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8/17/2019 ex de EN da aprogerd até 2013.docx

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Exercícios de EN da Aproged até 2013

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES A UM PLANO OL!"UO

1# Exa$e de 1%%& 2' (ase )Progra$a e$ *igor de 1%%& a 2003+

O plano alfa está denido por duas rectas paralelas r e s- A recta r contém o ponto R (0; 1; 2) e a recta s, o ponto S (-; -2; 1)- as pro!ec"#es $ori%ontais das rectas fa%em &n'ulos de 0 com o ei*o * e aspro!ec"#es frontais, &n'ulos de +0 com o ei*o *, de aertura para a esuerdaa) .etermine os tra"os do planos alfa nos planos de pro!ec"/o) .etermine as pro!ec"#es da recta i do plano a ue se situa no issector dosdiedros pares

2# Exa$e de 1%%, 1' (ase - 2' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 1%%& a2003+

.etermine as pro!ec"#es de uma recta $ori%ontal (de nel) n pertencente a umplano oluo alfa

- O plano alfa contém uma recta frontal f, ue passa pelo ponto A (-3; ; +) efa% um &n'ulo de 4, de aertura para a direita, com o 5lano 6ori%ontal de5ro!ec"/o;- O plano intersecta o ei*o * num ponto 7, com acissa 4;- A recta $ori%ontal tem 2 de cota

3# Exa$e de 1%%,/ 2' (ase )Progra$a e$ *igor de 1%%& a 2003+.etermine os tra"os, nos 5lanos de 5ro!ec"/o, de um plano oluo alfa,denido por um ponto A e por uma recta de perl p

- A (4; 2; 8)- A Recta de perl p contém os pontos 9 (0; -2; 8) e : (0; 8; -2)

# Exa$e de 1%% 1' (ase - 1' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 1%%& a2003+

.etermine as pro!ec"#es de uma recta frontal f contida num plano oluoeta

- O plano oluo eta contém o ponto 5 (-+; 1; -+) e uma recta $ori%ontal (denel) n;- A recta $ori%ontal fa%, com o 5lano


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# Exa$e de 1%%% Pro*a Modeo )Progra$a e$ *igor de 1%%& a 2003+

.etermine os tra"os, nos planos de pro!ec"/o, do plano oluo alfa uecontém as duas rectas r e s

- As rectas s/o concorrentes no ponto >, de acissa nula, pertencente ao ei*o*;- A recta r contém o ponto R (-2; -2; 2);- A recta s contém o ponto S (-?; ; )

Exa$e de 2000 1' (ase - 2' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 1%%& a2003+

.etermine as pro!ec"#es do ponto 5 contido no plano oluo eta

- O plano oluo eta é denido por um ponto 7 e pela recta $ori%ontal (denel) n;- O ponto 7 pertence ao ei*o * e tem -2 de acissa;- A recta $ori%ontal (de nel) n contém o ponto A (0; 4; +) e fa%, com o 5lano


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%# Exa$e de 2002 Pro*a Modeo

.etermine os tra"os, $ori%ontal e frontal, do plano oluo delta

- o plano oluo delta é denido pelo ponto A (4; 2; 8) e pela recta de perl p;- a recta de perl p contém o ponto 9 (0; -2; 8) e o ponto :, ue tem 8 deafastamento e -2 de cota

(er e*erccio de 1??3 2 fase)

10# Exa$e de 2002 1' (ase - 1' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 1%%&a 2003+

.etermine as pro!ec"#es da recta n, contida no plano oluo alfa

- o plano alfa é denido pelo ponto A (+; 2; 3) e pela recta r;- a recta r contém os pontos 9 (0; ; -) e : (-4; -4; 4);- a recta n é $ori%ontal e é concorrente com a recta r no ponto :

11# Exa$e de 2002 1' (ase - 2' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 2002a 200&+

.etermine o ponto B, de concorrCncia dos tra"os do plano oluo eta com o

ei*o *- o plano oluo eta é denido pelos pontos A (0; 3; -2), 9 (4; -8; 8) e : (-4; 4;2)

12# Exa$e de 2002 1' (ase - 2' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 1%%&a 2003+

.etermine os tra"os, nos planos de pro!ec"/o, do plano oluo alfa

- o plano oluo alfa é denido por trCs pontos, A, 9 e :

- os pontos A e 9 pertencem ao issector dos diedros mpares- A tem 4 de acissa e 4 de afastamento- 9 tem acissa nula e - 4 de cota- o ponto : pertence ao issector dos diedros pares e tem -4 de acissa e 4 decota

13# Exa$e de 2002 2' 4ase )Progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine as pro!ec"#es do ponto D do plano oluo eta

- o plano eta é denido pelo ponto A (0; ; 2) e pelo tra"o $ori%ontal do planoeta;- o tra"o $ori%ontal de eta fa% um En'ulo de 4 (com aertura para a direita)


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com o ei*o *, intersectando-o num ponto 7, com 3 de acissa;- o ponto D pertence ao issector dos diedros pares e tem 2 de acissa

1# Exa$e de 2002 2' (ase )Progra$a e$ *igor de 1%%& a 2003+

.etermine as pro!ec"#es do ponto D, pertencente ao plano oluo alfa

- o plano alfa é denido pela recta de frente f e pelo ponto 7 (; 0; 0);- a recta f contém o ponto A (; -8; 4) e fa% um &n'ulo de 4, de aertura paraa direita, com o 5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o;- o ponto D tem -2 de afastamento e 2 de cota

1# Exa$e de 2003 1' (ase - 1' C.a$ada

.etermine as pro!ec"#es do ponto >, contido no plano oluo eta

- o plano eta contém a recta r, denida pelos pontos 6 (; -4; 0) e 5 (0; 1; 2);- o tra"o frontal do plano eta fa% um &n'ulo de +0F (de aertura para a direita)com o ei*o *;- o ponto > é um ponto do plano issector dos diedros impares, com de cota

1 2003 1' (ase - 2' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 1%%& a 2003+

.etermine as pro!ec"#es da recta r, contida no plano oluo alfa- os tra"os do plano alfa intersectam-se num ponto com -4 de acissa e fa%em&n'ulos de 4 com o ei*o *, amos de aertura para a esuerda- a recta r contém o ponto R, com de afastamento e 4 de cota;- a pro!ec"/o frontal da recta r fa% um &n'ulo de +0 com o ei*o * (aerturapara a direita)

1,# 2003 1' (ase - 2' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine os tra"os do plano oluo eta

- o plano eta é denido pela recta frontal f e pelo ponto A (-; 2; );- a recta f contém o ponto 9 (-3; ; -), e a sua pro!ec"/o frontal, f2, fa% umEn'ulo de 4 com o ei*o *, de aertura para a esuerda

1# Exa$e de 2003 2' (ase )Progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine as pro!ec"#es da recta d, contida no plano oluo eta

- O plano oluo eta contém um ponto do ei*o * com 2 de acissa;- O tra"o frontal do plano eta fa% um En'ulo de 40F com o ei*o * (de aerturapara a direita);- A recta d contém o ponto 5 (-+; ; 4) e é uma das rectas de maior declie doplano eta


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1%# Exa$e de 200 / 1' (ase )Progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine os tra"os do plano oluo alfa

- o plano alfa contém as rectas r e s, concorrentes no ponto B (3; 0; 0)- a recta r contém o ponto R (0; ; 4)- o ponto S (0; +; 2) pertence G recta s

20# Exa$e de 200 / 2' (ase )Progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine as pro!ec"#es da recta $ori%ontal r, contida no plano oluo eta

- o plano eta é denido pelos pontos < (; 0; ), 6 (; 2; 0) e 5;- o ponto 5 tem acissa nula, de cota e pertence ao issector dos diedrosmpares- a recta r intersecta o plano frontal de pro!ec"/o num ponto,


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2# Exa$e de 200& 2' (ase )Progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine as pro!ec"#es do ponto 5, contido no plano oluo eta

- O plano eta contém a recta frontal f;- A recta f contém o ponto A, com 2 de acissa e de afastamento,pertencente ao plano issector dos diedros mpares- A pro!ec"/o frontal da recta f fa% um En'ulo de 4 com o ei*o * (de aerturapara a esuerda);- Os tra"os do plano eta intersectam-se num ponto com H 4 de acissa;- O ponto 5 tem de cota e pertence ao plano issector dos diedros pares

PONTOS E RECTAS PERTENCENTES A UM PLANO 5E RAMPA

1# Exa$e de 1%% / Pro*a Modeo )Progra$a e$ *igor de 1%%& a 2003+

.etermine os tra"os, nos 5lanos de pro!ec"/o, do 5lano de rampa rI, uecontém a recta olua r.adosA recta r passa pelo ponto A (; 2; 12)A pro!ec"/o $ori%ontal da recta fa% um &n'ulo de 4 com o ei*o *, comaertura para a esuerda;A recta r intersecta o 5lano 9issector dos .iedros @mpares no ponto >, do

Jerceiro .iedro, com cota H82# Exa$e de 1%%% 1' (ase - 2' C.a$ada )Progra$a e$ *igor de 1%%& a2003+

Represente, pelas suas pro!ec"#es, a recta olua r, contida no plano derampa alfa

O plano de rampa alfa contém o ponto 5 (+; ; 4) e o seu tra"o $ori%ontal tem ?de afastamento;O tra"o frontal da recta r tem acissa -4;

A pro!ec"/o $ori%ontal da recta r fa%, com o ei*o *, um &n'ulo de 4, deaertura para a direita

6NTERSEC78O 5E PLANOS

1# Exa$e de 1%%, Pro*a Modeo

.etermine as pro!ec"#es da recta i de intersec"/o de um plano de rampa alfacom um plano $ori%ontal (de nel) niK

- o tra"o frontal do plano de rampa alfa tem cota 8


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- o plano de rampa alfa contém a ponto A (; ; 4)- o plano $ori%ontal (de nel) niK contém o ponto 9 (O; ?; +)

2# Exa$e de 1%%% 2' (ase

.etermine a recta de intersec"/o i dos planos de rampa alfa e eta

- o tra"o $ori%ontal do plano alfa tem 4 de afastamento, e o seu tra"o frontaltem de cota;- o plano eta é denido pelo seu tra"o $ori%ontal, ue tem + de afastamento,e pelo ponto 9 (O; ; 2)

3# Exa$e de 2000 2' (ase

.etermine a recta de intersec"/o i do plano de topo pi com o plano oluoalfa

- o plano de topo pi intersecta o ei*o * no ponto de acissa - e fa%, com o5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o, um diedro de +0, de aertura para a direita;- o plano oluo alfa é denido por uma recta de perl p e pelo ponto : (O; ;)- a recta de perl p contém os pontos A (-8; 8; ) e 9 (-8; ; 8)

# Exa$e de 2002 1' (ase - 1' C.a$ada )progra$a e$ *igor de 2002 a200&+

.etermine a recta de intersec"/o i dos dois planos alfa e eta

- o plano alfa é de rampa e é denido pelo seu tra"o frontal, ue tem de cota,e por uma recta a, fronto-$ori%ontal, ue tem 4 de afastamento e 1 de cota;- o plano eta é de topo e fa% um diedro de 0 (aertura para a direita, no 1diedro) com o plano $ori%ontal de pro!ec"/o

