recompensa para o trabalho do homem não é o que ele ganha com isso, mas o que elese torna com isso”.

(John Ruskin)

Vitor Augusto Sborgi Lovo. 2014. 78 p. Trabalho de Conclusão de Curso em EngenhariaElétrica - Universidade Estadual de Londrina, Londrina.

ResumoNeste trabalho de conclusão de curso, são apresentados resultados teóricos de diferentes me-todologias de projeto de controladores em malha fechada, onde a planta a ser controlada é omodelo biomecânico do complexo canela-pé de um paciente paraplégico. Com a utilizaçãoda ferramenta computacional Matlab R© para simulação dos resultados, estes são avaliados emfunção dos índices de desempenho das respostas a uma excitação degrau unitário. O projeto doscontroladores baseado nas teorias de controle visa variar o ângulo da articulação do joelho em45o quando aplicado um estímulo elétrico no músculo quadríceps, onde o tempo de respostade movimento deve ser menor ou igual a 1 segundo com um potencial de sobressinal máximode 5%. Assim, é apresentada uma comparação entre as diferentes metodologias descritas nestetrabalho, aplicadas ao mesmo objeto de estudo com a finalidade de pontuar as peculiaridades decada método, apontando as vantagens e desvantagens dos sistemas em questão. Este é um projetointerdisciplinar que engloba as áreas de controle, instrumentação eletrônica e programação.

Palavras-Chave: 1. Engenharia de Reabilitação. 2. Teoria de Controle. 3. Matlab R©. 4. Índicesde Desempenho.

Review of the Performance of Control Method Applied to a Paraplegic Patient’s Leg Plant.2014. 78 p. Monograph in Engenharia Elétrica - Universidade Estadual de Londrina, Londrina.

AbstractIn this work, theoretical results from different methodologies of closed loop controllers projectwhere the plant to be controlled is the biomechanical model of a paraplegic patient’s shin-footcomplex, are presented. Using the computational tool Matlab R© for the simulation of the results,these methodologies are evaluated according to the performance indexes of the responses fora unit step excitation. The design of controllers based on the theories of control aims to varythe angle of the knee joint by 45o when an electrical stimulus is applied to the quadricepsmuscle, where the response time of the movement must be less than or equal to 1 second with apotential maximum overshoot of 5 % . Thus, it’s presented here a comparison of the differentmethodologies described in this paper, and all of them applied to the same object of study inorder to score the peculiarities of each method, pointing out the advantages and disadvantagesof the systems in question. This is an interdisciplinary project, including the areas of control,electronic instrumentation and programming.

Key-words: 1. Rehabilitation Engineering. 2. Control Theory. 3. Matlab R© . 4. PerformanceIndexes.

Lista de figuras

Figura 1 – Representação do complexo canela-pé (FERRARIN e PEDOTTI, 2000). . . 9Figura 2 – Diagrama de blocos de um sistema de Controle em Malha Fechada (OGATA,

2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Figura 3 – Índices de Desempenho (OGATA, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Figura 4 – Definição do ângulo β (OGATA, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Figura 5 – (a) e (b) Exemplos de disposição de ângulos em relação aos polos desejados

(OGATA, 2010). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Figura 6 – Resposta as degrau em formato de ‘S’ (OGATA, 2010) . . . . . . . . . . . . 22Figura 7 – Resposta de um sistema em malha fechada em oscilação (OGATA, 2010). . 23Figura 8 – Tela inicial do PID Tuner (Matlab R©). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Figura 9 – Disposição dos polos da planta em relação aos polos de malha fechada

desejados no plano complexo (Fonte: próprio autor). . . . . . . . . . . . . . 38Figura 10 – Resposta à entrada degrau do sistema com controlador PID projetado pelo

método de projeto dividido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Figura 11 – Resposta do sistema quando aplicado um sinal degrau na função de transfe-

rência da planta da perna do paciente paraplégico (2.15) em malha aberta. . 41Figura 12 – Resposta do sistema utilizando controlador PID projetado pelo segundo

método de Ziegler-Nichols. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Figura 13 – Resposta do sistema utilizando Controlador PIDF. . . . . . . . . . . . . . . 44Figura 14 – Resposta do sistema utilizando Controlador PIDA. . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 15 – Resposta do sistema com controle por Espaço de Estados. . . . . . . . . . . 50Figura 16 – Relação da variação do ângulo da perna com o tempo. . . . . . . . . . . . . 50Figura 17 – Resposta do sistema utilizando Controlador LQR. . . . . . . . . . . . . . . 52

Lista de tabelas

Tabela 1 – Constantes para modelagem das equações da planta do complexo canela-pé(Carvalho Neto, 2008). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Tabela 2 – Regras de sintonia do primeiro método de Ziegler-Nichols (OGATA, 2010). 22Tabela 3 – Regras de sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho crítico e no período

crítico (OGATA, 2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Tabela 4 – Contribuição de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta do paciente

paraplégico em relação aos polos de malha fechada desejados. . . . . . . . 38Tabela 5 – Comparação de resultados das diferentes metodologias de controle para a

perna de um paciente paraplégico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Sumário

I INTRODUÇÃO 1

1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II REVISÃO DA LITERATURA 7

2 REVISÃO DE LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1 Modelo Matemático do Complexo Canela-Pé para Planta da Perna de

um Paciente Paraplégico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Critérios de Desempenho para Resposta de Sistema de Controle em Ma-

lha Fechada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Dominância dos Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3 Controle PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Método de Projeto Dividido de Controlador PID . . . . . . . . . . . . . 182.3.2 Controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 212.3.3 Projeto de Controlador pelo PID Tuner do Matlab R© . . . . . . . . . . . 252.4 Controlador PIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Controle Moderno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.1 Sistema de Controle no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5.2 Controle por Alocação de Polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.3 Controle Ótimo Quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

III DESENVOLVIMENTO 35

3 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1 Projeto do Controlador PID pelo Método de Projeto Dividido . . . . . . 373.2 Projeto do Controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols . . . . . . . 403.3 Projeto do Controlador PIDF pelo PID Tuner . . . . . . . . . . . . . . . 433.4 Projeto do Controlador PIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.5 Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos . . . . . . . . . . 473.6 Controle LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.7 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

IV FECHAMENTO 55

4 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

APÊNDICES 65

APÊNDICE A – CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON-TROLADOR PID PELO MÉTODO DE PROJETODIVIDIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

APÊNDICE B – CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON-TROLADOR PID PELO SEGUNDO MÉTODO DEZIEGLER-NICHOLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

APÊNDICE C – CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON-TROLADOR PIDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

APÊNDICE D – CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON-TROLE NO ESPAÇO DE ESTADOS . . . . . . . . . 75

APÊNDICE E – CÓDIGO PARA MALTAB DO PROJETO DE CON-TROLADOR LQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Parte I

Introdução

3

1 Introdução

O objetivo de um sistema de controle eficiente é, independentemente do sinal de entrada,atingir critérios de desempenho na resposta de saída dentro de uma margem de erro consideradasatisfatória. Para tal, projetam-se controladores que auxiliem no processo de manutenção dacurva de resposta. Um sistema de controle pode ser definido por um dispositivo que produz umaresposta (saída) quando excitado por uma entrada (OGATA, 2010; ASSUNÇÃO e TEIXEIRA,2010). Em um sistema de controle em malha fechada existe uma relação de dependência entre osinal de saída e o sinal de entrada, sendo o sinal de erro (diferença entre ambos) usado comomeio de controlar este sistema.

Sistemas de controle em malha fechada têm sido comumente utilizados em todas as áreasda engenharia por apresentarem respostas relativamente insensíveis a perturbações externas.Estes sistemas são utilizados de modo a obter respostas que atendam a requisitos de projetoconhecidos por índices de desempenho (OGATA, 2010; DORF e BISHOP, 2009; ASSUNÇÃO eTEIXEIRA, 2010), tais como: estabilidade, tempo de estabilização, erro de regime permanente,tempo de subida, entre outros. Existem inúmeras metodologias para projetar um controlador, masé através dos índices de desempenho e do nível de conhecimento do projetista que se pode definira melhor estratégia de projeto que atenda aos objetivos (índices de desempenho) do dispositivo aser desenvolvido.

O Controle Proporcional-Integral-Derivativo (PID) (CHEN, 1993; OGATA, 2010; DORFe BISHOP, 2009) é uma metodologia bastante difundida e com aplicações comprovadas emvários campos da engenharia, assim, hoje é uma das metodologias de projeto de controladoresmais utilizada no mundo por permitir a especificação de mais de um índice de desempenho eainda ser de simples desenvolvimento. O controlador PID pode ser projetado através de diferentesmaneiras onde cada uma tem suas peculiaridades, mas todas têm como objetivo comum encontraros ganhos proporcional, integral e derivativo do controlador PID que atendam aos índices dedesempenho. O controlador PID é uma planta de segunda ordem e tem apenas dois zeros nasua função de transferência, desta forma, pode ser complicado o projeto de sistemas de controlepara plantas de ordens superiores a dois. Assim, é preciso utilizar metodologias de controle maisavançadas.

O Controle Proporcional-Integral-Derivativo-Acelerativo (JUNG e DORF, 1996; SOR-MUANG e SUJITJORN, 2010; PUANGDOWNREONG, 2012), tem o acréscimo de um terceirozero na sua função de transferência que possibilita que este controlador altere o root locus dosistema a ser controlado para regiões de estabilidade possibilitando o projeto de sistemas decontrole. Esta metodologia de controle é bastante útil para projeto de controladores para plantasde terceira ordem com polos dominantes localizados no semi-plano direito do plano complexo.

4 Capítulo 1. Introdução

O controle moderno foi desenvolvido a partir de uma necessidade provinda do avançogradativo da tecnologia. A teoria de controle clássica não estava conseguindo suprir as demandasque as novas tecnologias estavam necessitando. Desta forma, metodologias como Controle porEspaço de Estado e Controle Ótimo Quadrático (LQR) foram desenvolvidas para possibilitar ocontrole de sistemas com uma ou mais de uma entrada e/ou saída (Ogata, 2010).

O estudo para controlar o movimento de pacientes paraplégicos por meio de estimulaçãoelétrica é um assunto relevante dentro da engenharia de reabilitação (FERRARIN e PEDOTTI,2000; RIENER e FUHR, 1998; CRAGO, 1980). São inúmeros os estudos realizados com objetivode controlar o movimento de pacientes paraplégicos utilizando FES por diferentes modelosmatemáticos de músculos e da articulação do joelho (RIENER e FUHR, 1998; FERRARIN ePEDOTTI, 2000; GAINO, 2009). Em Gaino (2009) e Teixeira et al. (2006), foram realizadospela primeira vez estudos e simulações da posição da perna em pacientes paraplégicos utilizandomodelos fuzzy Takagi-Sugeno. Nestes artigos foram propostas pela primeira vez um modeloem espaço de estados não-linear da dinâmica do paciente paraplégico. Em Teixeira (2007), foiobtida a função de transferência linearizada do modelo biomecânico do complexo canela-péde Ferrarin e Pedotti (2000). Em Carvalho Neto (2008), foi obtida a função de transferênciado modelo biomecânico do complexo canela-pé após linearização da equação apresentada emFerrarin e Pedotti (2000).

O Trabalho de Gaino (2009), gerou os códigos de controle dos movimentos utilizandomodelos fuzzy Takagi-Sugeno, uma versão discretizada do modelo Takagi-Sugeno foi imple-mentada na tese de (SANCHES, 2014). O resultado gerou o primeiro teste com controle emmalha fechada com modelos fuzzy Takagi-Sugeno, neurostimulador e paciente paraplégico.Em (CARVALHO, 2014) foi mostrado um artigo que entrevistou o prof. Aparecido Augustode Carvalho da FEIS-UNESP, orientador de Marcelo Augusto Assunção Sanches relatando ohistórico de um paciente que fazia 24 anos que não movia-se a perna. O professor Aparecidoatuou como co-orientador de Ruberlei Gaino em seu laboratório de 2005 a 2009, neste períodoforam elaboradas as primeiras versões do neuroestimulador utilizado em (SANCHES, 2014).Este material de pesquisa está sob responsabilidade e coordenado pelo prof. Ruberlei Gainona UEL no laboratório, Controle Avançado, Robótica e Engenharia Biomédica do depto deEngenharia Elétrica. Podemos citar Alberto Cliquet, o pioneiro que 1988 aplicou-se FES empacientes paraplégicos em malha aberta (CLIQUET, 2014), porém o modelo em malha fechada,torna-se mais eficiente e produz menos fadiga (FERRARIN e PEDOTTI, 2000) ao músculo dopaciente e gera-se mais possibilidade da marcha humana artificial.

