Exerc cios de Algebra Linear - Autenticação · ... Escreva as matrizes aumentadas dos sistemas de equa˘c ... r que satisfaz as seguintes condi˘c~oes: a) a ij = i+ ( 1)i+j

Exercıcios de Algebra Linear

1o semestre 2017/18

Jorge Almeida e Lina Oliveira

Departamento de Matematica, Instituto Superior Tecnico

Indice

Indice 1

1 Matrizes e sistemas de equacoes lineares 3Sistemas de equacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Calculo matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Determinantes 17

3 Espacos vectoriais 24Os espacos vectoriais Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Independencia linear, bases e dimensao . . . . . . . . . . . . . . . 28Subespacos associados a uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . 31Espacos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Matrizes de mudanca de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Valores proprios e vectores proprios 42Valores e vectores proprios de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . 42Diagonalizacao de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Transformacoes lineares 48Transformacoes lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Matriz associada a uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . 50Nucleo e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Representacao matricial de uma transformacao linear em diferen-

tes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Valores proprios, vectores proprios e subespacos invariantes . . . . 55

6 Espacos vectoriais com produto interno 58Produtos internos em espacos vectoriais . . . . . . . . . . . . . . 58Diagonalizacao ortogonal e diagonalizacao unitaria . . . . . . . . 65

1

Solucoes 67

2

1

Matrizes e sistemas de equacoeslineares

Notacao

Sendo A uma matriz:

Caracterıstica de A: car(A) ou carATraco de A: tr(A) ou trAMatriz inversa de A: A−1

Matriz transposta de A: AT

Operacoes elementares sobre as linhas de A (sendo α um escalar):a) Li + αLj: indica que se soma a linha i de A a linha j de A multi-

plicada por αb) αLi: indica que se multiplica a linha i de A por αc) Li ↔ Lj: indica que se troca a linha i de A com a linha j de A

Matrizes elementares de ordem n:a) Pij: matriz que resulta de I trocando a linha i com a linha j (sendo

I a matriz identidade de ordem n e i 6= j)b) Eij(α) (com i 6= j): matriz que resulta de I somando a linha i a

linha j multiplicada por αc) Di(α) (com α 6= 0): matriz que resulta de I multiplicando a linha

i por α

Observacoes

a) Apresenta-se abaixo um exemplo de varias possibilidades de escrever asolucao geral de um sistema de equacoes lineares (supoe-se que nesteexemplo as variaveis sao x, y, z e w e que o sistema e indeterminado comgrau de indeterminacao 2):

3

• {(−z,−z − w, z, w) : z, w ∈ R}• {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = −z ∧ y = −z − w}• {(x, y, z, w) : x = −t ∧ y = −t− s ∧ z = t ∧ w = s (t, s ∈ R)}• {(−t,−t− s, t, s) : t, s ∈ R}

b) Observe que um sistema de equacoes lineares nao homogeneo e possıvelse, e so se, a caracterıstica da matriz do sistema e igual a caracterısticada matriz aumentada.

c) O calculo do grau de indeterminacao de cada sistema deve ser semprefeito (quando aplicavel). Identifique tambem as variaveis independentes(ou livres) e as dependentes.

d) Utilize como variaveis dependentes as que correspondem as colunas compivos.

e) Note que os pivos de uma matriz em escada de linhas sao numeros dife-rentes de zero, nao necessariamente iguais a 1.

f) Sendo A uma matriz quadrada, relembre que A0 = I e que

An = AA . . . A︸︷︷︸n

,

com n ∈ N.

Sistemas de equacoes lineares

1-1) Identifique as equacoes que sao lineares nas respectivas variaveis.

(a) x1 + 7−13x2 −

√5x3 = 1 (b) 5x+ xy − z = 0

(c) u = −πv +2

3w −√

3z (d) x25 + 8y − 5z = 7

13

1-2) Utilizando o metodo de eliminacao de Gauss ou de Gauss–Jordan, resolva cada

4

Matrizes e sistemas de equacoes lineares

um dos seguintes sistemas de equacoes lineares homogeneo.

(a)

x +y+3z= 0

2x+3y = 0

y +z= 0

(b)

{x1+x2+x3+x4= 0

5x1−x2+x3−x4= 0

(c)

2x+ 2y + 4z = 0

w − y − 3z = 0

2w + 3x+ y + z = 0

− 2w + x+ 3y − 2z = 0

1-3) Escreva as matrizes aumentadas dos sistemas de equacoes lineares nao-homogeneose resolva-os utilizando o metodo de eliminacao de Gauss ou de Gauss–Jordan.

(a)

x+ y + 2z = 8

− x− 2y + 3z = 1

3x− 7y + 4z = 10

(b)

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

− 2x1 + 5x2 + 2x3 = 1

8x1 + x2 + 4x3 = −1

(c)

− 2v + 3w = 1

3u+ 6v − 3w = −2

6u+ 6v + 3w = 5

(d)

w + 2x− y = 4

x− y = 3

w + 3x− 2y = 7

2u+ 4v + w + 7x = 7

1-4) Resolva cada um dos sistemas de equacoes lineares correspondente a matrizaumentada indicada.

(a)

1 −2 3 10 1 2 −20 0 1 6

(b)

1 0 0 4 50 1 0 8 20 0 1 1 2

1-5) Sem efectuar calculos, determine quais dos seguintes sistemas de equacoes

5


lineares homogeneos tem solucao nao-trivial. Justifique.

(a)

2x− 3y + 4z − w = 0

7x+ y − 8z + 9w = 0

2x+ 8y + z − w = 0

(b)

{a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0

a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0

(c)

x+ 3y − z = 0

y − 8z = 0

4z = 0

(d)

{3x1 − 2x2 = 0

6x1 − 4x2 = 0

1-6) Determine um sistema de equacoes lineares que tenha como solucao geral oconjunto indicado.

a) {(1, 4, 6)}b) {(t, 4, 6) : t ∈ R}c) {(−z, 4z, z) : z ∈ R}d) {(x, y, x+ y) : x, y ∈ R}

1-7) Quais das seguintes matrizes 3 × 3 sao matrizes em escada de linhas? E emforma canonica de escada de linhas? Indique a caracterıstica de cada matriz.

(a)

1 0 00 1 00 0 1

(b)

1 0 00 1 00 0 0

(c)

0 1 00 0 10 0 0

(d)

1 0 00 0 10 0 0

(e)

0 1 01 0 00 0 0

(f)

1 1 00 1 00 0 0

(g)

1 0 00 0 00 0 1

(h)

0 0 00 0 00 0 0

(i)

0 2 00 1 00 0 0

(j)

2 1 00 −2 + i 00 1 1 + i

(k)

2 −1 00 0 −10 0 2

(l)

2 1 00 −1 20 0 0

1-8) Considere as matrizes reais A e b:

A =

[1 −1 19 −9 α2

]b =

[0

α− 3

]

6


a) Determine a caracterıstica da matriz A e da matriz aumentada [A |b] emfuncao do parametro α.

b) Use os resultados da alınea anterior para determinar a natureza (em funcaode α) dos sistemas cuja matriz aumentada e [A |b], indicando em cadacaso a solucao geral.

1-9) Determine a natureza de cada um dos seguintes sistemas de equacoes linearesnas incognitas x, y e z em funcao dos respectivos parametros.

(a)

αx+ βz = 2

αx+ αy + 4z = 4

αy + 2z = β

(b)

− 2z = 0

cy + 4z = d

4x+ 5y − 2z = −2

(c)

x+ y + z = 4

z = 2

(a2 − 4)z = a− 2

1-10) Considere a matriz

A =

−1 0 01 1 βα 1 1

,

onde os parametros α, β designam numeros reais.

Selecione a afirmacao verdadeira:

A) Existe um unico valor de β para o qual o sistema que corresponde a matrizaumentada −1 0 0 0

1 1 β 0α 1 1 1

e impossıvel.

B) A caracterıstica da matriz A e 3 qualquer que seja α.

C) A caracterıstica da matriz A depende de α.

D) A caracterıstica da matriz A e inferior a 3 para um numero infinito devalores de β.

7


1-11) Resolva o sistema de equacoes lineares homogeneo associado a matriz:

A =

1 0 00 1− i −2i0 1 1− i

1-12) Considere o sistema de equacoes lineares cuja matriz aumentada e[3− i 1 5i 4− i 0

0 3 −2i 2 α

],

onde α e um parametro complexo.

Qual das seguintes afirmacoes e verdadeira?

A) Qualquer que seja o valor de α ∈ C, o sistema de equacoes e impossıvel.

B) Qualquer que seja o valor de α ∈ C, o sistema de equacoes e possıvel etem grau de indeterminacao 2.

C) Qualquer que seja o valor de α ∈ C, o sistema de equacoes e possıvel etem grau de indeterminacao 3.

D) Existem valores de α para os quais o sistema de equacoes e impossıvel.

1-13) Considere a matriz real:

A =

1 2 3−1 −2 1α 2α 3α

Selecione a afirmacao verdadeira:

A) A caracterıstica da matriz A e 1 para α = 1.

B) A caracterıstica da matriz A varia com o parametro α.

C) O sistema de equacoes lineares homogeneo associado a matriz dos coefi-cientes A e possıvel e indeterminado com grau de indeterminacao igual a1.

D) A caracterıstica da matriz AT e 3 para α = 2.

8


Calculo matricial

1-14) Determine a matriz A = [aij]i,j=1,··· ,r que satisfaz as seguintes condicoes:

a) aij = i+ (−1)i+j para todos i e j (com r = 4)

b) Para r = 4:

• a1j = j para todo j

• aij = aji para todos i e j

• aij = ai+1,j+1 para i, j = 1, 2, 3

c) aij = aj−i, onde a−n, a−n+1, . . . , a−1, a0, a1,. . . , an−1, an sao numeroscomplexos e r = n+ 1

1-15) Sejam A uma matriz 4 × 2, B uma matriz 4 × 2, C uma matriz 2 × 2, Duma matriz 4 × 2 e E uma matriz 2 × 4 . Determine quais das seguintesexpressoes matriciais estao bem definidas, e nesses casos indique o tipo damatriz resultante.

(a) BA (b) AC +D (c) AE +B (d) AB +B

(e) E(A+B) (f) E(AC) (g) ETA (h) (AT + E)D

1-16) Calcule os seguintes produtos de matrizes.

(a)[1 2 3

] 1−12

(b)

[1 2 3−2 5 1

] 1−12

(c)

[1 2 3−2 5 1

] 1 0−1 12 −1

(d)

[1 2 3

] 1 −3−1 12 0

(e)[1 1 −1

] 1 −3−1 12 0

(f)

[1 1 −11 0 1

] 1 −3−1 12 0

(g)

1 2 34 5 67 8 9

1 1 0−1 0 11 1 1

(h)

1 1 0−1 0 11 1 1

1 2 34 5 67 8 9

1-17) Considere as matrizes:

A =

1 0 17 −10 11 1 −1

B =

−1 0 −11 −1 11 1 −1

Calcule:

9


a) A coluna 2 da matriz AB.

b) A linha 1 da matriz BA.

c) A entrada-(23) da matriz AB.

d) A caracterıstica da matriz A+B.

1-18) Considere as matrizes

A =

2 1 23 0 11 1 2

u =

573

.

Mostre que u e combinacao linear das colunas de A.

1-19) Calcule se possıvel A+B, B + C, 2A, AB, BA e CB:

A =

[1 4

√2

−2 1 3

]B =

1 2 π√3 −1 2

0 1 −1

C =

3 0 00 −2 00 0 5

1-20) Considere as matrizes:

A =

[−1 0 02 1 1

]B =

−2 3 02 1 1i 2 −6

C =

9 0 00 4 00 0 5

Se for possıvel, calcule:

(a) A− A (b) trC (c) 2 tr(−B) (d) AT +BT

(e) BT − CT (f) (B − C)T (g) CCT (h) tr(CTC)

1-21) Obtenha uma expressao para An:

a) A =

[2 00 2

]b) A =

[0 −11 0

]

10


1-22) Sendo A e B matrizes quadradas da mesma ordem, prove que:

a) tr(A+B) = trA+ trB

b) tr(αA) = α trA (para qualquer escalar α)

c) trA = trAT

1-23) Uma matriz quadrada A diz-se simetrica se A = AT e anti-simetrica se A =−AT. Complete os dados das seguintes matrizes de modo a obter proposicoesverdadeiras.

a) A matriz

� � 3−1 � 2� � �

e anti-simetrica.

b) A matriz A =

[1/2 ��

]e simetrica e verifica a igualdade AAT = I.

1-24) Suponha que A e uma matriz invertıvel. Prove que se A e uma matriz simetrica(respetivamente, anti-simetrica), entao A−1 e tambem uma matriz simetrica(respetivamente, anti-simetrica).

1-25) Construa uma matriz A simetrica, de caracterıstica 1, e tal que[1 2 3 4

]seja uma linha de A.

1-26) Sendo A e B matrizes reais simetricas, prove que:

a) A+B e uma matriz simetrica.

b) AB e uma matriz simetrica se e so se A e B comutam.

1-27) Utilizando o metodo de eliminacao de Gauss–Jordan, calcule, sempre que existir,a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes.

(a)

[1 42 7

](b)

[−3 64 5

](c)

[6 −4−3 2

]

(d)

3 4 −11 0 32 5 −4

(e)

−1 3 −42 4 1−4 2 −9

(f)

1 0 10 1 11 1 0

(g)

2 6 62 7 62 7 7

(h)

1 0 0 01 3 0 01 3 5 01 3 5 7

(i)

−8 17 2 1

3

4 0 25−9

0 0 0 0−1 13 4 2

11


(Sugestao para verificar a solucao: Se uma matriz B e a matriz inversa de umamatriz A, que matriz e BA?)

1-28) Em cada alınea, use a informacao dada para calcular a matriz A.

a) A−1 =

[2 −13 5

]b) (7A)−1 =

[−3 71 −2

]c) (5AT)−1 =

[−3 −15 2

]d) (I + 2A)−1 =

[−1 24 5

]

1-29) Considere a seguinte matriz Aα, dependente do parametro real α:

Aα =

−1 1 α1 −1 −1α 0 −1

Qual das seguintes afirmacoes e verdadeira?

A) Aα e invertıvel para qualquer valor de α.

B) Existem infinitos valores de α para os quais Aα nao e invertıvel.

C) Existem exactamente dois valores de α para os quais Aα nao e invertıvel.

D) Existe exactamente um valor de α para o qual Aα nao e invertıvel.

1-30) Mostre que a matriz 0 a 0 0 0b 0 c 0 00 d 0 e 00 0 f 0 g0 0 0 h 0

nao e invertıvel, quaisquer que sejam os valores de a, b, c, d, e, f , g e h.

12


1-31) Calcule, se existir, a matriz inversa de cada uma das seguintes matrizes (comα, α1, α2, α3, α4 ∈ R).

(a)

α1 0 0 00 α2 0 00 0 α3 00 0 0 α4

(b)

0 0 0 α1

0 0 α2 00 α3 0 0α4 0 0 0

(c)

α 0 0 01 α 0 00 1 α 00 0 1 α

1-32) Considere a matriz:

A =

[1 02 1

]Calcule A3, A−3, A2 − 2A+ I e (A− I)2. Resolva a equacao

(A+ I)2XA−1 = A+ AT.

1-33) Sejam A e B matrizes quadradas da mesma ordem. Prove que

(A+B)2 = A2 + 2AB +B2

se e so se A e B comutam.

1-34) Determine as matrizes A, x e b, que permitem escrever os sistemas de equacoeslineares do Problema 1-3 na forma de equacao matricial Ax = b.

1-35) Seja A uma matriz de ordem 3 tal que A3 = −I e seja b uma matriz colunade tipo 3× 1.

Complete de modo a obter proposicoes verdadeiras:

a) A−1 = ..........

b) x = ............. e solucao da equacao matricial A2x = b

c) car(A) ........ car(A2)

1-36) Considere o sistema homogeneo Ax = 0, onde A e k × p. Diga quais dasafirmacoes seguintes sao verdadeiras.

13


a) A caracterıstica de A e a caracterıstica da matriz aumentada do sistemapodem ser diferentes.

b) Se k = p, entao o sistema e necessariamente determinado.

c) Se k = p, a solucao nula e a unica solucao do sistema.

d) Se k > p, entao a caracterıstica de A e menor ou igual a p.

e) Se k > p e car(A) = p, entao o sistema e indeterminado.

f) Se k < p e car(A) = k, entao o sistema e indeterminado.

1-37) Quais das seguintes matrizes sao matrizes elementares?

(a)

[1 0

0√

3

](b)

[0 11 0

](c)

0 0 10 1 01 0 0

(d)

1 1 00 0 10 0 0

(e)

1 0 00 1 0−5 0 1

(f)

−5 0 10 1 01 0 0

(g)

1 9 00 1 00 0 1

(h)

2 0 0 20 1 0 00 0 1 00 0 1 0

1-38) Calcule os seguintes produtos de matrizes.

(a)

1 0 00 −2 00 0 1

1 2 34 5 67 8 9

(b)

1 0 00 0 10 1 0

1 2 34 5 67 8 9

(c)

1 0 00 1 00 4 1

1 2 34 5 67 8 9

(d)

1 0 00 1 00 4 1

1 0 00 1 00 −4 1

1 2 34 5 67 8 9

1-39) Indique qual a operacao que se deve realizar com as linhas das seguintes ma-trizes (e determine a matriz elementar que lhe corresponde) para que estas setransformem na matriz identidade (de ordem apropriada).

(a)

[1 0−3 1

](b)

1 0 00 1 00 0 5

(c)

0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

(d)

1 0 0 00 1 −1

50

0 0 1 00 0 0 1

14



A =

1 0 0−5 0 10 −2 0

a) Determine matrizes elementares E1, E2 e E3 tais que E3E2E1A = I.

b) Escreva A−1 como um produto de tres matrizes elementares.

c) Escreva A como um produto de tres matrizes elementares.


A =

0 1 7 81 3 3 8−2 −5 1 −8

Determine uma expressao para A da forma A = E1E2E3R, onde as matrizesE1, E2 e E3 sao matrizes elementares e R e uma matriz em escada de linhas.

1-42) Mostre que se A e uma matriz 2 × 2 que comuta com qualquer outra matriz2 × 2, entao A e igual ao produto da matriz identidade por um escalar (Adiz-se uma matriz escalar). Sugestao: Experimente multiplicar A por algumasmatrizes com entradas iguais a 0 e 1.

1-43) Seja A uma matriz real 3× 3 que satisfaz

A = E1E2R ,

onde R e uma matriz em escada de linhas com caracterıstica 2, e

E1 = D3(−1) E2 = E21(3) .

Considere as afirmacoes seguintes:

I) A matriz A nao e invertıvel.

II) Existe uma matriz escalar B tal que AB 6= BA.

III) A matriz AT tem uma unica coluna de zeros.

IV) O sistema de equacoes lineares

ATx =

110

pode ser possıvel e determinado.