# Exa$e de 2002 2' (ase )progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine as pro!ec"#es da recta de intersec"/o i dos planos oluos alfa eeta

- os tra"os do plano alfa s/o concorrentes num ponto B, com 0 de acissa, efa%em amos &n'ulos de 4 com o ei*o * o tra"o $ori%ontal com aerturapara a esuerda, e o tra"o frontal com aertura para a direita;- o plano eta é denido pelo ponto 7 (-3; 0; 0) e pela recta r;- a pro!ec"/o $ori%ontal r1 da recta r coincide com o tra"o $ori%ontal do planoalfa- o tra"o $ori%ontal da recta r tem cm de afastamento- o tra"o frontal da recta r tem cm de cota

Exa$e de 2003 1' (ase - 1' C.a$ada )progra$a e$ *igor de 2002 a200&+

.etermine as pro!ec"#es da recta i de intersec"/o do plano oluo alfa com oplano de rampa teta


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- os tra"os do plano alfa cru%am-se num ponto com acissa nula e fa%em&n'ulos de 4 com o ei*o *, amos de aertura para a esuerda;- o plano teta é denido pelas rectas fronto-$ori%ontais a e ;- a recta a tem 2 de afastamento e 4 de cota;- a recta contem o ponto 9 (-; 4; )

,# Exa$e de 2003 1' (ase - 1' C.a$ada )progra$a e$ *igor até 2003+

.etermine as pro!ec"#es da recta i de intersec"/o do plano eta com o planoalfa

- o plano eta é $ori%ontal e contém um ponto A (-; ; 3);- o plano alfa é oluo e contem o ponto 9 (; 2; );- o tra"o $ori%ontal do plano alfa cru%a o ei*o * no ponto de acissa nula e fa%,com a mesma, um &n'ulo de 4 (aertura para a direita)

# Exa$e de 2003 2' (ase )progra$a e$ *igor de 2002 a 200&+

.etermine as pro!ec"#es da recta i de intersec"/o do plano ertical eta com oplano de rampa alfa

- O tra"o $ori%ontal do plano eta fa% um En'ulo de 4 com o ei*o * (deaertura para a direita) e Dntersecta o mesmo ei*o no ponto de acissa nula;- O plano de rampa alfa contém os pontos A (1; 4; 2) e 9 (-; D; +)

%# Exa$e de 200 2' (ase

.etermine as pro!ec"#es da recta i, de intersec"/o do plano ertical alfa com oplano oluo eta

- o plano ertical alfa contém o ponto A (2; 2; ), e o seu tra"o $ori%ontal fa%um &n'ulo de 4 com o ei*o *, de aertura para a direita;- os tra"os do plano oluo eta intersectam-se num ponto com -4 de acissa;- o tra"o $ori%ontal do plano eta fa% um En'ulo de +0 com o ei*o *, deaertura para a esuerda; o tra"o frontal do plano eta fa% um En'ulo de 4com o mesmo ei*o, de aertura para a direita

10# Exa$e de 200& 1' (ase

.etermine as pro!ec"#es da recta i, de intersec"/o dos planos oluos alfa eeta

- o plano alfa é denido pelas rectas paralelas r e s;- a recta r contém os pontos R (0; 1 ; ) e S (1 ; 2; )- a recta s contém o ponto J (4; 1 ; 2)- os tra"os do plano eta, intersectam-se num ponto com -8 de acissa o tra"o$ori%ontal fa% um &n'ulo de 4 com o ei*o *, e o tra"o frontal fa% um &n'ulode +0F com o mesmo ei*o (amos de aertura para a esuerda)


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11# Exa$e de 200% 1' (ase

.etermine as pro!ec"#es da recta de intersec"/o, i, dos planos oluos Llfa eeta, ue contCm o mesmo

ponto do ei*o *.adosH os tra"os do plano Llfa intersectam o ei*o * no ponto com H1 de acissa efa%em, amos, &n'ulos de +0, de aertura para a direita, com esse mesmoei*o;H o plano eta é denido pelo seu tra"o $ori%ontal e pela recta ;H o tra"o $ori%ontal fa% um &n'ulo de 20, de aertura para a direita, com oei*o *;H a recta é de perl passante e contém o ponto 9 (2; +)

12# Exa$e de 200% 2' 4ase

.etermine as pro!ec"#es da recta de intersec"/o, i, do plano oluo M com oplano passante N.adosH o plano M intersecta o ei*o * no ponto com de acissa;H os tra"os $ori%ontal e frontal do plano M fa%em, respectiamente, &n'ulos de0 e de 0, amos deaertura para a direita, com o ei*o *;H o plano N é definido pelo ei*o * e pelo ponto 5 (0; ; +)

13# Exa$e de 2011 2' 4ase.etermine as pro!ec"#es da recta de intersec"/o, i, do plano oluo com oplano de rampa P

Q o plano está definido por uma recta de maior declie, d;Q a recta d contém o ponto 5 (H2; ; 4);Q as pro!ec"#es, $ori%ontal e frontal, da recta d fa%em, com o ei*o *, &n'ulosde 0, de aertura para aesuerda, e de 0, de aertura para a direita, respectiamente;Q os tra"os $ori%ontal e frontal do plano P tCm H de afastamento e 3 de cota,

respectiamente

6NTERSEC78O 5E UMA RECTA COM UM PLANO

1# Exa$e de 1%% / 1' (ase9 2' C.a$ada

.etermine o ponto de intersec"/o D da recta $ori%ontal n com o plano oluoalfa

- a recta n contém o ponto 5 (; ; ) e fa% um &n'ulo de 4, de aertura paraa direita, com o 5lano


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2# Exa$e de 2000 1' (ase / 1' C.a$ada

.etermine o ponto de intersec"/o D da recta ertical com o plano de ramparI

- a recta contém o ponto 5 (2; -2; 3);

- o plano de rampa rI é denido pelo ponto A (-2; 2; ) e pelo seu tra"o$ori%ontal, ue tem 4 de afastamento

3# Exa$e de 1%%, 1' (ase / 1' C.a$ada

.etermine as pro!ec"#es do ponto D de intersec"/o da recta r com o planooluo alfa

- a recta r é uma recta olua passante, ue contém o ponto A (-2; +; ?) e oponto 9, do ei*o *, com 4 de acissa;- o tra"o $ori%ontal do plano alfa fa% um &n'ulo de 4, de aertura para adireita, com o ei*o *, e intersecta-o num ponto 7, com acissa -4;- o plano alfa contém um ponto 5, do 5lano


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.etermine o ponto de intersec"/o D da recta frontal f com o plano de rampa rI

- a recta f contem o ponto 5 (2; 4; +) e fa% um &n'ulo de 4 (aertura para aesuerda) com o plano $ori%ontal de pro!ec"/o;- o tra"o frontal do plano de rampa rI tem de cota;- o plano contém um ponto A, pertencente ao issector dos diedros pares, ue

tem + de acissa e + de cota

,# Exa$e de 2002 1' (ase - 1' C.a$ada )progra$a e$ *igor até 2003+

.etermine o ponto de intersec"/o D da recta oliua r com o plano de rampa pi

- a recta olua r contém o ponto A (4; 4; 2) e intersecta o 5lano


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.etermine as pro!ec"#es do ponto D de intersec"/o da recta frontal f com oplano oluo eta

- o plano eta é denido pela recta frontal a e pelo ponto 9 (0; 1; +)- a recta a contém o ponto 6 (; ; 0) e a sua pro!ec"/o frontal fa% um &n'ulode 4 com o ei*o *, de aertura para a direita;

- a recta f contém o ponto 5 (-4; 4; 2) e a sua pro!ec"/o frontal fa% um &n'ulode +0 com o ei*o *, de aertura para a esuerda

12# Exa$e de 200 1' (ase

.etermine as pro!ec"#es do ponto D de intersec"/o do plano oliuo eta com arecta t

- o plano contém o ponto 5 (0; ; +) e a recta $, denida pelos pontos (4; ;2) e B (-1; +; 2);- a recta t é de topo, tem - de acissa e 4 de cota

13# Exa$e de 200 - 2' (ase

.etermine as pro!ec"#es do ponto D de intersec"/o da recta oliua r com oplano oliuo eta

- a recta r é denida pelos pontos R (; 8; 1) e S (0; ; 4);- os tra"os do plano eta intersectam o ei*o * num ponto com -2 de acissa efa%em, amos, &n'ulos de 0 com o referido ei*o (o tra"o $ori%ontal comaertura para a direita, e o tra"o frontal com aertura para a esuerda)

1# Exa$e de 200& 2' 4ase

.etermine as pro!ec"#es do ponto D, de intersec"/o da recta oliua r com oplano de rampa teta

- a recta r é denida pelos pontos R (2; 1; 4) e S (0; 2; 2);- os tra"os $ori%ontal e frontal do plano de rampa teta tCm, respectiamente, +de afastamento e 3 de cota

1# Exa$e de 200, / 1' (ase )C:digo ,0+

.etermine o ponto de intersec"/o D, da recta $ori%ontal n com o plano derampa rI- o plano rI é denido pelo ponto A (H2; 2; 8) e pela recta a;- a recta a é fronto-$ori%ontal, tem 2 de cota e pertence, tamém, ao 2,4;- a recta n contém o ponto B (H4; ; 3) e fa% um &n'ulo de 0F, de aerturapara a direita, com o plano frontal de pro!ec"/o

1 Exa$e de 200 1' 4ase )C:digo ,0+;

.etermine as pro!ec"#es do ponto de intersec"/o, D, da recta de perl r com oplano de rampa rI


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- o plano rI tem o seu tra"o $ori%ontal com H3 de afastamento e o seu tra"ofrontal com 4 de cota;- a recta r contém o ponto 5 (2; +; ) e é paralela ao plano issector dosdiedros pares (2,4)

1,# Exa$e de 2011 1' 4ase )C:digo ,0+

.etermine as pro!ec"#es do ponto D, tra"o da recta no plano issector dosdiedros pares- a recta é paralela ao plano delta- a recta contém 5 (-3; 3; -2)- a pro!ec"/o $ori%ontal da recta fa% um &n'ulo de 4 de aertura para adireita com o ei*o *- o plano delta está denido pelos pontos R (; +; ), S (0; +; ) e J (-; 1; )

1# Exa$e de 2013 1' 4ase )C:digo ,0+

.etermine as pro!e"#es do ponto D resultante da intersec"/o da reta de topo tcom o plano oluo

Q a reta t tem H de acissa e de cota;Q o plano está definido por duas retas paralelas, a e ;Q a reta a é passante e contém o ponto (4; 4; );Q a pro!e"/o frontal da reta a fa% um &n'ulo de 0F, de aertura para aesuerda, com o ei*o *;Q a reta contém o ponto B (+; 4; H1)

SONTAL)A6S+ OU (RONTAL)A6S+

1# Exa$e de 1%% Pro*a Modeo )c:digo 10%+

Represente, no sistema de dupla pro!ec"/o orto'onal, dois se'mentos de rectaconcorrentes, TAUV e TADVOs e*tremos do se'mento TAUV s/o értices opostos de um octI'ono re'ular


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contido num plano frontal f; esta 'ura é uma das ases de um prismaocto'onal re'ular O se'mento TADV é uma aresta lateral do prismaRepresente esse sIlido e identiue as suas arestas iniseis, com aconen"/o 'ráca adeuada

