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8/12/2019 Evoluo Caotica do sistema solar
1/7
b a t i o n s i n t h e a b s e n c e o f e nz y m e. O f t h e
t w om a jo r p o l y p ep t i d es i n p u r i f i e d b o v i n e
a n d r a tx - l a t r o t o x i n r e c e p t o r p r e p a r a t
i o n s ( 2 ) , t h e l a r g e rb a n d h a s t h e s a m e s i z
e a s g l y c o s y l a t e d n e u r e x i nl a e x p r e s s e d
i n COS c e l l s . T h e s m a l l e r b a n dc o u l d b e a r e
s u l t o f c u r r e n t l y u n i d e n t i f i e d f u r t h e
ra l t e r n a t i v e s p l i c i n g o r o f i n v i v o o r i n
v i t r o p r o t e o -l y s i s . T h e l a t t e r p o s s i b i
l i t y i s s u p p o r t e d b y t h em i x e d N H 2 - t e r m i
n a l s e q u e n c e , p a r t o f w h i c h w a sa s s i g n e d
t o a n i n t e m a l s e q u e n c e i n n e u r e x i n l a( F i
g . 1 B ) .1 3 . J . K y t e a n d R . F . D o o l i t t l e , J .
M o l . B l o t . 1 5 7 , 1 0 5( 1 9 8 2 ) ; P . P e t r , M . K a
n e h i s a , C . D e L i s i , B i o c h i m .B i o p h y s . A c
t a 8 1 5 , 4 6 ( 1 9 8 5 ) .1 4 . G e n B a n k r e l e a s e 7 0
a n d NBRF r e l e a s e 3 0 w er es e a r c h e d f o r h o m o l
o g i e s b o t h a t t h e a m i n o a c i da n d p r o t e i n l
e v e l s u s i n g s t a n d a r d p r o g r a m s .1 5 . U . J .
McMahan a n d B . G . W a l l a c e , D e v . N e u r o s c i .1 1
, 2 2 7 ( 1 9 8 9 ) ; F . R u p p , D . G . P a ya n, C . M a g i l
l -S o l c , D . M . C o w a n , R . H . S c h e l l e r , N e u r
o n 6 , 8 1 1( 1 9 9 1 ) ; J . T . C a m p a n e l l i , W . H o c
h , F . R u p p , T .K r i e g e r , R . H . S c h e l l e r , C e
l t 6 7 , 9 0 9 ( 1 9 9 1 ) .1 6 . M . A . R u e g g e t a l . , N
e u r o n 8 , 6 9 1 ( 1 9 9 2 ) ; M . F e r n se t a l . , i b i d
. , i n p r e s s .1 7 . M . S a s a k i , H . K . K l e i n m a n
, H . H u b e r , R . D e u t z -m a n n , K . Y a m a d a , J . B
i o l . C h e m . 2 6 3 , 1 6 5 3 6( 1 9 8 8 ) ; G . R . M a r t i
n a n d R . T i m p l , A n n u . R e v . C e l lB i o l . 3 , 5 7
( 1 9 8 7 ) .1 8 . D . M . N o o n a n e t a l . , J . B i o l . C
h e m . 2 6 6 , 2 2 9 3 9( 1 9 9 1 ) .
1 9 . U . R u t i s h a u s e r a n d T . M . J e s s e l l , P
h y s i o l . R e v . 6 8 ,8 1 9 ( 1 9 8 8 ) ; L . F . R e i c h a
r d t e t a t . , i n M o l e c u l a rN e u r o b i o l o g y , S
. J . Z a l c m a n a n d R . S c h e l l e r , E d s .( U . S . G
o v e r n m e n t P r i n t i n g O f f i c e , W a s h i n g t o n
,D C , 1 9 8 9 ) , p p . 1 1 0 - 1 2 7 ; J . R . S a n e s , A n n
u . R e v .N e u r o s c i . 1 2 , 4 9 1 ( 1 9 8 9 ) .2 0 . U . O t
t , E . O d e r m a t t , J . E n g e l , H . F u r t h m a y r , R
.T i m p l , E u r . J . B i o c h e m . 1 2 3 , 6 3 ( 1 9 8 2 ) ;
P . D .Y u r c h e n c o , Y . - S . C h e n g , J . C . S c h i t
t n y , J . B i o l .C h e m . 2 6 5 , 3 9 8 1 ( 1 9 9 0 ) ; A . P
. N . S k u b i t z , P . C .L e t o u r n e a u , E . W a y n e r
, L . T . F u r c h t , J . C e l l B i o l .1 1 5 , 1 1 3 7 ( 1 9
9 1 ) .2 1 . J . M . R o t h b e r g , J . R . J a c o b s , C . S
. G o o d m a n , S .A r t a v a n i s - T s a k o n a s , G e n e
s D e v . 4 , 2 1 6 9 ( 1 9 9 0 ) .2 2 . A cDNA f r a g m e n t e n
c o d i n g a m i n o a ci d s 1 4 5 1 t o1 5 0 7 o f n e u r e x i
n w a s p r e p a r e d b y PCR ( 4 ) w i t ho l i g o n u c l e o
t i d e p r i m e r s f l a n k e d b y r e s t r i c t i o ns i t
e s . T h e f r a g m e n t wa s c l o n e d i n t o a p G E Xv e c
t o r . P u r i f i e d r e c o m b i n a n t f u s i o n p r o t e
i n w a su s e d f o r a n t i b o d y p r o d u c t i o n i n r a
b b i t s [ D . B .S m i t h a n d K . S . J o h n s o n , G e n e
6 7 , 3 1 ( 1 9 8 8 ) ; P .A . J o h n s t o n , R . J a h n , T .
C . S u d h o f , J . B i o t . C h e m .2 6 4 , 1 2 6 8 ( 1 9 8 9
) ] . A n t i b o d y f r o m s e r u m w a sa f f i n i t y - p u
r i f i e d o n p u r i f i e d f u s i o n p r o t e i n i m m o b
i -l i z e d o n C N B r - a c t i v a t e d S e p h a r o s e 4 B.
F o r i m m u -n o f l u o r e s c e n c e s t a i n i n g , p a r
a f o r m a l d e h y d e - f i x e df r o z e n s e c t i o n s w
e r e d o u b l e - l a b e l e d w i t h a f f i n i t y -p u r i
f i e d a n t i b o d i e s t o n e u r e x i n a n d w i t h m o n
o c l o -n a l a n t i b o d i e s t o s y n a p t o p h y s i n ,
w i t h c o n t r o l s f o rs p e c i f i c i t y a s d e s c r i
b e d [ T . C . S u d h o f e t a t . ,S c i e n c e 2 4 5 , 1 4 7
4 ( 1 9 8 9 ) ] . A d d i t i o n a l c o n t r o l si n c l u d e
d i ) s i n g l e - l a b e l i m m u n o f l u o r e s c e n c e e
x -p e r i m e n t s w i t h o n l y o n e a n t i b o d y t o e s
t i m a t e l i g h tb l e e d i n g b e t w e e n t h e f l u o r
e s c e i n a n d r h o d a m i n ec h a n n e l s , i i ) p r e i
m m u n e s e r a , a n d i i i ) u s e o fa n t i s e r a t o o t
h e r p G E X - f u s i o n p r o t e i n s . Two i n d e -p e n d
e n t l y r a i s e d s e r a g a v e s i m i l a r r e s u l t s
.2 3 . A . G . P e t r e n k o e t a l . , N a t u r e 3 5 3 , 6 5
( 1 9 9 1 ) .
2 4 . U . S c h i b l e r a n d F . S i e r r a , A n n u . R e
v . G e n e t . 2 1 ,2 3 7 ( 1 9 8 7 ) .2 5 . We p r e p a r e d a
n t i b o d i e s t o p e p t i d e s a n d r e c o m -b i n a n t
p r o t e i n s c o r r e s p o n d i n g t o t h e f o l l o w i n
gr e s i d u e s o f t h e n e u r e x i n l a s e q u e n c e ( F
i g . 1 B ) :4 7 6 t o 6 7 9 ; 7 1 2 t o 7 2 8 ; 9 0 5 t o 1 1 0 0
; 1 4 5 1 t o 1 5 0 7 ;a n d 1 4 9 1 t o 1 5 0 7 . A l l o f t h e
s e a n t i b o d i e s r e a c t e dw i t h p u r i f i e d a - l
a t r o t o x i n r e c e p t o r o n i m m u n o b l o t sb u t o
n l y t h e a n t i b o d i e s t o t h e C O O H - t e r m i n u
sr e c o g n i z e d t h e n a t i v e p r o t e i n .2 6 . A . M a
l g a r o l i , P . D e C a m i l l i , J . M e l d o l e s i , N e
u r o -s c i e n c e 3 2 , 3 9 3 ( 1 9 8 9 ) .2 7 . T h e a l i g n
e d s e q u e n c e s w e r e f r o m t h e f o l l o w i n gr e s
i d u e s : i ) N e u r e x i n s ( F i g . 1 B ) : l A a , 54 t o
1 9 1 ;1 B a , 5 0 4 t o 6 5 1 ; 1 C a , 9 2 9 t o 1 0 6 0 ; l A b
, 3 0 8 t o 4 4 6 ;I B b , 7 4 2 t o 8 8 6 ; I C b , 1 1 5 2 t o 1
2 8 8 ; I A a , 5 3 t o1 8 5 ; I l B a , 5 1 7 t o 6 6 5 ; I l C a
, 9 4 5 t o 1 0 7 6 ; 1 l A b , 3 1 45 6
t o 4 5 8 ; l l B b , 7 5 6 t o 9 0 2 ; a n d 1 l C b , 1 1 6 8
t o 1 2 7 2 . i i ) S l i t ( 2 1 ) : 1 1 7 6 t o 1 3 0 9 . i i i )
A g r i n c o n s e n s u sw a s d e r i v e d f r o m a n a l i g
n m e n t o f t h e t h r e e r e -p e a t s c o r r e s p o n d i
n g t o r e s i d u e s ( 1 5 ) : 1 2 8 7 t o1 4 1 8 ; 1 5 5 5 t o
1 6 9 0 ; a n d 1 7 8 8 t o 1 9 1 9 . ( i v ) L a m i -n i n A c o
n s e n s u s ( 1 7 ) : 2 1 2 6 t o 2 2 6 8 ; 2 3 1 4 t o2 4 5 0 ;
2 4 9 5 t o 2 6 3 8 ; 2 7 2 4 t o 2 8 5 4 ; a n d 2 9 0 1 t o3 0 3
3 . ( v ) P e r l e c a n c o n s e n s u s ( 1 8 ) : 3 0 0 9 t o 3
0 4 5 ;3 2 7 0 t o 3 4 0 1 ; a n d 3 5 4 7 t o 3 6 7 9 .2 8 . RNA b
l o t t i n g w a s d o n e a s d e s c r i b e d [ M . S . P e r i
ne t a l . , EMBO J . 7 , 2 6 9 7 ( 1 9 8 8 ) ] w i t h 1 0 A g l o
f t o t a lRNA f r o m t h e i n d i c a t e d r a t t i s s u e s
. B l o t s w e r eh y b r i d i z e d w i t h m u l t i p l e u n
i f o r m l y 3 2 P - l a b e l e dp r o b e s s p e c i f i c f o
r t h e d i f f e r e n t n e u r e x i n s . T o
c o n t r o l f o r RNA l o a d i n g , b l o t s w e r e r e h
y b r i d i z ew i t h a c y c l o p h i l i n p r o b e . V e r y
l o n g e x p o s u r e( > 1 4 d a y s o f t h e b l o t s r e v
e a l e d a l o w l e v e ln e u r e x i n I a e x p r e s s i o n
i n l u n g w h i c h w a s a t t r iu t e d t o c o nt a mi n a ti
n g s y m p at h e ti c g a n g l i a .2 9 . We t h a n k 1 . L e z
n i c k i , A . H o p k i n s , a n d E . B o r o w i cf o r t e c
h n i c a l a s s i s t a n c e ; M . S . B r o w n , J . L . G o
ls t e i n , a n d D . W . R u s s e l l f o r a d v i c e ; a n d
S . A r tv a n i s - T s a k o n a s a n d J . M . R o t h b e r g
f o r a l e r t i n gt o t h e u n p u b l i s h e d s e q u e n c
e s i m i l a r i t y o f a g rw i t h l a m i n i n A G - d o m a
i n r e p e a t s . T h i s s t u d y w as u p p o r t e d b y t h
e P e r o t F a m i l y F o u n d a t i o n a n dp o s t d o c t o
r a l f e l l o w s h i p f r o m t h e D e u t s c h e F os c h u
n g s g e m e i n s c h a f t t o M . G .