15


A lista completa das afirmacoes correctas e:

A) II e III B) I e III C) I e IV D) I e II e III

1-44) Seja D uma matriz escalar m×m com entradas diagonais iguais a 5. Mostreque

a) para toda a matriz A de tipo m× n, DA = 5A;

b) para toda a matriz B de tipo n×m, BD = 5B.

16

2

Determinantes

Notacao

Sendo A uma matriz:

Determinante de A: detA ou |A|Submatriz-(ik) de A: AikMenor-(ik) de A: Mik

Cofactor-(ik) de A: CikMatriz dos cofactores de A: cof AMatriz adjunta de A: adjAMatrizes elementares de ordem n:

a) Pij: matriz que resulta de I trocando a linha i com a linha j (sendoI a matriz identidade de ordem n e i 6= j)

b) Eij(α) (com i 6= j): matriz que resulta de I somando a linha i alinha j multiplicada por α

c) Di(α) (com α 6= 0): matriz que resulta de I multiplicando a linhai por α

Observacoes

• Na resolucao dos exercıcios, tenha presente o modo como as operacoeselementares sobre as linhas de uma matriz alteram o determinante.

1. Se trocar duas linhas, o determinante muda de sinal.

2. Se somar a linha i a linha j multiplicada por um escalar, o determi-nante nao se altera.

3. Se multiplicar uma linha por um escalar α, o determinante tambeme multiplicado por α.

17

• Relembre que as regras apresentadas no ponto anterior resultam dos axi-omas utilizados na definicao axiomatica da funcao determinante. Nome-adamente:

a) det I = 1 (I e a matriz identidade de ordem n)

b) det(PijA) = − detA (com i 6= j)

c) A funcao determinante e linear nas linhas da matriz :

det

L1

...Li+L

′i

...Ln

= det

L1...Li...Ln

+ det

L1

...L′i...Ln

det

...αLi

...

= α det

...Li...

(Supoe-se que as matrizes sao de tipo n × n e que estao descritaspor linhas.)


A =

5 −10 156 7 −1−3 1 4

Reduza a matriz A a uma matriz R em escada de linhas, e use o determinantede R para calcular o determinante de A.


A =

α 3 0α2 α2 10 0 α

b =

0αβ

,

onde α e β designam numeros reais.

a) Determine os valores de α para os quais a matriz A e invertıvel.

18

Determinantes

b) Faca a discussao do sistema Ax = b em termos dos parametros α e β,indicando em cada caso a solucao geral desse sistema.

2-3) Seja

A =

a b cd e fg h i

uma matriz real tal que detA = −7. Calcule:

a) det(3A) b) det(A−1) c) det(2A−1)

d) det((2A)−1) e) det

a g db h ec i f

2-4) Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que x = 0 e x = 2 satis-fazem a condicao: ∣∣∣∣∣∣

x x2 21 2 10 0 −3

∣∣∣∣∣∣ = 0

2-5) Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que:∣∣∣∣∣∣b+ c c+ a b+ aa b c1 1 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 (a, b, c ∈ C)

2-6) De exemplos de matrizes A e B nao nulas tais que:

a) det(A+B) = detA+ detB

b) det(A+B) 6= detA+ detB

2-7) Seja A uma matriz 4× 4 tal que |A| = −2. Considere as afirmacoes seguintes:

I) | − AT| = −2;

II) |2A| = 32;

III) |A−3| = 1/8;

19

Determinantes

IV) |A3| = −8.


A) I e IV B) I, III e IV C) II, III e IV D) I, II e III

2-8) De exemplos, se possıvel, de matrizes A e B tais que:

a) det(AB) 6= (detA)(detB)

b) detA = 0 e detB = 0 e det(A+B) 6= 0

c) detA 6= 0, sendo a diagonal de A nula

2-9) Seja A uma matriz 2× 2 tais que |A| = −3 e seja

B =

[2 00 −3

].


I) A caracterıstica da matriz A+B e sempre maior que 1

II) |BA−2| = −2/3

III) O determinante da matriz AT +B nunca e nulo

IV) |(BA)−2| = 1/324


A) II e III B) I e II e IV C) III e IV D) II e IV

2-10) Considere as matrizes reais

A =

a b cb d ec e f

B =

a b cb d e0 0 0

.

Suponha ainda que |A| = −3.


I) |A+B| = −12;

II) |A− 2B| = 3;

20

Determinantes

III) |3A−1| = −9;

IV) |A+BT | = −12.


A) I e III B) III e IV C) I, III e IV D) I, II e IV

2-11) Exprima o determinante ∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1

a2 + b2 c2 + d2

∣∣∣∣numa soma de quatro determinantes, em cujas entradas nao figurem adicoes.

2-12) Exprima o determinante ∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2

a3 + b3 c3 + d3 e3 + f3

∣∣∣∣∣∣numa soma de oito determinantes, em cujas entradas nao figurem adicoes.

2-13) Para que valores de α a matriz nao e invertıvel?

a)

1 2 43 1 6α 3 2

b)

[α− 3 −2−2 α− 2

]


A =

a a2 03 a2 00 5 a

B =

2 0 0−3 −1 00 0 2

,

onde a e um numero real. Resolva as seguintes questoes sem calcular a matrizinversa de A.

a) Determine os valores de a para os quais a matriz A e invertıvel.

b) Nos casos em que A e invertıvel, calcule a entrada (23) da matriz A−1.

21

Determinantes

c) Calcule det(A+B).


A =

1 0 12 3 20 1 −2

.a) Calcule cof A.

b) Calcule A−1 recorrendo ao resultado de a).

c) Calcule det((trAT)(A−1A2)).


A =

[1 23 4

].

a) Calcule cof A.

b) Calcule A−1 recorrendo ao resultado de a).

2-17) Use o desenvolvimento de Laplace para calcular o determinante da seguintematriz.

1 −2 3 01 0 0 −10 −3 1 40 2 −1 0

2-18) Use a regra de Cramer para resolver os seguintes sistemas de equacoes lineares:

a)

{x1 − 2x2 = 4

2x1 − x2 = −2b)

x1 − 3x2 + x3 = 4

2x1 − x2 = −2

4x1 − 3x3 = −2

2-19) Seja A uma matriz quadrada real, de ordem 3, cujas entradas satisfazem ascondicoes seguintes:

• aii = 0 para i = 1, 2, 3

• aijakr > 0 para i 6= j e k 6= r

22

Determinantes


I) O determinante de A e sempre igual a zero.

II) O cofactor (13) de A e nulo.

III) Nenhuma entrada na diagonal da matriz AAT e nula.

IV) Se existe uma matriz B nao nula tal que AB = 0, entao A nao e invertıvel.

A lista completa de afirmacoes correctas e:

A) I e II B) III e IV C) I e III e IV D) II

2-20) Sendo A uma matriz anti-simetrica de ordem ımpar, qual o valor de detA? Deum exemplo de uma matriz anti-simetrica de ordem 3.


Aα =

α −2 0α2 α2 01 0 α + 1

,onde α designa um numero real.

a) Use a nocao de determinante para encontrar os valores de α para osquais o sistema de equacoes lineares homogeneo Aαx = 0 e possıvel edeterminado.

b) Calcule a entrada (12) da matriz adjunta adjAα da matriz Aα (em funcaodo parametro α).

c) Para α = −1, determine a natureza e calcule explicitamente a solucaogeral (se aplicavel) do sistema

Aαx =

01β

,em funcao do parametro real β.

23

3

Espacos vectoriais

Notacao

Sendo A uma matriz, U um espaco vectorial e X um conjunto de vectores:

Nucleo de A: N (A)Espaco das colunas de A: C (A)Espaco das linhas de A: L (A)Espaco gerado por X: (ou expansao linear de X) L(X)Caracterıstica de A: car(A) ou carADimensao de U : dim(U) ou dimUMatriz de mudanca de base (da base B1 para a base B2): MB2←B1

Espaco dos polinomios de grau menor ou igual a n: PnEspaco dos polinomios (de qualquer grau): PBase canonica de Pn: Pn = (1, t, . . . , tn)Base canonica de Rn: EnEspaco das matrizes reais n× k: Mn×k(R)Espaco das matrizes complexas n× k: Mn×k(C)

Observacoes

• Repare-se nas seguintes convencoes tipograficas, a adoptar nestes apon-tamentos:

– x: vector de Rn. Ex.: x = (1,−3)

– u: vector coluna. Ex.: u =[

24−5

]– [x]B: vector coluna das coordenadas de x na base B.

Exemplo: (Seja B a base((0, 1), (1, 1)

)de R2)

24

Espacos vectoriais

x = (1,−3)

[x]E2 = [ 1−3]

[x] = [ 1−3] (o mesmo que o anterior; subentende-se que se trata

da base canonica)

x = [ 1−3] (o mesmo que o anterior)

[x]B = [−41 ]

xB = [−41 ] (o mesmo que o anterior)

(x)B = (−4, 1) (vector formado pelas coordenadas de x na baseB)

[x]E2 = ME2←B[x]B, ou seja, [ 1−3] = [ 0 1

1 1 ] [−41 ]

• Estabelecemos que a base ordenada canonica no espaco das matrizes reaisM2×2(R) (respectivamente, matrizes complexas M2×2(C)) e o conjuntoordenado ([ 1 0

0 0 ] , [ 0 10 0 ] , [ 0 0

1 0 ] , [ 0 00 1 ]). No caso geral das matrizes Mn×k,

a base canonica e semelhante: e constituıda por matrizes com todas asentradas nulas exceto uma com o valor 1; a ordenacao e feita de modoque a entrada nao nula e a entrada-(11) no caso da 1a matriz, e vai“percorrendo as linhas” da esquerda para a direita.

Os espacos vectoriais Rn

3-1) Quais dos vectores seguintes sao combinacao linear dos vectores u = (0,−2, 2)e v = (1, 3,−1)?

a) (2, 2, 2)

b) (3, 1, 5)

c) (0, 4, 5)

d) (0, 0, 0)

3-2) Exprima os vectores seguintes como combinacao linear dos vectores u = (2, 1, 4),v = (1,−1, 3) e w = (3, 2, 5).

a) (−9,−7,−15)

b) (6, 11, 6)

c) (0, 0, 0)

25

Espacos vectoriais

d) (7, 8, 9)

3-3) Considere os vectores:

v1 = (2, 1, 0, 3) v2 = (3,−1, 5, 2) v3 = (−1, 0, 2, 1)

Quais dos vectores seguintes pertencem a L{v1,v2,v3}?

a) (2, 3,−7, 3)

b) (0, 0, 0, 0)

c) (1, 1, 1, 1)

d) (−4, 6,−13, 4)

3-4) Diga, justificando a resposta, se o seguinte conjunto e ou nao um subespacolinear de R2.

a) A reuniao dos 2o e 4o quadrantes.

b) O semiplano “superior”delimitado pela recta y = −x.

c) A regiao que e delimitada pelas rectas y = x e y = −x e contem o eixodos yy.

3-5) Diga, justificando a resposta, se o conjunto indicado e gerador de R2.

a) {u,v}, sendo u colinear com v.

b) {u,v}, com u situado na recta y = x e v situado na recta y = 2x, sendoambos nao nulos.

c) {u,v,w}, com u e v como na alınea anterior e w situado no 3o qua-drante.

3-6) Quais dos seguintes conjuntos com as operacoes usuais de adicao vectorial emultiplicacao por escalares reais sao subespacos lineares de R3?

a) O conjunto de vectores da forma (a, 0, 0) com a real.

b) O conjunto de vectores da forma (a, 1, 1) com a real.

c) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com b = a+ c e a, b, c reais.

d) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com a, b, c inteiros.

e) O conjunto de vectores da forma (a, b, c) com b = a+ c+ 1 e a, b, c reais.

26

Espacos vectoriais

3-7) Quais dos seguintes conjuntos com as operacoes usuais de adicao vectorial emultiplicacao por escalares reais sao subespacos lineares de R4?

a) O conjunto de vectores da forma (a, 0, 0, 1) com a real.

b) O conjunto de vectores da forma (a, b, 0, 0) com a, b reais.

c) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com b = a+ c− d e c = 2d,sendo a, b, c, d reais.

d) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com a, b, c, d positivos.

e) O conjunto de vectores da forma (a, b, c, d) com c = a+b+1 e d = 2a−b,sendo a, b, c reais.

3-8) Para cada um dos seguintes conjuntos, diga, justificando, se e subespaco lineardo espaco Rn apropriado.

a) L({(1, 0,−1)}) ∪ {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = z}b) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = −2}c) {(x, y) ∈ R2 : xy = 0}d) L({(1, 0,−1)}) ∪ {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z = 0}e) {(x, y, z) ∈ R3 : x = y + 1 ∧ z + x = 0}f) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y − z = 0 ∧ x− 2y − z = 0}g) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0 ∧ x+ y + z = −1}h) {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 1 ∧ x+ z = 0}i) L{(1, 0,−1)} ∩ L{(1, 2, 0), (−1, 1, 1)}j) {(x, y, z) ∈ R3 : xy + x = 0 ∧ z + x = 0}

3-9) Mostre que os conjuntos Mk×n(R),Pn,P e C[a, b] (sendo a < b) sao espacoslineares reais, quando munidos com as operacoes de adicao e multiplicacao porescalares usuais.

3-10) Verifique se R2 e um espaco linear, relativamente as operacoes de adicao emultiplicacao por escalares definidas por:

• (x, y) + (x′, y′) = (x+ x′, y + y′) para (x, y), (x′, y′) ∈ R2

• α(x, y) = (−αy, αx) para (x, y) ∈ R2 e α ∈ R

27

Espacos vectoriais

Independencia linear, bases e dimensao

3-11) Determine quais dos conjuntos seguintes sao linearmente independentes, e ob-tenha uma base para a sua expansao linear.

a) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}b) {(1, 2, 6), (1, 1, 1), (2, 3, 7), (0, 1, 5)}c) {(2, 2, 2), (0, 0, 0), (0, 1, 1)}d) {(1, 2, 4), (−2,−4,−8)}e) {(2,−1, 3), (4, 1, 2), (8,−1, 8)}f) {(3, 1, 4), (2,−3, 5), (5,−2, 9), (1, 4,−1)}g) {(1, 2, 6), (3, 4, 1), (4, 3, 1), (3, 3, 1)}

3-12) Seja W o subespaco linear de R3 definido por:

W = {(x, y, z) ∈ R3 : 3x− 2y + 5z = 0}

a) Determine uma base B do subespaco W , e indique a dimensao de W .

b) Verifique que o vector v = (1, 4, 1) pertence a W , e determine o vector(v)B das coordenadas de v na base B.

3-13) Determine uma base e a dimensao de cada um dos seguintes subespacos linearesde R3.

a) {(x, y, z) : x− y = 0}b) {(x, y, z) : x = −2y ∧ z = −4y}c) O conjunto dos vectores (a, b, c) com b = a+ c.

d) O conjunto dos vectores (a, b, c) com b = a+ c e c = 2a.


W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− y + z − w = 0 ∧ −4y + z = 0 ∧ x− w = 0}

a) Determine uma base ordenada B do subespaco W , e indique a dimensaode W .

b) Verifique que o vector v = (1, 0, 0, 1) pertence a W , e determine o vectorcoluna vB das coordenadas de v na base da alınea anterior.

28

Espacos vectoriais

3-15) Seja W o subespaco de R4 gerado pelos vectores u = (1, 0, 0, 0), v = (2, 2, 0, 0)e w = (0,−2, 0, 0).

a) Mostre que S = {u,v,w} nao e uma base de W .

b) Determine uma base de W e a sua dimensao.

3-16) Determine uma base e a dimensao de cada um dos seguintes subespacos linearesde R4.

a) {(x, y, z, w) : 3x− 2y + 5z − w = 0}b) {(x, y, z, w) : −4y + w = 0 ∧ 2y − 1

2w = 0}

c) O conjunto dos vectores da forma (a, b, c, 0).

d) O conjunto dos vectores (a, b, c, d) com d = a+ b e c = a− b.e) O conjunto dos vectores (a, b, c, d) com a = b = c = d.

3-17) Acrescente um vector da base canonica de R3 ao conjunto S = {v1,v2} demodo a obter uma base de R3.

a) v1 = (−1, 2, 3) v2 = (1,−2,−2)

b) v1 = (1,−1, 2) v2 = (3, 1,−2)

3-18) Acrescente vectores da base canonica de R4 ao conjunto S = {v1,v2} de modoa obter uma base de R4.

v1 = (1,−4, 2,−3) v2 = (−3, 8,−4, 6)

3-19) Seja S = {v1, v2, v3} uma base de um espaco linear W , e considere os vectores:

u1 = v1 u2 = v1 + v2 u3 = v1 + v2 + v3

Mostre que {u1, u2, u3} e tambem uma base de W .

3-20) Determine uma base do subespaco linear de R3 gerado por cada um dos conjun-tos seguintes, e obtenha equacoes vetoriais, parametricas e cartesianas, dessessubespacos.

a) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}

29

Espacos vectoriais

b) {(1, 2, 6), (1, 1, 1), (2, 3, 7), (0, 1, 5)}

3-21) Determine o vector (2, 1)Bi das coordenadas de (2, 1) na base Bi.

a) B1 =((1, 0), (0, 1)

)b) B2 =

((1, 0), (2, 2)

)c) B3 =

((1, 0), (1,−1)

)3-22) Determine o vector (2,−1, 3)Bi das coordenadas de (2,−1, 3) na base Bi.

a) B1 =((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

)b) B2 =

((1, 0, 0), (2, 2, 0), (3, 3, 3)

)3-23) Determine o vector (1, 0, 2,−1)Bi das coordenadas de (1, 0, 2,−1) na base Bi.

a) B1 =((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)

)b) B2 =

((1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)

)3-24) Dada a base ordenada B e a coluna xB, determine o vector x.

a) B =((2, 1), (−1, 1)

)xB =

[3−1

]

b) B =((1,−1, 1), (0, 1, 2), (−1, 2, 0)

)xB =

3−11

3-25) Dado o subespaco

V ={

(x, y, z) ∈ R3 : 2x+ y − z = 0}

,

de R3, diga, justificando a resposta, se cada uma das afirmacoes seguintes everdadeira ou falsa.

a) O conjunto {(−1, 1,−1), (0, 2, 1)} e uma base de V .

b) A dimensao de V e 2.

c) O conjunto {(1, 0, 2), (0, 0,−1), (0, 1, 1)} e linearmente independente.

d) O conjunto {(1, 0, 2), (0, 0,−1), (0, 1, 1)} e uma base de V .

30

Espacos vectoriais

Subespacos associados a uma matriz

3-26) Determine a dimensao e uma base do nucleo, do espaco gerado pelas linhas edo espaco gerado pelas colunas da matriz:

(a) A =

1 −3 0 11 1 0 −10 0 0 0

(b) B =

4 20 12 1

3-27) Seja A uma matriz e seja B uma matriz que se obteve efectuando uma operacaoelementar sobre A. Mostre que o espaco L (A) das linhas da matriz A e igualao espaco L (B) das linhas da matriz B.