- o ponto de concorrCncia dos dois se'mentos é o ponto A (-2; 8; 8)

- o se'mento de recta TAUV é frontal, fa% um &n'ulo de de aertura para aesuerda com o 5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o e mede + cm- o ponto U tem cota inferior G do ponto A- o se'mento TADV tem o e*tremo D contido no 5lano


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- Os pontos A (0; 8; 8) e 9 (4; 8; ) s/o dois értices consecutios do uadrado- O ponto A é o értice de maior cota da ase da pir&mide- O ponto =, ue é o értice do sIlido, pertence ao 5lano


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- O ponto A (1; 2; ) é o értice de menor cota do $e*á'ono- O lado TA9V da 'ura está contido numa recta frontal f, ue fa%, com o 5lano6ori%ontal de 5ro!ec"/o, um &n'ulo de 4 de aertura para a direita- Os lados do $e*á'ono medem 4 cm- O értice da pir&mide é o ponto =, ue dista 3 cm de plano frontal f

%# Exa$e de 2000 1' (ase - 2' C.a$ada )c:digo 10%+

Represente, no sistema de dupla pro!ec"/o orto'onal, um pentá'ono re'ularTA9:.UV, contido num plano $ori%ontal niK e ue é uma das ases de umprisma recto, situada no espa"o do 5rimeiro .iedroRepresente i'ualmente este sIlido, identicando as suas arestas iniseis,com a conen"/o 'ráca adeuada

- O plano $ori%ontal tem 1 cm de cota- O centro da circunferCncia circunscrita G 'ura é o ponto O, com acissa nulae cm de afastamento- O ponto A é um dos értices do pentá'ono- O raio TOAV da circunferCncia circunscrita tem uma inclina"/o de 4, deaertura para a direita, com o 5lano


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do sIlido- o értice 9, ue é cont'uo ao értice A, pertence ao ei*o *

12# Exa$e de 2001 1' (ase - 2' C.a$ada )c:digo 0%+

Represente, no sistema de dupla pro!ec"/o orto'onal, um prisma trian'ular

recto, e*istente no espa"o do 5rimeiro .iedroDdentiue as arestas ue se!am iniseis, com a conen"/o 'ráca adeuada

- uma das ases do sIlido é o tri&n'ulo euilátero TA9:V, ue está contido no5lano


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- o értice A tem 4 de acissa e 4 de cota;- o értice 9 é o de menor cota;- a aresta lateral TA=V é $ori%ontal;- a aresta lateral T9=V é de perl- o értice = pertence ao plano frontal de pro!ec"/o

1 Exa$e de 2002 1' (ase - 2' C.a$ada )c:digo 10%+

Represente, no sistema de dupla pro!ec"/o orto'onal, uma pir&mide trian'ularrecta, de értice =, com a ase contida num plano $ori%ontal niK Ddentiue asarestas iniseis com a conen"/o 'ráca adeuada

- a ase da pir&mide é o tri&n'ulo euilátero TA9:V- o se'mento de recta TA=V é uma das trCs arestas laterais do sIlido, e os seuse*tremos s/o os pontos A (-; ; +) e = (0; 4; 0)

1,# Exa$e de 2002 1' (ase - 2' C.a$ada )c:digo 0%+

Represente um prisma penta'onal oluo, com as ases $ori%ontais e situadono 1 diedro, de acordo com os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"ointerrompido, as arestas iniseis do sIlido

- uma das ases é o pentá'ono re'ular TA9:.UV, inscrito numa circunferCnciade centro (0; +; 2);- o értice A tem , de acissa e +, de afastamento;- as arestas laterais s/o se'mentos de rectas de frente ue fa%em &n'ulos de+0 com os planos das ases (aertura a esuerda, no 1 diedro) e medem 3

cm1# Exa$e de 2002 / 2' (ase )c:digo 10%+

Represente pelos seus contornos aparentes, no sistema de dupla pro!ec"/oorto'onal, um cone de reolu"/o, com a ase contida num plano de nel niK

- o értice do cone e o ponto = (0; ; 2);- o ponto 5 (; 2; 3) é um dos pontos da circunferCncia da ase

1%# Exa$e de 2003 1' (ase - 1' C.a$ada )c:digo 10%+

Represente, no sistema de dupla pro!ec"/o orto'onal, uma pir&mide $e*a'onalrecta, situada no primeiro diedro Ddentiue as arestas iniseis com aconen"/o 'ráca adeuada

- a ase da pir&mide é o $e*á'ono re'ular TA9:.U


19/69

- um dos értices da ase é o ponto A, com 1 de acissa e de afastamento;- o értice = da pir&mide é um ponto do plano issector dos diedros mpares


Represente uma pir&mide uadran'ular olua, situada no 1 diedro, de

acordo com os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, asarestas iniseis do sIlido

- a ase da pir&mide está contida num plano frontal;- os pontos A (+; ; 10) e : s/o értices opostos do uadrado TA9:.V da aseda pir&mide;- o értice : tem 10 de acissa e 2 de cota;- o értice = da pir&mide é um ponto do ei*o * com 1 de acissa


Represente, no sistema de dupla pro!ec"/o orto'onal, um prisma uadran'ularrecto, situado no primeiro diedro Ddentiue as arestas iniseis com aconen"/o 'ráca adeuada

- as ases do prisma est/o contidas em planos frontais;- uma das ases do prisma é o uadrado TA9:.V, cu!o értice A tem deafastamento e 2 de cota- a aresta TA9V dessa ase mede cm e fa% um &n'ulo de 0F com o 5lano6ori%ontal de 5ro!ec"/o de aertura para a direita;- a altura do prisma mede 3 cm


Represente um cuo, situado no 1 diedro, de acordo com os dados aai*oapresentadosDdentiue, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlido

- a face TA9:.V está contida no plano $ori%ontal niK;- o értice A pertence ao plano issector dos diedros mpares,tem ? de acissae de cota;- o értice 9 tem 4 de acissa e é um ponto do plano frontal de pro!ec"/o

23# Exa$e de 2003 2' (ase )c:digo 10%+

Represente, no sistema de dupla pro!ec"/o orto'onal, um cone de reolu"/o,com a ase contida num plano de frente f

- os pontos A (; 1; ?) e = (; 8; +) denem uma das 'eratri%es do cone, sendo= o értice do sIlido

2# Exa$e de 2003 2' (ase )c:digo 0%+


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Represente um cone oluo de ase circular, situado no 1 diedro, de acordocom os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, a parteinisel da circunferCncia da ase do sIlido

- A ase do sIlido está contida num plano frontal, com centro no ponto 0(4; 1;);

- o ponto A, com 4 de acissa e 8 de cota, é um ponto da circunferCncia daase;- a 'eratri% TA=V do cone é $ori%ontal;- o értice = tem 11 de acissa e pertence ao plano issector dos diedrosimpares

2# Exa$e de 200 1' (ase )c:digo 0%+

.etermine as pro!ec"#es de um prisma trian'ular oluo, situado no 1 diedro,de acordo com os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"ointerrompido, as arestas iniseis do sIlido

- as ases do prisma s/o tri&n'ulos euiláteros contidos em planos $ori%ontais;- os pontos A (0; ; ) e 9, com 4 de acissa e 1 de afastamento, s/o érticesda ase TA9:V;- o értice ., com - de acissa e 10 de afastamento, é um dos e*tremos daaresta lateral TA.V;- a altura do prisma mede 3 cm

2 Exa$e de 200 2' (ase )c:digo 0%+

.etermine as pro!ec"#es de uma pir&mide penta'onal olua, situada no 1diedro, de acordo com os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"ointerrompido, as arestas iniseis do sIlido

- a ase da pir&mide é o pentá'ono re'ular TA9:.UV, contido num plano$ori%ontal;- a ase está inscrita numa circunferCncia com centro no ponto 0 (1; +; 1) e 4cm de raio;- o értice A, com 3, de afastamento, é o ue se situa mais G esuerda;- a aresta lateral TA=V é um se'mento de recta frontal;- o értice da pir&mide, =, tem - de acissa e 8 de cota

2,# Exa$e de 200 - 2' (ase )c:digo 0%+

Represente uma pir&mide $e*a'onal olua, situada no 1 diedro, de acordocom os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, asarestas iniseis do sIlido

- a ase da pir&mide é o $e*á'ono re'ular TA9:.U


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- o értice A da ase da pir&mide tem - 4 de acissa e 3 de afastamento;- o értice = da pir&mide tem - + de acissa e de afastamento;- a aresta TA=V está contida numa recta oliua passante

2# Exa$e de 200& 1' (ase )c:digo 0%+

Represente um cilindro oluo de ases circulares, situado no 1 diedro, deacordo com os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, aparte inisel da circunferCncia de uma das ases do sIlido

- as ases do cilindro est/o contidas em planos frontais;- o ponto 0(; 1 ; ) é o centro de uma das ases;- os pontos A (+; 1; ) e 9 (2; 8; ?) denem uma das 'eratri%es do cilindro

2%# Exa$e de 200& 2' (ase )c:digo 0%+

Represente um prisma uadran'ular oluo, situado no 1 diedro, de acordocom os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, asarestas iniseis do sIlido

- as ases do prisma s/o uadrados, contidos em planos $ori%ontais com 2 e 8de cota;- os pontos A, com + de acissa e de afastamento, e 9, com de acissa e 1de afastamento, s/o értices consecutios da ase de menor cota;- o ponto A é o értice do sIlido situado mais G esuerda;- as arestas laterais do prisma s/o paralelas ao plano frontal de pro!ec"/o emedem 8 cm

REPRESENTA78O 5E (6?URAS PLANAS @ERT6CA6S

1# Exa$e de 1%%, 1' (ase / 1' C.a$ada

Represente, pelos seus tra"os nos 5lanos de 5ro!ec"/o, o plano ertical etaue contém o tri&n'ulo TA9:V .esen$e as pro!ec"#es do tri&n'ulo e determinea sua erdadeira 'rande%a

- os pontos A (O; 2; 4) e 9 (; 3; 2) s/o dois értices da 'ura;- o értice : tem 2 de acissa e 8 de cota

2# Exa$e de 1%% Pro*a Modeo

.etermine as pro!ec"#es do $e*á'ono re'ular TA9:.U


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- o értice 9, ue é cont'uo ao értice A, pertence ao 5lano 6ori%ontal de5ro!ec"/o

3# Exa$e de 1%% 1' (ase - 2' C.a$ada

.etermine as pro!ec"#es de um tri&n'ulo rect&n'ulo TA9:V, contido num plano

ertical, e*istente no espa"o do primeiro .iedro

- os pontos A (2; 2; 4) e : (3; ; 2) s/o os e*tremos da $ipotenusa do tri&n'ulo- o ponto : é o értice de menor cota da 'ura- o cateto TA9V fa% um &n'ulo de +0 com a $ipotenusa

# Exa$e de 1%%% 1' (ase - 1' C.a$ada

.etermine as pro!ec"#es do rect&n'ulo TA9:.V, contido no plano ertical alfa e situado no primeiro .iedro

- os pontos A (O; 2; 3) e 9 (4; +; 1) s/o os e*tremos de um dos lados maioresdo rect&n'ulo- os lados menores da 'ura medem 4 cm

# Exa$e de 2000 1' (ase - 1' C.a$ada

.etermine as pro!ec"#es do tri&n'ulo euilátero TA9:V, e*istente no espa"o doprimeiro diedro e contido num plano ertical alfa