Chaotic E v o l u t i o n o f theSolar System
G e r a l d J a y S u s s m a n a n d J a c k WisdomT h e e v o
l u t i o n o f t h e e n t i r e p l a n e t a r y s y s t e m h a
s b e e n n u m e r i c a l l y i n t e g r a t e d f o r a t i
mspa n o f n e a r l y 1 0 0 m i l l i o n years. T h i s c a l c u
l a t i o n c o n f i r m s t h a t t h e e v o l u t i o n o f t h
e s o l as y s t e m a s a w h o l e i s c h a o t i c , w i t h a
t i m e s c a l e o f e x p o n e n t i a l d i v e r g e n c e o f
a b o u t 4 m i l l iy e a r s . A d d i t i o n a l n u m e r i c
a l e x p e r i m e n t s i n d i c a t e t h a t t h e J o v i a n
p l a n e t s u b s y s t e mc h a o t i c , a l t h o u g h some s
m a l l v a r i a t i o n s i n t h e m o d e l c a n y i e l d q u
a s i p e r i o d i c m o t i o n . Thm o t i o n o f P l u t o i s
i n d e p e n d e n t l y a n d r o b u s t l y c h a o t i c .
A d v a n c e s i n c o m p u t e r t e c h n o l o g y h a v em
a d e i t p o s s i b l e t o b e g i n t o d i r e c t l y a d d r
e s st h e a g e - o l d q u e s t i o n o f t h e n a t u r e o f
t h el o n g - t e r m e v o l u t i o n o f t h e s o l a r s y s
t e m ,w i t h s t a r t l i n g r e s u l t s . S u s s m a n a n
d W i s d o m( 1 ) p r e s e n t e d n u m e r i c a l e v i d e n
c e t h a t t h em o t i o n o f P l u t o i s c h a o t i c , w i
t h a t i m e s c a l ef o r e x p o n e n t i a l d i v e r g e n
c e o f n e a r b y t r a j e c -t o r i e s o f o n l y a b o u t
2 0 m i l l i o n y e a r s . S u b -s e q u e n t l y , L a s k a
r ( 2 ) f o u n d n u m e r i c a l e v i -d e n c e o f t h e c h
a o t i c e v o l u t i o n o f t h e s o l a rs y s t e m e x c l
u d i n g P l u t o , w i t h a t i m e s c a l ef o r e x p o n e
n t i a l d i v e r g e n c e o f o n l y a b o u t 5m i l l i o n
y e a r s . L a s k a r ' s c a l c u l a t i o n w a s f e a -s i
b l e b e c a u s e h e a n a l y t i c a l l y a v e r a g e d t h
ee q u a t i o n s o f m o t i o n t o r e m o v e t h e r a p i dv
a r i a t i o n s w i t h t i m e s c a l e s o f t h e o r d e r o
ft h e o r b i t a l p e r i o d . T h e a v e r a g e d e q u a t
i o n sa r e p e r t u r b a t i v e a n d n e c e s s a r i l y t
r u n c a t e da f t e r a p a r t i c u l a r o r d e r i n e c c
e n t r i c i t y , i n -c l i n a t i o n , a n d m a s s r a t i
o . An i n t e g r a t i o n o ft h e w h o l e s o l a r s y s t e
m w i t h o u t t h e s e a p -p r o x i m a t i o n s w a s r e q
u i r e d .D i r e c t i n t e g r a t i o n s o f t h e w h o l e
p l a n e -t a r y s y s t e m a r e c o m p u t a t i o n a l l y
e x p e n s i v e .N o t a b l e l o n g - t e r m i n t e g r a t
i o n s o f t h e o u t e rs o l a r s y s t e m i n c l u d e : t
h e c l a s s i c 1 - m i l l i o n -y e a r i n t e g r a t i o n
o f C o h e n , H u b b a r d , a n dO e s t e r w i n t e r ( 3 )
, t h e 5 - m i l l i o n - y e a r i n t e -g r a t i o n o f K i
n o s h i t a a n d N a k a i ( 4 ) , t h e2 1 0 - m i l l i o n -
y e a r i n t e g r a t i o n p e r f o r m e d o nG . J . S u s s
m a n i s i n t h e D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a lE n
g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e , a n d J . W
i s d o m i si n t h e D e p a r t m e n t o f E a r t h A t m o s
p h e r i c a n d P l a n e t a r yS c i e n c e s , M a s s a c h
u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ,C a m b r i
d g e , M A 0 2 1 3 9 .
SCIENCE * V O L . 2 5 7 * 3 J U L Y 1 9 9 2
t h e D i g i t a l O r r e r y ( 5 ) , t h e 1 0 0 - m i l l i
o n - y e ai n t e g r a t i o n o f t h e LONGSTOP p r o j e c t (
6a n d t h e 8 4 5 - m i l l i o n - y e a r D i g i t a l O r r e
ri n t e g r a t i o n o f S u ss m a n a nd W i s d o m ( 1S t u d
i e s o f t h e l o n g - t e r m e v o l u t i o n o f t hw h o l
e s o l a r s y s t e m h a v e b ee n m o r e l i m i tb e c a u s
e t h e c o m p u t a t i o n a l r e s o u r c e s rq u i r e d a
r e s i g n i f i c a n t l y l a r g e r , b y a b o u t t wo r d
e r s o f m a g n i t u d e . I n t e g r a t i o n s o f t hw h o
l e s o l a r s y s t e m i n c l u d e : t h e 3 - m i l l i o ny
e a r D i g i t a l O r r e r y i n t e g r a t i o n ( w h i c h
ec l u d e d M e r c u r y ) ( 5 ) , t h e 2 - m i l l i o n - y ei
n t e g r a t i o n o f R i c h a r d s o n a n d W a l k e r ( 7a
n d t h e r e c e n t 3 - m i l l i o n - y e a r i n t e g r a t
io f Q u i n n , T r e m a i n e , a n d D u n c a n ( 8 ,( h e r e
a f t e r Q T D ) .We h a v e d e v e l o p e d c o m p u t a t i o
n a l t e cn i q u e s a n d c o m p u t e r h a r d w a r e t o m
a kp o s s i b l e a d i r e c t i n t e g r a t i o n o f t h e w
h o ls o l a r s y s t e m s p a n n i n g a s i g n i f i c a n t
l y l o n gi n t e r v a l t h a n p r e v i o u s l y a c h i e v
e d . O u r dr e c t i n t e g r a t i o n o f t h e e q u a t i o
n s o f m o t i os p a n s 3 6 , 0 0 0 , 0 0 0 , 0 0 0 d a y s , o
r a b o u t 9 8m i l l i o n y e a r s . O u r e a r l i e r r e s
u l t c o n c e r n it h e c h a o t i c m o t i o n o f P l u t o
, a s w e l l a s tr e s u l t o f L a s k a r t h a t t h e s o l
a r s y s t e mc h a o t i c , a r e b o t h c o n f i r m e d . I
n o r d e rl o c a l i z e t h e s o u r c e s o f t h e c h a o t
i c b e h a v iw e h a v e c a r r i e d o u t n u m e r o u s a d
d i t i o nl o n g - t e r m i n t e g r a t i o n s . We h a v e f
o u n d t ht h e e v o l u t i o n o f t h e J o v i a n p l a n e
t s i s i n dp e n d e n t l y c h a o t i c , a s i s t h e m o t
i o nP l u t o .M e t h o d o f i n t e g r a t i o n . We u s e t
h e s yp l e c t i c n - b o d y m a p p i n g m e t h o d o f W i
s d oa n d H o l m a n ( 1 0 ) t o i n t e g r a t e t h e p l a n
e t a
http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/http://www.sciencemag.org/
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8/12/2019 Evoluo Caotica do sistema solar
2/7
s y s t e m . T h i s m a p p i n g m e t h o d i s a g e n e r
a l -i z a t i o n o f t h e m a p p i n g m e t h o d o f W i s d
o m( 1 1 , 1 2 ) . T h e b a s i c i d e a i s a s f o l l o w s .T
h e H a m i l t o n i a n f o r t h e p l a n e t a r yn - b o d y
p r o b l e m c a n b e w r i t t e nH = H K e p l e r + H I n t e
r a c t i o n ( 1 )
w h e r e t h e f i r s t t e r m r e p r e s e n t s t h e K e
p l e -r i a n m o t i o n o f e a c h o f t h e p l a n e t s w i
t hr e s p e c t t o t h e s u n , a n d t h e s e c o n d t e r md
e s c r i b e s t h e p l a n e t a r y p e r t u r b a t i o n s .