3-28) Seja R uma matriz k × n em escada de linhas. Mostre que o conjunto daslinhas nao nulas de R e linearmente independente.

3-29) Recorrendo as propriedades expressas nos exercıcios 3-27 e 3-28, determineuma base e a dimensao de cada um dos subespacos lineares (do espaco Rn

apropriado) gerados pelos conjuntos seguintes.

a) {(1, 1, 2), (1, 2, 1), (2, 3, 3)}b) {(−1, 1, 1, 2), (1, 1, 0, 1), (−2, 0, 1, 1), (3, 1,−1, 0)}

3-30) Diga se cada uma das seguintes proposicoes e verdadeira ou falsa:

a) A caracterıstica de uma matriz e igual ao numero das suas colunas naonulas.

b) A unica matriz de tipo m× n com caracterıstica 0 e a matriz nula.

c) As operacoes elementares preservam a caracterıstica.

d) A caracterıstica de uma matriz e igual ao numero maximo de colunas damatriz linearmente independentes.

e) A caracterıstica de uma matriz e igual ao numero maximo de linhas damatriz linearmente independentes.

f) A caracterıstica de uma matriz n× n e menor ou igual a n.

31

Espacos vectoriais

3-31) Seja A uma matriz real cuja forma reduzida de escada de linhas e:1 3 0 0 00 0 1 0 −20 0 0 1 40 0 0 0 0

Complete de modo a obter afirmacoes verdadeiras:

a) A caracterıstica da matriz A e ...........

b) A dimensao do espaco das colunas de A e ...........

c) O vector nao nulo v = ........... pertence ao espaco das linhas de A.

d) Uma base do nucleo de A e ...........

3-32) Utilize a informacao da seguinte tabela para determinar a dimensao do espacogerado pelas linhas da matriz A, do espaco gerado pelas colunas de A, donucleo de A (nulidade de A) e do nucleo de AT.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)A 3× 3 3× 3 3× 3 5× 9 9× 5 4× 4 6× 2

carA 3 2 1 2 2 0 2

3-33) Utilize a informacao da seguinte tabela para determinar se o correspondentesistema nao homogeneo Ax = b e possıvel. Em caso afirmativo, indique onumero de variaveis livres da solucao geral.

(a) (b) (c) (d) (e) (f) (g)A 3× 3 3× 3 3× 3 5× 9 9× 5 4× 4 6× 2

carA 3 2 1 2 2 0 2car(A|b) 3 3 1 2 3 0 2

3-34) Determine bases para o nucleo N (A), para o espaco das linhas L (A) e parao espaco das colunas C (A) da matriz

A =

[1 i 0−i 1 2i

],

e indique a dimensao de cada um destes espacos lineares complexos.

32

Espacos vectoriais

3-35) Sempre que b pertencer ao espaco gerado pelas colunas da matriz real A,escreva b como combinacao linear das colunas de A.

a) A =

[1 34 −6

]b =

[−210

]

b) A =

1 1 21 0 12 1 3

b =

−102

3-36) Dados os vectores u = (1,−1, 1) e v = (1, 0, 1) de R3, considere as afirmacoesseguintes:

I) O espaco L{u,v, (0, 1, 0)} e um plano.

II) Existe um vector e de R3 tal que a matriz

A =[

u v e]

e invertıvel.

III) O vector x = (5, 0, 3) e uma combinacao linear de u e v;

IV) O subespaco linear de R3 gerado por u e v e

{(x, y, z) ∈ R3 : x = y ∧ z = 0} .


A) I e II e III B) I e III C) I e II D) II e III e IV

3-37) Determine a dimensao e uma base do subespaco das solucoes de cada um dossistemas seguintes:

(a)

x+ y − z = 0

− 2x− y + 2z = 0

− x+ z = 0

(b)

{3x+ y + z + t = 0

5x− y + z − t = 0

33

Espacos vectoriais

3-38) Suponha que o vector x = (x1, x2, x3, x4) = (−1, 2, 4, 3) e uma solucao par-ticular de um sistema de equacoes lineares nao homogeneo Ax = b, e que asolucao geral do sistema homogeneo associado, Ax = 0, satisfaz

x1 = −3r + 4s

x2 = r − sx3 = r

x4 = s ,

onde r e s sao parametros reais.

a) Escreva uma representacao parametrica da solucao geral de Ax = 0 sobforma vectorial, exprimindo-a como uma combinacao linear de vectores.

b) Obtenha a solucao geral de Ax = b sob forma vectorial, e exprima-acomo uma combinacao linear de vectores.

3-39) Seja A uma matriz real, e suponha que

x1 = (−3,−2, 2,−1)

e uma solucao particular do sistema Ax = b, onde

b = (2,−4, 3,−4) .

Suponha ainda que x0 = (1, 1, 1, 1) e uma solucao particular do sistema Ax =0.

Complete de modo a obter afirmacoes verdadeiras:

a) Um vector nao nulo que pertence ao espaco das colunas de A e ........

b) Uma solucao particular nao nula do sistema ATAx = 0 e ........

c) Se somarmos todas as colunas de A, obtemos o vector ........

d) Uma solucao do sistema Ax = b diferente de x1 e ........

e) Se a dimensao do nucleo de A for igual a 1, a natureza do sistema (refirao grau de indeterminacao, se aplicavel) e ........

3-40) Seja A uma matriz tal que o conjunto

{(1, 1, 0, 0), (1, 0, 2, 1)}

e uma base do nucleo N (A) da matriz A. Considere as afirmacoes seguintes:

34

Espacos vectoriais

I) O vector x = (−5,−2, 3,−2) e solucao do sistema Ax = 0;

II) A dimensao do espaco C (A) das colunas da matriz A e 2;

III) A matriz A tem 4 colunas;

IV) N (A) = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ 2z = y ∧ z = w}.

A lista completa das afirmacoes correctas e

A) I, II e III B) II, III e IV C) II e IV D) II e III

3-41) Sempre que possıvel, de exemplo de uma matriz A de tipo 5× 3 tal que:

a) (1, 1, 1, 1, 1) /∈ C (A)

b) (1, 1, 1) /∈ L (A)

c) As colunas de A sao um conjunto gerador de M5×1

d) carA = 4

e) O conjunto das linhas de A constitui uma base de M1×3.

f) O conjunto das linhas de A contem (estritamente) uma base de M1×3.

g) A equacao matricial ATx = 0 corresponde a um sistema possıvel e deter-minado.

Espacos vectoriais

3-42) Exprima a matriz [5 90 5

]como combinacao linear das matrizes seguintes:[

2 10 4

] [1 −10 3

] [3 20 5

]

3-43) Exprima o polinomio p(x) = −9 − 7x − 15x2 como combinacao linear dospolinomios

p1(x) = 2 + x+ 4x2 p2(x) = 1− x+ 3x2 p3(x) = 3 + 2x+ 5x2 .

35

Espacos vectoriais

3-44) Considere as matrizes:[4 0−2 −2

] [1 −12 3

] [0 21 4

]Determine se o seguinte vector de M2×2 e combinacao linear das matrizesanteriores:

a)

[6 −8−1 −8

]b)

[0 00 0

]c)

[6 03 8

]d)

[−1 57 1

]

3-45) Determine se os vectores seguintes sao ou nao linearmente independentes. Casoo nao sejam, indique um subconjunto linearmente independente com o maiornumero possıvel de elementos.

a) No espaco P3 dos polinomios de grau menor ou igual a 3:

p1(t) = 1

p2(t) = 1 + t

p3(t) = 1 + t+ t2

p4(t) = 1 + t+ t2 + t3

b) No espaco M2×2(R) das matrizes quadradas de ordem 2 com entradasreais: [

1 11 1

] [1 11 0

] [0 00 −5

]

3-46) a) Calcule as coordenadas do polinomio p(t) = (1−t)(1+t) na base canonicade P3.

b) Considere o subespaco linear S de P3 gerado pelo conjunto:

{1− 2t, 1 + t2, 1 + 2t− 3t2, t2}

Verifique que este conjunto nao e uma base de S, e indique uma base deS.

36

Espacos vectoriais

c) Determine o vector das coordenadas do polinomio p(t) = 3− t2 nas basesdas alıneas a) e b).

d) Considere o conjunto:

W = {p ∈ P3 : p(0) = 0}

Mostre que W e um subespaco linear de P3, e indique a dimensao destesubespaco.

3-47) Exprima o vector v como combinacao linear dos vectores da base {v1, v2, v3}de P2.

a) v = 4− 3x+ x2 v1 = 1, v2 = x, v3 = x2

b) v = 2− x+ x2 v1 = 1 + x, v2 = 1 + x2, v3 = x+ x2

3-48) Determine as coordenadas do vector A na base (A1, A2, A3, A4) de M2×2.

a) A =

[2 0−1 3

]A1 =

[−1 10 0

]A2 =

[1 10 0

]A3 =

[0 01 0

]A4 =

[0 00 1

]b) A =

[1 00 1

]A1 =

[3 63 −6

]A2 =

[0 −1−1 0

]A3 =

[0 −8−12 −4

]A4 =

[1 0−1 2

]

3-49) Mostre que se U e V sao subespacos lineares de um espaco W , entao U ∩ Ve U + V tambem sao subespacos lineares de W .

3-50) Dados os subespacos U e W de R4, determine uma base de U ∩W e uma basede U +W , e indique as dimensoes destes subespacos.

a) U = L{(1, 0, 2, 0)}W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y + 2z − w = 0 ∧ −y + 3w = 0 ∧ z = 0}

b) U = L{(1, 0,−1, 0), (0, 1, 1, 0)}W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : −x+ y − 2w = 0 ∧ 2y − z = 0}

37

Espacos vectoriais

c) U = L({(0, 0, 1, 0), (−2, 0, 0,−2)})W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ 2y − z − w = 0 ∧ x− w = 0}

3-51) Verifique que dimU + dimW = dim(U ∩W ) + dim(U + W ) nos tres casosconsiderados no problema anterior.

Diga em que casos os pares de subespacos decompoem R4 numa soma directa.

3-52) Verifique quais dos conjuntos seguintes sao espacos lineares reais (relativamenteas operacoes usuais), e para os que o forem indique a sua dimensao e determineuma base.

a) O subconjunto do espaco linear P5 formado pelos polinomios:

p(t) = a0 + a1t+ a2t2 (com a0 + a1 = 0)

b) O subconjunto do espaco M2×2(R) formado pelas matrizes invertıveis.

c) O conjunto {[ a bc d ] ∈M2×2(R) : a ∈ Z}.d) O seguinte subconjunto do espaco das funcoes contınuas de R em R:

L{cos2 t− sen2 t, cos 2t+ sen t, sen t}

3-53) Determine se o seguinte conjunto e espaco linear (real ou complexo), relativa-mente as respectivas operacoes de adicao e multiplicacao por escalar usuais.

a) O conjunto das matrizes da forma [ a b0 c ].

b) O conjunto das matrizes diagonais 2× 2.

c) O conjunto das matrizes quadradas que comutam com uma dada matrizB.

d) O conjunto das funcoes f : R→ R ımpares.

e) O conjunto das funcoes f : R→ R que se anulam em 1.

f) O conjunto dos polinomios reais que se anulam em 0.

g) O conjunto das funcoes f : R → R com segunda derivada contınua taisque f ′′(x) + af ′(x) + bf(x) = cos x, com a e b dados.

3-54) Para cada um dos seguintes conjuntos de matrizes, determine se constitui umespaco linear complexo, relativamente as operacoes usuais. Em caso afirmativo,determine uma base do subespaco.

38

Espacos vectoriais

a) O conjunto das matrizes complexas n× n invertıveis.

b) O conjunto das matrizes complexas 2× 2 que comutam com a matriz[1 i0 −1

].

3-55) Diga, justificando a resposta, se o seguinte subconjunto do espaco linear dadoe subespaco linear. Em caso afirmativo, indique a sua dimensao.

I) Em M2×2(R):

a) O conjunto das matrizes cujas entradas sao numeros inteiros.

b) O conjunto das matrizes com traco nulo.

c) O conjunto das matrizes anti-simetricas.

d) O conjunto das matrizes com determinante nulo.

II) Em P3(R):

a) O conjunto dos polinomios com termo independente nulo.

b) O conjunto dos polinomios a0 +a1x+a2x2 +a3x

3 tais que a0 +a1 +a2 + a3 = 0.

c) O conjunto dos polinomios com coeficientes inteiros.

d) O conjunto dos polinomios de grau menor ou igual a 1.

3-56) Determine uma base para cada um dos espacos lineares seguintes.

a) L{1, 1 + t, 1 + t+ t2, 1 + t+ t2 + t3} (subespaco de P3)

b) O subespaco de M2×2(R) gerado pelas matrizes:[1 11 1

] [1 11 0

] [0 00 −5

]

3-57) a) Determine as coordenadas do polinomio (1 − t)(1 + t) na base canonicade P2.

b) Considere o subconjunto S ⊂ P2 dado por:

S = {1− 2t, 1 + t2, t, 1 + 2t− 3t2, t2}

Diga, justificando, se S e uma base de P2.

c) Diga qual a dimensao de L(S), e determine uma base deste espaco.

39

Espacos vectoriais

d) Diga se o subconjunto de todos os polinomios de P2 que se anulam em 0e um subespaco linear de P2. Em caso afirmativo, indique a sua dimensaoe uma base.

3-58) Considere a base ordenada B = (1, 1 + t, 2t + t2) do espaco linear P2. Ascoordenadas de p(t) = 3 + t+ t2 na base B sao:

� (8,−3, 1) � (5,−1, 1) � (6,−1, 1) � (4,−1, 1)

Matrizes de mudanca de base

3-59) a) Determine a matriz MB←E2 de mudanca de base da base canonica deR2 para a base ordenada B =

((−1, 0), (−1, 1)

), e calcule o vector das

coordenadas de (2, 2) na base B.

b) Determine a matriz ME2←B′ de mudanca de base da base B′ de R2 paraa base canonica, sendo B′ =

((1, 2), (−2, 1)

).

c) Determine a matriz MB←B′ .

3-60) Considere a base ordenada B =((0, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 0)

)de R3.

a) Determine a matriz de mudanca de base da base canonica de R3 para abase B.

b) Determine o vector v tal que vB =[

1−12

].

c) Determine a matriz de mudanca de base da base B para a base

B′ =((−1, 0,−1), (2, 1, 0), (0, 1, 0)

).

d) Determine a matriz de mudanca de base da base canonica de R3 para abase B′ usando as matrizes de mudanca de base das alıneas anteriores.

3-61) Seja B a base de R3 tal que ME3←B =

2 1 01 −1 10 0 −3

e seja B′ = (v1, v2, v3)

a base ordenada de R3 tal que

(v1)B = (1, 0,−1), (v2)B = (0, 1, 0) (v3)B = (1,−1, 1).

a) Determine a base B.

40

Espacos vectoriais

b) Calcule (1, 2,−1)B.

c) Determine as matrizes MB←B′ e ME3←B′ .

d) Determine a base B′.

3-62) Dada uma base B = (u, v, w) de R3, considere os vectores:

u′ = u+ v

v′ = u− vw′ = u+ v + w

a) Mostre que (u′, v′, w′) e uma base B′ de R3.

b) Determine a matriz de mudanca de base de B para a base B′.c) Calcule (2u+ 3v − w)B′ .

3-63) Determine a matriz de mudanca de base da base canonica de P2 para a baseordenada B =

(1 + t, 1 + t2, 1 + t+ t2

), e calcule o vector das coordenadas de

2− 3t+ t2 na base B.

3-64) Obtenha uma base do subespaco de M2×2 constituıdo pelas matrizes de traconulo, e determine uma base B de M2×2 que a contenha. Calcule a matriz demudanca de base MBc←B, sendo Bc a base canonica de M2×2.

41

4

Valores proprios e vectores proprios

Notacao

Sendo A uma matriz quadrada:

Polinomio caracterıstico de A: p(λ) = |A− λI|Espaco proprio correspondente ao valor proprio λ: E(λ)Matriz diagonalizante de A: Matriz S invertıvel tal que A = SDS−1,

com D diagonalEspectro de A: σ(A)

Valores e vectores proprios de matrizes


A =

−1 −2 30 1 −11 1 −2

Para cada um dos vectores seguintes, verifique se e vector proprio de A e, emcaso afirmativo, indique o valor proprio correspondente.

a) (−5, 1, 4) b) (−1, 1, 1) c) (0, 0, 0) d) (−1, 1, 0) e) (1, 1, 1)

4-2) Verifique se λ = 3 e um valor proprio da matriz: 5 2 8−3 0 70 0 3

Em caso afirmativo, determine um vector proprio associado.

42


4-3) Para cada uma das matrizes seguintes, determine o polinomio caracterıstico,os valores proprios (indicando as suas multiplicidades algebrica e geometrica),e uma base para cada um dos espacos proprios correspondentes.

a)

[3 08 −1

]b)

[10 −94 −2

]c)

4 0 1−2 1 0−2 0 1

d)

5 0 11 1 0−7 1 0

e)

0 0 2 01 0 1 00 1 −2 00 0 0 1

4-4) Considere a matriz complexa: [4 1− i

1 + i 5

]Determine o polinomio caracterıstico desta matriz, os valores proprios, indi-cando as suas multiplicidades algebrica e geometrica, e bases para os espacosproprios correspondentes.

4-5) Determine os valores proprios e bases para os espacos proprios de A15, em queA e a seguinte matriz real:

A =

−1 −2 −21 2 1−1 −1 0

4-6) Sem efectuar qualquer calculo, determine os valores proprios das matrizes se-guintes:

a)

2 3 00 8 −10 0 −5

b)

9 0 07 −8 0−3 4 1

c)

4 0 00 1 00 0 1

43


4-7) Seja A uma matriz quadrada de ordem n com entradas reais. Suponha quev = (v1, v2, . . . , vn) e um vector proprio de A, que λ e o valor proprio quecorresponde a v e que λ e um numero complexo. Mostre que λ tambem evalor proprio de A e que v = (v1, v2, . . . , vn) e um vector proprio de A cujovalor proprio associado e λ.

4-8) Suponha que A e uma matriz com um valor proprio λ associado a um vectorproprio v. Mostre que λk tambem e um valor proprio de Ak e que esta associadoao vector proprio v, qualquer que seja k ∈ N.

4-9) Calcule detA, sabendo que o polinomio caracterıstico de A e dado por:

a) p(λ) = −λ3 + 2λ2 − λ− 5 b) p(λ) = λ4 − λ3 + 7

4-10) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2.

a) Mostre que a equacao caracterıstica de A e

λ2 − (trA)λ+ detA = 0 .

b) Determine trA e detA no caso de 5 e 8 serem valores proprios da matrizA.

4-11) Seja A uma matriz 3×3 cujo polinomio caracterıstico e p(λ) = −(λ+1)(λ−2)2.

a) Indique os valores proprios de A, e de exemplo de uma matriz A nestascondicoes tal que:

i) Existe um valor proprio de A com multiplicidade algebrica maior quea sua multiplicidade geometrica.

ii) Todos os valores proprios de A tem multiplicidade algebrica igual arespectiva multiplicidade geometrica.

b) Determine os valores proprios de A+ αI, sendo α um escalar.

c) Para qualquer α, mostre que A e A+αI tem os mesmos vectores proprios.