A Estimulação Elétrica Funcional (Functional Eletrical Stimulation - FES) é uma formade tratamento que utiliza a corrente elétrica de baixa frequência (10 a 1000 Hz) para provocara contração de músculos paralisados ou enfraquecidos, sendo a corrente elétrica específica detal forma a possibilitar a contração muscular (DUARTE e VIEIRA, 2011), visando tratamentode pessoas com deficiências físicas. Conhecida também como “Ginástica Passiva” a FES ajuda

5

não somente no tratamento de pacientes com músculos lesionados, mas também pode serutilizada para complementar o tratamento e treinamento de atletas e em clínicas de estética paratratamentos de beleza.

As contrações musculares pela estimulação elétrica despolarizam o neurônio motorproduzindo uma resposta sincrônica nas unidades motoras do músculo (DUARTE e VIEIRA,2011). Este sincronismo promove uma contração eficiente que é a base do tratamento propostopela FES. A fim de evitar a fadiga na fase de recondicionamento muscular, que impediria autilização funcional do método com objetivos reabilitacionais, é necessário ter cuidados com acorrente elétrica aplicada para produzir contrações musculares pois, pode-se danificar seriamentea região a ser tratada, caso não seja dado devida atenção ao controle eficiente do níveis deintensidade de aplicação.

Nos dias atuais, têm-se um grande investimento em estudos para o desenvolvimento detecnologias que providenciem a pessoas portadoras de deficiência a possibilidade de ter suacapacidade motora parcialmente reestabelecida (GAINO, 2011; COVACIC, 2012; SANCHES,2013; OLIVEIRA, 2013; OLIVEIRA, 2014, SANCHES ET. AL., 2014). Desta forma, se tornainteressante o estudo de diferentes alternativas de controle para um sistema de tratamentoutilizando a FES, neste caso, aplicado à planta da perna de um paciente paraplégico, paradesenvolver um dispositivo com controle eficiente e menos dispendioso.

Nos seguintes capítulos apresenta-se:

• no Capítulo 2, uma revisão de literatura de algumas metodologias de projeto de controlado-res que visam atender os índices de desempenho específicos para sistemas de estimulaçãoelétrica funcional;

• no Capítulo 3, os resultados através de simulação realizada no software Matlab R©, destaforma, evita-se inicialmente que os primeiros testes sejam aplicados diretamente empacientes preservando a integridade física dos mesmos, bem como, uma comparação entretodos para identificação das melhores metodologias para aplicação no desenvolvimento deum dispositivo de tratamento utilizando FES para planta da perna do paciente paraplégico;

• no Capítulo 4, as conclusões a partir dos resultados obtidos, as referências utilizadas nestetrabalho e também os códigos para Matlab R© criados para projeto dos controladores.

Parte II

Revisão da Literatura

9

2 Revisão de Literatura

Neste capítulo é apresentada uma revisão de todos os conceitos utilizados neste trabalho.Primeiramente, têm-se a teoria para obter a função de transferência do complexo canela-pé que éconsiderada como sendo a planta da perna de um paciente paraplégico, a qual é utilizada comoobjeto de estudo das diferentes metodologias de controle descritas ao longo do capítulo dois.

2.1 Modelo Matemático do Complexo Canela-Pé para Plantada Perna de um Paciente Paraplégico

O controle dos movimentos da perna de pacientes paraplégicos através da estimulaçãoelétrica é um assunto muito estudado dentro da área de Engenharia de Reabilitação. Em muitosestudos, o controle objetiva elevar a perna do estado de repouso até um ângulo específico efazendo-a retornar à posição inicial (pela ação da gravidade) com a retirada da estimulação nomúsculo (GAINO, 2009).

O modelo matemático proposto por Ferrarin e Pedotti (2000) relaciona a largura depulso aplicada ao músculo do membro inferior com o torque gerado em torno da articulaçãodo joelho. Foram considerados apenas dois segmentos rígidos: a coxa e o complexo canela-pé,desconsiderando dessa forma o tornozelo, o que reduz o número de graus de liberdade. A coxafoi considerada estacionária (fixa), o que restringe os movimentos do modelo somente a umadinâmica do complexo canela-pé. A Figura 1 ilustra o complexo canela-pé.

Figura 1 – Representação do complexo canela-pé (FERRARIN e PEDOTTI, 2000).

10 Capítulo 2. Revisão de Literatura

O equilíbrio dinâmico do conjunto pode ser dado pelo equilíbrio das forças que atuamno mesmo:

Mi = Mg +Ma +Ms +Md, (2.1)

sendo:

• Mi a componente inercial;

• Mg a componente gravitacional;

• Md a componente de amortecimento;

• Ms o torque devido à componente de rigidez;

• Ma o torque ativo do joelho devido à estimulação elétrica provocada no músculo quadrí-ceps.

Substituindo as componentes de (2.1), pode-se obter uma equação diferencial ordináriade segunda ordem não-linear (2.2), com Ms dado em (2.3) (FERRARIN e PEDOTTI, 2000). Aequação (2.2) é dita não linear devido à componente senoidal e também a (2.3) (FERRARIN ePEDOTTI, 2000).

Jθv = −mglsen(θv)−Ms −Bθ +Ma (2.2)

Ms = −λe−Eθ(θ − ω) (2.3)

sendo:

• J o momento inercial do complexo canela-pé;

• θ o ângulo do joelho (ângulo entre a canela e a coxa);

• θv o ângulo da canela;

• θv a velocidade angular do joelho;

• θv a aceleração angular da canela;

• m a massa do complexo canela-pé;

• g a constante de aceleração gravitacional;

• l a distância entre o joelho e o centro de massa do complexo canela-pé;

• B o coeficiente de atrito viscoso;

2.1. Modelo Matemático do Complexo Canela-Pé para Planta da Perna de um Paciente Paraplégico 11

• λ e E os parâmetros de viscoelasticidade do joelho;

• ω o ângulo elástico de repouso do joelho.

Segundo o desenvolvimento matemático apresentado em Deaecto (2005) e Teixeira(2007), substituindo (2.3) em (2.2) e igualando a zero, tem-se:

f = Jθv +mglsen(θv)− λe−Eθ(θ − ω) +Bθ −Ma = 0. (2.4)

Para obter a função de transferência que relaciona o ângulo da canela com o torqueativo do joelho devido à estimulação elétrica, deve-se linearizar (2.4) através da série de Taylor(CARVALHO NETO, 2008). Utilizando a expansão em série de Taylor em (2.4) obtêm-se umaaproximação para f, dado em (2.5).

f ≈ f +∂f

∂θv(θv − θvo) +

∂f

∂θv(θv − ˙θvo) +

∂f

∂θv(θv − θvo) +

∂f

∂Ma

(Ma −Mao). (2.5)

Observando a Figura 1, tem-se θ = θv + π2. Assim, substituindo θ em (2.4), tem-se:

f = Jθv +mglsen(θv)− λe−E(θv+π2)(θv +

π

2− ω) +Bθ −Ma = 0. (2.6)

Resolvendo para cada termo de (2.5), tem-se:

∂f

∂θv= mglcos(θv)− λEe−E(θv+

π2)(θv +

π

2− ω) + λEe−E(θv+

π2) = k, (2.7)

∂f

∂θv= B, (2.8)

∂f

∂θv= J, (2.9)

∂f

∂Ma

= −1. (2.10)

Substituindo-se as equações (2.7) a (2.10) em (2.5), tem-se:

k∆θv +B∆θv + J∆θv −∆Ma = 0 (2.11)

sendo:

• ∆θv a variação do ângulo da canela com relação ao eixo da cadeira;

• ∆θv a variação da velocidade angular da canela;

• ∆θv a variação da aceleração angular da canela;

• ∆Ma a variação do torque ativo do joelho devido à estimulação elétrica.


Aplicando a transformada de Laplace (OGATA, 2010) em (2.11), obtém-se a função detransferência (2.12) (CARVALHO NETO, 2008), que relaciona o ângulo da canela com o torqueproduzido pela estimulação elétrica:

N(s) =∆θv(s)

∆Ma(s)=

1

Js2 +Bs+ k. (2.12)

Segundo Carvalho Neto (2008), a relação entre torque aplicado através da estimulaçãoelétrica ao músculo pela largura dos pulsos da estimulação elétrica pode ser dada pela função detransferência:

M(s) =∆Ma(s)

∆P (s)=

G

τs+ 1(2.13)

sendo:

• P a largura do pulso aplicado ao músculo quadríceps;

• G e τ as constantes que relacionam o torque ao estímulo elétrico.

As equações (2.12) e (2.13), multiplicadas, resultam na planta do modelo da junção dojoelho (2.14).

G(s) = N(s) ·M(s) =G

(Js2 +Bs+ k)(τs+ 1). (2.14)

Os valores das constantes podem ser encontrados na Tabela 1 (Carvalho Neto, 2008).

Tabela 1 – Constantes para modelagem das equações da planta do complexo canela-pé (CarvalhoNeto, 2008).

CONSTANTES VALORES DIMENSÕESJ 0,362 kgm2

m 4,37 kgl 23,8 cmB 0,27 Nm/radλ 41,208 Nm/radE 2,024 rad−1

ω 2,918 radG 42500 Nm/Sτ 0,951 -

Utilizando o valor das constantes apresentadas na Tabela 1 para calcular o valor de k econsiderando como ponto de operação θv = π

4ou 45, tem-se k = 7, 9622.

Assim, utilizando os dados mostrados na Tabela 1, a função de transferência do complexocanela-pé para estudo analítico de controladores para a perna de um paciente paraplégico é:

G(s) =42500

0, 3443s3 + 0, 6188s2 + 7, 842s+ 7, 962. (2.15)

2.2. Critérios de Desempenho para Resposta de Sistema de Controle em Malha Fechada 13

2.2 Critérios de Desempenho para Resposta de Sistema deControle em Malha Fechada

Na Figura 2, é mostrado um sistema de controle em malha fechada (Ogata, 2010; Dorf eBishop, 2009), no qual:

• G(s) é a função de transferência da planta;

• Gc(s) é a função de transferência do controlador;

• U(s) é a entrada degrau do sistema;

• Y(s) é a saída do sistema;

• E(s) é o erro;

• H(s) corresponde à realimentação.

Figura 2 – Diagrama de blocos de um sistema de Controle em Malha Fechada (OGATA, 2010).

A Função de Transferência de Malha Fechada (FTMF) do sistema da Figura 2 é calculadapor meio das equações:

E(s) = U(s)−B(s), (2.16)

B(s) = H(s) · Y (s), (2.17)

Y (s) = E(s) ·GC(s) ·G(s). (2.18)

Assim, a função de transferência do sistema é:

Y (s)

U(s)=

GC(s) ·G(s)

1 +H(s) ·GC(s) ·G(s). (2.19)

Para um sistema genérico de 2a ordem sem nenhum zero, como descrito em (2.20),os índices de desempenho são definidos em termos do coeficiente de amortecimento (δ) e da


frequência natural não-amortecida (ωn) (Ogata, 2010).

Y (s)

U(s)=

ω2n

s2 + 2δωn · s+ ω2n

. (2.20)

A Figura 3 representa uma resposta transitória quando aplicado uma excitação degrauunitário no sistema de malha fechada descrito em (2.20).

Figura 3 – Índices de Desempenho (OGATA, 2010).

Os índices de desempenho de uma resposta ao degrau unitário são indicativos de exatidãodo sistema projetado. Geralmente, o projetista define máximos valores, no domínio do tempo,para os índices de desempenho que garantirão a aplicabilidade do sistema a ser desenvolvido.

Os índices de desempenho não são fixos e devem ser avaliados para cada sistema a serprojetado dependendo da resposta que se espera atingir e de sua aplicação. Estes índices sãoavaliados através da resposta transitória do sistema a uma excitação degrau unitário, pois seconsidera este sinal mais fácil de ser gerado, o qual corresponde a uma solicitação suficientementesevera (conhecendo-se a resposta a uma excitação degrau, é matematicamente possível computara resposta para qualquer outro tipo de sinal) (OGATA, 2010).