- o plano ertical alfa fa%, com o 5lano


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Represente o $e*á'ono re'ular TA9:.U


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25/69

.etermine as pro!ec"#es do tri&n'ulo euilátero TA9:V, contido no plano detopo eta

- o plano de topo eta fa% um diedro de 4, de aertura para a direita, com o5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o, intersectando o ei*o * no ponto 7, de acissanula;

- o tri&n'ulo está inscrito numa circunferCncia, cu!o centro é o ponto O, uetem 4 de afastamento e pertence ao 5lano 9issector dos .iedros @mpares;- o értice A da 'ura pertence ao 5lano


26/69

- o tra"o frontal do plano eta fa% um &n'ulo de 4 com o ei*o * (aerturapara a direita);- um dos értices do uadrado é o ponto A, com de afastamento e 2 de cota;- o lado do uadrado mede cm;- o értice 9 pertence ao tra"o $ori%ontal do plano β


Represente o pentá'ono re'ular TA9:.UV, situado no 1 diedro e contido numplano de topo eta

- o pentá'ono está inscrito numa circunferCncia com centro no ponto 0 (4; ;4);- o értice A do pentá'ono tem de acissa, de cota e pertence ao planofrontal de pro!ec"/o

11# Exa$e de 200& /1' (ase )c:digo 0%+



27/69

.etermine as pro!ec"#es dos pontos 7 e X resultantes da intersec"/o de umarecta p com uma circunferCncia com ela complanar

- a recta e a circunferCncia est/o amas contidas num plano de perl pi- a recta p contém o ponto A, com + de afastamento e 10 de cota, e intersectao 5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o num ponto 6, com 1 de afastamento;

- o centro da circunferCncia é o ponto O, com de afastamento e 4 de cota- a cura é tan'ente ao 5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o

3# Exa$e de 1%%% / 1' (ase )C:digo 10%+

.etermine as pro!ec"#es do uadrado TA9:.V, contido num plano de perl pi,assinalando-as a tra"o contnuo forte

- O centro da 'ura é o ponto O, ue tem 4, cm de afastamento e pertence ao5lano 9issector dos .iedros @mpares;- O ponto A, com 1 de afastamento e 4 de cota, é um dos értices do uadrado

# Exa$e de 2001 / 2' (ase )C:digo 10%+

.etermine as pro!ec"#es dos pontos 7 e X, de intersec"/o de duascircunferCncias contidas num plano de perl pi

- A primeira circunferCncia, cu!o centro é o ponto : (-4; +; 4), é tan'ente aotra"o $ori%ontal do plano pi- A se'unda circunferCncia, cu!o centro é o ponto O, com 4 de afastamento e +de cota, é tan'ente ao tra"o frontal do plano pi

# Exa$e de 2001 1' (ase - 1' C.a$ada )C:digo 10%+

.etermine os pontos 6 e


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.etermine as pro!ec"#es dos pontos D e >, ue s/o os tra"os da recta de perlp nos planos issectores, respectiamente, dos diedros pares e mpares

- A recta p contem os pontos A e 6;- O ponto A ca situado no se'undo diedro e tem - de afastamento e decota;

- O ponto 6 pertence ao 5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o e tem 3 de afastamento

,# Exa$e de 2003 1' (ase - 2' C.a$ada )C:digo 10%+

.etermine as pro!ec"#es do rect&n'ulo TA9:.V, contido no plano de perl pisituado no primeiro diedro, assinalando-as a tra"o contnuo forte

- Ym dos értices do rect&n'ulo é o ponto A (-1; ; 8)- O értice 9 é um ponto do plano issector dos diedros impares, com 2 decota;- O értice : pertence ao 5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o

# Exa$e de 2003 / 2' (ase )C:digo 10%+

.etermine as pro!ec"#es dos pontos 6 e < da recta de perl p

- Os pontos 6 e < s/o, respectiamente, os tra"os $ori%ontal e frontal da recta pnos planos de pro!ec"/o;- A recta p é denida pelos pontos A (0; +; -2) e 9;- O ponto 9 pertence ao plano issector dos diedros mpares e tem de cota

S


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recta ertical , ue passa pelo ponto O ; - a pir&mide tem 8 de altura

2# Exa$e de 2002 / 2' (ase )C:digo 0%+

Represente um cuo com duas faces de perl, situado no 1diedro, de acordo

com os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, asarestas iniseis do sIlido

- a face TA9:.V é a face de perl ue se situa mais G esuerda;- o értice A tem 1 de afastamento e de cota;- o értice 9 tem de afastamento e 2 de cota

PARALEL6SMO 5E RECTAS E PLANOS

1# Exa$e de 200 / 2' 4ase )c:digo ,0+

.etermine as pro!ec"#es da recta paralela ao plano Llfa e ao plano issectordos diedros pares (2,4)H o plano Llfa é definido pelas rectas r e s, concorrentes no ponto R (; ; 2);H o ponto 6, tra"o $ori%ontal da recta r, tem ? de acissa e 3 de afastamento;H a recta s é passante e a sua pro!ec"/o $ori%ontal fa% um &n'ulo de 0, deaertura para a esuerda, com o ei*o *;H a recta contém o ponto 9 (H; ; 2)

2# Exa$e de 2010 / 2' 4ase )c:digo ,0+

.etermine os tra"os do plano pi, ue contém o ponto 5 e é paralelo ao planoalfa

Qo plano alfa é denido pelas rectas a e Q a recta a contém o ponto S (; ; )Q as pro!ec"#es, $ori%ontal e frontal, da recta a fa%em, com o ei*o *, &n'ulosde 4, de aertura para a direita e de 0, de aertura para a esuerda,respectiamenteQ a recta pertence ao plano issector dos diedros mpares e a sua pro!ec"/ofrontal fa%, com o ei*o *, um /n'ulo de 0 de aertura para a direitaQ o plano pi contém o ponto 5 (-+; ; -4)

3# Exa$e de 2012 / 2' 4ase )c:digo ,0+

.etermine os tra"os do plano Z paralelo ao plano

Q o plano contém as retas fronto-$ori%ontais a e ;Q a reta a tem de afastamento e 8 de cota;Q a reta pertence ao issector dos diedros pares, 24, e tem 4 de cota;Q o plano Z contém o ponto 5 (+; ; +)

PERPEN56CULAR65A5E 5E RECTAS E PLANOS


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1# Exa$e de 200& / 2' (ase )c:digo ,0+

Represente, pelas suas pro!ec"#es, a recta p, perpendicular ao plano alfa

- o plano oluo alfa é denido pelos pontos A (; -+; +) , 9 (0; 1,; ) e : (-;; )

- a recta p contém o ponto > (-3; ; 10)

2# Exa$e de 200, / 2' 4ase )c:digo ,0+

.etermine os tra"os do plano eta, ue contém os pontos 5 e R e éperpendicular ao plano alfa

- o plano alfa contém o ponto A (; +; 4) e uma recta $ori%ontal $- a recta $ tem 8 de cota, fa%, com o 5lano


31/69

.esen$e as pro!ec"#es de um tri&n'ulo euilátero TA9:V, contido num planooluo eta

- os tra"os $ori%ontal e frontal do plano eta fa%em, respectiamente com oei*o *, &n'ulos de 4 e +0, amos com aertura para a esuerda- os tra"os do plano eta intersectam-se na ori'em das coordenadas

- o értice A está no tra"o $ori%ontal do plano e tem 2 de afastamento- o értice 9 está no tra"o frontal do plano e tem + de cota

2# Exa$e de 200& / 2' 4ase )c:digo 0%+

.etermine as pro!ec"#es do tri&n'ulo euilátero TA9:V, pertencente a um planooluo eta

- o tra"o $ori%ontal do plano do tri&n'ulo fa% (aertura para a esuerda)com o ei*o *- o tri&n'ulo está inscrito numa circunferCncia de centro em O (4; ; 2)- o ponto A (+; 1; 4) é um dos seus értices

3# Exa$e de 200& / 2' 4ase )c:digo ,0+

.esen$a as pro!ec"#es do uadrado TA9:.V contido no plano oluo alfa

- o ponto A (-,; ; ) é um dos seus értices- o értice : tem acissa nula e 2, de afastamento- a dia'onal TA:V pertence a uma recta olua passante p- o tra"o $ori%ontal do plano fa%, com o ei*o *, 4 (aertura para a direita)

# Exa$e de 200 / 1' 4ase )c:digo ,0+

Represente pelas suas pro!ec"#es o tri&n'ulo isIsceles TA9:V, contido numplano oluo Llfa

- o ponto A (; 1; 8) é um dos értices do tri&n'ulo;- o lado T9:V pertence G recta s;- o ponto


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.etermine as pro!ec"#es do tri&n'ulo T[BV

H o tri&n'ulo está situado no 1 diedro;H o ponto [ (4; 2; 4) é um dos értices do tri&n'ulo;H o lado T[V é frontal e mede 3 cm;H o lado TBV é de perl, tem H1 de acissa e fa% 0 com o plano $ori%ontal de

pro!ec"/o;H o lado T[BV mede 8 cm;H o ponto B é o értice de menor cota

REPRESENTA78O 5E (6?URAS PLANAS 5E RAMPA

1# Exa$e de 2002 / 2' 4ase )c:digo 0%+

.esen$e as pro!ec"#es de um tri&n'ulo euilátero TA9:V, situado no 1 diedro epertencente a um plano de rampa, saendo ue

- os pontos A (0; 2; 4) e 9 (; +; 0) s/o értices da 'ura

2# Exa$e de 200 / 2' 4ase )c:digo 0%+

.etermine as pro!ec"#es de um losan'o TA9:.V, situado no 1 diedro

- o losan'o pertence a um plano de rampa teta, cu!o tra"o $ori%ontal tem 3cmde afastamento- o értice A pertence ao tra"o frontal do plano, tem 2 de acissa ne'atia e de cota

- o értice : tem 2 de acissa e 1 de cota- TA:V é uma dia'onal do losan'o- a dia'onal T9.V mede +cm

3# Exa$e de 200 / 2' 4ase )c:digo 0%+

.etermine as pro!ec"#es de um uadrado TA9:.V, de rampa

- os pontos A (1; 1; 3) e : (-1; 4; 2) denem uma das suas dia'onais

# Exa$e de 200, / 2' 4ase )c:digo ,0+

Represente, pelas suas pro!ec"#es, $ori%ontal e frontal, o rect&n'ulo TA9:.V do1 diedro e contido num plano de rampa teta

H o tra"o $ori%ontal do plano de rampa tem + de afastamento;H o értice A pertence ao plano frontal de pro!ec"/o, tem 2 de acissa e 4 decota;H o lado TA9V fa%, com o tra"o frontal do plano, um &n'ulo de F, com aerturapara a direita, e é um dos lados maiores do rect&n'ulo;H os lados medem cm e + cm

# Exa$e de 2013 / 1' 4ase )c:digo ,0+


33/69

.etermine as pro!e"#es de um pentá'ono re'ular TA9:.UV situado num planode rampa N

Q o pentá'ono está inscrito numa circunferCncia com centro no ponto O (0; 2;);Q a reta de perfil p do plano N contém o ponto O e tem o seu tra"o $ori%ontal

com de afastamento;Q o értice A do pentá'ono é o tra"o frontal da reta p

S


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.etermine 'racamente a dist&ncia d do ponto 5 G recta de frente f