4-12) Seja A uma matriz 3× 3 com valores proprios 0, 1 e 2.

a) Determine carA, detA e trA.

b) Determine os valores proprios de A+ I e dim C (A+ I).

44


c) A matriz A e invertıvel? E a matriz A+ I?

4-13) Sem calcular o polinomio caracterıstico, determine dois valores proprios distintos

de[

1 2 31 2 31 2 3

]e tres vectores proprios linearmente independentes.

4-14) Seja A uma matriz quadrada real de ordem n. Determine se e verdadeira oufalsa cada uma das afirmacoes seguintes. Justifique.

a) σ(A) = σ(AT).

b) Se λ ∈ σ(A) e v e um vector proprio de A associado a λ, entao necessa-riamente v tambem e vector proprio de AT.

c) Se A e semelhante a uma matriz simetrica B, entao AT tambem e seme-lhante a B.

4-15) Seja A a matriz 2 0 0 02 −1 0 00 0 2 00 0 0 −1

.


I) Os valores proprios de A sao 2, −4 e 1.

II) O vector (3, 2, 0, 0) e um vector proprio de A e 2 e o valor proprio asso-ciado.

III) O vector (3, 2, 0, 0) e um vector proprio de A e 4 e o valor proprio asso-ciado.

IV) A matriz tem valores proprios de multiplicidade algebrica superior a 1.


A) I e IV B) II C) II e IV D) III e IV

45


Diagonalizacao de matrizes

4-16) Diagonalize a matriz A do problema 4-5) e calcule A15.

4-17) Determine quais das matrizes seguintes sao diagonalizaveis. Caso a matriz dadaA seja diagonalizavel, obtenha uma matriz S que diagonalize A e determineS−1AS.

a)

[1 06 −1

]b)

[3 −ii 3

]c)

[1 00 1

]

d)

3 0 00 2 00 1 2

e)

5 0 00 −1 −1 + i0 −1− i 0

4-18) Considere a matriz

A =

[1 b−b −1

],

onde b e um numero real. Suponha ainda que 0 e valor proprio de A e que Be uma matriz 2× 2. Considere as afirmacoes seguintes:

I) O subespaco N (A) tem dimensao 1;

II) A matriz BA tem 0 como valor proprio;

III) A matriz A e diagonalizavel;

IV) A matriz A nao e invertıvel.


A) II e III B) I e IV C) I, III e IV D) I, II e IV

4-19) Seja A uma matriz quadrada real de ordem n. Determine se e verdadeira oufalsa cada uma das afirmacoes seguintes. Justifique.

a) Se A e diagonalizavel, entao A tem n vectores proprios linearmente inde-pendentes.

b) Se A e diagonalizavel, entao A e invertıvel.

c) Se A e invertıvel, entao A e diagonalizavel.

46


d) Se A tem exactamente k valores proprios distintos, sendo k < n, entaoA nao e diagonalizavel.

e) Se A tem n valores proprios distintos, entao A e diagonalizavel.

f) Se A tem um valor proprio com multiplicidade algebrica n, entao A naoe diagonalizavel.

g) Se a soma das dimensoes dos espacos proprios de A e n, entao A ediagonalizavel.

h) Se A e uma matriz nao nula tal que A2 = 0, entao A nao e diagonalizavel.

4-20) Seja A uma matriz singular 3× 3 tal que

A

11−1

=

33−3

e A

011

=

033

.

Diga quais das afirmacoes seguintes sao verdadeiras:

a) 2 nao e valor proprio de A.

b) Zero nao e um valor proprio de A.

c) 3 e um valor proprio de A cuja multiplicidade algebrica e igual a multipli-cidade geometrica.

d) Se u ∈ N (A) e u 6= 0 , entao {(1, 1,−1), (0, 1, 1),u} e uma base deR3.

e) A matriz A e semelhante a matriz diagonal diag(3, 0, 3).

f) A matriz A− 2I e invertıvel.

De um exemplo de uma matriz A nas condicoes do problema.


A =

0 −1 01 0 00 1 1

a) Calcule os valores proprios de A, e verifique se existe alguma matriz real

que diagonalize A.

b) Determine a forma reduzida de escada de linhas R da matriz A, e indiqueos seus valores proprios. Existe alguma matriz real que diagonalize R?

47

5

Transformacoes lineares

Notacao

Dados E1 e E2 espacos lineares (com bases B1 e B2, respectivamente) e umatransformacao linear T : E1 → E2:

Nucleo de T : N (T )Imagem de T : I (T )Espectro de T : σ(T )Espaco proprio T associado ao valor proprio λ: Eλ(T )Matriz de T para as bases B1 e B2: [T ]B2,B1

Observacao

A matriz [T ]B2,B1 e a unica matriz que satisfaz a condicao

uB2 = [T ]B2,B1uB1

para todo o vector u ∈ E1.


5-1) Diga, justificando, quais das seguintes funcoes sao transformacoes lineares.

a) T : R2 → R2 tal que T (x1, x2) = (x1 + x2, 3x1 − x2)

b) T : R2 → R2 tal que T (x1, x2) = (1 + x2, 3x1 − 1)

c) T : R3 → R2 tal que T (x1, x2, x3) = (2x1 − x2 + x3, x2 − 4x3)

d) T : R3 → R3 tal que T (x1, x2, x3) = (x1 − x2x3, 3x22, x1 − 4x3)

48


e) T : R3 → R2 tal que T (x1, x2, x3) = (x1 + x2x3, 5x22)

f) T : R3 → R2 tal que T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x3, x2 − x3)

g) T : R2 → R3 tal que T (x1, x2) = (x1 − x2, 3x2, x1 + 5x2)

5-2) Sejam v1, v2 e v3 vectores de um espaco linear U , e seja T : U → R3 umatransformacao linear tal que:

T (v1) = (−1, 2, 1) T (v2) = (2, 3, 0) T (v3) = (1, 2, 3)

Determine T (2v1 − v2 + 3v3).

5-3) Sejam U e V espacos lineares, e seja T : U → V uma transformacao linear.Mostre que T (0) = 0. Como poderia ter usado esta propriedade para resolvera alınea b) do Problema 5-1?

5-4) Seja T : R3 → R3 a transformacao linear definida por

(x, y, z) 7→ (2x− y, x, x+ z) ,

e considere o triangulo de vertices (1, 1, 1), (−1, 1, 1) e (0, 0, 0). Determine aimagem deste triangulo pela transformacao T .

5-5) Para as seguintes transformacoes lineares de R3 em R3, determine se T1 ◦T2 =T2 ◦ T1.

a) T1 e a multiplicacao pelo escalar c e T2 e a rotacao de um angulo θ nosentido positivo relativamente ao semi-eixo positivo dos zz.

b) T1 e a rotacao de 45◦ no sentido positivo em relacao ao semi-eixo positivodos xx e T2 e a rotacao de 30◦ no sentido negativo relativamente aosemi-eixo positivo dos zz.

5-6) Diga, justificando, quais das seguintes funcoes constituem transformacoes line-ares.

a) T : M2×2 →M2×3 tal que T (A) = AB, sendo B uma matriz fixa 2× 3.

b) T : Mn×n(R)→ R tal que T (A) = trA.

c) T : Mm×n →Mn×m tal que T (A) = AT.

49


d) T : M2×2(R)→ R tal que T([ a bc d ]

)= a+ 3b+ 2c+ 4d.

e) T : M2×2(R)→ R tal que T (A) = tr(AB), com B = [ 1 23 4 ].

f) T : M2×2(C)→ C tal que T (A) = detA.

g) T : P2 → P2 tal que T (a+ bx+ cx2) = (a+ 1) + (b+ 1)x+ (c+ 1)x2.

h) T : P2 → P2 tal que T (a+ bx+ cx2) = a+ b(x+ 1) + c(x+ 1)2.

Matriz associada a uma transformacao linear

5-7) Determine a matriz que representa cada uma das transformacoes lineares se-guintes relativamente as bases canonicas dos espacos de partida e de chegada.

a) T (x1, x2) = (2x1 − x2, x1 + x2)

b) T (x1, x2) = (x1, x2)

c) T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + x3, x1 + 5x2, x3)

d) T (x1, x2, x3) = (4x1, 7x2,−8x3)

e) T (x1, x2) = (x2,−x1, x1 + 3x2, x1 − x2)

f) T (x1, x2, x3, x4) = (7x1 + 2x2 − x3 + x4, x2 + x3,−x1)

g) T (x1, x2, x3) = (0, 0, 0, 0)

h) T (x1, x2, x3, x4) = (x4, x1, x3, x2, x1 − x3)

5-8) Admitindo que a transformacao envolvida e linear e recorrendo a matriz que arepresenta relativamente as bases canonicas, determine:

a) A reflexao de (−1, 2) relativamente ao eixo dos xx e a reflexao do mesmovector relativamente a recta x = y.

b) A reflexao de (2,−5, 3) relativamente ao plano xy e a reflexao do mesmovector relativamente ao plano yz;

c) A projeccao ortogonal de (2,−5) no eixo dos xx e a projeccao ortogonaldo mesmo vector no eixo dos yy.

d) A projeccao ortogonal de (−2, 1, 3) sobre o plano xy e a projeccao orto-gonal do mesmo vector no plano xz;

e) A rotacao de (3,−4) em torno da origem no sentido contrario aos pon-teiros do relogio (sentido positivo) por um angulo de π/2 e a rotacao domesmo vector no mesmo sentido por um angulo de π/6.

50


f) A rotacao de (−2, 1, 2) por um angulo de π/2 no sentido positivo relati-vamente ao semi-eixo positivo dos zz.

g) A rotacao de (−2, 1, 2) por um angulo de π/4 no sentido positivo relati-vamente ao semi-eixo positivo dos yy.

5-9) Seja T : M2×2(R)→M2×2(R) a transformacao linear definida por T (A) = AT.Determine [T ]B,B, sendo B a base

([ 1 00 0 ] , [ 1 1

0 0 ] , [ 0 11 0 ] , [ 0 0

0 1 ]).

5-10) Considere a transformacao linear T : P2 → P2 definida por

f(t) 7→ 2f ′(t)− f(t) .

onde f ′ designa a derivada de f .

a) Determine a matriz que representa a transformacao linear T em relacao abase canonica P2 de P2. A transformacao linear T e invertıvel?

b) Determine o polinomio p ∈ P2 tal que (Tp)(t) = (t+1)2 para todo t ∈ R.

Nucleo e imagem

5-11) Seja T : R3 → R3 a transformacao linear definida por:

T (x1, x2, x3) = (x1 − 2x2 + x3, 5x1 − x2 + 3x3, 4x1 + x2 + 2x3)

a) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear.

b) Indique um vector de R3 que nao esteja na imagem da transformacao.

c) Verifique o teorema da dimensao.

5-12) Determine o nucleo e a imagem da transformacao linear T2 ◦ T1, e determineuma expressao para T2 ◦ T1.

a) T1(x, y) = (2x, 3y) T2(x, y) = (x− y, x+ y).

b) T1(x, y) = (2x,−3y, x+ y) T2(x, y, z) = (x− y, y + z).

c) T1(x, y, z) = (x− y, y + z, x− z) T2(x, y, z) = (0, x+ y + z).

5-13) Quais das seguintes transformacoes lineares T sao isomorfismos?

51


a) A projeccao ortogonal de (x, y) ∈ R2 sobre o eixo dos xx.

b) A reflexao de (x, y) ∈ R2 relativamente a recta x = y.

c) A projeccao ortogonal de (x, y, z) ∈ R3 sobre o plano xy.

d) A reflexao de (x, y, z) ∈ R3 relativamente ao plano yz.

e) A rotacao de (x, y, z) ∈ R3 no sentido positivo de π/2 radianos relativa-mente ao semi-eixo positivo dos zz.

5-14) Em relacao ao problema 5-13), considere as questoes seguintes.

a) Qual e a transformacao linear inversa de cada um dos isomorfismos?

b) Determine o nucleo e a imagem de cada uma das transformacoes.

c) Nos casos das alıneas a) e c), mostre que se tem T 2 = T .

5-15) Sejam T1 : R2 → R2 e T2 : R2 → R2 transformacoes lineares tais que

T1(x, y) = (x+ y, x− y) T2(x, y) = (2x+ y, x− 2y) .

Mostre que a transformacao linear T2 ◦ T1 e invertıvel, e determine a matrizque representa a sua inversa.

5-16) Sejam S : V → R3 e T : R3 → R2 as funcoes definidas por

S(x, y) = (2y, x, x+ y), T (x, y, z) = (−3z,−x− 2y),

sendo V = {(x, y) ∈ R2 : 2x = y}.

a) Determine uma expressao analıtica para a transformacao linear T ◦ S :V → R2.

b) Determine o nucleo e imagem da transformacao linear T ◦ S.

c) A transformacao linear T ◦ S : V → R2 e um isomorfismo?

5-17) Considere o isomorfismo T do exercıcio 6-26). Determine a matriz que repre-senta T−1 relativamente a base P2 e uma expressao analıtica para T−1.

5-18) Sejam U e V espacos lineares, com dimU = n, dimV = p, n < p. Indique ovalor logico das seguintes proposicoes.

52


a) Existem transformacoes lineares injectivas de V em U .

b) Existem transformacoes lineares sobrejectivas de V em U .

c) Existem transformacoes lineares injectivas de U em V .

d) Existem transformacoes lineares sobrejectivas de U em V .

e) Qualquer transformacao linear injectiva de U em U e sobrejectiva.

f) Qualquer transformacao linear injectiva de U em V e sobrejectiva.

g) Qualquer transformacao linear injectiva de P4 em M2×2 e bijectiva.

h) Qualquer transformacao linear injectiva de M2×2 em P e bijectiva.

Representacao matricial de uma

transformacao linear em diferentes bases

5-19) Seja T : R2 → R2 a transformacao linear definida por

T (x1, x2) = (x1 − 2x2, x1 + x2)

e considere-se a base ordenada B = (v1,v2) de R2, com v1 = (1, 1) e v2 =(−1, 0).

a) Determine a matriz A = [T ]E2,E2 que representa T relativamente a basecanonica de R2.

b) Sem recorrer a matriz A, calcule a matriz B = [T ]B,B que representa Trelativamente a base B no espaco de partida e no espaco de chegada.

c) Relacione as matrizes A e B atraves da matriz mudanca de base apropri-ada.

d) Calcule a imagem do vector v = (1,−1) pela transformacao T , usando amatriz A.

e) Calcule a imagem do vector v = (1,−1) pela transformacao T , usando amatriz B.

5-20) Considere, no espaco linear R3, a base canonica E3 =(e1, e2, e3

), e a base

ordenada B =((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)

).

a) Determine a matriz M de mudanca de base de E3 para B, isto e tal quexB = MxE3 para todo x ∈ R3.

b) Dado um vector u = x1e1 + x2e2 + x3e3, determine o vector uB =(y1, y2, y3) das coordenadas de u na base B.

53


c) Considere a transformacao linear T : R3 → R3, cuja representacao matri-cial na base canonica e

A =

2 −1 −10 1 10 0 1

.

Determine a matriz que representa T na base B.

d) Determine uma expressao analıtica de T .

5-21) Seja T : P2 →M2×2(R) uma transformacao linear tal que a matriz [T ]B2,B1 quea representa em relacao a base B1 = (1 + t2, t, t− 1) de P2 e a base canonicaB2 de M2×2(R) e

A =

1 0 −10 1 −11 0 −10 −1 1

.a) Determine o nucleo de T .

b) Determine o contradomınio de T .

5-22) Seja T : P2 → P3 uma transformacao linear tal que a matriz [T ]B2,B1 que arepresenta em relacao a base B1 = (1 + t2, t, t − 1) de P2 e a base B2 =(1− t3, t2, t+ 1, 1) de P3 e

A =

−1 0 00 1 11 0 −10 0 1

.a) Determine o nucleo de T .

b) Determine o contradomınio de T .

c) Determine C = [T ]P3,P2 .

d) Relacione a matriz A com a matriz C obtida nas alınea anterior atravesde matrizes de mudanca de base apropriadas.

e) Determine uma expressao analıtica para a transformacao T .

54


5-23) Seja U o subespaco de M2×2(R) constituıdo pelas matrizes triangulares supe-riores com traco nulo. Seja T : U → M2×2(R) a transformacao linear tal queT (A) = [A,B], com B = [0 −1

1 0 ] e [A,B] = AB −BA.

a) Obtenha uma base BU de U , e indique a dimensao de U .

b) Determine [T ]Bc,BU , sendo Bc a base canonica de M2×2. A transformacaoT e injectiva?

c) Mostre que o contradomınio V de T e constituıdo pelas matrizes simetricasde traco nulo, e obtenha uma base BV de V .

d) Considere a transformacao linear S : U → V tal que S(A) = [A,B].Determine a matriz [S]BV ,BU . A transformacao S e injectiva? E sobrejec-tiva?

Valores proprios, vectores proprios e

subespacos invariantes

5-24) Considere a transformacao linear T : R2 → R2 definida por:

[T ]E2,E2

[xy

]=

[0 11 0

] [xy

].

a) Determine os espacos proprios da transformacao T .

b) Determine os subespacos de R2 que sao invariantes para T .

5-25) Determine equacoes cartesianas das rectas de R2 (se existirem) que passampela origem e sao invariantes pela transformacao linear que na base canonica erepresentada pela seguinte matriz:

(a)

[2 30 2

](b)

[0 1−1 0

](c)

[4 −12 1

]

5-26) Determine os subespacos invariantes de T , sendo T a seguinte transformacaolinear:

a) Em R2, a reflexao em relacao ao eixo dos xx.

b) Em R2, a reflexao em relacao a recta y = x.

c) Em R3, a reflexao em relacao ao plano z = 0.

55


d) Em R3, a reflexao em relacao ao plano x = 0.

e) Em R2, a projeccao ortogonal sobre o eixo dos xx.

f) Em R2, a projeccao ortogonal sobre o eixo dos yy.

g) Em R3, a projeccao ortogonal sobre o plano z = 0.

h) Em R3, a projeccao ortogonal sobre o plano y = 0.

i) Em R2, a rotacao de π/2 em torno da origem, no sentido directo (sentidocontrario ao dos ponteiros do relogio).

j) Em R3, a rotacao de π/2 em torno do eixo dos zz, no sentido directorelativamente ao semi-eixo positivo dos zz.

5-27) Considere a transformacao linear T : R2 → R2 que consiste na rotacao de π/2em torno da origem, no sentido directo (sentido contrario ao dos ponteiros dorelogio).

a) Determine a matriz A = [T ]E2,E2 .

b) Determine, se possıvel, os espacos proprios da transformacao T .

c) Determine os valores proprios λ ∈ C da matriz A e bases para os corres-pondentes espacos proprios.

