Exames Nacionais

1. Os medicamentos produzidos num laboratório são embalados em caixas de igual aspeto exterior e indistinguíveis ao tato. Um lote contém 10 caixas de um medicamento X e 20 caixas de um medicamento Y .

Desse lote, retiram ‑se, ao acaso, simultaneamente, quatro caixas para controlo de qualidade.

Qual é a probabilidade de as caixas retiradas serem todas do medicamento Y ?

(A) 10C430C4

(B) 20C430C4

(C) 430C4

(D) a23b

4

2. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte:

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 2a a b b b 110

Sabe ‑se que:

•a e b são números reais;

•P (X ≤ 1) = 3P (X = 5) .

Qual é o valor de b ?

(A) 110

(B) 415

(C) 730

(D) 15

Prova Escrita de Matemática A12.° Ano de Escolaridade

Prova 635/2.ª Fase

Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos

2011

Decreto ‑Lei n.° 74/2004, de 26 de março

ExAME nAcionAl do Ensino sEcundÁrio

Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta.

Escreva, na folha de resposta:

• o número do item;

• a letra que identifica a única opção escolhida.

Não apresente cálculos, nem justificações.

Grupo I

Cotações5

5

2.a Fase – 2011

3. Seja a um número real positivo e seja X uma variável aleatória com distribuição Normal N (0 , 1) .

Qual das igualdades seguintes é verdadeira?

(A) P (X ≤ a) + P (X ≥ ‑ a) = 0 (B) P (X ≤ a) = P (X ≥ ‑ a)

(C) P (X ≤ a) + P(X ≥ ‑ a) = 1 (D) P (X ≤ a) = P (X > a)

4. Na figura 1, está representada, num referencial o. n. xOy , parte do gráfico de uma função polino‑mial f , de grau 4.

Qual das expressões seguintes pode definir a função f '' , segunda derivada de f ?

(A) (x ‑ 3)2 (B) (x + 3)2

(C) 9 ‑ x2 (D) x2 ‑ 9

5. Para um certo número real positivo, k , a função g definida em R por:

g (x) = {sin x3x

se x > 0

In (k ‑ x) se x ≤ 0

é contínua.

Qual é o valor de k ?

(A) "3 e (B) e3

(C) e3

(D) 3e

6. Na figura 2, está representado, num referencial o. n. xOy , o círculo trigonométrico.

Sabe ‑se que:

•C é o ponto de coordenadas (1 , 0) ;

•ospontosD e E pertencem ao eixo Oy ;

•[AB] é um diâmetro do círculo trigonométrico ;

•asretasEA e BD são paralelas ao eixo Ox ;

•q é a amplitude do ângulo COA ;

•q å d0 , p2c .

Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura 2?

(A) 2 (cos q + sin q)

(B) cos q + sin q

(C) 2 (1 + cos q + sin q)

(D) 1 + cos q + sin q

O

y

x

f

Figura 1

O

y

xC

A

DB

E

q

Figura 2

5

5

5

5

Exames Nacionais

7. Na figura 3, está representado, no plano complexo, a sombreado, um setor circular.

Sabe ‑se que:

•opontoA é a imagem geométrica do número complexo ‑ "3 + i ;

•o ponto B tem abcissa negativa, ordenada nula, e pertence à circunferência de centro na origem do referencial e raio igual a OA .

Qual das condições seguintes define, em C , a região a sombreado, incluindo a fronteira?

(Considerecomoarg(z)adeterminaçãoquepertenceaointervalo[0,2p[.)

(A) | z | ≤ 2 ‹ 2p3

≤ arg (z) ≤ p

(B) | z | ≤ 2 ‹ 5p6

≤ arg (z) ≤ p

(C) | z | ≤ 4 ‹ 2p3

≤ arg (z) ≤ p

(D) | z | ≤ 4 ‹ 5p6

≤ arg (z) ≤ p

8. Na figura 4, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de seis números complexos z1 , z2 , z3 , z4 , z5 e z6 .