De acordo com a Figura 3, em (OGATA, 2010) são definidos os seguintes índices dedesempenho:

• Tempo de atraso (td) como sendo o tempo necessário para que a resposta alcance, pelaprimeira vez, a metade do valor final;

• Tempo de subida (tr) como sendo o tempo necessário para que a resposta passe de 10% a90%;

tr =π − β

ωn ·√

1− δ2(2.21)

onde:

2.2. Critérios de Desempenho para Resposta de Sistema de Controle em Malha Fechada 15

– β é ângulo definido na Figura 4;

– ωn é a frequência natural não-amortecida;

– δ é o coeficiente de amortecimento.

Figura 4 – Definição do ângulo β (OGATA, 2010).

sendo s = −δωn±jωn√

1− δ2 os polos de malha fechada do sistema identificados atravésdo coeficiente de amortecimento (δ) e da frequência natural não-amortecida(ωn).

• Instante de pico (tp) como sendo o tempo necessário para que a resposta alcance o primeiropico de ultrapassagem;

tp =π

ωn√

1− δ2(2.22)

• Máxima ultrapassagem (Mp) como o máximo valor de pico da curva de resposta medido apartir do valor unitário. Geralmente, é indicado na diferença percentual entre o maior valore o valor unitária, desta forma é conhecido por Potencial de Overshoot (PO);

Mp = e

(− δπ√

1−δ2

)(2.23)

• Tempo de estabilização (te) como o tempo necessário para que a curva de resposta alcancevalores dentro de uma faixa e aí permaneça. O intervalo de valores no interior da faixa éespecificado por uma porcentagem absoluta do valor final. Geralmente, determina-se umaporcentagem absoluta de 1 à 2% para uma maior precisão dos resultados, mas este valor édeterminado a partir dos objetivos do projeto. A fórmula do tempo de estabilização comcritério de 2% é:

te =4

δωn(2.24)


2.2.1 Dominância dos Polos

A dominância de polos de malha fechada é determinada pela relação entre as partesreais com os resíduos calculados através dos polos e zeros de malha fechada. Os polos demalha fechada mais importantes são os polos dominantes, os quais influenciam diretamente nocomportamento transitório da resposta do sistema (INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISASESPACIAIS, 2014).

Se a relação das partes reais dos polos forem maiores do que cinco vezes e não houverzeros nas proximidades, então os polos de malha fechada mais próximos do eixo jω serãodominantes no comportamento da resposta transitória. Se o sistema de malha fechada não tempolos complexos conjugados, então a resposta transitória é não oscilatória. Se algum polo estiverlocalizado no semiplano direito do plano complexo estes são considerados os polos dominantese fazem com que a resposta oscilatória aumente monotonicamente caracterizando um sistemainstável (OGATA, 2010).

Assim, para garantir uma resposta transitória rápida e amortecida é necessário ajustaros polos de malha fechada do sistema de modo que se localizem dentro da região definidapelos índices de desempenho para que também se possam atingir os resultados esperados para aresposta do sistema.

Em sistemas de ordem elevada caso haja dois polos dominando todos os outros é possívelaproximar este sistema para um de segunda ordem. Neste caso, pode-se projetar controladoresatravés de índices de desempenho, pois estes só se aplicam a sistemas de segunda ordem ousistemas que possam ser aproximados para tal.

2.3 Controle PID

É interessante assinalar que mais da metade dos controladores em uso nos dias atuaisutiliza estratégia de controle Proporcional – Integral – Derivativa (PID) ou PID modificada(OGATA, 2010; KOZAN, 2012). A metodologia de controle PID tem sua popularidade naindústria devido a seu desempenho robusto, simplicidade de projeto, por permitir a especificaçãode mais de um índice de desempenho como parâmetro de projeto e por ter uma metodologiabastante difundida a qual já foi provada sua aplicabilidade à maioria dos sistemas de controle,tais como: sistemas hidráulicos, pneumáticos, elétricos e eletrônicos.

O Controlador PID é uma técnica que une as ações proporcional (P), integral (I) ederivativa (D) combinando as vantagens de cada metodologia de compensação para obter umaresposta aceitável para o sistema a ser controlado.

A ação de controle proporcional (P) determina a taxa de resposta de saída para o sinal deerro. Em geral, quando se aumenta o ganho proporcional, aumenta-se a velocidade da respostado sistema (OGATA, 2010).

2.3. Controle PID 17

A relação entre o sinal de saída do controlador u(t) e o sinal de erro atuante e(t) é:

u(t) = Kpe(t). (2.25)

Aplicando a transformada de Laplace em (2.25), tem-se:

U(s)

E(s)= Kp, (2.26)

onde Kp é denominado ganho proporcional.

A ação de controle integral (I) avalia o erro ao longo do tempo, com objetivo de redu-zir/eliminar o erro estacionário, mesmo quando este é pequeno (OGATA, 2010). A relação entreo sinal de saída do controlador u(t) é uma variação a uma taxa proporcional ao sinal de erroatuante e(t), assim:

du(t)

dt= Kie(t), (2.27)

ou, integrando em ambos os lados de (2.27), tem-se:

u(t) = Ki

∫ t

0

e(t)dt. (2.28)


U(s)

E(s)=Ki

s, (2.29)

onde Ki é denominado ganho integral.

A ação de controle derivativa (D) tende a diminuir a saída se a variável a ser controladaaumenta rapidamente. Aumentar este parâmetro faz com que o sistema reaja bruscamente amudanças do erro, aumentando a velocidade global do sistema (OGATA, 2010). Assim, estaação tem o objetivo de aumentar o amortecimento do sistema e melhorar a estabilidade.

A relação entre o sinal de saída do controlador u(t) é uma variação do sinal de erroatuante e(t) é:

u(t) = Kdde(t)

dt. (2.30)


U(s)

E(s)= Kds, (2.31)

onde Kd é denominado ganho derivativo.

A adequação da ação de controle proporcional, ação de controle integral e ação decontrole derivativa em uma mesma metodologia é conhecida como Controle PID, o qual combinaas vantagens de cada uma das três ações de controle. A função de transferência do controladorPID é:

u(t) = Kpe(t) +Ki

∫ t

0

e(t)dt+Kdde(t)

dt. (2.32)



U(s)

E(s)= KP +

Ki

s+Kds, (2.33)

ou,

G(s) =U(s)

E(s)=Kds

2 +Kps+Ki

s(2.34)

Existem inúmeras metodologias para o projeto de um controlador PID. Neste trabalhosão apresentadas as seguintes metodologias de sintonia de controlador PID:

• Controle PID pelo Método de Projeto Dividido;

• Controle PID pelo segundo Método de Ziegler-Nichols;

• Controle PID com filtro derivativo (PIDF) com auxílio do toolbox (PID Tuner) doMatlab R©.

2.3.1 Método de Projeto Dividido de Controlador PID

Esta metodologia consiste em projetar, separadamente, um controlador proporcional-derivativo (PD) e um controlador proporcional-integral (PI) e depois multiplicar as funções detransferência de ambos os controladores, PI e PD, para formar o controlador PID (MAYA eLEONARDI, 2011). Desta forma, pode-se verificar separadamente a possibilidade de usar umcontrolador menos complexo (PI ou PD) em relação ao PID que satisfaça o projeto.

Partindo-se da equação (2.34), se Kd = 0, tem-se o controlador PI (2.35). O compensadorPI tem influência somente das ações proporcional e integral.

G(s) =Kp

(s+ Ki

Kp

)s

. (2.35)

Controladores PI podem ser usados para melhorar a resposta do sistema de controle emregime permanente. Dependendo da técnica utilizada, isto pode ser feito sem grandes alteraçõesna resposta transitória, apenas aumentando a precisão da mesma.

De forma semelhante, se em (2.34) Ki = 0, tem-se o controlador PD (2.36). O compensa-dor PD tem influência somente das ações proporcional e derivativa.

G(s) = Kd

(s+

Kp

Kd

). (2.36)

Os controladores PD atuam essencialmente sobre a resposta transitória do sistema. Emgeral, esse controlador tende a diminuir o sobressinal e o tempo de estabilização, tornando osistema mais rápido.


Para o projeto de controladores PID, primeiramente, deve-se determinar os polos demalha fechada desejados com base nos índices de desempenho estipulados para o projeto. Ospolos desejados (s1,2) são definidos a partir das equações do potencial de overshoot (2.23) e dotempo de estabilização (critério de 2%) (2.24):

δωn ≥4

te(2.37)

δ ≥

√√√√ (lnPOπ

)21 +

(lnPOπ

)2 (2.38)

ωd = ωn√

(1− δ2) (2.39)

s1,2 = −δωn ± jωn√

(1− δ2) (2.40)

onde:

• te é o tempo de estabilização (critério de 2%);

• PO é o potencial de overshoot;

• δ é a coeficiente de amortecimento;

• ωn é a frequência natural não amortecida;

• ωd é a frequência de oscilação do transitório;

Projeto do controlador PI:

• Etapa 1: alocar o zero do compensador próximo à origem de forma a produzir poucavariação nos polos de malha fechada.

• Etapa 2: calcular o ganho K (ganho total do sistema) através da condição de módulo(2.41), sendo s um dos polos desejados.

K =1

|Gs(s) ·G(s)|(2.41)

• Etapa 3: simular os resultados. Caso o sistema não atinja o desempenho desejado, pode-sevariar o ganho do sistema para obter uma resposta mais eficiente.

Projeto do controlador PD:

• Etapa 1: identificar os polos dominantes desejados de malha fechada (2.40).


• Etapa 2: analisar as contribuições de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta paraidentificar a contribuição do ângulo do zero do controlador (θo) pela equação (2.42) emrelação aos polos desejados (2.40), conforme definido pela Figura 5.

−θo +n∑i=1

θi = 180 (2.42)

onde, θi é o ângulo dos polos e zeros da planta em relação aos polos desejados de malhafechada do sistema, com i sendo a quantidade total de polos mais zeros da planta;

Figura 5 – (a) e (b) Exemplos de disposição de ângulos em relação aos polos desejados (OGATA,2010).

• Etapa 3: calcular a posição do zero do controlador (2.43).

Zc =−ωdtanθo

− δωn (2.43)

• Etapa 4: calcular o ganho K (ganho total do sistema) através da condição de módulo(2.41) com s = s1 (2.40).


Projeto do controlador PID:

• Etapa 1: projetar o controlador PI, sem calcular o ganho K (ganho total do sistema).

• Etapa 2: projetar o controlador PD, sem calcular o ganho K (ganho total do sistema).


• Etapa 3: multiplicar as plantas dos controladores PI e PD, de acordo com (2.44).

Gc(s) = Kd ·Kp ·(s+

Kp

Kd

)·

(s+ Ki

Kp

)s

(2.44)

• Etapa 4: calcular o ganho K (ganho total do sistema) através da condição de módulo(2.41) com s = s1 (2.40).


2.3.2 Controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols

As regras de Ziegler-Nichols têm sido usadas largamente para sintonizar controladoresPID em casos em que não se conhece precisamente a dinâmica do processo em estudo (OGATA,2010; DORF e BISHOP, 2009). Ziegler e Nichols propuseram regras para a sintonia de con-troladores PID baseadas na resposta experimental a uma excitação degrau unitário ou no valorde Kp que resulta em estabilidade marginal quando se utiliza unicamente a ação de controleproporcional (OGATA, 2010). A função de transferência do controlador PID proposto por Zieglere Nichols é:

G(s) = Kp

(1 +

1

Tis+ Tds

). (2.45)

Para determinação dos valores de ganho proporcional Kp, do tempo de integral Ti edo tempo derivativo Td, Ziegler e Nichols propuseram regras baseadas nas características daresposta transitória de um determinado processo.

Primeiro método de sintonia de Ziegler-Nichols:

A sintonia de controladores PID pelo primeiro método de Ziegler-Nichols é bastanteutilizada para o estudo de funções de transferência que não possuem integradores (1/s) nem polosdominantes complexos. Consiste em aplicar um sinal degrau no sistema em malha aberta paraobter a curva de resposta do processo. A Figura 6 mostra uma resposta típica de um processopossível de ser controlado pelo primeiro método de Ziegler-Nichlos.

