Excedente do Consumidor

1x*

1x

*

2x

hx1'1x

2p

m

2

2121 ),,(,,'

p

mppvppg

Gráfico 1 – Variação Compensatória

mx2

Suponha o gráfico 1 abaixo em que a renda inicial é m/p2 e a cesta escolhida é x*. Por conseguinte a função utilidade, u, e a função utilidade serão, v, assumirão o valor:

mppx ,,* 21

mppvxu ,,* 21

A mudança do preço do bem 1 para p1’ gerará uma escolha diferente, representada por x’ e um nível de utilidade representado por:

mppx ,,'' 21

.,,'' 21 mppvxu

Pode-se afirmar que: mppvmppv ,,,,' 2121 representa uma mudança no nível de bem estar do consumidor. Logo, a variação da utilidade entre as duas curvas apresenta uma direção. Está claro que outras transformações monótonas da mesma função também representam essas mudanças, valorando-as de maneira distinta. Uma transformação monótona especial é a função gasto. Sabe-se que para preços fixos p

Uma mudança na utilidade terá um efeito na função gasto igual a:

u

ug ),(p ou seja, uma transformação monótona

upph ,,' 21

),,( 21 mppv

),,'( 21 mppv

No gráfico 1, u(h)=u(x*). No entanto g(p1’,p2,u)‡ g(p1,p2,u)=m, mas

pode ser entendida como uma variação do nível de utilidade, medido em quantidades monetárias. Teoricamente, qualquer vetor de preços fixo pode ser utilizado para realizar a transformação monótona. No entanto, dois vetores são particularmente interessantes.

)1(),,(,,'),,'(,,' 21212121 mppvppgmppvppgVC

A variação compensatória é aquela necessária para levar o consumidor ao nível de utilidade original, ou seja a variação da renda que compensa o consumidor pela variação do preço. Ela está representada no gráfico 1 e equivale àquela calculada na equação 1, ou seja, o quanto tem que se dar (retirar) de renda ao consumidor para que ele permaneça no mesmo nível de utilidade inicial.

A variação equivalente procura medir o quanto se devia ter dado (retirado) do consumidor para que ele se encontrasse antes da mudança de preços tão bem quanto ficou após a mudança de preços. A variação equivalente será representada por (ver gráfico 2):

)2(),,'(,,),,(,, 21212121 mppvppgmppvppgVE

mppx ,,* 21

),,( 21 mppv

),,'( 21 mppv

2p

m

mppx ,,'' 21

),,'(,,( 2121 mppvpph

2

2121 ),,'(,,

p

mppvppg

Gráfico 2 – Variação Equivalente

VE

Deve-se informar que a variação compensatória será igual a

)3(),,(,,'),,(,,

),,(,,'

),,(,,'),,'(,,'

21212121

2121

21212121

mppvppgmppvppg

mppvppgm

mppvppgmppvppgVC

No entanto, sabe-se que:

hxmppvpph

p

mppvppg

xmppvpphp

mppvppg

121211

1

2121

121211

1

2121

),,(,,'),,(,,'

*),,(,,),,(,,

Gráfico 1 e gráfico 3

hx1*1x

1p

'1p

Demanda hicksiana

A integral da função demanda hicksiana entre p1’ e p1 é a variação compensatória.

)4(),,(,,1

1 '21211

p

pmppvpphVC

O mesmo ocorre com a variação equivalente

)5(),,'(,,1

1 '21211

p

pmppvpphVE

Gráfico 3 – Demanda hicksiana para variação compensatória

mppx ,,'' 21

),,'(,,(' 2121 mppvpph

upph ,,' 21

mppx ,,* 21

1x

1p

'1p

Demanda hicksiana

Demanda hicksiana

Demanda marshalliana

A dimensão da variação do excedente varia, portanto, de acordo com o vetor de preços escolhido. Existem, no entanto, preferências que têm uma características especial: seu excedente não varia em função do vetor de preços escolhido. Essas preferências são as quase-lineares.