As i m p l e f o r m o f t h e m a p i s o b t a i n e d b ya d d i
n g s h o r t - p e r i o d t e r m s s o t h a t t h eH a m i l t
o n i a n b e c o m e sH M a p = H K e p l e r + H l n t e r a c t
i o n 2 b 2 , r ( f t i r )( 2 )w h e r e 8 2 , ( t ) i s a p e r i
o d i c s e q u e n c e o f D i r a cd e l t a f u n c t i o n s w
i t h p e r i o d 2 b r , a n d f i i s t h em a p p i n g f r e q
u e n c y . T h e a v e r a g i n g p r i n c i -p l e ( 1 3 ) s u
g g e s t s t h a t t h e a d d i t i o n a l s h o r t -p e r i o
d t e r m s d o n o t s i g n i f i c a n t l y a f f e c t t h el
o n g - p e r i o d e v o l u t i o n . T h i s H a m i l t o n i a
n i sl o c a l l y i n t e g r a b l e : b e t w e e n t h e d e l
t a f u n c -t i o n s t h e m o t i o n i s p u r e l y K e p l e
r i a n a n di n t e g r a t i o n a c r o s s t h e d e l t a f u
n c t i o n s i se a s i l y c a r r i e d o u t i n C a r t e s i
a n c o o r d i n a t e s .T h e K e p l e r i a n p h a s e o f t
h e e v o l u t i o n i se f f i c i e n t l y c a r r i e d o u t
d i r e c t l y i n C a r t e s i a nc o o r d i n a t e s w i t h
t h e a i d o f G a u s s ' s f a n d gf u n c t i o n s . T h u s
w e e v o l v e t h e s y s t e m w i t ht h e K e p l e r H a m i
l t o n i a n f o r a h a l f m a p p i n gs t e p , f o l l o w e
d b y a n a l t e r n a t i n g s u c c e s s i o no f f u l l i n
t e r a c t i o n k i c k s a n d w h o l e K e p l e -r i a n s t
e p s , b u t e n d i n g a t e a c h o u t p u t p o i n tw i t h
a h a l f K e p l e r i a n s t e p . T h e m a p o f t h ep h a s
e s p a c e o n t o i t s e l f i s a c o m p o s i t i o n o fc a
n o n i c a l t r a n s f o r m a t i o n s , s o t h e c o m p o s
i -t i o n i s c a n o n i c a l ( t h a t i s , t h e J a c o b i
a n i s as y m p l e c t i c m a t r i x ) .T h i s s i m p l e s c
h e m e i s a c t u a l l y a r e m a r k -a b l y g o o d a n d e
f f i c i e n t i n t e g r a t o r . W i s d o ma n d H o l m a n
( 1 0 ) u s e d t h i s m a p t o c o m p u t et h e e v o l u t i
o n o f t h e o u t e r p l a n e t s f o r ab i l l i o n y e a r
s a n d c o m p a r e d t h e r e s u l t s t ot h e r e s u l t s
o f t h e 8 4 5 - m i l l i o n - y e a r i n t e g r a -t i o n s
p e r f o r m e d o n t h e D i g i t a l O r r e r y b yS u s s m
a n a n d W i s d o m ( 1 ) u s i n g c o n v e n -t i o n a l i n
t e g r a t i o n t e c h n i q u e s . A l l o f t h er e s u l t
s o f t h a t s t u d y w e r e c o n f i r m e d , i n c l u d -i
n g d e t a i l s o f t h e v e r y l o n g p e r i o d v a r i a t
i o n si n t h e i n c l i n a t i o n o f P l u t o , a n d t h e
e x p o -n e n t i a l d i v e r g e n c e o f t r a j e c t o r i
e s , w h i c hi n d i c a t e d c h a o t i c b e h a v i o r i n
t h e m o t i o n o fP l u t o . T h e m a p i s a b o u t a n o r
d e r o f m a g -n i t u d e f a s t e r t h a n t r a d i t i o n
a l m e t h o d s o fi n t e g r a t i o n .O n e - h u n d r e d -
m i l l i o n - y e a r i n t e g r a t i o n s .O u r 1 0 0 - m i
l l i o n - y e a r i n t e g r a t i o n s o f t h ep l a n e t a
r y s y s t e m w e r e p e r f o r m e d u s i n g t h eS u p e r
c o m p u t e r T o o l k i t ( 1 4 ) . T h e T o o l k i ti s t h
e s u c c e s s o r t o t h e D i g i t a l O r r e r y ( 1 5 ) .I
t i s a s m a l l m u l t i p r o c e s s o r c o m p u t e r o p
-t i m i z e d f o r t h e n u m e r i c a l s o l u t i o n o f s
y s -t e m s o f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t
i o n s .T h e T o o l k i t w a s b u i l t a s a c o l l a b o r
a t i o n
T a b l e 1 . T h e maximum d i f f e r e n c e s i n t h e e c
-c e n t r i c i t i e s o f t h e p l a n e t s i n t h e i n t e
g r a t i o n s o fL a s k a r , Q T D , a n d t h e T o o l k i t
s h o w e x c e l l e n ta g r e e m e n t among t h e i n t e g r
a t i o n s . L a s k a r d i dn o t i n c l u d e P l u t o i n h
i s c a l c u l a t i o n .L a s k a r - Q T D T o o l k i t - Q T
D
M e r c u r y 0 . 0 0 4 1 0 . 0 0 0 0 1 8V e n u s 0 . 0 0 2 0 0
. 0 0 0 0 6 5E a r t h 0 . 0 0 2 4 0 . 0 0 0 0 5 9M a r s 0 . 0 0 4
1 0 . 0 0 0 1 3 2J u p i t e r 0 . 0 0 3 8 0 . 0 0 0 0 4 7S a t u r
n 0 . 0 0 8 1 0 . 0 0 0 1 6 2U r a n u s 0 . 0 0 5 1 0 . 0 0 0 0 0
8N e p t u n e 0 . 0 0 2 6 0 . 0 0 0 0 0 2P l u t o 0 . 0 0 0 0 0
1
b e t w e e n MI T a n d H e w l e t t - P a c k a r d . I t i s
af a m i l y o f s t a n d a r d s o f t w a r e a n d h a r d w a
r em o d u l e s t h a t c a n b e i n t e r c o n n e c t e d i n
av a r i e t y o f c o n f i g u r a t i o n s a s a p p r o p r i
a t e f o rp a r t i c u l a r a p p l i c a t i o n s . E a c h p
r o c e s s o r o ft h e T o o l k i t i s t h r e e t i m e s f a
s t e r t h a n t h ee n t i r e D i g i t a l O r r e r y , a s m
e a s u r e d b y r u n -n i n g t h e s a m e c o m p u t a t i o
n . We u s e d t h ee i g h t - p r o c e s s o r c o n f i g u r a
t i o n o f t h e T o o l -k i t a t M I T , w i t h t h e s y m p
l e c t i c n - b o d ym a p , t o c a r r y o u t e i g h t 1 0 0
- m i l l i o n - y e a ri n t e g r a t i o n s o f t h e p l a n
e t a r y s y s t e m . E a c hp r o c e s s o r w a s u s e d t o
r u n a s e p a r a t e i n t e -g r a t i o n w i t h s l i g h t
l y d i f f e r e n t i n i t i a l c o n -d i t i o n s s o t h a
t w e c o u l d l o o k f o r e x p o n e n -t i a l d i v e r g e
n c e .T h e m o s t c o m p l e t e o f t h e l o n g - t e r mi n
t e g r a t i o n s o f t h e w h o l e s o l a r s y s t e m i st
h a t o f Q T D . P a r t i c u l a r c a r e w a s t a k e n b
y
I n d .
QT D t o m a k e t h e i r p h y s i c a l m o d e l a c c ur a
t e . T h e y i n c l u d e d g e n e r a l r e l a t i v i s t i c
c o rr e c t i o n s , a n d a c a r e f u l l y c r a f t e d q u
a d r u p o la p p r o x i m a t i o n t o a c c o u n t f o r t h
e l o n g - t e re f f e c t s a t t r i b u t a b l e t o t h e f
i n i t e s i z e o f t hE a r t h - M o o n s y s t e m . T h e y
u s e d i n i t i a l c o nd i t i o n s a n d m a s s e s d e r i
v e d f r o m J P L e p h e me r i s D E 1 0 2 . O u r p h y s i c
a l m o d e l i s t h e s a ma s t h a t o f QT D e x c e p t i n o
u r t r e a t m e n t ot h e e f f e c t s o f g e n e r a l r e l
a t i v i t y . G e n e r ar e l a t i v i s t i c c o r r e c t i
o n s c a n b e w r i t t e n iH a m i l t o n i a n f o r m , b u
t w e h a v e n o t b e ea b l e t o i n t e g r a t e t h e m a n
a l y t i c a l l y . I n s t e aw e u s e d t h e p o t e n t i a
l a p p r o x i m a t i o n oN o b i l i a n d R o x b u r g h ( 1
6 ) , w h i c h i s e a s i li n t e g r a t e d , b u t o n l y a
p p r o x i m a t e s t h e r e l at i v i s t i c c o r r e c t i
o n s t o t h e s e c u l a r e v o l u t i oo f t h e s h a p e a
n d o r i e n t a t i o n o f t h e o r b i t .M u l t i s t e p m
e t h o d s t y p i c a l l y r e q u i rm o r e t h a n a h u n d
r e d s t e p s p e r o r b i t ; t hm a p p i n g m e t h o d c a
n b e u s e d w i t h a s f e w at e n s t e p s p e r o r b i t .
T h e s t e p s i z e f o r o ui n t e g r a t i o n w a s r a t h
e r a r b i t r a r i l y c h o s e n tb e 7 . 2 d a y s ; w i t h
7 . 2 - d a y s t e p s o u t p up o i n t s a r e e a s i l y c o
m p a r e d t o t h e e p h e m e r io f QTD. We i n t e g r a t e
d b a c k w a r d i n t i m eA 2 2 - m i l l i o n - y e a r i n t
e g r a t i o n w i t h 3 . 6 - d as t e p s w a s c a r r i e d o
u t t o c h e c k t h a t t h7 . 2 - d a y i n t e g r a t i o n w
a s s u f f i c i e n t l y a c c ur a t e . A l l o f t h e p o s
i t i o n c a l c u l a t i o n s w e rd o n e i n p s e u d o - q
u a d r u p l e p r e c i s i o n , i n ae f f o r t t o r e d u c
e t h e e f f e c t o f r o u n d o f f e r r o rWe b e l i e v e n
o w t h a t t h e u s e o f q u a d r u p lp r e c i s i o n w a s
a n u n n e c e s s a r y p r e c a u t i o na n d n e e d l e s s
l y d o u b l e d t h e c o m p u t a t i ot i m e o f o u r e x p
e r i m e n t . E v e n o n t h i s d e
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0T i n m e ( 1 0 6 y a r s )F i g . 1 . E
x p o n e n t i a l d i v e r g e n c e o f n e a r b y t r a j e c
t o r i e s i s i n d i c a t e d b y t h e a v e r a g e l i n e a
r g r o w t h o f tl o g a r i t h m o f t h e f u l l s e c u l a
r p h a s e s p a c e d i s t a n c e b e t w e e n t w o d i f f e
r e n t r u n s w i t h v e r y s l id i f f e r e n c e s i n i n
i t i a l c o n d i t i o n s . T h e s e g m e n t f o l l o w i n
g t h e i n i t i a l t r a n s i e n t h a s an e x p o n e n t it
i m e s c a l e o f a b o u t 1 2 m i l l i o n y e a r s . T h e d
i v e r g e n c e i s s u b s e q u e n t l y d o m i n a t e d b y
a n e x p o n e n t iw i t h a t i m e s c a l e n e a r 4 m i l l
i o n y e a r s .
SCIENCE 0 V O L . 2 5 7 0 3 J U L Y 1 9 9 2
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8/12/2019 Evoluo Caotica do sistema solar
3/7
m a n d i n g t a s k e a c h p r o c e s s o r e v o l v e d t
h es o l a r s y s t e m a t t h e r a t e o f a b o u t 3 0 y e a
r s p e rs e c o n d . T h u s o u r e i g h t 1 0 0 - m i l l i o
n - y e a ri n t e g r a t i o n s t o o k a t o t a l o f a b o u
t 1 0 0 0h o u r s o f T o o l k i t t i m e .We h a v e c o m p a
r e d o u r i n t e g r a t i o n t ot h e r e v e r s e d - t i m
e s e g m e n t o f t h e 0 . 5 - d a ys t e p s i z e i n t e g r
a t i o n o f QTD, a n d t h e a g r e e -m e n t i s q u i t e g o
o d . T h e m a x i m u m d i f f e r -e n c e i n t h e a r g u m
e n t o f p e r i h e l i o n o f M e r -c u r y o v e r t h e 3 -
m i l l i o n - y e a r i n t e r v a l i s o fo r d e r 0 . 0 0 0
1 r a d i a n s ; f o r c o m p a r i s o n , t h eg e n e r a l r
e l a t i v i s t i c c o r r e c t i o n i s r e s p o n s i b l
ef o r a b o u t o n e e x t r a r e v o l u t i o n i n t h e a r
g u -m e n t o f p e r i h e l i o n e v e r y 3 m i l l i o n y e
a r s .E v i d e n t l y , o u r m o r e a p p r o x i m a t e t r
e a t m e n to f r e l a t i v i t y i s o f l i t t l e c o n s e
q u e n c e . A sa n o t h e r c o m p a r i s o n , T a b l e 1 l
i s t s t h e m a x -i m u m d i f f e r e n c e s b e t w e e n t
h e e c c e n t r i c i t i e so f t h e p l a n e t s c o m p a r
e d t o Q T D . A l s ol i s t e d a r e t h e d i f f e r e n c e
s b e t w e e n t h e i n t e -g r a t i o n o f QT D a n d t h a t
o f L a s k a r ( 9 ) .T a b l e 1 i l l u s t r a t e s t h a t t
h e e v o l u t i o n c o m -p u t e d w i t h t h e m a p p i n g
a g r e e s q u i t e w e l lw i t h t h e m o r e c o n v e n t i
o n a l d i r e c t i n t e g r a -t i o n o f Q T D . T h e T o o
l k i t i n t e g r a t i o n a n dQT D a r e m u t u a l l y m o r
e c o n s i s t e n t t h a ne i t h e r i s t o t h e i n t e g r
a t i o n o f L a s k a r ,t h o u g h i t i s n o t c l e a r w h
e t h e r t h i s d i s c r e p -a n c y i s d u e p r i m a r i l
y t o m o d e l d i f f e r e n c e s o rt o t h e a p p r o x i m
a t i o n s u s e d b y L a s k a r . T h em o d e l d i f f e r e
n c e s a r e a c t u a l l y t o o u r b e n e f i tb e c a u s e
t h e y h e l p a d d r e s s t h e i m p o r t a n tq u e s t i o
n o f t h e s e n s i t i v i t y o f o u r r e s u l t s t om o d
e l p a r a m e t e r s .C h a o t i c e v o l u t i o n o f t h e
s o l a r s y s t e m .E x p o n e n t i a l d i v e r g e n c e o
f n e a r b y t r a j e c t o -r i e s i s i n d i c a t i v e o f
c h a o t i c b e h a v i o r . T h e
d i v e r g e n c e o f t r a j e c t o r i e s m a y h a v e b
o t hq u a s i p e r i o d i c a n d e x p o n e n t i a l c o m p
o n e n t s .O f c o u r s e , i f p r e s e n t , t h e e x p o n
e n t i a l c o m -p o n e n t e v e n t u a l l y d o m i n a t e
s . I n o r d e r t oe s t i m a t e t h e L y a p u n o v e x p o
n e n t , w e e x -t r a c t e d t h e e x p o n e n t i a l p a r
t o f t h e d i v e r -g e n c e f r o m t h e q u a s i p e r i o
d i c p a r t b y t h ef o l l o w i n g p r o c e d u r e . We f i
r s t c o n v e r t e d t h ep o s i t i o n s a n d m o m e n t a
i n t o K e p l e r i a n e l e -m e n t s , t h e n f o r m e d t
h e s t a n d a r d s h a p e a n do r i e n t a t i o n v a r i a
b l e s h = e s i n i , k = e c o s' , p = s i n i / 2 s i n Q k ,
a n d q = s i n i / 2 c o s Q .w h e r e e i s t h e e c c e n t r
i c i t y , w i s t h e l o n g i -t u d e o f p e r i h e l i o n
, i i s t h e i n c l i n a t i o n , a n d k i s t h e l o n g i t
u d e o f t h e a s c e n d i n g n o d e .T h e f u l l s e t o f
t h e s e v a r i a b l e s f o r a l l o f t h ep l a n e t s c o
n s t i t u t e s t h e f u l l s e c u l a r p h a s es p a c e .