5-28) Para cada uma das seguintes transformacoes lineares T = T2◦T1 de R2 em R2,determine, sempre que seja possıvel, os valores proprios e os espacos proprios.

a) T1 e a projeccao ortogonal no eixo dos xx e T2 e a reflexao relativa aoeixo dos yy.

b) T1 e a rotacao em torno da origem de um angulo de π/2 radianos nosentido contrario ao dos ponteiros do relogio e T2 e a rotacao em tornoda origem de π/4 radianos no sentido dos ponteiros do relogio.

c) T1 e a reflexao relativamente ao eixo dos xx e T2 e a reflexao relativamenteao eixo dos yy.

5-29) Considere as transformacoes lineares

T1 : M2×2(R)→M2×2(R) T2 : M2×2(R)→M2×2(R)

definidas por

T1(A) =A+ AT

2T2(A) =

A− AT

2.

56


a) Determine as matrizes que representam T1 e T2, respectivamente, relati-vamente a base canonica de M2×2(R) no espaco de partida e de chegada.

b) Calcule T1 ([ 1 23 4 ]) e T2 ([ 1 2

3 4 ]).

c) Determine os valores proprios e os espacos proprios das transformacoeslineares T1 e T2.

57

6

Espacos vectoriais com produto interno

Notacao

Produto interno usual em Rn: 〈x,y〉 = yTx = xTyProduto interno usual em Cn: 〈x,y〉 = yTx = xTy

Num espaco linear munido de um produto interno 〈·, ·〉:

Norma de um vector u: ‖u‖ =√〈u, u〉

Distancia entre u e v: d(u, v) = ‖u− v‖Projeccao ortogonal do vector w sobre o vector v:

projv w =〈w, v〉‖v‖2

v

Matriz ortogonal: ATA = AAT = I (A matriz real)

Matriz hermitiana: AT

= AMatriz unitaria: A

TA = AA

T= I

Observacoes

Nos exercıcios seguintes, sempre que se pressuponha um produto interno naoindicado explicitamente, subentende-se que se trata do produto interno usual.

Produtos internos em espacos vectoriais

6-1) Considere os vectores u = (4, 1,−2) e v = (2,−1, 3) de R3. Calcule:

a) ‖u + v‖b) ‖u‖+ ‖v‖

58


c) ‖ − 3u‖d) 1

‖v‖v

e)∥∥∥ 1‖v‖v

∥∥∥f) ](u,v)

g) d(u,v)

6-2) Sendo v = (−2, 3, 0, 6), para que valores de α se verifica a igualdade ‖αv‖ = 5?

6-3) Para que valores de α podemos afirmar que u e v sao ortogonais?

a) u = (2, 1, 3), v = (1, 7, α)

b) u = (α, α, 1), v = (α, 5, 6)

6-4) Determine dois vectores com norma igual a um que sejam ortogonais aos tresvectores seguintes:

u = (2, 1,−4, 0) v = (−1,−1, 2, 2) w = (3, 2, 5, 4)

6-5) Verifique a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os vectores u e v:

u = (0,−2, 2, 1) v = (−1,−1, 1, 1)

6-6) Determine todos os vectores de R2 de norma unitaria que fazem um angulo deπ/3 radianos com o vector (2,

√5).

6-7) Sejam u e v vectores de Rn. Prove que:

‖u + v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2

Interprete geometricamente esta igualdade para n = 2.

6-8) Identifique os casos em que as seguintes identidades (com u = (u1, u2, u3)e v = (v1, v2, v3)) definem um produto interno em R3. Nos restantes casos,indique as propriedades que nao sao satisfeitas.

a) 〈u,v〉 = u1v1 + u3v3

59


b) 〈u,v〉 = u21v

21 + u2

2v22 + u2

3v23

c) 〈u,v〉 = 2u1v1 + u2v2 + 4u3v3

d) 〈u,v〉 = u1v1 − u2v2 + u3v3

6-9) Identifique os casos em que as seguintes identidades (com u = (u1, u2, u3, u4)e v = (v1, v2, v3, v4)) definem um produto interno em R4. Nos restantes casos,indique as propriedades que nao sao satisfeitas.

a) 〈u,v〉 = u1v1 + u2v2 + u3v3 + u4v4

b) 〈u,v〉 = u21v

21 + u2

2v22 + u2

3v23 + u2

4v24

c) 〈u,v〉 = 2u1v1 + u2v2 + 4u3v3 + u4v4

d) 〈u,v〉 = u1v1 + u3v3

6-10) Seja {u,v} um conjunto ortogonal de vectores de Rn tais que ‖u‖ = 1 e‖v‖ = 2. Calcule d(u,v), e interprete geometricamente este resultado paran = 2.

6-11) Sejam u = ( 1√2,− 1√

2) e v = ( 2√

α, 2√

α). Quais sao os valores de α para os

quais o conjunto {u,v} e ortonormal?

6-12) Calcule:

a) proj(1,2)(−1,−1).

b) proj(1,2,3)(−π,−2π,−3π).

6-13) Utilize o metodo de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal para asexpansoes lineares dos seguintes conjuntos linearmente independentes.

a) {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}b) {(1, 0,−1, 0), (−1, 2, 0, 1), (2, 0, 2, 1)}

6-14) Considere C2 munido do produto interno usual. Utilize o metodo de ortogona-lizacao de Gram–Schmidt para obter uma base ortonormal de L{u1,u2}.

a) u1 = (1,−3i) u2 = (2i, 2i)

60


b) u1 = (i, 0) u2 = (1 + 3i,−5i)

6-15) Considere a funcao 〈·, ·〉 : R2 × R2 → R definida por

〈u,v〉 = 3u1v1 + 5u2v2 ,

com u = (u1, u2) e v = (v1, v2).

a) Mostre que 〈·, ·〉 e um produto interno em R2.

b) Calcule ‖u‖ e d(u,v), para u = (−1, 3) e v = (2, 5).

c) Determine o conjunto dos vectores u tais que ‖u‖ ≤ 1.

6-16) Seja φ : R3 × R3 → R o produto interno definido por

φ(x,y) = 3x1y1 − 2x1y2 + x1y3 − 2x2y1 + 2x2y2 + x3y1 + 2x3y3 ,

com x = (x1, x2, x3) e y = (y1, y2, y3).

a) Determine a matriz de Gram G dos vectores da base canonica (e1, e2, e3)de R3, considerando R3 munido com produto interno φ.

b) Verifique que G e uma matriz simetrica e definida positiva (isto e, xTGx >0 para x 6= 0, ou equivalentemente, os valores proprios de G sao todospositivos).

c) Verifique que se tem a igualdade

φ(x,y) = yTGx.

As alıneas que se seguem dizem respeito ao produto interno φ.

d) Verifique que os vectores e1 = (1, 0, 0) e e2 = (0, 1, 0) nao sao ortogonais.

e) Determine proje1e2.

f) Determine um vector ortogonal a e1.

g) Determine o angulo entre e1 e e2.

h) Utilize o metodo de ortogonalizacao de Gram–Schmidt para obter umabase ortonormada de R3 a partir da base canonica de R3.


W = {(x, y, z) : y = 2x ∧ x = y + z}

Determine uma base e equacoes cartesianas de W⊥.

61


6-18) Seja W o subespaco de R3 definido pela equacao x− 2y − 3z = 0.

a) Determine equacoes cartesianas de W⊥.

b) Calcule as distancias de (1, 0,−1) a W e a W⊥.

6-19) Considere o hiperplano de R4:

W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x− y + 2z − 2w = 0}

a) Determine uma base para o subespaco linear W⊥, e obtenha equacoescartesianas de W⊥.

b) Exprima o vector w = (1, 2, 1,−1) na forma

w = w1 + w2 ,

com w1 ∈ W e w2 ∈ W⊥.

c) Calcule as distancias d((1, 2, 1,−1),W

)e d((1, 2, 1,−1),W⊥).

d) Prove a igualdade:

R4 = W ⊕W⊥

6-20) Considere a matriz A =

1 2 −1 23 5 0 41 1 2 0

.

a) Sem efectuar quaisquer calculos, justifique se sao verdadeiras ou falsas asafirmacoes:

i) dim L (A) + dim N (AT) = 4.

ii) dim C (A) + dim N (AT) = 4.

b) Determine uma base para o complemento ortogonal do nucleo de A.

c) Determine uma base para o complemento ortogonal do nucleo de AT.

6-21) Seja W o subespaco de R3 definido pelas equacoes parametricas:x = 2t

y = −5t

z = 4t

(t ∈ R)

Determine a projeccao ortogonal projW⊥(1, 0,−1) do vector (1, 0,−1) sobre osubespaco W⊥.

62


6-22) Determine equacoes cartesianas da recta que passa pelo ponto (3,−1, 2) e eparalela ao vector (2, 1, 3).

6-23) Determine uma equacao cartesiana do plano que contem o ponto (1,−2, 2) ea recta definida por:

x = t

y = t+ 1

z = −3 + 2t

(t ∈ R)

6-24) Determine a distancia do ponto (3,−1, 2, 1) ao hiperplano {(x, y, z, w) : x +2y − 2z − w = 4}.

6-25) Em R3, considere os pontos:

P0 = (1, 0,−1) P1 = (0, 1, 0) P2 = (1, 1, 1)

a) Determine equacoes cartesianas e parametricas da recta que passa por P0

e tem a direccao do vector u = (0,−1,−3).

b) Determine uma equacao cartesiana do plano que passa por P0 e e perpen-dicular a recta que passa por P0 e tem a direccao do vector n = (1, 0, 1).

c) Determine uma equacao cartesiana e equacoes parametricas do plano de-finido por P0, P1 e P2. Determine ainda um vector normal a este plano.

d) Determine a distancia de (1, 1, 0) ao plano da alınea anterior.

6-26) Determine o complemento ortogonal do subespaco linear de P2 gerado pelopolinomio p(t) = (t + 1)2, quando se considera definido em P2 o produtointerno

〈a0 + a1t+ · · ·+ antn, b0 + b1t+ · · ·+ bnt

n〉 = a0b0 + · · ·+ anbn.

6-27) Considere a operacao 〈·, ·〉 : P2 × P2 → R definida por

〈p, q〉 = p(0)q(0) + p(1/2)q(1/2) + p(1)q(1) ,

para p, q ∈ P2.

a) Mostre que a funcao 〈p, q〉 e um produto interno em P2.

63


As alıneas que se seguem dizem respeito ao produto interno 〈p, q〉.

b) Calcule ‖p‖, com p(t) = a0 + a1t+ a2t2.

c) Calcule o angulo entre os polinomios p(t) = 1− t2 e q(t) = 1 + t+ t2.

d) Sendo W = L{1− t2},i) determine uma base de W⊥.

ii) determine a distancia de q(t) = 1 + t+ t2 a W e a W⊥.

e) Determine uma matriz simetrica A tal que

〈p, q〉 =[b0 b1 b2

]A

a0

a1

a2

,

para p(t) = a0 + a1t+ a2t2 e q(t) = b0 + b1t+ b2t

2.

6-28) Seja U o subespaco de M2×2 constituıdo pelas matrizes A tais que AT = −A(matrizes anti-simetricas). Considere a operacao de M2×2×M2×2 em R definidapor

〈A,B〉 = tr(BTA) , (1)

onde tr designa o traco de uma matriz.

a) Mostre que 〈·, ·〉 definido por (1) e um produto interno.

b) Determine a dimensao de U e de U⊥.

c) Determine bases ortonormadas de U e de U⊥.

d) Determine as projeccoes ortogonais de [ 1 1−1 2 ] sobre U e sobre U⊥.

e) Qual a matriz anti-simetrica mais proxima de [ 1 1−1 2 ]?

f) Determine a distancia de [ 1 1−1 2 ] a U .

6-29) Considere as transformacoes lineares

T1 : M2×2(R)→M2×2(R) T2 : M2×2(R)→M2×2(R)

definidas por

T1(A) =A+ AT

2T2(A) =

A− AT

2.

Mostre que a imagem Im(T1) da transformacao linear T1 e o complementoortogonal da imagem Im(T2) da transformacao linear T2, quando M2×2(R)esta munido com o produto interno

〈A,B〉 = tr(BTA) .

64


Diagonalizacao ortogonal e diagonalizacao

unitaria

6-30) Seja A uma matriz real m×n. Prove que as colunas de A formam um conjuntoortogonal se e so se ATA e uma matriz diagonal. Prove ainda que esse conjuntoe ortonormal se e so se ATA e a matriz identidade.

6-31) a) Uma matriz real A de ordem n diz-se ortogonal se ATA = I. Prove queA e ortogonal se e so se as colunas de A formam uma base ortonormadade Rn.

b) Identifique todas as matrizes ortogonais de ordem 2. (Sugestao: Cadacoluna de A e um vector de R2 situado na circunferencia de raio unitarioe centro na origem, que e determinado por um angulo.)

6-32) Mostre que se A e uma matriz real diagonalizavel e admite uma matriz diago-nalizante ortogonal, entao A e simetrica.

6-33) Mostre que se A e uma matriz simetrica real, entao os valores proprios de Asao reais.

6-34) Diagonalize ortogonalmente a matriz

A =

3 1 11 3 11 1 3

.

Note que a soma das entradas de cada linha de A e constante.

6-35) Seja A uma matriz unitaria de ordem n, e seja T : Cn → Cn a transformacaolinear que e representada pela matriz A na base canonica. Mostre que:

a) 〈Tx, Ty〉 = 〈x,y〉 (x,y ∈ Cn)

b) ‖Tx‖ = ‖x‖ (x ∈ Cn)

c) Se λ e valor proprio de A, entao |λ| = 1.

65


6-36) Diga se as matrizes seguintes sao simetricas, anti-simetricas, hermitianas, anti-hermitianas ou unitarias.

A =

1 2 5−2 0 −3−5 3 1

B =

1 i 5−1 0 35 3 1

C =

0 −1 01 0 00 0 1

D =

[i i−i i

]

6-37) Sendo A uma matriz hermitiana, mostre que os seus valores proprios sao reais.Mostre ainda que a matriz A e uma matriz definida positiva se e so se os seusvalores proprios sao positivos.

6-38) Determine α, β e γ de modo que a matriz A seja hermitiana.

A =

−1 α −i3− 5i 0 γβ 2 + 4i 2

6-39) Determine quais das seguintes matrizes sao unitarias:

a)

[i 00 i

]b)

[i√2

1√2

− i√2

1√2

]

c)

[1 + i 1 + i1− i −1 + i

]

d)

−i√2

i√6

i√3

0 − i√6

i√3

i√2

i√6

i√3

6-40) Diagonalize unitariamente as seguintes matrizes, se possıvel.

a) A =

[4 1− i

1 + i 5

]

b) A =

5 0 00 −1 −1 + i0 −1− i 0

66

Solucoes

1-1) a) E linear nas variaveis x1, x2 e x3.

b) Nao e linear nas variaveis x, y e z.

c) E linear nas variaveis u, v, w e z.

d) Nao e linear nas variaveis x, y e z.

1-2) O conjunto das solucoes do sistema e:

a) {(0, 0, 0)}b) {(−1

3x3,−2

3x3 − x4, x3, x4) : x3, x4 ∈ R}

A solucao poderia igualmente ser escrita como, por exemplo,{(−1

3r,−2

3r − s, r, s) : r, s ∈ R}. (Relembre as Observacoes no inıcio

desta ficha.)

c) {(w, x, y, z) : x = −w ∧ y = w ∧ z = 0 (w ∈ R)}

1-3)

(a)

1 1 2 8−1 −2 3 13 −7 4 10

Conjunto das solucoes: {(3, 1, 2)}

(b)

2 2 2 0−2 5 2 18 1 4 −1

Conjunto das solucoes: {(−1

7− 3

7x3,

17− 4

7x3, x3) : x3 ∈ R}

67

2 2 2 0−2 5 2 18 1 4 −1

L2+L1//L3−4L1

//

2 2 2 00 7 4 10 −7 −4 −1

L3+L2//

2 2 2 00 7 4 10 0 0 0

(*)

A matriz (*) corresponde um sistema de equacoes equivalente ao sistemainicial. Como se trata de uma matriz em escada de linhas, podemos resolveresse sistema de modo sistematico: a equacao de baixo (sem contar com aequacao trivial 0 = 0) so tem uma variavel dependente (x2), que podemoscalcular em funcao das variaveis independentes (x3, neste caso) e substituirna equacao imediatamente acima.{

2x1 + 2x2 + 2x3 = 0

7x2 + 4x3 = 1→

{2x1 + 2

(17− 4

7x3

)+ 2x3 = 0

x2 = 17− 4

7x3

→

{x1 = −1

7− 3

7x3

x2 = 17− 4

7x3

Alternativamente, podemos reduzir a matriz (*) a forma canonica de escadade linhas (metodo de Gauss–Jordan). O sistema que se obtem deste modoe de resolucao imediata:2 2 2 0

0 7 4 10 0 0 0

12L1 //

17L2

//

1 1 1 00 1 4/7 1/70 0 0 0

L1−L2//

1 0 3/7 −1/70 1 4/7 1/70 0 0 0

{x1 + 3

7x3 = −1

7

x2 + 47x3 = 1

7

→

{x1 = −1

7− 3

7x3

x2 = 17− 4

7x3

68

(c)

0 −2 3 13 6 −3 −26 6 3 5

Conjunto das solucoes: ∅ (nao tem solucoes)

(d)

0 0 1 2 −1 40 0 0 1 −1 30 0 1 3 −2 72 4 1 7 0 7

Conjunto das solucoes: {(−6− 2v − 3y, v,−2− y, 3 + y, y) : v, y ∈ R}

1-4) a) Conjunto das solucoes: {(−45,−14, 6)}b) Conjunto das solucoes: {(5− 4w, 2− 8w, 2− w,w) : w ∈ R}

1-5) Os sistemas das alıneas a), b) e d).

1-6) a)

x = 1

y = 4

z = 6

b)

{y = 4

z = 6

c)

{4x+ y = 0

x+ z = 0

d) −x− y + z = 0

1-7) a) Sim (e matriz em escada); Sim (e matriz em forma canonica de escada);caracterıstica 3.

b) Sim; Sim; 2.

c) Sim; Sim; 2.

d) Sim; Sim; 2.

e) Nao; Nao; 2.

69

f) Sim; Nao; 2.

g) Nao; Nao; 2.

h) Sim; Sim; 0.

i) Nao; Nao; 1.

j) Nao; Nao; 3.

k) Nao; Nao; 2.

l) Sim; Nao; 2.