Através dos parâmetros gráficos obtidos quando traçado uma reta tangente à curva deresposta no seu ponto de inflexão, ou seja, o ponto em que a taxa de variação da resposta émáxima, conforme mostrado na Figura 6, pode-se ajustar os parâmetros Kp, Td e Ti de acordocom as equações mostradas na Tabela 2.


Figura 6 – Resposta as degrau em formato de ‘S’ (OGATA, 2010) .

Tabela 2 – Regras de sintonia do primeiro método de Ziegler-Nichols (OGATA, 2010).

Tipo do Controlador Kp Ti TdP τ

L∞ 0

PI 0, 9 · τL

L0,3

0PID 1, 2 · τ

L2· L 0,5· L

Segundo as regras de sintonia apresentadas na Tabela 2, observa-se que o controladorPID projetado pelo primeiro método de Ziegler-Nichols pode ser reescrito por:

Gc(s) = KP

(1 +

1

Tis+ Tds

)(2.46)

Gc(s) =1, 2 · τL·(

1 +1

2Ls+ 0, 5Ls

)(2.47)

Gc(s) =0, 6 · τL2

· (Ls+ 1)2

s. (2.48)

Segundo método de sintonia de Ziegler-Nichols:

A sintonia de controladores PID pelo segundo método de Ziegler-Nichols consiste em,partindo de Kp = 0, aumentar o valor do ganho proporcional até que o sistema oscile de formacontínua. O valor Kp que faz com que o sistema entre em oscilação é chamado de ganho críticoKcr. O período de oscilação é definido como período crítico Pcr.

A Figura 7 ilustra a resposta de um sistema em malha fechada em oscilação.

Encontrados os valores de Kcr e Pcr é possível ajustar os parâmetros Kp, Td e Ti deacordo com as equações mostradas na Tabela 3.

Segundo as regras de sintonia apresentadas na Tabela 3, observa-se que o controlador


Figura 7 – Resposta de um sistema em malha fechada em oscilação (OGATA, 2010).

Tabela 3 – Regras de sintonia de Ziegler-Nichols baseada no ganho crítico e no período crítico(OGATA, 2010)

Tipo do Controlador Kp Ti TdP 0, 5 ·Kcr ∞ 0PI 0, 45 ·Kcr

11,2· Pcr 0

PID 0, 6 ·Kcr 0, 5 · Pcr 0, 125 · Pcr

PID projetado pelo segundo método de Ziegler-Nichols pode ser reescrito por:

Gc(s) = KP

(1 +

1

Tis+ Tds

)(2.49)

Gc(s) = 0, 6 ·Kcr ·(

1 +1

0, 5 · Pcrs+ 0, 125 · Pcrs

)(2.50)

Gc(s) = 0, 0075 ·Kcr · Pcr ·

(s+ 4

Pcr

)2s

. (2.51)

Quando a função de transferência do processo a se controlar é conhecida, pode-se cal-cular a resposta ao degrau unitário, ou os valores do ganho crítico Kcr através do critério deestabilidade de Routh-Hurwitz e do período crítico Pcr.

Projeto do Controlador PID com base no segundo Método de Ziegler-Nichols quandoconhecida a planta do sistema a ser controlado:

O Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz visa analisar a estabilidade do sistema decontrole (Ogata, 2010).

Suponha que a função de transferência de um sistema é da forma:

G(s) =b0s

m + b1sm−1 + · · ·+ bm−1s+ bm

a0sn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s+ an, sendo a0 > 0, (2.52)

• Etapa 1: Se qualquer um dos coeficientes do denominador (ai) de (2.52) for negativo,existe ao menos uma raiz da equação característica que tem parte real positiva e o sistemacorrespondente é instável. Do contrário nada se pode concluir e deve seguir ao próximopasso.


• Etapa 2: Montar a tabela de Routh conforme descrito a seguir:

Linha 1 a0 a2 a4 · · ·2 a1 a3 a5 · · ·3 A1 A2 A3 · · ·4 B1 B2 B3 · · ·5 C1 C2 C3 · · ·... · · · · · · · · · · · ·

n+1 W1 W2 · · · · · ·

onde:

A1 =a1a2 − a0a3

a1(2.53)

A2 =a1a4 − a0a5

a1(2.54)

A3 =a1a6 − a0a7

a1... (2.55)

B1 =A1a3 − a1A2

A1

(2.56)

B2 =A1a5 − a1A3

A1

... (2.57)

C1 =B1A2 − A1B2

B1

(2.58)

C2 =B1A3 − A1B3

B1

... (2.59)

• Etapa 3: Examinar todos os elementos da primeira coluna da tabela de Routh e se casoalgum dos elementos for negativo, temos raízes à direita do eixo imaginário e o sistema éinstável.

O sistema é estável se todos os elementos na primeira coluna da matriz de Routh forempositivos. Desta forma, é possível verificar os valores que tornam o sistema estável. O ganhocrítico Kcr é definido como o valor a tornar o sistema instável, neste caso, o valor que zere umelemento da primeira coluna da matriz de Routh.

Para calcular o período crítico quando conhecida a função de transferência do sistemadeve-se:

• Etapa 1: na equação característica de malha fechada (D(s)) do sistema (2.60), ajustar oganho proporcional com o valor do ganho crítico (Kp = Kcr).

D(s) = 1 +Kcr ·Gc(s) ·H(s) (2.60)


• Etapa 2: determinar a frequência da oscilação mantida (ω), substituindo s = jω naequação característica (2.60).

1 +Kcr ·Gc(jω) ·H(jω) = 0 (2.61)

• Etapa 3: calcular o período crítico (2.62).

Pcr =2π

ω(2.62)

Encontrados os valores de Kcr e Pcr, substituir os valores na equação (2.51) para encon-trar a função de transferência do controlador PID baseado no segundo método de Ziegler-Nichols.

2.3.3 Projeto de Controlador pelo PID Tuner do Matlab R©

A ferramenta computacional Matlab R© dispõe de uma ferramenta de edição, o PIDTuner (THE MATH WORKS, 2014), para projeto de controladores em malha fechada. Com ocomando pidtool, pode-se acessar esta ferramenta, conforme mostrado pela Figura 8, e projetar ocontrolador desejado dentro dos índices de desempenho estabelecidos, bastando apenas fornecera função de transferência da planta a ser controlada.

Figura 8 – Tela inicial do PID Tuner (Matlab R©).

A ferramenta PID Tuner trabalha com os seguintes tipos de controladores:

• P - Proporcional;

• PI - Proporcional - Integral;

• PD - Proporcional - Derivativo;


• PID - Proporcional - Integral - Derivativo;

• PDF - Proporcional - Derivativo com filtro;

• PIDF - Proporcional - Integral - Derivativo com filtro.

A função de transferência do controlador PID com filtro derivativo (PIDF) é:

Gc(s) = Kp +Ki

s+

Kds

Tfs+ 1(2.63)

sendo:

• Kp é o ganho proporcional;

• Ki é o ganho integral;

• Kd é o ganho derivativo;

• Tf é a constante de tempo do filtro.

A utilização de um filtro na parcela derivativa do controlador PID (PIDF) é desejávelpara um sistema com elevado nível de ruído. A grande maioria dos ruídos encontra-se emfrequências elevadas, justamente onde o ganho da parcela derivativa tende a infinito, podendocausar instabilidade no sistema. A adição do filtro na ação derivativa tem a função de reduzir oefeito do ruído, melhorando a resposta do sistema.

Projeto do Controlador PIDF com o PID Tuner:

• Etapa 1: definir a planta de estudo e importar seus dados para a ferramenta PID Tuneratravés do menu import.

• Etapa 2: escolher o controlador a ser utilizado, neste caso, escolher o PIDF.

• Etapa 3: variar a barra de tempo de resposta (Response time) até obter uma respostaaceitável para o sistema a ser controlado.

• Etapa 4: Verificar através da caixa de texto Performance and Robustness os índices dedesempenho (settling time e overshoot) para constatar a eficácia do projeto do controlador.

• Etapa 5: exportar os dados do controlador projetado pelo PID Tuner para área de trabalhodo Matlab R© para simulação dos resultados.

2.4. Controlador PIDA 27

2.4 Controlador PIDA

Projetos de controladores PID para plantas de terceira ordem, como a da perna dopaciente paraplégico descrita em (2.15), geralmente, são complicados, pois a ordem da planta émaior que o número de zeros providos pelo controlador o que dificulta o seu desenvolvimento.Devido à larga utilização do controlador PID em indústrias, propõe-se, em seu lugar, a utilizaçãodo Controlador Proporcional-Integral-Derivativo-Acelerativo (PIDA), proposto por Jung e Dorf(1996), quando necessário projetar controladores para plantas de terceira ordem.

Como exemplo, na Figura 2, G(s) é uma planta de terceira ordem e Gc(s) é o controladorPIDA dado por (2.65).

Gc(s) = Kp +Ki

s+

Kds

(s+ d)+

kas2

(s+ d)(s+ e)(2.64)

Gc(s) =k(s+ a)(s+ b)(s+ z)

s(s+ d)(s+ e)(2.65)

O Controlador PIDA consiste em três zeros e três polos onde dois desses polos podemser suprimidos do sistema, pois admite-se que a, b e z são muito maiores que d e e. Assim, ospolos d e e podem ser considerados desprezíveis. A introdução desse zero a mais tem finalidadede alterar o root locus da planta de terceira ordem para regiões onde se torna mais fácil o projetodo controlador para a planta em estudo (JUNG e DORF, 1996). Assim, a planta do controladorPIDA torna-se:

Gc(s) =k(s+ a)(s+ b)(s+ z)

s. (2.66)

Projeto do controlador PIDA:

• Etapa 1: Determinar δωn a partir da equação do tempo de estabelecimento (te) (2.37) e ocoeficiente de amortecimento δ a partir da equação do potencial de overshoot (PO) (2.38).

• Etapa 2: A equação característica de malha fechada desejada do sistema (∆(s)) comcontrolador PIDA é:

∆(s) = (s+ r)(s+R)(s+ q)(s+ q) = 0, (2.67)

onde:

q = −δωn + jωn√

(1− δ2), (2.68)

q = −δωn − jωn√

(1− δ2), (2.69)

R ≤ −δωn, (2.70)

r << −δωn. (2.71)


• Etapa 3: Encontrar a equação característica analítica do sistema a ser controlado, utili-zando para o controlador (Gc (s)) a função de transferência dada em (2.66). Igualar osresultados obtidos nas etapas dois e três.

• Etapa 4: Através de resolução de sistemas de equações lineares encontrar os valores parak,a,b,z.

• Etapa 5: Simular a resposta do sistema com o controlador obtido para uma entrada degraue verificar os índices de desempenho.

• Etapa 6: Caso os índices de desempenho não tenham sido atingidos, pode-se alteraro ganho total do sistema K ou alterar o valor do polo r até que se atinja um resultadoaceitável.

2.5 Controle Moderno

No mundo tecnológico que vivemos hoje, a tendência atual dos sistemas tanto na enge-nharia quanto em todas as outras áreas da ciência é no sentido de aumentar sua complexidadeem função, principalmente, da necessidade de realizar tarefas complexas e com requisitos deboa precisão. Sistemas complexos podem ter múltiplas entradas e múltiplas saídas e podemser variantes no tempo (OGATA, 2010). A necessidade de satisfazer requisitos cada vez maisrigorosos quanto ao desempenho de sistemas de controle e o aumento da complexidade dessessistemas ajudou no desenvolvimento da teoria de controle moderno.

A teoria de controle moderno (OGATA, 2010; DORF e BISHOP, 2009) contrasta com ateoria de controle clássica no sentido de que a primeira é aplicável a sistemas com entradas esaídas múltiplas, lineares ou não-lineares, variantes ou invariantes no tempo enquanto a ultima éaplicável apenas a sistemas de uma única entrada e uma única saída, linear e invariante no tempo.

2.5.1 Sistema de Controle no Espaço de Estados

Uma representação em espaço de estados, na engenharia de controle, é um modelomatemático de um sistema físico composto de variáveis de entrada, variáveis de saída e devariáveis de estado relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem. Arepresentação por espaço de estados fornece uma maneira prática e compacta para modelar eanalisar no domínio do tempo sistemas com múltiplas entradas e saídas (COVACIC et. al, 2010;COVACIC E GAINO, 2014).

O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valor de variáveis de estado(x1, x2, x3 · · ·xn) de modo que conhecendo estes valores em t = t0 e também os valores do sinalde entrada para t ≥ t0, pode-se determinar completamente o comportamento do sistema emqualquer instante t ≥ t0 (Ogata, 2010).