.ados- o ponto 5 pertence ao plano eta1, tem 0 de acissa e 3 de cota;- o tra"o $ori%ontal 6 da recta f tem 4 de acissa e 2 de afastamento;- a recta fa% um &n'ulo de 0 (de aertura a direita) com o plano $ori%ontal depro!ec"/o, medido no 1 diedro

3# Exa$e de 200 - 1' 4ase )C:digo 0+

.etermine 'racamente a erdadeira 'rande%a do se'mento de recta T6DV erepresente os pontos 6 e D pelas suas pro!ec"#es

- o se'mento de recta T6DV está contido numa recta de perl p, ue é denidapelos pontos A (0; 1; ) e 9, com + de afastamento e 2 de cota- o ponto 6 é o tra"o $ori%ontal da recta p- o ponto D é o ponto de intersec"/o da recta p com o plano oluo alfa, cu!ostra"os $ori%ontal e frontal fa%em, com e ei*o *, respectiamente, &n'ulos de4 e +0 (amos com aertura para a direita), intersectando-o num ponto com de acissa

Exa$e de 200 - 2' 4ase )C:digo 0+

.etermine 'racamente a dist&ncia d entre os planos paralelos alfa e eta- o plano alfa contém uma recta $ori%ontal, n, ue intersecta o plano frontal depro!ec"/o no ponto


35/69

,# Exa$e de 200% / 2' 4ase )C:digo ,0+

.etermine, 'racamente, a erdadeira 'rande%a da dist&ncia entre dois planosparalelos, alfa e eta

H o tra"o frontal do plano Llfa intersecta o ei*o * no ponto com H10 de acissa

e fa% um &n'ulo de +0, de aertura para a esuerda, com esse mesmo ei*o;H o plano eta contém os pontos (+; 2; ) e B (10; 3; H)

# Exa$e de 2011 / 2' 4ase )C:digo ,0+

.etermine, 'racamente, a erdadeira 'rande%a da dist&ncia do ponto 5 aoplano oluo Llfa

Q o ponto 5 pertence ao plano issector dos diedros mpares (1,), tem + deacissa e 8 de afastamento;Q o plano Llfa é definido pelo ponto A (H1; 4; 2) e pela recta r;Q a recta r contém o ponto (+; H+; ?);Q o ponto


36/69

direita) com o plano frontal de pro!ec"/o- a recta f é de frente (frontal) e fa% um &n'ulo de +0 (de aertura para adireita) com o plano $ori%ontal de pro!ec"/o

3# Exa$e de 2002 - 2' 4ase )c:digo 0+

.etermine 'racamente a amplitude do &n'ulo formado pelo plano oluo alfacom o plano $ori%ontal de pro!ec"/o

- o plano alfa intersecta o ei*o * ([in$a de Jerra) no ponto 7, de acissa nula;- os tra"os, $ori%ontal e frontal, do plano alfa fa%em, com o ei*o *,respectiamente, &n'ulos de 0 e de 4 (amos com aertura para aesuerda)

# Exa$e de 2003 - 1' 4ase 1' C.a$ada )c:digo 0+

.etermine 'racamente a amplitude do diedro formado pelos planos alfa eeta

- o plano alfa é ertical, fa% um diedro de 4 com o plano frontal de pro!ec"/o(com aertura a direita) e intersecta o ei*o * num ponto A, com 4 de acissa;- os tra"os do plano eta fa%em, amos, &n'ulos de +0 com o ei*o * (o$ori%ontal com aertura G esuerda e o frontal com aertura G direita) e s/oconcorrentes num ponto 9, com - 4 de acissa

# Exa$e de 2003 - 1' 4ase 2' C.a$ada )c:digo 0+

.etermine 'racamente a amplitude do &n'ulo alfa, formado pelas rectas n ep

- as rectas s/o concorrentes no ponto 5 (0; +; );- a recta p é de perl e intersecta o 5lano


37/69

- os tra"os do plano eta intersectam-se num ponto com - 4 de acissa;- o tra"o $ori%ontal do plano eta é paralelo ao tra"o $ori%ontal do plano alfa, eo seu tra"o frontal é perpendicular ao tra"o frontal do plano alfa

,# Exa$e de 200 - 2' (ase )c:digo 0+

.etermine 'racamente a amplitude do &n'ulo formado pelas rectas f e

- as rectas s/o concorrentes no ponto 5 (0; -4; 4)- a recta f é frontal e fa% um &n'ulo de 20 (com aertura para a direita) com o5lano 6ori%ontal de 5ro!ec"/o- a recta está contida no eta24, e a sua pro!ec"/o frontal fa% um &n'ulo de4 (aertura para a direita) com o ei*o *

# Exa$e de 200& - 1' 4ase )c:digo 0+

.etermine 'racamente a amplitude do &n'ulo formado pela recta r com oplano oliuo alfa

- a recta r é paralela ao ei*o * e tem 4 de afastamento e + de cota;- os tra"os, $ori%ontal e frontal, do plano alfa fa%em com o ei*o *,respectiamente, &n'ulos de 4 e de +0 (amos de aertura para a direita)

%# Exa$e de 200&/1' (ase )c:digo ,0+

.etermine 'racamente a amplitude, alfa, do &n'ulo das duas rectaseniesadas n e f

- a recta n é $ori%ontal, intersecta o 5lano


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11# Exa$e de 200 / 2' (ase )c:digo ,0+

.etermine 'raficamente a amplitude do &n'ulo entre o plano oluo N e oplano frontal de pro!ec"/o

- o plano N é definido pela recta d, uma recta de maior declie ue contém o

ponto 5 (0; 4; 2);- a pro!ec"/o $ori%ontal da recta d fa% um &n'ulo de , de aertura para aesuerda, com o ei*o * e a sua pro!ec"/o frontal fa% um &n'ulo de 4, deaertura para a direita, com esse mesmo ei*o

12# Exa$e de 200% / 1' 4ase )C:digo ,0+

.etermine, 'racamente, a amplitude do &n'ulo formado pelas rectas r e s

H a recta r é paralela ao plano issector dos diedros pares (2,4);H a pro!ec"/o frontal da recta r fa% um &n'ulo de 0, de aertura para aesuerda, com o ei*o *;H o ponto


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1# Exa$e de 2012 / 1' 4ase )C:digo ,0+

.etermine, 'racamente, a amplitude do &n'ulo entre a reta $ori%ontal $ e oplano ]

Q o plano ] está definido por uma das suas retas de maior declie d;

Q o tra"o $ori%ontal da reta d tem 4 de acissa e 2 de afastamento;Q a pro!e"/o $ori%ontal da reta d fa% um &n'ulo de 0, de aertura para adireita, com o ei*o *;Q o tra"o frontal da reta d tem H 4 de cota;Q a reta $ contém o ponto 5 (0; H1; 3) e fa% um &n'ulo de 0, de aertura paraa direita, com o 5lano


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produ%ida pelo uadrado TA9:.V nos planos de pro!ec"/oRepresente a tra"o interrompido a parte inisel do contorno da somrapro!ectada Ddentiue as áreas iseis da somra pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelotrace!ado, deera fa%C-lo com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#esda direc"/o luminosa)

- o értice A tem acissa nula, 4 de afastamento e 2 de cota;- o plano delta fa% um diedro de 4 (de aertura para a direita, no 1 diedro)com o plano frontal de pro!ec"/o- o értice 9 pertence ao plano frontal de pro!ec"/o e tem 4 de cota

3# Exa$e de 2003 1' (ase 2' C.a$ada )C:digo 0+

Represente o tri&n'ulo euilátero TA9:V, situado no 1 diedro e contido numplano de topo eta, de acordo com os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra realpro!ectada pelo tri&n'ulo TA9:V nos planos de pro!ec"/oRepresente a tra"o interrompido a parte inisel do contorno da somrapro!ectada Ddentiue as áreas iseis da somra pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelotrace!ado, deera fa%C-lo com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#esda direc"/o luminosa)

- o centro do tri&n'ulo é o ponto 0,ue tem de acissa e 4 de afastamento epertence ao issector dos diedros mpares;- o értice A tem 0 de acissa e + de cota e pertence ao tra"o frontal do plano

eta# Exa$e de 2003 2' (ase )C:digo 0+

Represente um $e*á'ono re'ular TA9:.U


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SOMRA 5E S


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Ytili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria dapir&mide e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oRepresente a tra"o interrompido as arestas iniseis e a parte inisel docontorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelo

trace!ado, deera fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somraprIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- o értice A tem -, de acissa, 1 de afastamento e 3 de cota;- o értice = pertence ao plano $ori%ontal de pro!ec"/o, tem acissa nula e 4 deafastamento

3# Exa$e de 2003 1' (ase 1' C.a$ada )c:digo 0+

Represente uma pir&mide uadran'ular re'ular de ase $ori%ontal, situada no

1 diedro, de acordo com os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria dapir&mide e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oDdentiue, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlido e a parteinisel do contorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelotrace!ado, deera fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somraprIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- o értice da pir&mide e o ponto = (0; ; ?)- o ponto A (2; 1; 2,) e um dos értices da ase TA9:.V

# Exa$e de 200 1' (ase )c:digo 0+

Represente um prisma penta'onal oluo de ases $ori%ontais, situado no 1diedro, de acordo com os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria doprisma e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oRepresente, a tra"o interrompido, as arestas iniseis e a parte inisel docontorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelotrace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somra


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prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- as ases do prisma s/o pentá'onos re'ulares- os pontos O (0; +; 0) e O^ (2,; +; +,) s/o os centros das ases- o értice A, da ase de menor cota, tem acissa nula e 2, de afastamento

# Exa$e de 200 2' (ase )c:digo 0+

Represente um cone de reolu"/o de ase $ori%ontal, situado no 1 diedro, deacordo com os dados aai*o apresentados

Ytili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria docone e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oRepresente, a tra"o interrompido, as partes iniseis da separatri% e docontorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelotrace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somraprIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- a ase tem centro no ponto 0 (; 3; 2,) e cm de raio;

- o értice = do cone tem 10 de cota Exa$e de 200 1' (ase )c:digo 0+

Represente uma pir&mide $e*a'onal re'ular de ase de perl, situada no 1diedro, de acordo com os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria dapir&mide e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oDdentiue, a tra"o interrompido, a parte inisel do contorno da somrapro!ectada, identiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada,preenc$endo-as a trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme(se optar pelo trace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nasáreas de somra prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectiaspro!ec"#es da direc"/o luminosa, nas áreas de somra pro!ectada)


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- Os pontos A (0; ; 0) e 9 (0; +,; 0) s/o értices consecutios do $e*á'ono daase;- o értice principal da pir&mide, =, ca situado 3 cm G direita do plano daase

,# Exa$e de 200 2' (ase )c:digo 0+

Represente um cone oluo de ase circular, situado no 1 diedro, de acordocom os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria docone e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oRepresente, a tra"o interrompido, as partes iniseis da separatri% e docontorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelotrace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somraprIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- a ase é $ori%ontal, tem centro no ponto O (0; ; +) e tem 4cm de raio- o értice = do cone tem 2 de acissa, de afastamento e 1 de cota