1-8) a) • α = 3→ carA = car[A|b] = 1

• α = −3→ carA = 1 car[A|b] = 2

• α 6= 3 ∧ α 6= −3→ carA = car[A|b] = 2

b) • α = 3→ possıvel e indeterminado (G.I. = 2)Conjunto das solucoes: {(y − z, y, z) : y, z ∈ R}

• α = −3→ impossıvel

• α 6= 3 ∧ α 6= −3→ possıvel e indeterminado (G.I. = 1)Conjunto das solucoes: {(y − 1

α+3, y, 1

α+3) : y ∈ R}

1-9) a)

α 6= 0β 6= 2 possıvel e determinado

β = 2 possıvel e indeterminado (G.I. = 1)

α = 0

β = 0 impossıvel

β 6= 0β 6= 2 impossıvel

β = 2 possıvel e indeterminado (G.I. = 2)

α 0 β 2α α 4 40 α 2 β

L2−L1//

α 0 β 20 α 4− β 20 α 2 β

L3−L2//

α 0 β 20 α 4− β 20 0 β − 2 β − 2

Esta matriz pode ser ou nao uma matriz em escada, dependendo dos valoresde α e β. A finalidade da eliminacao de Gauss foi obter uma matriz paraa qual seja facil determinar a relacao entre os valores dos parametros e asoperacoes a efetuar para obter uma matriz em escada.

70

• Se α 6= 0 teremos pivos na primeira e segunda linha, e a matriz estaem escada, independentemente do valor de β. A natureza do sistemaira depender de ser β = 2 ou β 6= 2.

• Para α = 0, a matriz nao esta em escada, e e necessario prosseguircom a eliminacao de Gauss. A entrada-(13) tem o valor β; se β = 0,deverıamos tentar trocar de linha de modo a obter um pivo nessaposicao; no entanto, e imediato que o sistema e impossıvel, ja que aprimeira linha corresponde a equacao 0 = 2; assim, neste caso naose justifica o trabalho de reduzir a matriz a uma matriz em escada.Quanto ao caso β 6= 0:0 0 β 2

0 0 4− β 20 0 β − 2 β − 2

1βL1

//

0 0 1 2/β0 0 4− β 20 0 β − 2 β − 2

L2−(4−β)L1//L3−(β−2)L1

//

0 0 1 2β

0 0 0 4β−8β

0 0 0 (β−2)2

β

b)

c 6= 0 possıvel e determinado

c = 0d = 0 possıvel e indeterminado (G.I. = 1)

d 6= 0 impossıvel

c)a = 2 ∨ a = −3

2possıvel e indeterminado (G.I. = 1)

a 6= 2 ∧ a 6= −32

impossıvel

1-10) A)

1-11) Conjunto das solucoes: {(0, (i− 1)z, z) : z ∈ C}

71

1 0 0 00 1− i −2i 00 1 1− i 0

L2↔L3//

1 0 0 00 1 1− i 00 1− i −2i 0

L3−(1−i)L2//

1 0 0 00 1 1− i 00 0 0

Uma vez que se trata de uma matriz na forma canonica de escada de linhas,a resolucao (nas incognitas (x, y, z)) e imediata:{

x = 0

y = (i− 1)z

1-12) B)

1-13) C)

1-14)

a)

2 0 2 01 3 1 34 2 4 23 5 3 5

b)

1 2 3 42 1 2 33 2 1 24 3 2 1

c)

a0 a1 a2 · · · ana−1 a0 a1 · · · an−1

a−2 a−1 a0 · · · an−2...

...a−n+1 a−n+2 a−n+3 · · · a1

a−n a−n+1 a−n+2 · · · a0

1-15) a) Nao definida.

b) 4× 2

c) Nao definida.

d) Nao definida.

e) 2× 2

72

f) 2× 2

g) Nao definida.

h) 2× 2

1-16) a)[5]

b)

[5−5

]c)

[5 −1−5 4

]d)

[5 −1

]e)[−2 −2

]f)

[−2 −23 −3

]

g)

2 4 55 10 118 16 17

h)

5 7 96 6 612 15 18

1-17) a)

[111−2

]b) [−2 −1 0]

c) −18

d) 2

1-18)[

573

]= 2

[231

]−[

101

]+[

212

]1-19)

B + C =

4 2 π√3 −3 2

0 1 4

2A =

[2 8 2

√2

−4 2 6

]

AB =

[1 + 4

√3 −2 +

√2 π + 8−

√2

−2 +√

3 −2 −2π − 1

]CB =

3 6 3π

−2√

3 2 −40 5 −5

As restantes operacoes nao sao possıveis.

73

1-20) a) A− A = [0 0 00 0 0]

b) trC = 18

c) 2 tr(−B) = 14

d) Impossıvel.

e) BT − CT =[−11 2 i

3 −3 20 1 −11

]f) (B − C)T =

[−11 2 i3 −3 20 1 −11

]g) CCT =

[81 0 00 16 00 0 25

]h) tr(CTC) = 122

1-21) a) An = [2n 00 2n]

b) Temos duas expressoes, consoante n e par ou ımpar:

• n par (n = 2k, com k ∈ N0): An = A2k = (−1)kI

• n ımpar (n = 2k + 1, com k ∈ N0): An = A2k+1 = (−1)kA

1-23) a)[

0 1 3−1 0 2−3 −2 0

]b) A =

[12

√3

2√

32− 1

2

]ou A =

[12

−√

32

−√

32− 1

2

]

1-25) A =

[1 2 3 42 4 6 83 6 3 124 8 12 16

]

1-27) a)

[−7 42 −1

]b) − 1

39

[5 −6−4 −3

]c) A matriz nao e invertıvel.

d)

32−11

10−6

5

−1 1 1−1

2710

25

74

3 4 −1 1 0 01 0 3 0 1 02 5 −4 0 0 1

L2↔L1//

1 0 3 0 1 03 4 −1 1 0 02 5 −4 0 0 1

L2−3L1//L3−2L1

//

1 0 3 0 1 00 4 −10 1 −3 00 5 −10 0 −2 1

14L2 //

1 0 3 0 1 00 1 −5

214−3

40

0 5 −10 0 −2 1

L3−5L2//

1 0 3 0 1 00 1 −5

214−3

40

0 0 52−5

474

1

25L3 //

1 0 3 0 1 00 1 −5

214−3

40

0 0 1 −12

710

25

L2+ 5

2L3//

L1−3L3

//

1 0 0 32−11

10−6

5

0 1 0 −1 1 10 0 1 −1

2710

25

e) A matriz nao e invertıvel.

f)

12−1

212

−12

12

12

12

12−1

2

g)

72

0 −3

−1 1 0

0 −1 1

h)

1 0 0 0

−13

13

0 0

0 −15

15

0

0 0 −17

17

i) A matriz nao e invertıvel.

1-28) a) 113

[5 1−3 2

]b) −1

7

[−2 −7−1 −3

]75

c) −15

[2 −51 −3

]d) 1

13

[−9 12 −6

]

1-29) C)

1-31) a)

α−1

1 0 0 00 α−1

2 0 00 0 α−1

3 00 0 0 α−1

4

(existe se e so se nenhum dos valores de α1, α2, α3 e α4 for nulo)

b)

0 0 0 α−1

4

0 0 α−13 0

0 α−12 0 0

α−11 0 0 0

(existe se e so se nenhum dos valores de α1, α2, α3 e α4 for nulo)

c)

α−1 0 0 0−α−2 α−1 0 0α−3 −α−2 α−1 0−α−4 α−3 −α−2 α−1

(existe se e so se α 6= 0)

1-32) A3 = [1 06 1] A−3 = [ 1 0

−6 1] A2− 2A+ I = (A− I)2 = [0 00 0] X =

[3/2 1/2−3/2 −1/2

]

76

1-34)

(a) A =

1 1 21 −2 33 −7 4

x =

xyz

b =

8110

(b) A =

2 2 2−2 5 28 1 4

x =

x1

x2

x3

b =

01−1

(c) A =

0 −2 33 6 −36 6 3

x =

uvw

b =

1−25

(d) A =

0 0 1 2 −10 0 0 1 −10 0 1 3 −22 4 1 7 0

x =

uvwxy

b =

4377

1-35) a) −A2

b) −Ab

c) = 3 =

1-36) a) Falsa.

b) Falsa.

c) Falsa.

d) Verdadeira.

e) Falsa.

f) Verdadeira.

1-37) a) Sim (e matriz elementar).

b) Sim.

c) Sim.

d) Nao.

e) Sim.

77

f) Nao.

g) Sim.

h) Nao.

1-38) a)

1 2 3−8 −10 −127 8 9

b)

1 2 37 8 94 5 6

c)

1 2 34 5 623 28 33

d)

1 2 34 5 67 8 9

1-39) a) Operacao: L2 + 3L1 Matriz elementar: E21(3) = [1 03 1]

b) Operacao: 15L3 Matriz elementar: D3(

15) =

[1 0 00 1 00 0 1

5

]c) Operacao: L1 ↔ L4 Matriz elementar: P14 =

[0 0 0 10 1 0 00 0 1 01 0 0 0

]d) Operacao: L2 + 1

5L3 Matriz elementar: E23(

15) =

[1 0 0 00 1 1

50

0 0 1 00 0 0 1

]

1-40) a) E1 = E21(5) E2 = P23 E3 = D2(−12)

b) A−1 = D2(−12)P23E21(5)

c) A =[

1 0 0−5 1 00 0 1

] [1 0 00 0 10 1 0

] [1 0 00 −2 00 0 1

]

1-41) E1 = P12 E2 = E31(−2) E3 = E32(1) R =[

1 3 3 80 1 7 80 0 0 0

]

1-43) B)

78

2-1) |A| = 760

|A| =

∣∣∣∣∣∣5 −10 156 7 −1−3 1 4

∣∣∣∣∣∣ = 5

∣∣∣∣∣∣1 −2 36 7 −1−3 1 4

∣∣∣∣∣∣ (∗)

= 5

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 19 −190 −5 13

∣∣∣∣∣∣ = 5× 19

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 −10 −5 13

∣∣∣∣∣∣ = 5× 19

∣∣∣∣∣∣1 −2 30 1 −10 0 8

∣∣∣∣∣∣= 5× 19× 8 = 760

Para obter (∗), usamos a igualdade∣∣∣∣∣∣5 −10 156 7 −1−3 1 4

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣5(1) 5(−2) 5(3)

6 7 −1−3 1 4

∣∣∣∣∣∣e a propriedade 3 do primeiro ponto das Observacoes (veja o inıcio destaficha).

2-2) a) E invertıvel para α 6= 0 ∧ α 6= 3.

b) • α 6= 0 ∧ α 6= 3

Como A e invertıvel, o sistema e possıvel e determinado, e

x = A−1b. A solucao geral e, neste caso, {(−3(α2−β)α3(α−3)

, α2−βα2(α−3)

, βα

)}.• α = 0

– β 6= 0

O sistema e impossıvel

– β = 0

O sistema e possıvel e indeterminado com a solucao geral{(x, 0, 0) : x ∈ R} (G.I. = 1).

• α = 3

– β 6= 9

O sistema e impossıvel.

– β = 9

O sistema e possıvel e indeterminado com a solucao geral{(−y, y, 3) : x ∈ R} (G.I. = 1)

79

2-3) a) |3A| = −189

b) |A−1| = −17

c) |2A−1| = −87

d) |(2A)−1| = − 156

e) 7

2-6) a) A = [ 0 10 0 ] B = [ 1 0

0 0 ]

b) A = [ 2 00 2 ] B = [ 1 0

0 1 ]

2-7) A)

2-8) a) Impossıvel.

b) A = [ 1 00 0 ] B = [ 0 0

0 1 ]

c) A = [ 0 11 0 ]

ATENCAO

E um erro muito frequente concluir que

“uma matriz com diagonal nula tem determinante nulo” ← FALSO

Na alınea c) da-se um exemplo de uma matriz A com determinante igual a−1 e cuja diagonal e nula.

2-9) D)

I e falsa: Exemplo: A = [−1 00 3]

II e verdadeira:

|BA−2| = |B||A−2| = |B||A|−2 = (−6)(−3)−2

III e falsa: Exemplo: A = [−1 00 3]

IV e verdadeira:

|(BA)|−2 = |BA|−2 = (|B||A|)−2 = ((−6)(−3))−2 =1

182

80

2-10) C)

2-11) ∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1

a2 + b2 c2 + d2

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1

a2 c2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1

b2 d2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣a1 c1a2 c2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣b1 d1

a2 c2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣a1 c1b2 d2

∣∣∣∣+

∣∣∣∣b1 d1

b2 d2

∣∣∣∣2-12)∣∣∣∣∣∣

a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2

a3 + b3 c3 + d3 e3 + f3

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2

a3 c3 e3

∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

a2 + b2 c2 + d2 e2 + f2

b3 d3 f3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

a2 c2 e2a3 c3 e3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

b2 d2 f2

a3 c3 e3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

a2 c2 e2b3 d3 f3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣a1 + b1 c1 + d1 e1 + f1

b2 d2 f2

b3 d3 f3

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1a2 c2 e2a3 c3 e3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1

a2 c2 e2a3 c3 e3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1b2 d2 f2

a3 c3 e3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1

b2 d2 f2

a3 c3 e3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1a2 c2 e2b3 d3 f3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1

a2 c2 e2b3 d3 f3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣a1 c1 e1b2 d2 f2

b3 d3 f3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣b1 d1 f1

b2 d2 f2

b3 d3 f3

∣∣∣∣∣∣2-13) a) α = −1

b) α = 5±√

172

2-14) a) A matriz e invertıvel para a 6= 0 ∧ a 6= 3.

b) [A−1]23 = 0

c) |A+B| = (a+ 2)2(a2 − 1)

81

2-15) a) cof A =

−8 4 21 −2 −1−3 0 3

cof A =

(−1)1+1

∣∣∣∣3 21 −2

∣∣∣∣ (−1)1+2

∣∣∣∣2 20 −2

∣∣∣∣ (−1)1+3

∣∣∣∣2 30 1

∣∣∣∣(−1)2+1

∣∣∣∣0 11 −2

∣∣∣∣ (−1)2+2

∣∣∣∣1 10 −2

∣∣∣∣ (−1)2+3

∣∣∣∣1 00 1

∣∣∣∣(−1)3+1

∣∣∣∣0 13 2

∣∣∣∣ (−1)3+2

∣∣∣∣1 12 2

∣∣∣∣ (−1)3+3

∣∣∣∣1 02 3

∣∣∣∣

b) A−1 =

43

−16

12

−23

13

0

−13

16

−12

A−1 =1

|A|(cof A)T =

1

(−6 + 2 + 0)− (0 + 2 + 0)

−8 1 −34 −2 02 −1 3

c) −48

det((trAT)(A−1A2)

)= (trAT)3 det(A−1A2)

= (1 + 3− 2)3 detA

= 8(−6)

2-16) a)

cof A =

[4 −3−2 1

]b)

A−1 =1

|A|(cof A)T =

1

−2

[4 −2−3 1

]

82

2-17) detA = −17

2-18) a) x1 =

˛˛ 4 −2−2 −1

˛˛˛

˛1 −22 −1

˛˛

= −8

3x2 =

˛˛1 42 −2

˛˛˛

˛1 −22 −1

˛˛

= −10

3

2-19) B)

2-20) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n (ımpar):

|A| = | − AT| = (−1)n|A| = −|A|.

Consequentemente, |A| = 0. Exemplo:[

0 1 2−1 0 −3−2 3 0

].

2-21) a) detAα = 0 para α ∈ {0,−1,−2}O sistema e possıvel e determinado para α ∈ R \ {0,−1,−2}.

b) A entrada (12) da matriz adjAα = [bij] e

b12 = C21 = (−1)2+1 det

[−2 00 α + 1

]= 2α + 2 .

c) • β 6= 2

O sistema e impossıvel

• β = 2

O sistema e possıvel e indeterminado com a solucao geral{(x, y, z) ∈ R3 : x = 2, y = −1} (G.I. = 1)

3-1) a), b) e d).

3-2) a) (−9,−7,−15) = −2(2, 1, 4) + (1,−1, 3)− 2(3, 2, 5)

b) (6, 11, 6) = 4(2, 1, 4)− 5(1,−1, 3) + 1(3, 2, 5)

c) (0, 0, 0) = 0(2, 1, 4) + 0(1,−1, 3) + 0(3, 2, 5)

d) (7, 8, 9) = 0(2, 1, 4)− 2(1,−1, 3) + 3(3, 2, 5)

83

3-3) a), b) e d).

3-4) a) Nao.

b) Nao.

c) Nao.

3-5) a) Nao.

b) Sim.

c) Sim.

3-6) a) Sim (e subespaco de R3).

b) Nao.

c) Sim.

d) Nao.

e) Nao.

3-7) a) Nao (nao e subespaco de R4).

b) Sim.

c) Sim.

d) Nao.

e) Nao.

3-8) a) Nao.

b) Nao.

c) Nao.

d) Sim.

e) Nao.

f) Sim.

g) Nao.

h) Nao.

i) Sim.

84

j) Nao.

3-10) Nao e espaco vectorial.

3-11) a) E linearmente independente. Base: {(1, 1, 0), (0, 1, 1)}b) E linearmente dependente. Base: {(1, 2, 6), (1, 1, 1)}c) E linearmente dependente. Base: {(2, 2, 2), (0, 1, 1)}d) E linearmente dependente. Base: {(1, 2, 4)}e) E linearmente dependente. Base: {(2,−1, 3), (4, 1, 2)}f) E linearmente dependente. Base: {(3, 1, 4), (2,−3, 5)}g) E linearmente dependente. Base: {(1, 2, 6), (3, 4, 1), (4, 3, 1)}

3-12) a) B: ((23, 1, 0), (−5

3, 0, 1))

b) (v)B = (4, 1)

3-13) a) Base:{

(1, 1, 0), (0, 0, 1)}

Dimensao: 2

b) Base:{

(−2, 1,−4)}

Dimensao: 1

c) Base:{

(1, 1, 0), (−1, 0, 1)}

Dimensao: 2

d) Base:{

(1, 3, 2)}

Dimensao: 1

3-14) a) Base: B =((1, 0, 0, 1)

)Dimensao: 1

b) [v]B = [1]

3-15) b) Base: {u,w} Dimensao: 2

3-16) a) Base:((2, 3, 0, 0), (−5, 0, 3, 0), (1, 0, 0, 3)

)Dimensao: 3

b) Base:((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 4), (0, 0, 1, 0)

)Dimensao: 3

c) Base:((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)

)Dimensao: 3

d) Base:((1,−1, 2, 0), (1, 1, 0, 2)

)Dimensao: 2

e) Base:((1, 1, 1, 1)

)Dimensao: 1

85

3-17) a) (1, 0, 0)

b) (0, 1, 0)

3-18) (0, 0, 1, 0) e (0, 0, 0, 1).