2.5. Controle Moderno 29

Representação de um Sistema no Espaço de Estados

Suponha que um sistema possua n variáveis de estado, m entradas e p saídas. Destaforma, o sistema pode ser descrito por um conjunto de equações de primeira ordem conformedescrito por (2.72) e (2.73) (OGATA, 2010).

x1(t) = a11 · x1(t) + a12 · x2(t) · · ·+ a1n · xn(t) + b11 · u1(t) + b12 · u2(t) + b1m · um(t)

x2(t) = a21 · x1(t) + a22 · x2(t) · · ·+ a2n · xn(t) + b21 · u1(t) + b22 · u2(t) + b2m · um(t)

xn(t) = an1 · x1(t) + an2 · x2(t) · · ·+ ann · xn(t) + bn1 · u1(t) + bn2 · u2(t) + bnm · um(t)(2.72)

y1(t) = c11 · x1(t) + c12 · x2(t) · · ·+ c1n · xn(t) + d11 · u1(t) + d12 · u2(t) + d1m · um(t)

y2(t) = c21 · x1(t) + c22 · x2(t) · · ·+ c2n · xn(t) + d21 · u1(t) + d22 · u2(t) + d2m · um(t)

yp(t) = cp1 · x1(t) + cp2 · x2(t) · · ·+ cpn · xn(t) + dp1 · u1(t) + dp2 · u2(t) + dpm · um(t)(2.73)

É possível escrever as equações (2.72) e (2.73) em forma matricial conforme mostradoem (2.74) e (2.75). Em (2.76) é descrito a forma compacta desta representação.

x1(t)

...xn(t)

=

a11 · · · a1n

... . . . ...an1 · · · ann

·x1(t)

...xn(t)

+

b11 · · · b1m... . . . ...bn1 · · · bnm

·u1(t)

...um(t)

, (2.74)

y1(t)

...yp(t)

=

c11 · · · c1n... . . . ...cp1 · · · cpn

·x1(t)

...xn(t)

+

d11 · · · d1m

... . . . ...dp1 · · · dpm

·u1(t)

...um(t)

, (2.75)

{x(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t), (2.76)

onde:

• x(t) é um vetor de estados;

• u(t) é o sinal de controle;

• A é a matriz característica;

• B é a matriz de entrada;

• C é a matriz de saída;

• D é a matriz de transmissão.


Caso o sistema em estudo esteja na forma de função de transferência, ou seja, no domínioda frequência é possível através da transformada inversa de Laplace encontrar o sistema nodomínio do tempo para poder, da forma apresentada anteriormente, representar este sistema emespaço de estados (2.76). Outra forma seria utilizar as formas canônicas (OGATA, 2010).

2.5.2 Controle por Alocação de Polos

O controle por alocação de pólos, consiste em realimentar todos os estados x(t) de formaa gerar um sinal de entrada u(t) que produza o sinal de saída y(t) desejado. Esta metodologia decontrole moderno só tem aplicabilidade se e somente se o sistema considerado for completamentecontrolável, desta forma, os pólos do sistema a malha fechada podem ser alocados em quaisquerposições desejadas por meio de retroação de estados através de uma matriz de ganho de retroaçãode estado adequada (OGATA, 2010).

Controlabilidade: Um sistema é dito controlável no instante t0 se for possível, por meiode um vetor de controle, transferir o sistema de qualquer estado inicial x(t0) para qualquer outroestado num intervalo de tempo finito.

A controlabilidade de um sistema dinâmico x(t) = Ax(t) + Bu(t), sendo x E <n

e u E <m, é verificado se e somente se as linhas da matriz de controlabilidade (Ct), Ct =

[B AB A2BA(n−1)B], forem linearmente independentes, ou seja, Posto (Ct) = n.

Para sistemas com uma única entrada, Ct é uma matriz quadrada. Neste caso, o sistema écontrolável se e somente se |Ct| = |B AB A2B A(n−1)B| 6= 0. O determinante só existirá sehouver uma única entrada.

Projeto de controladores por alocação de polos:

Suponha que o sistema dinâmico seja definido por (2.77) e que o sinal de controle sejadado por (2.78).

x = Ax+Bu (2.77)

u = −Kx (2.78)

O projeto consiste em encontrar uma matriz de ganho de retroação K que force os valoresde A − BK a serem os valores dos polos de malha fechada que atenda os requisitos de projeto(tempo de estabilização e máximo potencial de ultrapassagem). Assim, as etapas de projeto são:

• Etapa 1: Encontrar a representação do sistema em estudo na forma de espaço de estado(2.76).

• Etapa 2: Testar a condição de controlabilidade do sistema. Se o sistema for controlávelpassar para etapa seguinte.


• Etapa 3: Definir os polos de malha fechada desejados (µ1, µ2, µ3, · · · , µn) segundo oscritérios de desempenho para o projeto.

• Etapa 4: Identificar a função característica desejada (2.79) através dos polos estipuladosna Etapa 3.

αc(s) =n∏i=1

(s− µi) (2.79)

• Etapa 5: Igualar as equação característica do sistema realimentado com a equação carac-terística desejada (2.79) para encontrar a matriz de ganho de retroação K (2.82).

|sI-A+BK| = αc(s) (2.80)

∣∣∣∣∣∣∣∣s ·

1 · · · 0... . . . ...0 · · · 1

−a11 · · · a1n

... . . . ...an1 · · · ann

+

b11 · · · b1m... . . . ...bn1 · · · bnm

· |k1 k2 k3 · · · kn|

∣∣∣∣∣∣∣∣ = αc(s)

(2.81)

K = |k1 k2 k3 · · · kn| (2.82)

• Etapa 6: Definir as condições iniciais das variáveis de estado e simular o sistema.

2.5.3 Controle Ótimo Quadrático

O Controle Ótimo Quadrático, conhecido por Controle LQR, apresenta a vantagem deque o sistema a ser projetado sempre será estável exceto no caso em que o sistema não sejacontrolável (OGATA, 2010; OLIVEIRA, 2013).

O problema do regulador ótimo é encontrar o vetor u(t) que realize a transferência deum estado para outra região do espaço de estado desejada. O desempenho pode ser formuladobaseado em índices de desempenho no domínio do tempo (ROSA FILHO, 2011).

Considere um sistema de controle definido por:

x = Ax+Bu, (2.83)

sendo:

• x é um vetor de estado;

• u é um vetor de controle;

• A é uma matriz constante;


• B é uma matriz constante.

O sinal de controle é definido de modo que u seja uma função das variáveis de estado x,desta forma:

u(t) = −Kx(t). (2.84)

O projeto do sistema de controle ótimo consiste em escolher um vetor de controle u(t) demodo que um dado índice de desempenho J possa ser minimizado.

J =

∫ ∞0

(xTQx + uTRu)dt, (2.85)

onde:

• Q é uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica;

• R é uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica.

As matrizes Q e R determinam o consumo de energia dos sinais de controle, desta forma,Q e R definem o peso relativo que o estado e o sinal do controle têm no cálculo do critério J(ROSA FILHO, 2011).

Para encontrar a otimização desejada é necessário substituir a equação (2.84) na (2.83)obtendo:

x = Ax + B(−Kx) = (A− BK)x. (2.86)

Considerando que a matriz A-BK seja estável, substituindo (2.84) em (2.85) tem-se:

J =

∫ ∞0

xTx(Q + KTRK)dt. (2.87)

Para obter o valor mínimo de J assume-se a existência de uma equação diferencial exatatal que:

xTx(Q + KTRK) = −d(xTPx)

dt, (2.88)

onde, P é uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica a ser determinada.

Da equação (2.88) temos:

(Q + KTRK) = −[(A-BK)TP + P(A-BK)]. (2.89)

Se A-BK for uma matriz estável, então existirá uma matriz definida positiva P quesatisfaça à equação (2.89).

Assim, deve-se determinar os elementos da matriz P a partir da equação (2.89) e verificarse esta é definida e positiva. Como o sistema é estável sempre existirá uma matriz P positiva quesatisfaça a equação (2.89).


Sendo assim, se resolvermos a equação (2.89) e encontrarmos uma matriz positiva P, osistema será estável.

Para obter a solução do problema de controle ótimo quadrático, supõe-se agora que Rseja uma matriz hermitiana definida positiva ou real simétrica, onde:

R = TTT, (2.90)

onde, T é uma matriz não singular. Então a equação (2.89) pode ser escrita como:

ATP + PA + [TK− [(TT )−1BTP]T [TK− (TT )−1BTP]− PBR−1P + Q = 0. (2.91)

Para J ser minimizado em relação a K deve-se minimizar a expressão [TK− [(TT )−1BT

P]T [TK− (TT )−1BTP], em relação a K. O mínimo ocorre quando ela é zero ou quando:

TK = (TT )−1BTP. (2.92)

Isolando K em (2.92), tem-se:

K = T−1(TT )−1BTP (2.93)

K = (TTT )−1BTP (2.94)

K = R−1BTP. (2.95)

A expressão (2.95) fornece a matriz ótima K. Assim, o sinal de controle é dado por:

u(t) = −Kx(t) (2.96)

u(t) = R−1BTPx(t). (2.97)

A matriz P deve satisfazer a seguinte equação:

ATP + PA− PBR−1P + Q = 0. (2.98)

A equação (2.98) é a equação reduzida de Riccati.

Projeto de controlador ótimo quadrático:

• Etapa 1: Resolver a equação (2.98) para encontrar a matriz P. Pela ferramenta computa-cional Matlab R© pode-se, através do comando P = lqr(A,B,Q,R), determinar a matriz Púnica solução definida positiva para a equação reduzida de Ricatti (2.98).

• Etapa 2: Substituir a matriz P na equação (2.95) para determinar a matriz ótima K.

• Etapa 3: Simular o sistema.


2.6 Metodologia

Exibido a revisão de literatura utilizada neste trabalho, no capítulo três é mostrado odesenvolvimento do projeto dos controladores para a planta da perna do paciente paraplégico(2.15) em malha fechada utilizando as metodologias anteriormente apresentadas.

Parte III

Desenvolvimento

37

3 Resultados

Sendo o interesse deste trabalho confrontar diferentes metodologias de controle aplicadosao mesmo objeto de estudo (planta da perna do paciente paraplégico (2.15)), para tal, sãoestipulados os mesmos índices de desempenho para todas as metodologias com o intuito depoder avaliá-las dentro de uma mesma base de comparação.

Desta forma, são definidos os seguintes critérios de avaliação de desempenho para asrespostas dos sistemas controlados:

• te≤1s (critério de 2%);

• PO≤5%.

Para o projeto dos controladores para a planta da perna de um paciente paraplégico (2.15),através dos índices de desempenho estipulados, têm-se os polos de malha fechado desejados(3.1) para projeto dos sistemas de controle.

s1,2 = −4± j4, 1947 (3.1)

No caso da metodologia de controle ótimo quadrático, os índices de desempenho con-siderados para esse tipo de projeto são hermitianos, e, portanto, diferentes dos consideradosnas outras metodologias apresentadas neste trabalho. Porém, pode-se comparar as respostas dossistemas controlados através do desempenho das respostas obtidas.

Estes índices de desempenho foram definidos devido o projeto ser de risco elevado equalquer perturbação maior que o permitido pode causar danos irreparáveis ao paciente. O usodo software Matlab R© permite simulação dos algoritmos de controle para observar através daresposta temporal a eficiência do sistema projetado.

Para cada metodologia é mostrado o desenvolvimento analítico para o projeto do contro-lador, bem como a resposta obtida para o sistema controlado.

3.1 Projeto do Controlador PID pelo Método de Projeto Di-vidido

Para o projeto do controlador PD, após definidos os polos de malha fechada desejados épreciso analisar a contribuição de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta em estudo emrelação aos polos desejados (3.1), conforme se mostra na Tabela 4.

38 Capítulo 3. Resultados

Na Figura 9 pode-se ver a disposição dos polos da planta em relação aos polos de malhafechada desejados.

Figura 9 – Disposição dos polos da planta em relação aos polos de malha fechada desejados noplano complexo (Fonte: próprio autor).

Tabela 4 – Contribuição de ângulo e módulo dos polos e zeros da planta do paciente paraplégicoem relação aos polos de malha fechada desejados.