Qual é o número complexo que pode ser igual a (z2 + z4) * i ?

(A) z1 (B) z3

(C) z5 (D) z6

Im (z)

OB

A

Re (z)

O

Im (z)

z5z4 z1

z6

z2z3

Re (z)

Figura 3

Figura 4

5

5

2.a Fase – 2011

1. Seja C o conjunto dos números complexos.

Resolva os dois itens seguintes, sem recorrer à calculadora.

1.1. Considere z1 = 1 + 2i e w = z1 * i4n+3 ‑ b

"2 cis a5p4

b com b å R e n å N .

Determine o valor de b para o qual w é um número real.

1.2. Seja z um número complexo tal que | z | = 1 .

Mostre que |1 + z|2 + |1 ‑ z|2 = 4 .

2. A MatFinance é uma empresa de consultoria financeira.

2.1. Dos funcionários da MatFinance, sabe ‑se que:

•60%sãolicenciados;

•dosquesãolicenciados,80%têmidadeinferiora40anos;

•dosquenãosãolicenciados,10%têmidadeinferiora40anos.

Determine a probabilidade de um desses funcionários, escolhido ao acaso, ser licenciado, sabendo que tem idade não inferior a 40 anos.

Apresente o resultado na forma de fração irredutível.

2.2. Considere o problema seguinte.

Foi pedido a 15 funcionários da MatFinance que se pronunciassem sobre um novo horário de trabalho.

Desses 15 funcionários, 9 estão a favor do novo horário, 4 estão contra e os restantes estão indecisos.

Escolhe ‑se, ao acaso, 3 funcionários de entre os 15 funcionários considerados.

De quantas maneiras diferentes podem ser escolhidos os 3 funcionários, de forma que pelo menos 2 dos funcionários escolhidos estejam a favor do novo horário de trabalho?

Apresentam ‑se, em seguida, duas respostas.

Resposta I: 15C3 ‑ 6C3

Resposta II: 6 * 9C2 + 9C3

Apenas uma das respostas está correta.

Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias.

Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

Grupo II

15

15

20

15

Exames Nacionais

Elabore uma composição na qual:

•identifiquearespostacorreta;

•expliqueumraciocínioqueconduzaàrespostacorreta;

•proponhaumaalteraçãona expressãocorrespondente à resposta incorreta, demodoatorná ‑la correta;

•explique,nocontextodoproblema,arazãodaalteraçãoproposta.

3. Na estufa de um certo jardim botânico, existem dois lagos aquecidos, o lago A e o lago B .

Às zero horas do dia 1 de março de 2010, cada lago recebeu uma espécie diferente de nenúfares, a saber, Victoria amazonica e Victoria cruziana.

NA(t) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago A , t dias após as zero horas do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria amazonica e desenvolvem ‑se segundo o modelo:

NA (t) =120

1 + 7 * e‑0,2t com t ≥ 0

NB(t) é o número aproximado de nenúfares existentes no lago B , t dias após as zero horas do dia 1 de março de 2010. Esses nenúfares são da espécie Victoria cruziana e desenvolvem ‑se segundo o modelo:

NB (t) =150

1 + 50 * e‑0,4t com t ≥ 0

Resolva os dois itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

3.1. Como foi referido, às zero horas do dia 1 de março de 2010, o lago A recebeu um certo número de nenúfares da espécie Victoria amazonica. Decorridos sete dias, esse número aumentou.

Determine de quanto foi esse aumento.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

3.2. Determine quantos dias foram necessários, após as zero horas do dia 1 de março de 2010, para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B .

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

10

15

2.a Fase – 2011

4. Considere a função f , de domínio d0 , p2c definida por f (x) = e2x + cos x ‑ 2x2 .

Sabe ‑se que:

•B é um ponto do gráfico de f ;

•aretadeequaçãoy =8x é paralela à reta tangente ao gráfico de f no ponto B .