3-20) a) Base: {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}Equacao: −x+ y = 0

As equacoes cartesianas podem ser obtidas da forma seguinte. O con-junto {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} e linearmente independente e, portanto, e umabase da sua expansao linear S. Se designarmos por (x, y, z) um ele-mento arbitrario de S, a matriz

A =

1 0 x1 0 y0 1 z

tem caracterıstica menor que 3 se e so se o conjunto

{(1, 1, 0), (0, 0, 1), (x, y, z)}

for linearmente dependente. Conclui-se assim que carA = 2. Aten-dendo a este facto, reduzamos a matriz A a uma matriz em escada delinhas usando o metodo de eliminacao de Gauss:1 0 x

1 0 y0 1 z

L2−L1

//

1 0 x0 0 −x+ y0 1 z

L2↔L3

//

1 0 x0 1 z0 0 −x+ y

Obtemos deste modo a equacao −x + y = 0 para o plano S. Nesteexemplo muito simples, esta equacao poderia ser obtida simplesmente“olhando” para o conjunto {(1, 1, 0), (0, 0, 1)}. No entanto, pretende-secom esta resolucao ilustrar um metodo geral.

b) Base: {(1, 2, 6), (1, 1, 1)}Equacao: z + 4x− 5y = 0

3-21) a) (2, 1)B1 = (2, 1)

86

b) (2, 1)B2 = (1, 1/2)

c) (2, 1)B3 = (3,−1)

3-22) a) (2,−1, 3)B1 = (2,−1, 3)

b) (2,−1, 3)B2 = (3,−2, 1)

3-23) a) (1, 0, 2,−1)B1 = (1, 0, 2,−1)

b) (1, 0, 2,−1)B2 = (1,−2, 3,−1)

3-24) a) x = (7, 2)

b) x = (2,−2, 1)

3-25) a) Falsa.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

d) Falsa.

3-26) a) Base de N (A): {(1, 1, 0, 2), (0, 0, 1, 0)} dim N (A) = 2

Base de L (A): {(1,−3, 0, 1), (1, 1, 0,−1)} dim L (A) = 2

Base de C (A): {(1, 1, 0), (−3, 1, 0)} dim C (A) = 2

b) Base de N (B): ∅ dim N (B) = 0

Base de L (B): {(4, 2), (0, 1)} dim L (B) = 2

Base de C (B): {(4, 0, 2), (2, 1, 1)} dim C (B) = 2

3-29) a) Base:{

(1, 1, 2), (0, 1,−1)}

Dimensao: 2

b) Base:{

(−1, 1, 1, 2), (0, 2, 1, 3)}

Dimensao: 2

87

a) Consideremos a matriz

A =

1 1 21 2 12 3 3

,cujas linhas sao constituidas pelos vectores dados. Recorrendo ao re-sultado expresso no exercıcio 3-27), sabemos que o espaco das linhasde A e o espaco das linhas de qualquer matriz obtida a partir de A acusta de operacoes elementares coincidem.

Reduzindo A a uma matriz em escada de linhas usando o metodo deeliminacao de Gauss obtemos:1 1 2

1 2 12 3 3

L2−L1

//

1 1 20 1 −12 3 3

L3−2L1

//

1 1 20 1 −10 1 −1

L3+L2

//

1 1 20 1 −10 0 0

As consideracoes anteriores permitem concluir que o espaco das linhas

da matriz[

1 1 20 1 −10 0 0

]e o espaco L (A). Atendendo a que, por outro lado,

as linhas nao nulas de uma matriz em escada de linhas sao linear-mente independentes (cf. o exercıcio 3-28)), deduz-se que o conjunto{(1, 1, 2), (0, 1,−1)} e uma base de L (A).

b) A resolucao desta alınea e semelhante.

3-30) a) Falsa.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

d) Verdadeira.

e) Verdadeira.

f) Verdadeira.

3-31) a) 3

b) 3

c) (1, 3, 0, 0, 0)

88

d) {(−3, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 2,−4, 1])}

3-32) a) dim L (A) = 3

dim C (A) = 3

dim N (A) = 0

dim N (AT) = 0

b) dim L (A) = 2

dim C (A) = 2

dim N (A) = 1

dim N (AT) = 1

c) dim L (A) = 1

dim C (A) = 1

dim N (A) = 2

dim N (AT) = 2

d) dim L (A) = 2

dim C (A) = 2

dim N (A) = 7

dim N (AT) = 3

e) dim L (A) = 2

dim C (A) = 2

dim N (A) = 3

dim N (AT) = 7

f) dim L (A) = 0

dim C (A) = 0

dim N (A) = 4

dim N (AT) = 4

g) dim L (A) = 2

dim C (A) = 2

dim N (A) = 0

dim N (AT) = 4

3-33) a) Sim; 0

b) Nao.

c) Sim; 2

89

d) Sim; 7

e) Nao.

f) Sim; 4

g) Sim; 0

3-34) Base de N (A) : {(−i, 1, 0)} dim N (A) = 1

Base de L (A) : {(1, i, 0), (−i, 1, 2i)} dim L (A) = 2

Base de C (A) : {(1,−i), (0, 2i)} dim C (A) = 2

3-35) a) [−210 ] = [14]− [ 3

−6]

b) b /∈ C (A)

3-36) C)

3-37) a) Dimensao: 1 Base: {(1, 0, 1)}b) Dimensao: 2 Base: {(0,−1, 0, 1), (1, 1,−4, 0)}

3-38) a) x = r

−3110

+ s

4−101

com r, s ∈ R

b) x = r

−3110

+ s

4−101

+

−1243

com r, s ∈ R

3-39) a) (2,−4, 3,−4)

b)

[1111

]c)

[0000

]d)

[−2−130

]90

e) Possıvel e indeterminado, com grau de indeterminacao 1.

3-40) D)

3-41) a) A matriz nula.

b) A matriz nula.

c) Impossıvel.

d) Impossıvel.

e) Impossıvel.

f)

[1 0 00 1 00 0 10 0 00 0 0

]g) Impossıvel.

3-42)

[5 90 5

]= 3

[2 10 4

]− 4

[1 −10 3

]+

[3 20 5

]

3-43) p = −2p1 + p2 − 2p3

3-44) a) Sim.

b) Sim.

c) Sim.

d) Nao.

3-45) a) Sao linearmente independentes.

b) Sao linearmente dependentes. Qualquer dos possıveis subconjuntoscom dois elementos e linearmente independente.

3-46) a) (p)P3 = (1, 0,−1, 0)

b) Base: (1− 2t, 1 + t2, 1 + 2t− 3t2)

c) (p)P3 = (3, 0,−1, 0)

(p)B = (45, 7

5, 4

5) (sendo B a base de b))

91

d) dimW = 3

3-47) a) v = 4v1 − 3v2 + v3

b) v = 2v2 − v3

3-48) a) (−1, 1,−1, 3)

b) (1/6, 3,−1/4, 1/2)

3-50) a) Base de U + V : {(1, 0, 2, 0), (1, 0, 0, 0)} (dimensao 2)

Base de U ∩ V : ∅ (dimensao 0)

b) Base de U + V : {(1, 0,−1, 0), (0, 1, 1, 0), (1, 1, 2, 0), (−2, 0, 0, 1)} (di-mensao 4)

Base de U ∩ V : ∅ (dimensao 0)

c) Base de U + V : {(0, 0, 1, 0), (−2, 0, 0,−2), (0, 1, 2, 0)} (dimensao 3)

Base de U ∩ V : (−2, 0, 0,−2) (dimensao 1)

3-51) R4 = U ⊕W nos casos a) e b).

3-52) a) E subespaco linear. Base: {−1 + t, t2}. Dimensao: 2

b) Nao e subespaco linear.

c) Nao e subespaco linear.

d) E subespaco linear. Base: {cos 2t+ sen t, sen t}. Dimensao: 2

Sejam a, b e c escalares tais que

a(cos2 t− sen2 t) + b(cos 2t+ sen t) + c(sen t) = 0. (2)

O 1o membro representa uma funcao de t (e nao o valor da funcaonum ponto t particular). Para que a funcao seja nula, e necessario (esuficiente) que a igualdade se verifique para todos os valores de t. Aigualdade (2) e obviamente valida quando a = b = c = 0. Se estefor o unico caso em que e valida, as funcoes dadas sao linearmenteindependentes, de contrario serao linearmente dependentes.

92

Recorrendo a identidade trigonometrica

cos 2x = cos2 x− sen2 x,

obtemos as equivalencias

a(cos2 t− sen2 t) + b(cos 2t+ sen t) + c(sen t) = 0

a(cos 2t) + b(cos 2t+ sen t) + c(sen t) = 0

(a+ b) cos 2t+ (b+ c) sen t = 0.

A ultima igualdade e satisfeita (para todo t) se a+ b = 0 e b+ c = 0,o que acontece quando a = c = −1 e b = 1 (por exemplo). Logo, asfuncoes sao linearmente dependentes.

Para obter uma base do subespaco, comecamos por retirar ao conjuntodado uma funcao que seja combinacao linear das restantes. Estasgeram o mesmo subespaco, e portanto serao uma base desde que sejamlinearmente independentes. Uma vez que

cos 2t = (cos 2t+ sen t)− (sen t),

retiramos a primeira funcao e ficamos com o conjunto

{cos 2t+ sen t, sen t}.

Suponhamos que

a(cos 2t+ sen t) + b(sen t) = 0 (3)

para todo t ∈ R. Considerando o caso particular t = 0, obtemos

a(cos 0 + sen 0) + b sen 0 = 0

a = 0.

Considerando o caso particular t = π2, obtemos

a(cos 2π2

+ sen π2) + b sen π

2= 0

0(. . . ) + b · 1 = 0

b = 0

Logo, este conjunto de funcoes e linearmente independente, e por con-seguinte constitui uma base do subespaco que gera.

93

3-53) So o conjunto da alınea g) nao e espaco linear.

3-54) a) Nao.

b) Sim. Base:{

[ 1 00 1 ]}

3-55) I) a) Nao.

b) Sim. Dimensao: 3

c) Sim. Dimensao: 1

d) Nao.

II) Em P3(R):

a) Sim. Dimensao: 3

b) Sim. Dimensao: 3

c) Nao.

d) Sim. Dimensao: 2

3-56)

{1, 1 + t, 1 + t+ t2, 1 + t+ t2 + t3}{{[ 1 11 1 ] , [ 1 1

1 0 ]}

3-57) a) (1− t2)P2 = (1, 0,−1)

b) Nao.

c) dimL(S) = 3. Base: {1− 2t, 1 + t2, t}d) E subespaco linear, com dimensao 2. Base: {t, t2}

3-58) A resposta correcta e a ultima.

3-59) a) MB←E2 = [−1 −10 1 ] (2, 2)B = (−4, 2)

b) ME2←B′ = [1 −22 1 ]

c) MB←B′ = [−3 12 1]

94

3-60) a) MB←E3 =

−12

1 12

0 0 112

0 −12

b) v = (v)E3 = (3, 3,−1)

c) MB′←B =[

0 −1 00 0 11 0 0

]d) MB′←E3 = MB′←BMB←E3 =

[0 0 −112

0 − 12

− 12

1 12

]

3-61) a) B =((2, 1, 0), (1,−1, 0), (0, 1,−3)

)b) (1, 2,−1)B = (8/9,−7/9, 1/3)

c) MB←B′ =[

1 0 10 1 −1−1 0 1

]ME3←B′ =

[2 1 10 −1 33 0 −3

]d) B′ =

((2, 0, 3), (1,−1, 0), (1, 3,−3)

)

3-62) b) MB′←B =

12

12−1

12−1

20

0 0 1

c) (3/2,−1/2,−1)

3-63) MB←P2 =

1 0 −11 −1 0−1 1 1

(2− 3t+ t2)B = (1, 5,−4)

3-64) Base do subespaco:{

[−1 00 1] , [

0 10 0] , [

0 01 0]}

B ={

[−1 00 1] , [

0 10 0] , [

0 01 0] , [

1 00 0]}

MBc←B =

−1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1 0 0 1

4-1) a) Sim (v.p. −3)

b) Nao.

95

c) Nao.

d) Sim (v.p. 1)

e) Sim (v.p. 0)

a) Basta verificar que−1 −2 30 1 −11 1 −2

−514

=

15−3−12

= −3

−514

para concluir que (−5, 1, 4) e um vector proprio de A ao qual corres-ponde o valor proprio −3.

4-2) E valor proprio, um vector proprio associado e (−1, 1, 0).

4-3) a) • p(λ) = (3− λ)(−1− λ)

• Valores proprios:

λ = 3 Base: {(1, 2)} m.a. = m.g. = 1

λ = −1 Base: {(0, 1)} m.a. = m.g. = 1

b) • p(λ) = λ2 − 8λ+ 16

• Valor proprio:

λ = 4 Base: {(3, 2)} m.a. = 2 m.g. = 1

c) • p(λ) = (1− λ)(2− λ)(3− λ)


λ = 1 Base: {(0, 1, 0)} m.a. = m.g. = 1

λ = 2 Base: {(−1, 2, 2)} m.a. = m.g. = 1

λ = 3 Base: {(−1, 1, 1)} m.a. = m.g. = 1

d) • p(λ) = −λ3 + 6λ2 − 12λ+ 8

• Valor proprio:

λ = 2 Base: {(−1,−1, 3)} m.a. = 3 m.g. = 1

96

Para factorizar o polinomio caracterıstico p(λ) = −λ3 + 6λ2− 12λ+ 8usando a regra de Ruffini, e necessario encontrar uma raiz deste po-linomio. Designando por λ1, λ2 e λ3 os valores proprios de A (possi-velmente repetidos), tem-se

detA = 8 = λ1λ2λ3.

Se as raizes de p(λ) forem inteiras, qualquer delas e um divisor de 8.

Calculando sucessivamente p(λ) para λ ∈ {±1,±2,±4, . . . }, verifica-se que o primeiro destes valores a anular o polinomio p(λ) e λ = 2.Aplicando em seguida a regra de Ruffini e a formula resolvente, obtem-se

p(λ) = (2− λ)3.

e) • p(λ) = (−1− λ)(−2− λ)(1− λ)2


λ = 1 Base: {(2, 3, 1, 0), (2, 3, 1, 1)} m.a. = m.g. = 2

λ = −1 Base: {(−2, 1, 1, 0)} m.a. = m.g. = 1

λ = −2 Base: {(−1, 0, 1, 0)} m.a. = m.g. = 1

4-4) • λ2 − 9λ+ 18


λ = 6 Base: {(1− i, 2)} m.a. = m.g. = 1

λ = 3 Base: {(i− 1, 1)} m.a. = m.g. = 1

4-5) σ(A15) = {−1, 1}Base de E(−1): {(2,−1, 1)

Base de E(1): {(−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}

Em vez de calcular A15 e em seguida obter os valores proprios e vectoresproprios da maneira usual, determinamos os valores proprios e vectoresproprios da matriz A (que serao os apresentados na solucao). A questao ecomo transpor para A15 os conhecimentos disponıveis acerca de A.

97

Se x e vector proprio de A, com o valor proprio λ, obtemos:

Ax = λx

A(Ax) = A(λx)

A2x = λ(Ax)

= λ(λx)

= λ2x

Multiplicando sucessivamente por A ambos os membros da igualdade Ax =λx, obtemos A15x = λ15x. Assim, cada vector proprio de A e necessa-riamente vector proprio de A15, mas o correspondente valor proprio vemelevado a 15. Logo, (−1)15, 115 ∈ σ(A15), isto e, {−1, 1} ⊂ σ(A15). Masuma matriz 2×2 nao pode ter mais de 2 valores proprios, e por conseguinteσ(A15) = {−1, 1}.Observacoes

• Como se teria de adaptar o argumento anterior para resolver o casoA16?

• Veja-se tambem o Problema 4-16).

4-6) a) 2, 8,−5

b) 9,−8, 1

c) 4, 1

4-9) a) |A| = −5

b) |A| = 7

4-10) b) trA = 13 detA = 40

4-11) a) σ(A) = {−1, 2}

i) A =[−1 0 00 2 10 0 2

]ii) A =

[−1 0 00 2 00 0 2

]

98

b) σ(A+ αI) = {−1 + α, 2 + α}

4-12) a) carA = 2 detA = 0 trA = 3

b) σ(A+ I) = {1, 2, 3} dim C (A+ I) = 3

c) A nao e invertıvel, A+ I e invertıvel.

4-13) (−2, 1, 0) e (−3, 0, 1) sao vectores proprios associados ao valor proprio 0 e(1, 1, 1) e um vector proprio associado ao valor proprio 6.

4-14) a) Verdadeira.

b) Falsa.

c) Verdadeira.

4-15) C)

4-16) A = SDS−1

D =

−1 0 00 1 00 0 1

S =

2 −1 −1−1 1 01 0 1

A15 =

−1 −2 −21 2 1−1 −1 0

4-17) a) S =

[1 03 1

]S−1AS =

[1 00 −1

]b) S =

[i −i1 1

]S−1AS =

[2 00 4

]c) S =

[1 00 1

]S−1AS =

[1 00 1

]d) Nao e diagonalizavel.

e) S =

1 0 00 i− 1 1− i0 2 1

S−1AS =

5 0 00 1 00 0 −2

99

4-18) D)


b) Falsa.

c) Falsa.

d) Falsa.

e) Verdadeira.

f) Falsa.

g) Verdadeira.

h) Verdadeira.


b) Falsa.

c) Verdadeira.

d) Verdadeira.

e) Verdadeira.

f) Verdadeira.

Exemplo: A =[

0 3/2 −3/20 3 00 0 3

]Como se obteve um exemplo de matriz A nas condicoes do Problema? Amatriz A e necessariamente diagonalizavel, e tem os valores proprios 3 (commultiplicidade algebrica 2) e 0. Por conseguinte, existe uma matriz in-

vertıvel S tal que A = SDS−1, com D =[

0 0 00 3 00 0 3

]. Por sua vez, qualquer

matriz invertıvel S =[S1 S2 S3

]da origem a uma matriz A = SDS−1

tal que AS1 = 0S2, AS2 = 3S2 e AS3 = 3S3. Logo, para obter A nascondicoes do Problema basta escolher S de modo que as suas duas ultimas

colunas sejam[

11−1

]e[

011

], sendo a 1a coluna arbitraria desde que torne a

matriz invertıvel. Por exemplo, escolhendo S =[

1 1 00 1 10 −1 1

]obteremos a matriz

A indicada acima.

4-21) a) σ(A) = {1, i,−i} (Nao existe nenhuma matriz real que diagonalize A.)

100

b) R = I, σ(R) = {1}. A matriz R e diagonal (por conseguinte, ediagonalizavel pela matriz I).

5-1) a) Sim (e linear).

b) Nao.

c) Sim.

d) Nao.

e) Nao.

f) Sim.

g) Sim.

5-2) (−1, 7, 11)

5-4) Trata-se do triangulo de vertices (1, 1, 2), (−3,−1, 0) e (0, 0, 0).

5-5) a) T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2

b) T2 ◦ T1 6= T1 ◦ T2

5-6) a) Sim (e linear).

b) Sim.

c) Sim.

d) Sim.

e) Sim.

f) Nao.

g) Nao.

h) Sim.