# Exa$e de 200& 1' (ase )c:digo 0+

Represente um cuo, situado no 1 diedro, de acordo com os dados aai*oapresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria do

cuo e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oDdentiue, a tra"o interrompido, as arestas iniseis e a parte inisel docontorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (se optar pelotrace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somraprIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- a face TA9:.V do cuo é paralela ao plano frontal de pro!ec"/o;- os pontos A e 9 s/o dois értices consecutios da face TA9:.V;

- o értice A tem acissa nula, 2 de afastamento e de cota;- o értice 9 tem 4 de acissa e de cota

%# Exa$e de 200& 2' (ase )c:digo 0+

Represente uma pir&mide uadran'ular re'ular de ase $ori%ontal, situada no1 diedro, de acordo com os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria dapir&mide e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oRepresente, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlido e as partesiniseis do contorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIprias e pro!ectada, preenc$endo-as a trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (se optar pelotrace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somra


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prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- o értice da pir&mide é o ponto = (0; +; 0);- o ponto A (,; 8; +) é um dos értices da ase TA9:.V

10# Exa$e de 200& 1' (ase )c:digo ,0+

Represente, em dupla pro!ec"/o orto'onal, uma pir&mide trian'ular re'ular dease frontal, de acordo com os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria dapir&mide e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oRepresente, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlido e as partesiniseis do contorno da somra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIprias e pro!ectada, preenc$endo-

as a trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (se optar pelotrace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somraprIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- O ponto A (4; 3; ) é um dos értices da ase TA9:V- O értice principal, =, tem 0 de acissa, 1, de afastamento e 4, de cota

11# Exa$e de 200, 2' (ase )c:digo ,0+

Represente, em dupla pro!ec"/o orto'onal, um cone de reolu"/o de ase

$ori%ontal, de acordo com os dados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria docone e a sua somra real pro!ectada nos planos de pro!ec"/oDdentiue, a tra"o interrompido, as 'eratri%es iniseis da lin$a separatri% delu%_somra do sIlido, na somra prIpria, e as partes ocultadas do contorno dasomra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniforme (Se optar pelotrace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *, nas áreas de somraprIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectias pro!ec"#es da direc"/oluminosa, nas áreas de somra pro!ectada)

- o plano $ori%ontal ue contém a ase do sIlido tem , de cota;- o értice = do cone é um ponto do semiplano $ori%ontal anterior com 2 de


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acissa e 3, de afastamento;- o raio da circunferCncia da ase mede , cm

12# Exa$e de 200 / 1' (ase )c:digo ,0+

Represente pelas suas pro!ec"#es um cilindro de reolu"/o, de acordo com osdados aai*o apresentadosYtili%ando a direc"/o luminosa conencional, determine a somra prIpria docilindro e a sua somra real nos planos de ro!ec"/oDdentiue, a tra"o interrompido, a parte inisel da lin$a separatri% delu%_somra do sIlido, na somra prIpria, e as partes ocultadas do contorno dasomra pro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate, clara e uniforme

- as ases s/o $ori%ontais;- o ponto O (4; 3; 8) é o centro de uma das ases;- a ase de centro O^ tem 2 de cota;- o raio das ases mede 4 cm

13# Exa$e de 200% / 1' 4ase )c:digo ,0+

Represente, pelas suas pro!ec"#es, um cone de reolu"/o, de acordo com osdados aai*o apresentados.etermine a somra prIpria do cone e a sua somra real nos planos depro!ec"/o, utili%ando a direc"/o luminosa conencional

Ddentiue, a tra"o interrompido, a parte inisel da lin$a separatri% delu%_somra, na somra prIpria, e a parte ocultada do contorno, na somrapro!ectadaDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate, clara e uniformeBota Se optar pelo trace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *,nas áreas de somra prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectiaspro!ec"#es da direc"/o luminosa, nas áreas de somra pro!ectada.adosH a ase está contida no plano frontal ` e tem 4 cm de raio;H o centro da ase é o ponto O, ue pertence ao plano issector dos diedrosmpares (1,) e tem2 de acissa e 8 de afastamento;H o értice é o ponto =, com 1 cm de afastamento


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1# Exa$e de 2010 / 2' 4ase )c:digo ,0+

.etermine a somra prIpria e a somra real de um prisma penta'onal re'ular,nos planos de pro!ec"/o, de acordo com os dados aai*o indicados5on$a em destaue, uer o contorno da somra real nos planos de pro!ec"/o,uer as pro!ec"#es do prisma Dndiue, a tra"o interrompido, as lin$asiniseis, uer no sIlido, uer na parte ocultada do contorno da sua somrapro!ectada nos planos de pro!ec"/oDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate, clara e uniformeBota Se optar pelo trace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *,nas áreas de somra prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectiaspro!ec"#es da direc"/o luminosa, nas áreas de somra pro!ectada

- as ases est/o contidas em planos de perl

- os pontos O (2; 4,; +) e A (2; 0; +) s/o, respectiamente, o centro e um dosértices da ase TA9:.UV;- o plano de perl da outra ase tem - de acissa;- a direc"/o luminosa é a conencional

1# Exa$e de 2011 / 2' 4ase )c:digo ,0+

.etermine a somra prIpria e a somra real nos planos de pro!ec"/o, de umcilindro oluo de asescirculares, situado no 1 diedro5on$a em destaue uer o contorno da somra real nos planos de pro!ec"/o,

uer as pro!ec"#es docilindroDdentiue, a tra"o interrompido, as lin$as iniseis, uer no sIlido, uer naparte ocultada do contorno dasua somra pro!ectada nos planos de pro!ec"/oDdentiue as áreas iseis das somras prIpria e pro!ectada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniformeBota H Se optar pelo trace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *,nas áreas de somra prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs respectiaspro!ec"#es da direc"/o luminosa, nas áreas de somra pro!ectada

Q o cilindro tem ases frontais cu!o raio mede 4, cm;Q o ponto O (0; 0; 8) é o centro de uma das ases;Q o ponto O\, centro da outra ase, tem 4, de cota;


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Q o ei*o do cilindro é de perl e fa% um &n'ulo de 30 com o plano frontal depro!ec"/o;Q a direc"/o luminosa é a conencional

1 Exa$e de 2012 / 1' 4ase )c:digo ,0+

.etermine a somra prIpria e a somra pro!etada nos planos de pro!e"/o deuma pir&mide uadran'ular olua, de ase re'ular contida num plano deperl e situada no 1 diedro.estaue, a tra"o mais forte, as pro!e"#es da pir&mide e o contorno da suasomra pro!etada nos planos de pro!e"/oDdentiue, a tra"o interrompido, as lin$as iniseis, uer no sIlido, uer naparte ocultada do contorno dasua somra pro!etada nos planos de pro!e"/oDdentiue as áreas iseis das somras, prIpria e pro!etada, preenc$endo-asa trace!ado ou com umamanc$a de 'rate clara e uniformeBota H Se optar pelo trace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *,nas áreas de somra prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs pro!e"#es dadire"/o luminosa, nas áreas de somra pro!etada

Q os pontos A (0; 0; ) e 9 (0; 4; 0) s/o dois dos értices da ase TA9:.V dapir&mide;Q a aresta lateral TA=V é fronto-$ori%ontal;Q o értice = tem H10 de acissa;Q a dire"/o luminosa é a conencional

1,# Exa$e de 2013 / 1' 4ase )c:digo ,0+

.etermine a somra prIpria e a somra pro!etada nos planos de pro!e"/o deum cone oluo, de ase circular situada num plano $ori%ontal, e situado no1 diedro .estaue, a tra"o mais forte, as pro!e"#es do cone e o contorno da

sua somra pro!etada nos planos de pro!e"/oDdentiue, a tra"o interrompido, as lin$as iniseis na parte ocultada docontorno da sua somra pro!etada nos planos de pro!e"/o Ddentiue as áreasiseis das somras, prIpria e pro!etada, preenc$endo-as a trace!ado ou comuma manc$a de 'rate clara e uniformeBota H Se optar pelo trace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *,nas áreas de somra prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs pro!e"#es dadire"/o luminosa, nas áreas de somra pro!etada

Q a ase do cone tem 4 cm de raio e pertence a um plano $ori%ontal com 1 decota;Q a 'eratri% TA=V situada mais G esuerda é ertical, com 4 de acissa e + deafastamento;


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Q a 'eratri% TA=V mede 8 cm;Q a dire"/o luminosa é a conencional

1# Exa$e de 2013 / 2' 4ase )c:digo ,0+

.etermine a somra prIpria e a somra pro!etada nos planos de pro!e"/o deum cilindro oluo, de ases circulares situadas em planos frontais, e situadono 1 diedro .estaue, a tra"o mais forte, as pro!e"#es do cilindro e ocontorno da sua somra pro!etada nos planos de pro!e"/oDdentiue, a tra"o interrompido, as lin$as iniseis, uer no sIlido, uer naparte ocultada do contorno da sua somra pro!etada nos planos de pro!e"/oDdentiue as áreas iseis das somras, prIpria e pro!etada, preenc$endo-asa trace!ado ou com uma manc$a de 'rate clara e uniformeBota H Se optar pelo trace!ado, deerá fa%C-lo com lin$as paralelas ao ei*o *,nas áreas de somra prIpria, e com lin$as perpendiculares Gs pro!e"#es dadire"/o luminosa, nas áreas de somra pro!etada

Q o ponto O (0; 4; 3,) é o centro da circunferCncia com , cm de raio de umadas ases do cilindro;Q as 'eratri%es do cilindro s/o $ori%ontais e fa%em um &n'ulo de +0F, deaertura para a direita, com o 5lano


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2# Exa$e de 200,/ 1' 4ase )c:digo ,0+

.etermine as pro!ec"#es da sec"/o produ%ida pelo plano de topo eta numprisma $e*a'onal oluo de ases frontais5on$a em destaue, a tra"o mais forte, a parte do prisma delimitada pelasec"/o, ue contém a ase situada mais G esuerda 5reenc$a a trace!ado apro!ec"/o $ori%ontal da sec"/o, e identiue, a tra"o interrompido, as arestasiniseis da parte do sIlido ue foi posta em destaue

- as ases do prisma s/o $e*á'onos re'ulares com 2, cm de lado e com umadia'onal maior ertical- o centro da ase de menor afastamento é o ponto O (4; 0; 4)- as arestas laterais s/o $ori%ontais e fa%em &n'ulos de 0F, de aertura para adireita, com o plano frontal de pro!ec"/o- os dois értices mais G direita, na ase de centro O, tCm a mesma acissa dosdois értices mais G esuerda da outra ase- o plano eta contém o ponto de acissa H do ei*o * e fa% um &n'ulo de F,de aertura para a esuerda, com o plano $ori%ontal de pro!ec"/o

3# Exa$e de 200 / 2' (ase )c:digo ,0+Represente pelas suas pro!ec"#es uma piramide penta'onal oliua com asecontida no plano $ori%ontal de pro!ec"/o e, ainda, um plano de rampa P, deacordo com os dados aai*o apresentados.etermine as pro!ec"#es do contorno da sec"/o produ%ida na pir&mide peloplano P Ddentifiue, a tra"o interrompido, as inisiilidades nas arestas dapir&mide e no contorno da sec"/o

- a ase TA9:.UV é um pentá'ono re'ular inscrito numa circunferCncia decentro O (4; ; 0) e cm de raio;