D i s t a n c e i n t h i s s p a c e i s t h e o r d i -n a r y E
u c l i d e a n d i s t a n c e . T h e q u a s i p e r i o d i cc
o m p o n e n t i s n o t a s s t r o n g i n t h e s e c u l a rp
h a s e s p a c e a s i t i s i n t h e f u l l p h a s e s p a c e
,a l l o w i n g u s t o s t u d y t h e e x p o n e n t i a l p a
r t o ft h e d i v e r g e n c e m o r e e a s i l y . I f e x p o
n e n t i a ld i v e r g e n c e i s o b s e r v e d i n t h e s e
c u l a r p h a s es p a c e , e x p o n e n t i a l d i v e r g e
n c e w i l l a l s o b ep r e s e n t i n t h e f u l l p h a s e
s p a c e .T h e d i v e r g e n c e i n t h e s e c u l a r p h a
s es p a c e b e t w e e n t w o o f t h e 1 0 0 - m i l l i o n -
y e a rc a l c u l a t i o n s i s s h o w n i n F i g . 1 . T h e
i n i t i a lc o n d i t i o n s f o r t h e t w o c a l c u l a t
i o n s d i f f e r e db y a b o u t 1 m i l l i m e t e r i n t h
e x c o o r d i n a t e o fP l u t o . T h e s e c u l a r d i v e
r g e n c e h a s t w o d i s -t i n c t s e g m e n t s . I n t h
e l a t t e r s e g m e n t t h ed i v e r g e n c e i s d o m i n
a t e d b y a n e x p o n e n t i a lw i t h a t i m e s c a l e o
f a b o u t 4 m i l l i o n y e a r s .T h e i n i t i a l s e g m
e n t i s a p p a r e n t l y d o m i n a t -e d b y a s m a l l e
r e x p o n e n t w i t h a t i m e s c a l eo f a b o u t 1 2 m i
l l i o n y e a r s .
4 0 6 0T h r ( 1 0 y e a r )F i g . 2 . T h e d i v e r g e n c
e o f t h e d i s t a n c e b e t w e e n t h e p o s i t i o n s o
f P l u t o i n t w o d i f f e r e n t r u n s w i t h v e r ys l
i g h t d i f f e r e n c e s i n i n i t i a l c o n d i t i o n s
i s c h a r a c t e r i z e d b y a t i m e s c a l e near 1 2 m i
l l i o n y e a r s .
I f t h e s y s t e m i s c h a o t i c t h e n t h e d i v e rg
e n c e o f i n d i v i d u a l p l a n e t s w i l l a l s o be x
p o n e n t i a l w i t h t h e s a m e e x p o n e n t a s t hw h
o l e s y s t e m i f t h e t r a j e c t o r i e s a r e f o l l o
w ef o r s u f f i c i e n t l y l o n g t i m e . O v e r s h o r
t e r i nt e r v a l s t h e d i v e r g e n c e o f i n d i v i d
u a l p l a n e tc a n b e d i f f e r e n t , a n d e x a m i n a
t i o n o f t hi n d i v i d u a l d i v e r g e n c e s c a n g i
v e i n s i g h t i n tt h e m e c h a n i s m s r e s p o n s i b
l e f o r t h e c h a o t ib e h a v i o r i n t h e s y s t e m .I
n t h e i n n e r s o l a r s y s t e m t h e i n d i v i d u ap l
a n e t d i v e r g e n c e s i n t h e s e c u l a r p h a ss p a
c e a r e s i m i l a r t o t h a t o f t h e f u l l s e c u l ap
h a s e s p a c e , w i t h t w o d i s t i n c t s e g m e n t s .
It h e o u t e r s o l a r s y s t e m , o v e r m o s t o f t h e
1 0m i l l i o n y e a r s s p a n n e d b y o u r i n t e g r a t
i o nt h e d i v e r g e n c e s a p p e a r t o b e d o m i n a t
e d ba 1 2 - m i l l i o n - y e a r e x p o n e n t i a l c o m p
o n e n tw i t h e v i d e n c e o f t h e 4 - m i l l i o n - y e
a r c o m p on e n t a p p e a r i n g i n o n l y t h e l a s t 5
m i l l i oy e a r s . A c h a n g e i n t h e t i m e s c a l e o
f e x p on e n t i a l d i v e r g e n c e c o u l d o c c u r i f
t h e s y s t ew e n t f r o m o n e r e g i o n o f t h e p h a s
e s p a cc h a r a c t e r i z e d b y o n e e x p o n e n t i n t
o a n o t h er e g i o n c h a r a c t e r i z e d b y t h e o t h
e r e x p o n e n tT h i s p o s s i b i l i t y c a n b e r u l e
d o u t b e c a u s e t h4 - m i l l i o n - y e a r c o m p o n e
n t a p p e a r s m u cl a t e r i n t h e o u t e r p l a n e t s
t h a n i n t h e i n n ep l a n e t s . A v i a b l e i n t e r p
r e t a t i o n i s t h at h e r e a r e t w o d i s t i n c t m e
c h a n i s m s g e n e r ai n g e x p o n e n t i a l d i v e r g
e n c e t h a t a r e s i m u lt a n e o u s l y o p e r a t i n g
. A p p a r e n t l y t h e i n n ep l a n e t s a r e m o r e s e
n s i t i v e i n d i c a t o r s o f t h4 - m i l l i o n - y e a
r p r o c e s s t h a n a r e t h e o u tp l a n e t s .T h e e v o
l u t i o n o f P l u t o o v e r t h e f u l l 1 0m i l l i o n y
e a r s h a s c h a r a c t e r i s t i c s q u i t e s i ml a r t
o t h o s e f o u n d f o r P l u t o i n l o n g - t e ri n t e g
r a t i o n s o f t h e o u t e r p l a n e t s . F o r e x a mp l
e , w e o b s e r v e t h e 3 4 - m i l l i o n - y e a r a m p l
it u d e m o d u l a t i o n o f t h e 3 . 8 - m i l l i o n - y eo
s c i l l a t i o n o f t h e a r g u m e n t o f p e r i h e l i o
nP l u t o ( 5 ) . T h e e x p o n e n t i a l d i v e r g e n c et
h e d i f f e r e n c e o f p o s i t i o n s o f P l u t o i n t w
oo u r 1 0 0 - m i l l i o n - y e a r r u n s i s s h o w n i n F
i2 . T h e s e r u n s d i f f e r e d b y 1 p a r t i n 1 0 ` 5o n
e c o o r d i n a t e o f t h e i n i t i a l p o s i t i o nM a r
s . T h e p l o t i s c o n s i s t e n t w i t h a n e x p on e n
t i a l d i v e r g e n c e o f a b o u t 1 2 m i l l iy e a r s .