Determine, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto B .

Na sua resposta, deve:

•equacionaroproblema;

•reproduzirográficodafunçãoouosgráficosdasfunçõesquetivernecessidadedevisualizarnacalculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial;

•indicaraabcissadopontoB com arredondamento às centésimas.

5. Considere a função f,dedomínio[0,+ ?[,definidapor:

f (x) = {e2‑x ‑ 1

x ‑ 2 se 0 ≤ x < 2

x + 1In (x + 1)

se x ≥ 2

Resolva os três itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

5.1. Estude f quanto à existência de assintotas verticais do seu gráfico.

5.2. Mostre, sem resolver a equação, que f (x) = ‑ 3 tem, pelo menos, uma solução em d0 , 12c

5.3. Estude f quanto à monotonia em ]2 , + ?[.

6. Para a , b e n , números reais positivos, considere a função f , de domínio R , definida por:

f (x) = a cos (nx) + b sin (nx)

Seja f'' a segunda derivada da função f .

Mostre que f''(x) + n2 f (x) = 0 , para qualquer número real x .

FIM

15

15

10

15

15

Sugestão de resoluçãoC

PEN_M

A12©

Porto Editora

Grupo I

1. Número de casos possíveis: 30C4

Número de casos possíveis: 20C4

Probabilidade pedida: 20C430C4

Resposta: (B)

2. P (X ≤ 1) = 3P (X = 5) § P (X = 0) + P (X = 1) = 3 * 110

§ 3a = 3 * 110

§ a = 110

∑6

i = 1

P (X = xi) = 1 § 2a + a + b + b + b + 110

= 1 § 3a + 3b = 910

§ a + b = 310

Como a = 110

, temos 110

+ b = 310

§ b = 210

§ b = 15

.

Resposta: (D)

3.

Atendendo à simetria da curva de Gauss, P (X ≤ a) = P (X ≥ ‑ a) .

Resposta: (B)

4. f é uma função polinomial de grau 4 . Por observação, verifica ‑se que o seu gráfico tem dois pontos de inflexão. Logo, a segunda derivada será uma função polinomial de grau 2 com dois zeros distintos.

Se f '' (x) = x2 ‑ 9 , a variação do sinal de f '' e a consequente variação da concavidade do gráfico de f resumem ‑se no quadro seguinte:

x ‑ ? ‑ 3 3 + ?

f'' + 0 ‑ 0 +

f 8 PI { PI 8

Os resultados desta tabela ajustam ‑se ao gráfico apresentado.

Resposta: (D)

5. Se f é contínua em R então é contínua em x = 0 , pelo que limx"0‑

f (x) = limx"0+

f (x) .

Assim, limx"0‑

In (k ‑ x) = limx"0+

sin x3x

§ In k = 13

limx"0+

sin xx

§ In k = 13* 1 § In k = 1

3

§ k = e13 § k = "3 e

Resposta: (A)

Número de maneiras de, no conjunto das 30 caixas, escolher um subconjunto de 4Número de maneiras de, no conjunto das 20 caixas do medicamento Y , escolher um subconjunto de 4

0 a-a

CPE

N_M

A12

©Po

rto

Edito

ra

2.a Fase – 2011

6. OE = OD = sin q EA = BD = cos q OA = OB = 1

P = 2 (OA + AE + OE) = 2 (1 + cos q + sin q)

Resposta: (C)

7. Seja z1 = ‑ "3 + i .

| z1 | = " (‑ #3)2 + 12 = "3 + 1 = 2

Seja q um argumento de z1 :

{ tg q = 1

‑ "3= ‑ "3

3

q é do 2.º quadrante ± p ‑ p

6= 5p

6 é um argumento de z1 .

z1 = 2 cis 5p6

O setor circular OAB é a parte do círculo de centro na origem e raio igual a 2 , limitada pelas semirretas O•

A e O•

B

que fazem com a parte positiva do eixo Ox ângulos de amplitude 5p6

e p radianos, respetivamente.