5-7) a) [2 −11 1 ]

b) [1 00 1]

c)[

1 2 11 5 00 0 1

]d)

[4 0 00 7 00 0 −8

]101

e)

[0 1−1 01 31 −1

]f)[

7 2 −1 10 1 1 0−1 0 0 0

]g)

[0 0 00 0 00 0 00 0 0

]h)

[0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 01 0 −1 0

]

5-8) a) (−1,−2); (2,−1)

b) (2,−5,−3); (−2,−5, 3)

c) (2, 0); (0,−5)

d) (−2, 1, 0); (−2, 0, 3)

e) (4, 3); (3√

32

+ 2, 32− 2√

3)

f) (−1,−2, 2)

g) (0, 1, 2√

2)

5-9) [T ]B,B =

[1 2 0 00 −1 0 00 1 1 00 0 0 1

]

5-10) a) [T ]P2,P2 =[−1 2 0

0 −1 40 0 −1

]. A transformacao e invertıvel.

b) p(t) = −13− 6t− t2

5-11) a) N (T ) = {z(−59, 2

9, 1) : z ∈ R}

I (T ) = {(y2 − y3, y2, y3) : y2, y3 ∈ R}b) (1, 1, 1)

c) dim I (T ) = 2, dim N (T ) = 1, dim R3 = 2 + 1.

5-12) a) N (T2 ◦ T1) = {(0, 0)}I (T2 ◦ T1) = R2

(T2 ◦ T1)(x, y) = (2x− 3y, 2x+ 3y)

b) N (T2 ◦ T1) = {(0, 0)}

102

I (T2 ◦ T1) = R2

(T2 ◦ T1)(x, y) = (2x+ 3y, x− 2y)

c) N (T2 ◦ T1) = {(0, y, z) : y, z ∈ R}I (T2 ◦ T1) = {(0, b) : b ∈ R}(T2 ◦ T1)(x, y, z) = (0, 2x)

5-13) a) Nao e isomorfismo.

b) E isomorfismo.

c) Nao e isomorfismo.

d) E isomorfismo.

e) E isomorfismo.

5-14) a) b) A reflexao relativamente a recta x = y.

d) A reflexao relativamente ao plano yz.

e) A rotacao no sentido positivo de um angulo de −π/2 radianosrelativamente ao semi-eixo positivo dos zz.

b) a) O nucleo e o eixo dos yy, a imagem e o eixo dos xx.

b) O nucleo e o espaco nulo, a imagem e R2.

c) O nucleo e o eixo dos zz, a imagem e o plano xy.

d) O nucleo e o espaco nulo, a imagem e R3.

e) O nucleo e o espaco nulo, a imagem e R3.

5-15) [(T2 ◦ T1)−1]E2,E2 =

[310− 1

10110

310

]

5-16) a) (T ◦ S)(x, y) = (−9x,−6x).

b) N (T ◦ S) = {(x, y) ∈ R2 : x = 0}I (T ◦ S) = {(x, y) ∈ R2 : y = 2

3x}

c) Nao.

5-17) [T−1]P2,P2 =[−1 −2 −8

0 −1 −40 0 −1

]T−1(a0 + a1t+ a2t

2) = −(a0 + 2a1 + 8a2)− (a1 + 4a2)t− a2t2

103

5-18) a) Falsa.

b) Verdadeira.

c) Verdadeira.

d) Falsa.

e) Verdadeira.

f) Falsa.

g) Falsa.

h) Falsa.

5-19) a) A = [1 −21 1 ]

b) B = [2 −13 0 ]

c) A = M−1B←E2BMB←E2 = [1 −1

1 0 ]B [ 0 1−1 1]

Dado um vector arbitrario x de R2, o vector [T (x)]E2 das coordena-das da imagem de x pode ser calculado usando a matriz A, tendo-se[T (x)]E2 = A[x]E2 . Por outro lado, podemos ver na figura seguinte que[T (x)]E2 tambem pode ser calculado a custa da matriz B:

[T ]E2,E2 = ME2←B[T ]B,BMB←E2ME2←B = M−1

B←E2

[x]E2� A //

_

MB←E2��

[T (x)]E2OOME2←B

_[x]B

�B

// [T (x)]B

De facto,

[T (x)]E2 = M−1B←E2 [T (x)]B

= M−1B←E2B[x]B

= M−1B←E2BMB←E2 [x]E2 .

Obtemos assim A = M−1B←E2BMB←E2 .

d) T (v) = (3, 0)

5-20) a) MB←E3 =[

1 −1 00 1 −10 0 1

]b) (y1, y2, y3) = (x1 − x2, x2 − x3, x3)

104

c) [T ]B,B =[

2 0 −20 1 10 0 1

]d) T (x, y, z) = (2x− y − z, y + z, z)

5-21) a) N (T ) = {2at+ at2 : a ∈ R}b) I (T ) =

{[a ba −b]

: a, b ∈ R}

5-22) a) N (T ) = {0 + 0t+ 0t2}b) I (T ) = {a1t+ a2t

2 + a3t3 : a1, a2, a3 ∈ R}

c) C =

0 0 01 0 00 1 00 0 1

d) A = M−1

P3←B2CMP2←B1 =

[0 0 0 −10 0 1 00 1 0 01 −1 0 1

]C[

1 0 −10 1 11 0 0

]O vector das coordenadas [T (p)]B2 da imagem do polinomio p pode sercalculado usando a matriz A, tendo-se

[T (p)]B2 = A[p]B1 .

No entanto,

[T (p)]B2 = M−1P3←B2

[T (p)]P3

= M−1P3←B2

C[p]P2

= M−1P3←B2

CMP2←B1 [p]B1 .

Assim, a igualdade anterior mostra que o vector [T (p)]B2 tambem podeser calculado a custa da matriz C. Ilustramos na figura seguinte asrelacoes obtidas acima:

[p]B1

� A //_

MP2←B1��

[Tp]B2OOMB2←P3

_[p]P2

�C

// [Tp]P3

Finalmente, podemos entao concluir que A = M−1P3←B2

CMP2←B1 .

105

e) T (p) = tp

5-23) a) BU =([1 00 −1] , [

0 10 0])

, dimU = 2.

b) [T ]Bc,BU =

[0 1−2 0−2 00 −1

]. A transformacao T e injectiva.

c) BV =([1 00 −1] , [

0 11 0])

d) [S]BV ,BU = [ 0 1−2 0]. A transformacao S e injectiva e sobrejectiva.

5-24) a) {(y, y) : y ∈ R} e {(−y, y) : y ∈ R}.b) Os mesmos de a) e ainda R2 e {(0, 0)}.

5-25) a) y = 0.

b) Nao existem.

c) x = y e 2x = y.

5-26) a) R2, {(0, 0)}, {(0, y) : y ∈ R} e {(x, 0) : x ∈ R}.b) R2, {(0, 0)}, {(x,−x) : x ∈ R} e {(x, x) : x ∈ R}.c) R3, {(0, 0, 0)}, o plano horizontal XOY ({(x, y, 0) : x, y ∈ R}) e todos

os planos que sao ortogonais a este e passam pela origem, e o eixo doszz.

d) R3, {(0, 0, 0)}, o plano Y OZ ({(0, y, z) : y, z ∈ R}) e todos os planosque sao ortogonais a este e passam pela origem, e o eixo dos xx.

e) R2, {(0, 0)}, {(0, y) : y ∈ R} e {(x, 0) : x ∈ R}.f) R2, {(0, 0)}, {(x, 0) : x ∈ R} e {(0, y) : y ∈ R}.g) {(0, 0, 0)}, {(x, y, 0) : x, y ∈ R}, {(0, 0, z) : z ∈ R}, e {(x, y, z) :

ax+ by = 0} com a, b ∈ R.

h) {(0, 0, 0)}, {(x, 0, z) : x, z ∈ R}, {(0, y, 0) : y ∈ R} e {(x, y, z) :ax+ cz = 0} com a, c ∈ R.

i) R2 e {(0, 0)}.j) R3, {(0, 0, 0)}, {(0, 0, z) : z ∈ R} e {(x, y, 0) : x, y ∈ R}.

5-27) a) A =

[0 −11 0

]106

b) Nao e possıvel.

c) σ(A) = {i,−i}BEi(T ) = {(i, 1)}BE−i(T ) = {(−i, 1)}

5-28) a) σ(T2 ◦ T1) = {0,−1}E−1(T2 ◦ T1) = L{(1, 0)}E0(T2 ◦ T1) = L{(0, 1)}

b) σ(T2 ◦ T1) = ∅c) σ(T2 ◦ T1) = {−1}

E−1(T2 ◦ T1) = R2

5-29) a) [T1] =

[1 0 0 00 1

212

0

0 12

12

00 0 0 1

][T2] =

[0 0 0 00 1

2− 1

20

0 − 12

12

00 0 0 0

]b) T1 ([1 2

3 4]) =[

1 52

52

4

]T2 ([1 2

3 4]) =[

0 − 12

12

0

]c) σ(T1) = {0, 1}

E1(T1) = L{[1 00 0] , [

0 11 0] , [

0 00 1]}

E0(T1) = L{[0 −11 0 ]}

σ(T2) = {0, 1}E1(T2) = L{[0 −1

1 0 ]}E0(T2) = L{[1 0

0 0] , [0 11 0] , [

0 00 1]}

6-1) a)√

37

b)√

21 +√

14

c) 3√

21

d)(

2√14,− 1√

14, 3√

14

)e) 1

f) arccos 1√14√

21

g)√

33

6-2) A igualdade verifica-se para α = 57

e para α = −57.

6-3) a) α = −3

b) α = −2 e α = −3

107

6-4) (−3457, 44

57,− 6

57, 11

57) e (34

57,−44

57, 6

57,−11

57)

6-5) |5| ≤ 3 · 2, ou seja 5 ≤ 6.

6-6) (13−√

156,√

56

+√

33

) e (13

+√

156,√

56−√

33

)

6-8) a) Nao e produto interno. Falha a propriedade (v) na lista abaixo.

b) Nao e produto interno. Falham as propriedades (ii) e (iii).

c) E produto interno.

d) Nao e produto interno. Falham as propriedades (iv) e (v).

i) 〈u, v〉 = 〈v, u〉ii) 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉

iii) 〈αu, v〉 = α〈u, v〉iv) 〈u, u〉 ≥ 0

v) 〈u, u〉 = 0⇒ u = 0

6-9) a) E produto interno.

b) Nao e produto interno. Falham as propriedades (ii) e (iii) (ver lista doexercıcio anterior).

c) E produto interno.

d) Nao e produto interno. Falha a propriedade (v).

6-10) d(u,v) =√

5

6-11) α = 8

6-12) a) (−35,−6

5)

b) (−π,−2π,−3π)

108

6-13) a){(

1√3, 1√

3, 1√

3

),(

1√6, 1√

6,− 2√

6

),(

1√2,− 1√

2, 0)}

b){(

1√2, 0,− 1√

2, 0),√

2√11

(−1

2, 2,−1

2, 1), 1√

1067

(21, 4, 21, 13

)}Na alınea a), se se comecar por aplicar o metodo de ortogonalizacao deGram–Schmidt tomando como primeiro vector (1, 0, 0) e como segundo vec-tor (1, 1, 0), obter-se-a a base canonica de R3.

6-14) a) {( 1√10,− 3√

10i), ( 3

10+ 9

10i,− 3

10+ 1

10i)}

b) {(1, 0), (0, 1)}

6-15) b) ‖(−1, 3)‖ =√

48 d((−1, 3), (2, 5)) =√

47

c) {u ∈ R2 : ‖u‖ ≤ 1} = {(u1, u2) ∈ R2 : 3u21 + 5u2

2 ≤ 1}

6-16) a) G =[

3 −2 1−2 2 01 0 2

]d) φ(e1, e2) = e2

TGe1 = −2

e) proje1e2 = (−2

3, 0, 0)

f) (1, 3, 3)

g) arccos −2√6

h)(

1√3(1, 0, 0), 1√

2/3(2

3, 1, 0), 1√

2(−1,−1, 1)

)

6-17) Base: {(2,−1, 0), (1,−1,−1))

Equacao: −x− 2y + z = 0

6-18) a)

{2x+ y = 0

3x+ z = 0

b) d((1, 0,−1),W ) = 2√

147

d((1, 0,−1),W⊥) =√

427

6-19) a) Base: {(1,−1, 2,−2)

109

Equacoes cartesianas:

x+ y = 0

− 2x+ z = 0

2x+ w = 0

b) (1, 2, 1,−1) = ( 710, 23

10, 2

5,−2

5) + ( 3

10,− 3

10, 3

5,−3

5)

c) d((1, 2, 1,−1),W ) = 3√10

d((1, 2, 1,−1),W⊥) =√

61010

6-20) a) i) Falsa.

ii) Falsa.

b) {(1, 2,−1, 2), (3, 5, 0, 4)}c) {(1, 3, 1), (2, 5, 1)}

6-21) (4945,−10

45,−37

45)

6-22)

{x− 2y = 5

− 3y + z = 5

6-23) 11x− 3y − 4z = 9

6-24) 25

√10

6-25) a) Equacoes parametricas:

x = 1

y = −tz = −1− 3t

(t ∈ R)

Equacoes cartesianas:

{x = 1

3y − z = 1

b) x+ z = 0

c) Equacoes parametricas:

x = 1− αy = α + β

z = −1 + α + 2β

(α, β ∈ R)

Equacao cartesiana: x+ 2y − z = 2

Vector normal: (1, 2,−1)

110

d) 1√6

6-26) Trata-se do subespaco {(−2b− c) + bt+ ct2 : b, c ∈ R}.

6-27) b) ‖a0 + a1t+ a2t2‖ = (3a2

0 + 3a0a1 + 52a0a2 + 9

4a1a2 + 5

4a2

1 + 1716a2

2)12

c) arccos 375√

209

d) i) {− 314

+ t,− 328

+ t2}ii) d(1 + t+ t2,W ) =

√2415

d(1 + t+ t2,W⊥) = 3720

e)

3 32

54

32

54

98

54

98

1716

6-28) b) dimU = 1 dimU⊥ = 3

c) Base o.n. de U :

{[0 1√

2

− 1√2

0

]}

Base o.n. de U⊥:

{[1 00 0

],

[0 1√

21√2

0

],

[0 00 1

]}d) projU [ 1 1

−1 2 ] = [ 0 1−1 0 ]

projU⊥ [ 1 1−1 2 ] = [ 1 0

0 2 ]

e) [ 0 1−1 0 ]

f)√

5

6-30)

Consideremos a matriz m× n que abaixo se encontra descrita por colunas

A =[

c1 c2 . . . cn

],

111

onde c1, c2, . . . , cn ∈ Rn, e calculemos ATA.

ATA =[

c1 c2 . . . cn

]T [c1 c2 . . . cn

]=

c1

T

c2T

...cn

T

[ c1 c2 . . . cn

]

=

c1

Tc1 c1Tc2 . . . c1

Tcn

c2Tc1 c2

Tc2 . . . c2Tcn

......

cnTc1 cn

Tc2 . . . cnTcn

.

Temos assim que

ATA =

〈c1, c1〉〈c1, c2〉 . . . 〈c1, cn〉〈c2, c1〉〈c2, c2〉 . . . 〈c2, cn〉

......

〈cn, c1〉〈cn, c2〉 . . . 〈cn, cn〉

, (4)

donde se conclui imediatamente que ATA e uma matriz diagonal se e so separa todo (i, j), com i, j = 1, . . . , n e i 6= j, se tem 〈ci, cj〉 = 0. Por outraspalavras, ATA e uma matriz diagonal se e so se o conjunto {c1, c2, . . . , cn}e um conjunto ortogonal.

De modo semelhante, a equacao (4) permite concluir que ATA e a matrizidentidade I se e so se para todos os i, j = 1, . . . , n se tem

〈ci, cj〉 =

{0 se i 6= j

1 se i = j .

Ou seja, ATA e a matriz identidade se e so se o conjunto {c1, c2, . . . , cn} eum conjunto ortonormal.

6-31) b) As matrizes ortogonais de 2a ordem sao as matrizes da forma[cos θ − sen θsen θ cos θ

]ou da forma

[cos θ sen θsen θ − cos θ

]com θ ∈ R.

112

A matriz A = [a bc d] e ortogonal se e so se a2 + c2 = b2 + d2 = 1 eab + cd = 0. Como (a, c) esta na circunferencia de centro na origeme raio 1, existe θ ∈ R tal que a = cos θ e c = sen θ. Analogamente,existe ϕ ∈ R tal que b = cosϕ e d = senϕ. Por conseguinte,

A =

[cos θ cosϕsen θ senϕ

].

De ab + cd = 0, e recordando a formula para o co-seno de uma soma,obtemos:

cos θ cosϕ+ sen θ senϕ = 0

cos θ cos(−ϕ)− sen θ sen(−ϕ) = 0

cos(θ − ϕ) = 0

cos(ϕ− θ) = 0

ϕ = θ +π

2+ kπ (k ∈ Z)

cosϕ = cos(θ +π

2) cos kπ

= − sen θ cos kπ

senϕ = sen(θ +π

2) cos kπ

= cos θ cos kπ

Para k par, vem cosϕ = − sen θ e senϕ = cos θ. Para k ımpar, vemcosϕ = sen θ e senϕ = − cos θ.

Observacoes

• As matrizes A em questao satisfazem a condicao | detA| = 1. Oscasos detA = 1 e detA = −1 correspondem, respectivamente, aoscasos de k par e k ımpar.

• Estas matrizes representam, na base canonica, transformacoes li-neares de interpretacao geometrica simples: Para k par, trata-seda rotacao de θ radianos em torno da origem, e para k ımpartrata-se da reflexao em relacao a recta que passa pela origem etem declive tg θ

2.

6-34) D = S−1AS

113

D =

5 0 00 2 00 0 2

S =

1√3− 1√

21√6

1√3

1√2

1√6

1√3

0 − 2√6

Comecamos por tentar calcular os valores proprios da matriz (pela regra deSarrus, por exemplo):∣∣∣∣∣∣

3− λ 1 11 3− λ 11 1 3− λ

∣∣∣∣∣∣ = (3− λ)3 + 2− 3(3− λ)

A simples observacao do polinomio caracterıstico nao permite descobrir umaraiz. No entanto, a sugestao do enunciado traduz-se por:3

11

+

131

+

113

=

555

= 5

111

,

ou seja: 1 ·

311

+ 1 ·

131

+ 1 ·

113

=

3 1 11 3 11 1 3

111

= 5

111

Verifica-se assim que 5 e valor proprio, correspondente ao vector proprio(1, 1, 1). A regra de Ruffini permite factorizar o polinomio caracterıstico,de modo que se obtem um polinomio de grau 2.

Repare-se que os vectores proprios que surgem naturalmente no resto daresolucao nao sao ortogonais entre si, pelo que sera ainda necessario recorrerao metodo de Gram–Schmidt.

6-36) A matriz C e unitaria.

6-38) α = 3 + 5i, β = i, γ = 2− 4i.

6-39) a) Sim (e matriz unitaria).

b) Sim.

c) Nao.

d) Nao.

114

6-40) a) D = U−1AU

D =

[6 00 3

]U =

[1−i√

61−i√

32√6− 1√

3

]b) D = UAU−1

D =

5 0 00 1 00 0 −2

U =

1 0 00 −1+i√

61−i√

3

0 2√6

1√3

115

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Exerc cios de Algebra Linear - Autenticação · ... Escreva as matrizes aumentadas dos sistemas de equa˘c ... r que satisfaz as seguintes condi˘c~oes: a) a ij = i+ ( 1)i+j