Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2016

ZEROS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

• No cálculo das raizes baseado na aproximação da função f(x) por umPI de grau 1, a estimativa da raiz é o ponto onde a reta intercepta oeixo das abscissas.

• Estimativa pode ser ainda melhor utilizando um polinômio de grau 2.

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

1 – Método de Muller:

• Consiste em aproximar f(x), na vizinhança da raiz [x0, x2], porum polinômio quadrático.

• Polinômio construído de modo a passar pelos três pontos decoordenadas [x0, f(x0)], [x1, f(x1)] e [x2, f(x2)].

• O zero do polinômio usado como uma estimativa da raiz de f(x) = 0.

• Processo é repetido usando sempre os três pontos mais próximosda raiz.

• Dados os três pontos de coordenadas:

• Polinômio do segundo grau

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

• com

• Para cada um dos três pontos

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

• Definindo

• Sistema linear em termos das incógnitas a e b

• Solução

• sendo r = h1/h2 e

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

• Dois zeros do polinômio de grau 2 em v

• Para ser obtida a raiz mais próxima de xi-1, o sinal na expressão deveser escolhido de modo a tornar o numerador o menor possível.

• Em vista de v = x-xi-1, a próxima estimativa da raiz de f(x) = 0 é

• Na próxima iteração, devem ser utilizados os três pontos maispróximos de .

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

Exemplo: Determinar a raiz da função a seguir com com 0.001,sabendo-se que [-1, 2].

• Raiz da equação é

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

Exemplo: Determinar a raiz da função a seguir com com 10-10,sabendo-se que [10, 12].

• Raiz da equação é

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

2 – Método de van Wijngaarden-Dekker-Brent (vWDB):

• Resultado da combinação da interpolação inversa quadrática e dabisseção.

• Implementados de forma a garantir que a raiz continue sempreisolada.

• Na interpolação quadrática, a forma analítica de um polinômio P2(x) f(x) = y é determinada a partir de três pontos de coordenadas

• Para obter um valor aproximado de f(t), basta avaliar P2(t).

• Na interpolação inversa quadrática, o PI de grau 2, 2(y) f-1(y) = x,é construído a partir dos pontos de coordenadas

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

• Para ter um valor aproximado de f-1(z) é necessário avaliar 2(z).

• Utilizando o polinômio de Lagrange 2(y) é:

• Como y = f(x) x = f-1(y), então uma aproximação da raiz de f(x) =0 é o ponto de abscissa correspondente à f-1(0).

• Esta aproximação é dada por x = 2(0).

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

Exemplo: Calcular a menor raiz da função a seguir com com 10-10,sabendo-se que [-5, -3].

• A menor raiz da equação é

Métodos Baseados em Aproximação Quadrática

Exemplo: Calcular a raiz da função a seguir com com 10-10,sabendo-se que [10, 12].

• A raiz procurada é

• A convergência pelo método é garantida desde que haja uma raiz nointervalo.

• Esquema robusto e eficiente.

Métodos Baseados em Tangente

• Exceto o método da Bisseção, os outros são uma aproximação def(x) por polinômios lineares e quadráticos.

• Métodos baseados no cálculo da tangente à curva de f(x): Métodode Newton e Método de Schröder.

Métodos Baseados em Tangente

• Seja a única raiz de f(x) = 0 no intervalo [a, b].

• Seja xk uma aproximação desta raiz sendo que x0 [a, b].

• As derivadas f’(x) e f’’(x) devem existir, ser contínuas e com sinalconstante neste intervalo.

• Geometricamente o método de Newton é equivalente a aproximar umarco da curva por uma reta tangente traçada a partir de um pontoda curva.

• Seja a curva a seguir na qual:

1 – Método de Newton:

Métodos Baseados em Tangente

• Fórmula de recorrência do método de Newton

Métodos Baseados em Tangente• A fórmula de Newton também pode ser obtida analiticamente:

tal que k tenha um valor pequeno.

• Fazendo uma expansão em série de Taylor

• Substituindo essa correção

• Pela figura, a sequência produzida convergirá para a raiz se o valorinicial for x0 = b.

• Processo pode não convergir se x0 = a, pois se terá x’1 [a, b].

• Escolha do valor inicial deve garantir a convergência.

Métodos Baseados em Tangente• Teorema (Convergência)

Se f(a)f(b) < 0, e f’(x) e f’’(x) forem não nulas e preservarem o sinalem [a, b], então partindo da aproximação inicial x0 [a, b] tal que

é possível construir uma sequência {xi} que convirja para a raiz def(x) = 0.

• Valor inicial x0 deve ser um ponto no qual a função tenha o mesmosinal de sua derivada segunda.

• Se f’’(x0) > 0, então x0 é tal que f(x0) > 0.

• Se f’’(x0) < 0, então f(x0) < 0.

Métodos Baseados em TangenteExemplo: Calcular a maior raiz da função a seguir com 10-5.

• Sabe-se que [2, 4], f(2) < 0 e f(4) > 0.

• As derivadas são:

• Valor inicial: x0 = 4, pois P(4)P’’(4) > 0.

Métodos Baseados em Tangente

• Raiz da equação é:

Métodos Baseados em TangenteExemplo: Calcular uma raiz positiva da função a seguir com 10-5.

• Esboço da curva: [1, 2], f(1) > 0 e f(2) < 0.

Métodos Baseados em Tangente• As derivadas são:

• Valor inicial: x0 = 2, pois P(2)P’’(2) > 0.

• Raiz da equação é:

Métodos Baseados em Tangente1 – Método de Schröder:

• Método de Newton apresenta convergência linear quando uma raiztem multiplicidade m > 1, pois:

• pela fórmula

• à medida que

• Uma modificação simples permite o cálculo de uma raiz demultiplicidade m

Métodos Baseados em TangenteExemplo: Calcular a raiz da função a seguir com 10-5 e demultiplicidade m = 3.

• Esboço da curva: [0, 2]

Métodos Baseados em Tangente• As derivadas são:

• Valor inicial: x0 = 2, pois P(2)P’’(2) > 0.

• Raiz da equação é:

• Método de Newton gasta 27 iterações para calcular esta raiz com amesma tolerância 10-5 .

• Cinco equações e intervalo que isola a raiz

• Utilizados o mesmo número máximo de iterações (500), tolerância (= 10-10).

• Para o método de Newton, x0 foi escolhido como o ponto médio dointervalo dado.

Comparação dos Métodos

Comparação dos Métodos

Comparação dos Métodos

Comparação dos Métodos

Comparação dos Métodos

Comparação dos Métodos

Comparação dos Métodos• Bisseção mostrou sua robustez, pois não falhou, apesar de não ser o

mais eficiente.

• Secante, embora seja rápida, encontrou uma raiz fora do intervalodado.

• Regula falsi apresentou uma convergência muito lenta e falhou trêsvezes.

• Pégaso, além de ser robusto, foi competitivo com relação ao vanWijngaarden-Dekker-Brent.

• Muller não foi robusto, embora eficiciente, pois falhou nos casosonde a raiz possui multiplicidade.

• Van Wijngaarden-Dekker-Brent foi robusto, mas também foi menoseficiente na presença de multiplicidade.

• Schroder é uma efetiva modificação do método de Newton paraevitar problemas com raízes de multiplicidade.

1. Frederico Ferreira Campos Filho, Algoritmos Numéricos.

Referencias Bibliográficas