Estudo Dirigido MATEMTICA FINANCEIRA APLICADA CST GPI

Ol alunos, o estudo a seguir uma sntese do que foi visto ao longo das aulas de

Matemtica Financeira, lembro que a calculadora financeira HP no ser necessria

para resoluo desta prova, pois bem, vejamos alguns exerccios:

Sr. Mrio aplicou em um fundo de investimento conservador a quantia de R$ 500,00 a uma taxa de 1,5% a.m, no regime de capitalizao simples. Ao final do primeiro ms, devido a dificuldades financeiras inesperadas, o Sr. Mrio efetuou um saque do fundo de investimento no valor de R$ 353,50 e manteve o restante aplicado mesma taxa por mais dois meses, quando efetuou o resgate total do fundo. Qual o valor resgatado por Mrio no momento do resgate final?

Trata-se de uma situao que deve ser resolvida em duas etapas. A primeira etapa consiste em calcular o valor atual da aplicao ao final do primeiro ms, fazendo ento o saque indicado. A segunda etapa est em capitalizar atravs do regime de capitalizao simples o saldo ainda aplicado pelo restante do prazo.

Clculos: 1. Etapa.

50,507$

015,1.500

1.015,01.500

.1.

1

1

1

11

RM

M

M

niCM

2. Etapa.

62,158$

03,1.154

2.015,01.154

.1.

00,154$50,35350,507

50,150$

2

2

2

22

2

12

RM

M

M

niCM

RC

RMC

Os juros so chamados SIMPLES quando produzidos unicamente pelo capital

inicial, ou seja, a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. Diz-se que o

mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas

operaes, desta forma calcule:

Um capital de R$ 1.245,00, aplicados a juro simples durante trs meses, resultou

num montante de R$ 1.301,03. Com essas informaes, demonstre o clculo pela

frmula estudada, qual foi a taxa de juro simples utilizada nessa operao?

M=C.(1+i.n)

1.301,03=1.245,00(1+3i).

1.301,03=1.245,00 +3735i

1.301,03 1.245,00 = 3735i

56,03=3735i

56,03/3735 = i

i=0,015 ou 1,5% a.m.

Diz-se que o mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto

em suas operaes. Utilizar uma capitalizao composta significa que os juros

produzidos num perodo so acrescidos ao valor do capital que os produziu,

passando os dois, capital e juros, a render juros no perodo seguinte, desta forma

calcule:

O capital de R$ 9.200,00 foi colocado em regime de capitalizao composta durante

21 meses. Qual o clculo da determinao do montante resgatado, se a taxa foi de

12 % ao ano com capitalizao trimestral?

M= 9200.(1+0,03)7.

M=9200.(1,03) 7.

M=9200 . 1,22987386

M= 11.314,839

Pela Hp 12C - 9200 CHS PV

7 n

3 i

FV

Desconto o abatimento concedido sobre um ttulo de crdito em virtude de seu

resgate antecipado. Diz-se que todo ttulo de crdito tem uma data de vencimento.

Porm, pode ser antecipadamente resgatado, obtendo-se com isso, um abatimento

denominado DESCONTO, desta forma calcule:

Uma empresa de fomento mercantil descontou junto a um banco comercial um

cheque com valor nominal de R$ 945,43, cujo prazo de antecipao de quatro

meses. Seu objetivo utilizar o valor obtido para uma operao junto a um de seus

clientes. O banco trabalha com uma taxa de desconto racional composto de 3%

a.m. O valor lquido captado junto ao banco ser inteiramente repassado a um

cliente a uma taxa composta de 5% a.m. pelo prazo de trs meses. Demonstre os

clculos pelas frmulas estudadas e a determinao do lucro obtido pela empresa

de fomento mercantil com esta operao.

Dr = M Vr

( )

( )

Esse valor ser emprestado a 5% ao ms, por trs meses

M = C (1 + i)n

M = 840,00 (1 + 0,05)3

M = 972,41

A diferena entre 972,41 e 945,43 de R$ 26,98.

A sucesso de depsitos ou de pagamentos (ou de recebimentos), em pocas

diferentes, destinados a formar um capital ou a pagar (ou receber) uma dvida,

denominada Renda ou Srie Uniforme. Diz-se que quando uma renda ou srie

uniforme for, simultaneamente, temporria, constante, imediata, postecipada e

peridica, dizemos tratar-se de um Modelo Bsico de Renda.