T h i s r a t e o f e x p o n e n t i a l d i v e r g e n c es i m
i l a r t o t h a t o b s e r v e d i n t h e o u t e r p l ae t s
, a n d t o t h e s l o w e r c o m p o n e n t o b s e r vi n t h
e f u l l s e c u l a r p h a s e s p a c e . O n e i n t ep r e t
a t i o n i s t h a t P l u t o i s p a s s i v e l y d r i v e n
bc h a o t i c b e h a v i o r o f t h e r e s t o f t h e s o ls y
s t e m . A n o t h e r i n t e r p r e t a t i o n i s t h a t P
lt o i s i n d e p e n d e n t l y c h a o t i c w i t h a r a t ee
x p o n e n t i a l d i v e r g e n c e w h i c h i s o n l y c o
ic i d e n t a l l y s i m i l a r t o t h a t o f t h e r e s t o
f ts y s t e m . We p r e s e n t e v i d e n c e f o r t h e l a t
ti n t e r p r e t a t i o n b e l o w . C o n s i d e r i n g t h
e t yi c a l s l o w c o n v e r g e n c e o f L y a p u n o v e s
tm a t e s , a 1 2 - m i l l i o n - y e a r t i m e s c a l e o f
ep o n e n t i a l d i v e r g e n c e i s i n s a t i s f a c t oa
g r e e m e n t w i t h t h e i n v e r s e L y a p u n o v ep o n
e n t o f 1 5 t o 2 0 m i l l i o n y e a r s f o r P l u
SCIENCE * V O L . 2 5 7 * 3 J U L Y 1 9 9 2
5 M . 1 1. . . . . . ..
5 8
-
8/12/2019 Evoluo Caotica do sistema solar
4/7
r e p o r t e d b y S u s s m a n a n d W i s d o m ( 1 ) .S e c
u l a r r e s o n a n c e s . L a s k a r ( 1 7 , 1 8 ) h a sf o u
n d t h r e e r e s o n a n c e a n g l e s t h a t a l t e r -n a
t e l y l i b r a t e a n d c i r c u l a t e . T h i s m a y b e a
ni m p o r t a n t c o r r o b o r a t i o n o f t h e c h a o s a
si n d i c a t e d b y t h e e x p o n e n t i a l d i v e r g e n
c e .T h e r e s o n a n c e a n g l e s a r e c o m b i n a t i o
n s o fp r o p e r m o d e a n g l e s a s d e f i n e d b y L a s
k a r( 1 7 ) . T h e p r o p e r m o d e s c a n b e u n d e r s t
o o da s a p p r o x i m a t e n o r m a l m o d e s o f t h e s o
l a rs y s t e m - i f t h e a v e r a g e d s e c u l a r a p p r
o x i m a -t i o n t o t h e e v o l u t i o n o f t h e s o l a r
s y s t e m i sr e s t r i c t e d t o s e c o n d - o r d e r t e
r m s i n e c c e n -t r i c i t y a n d i n c l i n a t i o n t h
e n t h e p r o p e rm o d e s a r e t h e n o r m a l m o d e s o
l u t i o n s o f t h es y s t e m . T h e a c t u a l s y s t e m
i s n o n l i n e a r a n dt h e p r o p e r m o d e a m p l i t u
d e s a n d p h a s e sv a r y w i t h t i m e . T h e L a s k a r
a n g l e s a r e
C l 1 = ( W O W ) n o n o ) ( 3 )C 2 = 2 ( W - W 0 ) ( n o - n o
) ( 4 )( F 3 = ( W 0 - W ) ( Q 4 - Q 1 ) ( 5 )
w h e r e W O a n d f a r e t h e p h a s e s o f t h ee c c e n
t r i c i t y a n d i n c l i n a t i o n p r o p e r m o d e s ,r
e s p e c t i v e l y . T h e a n g l e s a J 2 a n d a J 3 a r e i
n c o m p a t i b l e i n t h a t t h e y c a n n o t s i m u l -t
a n e o u s l y l i b r a t e . On t h e b a s i s o f t h e a l t
e r -n a t e l i b r a t i o n o f a 2 a n d 0 3 L a s k a r c o n
c l u d -e d t h a t t h e m e c h a n i s m r e s p o n s i b l e
f o r t h ec h a o t i c b e h a v i o r o f t h e s o l a r s y s
t e m w a sr e s o n a n c e o v e r l a p o f t h e c o r r e s p
o n d i n g s e c -u l a r r e s o n a n c e s .I n o u r c a l c u
l a t i o n , a l a n d c r 2 a l s o a l t e r -n a t e l y c i r
c u l a t e a n d l i b r a t e , b u t a 3 j u s tc i r c u l a t
e s ( F i g . 3 ) . O u r a n g l e s t r a c k L a s k a r ' sa n
g l e s f o r t h e i n i t i a l s e g m e n t o f t h e c o m -p
u t a t i o n s , b u t t h e y s o o n d i v e r g e e n o u g h s
ot h a t t h e c h a n g e s b e t w e e n l i b r a t i o n a n dc
i r c u l a t i o n o c c u r a t v e r y d i f f e r e n t t i m e
s .S u c h d i f f e r e n c e s a r e c o n s i s t e n t w i t h
t h ec h a o t i c c h a r a c t e r o f t h e e v o l u t i o n .
T h eh i g h e r o r d e r a n g l e
a 4 = 3 ( u o - W O ) - 2 ( f l o -Q ( 6 )i s a l s o i n c o m
p a t i b l e w i t h 0 2 a n d a 3 . I n o u rc a l c u l a t i o
n a 4 h a s i n t e r v a l s o f l i b r a t i o n .T h e d a t a
p r e s e n t e d b y L a s k a r s u g g e s t t h a tt h i s i s
a l s o t h e c a s e i n h i s c a l c u l a t i o n ,t h o u g h
t h e a n g l e i s n o t e x p l i c i t l y m e n -t i o n e d .
I t i s p o s s i b l e t h a t w e a n d L a s k a r a r es e e i
n g d i f f e r e n t p o r t i o n s o f a c h a o t i c z o n et
h a t s p a n s t h e p h a s e s p a c e f r o m t h e 1 : 1r e s
o n a n c e t o t h e 2 : 1 r e s o n a n c e . I n a d d i t i o
nt o t h e s e a n g l e s w e a l s o f i n d t h a t t h e a n g
l e
a 5 = ( W O - O ) + ( 1 0 - 1 ) ( 7 )a l t e r n a t e s b e t w
e e n c i r c u l a t i o n a n d l i b r a -t i o n .T h o u g h o
u r c a l c u l a t i o n s a r e c o m p l e t e l yc o n s i s t
e n t w i t h t h o s e o f L a s k a r , w e a r e n o tf u l l y
c o n v i n c e d t h a t h i s p r o p o s e d m e c h a -n i s m
a c c o u n t s f o r t h e o b s e r v e d c h a o t i cb e h a v
i o r o f t h e s o l a r s y s t e m . F i r s t , i t i s n o tc
l e a r t h a t t h e a l t e r n a t e l i b r a t i o n a n d c i
r c u -l a t i o n o f a 2 i s i n d i c a t i v e o f a d y n a m
i c a l l y
s i g n i f i c a n t c h a o t i c s e p a r a t r i x . I n F
i g . 4 w es h o w a p o l a r p l o t o f t h e a m p l i t u d e
a n dp h a s e o f t h e c o m b i n a t i o n o f p r o p e r m o
d e sc o r r e s p o n d i n g t o a 1 a n d a 2 . O u r p o l a r
p l o to f 0 1 i s s i m i l a r t o t h a t s h o w n i n L a s k
a r( 1 7 ) . H o w e v e r , o u r p o l a r p l o t o f a 2 d i f
f e r sf r o m t h a t s h o w n i n L a s k a r ( 1 7 ) a n d L a
s k a r ,Q u i n n , a n d T r e m ai n e ( 9 ) . F o r t h e p o l
a ra m p l i t u d e t h e y u s e j u s t t h e a m p l i t u d e
o fe c c e n t r i c i t y m o d e 4 , w h i c h i s n e v e r c l
o s e t oz e r o . T h e a c t u a l a m p l i t u d e c o r r e s
p o n d i n gt o a 2 h a s a d d i t i o n a l f a c t o r s , s o
m e o f w h i c hd o a p p r o a c h z e r o . U s e o f t h e a m
p l i t u d e o ft h e e c c e n t r i c i t y m o d e f o r t h e
a m p l i t u d e i nt h e p o l a r p l o t g i v e s a n a r t i
f i c i a l i m p r e s s i o no f a t r a n s i t i o n f r o m l
i b r a t i o n t o c i r c u l a t i o n .I f w e u s e L a s k a
r ' s a m p l i t u d e w e g e t a s i m i l a rp l o t . O u r p
l o t , w h i c h i n c l u d e s a l l t h e f a c -t o r s i n t
h e a m p l i t u d e , d o e s n o t g i v e a c l e a ri m p r e
s s i o n o f a c h a o t i c s e p a r a t r i x . R a t h e r ,i
t g i v e s t h e i m p r e s s i o n o f a c o m p l e x h i g h
-d i m e n s i o n a l t r a j e c t o r y p r o j e c t e d o n t
o ap l a n e ( F i g . 4 ) . T h e a l t e r n a t i o n o f l i b
r a t i o na n d c i r c u l a t i o n o f t h e p o l a r a n g l
e m a y j u s tb e a n a r t i f a c t o f t h e o r i g i n b e i
n g i n t h em i d s t o f t h i s c o m p l e x p r o j e c t e d
t r a j e c t o r y .A s i m p l e i n t e g r a b l e m o d e l f
o r m o t i o n n e a rt h e 2 / 1 c o m m e n s u r a b i l i t y
i n t h e p l a n a r -e l l i p t i c r e s t r i c t e d t h r e
e - b o d y p r o b l e m ( 2 0 ,2 1 ) i l l u s t r a t e s h o w
t h e a l t e r n a t e c i r c u l a t i o n
0 1
0 2
0 s 3
~ 2 C0 4
0
a n d l i b r a t i o n o f a n a n g l e c a n b e m i s l e a
d i nT h e r e t h e r e s o n a n c e a n g l e c o r r e s p o n
d i n gt h e l a r g e s t t e r m i n t h e d i s t u r b i n g f
u n c t ic a n s h o w a l t e r n a t e c i r c u l a t i o n a n
d l i b rt i o n , e v e n t h o u g h t h e r e i s n o c h a o t
i c bh a v i o r . T h e p o l a r p l o t c o r r e s p o n d i n
g t o 0i s m o r e l i k e t h a t e x p e c t e d o f a n a n ga s
s o c i a t e d w i t h a c h a o t i c m e c h a n i s m . I t n
oo n l y a l t e r n a t e l y c i r c u l a t e s a n d l i b r a
t e s , ba s i t c i r c u l a t e s i t l o i t e r s a r o u n d
a n a p p a r eu n s t a b l e e q u i l i b r i u m . T h e r e i
s a l s o a n ec l u d e d r e g i o n n e a r t h e c e n t e r o
f t h e p l o tF u r t h e r m o r e , t h e r e a r e t o o m a n
y u n rl a t e d a n g l e s t h a t a l t e r n a t e l y c i r c
u l a t e a nl i b r a t e . I t m i g h t b e e x p e c t e d t h
a t o n l y o ni n c o m p a t i b l e s e t o f a n g l e s w o u
l d s h o w at e r n a t e c i r c u l a t i o n a n d l i b r a t
i o n . H o w e v e rw e s e e t h e p h e n o m e n o n i n a n g
l e s i n v o l v iu n r e l a t e d m o d e s . E c c e n t r i c
i t y a n d i n c l i nt i o n m o d e s 3 a n d 4 a r e i n v o l
v e d i n a c 2 , aa n d a c 4 ; e c c e n t r i c i t y m o d e s
1 , 5 , a n d 8 , a ni n c l i n a t i o n m o d e s 1 , 2 , a n d
8 a r e i n v o l vi n a l a n d a 5 . T h e t w o s e t s o f m o
d e s ad i s j o i n t , a n d y e t t h e r e a r e c o r r e l a
t i o n st h e b e h a v i o r o f a n g l e s a s s o c i a t e d
w i t h ur e l a t e d s e t s o f m o d e s . M o s t s t r i k i
n g i s tt r a n s i t i o n i n b e h a v i o r i n f o u r o f t
h e a n g ln e a r a n i n t e g r a t i o n t i m e o f 5 0 m i l
l iy e a r s . T h i s s u g g e s t s t h a t a s i n g l e m e c
h an i s m i s d r i v i n g a l l o f t h e a n g l e s . I f
t
, 1S jj* . 1
a , ,h i
it '
1 . k .*i. . V
K ? ' t ' . A i
S
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0I n n m ( l o o y e a r s )F i g . 3 . I
n o u r c a l c u l a t i o n t w o o f t h e a n g l e s o f L a s
k a r , a 1 a n d a 2 , a l t e r n a t e l y c i r c u l a t e a n
d l i b r aL a s k a r ' s t h i r d a n g l e , % 3 , c i r c u l
a t e s . T h e h i g h e r o r d e r a n g l e c 4 , w h i c h i s
i n c o m p a t i b l e w i t h b o t ha n d % 3 , h a s i n t e r
v a l s o f l i b r a t i o n . T h e a n g l e a 5 a l s o a l t e
r n a t e l y c i r c u l a t e s a n d l i b r a t e s .SCIENCE *
VOL. 2 5 7 * 3 J U L Y 1 9 9 2
,wmm M L I ME L I L M
I-. .
-
8/12/2019 Evoluo Caotica do sistema solar
5/7
m e c h a n i s m i s a s s o c i a t e d w i t h one o f t h ea
n g l e s p r e s e n t e d , we f e e l t h e most c o n v i n c
-i n g i s o r l I t i s a l s o p o s s i b l e t h a t t h e m e
c h -a n i s m g e n e r a t i n g t h e c h a o s i s u n r e l a
t e d t oa l l o f t h e s e a n g l e s , a n d t h a t t h e y ar
e a l l j u s ts e n s i t i v e i n d i c a t o r s o f c h a o t
i c i r r e g u l a r i t y o ft h e u n d e r l y i n g system t r
a j e c t o r y .We h a v e n o t i d e n t i f i e d any o t h e r
a n g l e sw h o s e m o t i o n i s s u g g e s t i v e o f a d y
n a m i c a lm e c h a n i s m . T h e LONGSTOP team spec-u l a t e
d ( 2 2 ) t h a t t h e a n g l e 2 w u o 2 w 7 + Q 7
3 l
Y 1
1
11
- 3
3
2
1
Y 2 0
- 1
- 2
- 3
f l 0 m i g h t a l t e r n a t e l y c i r c u l a t e a n d l
i -b r a t e , a n d t h e r e b y p r o v i d e e v i d e n c e o
f c h a -o t i c b e h a v i o r o f t h e o u t e r p l a n e t s
. We f i n dt h a t t h i s a n g l e r o t a t e s u n i f o r m l
y w i t h ap e r i o d s o m e w h a t g r e a t e r t h a n 5 0 m
i l l i o nyears. T h i s a n g l e i s one o f 3 0 a n g l e s
pre-s e n t e d b y t h e LONGSTOP team i n t h e i r n u m e r o l
o g y t a b l e . We f i n d a l l 3 0 a n g l e sr o t a t e u n i
f o r m l y ; t h e r e i s no h i n t o f c h a o t i ci r r e g u
l a r i t y i n t h e b e h a v i o r o f any o f t h ea n g l e s
.