Uma condição que define, em C , a região sombreada é:

| z | ≤ 2 ‹ 5p6

≤ arg (z) ≤ p

Resposta: (B)

8. No plano complexo, a imagem vetorial de z2 + z4 é o vetor OZ»2 + OZ»4 = OZ»3 .

Logo, z2 + z4 = z3 .

(z2 + x4) * i = z3 * i = z5 dado que ao multiplicar ‑se um número complexo por i a sua imagem no plano com‑plexo sofre uma rotação de + 90º em torno da origem.

Respostas: (C)

90°

O

Im (z)

z5z4 z1

z6

z2z3

Re (z)

Sugestão de resolução

CPEN

_MA

12©Porto Editora

Grupo II

1.

1.1. z1 = 1 + 2i

"2 cis 5p4

= "2 acos 5p4

+ i sin 5p4

b = "2 a‑ "22

‑ "22

ib = ‑ 1 ‑ i

w =z1 * i4n+3 ‑ b

"2 cis 5p4

= (1 + 2i) * i4n * i3 ‑ b

‑ 1 ‑ i

= (1 + 2i) * 1 * (‑ i) ‑ b

‑ 1 ‑ i =

(1 + 2i) * (‑ i) ‑ b‑ 1 ‑ i

= ‑ i ‑ 2i2 ‑ b‑ 1 ‑ i

= (2 ‑ b ‑ i) * (‑ 1 + i)(‑ 1 ‑ i) * (‑ 1 + i)

= ‑ 2 + b + i + 2i ‑ bi ‑ i2

( ‑ 1)2 ‑ i2

= ‑ 2 + b + 3i ‑ bi + 11 + 1

= b ‑ 12

+ 3 ‑ b2

i

w é um número real § Im (w) = 0 § 3 ‑ b2

= 0 § 3 ‑ b = 0 § b = 3

1.2. Seja z = r cis q .

Se | z | = 1 , então z = cis q , q å R .

| 1 + z |2 + | 1 ‑ z |2 = |1 + cis q |2 + |1 ‑ cis q |2

= | 1 + (cos q + i sin q) |2 + | 1 ‑ (cos q + sin q |2

= | (1 + cos q) + i sin q |2 + | (1 ‑ cos q ) ‑ i sin q |2

= ("(1 + cos q)2 + sin2 q)2 + ("(1 ‑ cos q)2 + ( ‑ sin q)2)2

= 1 + 2 cos q + cos2 q + sin2 q + 1 ‑ 2 cos q + cos2 q + sin2 q

= 2 + (cos2 q + sin2 q) + (cos2 q + sin2 q)

= 2 + 1 + 1 = 4

2.

2.1. Sejam os acontecimentos:

L : “O funcionário escolhido é licenciado”;

I : “O funcionário escolhido tem idade inferior a 40 anos”.

É dado que:

P (L) = 60, = 0,6 ; P (I | L ) = 80, = 0,8 ; P (I | L) = 10, = 0,1

Pretende ‑se determinar P (L | I ) .

P (L) = 1 ‑ 0,6 = 0,4

P (I | L) = 1 ‑ 0,8 = 0,2

P (I | L) = 1 ‑ 0,1 = 0,9

P (L | I ) = P (L © I )

P (I ) =

P (L) * P (I | L)

P (L © I ) + P (L © I )

= 0,6 * 0,2

0,6 * 0,2 + 0,4 * 0,9= 1

4

I

L

0,2

0,8

I

0,9

0,10,4

0,6

I–

I–

L–

CPE

N_M

A12

©Po

rto

Edito

ra

2.a Fase – 2011

2.2.

A favor Outros Total

9 6 15

Resposta I0 3

31 2

Resposta II2 1

3 0

A resposta II é a correta.