Desta forma calcule

Uma motocicleta foi anunciada para ser vendida em trs prestaes mensais iguais

de R$ 2.500,00, sem entrada. Demonstre o clculo pela frmula estudada, para

determinar qual seria o preo dessa motocicleta vista, sabendo que a taxa de juro

utilizada para o clculo das prestaes foi de 4% ao ms.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

PELA HP

2500 CHS PMT

3 n

4 i

PV

O mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas

operaes. Diz-se que utilizar capitalizao composta significa que os juros

produzidos num perodo so acrescidos ao valor do capital que os produziu,

passando os dois, capital e juros, a render juros no perodo seguinte. Sendo assim

calcule:

Um certo capital foi aplicado durante 10 meses, a juros compostos de 6% a.m. e obteve-se um montante de R$ 800,00 reais. De posse nessas informaes, demonstre o clculo da determinao do capital aplicado nesta operao.

M = C (1 + i)n

800 = C (1 + 0,06)10

800 = C (1,06)10

800 = C 1.79084

800/1.79084 = C

C = 446,72

PELA HP

800 CHS FV

6 i

10 n PV = 446,72

O mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas

operaes. Diz-se que utilizar capitalizao composta significa que os juros

produzidos num perodo so acrescidos ao valor do capital que os produziu,

passando os dois, capital e juros, a render juros no perodo seguinte. Sendo assim

calcule:

Um capital de R$ 10.000,00, aplicados em regime de juros compostos, ao final de 02

anos com a taxa de 12% a.a. capitalizados trimestralmente. De posse nessas

informaes, demonstre o clculo da determinao do montante e do juro desta

operao.

M = C (1 + i)n

M = 10.000 (1 + 0,03)8

M = 10.000 (1,03)8

M = 10.000. 1,2677

M = 12.667,70

J = M C

J = 12.667,70 10.000,00

J = 2.667,70

PELA HP

10000 CHS PV

8 n

3 i

FV ENTER 10000

Taxa de retorno ou taxa interna de um fluxo de caixa, a taxa de desconto que

anula o seu valor presente (valor atual), sendo necessrio observar o valor

algbrico de suas parcelas dentro dos seguintes critrios: a) os recebimentos (ou

depsitos) tero sinal positivo e b) os pagamentos tero sinal negativo.

Percebe-se tambm que em uma operao de crdito, verificamos que as partes

contratantes, a financeira e o comprador, apresentam fluxos de caixa iguais e

opostos.

Dado abaixo, o fluxo de caixa anuais para um determinado projeto em que o custo de capital da empresa de 14% a.a., demonstre o clculo pela frmula da determinao do VPL do projeto.

VPL = 14.000 +

( )

VPL = 14.000 + 4.385,96 + 3.847,34

VPL = 14.000 + 8.233,33

VPL = 5.766,70

Na calculadora HP

14000 CHS g CFo 5000 g CFj 2 g Nj 14 i f NPV

Taxa de retorno ou taxa interna de um fluxo de caixa, a taxa de desconto que

anula o seu valor presente (valor atual), sendo necessrio observar o valor

algbrico de suas parcelas dentro dos seguintes critrios: a) os recebimentos (ou

depsitos) tero sinal positivo e b) os pagamentos tero sinal negativo.

Percebe-se tambm que em uma operao de crdito, verificamos que as partes

contratantes, a financeira e o comprador, apresentam fluxos de caixa iguais e

opostos.

O fluxo de caixa projetado de uma campanha o seguinte: um desembolso inicial

de R$ 2.000,00 mais duas prestaes mensais de R$ 500,00. O retorno esperado do

investimento em funo do aumento do fluxo de clientes de R$ 1.500,00 mensais

durante trs meses, a contar do dia 1. Considerando o custo de capital de 1,5%

a.m. demonstre pela frmula estudada, o clculo do VPL do projeto.

VPL = - 2.000 +

( )

( )

( )

VPL = - 2000 + 985,2216749 + 970,6617486 + 1434,475491

VPL = - 2.000 + 3.390,35

VPL = 1.390,35

Na calculadora HP

2000 CHS g CFo 1000 g CFj 2 g Nj 1500 g CFj 1,5 i f NPV

Os juros so chamados SIMPLES quando produzidos unicamente pelo capital

inicial, ou seja, a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial. Diz-se que o

mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas

operaes. Desta forma calcule:

Um capital de R$ 20.550,00, aplicado taxa de juro simples de 2,0% ao ms,

produziu um montante de R$ 25.482,00. Calcule o prazo de aplicao.

M = C (1 + i . n)

25.482,00 = 20.550,00 (1 + 0,02.n)

25482,00/20550,00 = 1 + 0,02n

1,24 1 = 0,02n

0,24/0,02 = n

n = 12 meses

O mercado financeiro utiliza tanto o juro simples quanto o juro composto nas suas

operaes. Diz-se que utilizar capitalizao composta significa que os juros

produzidos num perodo so acrescidos ao valor do capital que os produziu,

passando os dois, capital e juros, a render juros no perodo seguinte. Desta forma

calcule:

Demonstre o clculo pela frmula estudada, qual ser o valor do juro cobrado por

um emprstimo de R$ 55.000,00 por cinco meses pela taxa de juro composto de

3,25% ao ms?