Área pintada é a variação compensatória

Gráfico 4 – Curvas de demanda hicksiana e marshalliana e variação compensatória

mppx ,,'' 21

),,'(,,(' 2121 mppvpph

upph ,,' 21

mppx ,,* 21

1x

1p

'1p

Demanda hicksiana

Demanda hicksiana

Demanda marshalliana

Área pintada é a variação equivalente

Repare que a mensuração da variação da satisfação do consumidor difere de acordo com o critério utilizado, ou seja, se é a variação equivalente ou a variação compensatória. Deve-se pensar, no entanto, que a variação de quantidade observada e que, de fato, ocorre é aquela apresentada pela demanda marshalliana. Nesse caso, entretanto, não se pode pensar em uma medida monetária pois os dois vetores preços são diferentes, retirando da função gasto a característica de transformação monótona.

Gráfico 5 – Curvas de demanda hicksiana e marshalliana e variação equivalente

Preferências Quase-lineares

As preferências quase-lineares podem ser denotadas por:

2121 )(),( xxvxxu

A resolução do problema de maximização da utilidade com restrição orçamentária conduz a:

é marginal utilidade sua seja,ou numerário, o é 2 bem o que se-Note

)9( 0 se igualdade com'

1 se-donormalizan e (8) e (6) departir A

(8) dademonotonicipor igualdade com0

)7(0 para igualdade com01

)6(0 para igualdade com0'

111

2

2211

12

2

111

1

221121

xpxv

p

xpxpml

xpx

L

xpxvx

L

xpxpmxxvL

Isto conduz o bem 1 a não sofrer modificações pelo efeito renda.

1x

2x

*11 xxE '11 xxh

*x

hx

'x

Gráfico 6 – Preferências Quase-Lineares: efeito substituição e efeito renda

Ex

O gráfico 6 apresenta preferências quase-linerares. O consumidor escolheu x*(p1,1,m), ou seja, quando resolveu o problema de maximização da utilidade aos preços p1 e 1 e renda m. Com a mudança do preço do bem 1 para p1’, o consumidor escolheu a cesta x’(p1’,1,m). Para calcular a variação compensatória, deve-se resolver o problema de minimização do gasto quando o preço do bem 1 é p1’ e o nível de utilidade é v*(p1,1,m), em que v é a função indireta de utilidade, ou seja, obtém-se xh (p1’,1, v*(p1,1,m)). Adicione-se que também se resolve o problema de minimização do gasto quando os preços são p1 e 1 e o nível de utilidade, v*(p1’,1,m), para calcular a variação equivalente, obtendo-se xE (p1,1, v’(p1’,1,m)).

1p

'1p

v*(p1,1,m)

v’(p1,1,m)

gh=p’.xh (p1’,1, v*(p1,1,m)

gE=p.xE (p1,1, v’(p1’,1,m))

VC

VE

A multiplicação do vetor de preços p’=(p1’,1) pelo vetor de quantidades xh (p1’,1, v*(p1,1,m)) conduz ao gasto gh=p’.xh (p1’,1, v*(p1,1,m) e a diferença entre m e este gasto é a variação compensatória, ou seja, o quanto o consumidor perdeu com a elevação do preço do bem 1 e, portanto, o quanto deve-se dar ao consumidor para compensar essa perda. Da mesma maneira, a multiplicação do vetor p=(p1,1) por xE (p1,1, v’(p1’,1,m)) leva a gE=p.xE (p1,1, v’(p1’,1,m)) que subtraindo-se m conduz à variação equivalente, ou seja, o ganho equivalente necessária ao consumidor para estar aos preços iniciais com a renda m. No entanto, por ser a função utilidade quase-linear, as duas variações são exatamente iguais, conduzindo a curvas de demanda hicksiana para o bem 1 exatamente iguais que coincidem com a curva de demanda marshalliana, como aparece no gráfico 7. Esta é a especificidade das preferências quase-linerares.