De facto, escolher 3 funcionários de forma que pelo menos 2 estejam a favor do novo horário de trabalho signi‑fica:

•escolher2nogrupodos9queestãoafavore1nosrestantes6,oquepodeterfeitode9C2 * 6C1 = 6 * 6C2 maneiras diferentes;

ou

•escolheros3entreos9queestãoafavor,oquepodeserfeitode9C3 maneiras diferentes.

Há portanto, 6 * 9C2 + 9C3 maneiras diferentes de escolher 3 funcionários de forma que pelo menos 2 estejam a favor de novo horário de trabalho.

A resposta I ficaria correta com a seguinte alteração: 15C3 ‑ 6C3 ‑ 9 * 6C2 .

15C3 é o número total de maneiras diferentes de, nos 15 funcionários, escolher 3 . Se a este número deduzirmos o número de equipas em que pelo menos 2 elementos não estão a favor, obtemos a resposta para o problema.

Ora, escolher pelo menos 2 entre os 6 que não estão a favor significa.

– escolher exatamente 3 , o que pode ser feito de 6C3 maneiras diferentes;

ou

– escolher 1 entre os 9 que estão a favor e 2 nos restantes 6 , o que pode ser feito de 9C1 * 6C2 = 9 * 6C2 maneiras diferentes.

Por isso, 15C3 ‑ 6C3 ‑ 9 * 6C2 também seria uma resposta correta.

3. NA (t) = 1201 + 7 * e‑0,2t , com t ≥ 0 ; NB (t) = 150

1 + 50 * e‑0,4t , com t ≥ 0

3.1. NA (7) ‑ NA (0) = 1201 + 7 * e‑0,2*7 ‑ 120

1 + 7 * e‑0,2*0 ) 44 ‑ 15 ) 29

Nos primeiros 7 dias, o número de nenúfares da espécie Victoria amazonica aumentou, aproximadamente, 29 unidades.

3.2. NA (t) = NB (t) ‹ t ≥ 0 § 1201 + 7 * e‑0,2t =

1501 + 50 * e‑0,4t ‹ t ≥ 0

§ 120 (1 + 50 * e‑0,4t) = 150 (1 + 7 * e‑0,2t) ‹ t ≥ 0

§ 4 (1 + 50 * e‑0,4t) = 5 (1 + 7 * e‑0,2t) ‹ t ≥ 0

§ 200 * (e‑0,2t)2 ‑ 35 * e‑0,2t ‑ 1 = 0 ‹ t ≥ 0

Sugestão de resolução

CPEN

_MA

12©Porto Editora

Fazendo x = e‑0,2t , vem:

200x2 ‑ 35x ‑ 1 = 0 § x = 35 ¿ "(‑ 35)2 + 4 * 200400

§ x = ‑ 140

› x = 15

Dado que a equação e‑0,2t = ‑ 140

é impossível, temos:

e‑0,2t = 15

§ ‑ 0,2t = In a15b § t = ‑ In (5)

‑ 0,2 ± t ) 8

Foram necessários aproximadamente 8 dias para que o número de nenúfares existentes no lago A fosse igual ao número de nenúfares existentes no lago B .

4. Seja x a abcissa do ponto B . A reta tangente ao gráfico de f no ponto B tem declive igual a 8 , ou seja, f ' (x) = 8 .

f (x) = e2x + cos x ‑ 2x2

f ' (x) = 2e2x ‑ sin x ‑ 4x

Pretende ‑se resolver graficamento a equação f ' (x) = 8 .

Introduzindo na calculadora as funções Y1 = f ' (x) e Y2 = 8 , com x å d 0 , p2c e calculando a interseção dos dois

gráficos, obtêm ‑se os seguintes resultados:

Com aproximação às centésimas, a abcissa do ponto B é igual a 0,91 .