J = C [(1 + i)n 1 ]

J = 55.000,00 [(1 + 0,0325)5 1 ]

J = 55.000,00[ 1,173411 1]

J = 55.000,00 x 0,173411

J = 9.537,60

Durante o almoo, Patrcia, secretria executiva da diretoria, tem o costume de ler seu jornal preferido, aproveitando a situao para adiantar a captao de temas para o resumo dirio das notcias da manh. Desta vez, enquanto analisava a seo de classificados, um anncio chamou sua ateno: Aparelho Celular Smartphone com MP4, 4gb, vista por R$ 100,00 ou a prazo, com um nico pagamento em 120 dias de R$ 108,70.

Patrcia, ento, resolveu testar os seus recentes conhecimentos de Matemtica Financeira e resolveu calcular qual seria a taxa de juros utilizada para o pagamento prazo, visando verificar se a taxa de juros utilizada estava compatvel com o mercado, utilizando-se para isso do regime de capitalizao simples. Qual a taxa obtida pela Patrcia? Trata-se de uma aplicao simples da frmula bsica de capitalizao simples, onde se busca descobrir o valor da taxa de juros simples utilizada na operao. Deve-se ficar atento ao fato de que foi fornecido o capital da operao (R$ 100,00) e o montante final (R$ 108,70), logo, deve-se calcular a taxa de juros utilizada apenas substituindo as variveis respectivas.

Clculos:

..%2,202175,0

4

087,0

087,041100

70,108441

100

70,108

4.1.10070,108

.1.

mai

i

iii

i

niCM

Um capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa de juro simples de 36% ao ano,

proporcionar, ao final do perodo de um ano, um total de juro igual a:

M = C . (1 + i)n M = 5000 . ( 1 + 0,36)1 M = 5000 . 1,36 M = 6800 J = M - C J = 6800 - 5000 J = 1800

O juro ordinrio ocorre quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, quando

consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias; assim, o ano

comercial tem 360 dias. O juro exato, como o nome sugere, considera o nmero

exato de dias que tem cada ms do ano civil. O ano tem, portanto, 365 dias; no caso

de ano bissexto, considera-se 366 dias.

Dentre os diversos termos utilizados na matemtica financeira, encontramos os

termos:

1. Taxa aparente a taxa que utilizamos sem levarmos em conta a inflao do perodo.

2. Taxa real a taxa que utilizamos levando em considerao os efeitos inflacionrios do perodo.

Denomina-se fluxo de caixa a sucesso de depsitos e/ou saques ou, ainda, de

recebimentos e/ou pagamentos, em dinheiro (caixa), previstos para determinado tempo.

Renda ou srie uniforme uma sucesso de depsitos e/ ou saques ou ainda de

recebimentos e/ou pagamentos, em pocas diferentes, destinados a formar um

capital (capitalizao) ou a pagar (ou receber) uma dvida (amortizao).

Uma renda ou srie uniforme pode ser classificada de acordo com quatro

parmetros.

1. Quanto ao prazo; 2. Quanto ao valor; 3. Quanto forma; 4. Quanto periodicidade.

A TIR (Taxa Interna de Retorno), tambm chamada de Taxa de Retorno, ou ainda, Taxa

Interna de um Fluxo de Caixa a taxa de juro composto (taxa de desconto) que anula o

seu valor presente (valor atual), sendo necessrio observar o valor algbrico das suas

parcelas dentro de dois critrios:

a) os recebimentos (ou depsitos) tero sinal positivo, por representarem entradas de

caixa;

b) os pagamentos tero sinal negativo, por representarem sadas de caixa.

Determine a taxa de rendimento real de uma aplicao cuja taxa aparente foi de 8%

ao ms, em um ms em que a inflao foi 2,86%.

i = (1 + ia)/(1 + I) 1

i = (1 + 0,08) / (1 + 0,0286) 1

i = 1,05 1

i = 0,05 ou 5% ao ms

Calcule a taxa mensal equivalente a 20% ao ano.

iq = (1 + it) q/t 1

iq = (1 + 0,2) 1/12 1

iq = 0,01530 ou 1,530% ao ms.

Dentro da ideia do capital temos o juro, que muito utilizado em atividades

financeiras. Diante disso, defina o que juro de acordo com Castanheira e Serenato

(2008, p.22).

Remunerao do capital aplicado em atividades produtivas;

Remunerao paga pelas instituies financeiras sobre o capital aplicado;

Dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado.;

um capital que se paga pela utilizao de dinheiro emprestado por terceiros.