- a face lateral TA9=V é frontal, representa um tri&n'ulo isIsceles, e os érticesA e 9, da ase, s/o os de menor afastamento;- o értice = da pir&mide tem ? de cota;- o tra"o $ori%ontal do plano P tem 11 de afastamento e o seu tra"o frontal tem de cota


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# Exa$e de 2010 / 1' (ase )c:digo ,0+

Represente, pelas suas pro!ec"#es, o sIlido resultante da sec"/o produ%idapelo plano de topo N numcone de reolu"/o, de acordo com os dados aai*o apresentados5on$a em destaue, a tra"o mais forte, a parte do cone delimitada pelo planosecante e pelo plano daase 5reenc$a a trace!ado a pro!ec"/o isel da sec"/o

H a ase está contida num plano $ori%ontal;H o értice = (0; +; 10) e o ponto A (; +; 2) s/o os e*tremos de uma das'eratri%es do contorno aparentefrontal;H o plano de topo N contém o ponto médio do ei*o do cone e é paralelo G'eratri% TA=V

# Exa$e de 2012 / 2' (ase )c:digo ,0+

Represente, pelas suas pro!e"#es, o sIlido resultante da sec"/o produ%ida porum plano de topo N numprisma trian'ular oluo de ases re'ulares $ori%ontais, situado no 1 diedro

.estaue, a tra"o mais forte, a parte do prisma delimitada pelo plano secantee pelo 5lano 6ori%ontal de5ro!e"/o Ddentiue, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlidoresultante 5reenc$a, a trace!ado, a pro!e"/o isel da sec"/o

Q o ponto A (3; 4; 0) e o ponto 9 (1; ; 0) s/o dois dos értices do tri&n'uloTA9:V de uma das ases doprisma;Q a aresta lateral TAA\V tem as suas pro!e"#es $ori%ontal e frontal a fa%erem,respetiamente, &n'ulosde 2, de aertura G esuerda, e 4, de aertura G direita, com o ei*o *;

Q o értice A\ pertence ao 5lano


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AONOMETR6AS ORTO?ONA6S

1# Exa$e de 2002 Pro*a Modeo )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de um cone dereolu"/o, de acordo com os dados aai*o apresentados.etermine, com ri'or, os pontos de tan'Cncia das 'eratri%es do contornoaparente G pro!ec"/o da circunferCncia da ase Represente, a tra"ointerrompido, as lin$as iniseis

Sistema a*onométrico- as pro!ec"#es dos ei*os *, e % fa%em entre si os se'uintes &n'ulos- *O% b 1280\ (&n'ulo formado pelos ei*os a*onométricos * e %);- O% b 10 (&n'ulo formado pelos ei*os a*onométricos e %)

:one de reolu"/o- a ase pertence ao plano coordenado $ori%ontal * e tem 4 de raio;- o centro é o ponto : (+; 4; 0);- o értice do sIlido tem 8 de cota

2# Exa$e de 2002 - 1' 4ase 1' C.a$ada )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de um prisma trian'ularre'ular, de acordo com os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"ointerrompido, as arestas iniseis do sIlido

Sistema a*onométrico- Dsometria

5risma- a ase de menor cota TA9:V do prisma pertence ao plano coordenado *;- o centro dessa ase é o ponto , com de acissa e + de afastamento;- o értice A pertence ao ei*o e tem , de afastamento;- as arestas laterais medem 3 cm


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:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de um cilindro dereolu"/o, de acordo com os dados aai*o apresentados (A representa"/o daspro!ec"#es das circunferCncias das ases deera ser feita atraés dadetermina"/o ri'orosa de, pelo menos, 8 pontos de cada uma das elipses)

.etermine, com ri'or, os pontos de tan'Cncia das 'eratri%es do contornoaparente Gs pro!ec"#es das circunferCncias das ases Ddentiue, a tra"ointerrompido, as lin$as iniseis ue e*istam na representa"/o a*onométricado sIlido

Sistema a*onométrico- Dsometria

:ilindro- a ase de menor cota do sIlido pertence ao plano coordenado $ori%ontal e étan'ente aos ei*os * e ;- o centro dessa ase é o ponto :, ue tem de acissa;- a outra ase tem 3 de cota

# Exa$e de 2003 - 2' 4ase )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de um cuo, de acordocom os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, as suasarestas iniseis

Sistema a*onométrico

- as pro!ec"#es a*onométricas dos ei*os *, e % fa%em entre si os se'uintes&n'ulos- *O% b 110 (En'ulo formado pelos ei*os a*onométricos * e %);- 0% b 10 (En'ulo formado pelos ei*os a*onométricos e %)

:uo- o sIlido e tem uma face assente em cada um dos planos coordenados;- as arestas medem + cm

# Exa$e de 200 - 1' (ase )C:digo 0+


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:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional, composta por dois prismas uadran'ulares re'ulares, de acordocom os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, asinisiilidades e*istentes no sIlido resultante da !ustaposi"/o dos dois sIlidos


- os ei*os a*onométricos * e fa%em, amos, &n'ulos de 110 com o ei*oa*onométrico %

SIlido- os dois prismas tCm as ases paralelas ao plano coordenado $ori%ontal *;- os pontos A (+; 1; ) e 9 (+; 4; ) s/o os értices de maior acissa da aseinferior de um dos prismas;- os pontos (+; 4; +) e B (+; 3; +) s/o os értices de maior acissa da asesuperior do outro prisma;- amos os prismas tCm +cm de altura

Exa$e de 200 - 2' 4ase )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional, composta por dois prismas trian'ulares re'ulares, de acordocom os dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido,inisiilidades e*istentes no sIlido

Sistema a*onométrico- os ei*os a*onométricos * e % fa%em, amos, &n'ulos de 10 com o ei*oa*onométrico

SIlido- os dois prismas tem uma face lateral assente no plano coordenado $ori%ontal*;- os pontos A (0; 0; 0) e 9 (; 0; 0) denem uma aresta lateral de um dosprismas;- o ponto 9 e o ponto : (8; 0; 0) denem uma aresta lateral do outro prisma;- amos os prismas tCm as faces laterais uadradas

,# Exa$e de 200 - 1F (ase )C:digo 0+


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:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por dois paraleleppedos rect&n'ulos, de acordo comos dados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, as arestasiniseis do sIlido resultante da !ustaposi"/o dos dois paraleleppedos


- Dsometria

SIlido- a face TBO5V de um dos paraleleppedos está contida no plano coordenado*;- o ponto O coincide com a ori'em dos ei*os;- o ponto B ca situado no ei*o * e tem de acissa;- o ponto 5 ca situado no ei*o e tem 3 de afastamento;- as arestas perpendiculares G face TBO5V medem 8 cm;- o se'undo paraleleppedo tem 1, cm de altura- os pontos R (8; 0; ?,), S (0; 0; ?,) e J (0; 3; ?,) s/o trCs értices da suaface de maior cota

# Exa$e de 200& - 1' 4ase )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por duas pir&mides penta'onais re'ulares, de ase$ori%ontal, de acordo com os dados aai*o apresentadosDdentiue, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlido resultante da !ustaposi"/o das duas pir&mides

Sistema a*onométrico- o ei*o a*onométrico fa% &n'ulos de 110\ com os ei*os a*onométricos % e*;

5ir&mides- amas as pir&mides tCm por ase o pentá'ono re'ular TA9:.UV, situado numplano $ori%ontal com 3 de cota;- o centro do pentá'ono é o ponto , ue tem 4 de acissa e de afastamento;- o értice A ca situado no plano coordenado lateral % e tem deafastamento;- o értice principal = de uma das pir&mides tem 10 de cota;

- o értice principal =\ da outra pir&mide pertence ao plano coordenado$ori%ontal *

%# Exa$e de 200, / 1' 4ase )C:digo 0+


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:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por duas pir&mides uadran'ulares re'ulares, deacordo com os dados aai*o apresentadosDdentiue, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlido resultante da !ustaposi"/o das duas pir&mides

Sistema a*onométricoH as pro!ec"#es a*onométricas dos ei*os *, e % fa%em, entre si, os se'uintes&n'ulos(*%) b 110F (&n'ulo formado pelos ei*os a*onométricos * e %);(%) b 100F (&n'ulo formado pelos ei*os a*onométricos e %)

SIlidoH o tri&n'ulo TA9=V é uma face lateral comum Gs duas pir&mides;H os pontos A e 9 cam situados no ei*o e tCm, respectiamente, 2 e +, deafastamento;H o ponto = tem coordenadas positias;H a ase TA9:.V, de uma das pir&mides, pertence ao plano coordenado$ori%ontal *;H a ase TA9U


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5on$a em destaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado das arestas iseis dosIlido

Sistema A*onométrico Dsometria

12# Exa$e de 200& / 2' 4ase )C:digo ,0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma forma

tridimensional representada, em taman$o natural, em tripla pro!ec"/oorto'onal, na 'ura se'uinte


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Sistema a*onométrico- dimetria- os ei*os a*onométricos e % fa%em, amos, &n'ulos de 10 com o ei*o

a*onométrico *

13# Exa$e de 200, / 2' 4ase )C:digo ,0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal da forma tridimensionalrepresentada em taman$o natural, em tripla pro!ec"/o orto'onal, na 'urase'uinte


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Sistema a*onométricoH trimetriaAs pro!ec"#es a*onométricas dos ei*os *, e % fa%em entre si os se'uintes

&n'ulosH o &n'ulo formado pelos ei*os * e % é de 10F;H o &n'ulo formado pelos ei*os e % é de 120F

1# Exa$e de 200 / 1' 4ase )C:digo ,0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por um prisma uadran'ular re'ular e por um cuo,


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de acordo com os dados aai*o apresentados5on$a em destaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado das arestas iseis dosIlido resultante

Sistema a*onométricoH dimetria a pro!ec"/o a*onométrica do ei*o * fa% 12 com as dos ei*os % e

5risma uadran'ularH as ases s/o paralelas ao plano coordenado frontal %*;H as arestas das ases medem cm;H uma face situa-se no plano coordenado $ori%ontal *;H os pontos A (+; ; 0) e U (+; 12; 0) denem a aresta lateral comum a essaface e G face de maior acissa:uoH a face de menor cota do cuo está contida na face de maior cota do prisma;H os pontos R (+; +; ) e S (+; ?; ) denem uma aresta do cuo

1# Exa$e de 200% / 2' 4ase )c:digo ,0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por dois prismas re'ulares, de acordo com os dadosaai*o apresentados5on$a em destaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado das arestas iseis dosIlido resultante

Sistema a*onométricoH dimetria

a pro!ec"/o a*onométrica do ei*o fa% 10 com a dos ei*os * e %Bota :onsidere os ei*os orientados em sentido directo o ei*o %, ertical,orientado positiamente, de ai*o para cima, e o ei*o *, orientadopositiamente, da direita para a esuerda

5risma uadran'ular re'ularH a ase TRSJYV é paralela ao plano coordenado $ori%ontal *;H os pontos R (3; ?; 8) e S (3; ; 8) denem uma aresta comum a essa ase e Gface de maior acissa;H a outra ase está contida no plano coordenado $ori%ontal *5risma $e*a'onal re'ular

H as ases s/o paralelas ao plano coordenado frontal %*;H o uadrado TRSJYV representa a face de menor cota deste prisma