1x

1p

'1p

Gráfico 7 – Curva de demanda hicksiana e marshalliana para preferências quase-lineares

'11 xxh *11 xxE

1p

1 2 3

Pense, então, em preferências quase-lineares, mas em bens discretos, ou seja, cuja a quantidade não varia continuamente. Sabe-se que, em equilíbrio, a utilidade marginal se igualará ao valor do preço do bem 1, ou mais precisamente à razão entre o preço do bem 1 e o preço do bem 2, sendo o preço do bem 2 igual a 1. Pela equação (9), se o preço do bem 1 se igualar à Umg(1)=r1, o consumidor só consumirá uma unidade do bem 1. Se for superior, o consumidor nada consumirá. Na medida em que o preço desça, o consumidor escolherá consumir mais unidades do bem 1. O ponto é que r1 é o valor máximo que o consumidor aceita pagar por uma unidade do bem 1, o que denominaremos de preço de reserva, ou o desejo marginal do consumidor a pagar por uma unidade do bem 1.

r1

r2

r3

Como o bem 2 é o numerário, o preço de reserva expressa, em termos monetários, o desejo de consumo do consumidor. Pense, portanto, que o preço de mercado seja r3. Então, o consumidor poderá consumir três unidades do bem 1, pela condição (9). No entanto, deve-se observar que os preços de reserva da primeira unidade e da segunda unidade são superiores ao preço pago, o que significa que o consumidor pagou menos por essas unidades do que estaria disposto a pagar. Denominamos a diferença entre o preço de reserva e o preço pago de excedente do consumidor.

Gráfico 8 – Preço de reserva

Em termos um pouco mais formais, podemos estabelecer que o benefício total do consumidor ou o excedente bruto do consumidor pelo consumo de uma unidade do bem 1 é representado por sua utilidade total.

)0()1(

:)1(' marginal utilidade à igual é totalutilidade a unidade, primeira da caso No ).1(

1 vvr

vv

Para a segunda unidade, o excedente bruto do consumidor é representado por:

)1()2(

:é marginal utilidade a e

)2(

2

21

vvr

rrv

No entanto, para consumir essas unidades, o consumidor tem de pagar o preço do bem, p. Ora, no gráfico 8, informamos que o preço de mercado p=r3. Portanto, pela condição (9), o consumidor consumirá 3 unidades do bem. Pagará por isso 3r3 e obterá um excedente bruto igual ao somatório de EB=r1+ r2+r3 . Obterá, então um excedente líquido do consumidor, ou, simplesmente, excedente do consumidor de EC= r1+ r2+r3 - 3r3. De maneira mais formal:

)11(.)(.

)10()()(')(

0

00

xpdttpxpEBEC

dttpdttvxvEB

x

xx

1x

1p

'1p

'11 xxh *11 xxE

'.)(B'A)'(

'

0

11 xpdttpppEC

x

A

C

D

xpdttpppEC

x

.)(DA)(0

11

pCDpdtxvdtxvdtxv

dttpdttpxpdttpxpdttpVEVC

p

p

pp

xxxx

')(')(')('

)()(.)(.)(

'

'

00

'

00

'

00

As variações equivalente e compensatória são medidas de variação do excedente do consumidor, na medida em que capta justamente a variação do excedente líquido quando o preço varia. Percebe-se, no entanto, que elas só coincidirão em situações em que não há efeito renda, que são justamente aquelas expressas por preferências quase-lineares. O caso de preferências quase-linerares coincide com o que denominamos de equilíbrio parcial, ou seja, as condições em que o mercado 1 representa uma parcela tão pequena da renda que variações dos preços implicam uma variação do gasto total naquele bem que é imperceptível sob o ponto de vista da renda total, de tal maneira que podemos considerar inexistência de efeito renda. A teoria marshalliana se desenvolveu nesse âmbito.