Polo Contribuição de ângulo Contribuição de módulo-0,3729+j4,675 θ1=187,542 P1=3,65875-0,3729-j4,675 θ2=112,241 P2=9,583

-1,0515 θ3=125,1 P3=5,1274

Através dos dados apresentados na Tabela 4, pode-se calcular a contribuição do ângulodo zero do controlador θ0 pela equação (2.42).

A contribuição total dos ângulos dos polos e zeros da planta é:

3∑i=1

θi = 424, 88o. (3.2)

Assim, através da equação (2.42) o ângulo do zero do controlador é:

θ0 = 244, 88o. (3.3)

Com o resultado obtido em (3.3) pode-se calcular a posição adequada do zero docontrolador através de (2.43). Logo, o zero do controlador PD deve ser alocado em:

Zc = −5, 967. (3.4)

3.1. Projeto do Controlador PID pelo Método de Projeto Dividido 39

Assim, com os resultados mostrados em (3.4), tem-se Controlador PD:

Gc(s) = (s+ 5, 967). (3.5)

No projeto do Controlador PI, deve-se escolher uma posição para alocar o zero docompensador de forma a produzir pouca variação nos polos de malha fechada. Usualmente,valores entre -0,001 e -0,1. Desta forma, define-se o Controlador PI como sendo:

Gc(s) =(s+ 0, 08)

s. (3.6)

Para encontrar a função de transferência do controlador PID, deve-se multiplicar asplantas dos controladores apresentados em (3.5) e (3.6), assim, tem-se:

Gc(s) = Kp ·Kd · (s+ 5, 967) · (s+ 0, 08)

s. (3.7)

Substituindo-se as equações (2.15) e (3.7) com s = −4 + j4, 1947 em (2.41), tem-se:

K = 13.48587. (3.8)

O ganho do controlador (kc = Kp ·Kd) é calculado dividindo o ganho do sistema peloganho da planta conforme mostrado em (3.9).

kc =K

G(3.9)

Usualmente, quando o sistema não atinge os índices de desempenho satisfatoriamentepode-se ajustar o ganho do controlador para obter uma melhor resposta. Esse ajuste é feito portentativa e erro, alterando o valor e avaliando o resultado obtido. Neste projeto foi utilizado umganho do controlador de:

kc = 2, 74572 · 10−5. (3.10)

Assim, a função de transferência do controlador PID é:

Gc(s) = 2, 74572 · 10−5 · (s+ 5, 967) · (s+ 0, 08)

s(3.11)

Gc(s) =2, 746 · 10−5s2 + 0, 000166s+ 1, 311 · 10−5

s(3.12)

A função de transferência de sistema em malha fechada, conforme sistema mostrado naFigura 2, é:

Y (s)

U(s)=

1, 167s2 + 7, 056s+ 0, 557

0, 3443s4 + 0, 6188s3 + 9, 009s2 + 15, 02s+ 0, 557(3.13)

Aplicando um sinal degrau na equação (3.13) tem-se a resposta do sistema conformemostrado na Figura 10.


Figura 10 – Resposta à entrada degrau do sistema com controlador PID projetado pelo métodode projeto dividido.

Na Figura 10, pode-se observar que o tempo de estabilização pretendido (te ≤ 1s) para oprojeto não foi atingido, desta forma, a metodologia de projeto de controlador PID pelo métododividido não atende as especificações do projeto. Ambos os índices de desempenho precisamestar dentro do estipulado para atingir eficiência no controle do sistema.

No apêndice A encontra-se o código para Matlab R© desenvolvido para esta metodologiade projeto.

3.2 Projeto do Controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols

Primeiramente, deve-se verificar se é possível projetar o controlador PID pelo primeirométodo de Ziegler-Nichols. A Figura 11 mostra a resposta do sistema quando aplicado um sinaldegrau na função de transferência da planta da perna do paciente paraplégico (2.15) em malhaaberta.

Assim, observa-se pela Figura 11 que não é possível projetar o controlador PID peloprimeiro método de Ziegler-Nichols pela curva de resposta não apresentar o formato adequadopara obtenção dos parâmetros necessários para projeto do controlador.

Partindo-se para o segundo método e sendo conhecida a função de transferência da plantaa ser controlada (2.15), para o projeto do controlador PID pelo segundo Método de Ziegler-Nichols, primeiramente, deve-se encontrar o ganho critico Kcr pelo critério de Routh-Hurwitz.

3.2. Projeto do Controlador PID pelo método de Ziegler-Nichols 41

Figura 11 – Resposta do sistema quando aplicado um sinal degrau na função de transferência daplanta da perna do paciente paraplégico (2.15) em malha aberta.

Para tal, a equação de malha fechada do sistema da perna do paciente paraplégico (2.15)com um controlador proporcional Kp é:

Y (s)

U(s)=

42500 ·Kp

0, 344262s3 + 0, 61877s2 + 7, 8420522s+ (7, 9622 + 42500 ·Kp). (3.14)

Assim, a equação característica do sistema é:

D(s) = 0, 344262s3 + 0, 61877s2 + 7, 8420522s+ (7, 9622 + 42500 ·Kp) = 0. (3.15)

Pelas informações da equação característica do sistema (3.15), define-se a tabela deRouth como:

Linha 1 0,344262 7,84205222 0,61877 7,9622+42500 · Kp

3 A1 04 B1 0

Considerando que, para a estabilidade do sistema, todos os valores da primeira coluna databela de Routh devem ser positivos, tem-se:

A1 = 3, 4125− 23645, 515 ·Kp > 0, (3.16)

B1 = 7, 9622 + 42500 ·Kp > 0. (3.17)

Das equações (3.16) e (3.17), tem-se:

−1, 8735 · 10−4 < Kp < 1, 4423 · 10−4, (3.18)

Kcr = Kpmax = 1, 4423 · 10−4. (3.19)


Para calcular o período crítico, substitui-se na equação característica do sistema (3.15)Kp = Kcr e s = jω, assim:

0, 344262(jω)3 + 0, 61877(jω)2 + 7, 8420522(jω) + 14, 095697 = 0. (3.20)

Pela equação (3.20), obtém-se a frequência de oscilação mantida:

ω = 4, 7727654. (3.21)

O período crítico é:

Pcr =2π

ω= 1, 3164664. (3.22)

Substituindo (3.19) e (3.22) em (2.51), tem-se a função de transferência do controladorPID:

Gc(s) = 0, 075 · 1.4423 · 10−4 · 1, 3164664 ·(s+ 4

1,3164664)2

s, (3.23)

Gc(s) =1, 425 · 10−5s2 + 8, 659 · 10−5s+ 1, 316 · 10−4

s. (3.24)

A função de transferência do sistema em malha fechada, conforme sistema mostrado naFigura 2, é:

Y (s)

U(s)=

0, 6056s2 + 3, 68s+ 5, 593

0, 3443s4 + 0, 6188s3 + 8, 448s2 + 11, 64s+ 5, 593. (3.25)

Aplicando um sinal degrau na equação (3.25) tem-se a resposta do sistema conformemostrado na Figura 12.

Na Figura 12, pode-se observar que o tempo de estabilização pretendido (te ≤ 1s) para oprojeto não foi atingido, desta forma, a metodologia de projeto de controlador PID pelo segundométodo de Ziegler-Nichols não atende as especificações do projeto.

No apêndice B encontra-se o código para Matlab R© desenvolvido para esta metodologiade projeto.

3.3. Projeto do Controlador PIDF pelo PID Tuner 43

Figura 12 – Resposta do sistema utilizando controlador PID projetado pelo segundo método deZiegler-Nichols.

3.3 Projeto do Controlador PIDF pelo PID Tuner

Primeiramente, para o projeto do controlador PIDF com auxílio do Matlab R©, na áreade trabalho do software deve-se inserir o comando pidtool para acessar a ferramenta PID Tuner

responsável pelo projeto de controladores em malha fechada. No campo import new plant,importa-se os dados da função de transferência da perna do paciente paraplégico (2.15) para aferramenta de edição.

No menu de seleção do tipo do controlador, deve-se selecionar o Controlador PIDF. Paraencontrar a melhor resposta para o sistema, varia-se a barra de tempo de resposta para ajustar osparâmetros de acordo com os índices de máximo valor de ultrapassagem (overshoot) e tempo deestabilização (settling time) definidos para o projeto.

Sempre que variada a barra de tempo de resposta, deve-se verificar a caixa de textoPerformance and Robustness até que se atinja o melhor balanço entre os índices de desempenhodesejados.

O controlador que melhor atendeu aos índices de desempenho de projeto estabelecidos


tem os ganhos definidos por:

Kp = 0, 000227, (3.26)

Ki = 0, 000168, (3.27)

Kd = −0, 00018, (3.28)

Tf = 0, 791. (3.29)

Com os resultados mostrados em (3.26) a (3.29) o controlador PIDF é:

Gc(s) = 2, 27 · 10−4 +1, 68 · 10−4

s+−1, 8 · 10−4s

0, 791s+ 1. (3.30)


Y (s)

U(s)=

19, 37s+ 9, 046

0, 3443s5 + 1, 054s4 + 8, 624s3 + 17, 87s2 + 29, 44s+ 9, 046. (3.31)

Aplicando um sinal degrau unitário na equação (3.31), tem-se a resposta do sistemaconforme mostrado na Figura 13.

Figura 13 – Resposta do sistema utilizando Controlador PIDF.

Na Figura 13, pode-se observar que o tempo de estabilização do sistema projetado é de10.8 segundos, muito acima do pretendido (te ≤ 1s) para o projeto, desta forma, a metodologiade projeto de controlador PIDF pelo PID Tuner do Matlab R© não atende as especificações doprojeto. Ambos os índices de desempenho precisam estar dentro do estipulado para atingireficiência no controle do sistema.

3.4. Projeto do Controlador PIDA 45

3.4 Projeto do Controlador PIDA

Partindo dos índices de desempenho estabelecidos e através das equações dadas em(2.37) e (2.38), obtêm-se δ ≥ 0, 6901 e δωn ≥ 4. Assim, definem-se os polos de malha fechadadesejados como sendo:

q = −4 + j4, 1948, (3.32)

q = −4− j4, 1948, (3.33)

R = −5, (3.34)

r = −200. (3.35)

A equação característica de manha fechada desejada do sistema com controlador PIDA,com os polos desejados obtidos, é:

(s+ 200)(s+ 5)(s+ 4 + j4, 1948)(s+ 4− j4, 1948) = 0, (3.36)

s4 + 213s3 + 2673, 596s2 + 14887, 178s+ 33595, 991 = 0. (3.37)

A equação característica analítica da função de transferência de malha fechada do sistemaa ser controlado, utilizando para o controlador (Gc(s)) a função de transferência dada em (2.66)é:

0, 3443s4 + (42500 · k + 0, 6188)s3 + [42500 · k(a+ b+ z) + 7, 8421]s2+

[42500 · k(ab+ az + bz) + 7, 9622]s+ 42500 · kabz = 0. (3.38)

Para poder igualar as equações (3.37) e (3.38), devem-se multiplicar os coeficientes de(3.37) por 0,3443, assim, obtém-se:

0, 3443s4 + 73, 336s3 + 920, 52s2 + 5125, 655s1 + 11567, 71 = 0. (3.39)

Igualando os coeficientes das equações (3.38) e (3.39), tem-se:

0, 3443 = 0, 3443, (3.40)

42500 · k + 0, 6188 = 73, 336, (3.41)

42500 · k(a+ b+ z) + 7, 8421 = 920, 52, (3.42)

42500 · k(ab+ az + bz) + 7, 9622 = 5125, 655, (3.43)

42500 · kabz = 11567, 71. (3.44)


Resolvendo o sistema de equações lineares dado pelas equações (3.40) a (3.44), obtêmse os seguintes valores para k,a,b e z:

k = 1, 711 · 10−3, (3.45)

a = 3, 87976 + j4, 25975, (3.46)

b = 3, 87976− j4, 25975, (3.47)

z = 4, 7915. (3.48)

Utilizando os resultados obtidos, mostrados em (3.45) a (3.48), a função de transferênciado controlador PIDA é:

Gc(s) =0, 001711s3 + 0, 02147s2 + 0, 1204s+ 0, 2722

s. (3.49)


Y (s)

U(s)=

72, 72s3 + 912, 7s2 + 5118s1 + 1, 157 · 104

0, 3443s4 + 73, 034s3 + 920, 5s2 + 5126s+ 1, 157 · 104. (3.50)

Aplicando um sinal degrau unitário na equação (3.50) tem-se a resposta do sistemaconforme mostrado na Figura 14.