3 - 2 - 1 0 1 2 3
F i g . 4 . The v a r i a b l e s are x i = A , c o s a n d y ,
= A , s i n u, , w here A are t h e a m p l i t u d e s o f t h ec
o m b i n a t i o n o f t h e L a s k a r p r o p e r modes c o r r
e s p o n d i n g t o t h e a n g l e s c r . T h e p l o t c o r r
e s p o n d i n g t o 2 g i v e s t h e i m p r e s s i o n o f a c
o m p l e x h i g h - d i m e n s i o n a l t r a j e c t o r y p r
o j e c t e d o n t o a p l a n e . T h e p l o tc o r r e s p o n
d i n g t o o 1 s h o w s some i n d i c a t i o n o f a d y n a m
i c a l l y s i g n i f i c a n t c h a o t i c s e p a r a t r i x
. There i sa s u g g e s t i o n o f a n u n s t a b l e e q u i l
i b r i u m a n d a s s o c i a t e d a s y m p t o t i c t r a j e
c t o r i e s , a n d t h e r e i s ar e g i o n near t h e c e n t
e r t h a t i s a v o i d e d .
T h a t p a r t i c u l a r s e c u l a r r e s o n a n c e s ar
e s p o n s i b l e f o r t h e c h a o t i c b e h a v i o r o f
ts o l a r system c o u l d b e s u p p o r t e d b y an anl y t i
c a l d e m o n s t r a t i o n t h a t t h e r e s o n a n ci n v
o l v e d are s u f f i c i e n t l y strong a n d c l o s eg i v e
r e s o n a n c e o v e r l a p . A t t h e momenth o w e v e r ,
we f e e l no d y n a m i c a l m e c h a n i sf o r t h e o b s e
r v e d c h a o t i c b e h a v i o r o f ts o l a r system h a s b
e e n c l e a r l y d e m o n s t r a t e d
C h a o t i c e v o l u t i o n o f t h e J o v i a n p l ae t s
. D e s p i t e t h e g r o w i n g n u m b e r o f l o nterm i n t
e g r a t i o n s o f t h e outer p l a n e t s , nonh a v e d i r
e c t l y t e s t e d w h e t h e r t h e m a s s ip l a n e t s t
h e m s e l v e s e v o l v e c h a o t i c a l l y .o u r 8 4 5 -
m i l l i o n - y e a r i n t e g r a t i o n o f t h e o uer p l a
n e t s ( 1 ) , t h e o r b i t a l e l e m e n t s o f N e ptune a
p p e a r e d t o h a v e d i s c r e t e l i n e s p e c t ri n m
a r k e d c o n t r a s t t o t h e c l e a r l y b r o ab a n d c
h a r a c t e r o f t h e spectrum o f P l u tOn t h e b a s i s o
f t h i s s p e c t r a l e v i d e n c e wd i s m i s s e d t h e
p o s s i b i l i t y o f c h a o t i c b e h a v ii n t h e Jovia
n p l a n e t s . To b e t h o r o u g h , wc a r r i e d o u t a
new b i l l i o n - y e a r e v o l u t i o nt h e o u t e r p l a
n e t s , u s i n g t h e m a p p i n g m e t ho d , w i t h a s l
i g h t l y p e r t u r b e d i n i t i a l p o s i t io f N e p t
u n e . We f o u n d , t o o u r s u r p r i s e , t ht h e s u b s
e q u e n t e v o l u t i o n o f t h e J o v ip l a n e t s d i v
e r g e d e x p o n e n t i a l l y f r o m tf i r s t c a l c u l
a t i o n , w i t h a t i m e s c a l e o f expn e n t i a l d i v
e r g e n c e o f o n l y 5 m i l l i o n yearO u r i n i t i a l r
e a c t i o n was t h a t t h e r e mub e s o m e t h i n g w r o n
g w i t h o u r m e t h o di n t e g r a t i o n . To c h e c k t h
i s we c a r r i e d ot w o new i n t e g r a t i o n s o f t h e o
u t e r p l a n es p a n n i n g 1 0 0 m i l l i o n years u s i n
g t h e t r a dt i o n a l l i n e a r m u l t i s t e p S t o r m
e r p r e d i c t ot h e same i n t e g r a t o r u s e d i n t h e
D i g i tO r r e r y i n t e g r a t i o n s . T h e i n i t i a l
c o n d i t i oa n d masses were t h e same a s i n t h e D i g i
tO r r e r y i n t e g r a t i o n s . T h e i n t e g r a t i o n
s w ec a r r i e d out i n o r d i n a r y I E E E d o u b l e p r
e cs i o n ( 6 4 b i t s ) w i t h a s t e p s i z e o f 3 2 . 7 d
a yt h e same s t e p s i z e u s e d i n t h e 8 4 5 - m i l l i
oyear D i g i t a l O r r e r y i n t e g r a t i o n s . We f o ut
h a t t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e J o v i a n p l a n
ed i v e r g e d e x p o n e n t i a l l y w i t h a t i m e s c a
l ea b o u t 1 9 m i l l i o n y e a r s . A p p a r e n t l y ,w e
r e m i s l e d b y t h e s p e c t r a l e v i d e n c e .To f u r
t h e r c h e c k t h a t t h i s r e s u l t d i d nd e p e n d on
e i t h e r t h e s t e p s i z e o r t h e p r e cs i o n o f t h
e c a l c u l a t i o n , we c a r r i e d ou t f omore i n t e g r
a t i o n s o f t h e o u t e r p l a n e t s u s it h e S t o r m
e r p r e d i c t o r . E a c h s p a n n e d mot h a n 4 0 0 m i l
l i o n y e a r s . I n t h e s e i n t e g rt i o n s t h e a c c
u m u l a t i o n o f p o s i t i o n w a s car i e d ou t i n p s
e u d o - q u a d r u p l e p r e c i s i o n ,i n t h e D i g i t
a l O r r e r y i n t e g r a t i o n s . One pu s e d a s t e p s
i z e o f 3 2 . 7 d a y s , t h e s p e c iD i g i t a l O r r e r
y s t e p - s i z e ; t h e o t h e r p a i r u san a r b i t r a r
i l y c h o s e n s t e p s i z e o f 2 8 d a yT h e i n i t i a l
c o n d i t i o n s w e re t h e same aso u r e a r l i e r o u t e
r p l a n e t i n t e g r a t i o n s . I n or u n o f e a c h p a
i r t h e i n i t i a l p o s i t i o nNeptune was perturbed by 7 .
5 mm. Tenergy e r r o r s a g a i n grew l i n e a r l y w i t h t
i mw i t h s l o p e s b e t w e e n t h a t o f o u r 2 1 0 - m
i
SCIENCE * VOL. 2 5 7 * 3 JULY 1 9 9 2
I I I
2 F
I I
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3X I
I A
l l l lIl
..... I l 1 C . 1 . I .
6 0
-
8/12/2019 Evoluo Caotica do sistema solar
6/7
l i o n - y e a r D i g i t a l O r r e r y i n t e g r a t i o
n a n dt h a t o f o u r 8 4 5 - m i l l i o n - y e a r i n t e g
r a t i o n .B o t h p a i r s o f r u n s g a v e r e m a r k a b
l y c o n s i s -t e n t r e s u l t s . T h e s e c u l a r d i v
e r g e n c e o f t h et r a j e c t o r i e s o f J u p i t e r i
n t h e 2 8 - d a y r u n s i ss h o w n i n F i g . 5 . T h e J o
v i a n p l a n e t s d i -v e r g e d e x p o n e n t i a l l y w
i t h a t i m e s c a l es o m e w h a t l o n g e r t h a n 2 0 m
i l l i o n y e a r s .T h e m a p a n d S t o r m e r c a l c u l
a t i o n s b o t hi n d i c a t e t h a t t h e m o t i o n o f t
h e J o v i a n p l a n -e t s i s c h a o t i c . H o w e v e r ,
t h e y a r e d i s c r e p a n ti n t h e e s t i m a t e o f t h
e e x p o n e n t i a l t i m e s c a l e .We b e l i e v e t h i s
i s a r e s u l t o f t h e f a c t t h a t t h et r a j e c t o r
y c o m p u t e d b y t h e m a p p i n g m e t h o di s n o t e x
a c t l y t h e s a m e a s t h e t r a j e c t o r yd e t e r m i
n e d b y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h em a p p i
n g d i f f e r s f r o m t h e a c t u a l n - b o d y d y -n a m
i c s b y t h e a d d i t i o n o f e x t r a h i g h - f r e -q u
e n c y t e r m s . T h e a v e r a g i n g p r i n c i p l e s u g
-g e s t s t h a t t h e s e h i g h - f r e q u e n c y t e r m s
d on o t c o n t r i b u t e t o t h e l o n g - t e r m e v o l u
t i o n ,a n d t h e c l o s e a g r e e m e n t o f o u r r e s u
l t s w i t ht h o s e o f L a s k a r o n c e a g a i n c o n f i
r m s t h ev a l i d i t y o f t h e u s e o f a v e r a g i n g .