1 Exa$e de 2010 / 1' 4ase )c:digo ,0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por doisprismas re'ulares, de acordo com os dados aai*o apresentados5on$a em destaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado das lin$as iseis dosIlido resultante


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Sistema a*onométricoH dimetria- a pro!ec"/o a*onométrica do ei*o * fa% &n'ulos de 12 com a dos ei*os e%Bota H :onsidere os ei*os orientados em sentido directo o ei*o %, ertical,

orientado positiamente, de ai*o para cima, e o ei*o *, orientadopositiamente da direita para a esuerda

5risma $e*a'onal re'ularH duas faces s/o $ori%ontais;H a face de menor cota está contida no plano coordenado $ori%ontal *;H o ponto A com 2 de acissa e 4 de afastamento e o ponto 9 com 2 de acissae 10 de afastamentodenem uma aresta dessa face;H uma das ases está contida no plano coordenado de perl %5risma uadran'ular re'ularH uma ase está contida no plano coordenado $ori%ontal *;H o ponto 5 com 2 de acissa e + de afastamento e o ponto > com 2 de acissae 8 de afastamentodenem a aresta de menor acissa dessa ase;H a outra ase está contida no plano da face de maior cota do prisma$e*a'onal

1,# Exa$e de 2010 / 2' 4ase )c:digo ,0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por um prisma uadran'ular re'ular e por umapir&mide trian'ular olua de ase re'ular, de acordo com os dados aai*oapresentados 5on$a em destaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado dasarestas iseis do sIlido resultante


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Sistema a*onométricoH trimetria- a pro!ec"/o a*onométrica do ei*o fa% &n'ulos de 10 e de 120 com aspro!ec"#es dos ei*os * e %, respectiamenteBota :onsidere os ei*os orientados em sentido directo o ei*o %, ertical,orientado positiamente, de ai*o para cima, e o ei*o *, orientado

positiamente, da direita para a esuerda

SIlidosH os pontos R (; ; 11) e S (0; ; 11) denem uma aresta comum;5risma uadran'ular re'ularH uma ase está situada no plano coordenado $ori%ontal *;H os pontos R e S denem a aresta de maior afastamento da outra ase;5ir&mide trian'ular olua de ase re'ularH a ase TRSJV é paralela ao plano coordenado $ori%ontal *, sendo J o pontode maior afastamento;H o értice da pir&mide coincide com o centro da face de maior afastamento doprisma

1# Exa$e de 2011 / 2' 4ase )c:digo ,0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica orto'onal de uma formatridimensional composta por umapir&mide $e*a'onal re'ular e um cuo 5on$a em destaue, no desen$o nal,apenas o tra"ado das arestas iseis do sIlido resultante

Sistema a*onométricoQQ trimetria a pro!ec"/o a*onométrica do ei*o fa% &n'ulos de 140 e de


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100 com as pro!ec"#es dos ei*os * e %, respectiamenteBota H :onsidere os ei*os orientados em sentido directo o ei*o %, ertical,orientado positiamente, de ai*o para cima, e o ei*o *, orientadopositiamente, da direita para a esuerda

SIlidos

QtCm um ei*o comum contido numa recta ertical5ir&mide $e*a'onal re'ularQ o ponto : (,; ,; +) é o centro da ase;Q duas arestas da ase s/o paralelas ao ei*o *;Q um értice da ase pertence ao plano coordenado de perl %;Q o értice da pir&mide pertence ao plano coordenado $ori%ontal *:uoQ as faces est/o contidas em planos paralelos aos planos coordenados;Q a face de menor cota pertence ao plano da ase da pir&mide;Q as arestas medem 2 cm

1%# Exa$e de 2012 / 1' 4ase )c:digo ,0+

Represente, em a*onometria orto'onal, uma forma tridimensional compostapor um prisma uadran'ularre'ular e por um cuo .estaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado dasarestas iseis do sIlido resultante

Sistema a*onométricoQ dimetria a pro!e"/o a*onométrica do ei*o % fa% um &n'ulo de 110 com aspro!e"#es dos ei*os * e

Bota H :onsidere os ei*os orientados em sentido direto o ei*o %, ertical,orientado positiamente, de ai*o para cima, e o ei*o *, orientadopositiamente, da direita para a esuerda

5risma uadran'ularQ o ponto A (; 2; 0) e o ponto 9 (; 10; 0) s/o os értices de uma aresta deuma das ases do prisma;Q a outra ase está contida no plano coordenado %:uoQ uma das faces do cuo pertence ao plano da ase do prisma, ue contém aaresta TA9V;

Q os értices desta face s/o os pontos médios das arestas da ase do prisma

20# Exa$e de 2012 / 2' 4ase )c:digo ,0+

Represente, em a*onometria orto'onal, uma forma tridimensional compostapor duas pir&midesuadran'ulares oluas de ase re'ular.estaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado das arestas iseis do sIlidoresultante

Sistema a*onométricoQ trimetria a pro!e"/o a*onométrica do ei*o * fa% um &n'ulo de 110 com apro!e"/o do ei*o % e um&n'ulo de 10 com a pro!e"/o do ei*o


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Bota H :onsidere os ei*os orientados em sentido direto o ei*o %, ertical,orientado positiamente, de ai*o para cima, e o ei*o *, orientadopositiamente, da direita para a esuerda

5ir&midesQ o ponto A (+; 2; 0) e o ponto 9 (+; 8; 0) denem uma aresta ue é comum Gs

duas ases dos sIlidos;Q as ases das pir&mides est/o contidas no plano coordenado *;Q os értices = e =\ das pir&mides pertencem G reta ertical ue contém oértice A;Q o értice = tem 10 de cota e o értice =\ tem de cota;Q o értice =\ pertence G pir&mide ue tem a aresta de ase de maior acissa

21# Exa$e de 2013 / 1' 4ase )c:digo ,0+

Represente, em a*onometria orto'onal, uma forma tridimensional compostapor dois prismas re'ulares .estaue, no desen$o nal, apenas o tra"ado dasarestas iseis do sIlido resultante

Sistema a*onométrico.imetria a pro!e"/o a*onométrica do ei*o % fa% um &n'ulo de 12F com aspro!e"#es dos ei*os * e Bota H :onsidere os ei*os orientados em sentido direto o ei*o %, ertical,orientado positiamente, de ai*o para cima, e o ei*o * orientadopositiamente, da direita para a esuerda

5risma $e*a'onal

Q as ases do prisma pertencem a planos $ori%ontais;Q o ponto A (; 0; ) e o ponto 9 (10; 0; ) s/o os értices da aresta de menorafastamento de uma das ases do prisma;Q a outra ase está situada no plano coordenado *

5risma trian'ularQ as ases do prisma pertencem a planos frontais;Q o se'mento TA9V é a aresta de menor cota de uma das ases deste prisma;Q a outra ase pertence ao plano ue contém a face lateral de maiorafastamento do prisma $e*a'onal

AONOMETR6AS CL6NO?ONA6S


:onstrua uma representa"/o a*onométrica olua (clino'onal) de umapir&mide uadran'ular re'ular, em perspectia caaleira, de acordo com osdados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, as arestasiniseis do sIlido

Sistema a*onométrico- o ei*o a*onométrico * fa% &n'ulos de 1 com os ei*os a*onométricos e %; as pro!ectantes fa%em &n'ulos de +0 com o plano a*onométrico


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5risma- a ase TA9:.V do sIlido pertence ao plano coordenado $ori%ontal *;- o centro da ase é o ponto , com 3 de acissa e 4 de afastamento;- o értice A tem ? de acissa e 1 de afastamento;- o értice = do sIlido tem + de cota

2# Exa$e de 2002 - 2' 4ase )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica olua (clino'onal) de um cone dereolu"/o, em perspectia militar, de acordo com os dados aai*oapresentados .etermine, com ri'or, os pontos de tan'Cncia das 'eratri%es docontorno aparente a pro!ec"/o da circunferCncia da ase Ddentiue, a tra"ointerrompido, as lin$as iniseis ue e*istam na representa"/o a*onométricado sIlido

Sistema a*onométrico- o ei*o a*onométrico * fa% um &n'ulo de 120 com o ei*o a*onométrico %;- as pro!ectantes fa%em &n'ulos de 0 com o plano a*onométrico

:one- a ase do sIlido pertence ao plano coordenado $ori%ontal * e tem cm deraio;- o centro da ase e o ponto :, com de acissa e de afastamento;- o ei*o do sIlido mede ? cm, e o értice tem cota positia

3# Exa$e de2003 - 1' 4ase 2' C.a$ada )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica olua (clino'onal), emperspectia caaleira, de um prisma uadran'ular oluo, de acordo com osdados aai*o apresentados Ddentiue, a tra"o interrompido, as arestasiniseis do sIlido

Sistema a*onométrico- o ei*o a*onométrico fa% &n'ulos de 1 com os ei*os a*onométricos * e %;- as pro!ectantes fa%em &n'ulos de +0 com o plano a*onométrico

5risma- as ases do sIlido s/o uadrados de lados paralelos aos ei*os * e ;- a ase de menor cota esta assente no plano coordenado $ori%ontal *;- as arestas das ases medem cm;


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- O értice A (+; +; 0) é um dos értices de maior afastamento da ase inferiordo sIlido;- O értice W, com de acissa, de afastamento e + de cota, é o oposto doértice A

# Exa$e de 200 - 2' (ase )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica clino'onal, em perspectiacaaleira, de uma forma tridimensional composta por dois prismas trian'ularesre'ulares, de acordo com os dados aai*o apresentadosDdentiue, a tra"o interrompido, as arestas iniseis do sIlido resultante da !ustaposi"/o dos dois prismas

Sistema a*onométrico- o ei*o a*onométrico fa% um &n'ulo de 14 com o ei*o a*onométrico *- as pro!ectantes fa%em &n'ulos de com o plano a*onométrico

SIlido- o uadrado $ori%ontal TA9:.V é uma face lateral de amos os prismas- os pontos A (; ; ) e 9 (0; ; ) denem uma aresta da ase TA9UV de umdos prismas- o értice U ca situado acima do plano do uadrado- os pontos A e . (; 0; ) denem uma aresta da ase TA.WV do outro prisma- o értice W ca situado aai*o do plano do uadrado

# Exa$e de 200& 2F (ase )C:digo 0+

:onstrua uma representa"/o a*onométrica olua (clino'onal), em

perspectia militar, de um sIlido composto por um cilindro e por um cone dereolu"/o, de acordo com os dados aai*o apresentadosDdentiue, a tra"o interrompido, as inisiilidades do sIlido resultante da !ustaposi"/o do cone com o cilindro

Sistema a*onométrico- o ei*o a*onométrico * fa% um &n'ulo de 120 com o ei*o a*onométrico %;- as pro!ectantes fa%em En'ulos de +0 com o plano a*onom+trico

:one e cilindro- os dois sIlidos tCm um ei*o ertical comum;- a ase do cone tem 4 cm de raio e centro no ponto : (4; 4; 11);- o cilindro tem 2, cm de raio, e uma das suas ases ca situada no mesmoplano da ase do cone;


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- o centro da outra ase do cilindro é o ponto :\, ue tem 18 de cota- o értice = do cone pertence ao plano coordenado $ori%ontal *

Exa$e de 200, / 1' 4ase )C:digo ,0+

:ons

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