Figura 14 – Resposta do sistema utilizando Controlador PIDA.

O projeto do sistema de controle utilizando a metodologia PIDA mostrou-se eficiente,como é possível observar pela Figura 14, pois ambos os índices de desempenho foram atingidos.

3.5. Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos 47

Assim, está é uma metodologia de controle possível de ser utilizado no desenvolvimento dodispositivo de tratamento utilizando FES.

No apêndice C encontra-se o código para Matlab R© desenvolvido para esta metodologiade projeto.

3.5 Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos

Para o projeto de controle no espaço de estados da planta apresentada em (2.15), primei-ramente, deve-se encontrar a função de transferência do sistema em malha fechada conformemostrado em (3.51).

H(s) =Y (s)

U(s)=

42500

0, 344262s3 + 0, 61877s2 + 7, 8420522s+ 42507, 9622. (3.51)

Depois de encontrada a função de transferência de malha fechada do sistema, deve-seencontrar a representação em estados desse sistema. Assim, partindo-se da equação (3.51),tem-se:

42500 · U(s) = Y (s) · (0, 344262s3 + 0, 61877s2 + 7, 8420522s+ 42507, 9622). (3.52)

Aplicando a transformada inversa de Laplace em (3.52), tem-se:

42500u = 0, 344262...y + 0, 61877y + 7, 8420522y + 42507, 9622y. (3.53)

Os estados de (3.53) são: x1 = y, x2 = y e x3 = y. Assim:

x1 = y = x2, (3.54)

x2 = y = x3, (3.55)

x3 =...y =

42500u− 0, 61877x3 − 7, 8420522x2 − 42507, 9622x10, 344262

. (3.56)

sendo:

x1(t) = θv − θv0, (3.57)

x2(t) = θv − θv0 = θv, (3.58)

x3(t) = Ma −Ma0. (3.59)

Através das equações (3.54) a (3.56), a representação em espaço de estado do sistema é:x1(t)x2(t)

x3(t)

=

0 1 0

0 0 1

−123475, 6151 −22, 779314 −1, 7973811

·x1(t)x2(t)

x3t)

+

0

0

123452, 4868

· u,(3.60)


y(t) =[1 0 0

]·

x1(t)x2(t)

x3(t)

+[0]· u. (3.61)

Depois de encontrada a representação do sistema em espaço de estados deve-se atestara controlabilidade do sistema. Assim, utilizando os dados apresentados por (3.60) e (3.61), amatriz de controlabilidade é:

Ct = [B AB A2B], (3.62)

Ct =

0 0 123452, 4868

0 123452, 4868 −221891, 1665

123452, 4868 −221891, 1665 −2413339, 972

. (3.63)

Sendo a matriz controlabilidade uma matriz quadrada, número de linhas igual ao númerode colunas, pode-se comprovar a controlabilidade do sistema se o determinante da matriz fordiferente de zero. Desta forma, implica-se que o posto da matriz é máximo (n=3) e que, portanto,o sistema é controlável. Assim:

|Ct| = −1, 88 · 1015, (3.64)

Posto(n) = 3. (3.65)

Através dos índices de desempenho estipulados para o projeto, definem-se os poloscomplexos de malha fechada em (3.66) e é definido um terceiro polo s3 << −δωn (3.67).

s1,2 = −4± j4, 1948 (3.66)

s3 = −150 (3.67)

A função característica do sistema (2.79) com os dados obtidos em (3.66) e (3.67) é:

αc(s) = (s+ 4 + j4, 1948) · (s− 4− j4, 1948) · (s+ 5) (3.68)

αc(s) = s3 + 13s2 + 73, 598s+ 1, 6799 · 102 (3.69)

Substituindo os resultados obtidos (3.60), (3.61) e (3.69) em (2.81), tem-se:

∣∣∣∣∣∣∣s ·1 0 0

0 1 0

0 0 1

− 0 1 0

0 0 1

−123475, 6151 −22, 779314 −1, 7973811

+

0

0

123452, 4868

· |k1 k2 k3|

∣∣∣∣∣∣∣= s3 + 13s2 + 73, 598s+ 1, 6799 · 102 (3.70)

3.5. Controle no Espaço de Estados por Alocação de Polos 49

Resolvendo (3.70), a matriz de ganho de retroação K = |k1 k2 k3| é:

K = |11, 20262 50, 18871 − 1, 233 · 105| (3.71)

O resultado obtido em (3.71) é a matriz de ganho K com k1= 11,20262, k2=50,18871e k3 = −1, 233 · 105, que fará com que a resposta do sistema atinja os parâmetros de projetosnecessários para atender um controle satisfatório do sistema.

Para simulação do controle por espaço de estados é necessário definir os valores iniciaisde cada variável de estado. Considera-se que a perna parte do repouso e que o eixo vertical é areferência do sistema. A Figura 1 representa a configuração inicial do sistema, onde x2(0) = 0 ex3(0) = 0. Deve-se definir um valor inicial para variação do ângulo da perna com relação ao eixoda cadeira (x1(0)). Assim, o estado inicial de x1(t) é:

θv = 0, 1rad =π

18, (3.72)

θv0 = 45o =π

4, (3.73)

x1(t) = θv − θv0 =π

18− π

4=

7π

36(3.74)

Para que o controle da perna tenha uma variação angular de 45o, a resposta do contro-lador deve satisfazer a condição mostrada em (3.75) e levando em consideração os índices dedesempenho definidos.

x1(t ≤ te) = θv − θv0 = 0 (3.75)

Na figura 15, podem-se ver os resultados obtidos para o controle da perna do pacienteparaplégico utilizando o controle por espaço de estados.

A Figura 16 mostra somente a variação do ângulo da perna em relação ao tempo deaplicação do sinal.

Verificar-se, pela Figura 16, que a condição (3.75) é satisfeita, pois a perna parte de umasituação de repouso x1(0) = 0o e vai até x1(t ≤ te) = 45o através da aplicação de um estímulo.No projeto desenvolvido anteriormente considera-se a realimentação apenas do estado x1(t).Entretanto, no caso do controle por realimentação de estados, foi considerado que todas asvariáveis de estado estavam disponíveis para realimentação. Muitas vezes, na prática, somentealguns estados estão disponíveis e os outros precisam ser estimados. Um método para estimar oestado do sistema é o projeto do Observador de Estados. O projeto de um Observador de Estadosvisa estimar as variáveis de estado não disponíveis com base nas medições das variáveis de saídae de controle (Ogata, 2010).


Figura 15 – Resposta do sistema com controle por Espaço de Estados.

Figura 16 – Relação da variação do ângulo da perna com o tempo.

Na Figura 16, pode-se observar que os índices de desempenho (te ≤ 1s e PO≤5 %)para o projeto foram atingidos, desta forma, a metodologia de projeto de controle por espaço deestados atende com exatidão as especificações do projeto.

No apêndice D encontra-se o código para Matlab R© desenvolvido para esta metodologiade projeto.

3.6. Controle LQR 51

3.6 Controle LQR

O sistema do complexo canela-pé é definido sob a forma apresentada em (2.76) com asmatrizes A e B tiradas de (3.60). Assim, tem-se:

A =

0 1 0

0 0 1

−123475, 6151 −22, 779314 −1, 7973811

, (3.76)

B =

0

0

123452, 4868

. (3.77)

Definem-se as matrizes Q e R por:

Q =

10000 0 0

0 10 0

0 0 1

, (3.78)

R =[1]. (3.79)

Sem perda de generalidade é usada uma matriz simétrica P, com P12 = P21, P13 =

P31, P23 = P33 para simplificar o tratamento algébrico conforme mostrado em (3.80).

P =

P11 P12 P13

P12 P22 P23

P13 P23 P33

(3.80)

Através da equação (2.95), tem-se:

K = R−1BTP (3.81)

K = [123452, 4868 · P13 123452, 4868 · P23 123452, 4868 · P33]. (3.82)

Utilizando as matrizes definidas em (3.76) a (3.79) e o comando P = lqr (A,B,Q,R) doMatlab R© para cálculo da matriz P, tem-se:

P =

1, 4493 · 103 0, 1 · 103 0, 0000008 · 103

0, 1 · 103 0, 0145 · 103 0, 00000011 · 103

0, 0000008 · 103 0, 00000011 · 103 0, 0000000081 · 103

. (3.83)

De acordo com os dados apresentados em (3.82) e (3.83) a matriz de ganho ótimo é:

K = [99, 00481 14, 49234 1, 0001] (3.84)


O resultado obtido em (3.84) é a matriz de ganho ótimo K onde, k1 = 99,00481, k2 =14,49234 e k3 = 1,0001, que fará com que o sistema atinja os parâmetros de projetos necessáriospara atender o controle desejado do sistema.

Na Figura 17, têm-se os resultados obtidos para o controle da perna do paciente paraplé-gico utilizando um controlador LQR.

Figura 17 – Resposta do sistema utilizando Controlador LQR.

Na Figura 17, pode-se observar que os índices de desempenho (te ≤ 1s e PO≤5 %) parao projeto foram atingidos, desta forma, a metodologia de projeto de controle LQR atende comexatidão as especificações do projeto.

No apêndice E encontra-se o código para Matlab R© desenvolvido para está metodologiade projeto.

3.7 Discussão

Na Tabela 5, podem-se ver os resultados dos índices de desempenho obtidos para todasas metodologias de controle descritas neste trabalho. Estes resultados foram obtidos após ajustesfinos como, por exemplo, ajustes no ganho do sistema, ajustes nos parâmetros do controlador,desta forma, obtendo os melhores resultados na relação tempo de estabilização versus potencialde overshoot para cada metodologia.

3.7. Discussão 53

Tabela 5 – Comparação de resultados das diferentes metodologias de controle para a perna deum paciente paraplégico.

Tipo de Controle te[s] PO [%]Controlador PID (Projeto Dividido) 105 0Controlador PID (Ziegler-Nichols) 12,6 3,91Controlador PIDF 10,8 3,9Controlador PIDA 0,158 4,25Controle por Espaço de Estados 0,262 2,7Controle LQR 0,66 3,67

Primeiramente, é valido salientar que para atingir um controle satisfatório do sistema docomplexo canela-pé de um paciente paraplégico, ambos os índices de desempenho mostrados naTabela 5, para uma mesma metodologia de controle, devem devem ser menores ou iguais aosíndices definidos no início do projeto, ou seja, te≤1s (critério de 2%) e PO≤5%.

Nota-se pela Tabela 5 que as metodologias de controle PIDA, controle por espaço deestados e controle LQR obtiveram ambos os índices de desempenho menores que os estipuladospara o projeto, ainda pode-se observar que o tempo de estabilização para o controlador PIDA é omenor entre as três metodologias.

Todas as metodologias que obtiveram um dos parâmetros, ou ambos, maiores que osdefinidos são consideradas metodologias impróprias para o desenvolvimento desse projeto, ouseja, os usos desses controladores podem causar danos irreparáveis nos nervos do paciente, porexemplo, por aplicarem uma intensidade maior de corrente no nervo/músculo.

As metodologias de controle que atingiram índices de desempenho menores que osestipulados poderão ser usadas para o desenvolvimento do sistema de controle. A escolha de qualse usará deve ser feita baseada em potencial de risco, se existe uma margem segura de trabalho etambém pelo custo de implementação do sistema a ser desenvolvido com tal metodologia.

Parte IV

Fechamento

57

4 Conclusões

A eficiência de um controlador projetado é determinada pelo desempenho que se esperano projeto, ou seja, a eficiência é comprovada caso o controlador consiga regular a resposta desaída do sistema dentro dos índices de desempenho estipulados. Caso o controlador não consigatrabalhar dentro da faixa de desempenho determinada esta metodologia não é eficiente para esteprojeto e, portanto, deve-se optar por outra metodologia de desenvolvimento de controladores.

Neste trabalho restringiram-se os critérios de desempenho em te ≤ 1s (critério de 2%) ePO ≤ 5%, pois, para aplicações reais de eletroestimulação em músculos danificados, estes sãoparâmetros que demonstram eficiência do sistema e garantem segurança ao paciente.