H o w e v e r ,t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s u s e d i n
a n a v e r a g e ds y s t e m s h o u l d p r o p e r l y t a k e
i n t o a c c o u n tt h e p r e s e n c e o f t h e e x t r a h i
g h - f r e q u e n c yc o m p o n e n t s i n t h e u n a v e r a
g e d s y s t e m . T h eu s e o f t h e s a m e i n i t i a l c o
n d i t i o n s i n t h ea v e r a g e d a n d u n a v e r a g e d
s y s t e m s c o r r e -s p o n d s t o s l i g h t l y d i f f e
r e n t i n i t i a l c o n d i -t i o n s f o r t h e l o n g - t
e r m e v o l u t i o n s . W i t ht h e m a p p i n g w e d o n o
t y e t k n o w h o w t op r o p e r l y a d j u s t t h e i n i t
i a l c o n d i t i o n s t oa c c o u n t f o r t h e e x t r a h
i g h - f r e q u e n c y t e r m s .I n o u r o u t e r p l a n e
t i n t e g r a t i o n s t h e s e s l i g h tu n c o n t r o l l
e d a d j u s t m e n t s o f e f f e c t i v e i n i t i a lc o n
d i t i o n s a p p e a r t o y i e l d d i f f e r e n t e s t i
-m a t e s o f t h e L y a p u n o v e x p o n e n t .T o i n v e s
t i g a t e t h i s f u r t h e r w e c a r r i e d o u te i g h t
i n t e g r a t i o n s o f t h e o u t e r p l a n e t s u s i n
gt h e m a p w i t h d i f f e r e n t s t e p s i z e s , r a n g
i n gf r o m 0 . 3 t o 1 y e a r . C h a n g i n g t h e s t e p s
i z ec h a n g e s t h e h i g h - f r e q u e n c y c o m p o n e
n t s ,a n d s l i g h t l y c h a n g e s t h e e f f e c t i v e
i n i t i a lc o n d i t i o n f o r t h e l o n g - t e r m e v o
l u t i o n .E a c h i n t e g r a t i o n s p a n n e d a b o u t
3 0 0 m i l l i o ny e a r s . We f o u n d t h a t t h e m e a s u
r e d d i v e r -g e n c e t i m e s c a l e v a r i e d f r o m a
b o u t 3 m i l -l i o n y e a r s t o a b o u t 3 0 m i l l i o n
y e a r s . T h ed i s p e r s i o n i n t h e e s t i m a t e s o
f t h e L y a p u n o ve x p o n e n t a r e m u c h l a r g e r t
h a n t h e d i s p e r -s i o n o b s e r v e d i n t h e S t o r
m e r r u n s . T h eL y a p u n o v e x p o n e n t w a s n o t o
b v i o u s l y c o r -r e l a t e d w i t h s t e p s i z e ; i n
p a r t i c u l a r t h ee s t i m a t e o f t h e L y a p u n o v
e x p o n e n t w a s n o tm o n o t o n i c w i t h s t e p s i z
e . I n o n e o f t h e s er u n s , w i t h s t e p s i z e n e a
r 0 . 6 1 7 9 7 9 y e a r s ,t h e m o t i o n o f t h e o u t e r
p l a n e t s w a s c l e a r l yq u a s i p e r i o d i c ; t h e
s e c u l a r p h a s e s p a c e d i v e r -g e n c e d i d n o t
g r o w e x p o n e n t i a l l y . T h er e s u l t s s u g g e s
t t h a t t h e L y a p u n o v e x p o n e n tf o r t h e J o v i
a n p l a n e t s i s n o t a s i m p l e f u n c -t i o n o f t h
e i n i t i a l c o n d i t i o n s . M o s t n e a r b yi n i t i
a l c o n d i t i o n s l e a d t o e x p o n e n t i a l d i v e r
-g e n c e ( m o s t w i t h a s h o r t e r t i m e s c a l e f o
r
e x p o n e n t i a l d i v e r g e n c e t h a n t h a t o b t
a i n e dw i t h t h e S t o r m e r i n t e g r a t i o n s ) , b
u t t h e r ea r e a l s o n e a r b y i n i t i a l c o n d i t i
o n s t h a t d on o t g i v e c h a o t i c b e h a v i o r . L a
r g e r c h a n g e so f o r d e r 1 p e r c e n t i n t h e s e m
i m a j o r a x e s o ft h e J o v i a n p l a n e t s c a n b r i
n g t h e o u t e rp l a n e t s y s t e m i n t o t h e c h a o t
i c z o n e s o fm a j o r m e a n - m o t i o n r e s o n a n c e
s b e t w e e nt h e p l a n e t s ( 1 9 ) , b u t t h o s e c h a
o t i c z o n e sa r e n o t r e s p o n s i b l e f o r t h e c h
a o t i c b e h a v i o ro b s e r v e d h e r e .W i t h e a c h o
u t e r p l a n e t i n t e g r a t i o n w er a n a p a i r o f m
a s s l e s s P l u t o s , w i t h i n i t i a lp o s i t i o n s
d i f f e r i n g b y a b o u t 1 c m . A r e -m a r k a b l e r e
s u l t i s t h a t t h e e x p o n e n t i a l d i -v e r g e n c
e o f P l u t o s a l w a y s h a s a t i m e s c a l eb e t w e e
n 1 0 a n d 2 0 m i l l i o n y e a r s , i n d e p e n -d e n t o
f h o w c h a o t i c a l l y t h e J o v i a n p l a n e t sb e h
a v e . T h i s i s t r u e e v e n i n t h e m o s te x t r e m e
r u n s , w h e r e t h e J o v i a n p l a n e t sw e r e q u a s
i p e r i o d i c , a n d w h e r e t h e J o v i a np l a n e t s
d i v e r g e d w i t h a t i m e s c a l e o f 3m i l l i o n y e
a r s . T h i s c l e a r l y d e m o n s t r a t e st h a t t h e
m e c h a n i s m g e n e r a t i n g t h e c h a o t i cb e h a v
i o r i n t h e m o t i o n o f P l u t o i s e x t r e m e -l y r
o b u s t , a n d i n d e p e n d e n t o f w h e t h e r t h er e
s t o f t h e s y s t e m i s c h a o t i c .N u m e r i c a l c h
a o s ? T h e f a c t t h a t a l m o s ta l l l o n g - t e r m i
n t e g r a t i o n s o f t h e s o l a r s y s -t e m g i v e e x
p o n e n t i a l d i v e r g e n c e o f t r a j e c -t o r i e s
w i t h a t i m e s c a l e i n t h e r a n g e o f 3 t o3 0 m i l
l i o n y e a r s i n p h y s i c a l l y q u i t e d i f f e r e n
tm o d e l s i s v e r y s t r i k i n g a n d u n s e t t l i n g
. A n -o t h e r u n s e t t l i n g f e a t u r e o f t h e c h a
o t i c b e -h a v i o r w e o b s e r v e i n l o n g - t e r m p
l a n e t a r yi n t e g r a t i o n s i s t h a t n o t h i n g d
r a m a t i c h a p -p e n s . T h i s i s c o m p o u n d e d b y
t h e f a c t t h a t
I n d ,
i n n o c a s e h a v e w e u n a m b i g u o u s l y i d e n tf
i e d t h e m e c h a n i s m r e s p o n s i b l e f o r t h e c
ho t i c b e h a v i o r . T h i s l a c k o f m e c h a n i s m a
nl a c k o f o b v i o u s i r r e g u l a r b e h a v i o r i sm a
r k e d c o n t r a s t t o t h e c l e a r l y u n d e r s t o om
e c h a n i s m s a n d i r r e g u l a r c h a r a c t e r o bs e
r v e d i n o t h e r e x a m p l e s o f c h a o t i c b e h a vi
o r i n t h e s o l a r s y s t e m , f o r e x a m p l e a s t eo
i d s o n c h a o t i c t r a j e c t o r i e s n e a r c o m m e
ns u r a b i l i t i e s ( 1 1 , 1 2 , 2 3 ) , t h e c h a o t i c
t u mb l i n g o f H y p e r i o n ( 2 4 ) a n d o t h e r i r r e
g u l a rs h a p e d s a t e l l i t e s ( 2 5 ) , a n d t h e c h
a o t i c m ot i o n o f t h e U r a n i a n s a t e l l i t e s n
e a r c o m m e ns u r a b i l i t i e s ( 2 6 - 2 8 ) .P e r h a p
s t h e e x p o n e n t i a l d i v e r g e n c e i sn u m e r i c
a l a r t i f a c t ? T h e d e t a i l e d a g r e e m e no f t h
e b i l l i o n - y e a r e v o l u t i o n o f P l u t o w i td i
f f e r e n t i n t e g r a t o r s i s i m p r e s s i v e e v i d
e n ca g a i n s t t h i s p e r v e r s e p o s s i b i l i t y .
E v e n m o rc o n v i n c i n g i s t h e d e t a i l e d a g r e
e m e n t bt w e e n o u r 1 0 0 - m i l l i o n - y e a r s o l a
r s y s ti n t e g r a t i o n a n d t h a t o f L a s k a r , b e
c a u s et h e r a d i c a l l y d i f f e r e n t m e t h o d s u
s e d .T o f u r t h e r c o n v i n c e o u r s e l v e s t h a t
n oa l l l o n g - t e r m i n t e g r a t i o n s a r e s u b j e
c ts o m e u n i v e r s a l n u m e r i c a l i n s t a b i l i t
y , w h i cy i e l d s a s p u r i o u s e x p o n e n t i a l d i
v e r g e n c ew e h a v e c a r r i e d o u t a c o n t r o l i n
t e g r a t i oWe h a v e i n t e g r a t e d t h e o u t e r p l a
n e t s w i to u t U r a n u s f o r a b o u t 2 5 0 m i l l i o n
y e a r sw i t h t h e m a p p i n g m e t h o d . O v e r t h a t
p e ro d w e s e e n o s i g n o f e x p o n e n t i a l d i v e r
g e no f t h e r e m a i n i n g J o v i a n p l a n e t s . T h i
s i n tg r a t i o n , t o g e t h e r w i t h t h e i s o l a t e
d q u a s i pr i o d i c i n t e g r a t i o n m e n t i o n e d a
b o v e , s h o wt h a t n u m e r i c a l m o d e l s o f p l a n
e t a r y s y s t ec a n , i n f a c t , s h o w q u a s i p e r i
o d i c b e h a v i
T i m e ( 1 0 y e a r s )F i g . 5 . T h e s e c u l a r p h a s
e s p a c e d i v e r g e n c e o f t h e t r a j e c t o r i e s o
f J u p i t e r i n t h e 2 8 d a y S t o r mi n t e g r a t i o n
s s h o w s a t i m e s ca l e f o r e x p o n e n t i a l d i v e
r g e n c e t h a t i s s o m e w h a t l o n g e r t h a n 2 0 m i
l l iy e a r s . T h e d i v e r g e n c e s a t u r a t e s a f t
e r a b o u t 2 5 0 m i l l i o n y e a r s a t a r a t h e r s m a
l l v a l u e , p e r h ai n d i c a t i n g a h i d d e n c o n s
t r a i n t o n t h e t r a j e c t o r i e s .
SCIENCE * V O L . 2 5 7 * 3 J U L Y 1 9 9 2
-
8/12/2019 Evoluo Caotica do sistema solar
7/7
o n a s e v e r a l h u n d r e d m i l l i o n y e a r t i m e
-s c a l e . L o n g - t e r m i n t e g r a t i o n s d o n o t a
l w a y sg i v e p o s i t i v e L y a p u n o v e x p o n e n t s
.A l t o g e t h e r , t h e e v i d e n c e f o r t h e c h a o t
i cb e h a v i o r i n t h e s e l o n g - t e r m p l a n e t a r
y i n t e -g r a t i o n s i s v e r y c o n v i n c i n g , b u t
t h e r e r e -m a i n s t h e l o g i c a l p o s s i b i l i t y
t h a t t h e e x p o -n e n t i a l d i v e r g e n c e i s a s u
b t l e n u m e r i c a la r t i f a c t . T o p o s i t i v e l y
c o n c l u d e t h a t t h ec h a o s o b s e r v e d i n t h e s
e l o n g - t e r m p l a n e t a r yi n t e g r a t i o n s i s n
o t a r e s u l t o f n u m e r i c a la r t i f a c t s r e q u i
r e s a n u n a m b i g u o u s i d e n t i f i -c a t i o n o f a
p h y s i c a l m e c h a n i s m a n d a na n a l y t i c e v a l
u a t i o n t o d e t e r m i n e t h a t t h em e c h a n i s m a
c t u a l l y a c c o u n t s f o r t h e o b -s e r v e d c h a o
s .C o n c l u s i o n s a n d s p e c u l a t i o n s . O u r 1 0
0 -m i l l i o n - y e a r i n t e g r a t i o n o f t h e e n t i
r e s o l a rs y s t e m i n d i c a t e s t h a t t h e s o l a r
s y s t e m i sc h a o t i c w i t h a t i m e s c a l e f o r e x
p o n e n t i a ld i v e r g e n c e o f a b o u t 4 m i l l i o n
y e a r s . T h ef a c t t h a t w e f i n d s i m i l a r b e h a
v i o r i n a l lr e s p e c t s t o t h e c a l c u l a t i o n o
f L a s k a r s t r o n g -l y s u p p o r t s t h e c o n c l u s
i o n t h a t t h e s o l a rs y s t e m i s c h a o t i c . T h a
t w e a n d L a s k a r h a v ec a r r i e d o u t d i f f e r e n
t k i n d s o f n u m e r i c a le x p e r i m e n t s , w i t h s
l i g h t l y d i f f e r e n t m a s s e s ,s l i g h t l y d i f
f e r e n t i n i t i a l c o n d i t i o n s , a n ds l i g h t l
y d i f f e r e n t p h y s i c s , s h o w s t h a t t h ec h a o
t i c c h a r a c t e r o f t h e s o l a r s y s t e m i s n o ts
e n s i t i v e l y d e p e n d e n t o n t h e p r e c i s e m o d
e lo r n u m e r i c a l m e t h o d s .O u r e x p e r i m e n t s
i n d i c a t e t h a t t h e J o -v i a n p l a n e t s b y t h e
m s e l v e s b e h a v e c h a o t i -c a l l y f o r m o s t i n
i t i a l c o n d i t i o n s n e a r o u rr e f e r e n c e s y s
t e m , t h o u g h o u r e s t i m a t e s o ft h e L y a p u n o
v e x p o n e n t h a v e r a t h e r l a r g ed i s p e r s i o n
.