Existe o Juro Ordinrio o Juro Exato e a regra do Banqueiro, os trs so usados para

determinar o juro gerado por um capital aplicado durante um perodo conhecido:

A frmula do juro pela Regra do Banqueiro a seguinte: Ao se estabelecer a

homogeneidade entre o perodo e a taxa de juro, usado o ano comercial (360 dias)

como no juro ordinrio, mas o perodo (nmero de dias) segue o princpio do juro exato,

ou seja, segue o calendrio do ano civil.

O juro Exato como o nome j diz, considera o nmero exato de dias que tem cada ms do

ano civil. Normal 365 dias e quando bissexto 366 dias.

O juro Ordinrio quando trabalhamos com o ano comercial, ou seja, quando

consideramos que o ano tem todos os seus meses com 30 dias. Com isso o ano

comercial tem 360 dias.

A definio de Capitalizao um regime de pagamento (ou de recebimento) de juros. Se

os juros so simples, a capitalizao simples, se o juros composto a capitalizao

composta.

O termo Capital qualquer valor expresso na moeda corrente de um pas e disponvel

para uma operao financeira.

Um dos fatores responsveis pela elevao ou pela diminuio da taxa de juro o

chamado Risco pas, que o nvel do risco pas mostra a confiana que os

investidores (em nvel mundial) tm quanto ao fato de o pas honrar ou no suas dvidas.

Em um regime de capitalizao simples a taxa de juro utilizada simples, com isso, o juro

calculado, sempre sobre o capital inicial em relao ao juro cobrado do tomador

(pegador) de um emprstimo.

J em um regime de capitalizao composta entende-se que o juro produzido em um

perodo ser acrescido ao valor do capital que o produziu, passando os dois, capital e

juro, a render juro no perodo seguinte. tambm conhecido como juros sobre juro.

A Capitalizao Descontnua se refere aos casos onde temos um determinado valor

aplicado durante um perodo quebrado, ou seja, por exemplo 1 ms e 15 dias, 6 meses

e 10 dias, etc. Nesses casos para se fazer o clculo, separamos a parte inteira da parte

fracionria.

Quando nos dirigimos a um agente financeiro e efetuamos um emprstimo ou assumimos

uma dvida, precisamos assinar um documento para a garantia de quem nos empresta o

capital. Segundo Castanheira e Serenato (2008, p.39) se uma pessoa deve uma quantia

em dinheiro numa data futura, normal que entregue ao credor um ttulo de crdito, que

o comprovante dessa dvida. Existem dois tipos de Ttulos de Crdito:

1. Nota Promissria um comprovante da aplicao de um capital com vencimento predeterminado. um ttulo em que necessariamente uma das partes uma pessoa fsica.

2. Duplicata um ttulo emitido por pessoa jurdica contra o seu cliente (pessoa fsica ou jurdica). Portanto, um ttulo em que necessariamente uma das partes uma pessoa jurdica.

Uma taxa efetiva quando o prazo a que se refere uma taxa que nos foi informada

coincide com aquele prazo de formao e incorporao do juro ao capital que o produziu.

VPL (Valor Presente Lquido).

O VPL utilizado para a anlise do fluxo de caixa e consiste no clculo do valor presente

de uma srie de pagamentos, ou recebimentos, ou depsitos, a uma determinada taxa de

juro conhecida.

Leasing:

uma operao financeira entre duas partes, sendo uma delas o arrendador, que possui

um bem, e o arrendatrio, que utiliza esse bem a partir do pagamento peridico de

prestaes, durante um prazo estipulado entre as partes envolvidas.

Debntures:

um ttulo de dvida amortizvel, sendo comprabatrio de dvida de quem a emitiu.

comum perguntarmos por que se cobra uma taxa de juro to elevada nas

operaes financeiras. A composio da taxa de juro leva em conta que o

possuidor do dinheiro, ao se dispor a emprestar seu patrimnio, deve ficar atendo a

vrios fatores. Desta forma os fatores que o possuidor do dinheiro deve atentar

so:

1. nem sempre o tomador do emprstimo paga sua dvida ao possuidor do dinheiro (risco de crdito);

2. possvel que o tomador do emprstimo atrase o pagamento da sua dvida (risco de liquidez);

3. o possuidor do dinheiro deseja ter lucro ao emprestar o seu patrimnio; 4. o possuidor precisa precaver-se quanto a uma possvel desvalorizao do capital

ao longo do tempo, em funo de um processo inflacionrio (risco de mercado); 5. todo emprstimo implica despesas operacionais, contratuais e tributrias tais como

impostos; 6. h a possibilidade do no retorno do investimento em funo de problemas

operacionais da instituio onde os recursos foram aplicados (risco operacional); 7. existe a possibilidade esperada em funo da situao econmica do pas (risco

pas).