Pode-se perceber que alguns controladores desenvolvidos neste trabalho não atingiram asespecificações pretendidas. Isto não significa que são metodologias de controle ineficazes, massomente que não atenderam aos requisitos propostos para o sistema de controle do complexocanela-pé de um paciente paraplégico com os índices de desempenho definidos conformeapresentado no início do Capítulo 3. Assim, utilizar uma dessas metodologias para o dispositivode tratamento de pacientes paraplégico utilizando FES pode ser um risco por não atingir osparâmetros estipulados para um controle eficaz do sistema, desta forma, o nível de intensidade decorrente elétrica pode ultrapassar valores de segurança causando danos aos músculos do pacienteou atingir um níveis muito abaixo do necessário para um tratamento eficaz.

Constata-se pelos valores de tempo de estabilização e potencial de overshoot obtidos nosprojetos dos controladores, mostrados na Tabela 5, que para os índices de desempenho estipuladoso Controle PIDA, o Controle por Espaço de Estados e o Controle LQR são metodologias eficientespara controlar o nível de intensidade de corrente elétrica aplicada no tratamento de pacientesparaplégico utilizando FES.

Portanto, nas metodologias de Controle PIDA, Controle por Espaço de Estados e ControleLQR os índices de desempenho foram atingidos de forma muito satisfatória, obtendo respostasdentro do esperado para um projeto crítico em que se espera grande exatidão, pois a qualquererro de projeto pode-se acarretar danos irreparáveis nos músculos do paciente.

59

5 Trabalhos Futuros

Algumas sugestões para pesquisas futuras são:

• aplicar as teorias de controle que obtiveram resultado teórico dentro dos índices de desem-penho propostos em um dispositivo de eletroestimulação para testes reais;

• desenvolver novos controladores por outras metodologias e comparar a eficiência domesmo com os resultados apresentadas neste trabalho para os mesmos índices de desem-penho.

61

Referências

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62 Referências

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SANCHES, M. A. A.; GAINO, R.; KOZAN, R. F.; TEIXEIRA, M. C. M.; CARVALHO, A. A.;COVACIC, M. R.; ALVES, C. A.; URBAN, M. F. R.; JUNQUEIRA, M. V. N.; CARDIM, R.;ASSUNCÃO, E.; GENTILHO JUNIOR, E. (2014). Digital Controllers Design ConsideringHardware Constraints: Application in a Paraplegic Patient. Revista Brasileira de EngenhariaBiomédica (Brazilian Journal of Biomedical Engineering), Vol. 30 No. 3, 232-241, 2014.

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TEIXEIRA, M. C. M.; DEAECTO, G. S.; GAINO, R.; ASSUNCÃO, E.; CARVALHO, A. A.;MACHADO, E. R. M. D.; SILVA, T. I. (2007). Projeto de um controlador linear para variar oângulo de articulação do joelho de um paciente paraplégico. VI BRAZILIAN CONFERENCEON DYNAMICS, CONTROL AND THEIR APPLICATIONS (DINCON), São José do RioPreto-SP, 950-956, 2007.

THE MATH WORKS, Introduction: PID Controller. Control Tutorials for Matlab & Simulink:Design. Disponível em: http://ctms.engin.umich.edu/TMS/index.php?example=IntroductionC&section=ControlPID. Acesso em: 07 de Março de 2014.

Apêndices

67

APÊNDICE A – Código para Maltab doProjeto de Controlador PID pelo Método

de Projeto Dividido

Desenvolvido por: Vitor Augusto Sborgi Lovo

clc;

clear all;

format long;

syms s;

%COMPENSADOR PID

% 1 - Função de transferência da planta

num = [42500];

den = [0.344262 0.61877 7.8420522 7.9622];

PERNA = tf(num,den)

% 2 - Definição dos índices de desempenho do projeto

P.O = 5; %Overshoot máximo

Te = 1; %Tempo de estabelecimento

%Determinação do Coeficiente de Amortecimento

aux = -pi/log(P.O/100);

amor = sqrt(1/(aux^2+1));

amorWn = 4/Te;

Wn = amorWn/amor;

Wd = Wn*sqrt(1-amor^2);

% 3 - Polos de malha fechada desejados

S = complex(-amorWn,Wd);

% 4 - Calculo do compensador PD pelo método de projeto dividido

den1 = roots(den);

%Cálculo das contribuições dos ângulos dos zeros e polos da planta

68 APÊNDICE A. Código para Maltab do Projeto de Controlador PID pelo Método de Projeto Dividido

for j=1:length(den1)

if imag(den1(j))== 0

teta(j) = atan(Wd/(amorWn + den1(j)));

if imag(den1(j))~= 0 && imag(den1(j))> 0

teta(j) = atan((imag(den1(j))-Wd)/(-den1(j)-amorWn));

if imag(den1(j))~= 0 && imag(den1(j))< 0

teta(j) = atan((Wd-imag(den1(j)))/(-den1(j)-amorWn));

end

end

end

end

Teta(j) = (teta(j)*180)/pi;

TT = 0;

for j=1:length(den1)

TT = TT(1)+Teta(j);

end

% 5 - Parâmetros encontrados do controlador

TetaC = (180-TT)+119.777; %ângulo de contribuição do zero controlador

x = -abs(Wd/tand(180-round(TetaC)));

ZeroC = -amorWn+x; %zero do controlador

% 6 - CONTROLADOR PD

PD = tf([1 -ZeroC],[1])

% 7 - CONTROLADOR PI

PI = tf([1 0.08],[1 0])

%Cálculo do ganho do controlador PID

NC = PI*PD*tf([1],[den]);

[num1,den2] = tfdata(NC,’v’);

vaux = [s^4 s^3 s^2 s^1 1];

ad = vaux.*num1;

ad1 = vaux.*den2;

s = S;

aa = subs(ad);

aa1 = subs(ad1);

aa2 = 0;

69

for j=1:length(aa)

aa2 = aa2(1)+aa(j);

end

aa3 = 0;

for j=1:length(aa1)

aa3 = aa3(1)+aa1(j);

end

K = 1/abs(aa2/aa3);

kc = (K/num)*8.653e-2

% 8 - CONTROLADOR PID

PId = kc*PI*PD

% 9 - SISTEMA COMPENSADO

FTMF = feedback(PId*PERNA,1)

% 10 - Resposta do sisitema compensado à uma entrada degrau unitário

step(FTMF)

71

APÊNDICE B – Código para Maltab doProjeto de Controlador PID pelo segundo

Método de Ziegler-Nichols


clc;

clear all;

format long;

syms s;

%COMPENSADOR PID - ZN

syms Kc Pc;

planta = tf([42500],[0.344262 0.61877 7.8420522 7.9622]);

Kc = 1.443176e-4;

Pc = 1.3164664;

% 1 - CONTROLADOR PID

pid = tf((0.075*Kc*Pc)*[1 8/Pc 16/Pc^2],[1 0])

% 2 - SISTEMA COMPENSADO

FTMF = feedback(pid*planta,1)

% 3 - Resposta do sisitema compensado à uma entrada degrau unitário

step(FTMF)

73

APÊNDICE C – Código para Maltab doProjeto de Controlador PIDA


clc;

clear all;

format long;

syms s k a b z;

%COMPENSADOR PIDA


num = [42500];

den = [0.344262 0.61877 7.8420522 7.9622];

PERNA = tf(num,den)

% 2 - Definição dos índices de desempenho do projeto

P.O = 5; %Overshoot máximo

Te = 1; %Tempo de estabelecimento

%Determinação do Coeficiente de Amortecimento

aux = -pi/log(P.O/100);

amor = sqrt(1/(aux^2+1));

amorWn = 4/Te;

Wn = amorWn/amor;

Wd = Wn*sqrt(1-amor^2);

% 3 - Polos de malha fechada desejados

S1 = complex(-amorWn,Wd);

S2 = complex(-amorWn,-Wd);

r = real(S2)*50;

R = real(S2) - 1;

% 4 - Equação caracteristica desejada de malha fechada

D = expand((s - S1)*(s - S2)*(s - r)*(s - R));

D1 = 0.3443*D %Multiplicação de coeficiente para igualar

74 APÊNDICE C. Código para Maltab do Projeto de Controlador PIDA

%Resolução do Sist. de Eq. Linear

aux = [0.3443 73.3359 9.205190997085833e+02 5.125655440259603e+03

1.156709970858343e+04]

k1 = solve(42500*k + 0.6188 == aux(2));

[a,b,z] = solve(42500*k1*(a+b+z)+7.8421 == aux(3),42500*k1*(a*b+b*z+a*z)

+7.9622 == aux(4),42500*k1*a*b*z == aux(5));

% 5 - Controlador PIDA

a = 3.879760518544252 - 4.259753932023521*i;

b = 3.879760518544253 + 4.259753932023521*i;

z = 4.791543289027132;

k = 0.001710990588235;

% 6 - Função de transferência do controlador PIDA

PIDA = tf([k k*(a+b+z) real(k*(a*b+a*z+b*z)) real(k*a*b*z)],[1 0])

% 7 - Função de transferência de malha fechada

FTMF = feedback(PIDA*PERNA,1)

% 8 - Respota do sistema compensado

step(FTMF)

75

APÊNDICE D – Código para Maltab doProjeto de Controle no Espaço de Estados


%Controle por Espaço de estados;

clc;

clear all;

format long;


num = [42500];

den = [0.344262 0.61877 7.8420522 42507.9622];

% 2 - Passagem de Ft para espaço de estados

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den);

% 3 - Polos de malha fechada desejado

u1 = complex(-4,4.195);

u2 = complex(-4,-4.195);

u3 = -150;

% 4 - Teste de controlabilidade

for i=1:3

for j=1:3

A1(4-i,4-j)=A(i,j)

end

end

B1 = C’

C1 = B’

Controlabilidade = [B1 A1*B1 A1^2*B1];

x = rank(Controlabilidade); % Sendo x = n=3 sistema é controlável

Observabilidade = [C1; C1*A1; C1*A1^2];

y = rank(Observabilidade); % Sendo y = n=3 sistema é observável

76 APÊNDICE D. Código para Maltab do Projeto de Controle no Espaço de Estados

% 5 - Matriz de ganhos de Retroação K

u = [u1 0 0; 0 u2 0; 0 0 u3];

K = [0 0 1]*(inv(Controlabilidade))*polyvalm(poly(u),A1)

% 6 - Resposta do sistema

AA = A1-B1*K;

BB = [0;0;pi/18-pi/4]; % Condições iniciais

[e1,e2,t] = step(AA,BB,AA,BB);

saida = [0 0 1]*e1’;

saida1 = [0 1 0]*e1’;

saida2 = [0 1 0]*e1’;

figure(1)

subplot(3,1,1),plot(t,saida);

title(’Angulo versus t’)

xlabel(’tempo s’)

ylabel(’x1(t)’)

subplot(3,1,2),plot(t,saida1);

title(’Velocidade Angular versus t’)


ylabel(’x2(t)’)

subplot(3,1,3),plot(t,saida2);

title(’Aceleração versus t’)


ylabel(’x3(t)’)

figure(2)

plot(t,saida); grid

title(’Angulo versus t’)


ylabel(’Teta’)

77

APÊNDICE E – Código para Maltab doProjeto de Controlador LQR


clc;

format long;

clear all;

% CONTROLE ÓTIMO QUADRÁTCIO

% 1 - Função de transferência de malha fechada

num = [42500];

den = [0.344262 0.61877 7.8420522 42507.9622];

% 2 - Passagem de Ft para espaço de estados

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den);

% 4 - Teste de controlabilidade

for i=1:3

for j=1:3

A1(4-i,4-j)=A(i,j);

end

end

B1 = C’;

C1 = B’;

Q = [10000 0 0; 0 10 0; 0 0 1];

R = [1];

[k,p,e] = lqr(A1,B1,Q,R)

% Resposta do sistema

AA = A1-B1*k;

BB = B1*k(1); % Condições iniciais

CC = C1;

DD = D;

t = 0:0.01:4;

78 APÊNDICE E. Código para Maltab do Projeto de Controlador LQR

[e1,e2,e3] = step(AA,BB,CC,DD,1,t);

figure(1)

plot(t,e1); grid

title(’Resposta do sistema com controle LQR’)

xlabel(’t s’)

ylabel(’Sinal de saída y = x1’)

Documents

Estudo de Desempenho de Metodologias de Controle Aplicadas à