5. f (x) = {e2‑x ‑ 1

x ‑ 2 se 0 ≤ x < 2

x + 1In (x + 1)

se x ≥ 2

5.1. Para x å 30 , 2 3 ∂ 4 2 , + ? 3 , f é contínua. Apenas a reta de equação x = 2 poderá ser uma assintota vertical do gráfico de f .

limx"2‑

f (x) = limx"2‑

e2‑x ‑ 1x ‑ 2

= ‑ limx"2‑

e2‑x ‑ 12 ‑ x

= ‑ limx"0+

ey ‑ 1y = 1

limx"2+

f (x) = limx"2+

x + 1In (x + 1)

= 3In (3)

Apesar de f ser descontínua no ponto x = 3 , os limites laterais neste ponto existem e são números reais. Logo, a reta de equação x = 2 não é assintota do gráfico de f .

Portanto, o gráfico da função f não tem assintotas verticais.

x

y

O 0,91

8

f '

π—2

2

Fazendo y = 2 ‑ x, temos quex " 2‑ ± y " 0+

CPE

N_M

A12

©Po

rto

Edito

ra

2.a Fase – 2011

5.2. No intervalo c0 , 12d , f é contínua, dado ser contínua em [0 , 2[ por ser aí definida pela composta, diferença e

quociente de funções contínuas (função exponencial e funções polinomiais).

f (0) = e2‑0 ‑ 10 ‑ 2

= e2 ‑ 1‑ 2

) ‑ 3,2 ; f a12b = e2‑1

2 ‑ 112‑ 2

= e32 ‑ 1

‑ 32

) ‑ 2,3

Dado que f é contínua em c0 , 12d e f (0) < ‑ 3 < f a1

2b , podemos concluir, pelo Teorema de Bolzano, que:

E x å d 0 , 12c : f (x) = ‑ 3

ou seja, a equação f (x) = ‑ 3 tem pelo menos uma solução no intervalo d 0 , 12c .

5.3. Seja x å 4 2 , + ? 3 .

f ' (x) = a x + 1In (x + 1)

b' =

(x + 1)' In (x + 1) ‑ (x + 1) (In (x + 1))'

(In (x + 1))2

= 1 * In (x + 1) ‑ (x + 1) * (x + 1)'

(x + 1)(In (x + 1))2

= In (x + 1) ‑ 1(In (x + 1))2

f ' (x) = 0 ‹ x å 4 2 , + ? 3 § In (x + 1) ‑ 1(In (x + 1))2

= 0 ‹ x å 4 2 , + ? 3

§ In (x + 1) ‑ 1 = 0 ‹ x å 4 2 , + ? 3 § In (x + 1) = 1 ‹ x å 4 2 , + ? 3 § x + 1 = e ‹ x å 4 2 , + ? 3 § x = e ‑ 1 ‹ x å 4 2 , + ? 3

Como e ‑ 1 < 2 , f ' (x) 0 0 , A x å 4 2 , + ? 3 .

Por outro lado, como a função definida por y = In x é crescente, temos que:

x > 2 ± x + 1 > 3 ± x + 1 > e ± In (x + 1) > In e ±

± In (x + 1) > 1 ± In (x + 1) ‑ 1 > 0

Então, In (x + 1) ‑ 1(In (x + 1))2

> 0 , A x å 4 2 , + ? 3 , ou seja, f ' (x) > 0 , A x å 4 2 , + ? 3 .

Logo, f é estritamente crescente em 4 2 , + ? 3 .

6. f (x) = a cos (nx) + b sin (nx) , a , b , n å R+

f ' (x) = ‑ na sin (nx) + nb cos (nx)

f ''(x) = ‑ n2a cos (nx) ‑ n2b sin (nx)

f '' (x) + n2 f (x) = ‑ n2a cos (nx) ‑ n2b sin (nx) + n2 (a cos (nx) + b sin (nx))

= ‑ n2a cos (nx) ‑ n2b sin (nx) + n2a cos (nx) + n2b sin (nx) = 0 , A x å R

Portanto, f '' (x) + n2 f (x) = 0 , A x å R .