A l l o f o u r e s t i m a t e s o f t h e L y a p u n o ve x p
o n e n t o f P l u t o g i v e a p p r o x i m a t e l y t h es a
m e d i v e r g e n c e t i m e s c a l e o f 1 0 t o 2 0m i l l i
o n y e a r s , w i t h d i f f e r e n t m e t h o d s o fi n t e
g r a t i o n , d i f f e r e n t p l a n e t a r y m a s s e s , d
i f -f e r e n t i n i t i a l c o n d i t i o n s , a n d e v e n
i n d e p e n -d e n t l y o f w h e t h e r t h e r e s t o f t h
e s y s t e m i sb e h a v i n g c h a o t i c a l l y . O u r e a
r l i e r r e s u l t t h a tt h e e v o l u t i o n o f P l u t o
i s c h a o t i c i s t h u sm u l t i p l y c o n f i r m e d .We
w i l l n o t f u l l y u n d e r s t a n d t h e c o n s e -
q u e n c e s o f t h e o b s e r v e d c h a o t i c e v o l u
t i o no f t h e s o l a r s y s t e m u n t i l w e c l e a r l y
u n d e r -s t a n d t h e d y n a m i c a l m e c h a n i s m s r
e s p o n s i -b l e f o r i t . T h o u g h i n o u r c a l c u l
a t i o n t h eb e h a v i o r o f t h e s e c u l a r r e s o n a
n c e a n g l e s i sc o n s i s t e n t w i t h t h o s e i n L a
s k a r ' s c a l c u l a -t i o n , t h e i d e n t i f i c a t i
o n o f r e s o n a n c e o v e r -l a p o f p a r t i c u l a r s
e c u l a r r e s o n a n c e s a s t h em e c h a n i s m g e n e
r a t i n g t h e c h a o t i c b e h a v i o ro f t h e s o l a r
s y s t e m i s n o t u n a m b i g u o u s l yd e m o n s t r a t
e d . O u r n u m e r i c a l e x p e r i m e n t ss u g g e s t t
h a t t h e r e a r e a t l e a s t t w o i n d e p e n -d e n t m
e c h a n i s m s g e n e r a t i n g c h a o t i c b e -h a v i o
r . O n e m e c h a n i s m g e n e r a t e s c h a o s i nt h e J
o v i a n s u b s y s t e m , a n d P l u t o i s i n d e p e n -d
e n t l y c h a o t i c i n t h e f i e l d o f t h e J o v i a np
l a n e t s . Y e t a n o t h e r m e c h a n i s m i s s u g g e s
t -e d b y t h e s i m u l t a n e o u s p r e s e n c e o f t w od
i f f e r e n t e x p o n e n t i a l t i m e s c a l e s i n o u r
f u l ls o l a r s y s t e m i n t e g r a t i o n s . S e c u l a
r r e s o -n a n c e s a m o n g t h e i n n e r p l a n e t s m a
y b ed r i v i n g t h e f a s t e r t i m e s c a l e , a s L a s
k a r s u g -g e s t e d . H o w e v e r , t h e m o s t c o n v i
n c i n g o ft h e s e c u l a r r e s o n a n c e s , t h e r e s
o n a n c e c o r -r e s p o n d i n g t o t h e a n g l e a n , i
n v o l v e s t h em o d e s w h i c h d o m i n a t e t h e e v o
l u t i o n o f t h ee c c e n t r i c i t y a n d i n c l i n a t
i o n o f M e r c u r y .B o t h M e r c u r y a n d P l u t o h a
v e h i g h e c c e n -t r i c i t y a n d i n c l i n a t i o n ,
w h i c h s t r o n g l y c o u -p l e s t h e e c c e n t r i c i
t y a n d i n c l i n a t i o n s e c u l a rs u b s y s t e m s .
P e r h a p s o n e o f t h e m e c h a n i s m sg e n e r a t i n
g t h e c h a o s o r i g i n a t e s w i t h M e r -c u r y , a n
d i s s i m i l a r t o t h e s t i l l u n k n o w nm e c h a n i
s m g e n e r a t i n g t h e c h a o s i n t h em o t i o n o f P
l u t o .
REFERENCES AN D NOTES1 . G . J . S u s s m a n a n d J . W i s d
o m , S c i e n c e 2 4 1 , 4 3 3( 1 9 8 8 ) .2 . J . L a s k a r ,
N a t u r e 3 3 8 , 2 3 7 ( 1 9 8 9 ) .3 . C . J . C o h e n , E .
C . H u b b a r d , C . O e s t e r w i n t e r , i nA s t r o n o
m i c a l P a p e r s o f t h e A m e r i c a n E p h e m e r i s(
G o v e r n m e n t P r i n t i n g O f f i c e , W a s h i n g t o
n , D C ,1 9 7 3 ) , v o l . 2 2 , p p . 1 - 9 2 .4 . H . K i n o s
h i t a a n d H . N a k a i , C e l e s t i a l M e c h . 3 4 ,2 0
3 ( 1 9 8 4 ) .5 . J . A p p l e g a t e , M . R . D o u g l a s ,
Y . G u r s e l , G . J .S u s s m a n , J . W i s d o m , A s t r
o n . J . 9 2 , 1 7 6 ( 1 9 8 6 ) .6 . A . E . R o y e t a l . , V
i s t a s A s t r o n . 3 2 , 9 5 ( 1 9 8 8 ) .7 . D . L . R i c h
a r d s o n a n d C . F . W a l k e r , i n A s t r o d y -n a m i
c s 1 9 8 7 : A d v a n c e s i n t h e A s t r o n a u t i c a l S
c i -
e n c e s , J . K . S o l d n e r , A . K . M i s r a , R . E .
L i n d b e ra n d W . W i l l i a m s o n , E d s . ( U n i v e l
t , S a n D i e g1 9 8 7 ) , v o l . 6 5 , p . 1 4 7 3 .8 . T . R .
Q u i n n , S . D . T r e m a i n e , M . D u n c a n , A s t r o n
.1 0 1 , 2 2 8 7 ( 1 9 9 1 ) .9 . J . L a s k a r , T . R . Q u i n
n , S . D . T r e m a i n e , I c a r u s 91 4 8 ( 1 9 9 2 ) .1 0 .
J . W i s d o m a n d M . H o l m a n , A s t r o n . J . 1 0 2 , 1
5 2( 1 9 9 1 ) .1 1 . J . W i s d o m , i b i d . 8 7 , 5 7 7 ( 1 9
8 2 ) .1 2 . _, I c a r u s 5 6 , 5 1 ( 1 9 8 3 ) .1 3 . V . I A r
n o l d , M a t h e m a t i c a l M e t h o d s o f C l a s s i cM
e c h a n i c s ( S p r i n g e r - V e r l a g , New Y o r k , 1 9
7 8 ) .1 4 . H . A b e l s o n e t a l . , i n p r e p a r a t i o
n .1 5 . J . A p p l e g a t e e t a l . , I E E E T r a n s . C o
m p u t . C 3( 1 9 8 5 ) .1 6 . A . N o b i l i a n d 1 . R o x b u
r g h , i n R e l a t i v i t y i n C e l e s t iM e c h a n i c s
a n d A s t r o m e t r y , J . K o v a l e v s k y a n dA . B r u
m b e r g , E d s . ( R e i d e l , D o r d r e c h t , 1 9 8 6 )
.1 7 . J . L a s k a r , I c a r u s 8 8 , 2 6 6 ( 1 9 9 0 ) .1 8 .
_ i n P r o c . I A U S y m p o s i u m 1 5 2 , S . F e r r aM e l
l o , E d . ( 1 9 9 2 ) .1 9 . G. D . Q u i n l a n , i n i b i d
.2 0 . J . W i s d o m , C e l e s t i a l M e c h . 3 8 , 1 7 5 (
1 9 8 6 ) .2 1 . J . H e n r a r d , A . L e m a i t r e , A . M i
l a n i , C . D . M u r r ai b i d . , p . 3 3 5 .2 2 . A . N o b i
l i , A . M i l a n i , M . C a r p i n o , A s t r o n . A s t r o
p h y2 1 0 , 3 1 3 ( 1 9 8 9 ) .2 3 . J . W i s d o m , I c a r u s
6 3 , 2 7 2 ( 1 9 8 5 ) .2 4 . S . J . P e a l e , F . M i g n a r
d , i b i d . 5 8 , 1( 1 9 8 4 ) .
2 5 . J . W i s d o m , A s t r o n . J . 9 4 , 1 3 5 0 .2 6 . W
. T i t t e m o r e a n d J . W i s d o m , I c a r u s 7 4 , 1( 1
9 8 8 ) .2 7 . i b i d . 7 8 , 6 3 ( 1 9 8 9 ) .2 8 . , i b i d . 8
5 , 3 9 4 ( 1 9 9 0 ) .2 9 . T h e S u p e r c o m p u t e r T o o
l k i t c o m p u t e r w a s ds i g n e d a n d b u i l t w i t h
t h e h e l p a n d g e n e r os u p p o r t o f t h e H e w l e t
t - P a c k a r d C o m p a n y . We s p e c i a l l y t h a n k J
. Bimbaum o f H - P f o r h i s p es o n a l s u p p o r t . W . M
c A l l i s t e r l e d t h e t e a m a t H -D . Z u r a s o f H -
P h e l p e d w i t h t h e d e v e l o p m e n tt h e s c i e n t
i f i c s u b r o u t i n e s we u s e d . A t M I TB e r l i n , G
. R o z a s , H . W u , H . A b e l s o n , a n dK a t z e n e l s
o n c o n t r i b u t e d t o t h e h a r d w a r e as o f t w a r
e d e s i g n . M . H o l m a n h e l p e d w i t h t h e dv e l o
p m e n t a n d t e s t i n g o f t h e m a p p i n g i n t e g r a
t oWe t h a n k S . T r e m a i n e , J . L a s k a r , T . Q u i n
n ,D u n c a n , a n d S . J . P e a l e f o r h e l p f u l d i s
c u s s i o nT h i s r e s e a r c h w a s d o n e a t t h e A r t
i f i c i a l I n t e lg e n c e L a b o r a t o r y o f t h e M a
s s a c h u s e t t s I n s t i to f T e c h n o l o g y . S u p p
o r t f o r t h e l a b o r a t o r y ' s a r t ic i a l i n t e l
l i g e n c e r e s e a r c h i s p r o v i d e d i n p a r tt h e
A d v a n c e d R e s e a r c h P r o j e c t s A g e n c y o f tD
e p a r t m e n t o f D e f e n s e u n d e r O f f i c e o f N a
vR e s e a r c h c o n t r a c t N 0 0 0 1 4 - 8 9 - J - 3 2 0 2 a
n d i n p ab y t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i
o n u n d e r g r an u m b e r M I P - 9 0 0 1 6 5 1 . J . W . i s
a l s o s u p p o r t e dp a r t b y a n N S F P r e s i d e n t i
a l Y o u n g I n v e s t i g aA w a r d A S T - 8 8 7 3 6 5 a n d
i n p a r t b y t h e NASA P l ae t a r y G e o l o g y a n d G e o
p h y s i c s P r o g r a m u n dg r a n t N A G W - 7 0 6 . We a r
e g r a t e f u l f o r t h e h o s pt a l i t y o f t h e C a l i
f o r n i a I n s t i t u t e o f T e c h n o l ow h e r e b o t h
a u t h o r s a r e o n l e a v e f r o m M I T .
S C I E N C E * V O L . 2 5 7 * 3 J U L Y 1 9 9 22
