Exercícios · MTM A – Análise Combinatória UNIFESP | Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3

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Exercícios

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MTM A – Análise CombinatóriaUNIFESP | Duzentos e cinquenta candidatos submeteram-se a uma prova com 5 questões de múltipla escolha, cada questão com 3 alternativas e uma única resposta correta. Admitindo-se que todos os candidatos assinalaram, para cada questão, uma única resposta, pode-se afirmar que pelo menos: a) um candidato errou todas as respostas. b) dois candidatos assinalaram exatamente as mesmas alternativas. c) um candidato acertou todas as respostas. d) a metade dos candidatos acertou mais de 50% das respostas. e) a metade dos candidatos errou mais de 50% das respostas.

Resolução:

Total de respostas possíveis: _____ . _____ . _____ . _____ . _____ =1ª 2ª 3ª 4ª 5ª3p 3p 3p 3p 3p 243

Gabarito: b

MTM A – Análise Combinatória(UFMG) Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho, com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo grupo. O número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha é: a) 71 b) 86 c) 61 d) 131Resolução:

Casquinha com 1 bola:

Gabarito: A

5 vermelhas + 3 amarelas + 2 verdes = 10 casquinhas.

Casquinha com 2 bolas: (Verm. e Am.) ou (Verm. e Verd.) ou (Verd. e Am)_____ . _____ + _____ . _____ + _____ . _____ = 5p 3p 5p 2p 2p 3p 31

Casquinha com 3 bolas: Vermelha e Amarela e Verde_____ . _____ . _____ = 5p 3p 2p 30

MTM A – Análise Combinatória

UFC | Considere os números inteiros maiores que 64.000 que possuem cinco algarismos todos distintos, e que não contêm os dígitos 3 e 8. A quantidade desses números é: a) 2160 b) 1320 c) 1440 d) 2280 e) 2880

Resolução:

MTM A – Análise Combinatória(FEI) Quantos valores inteiros entre 100 e 999 possuem a seguinte característica: a soma do algarismo das centenas com o algarismo das dezenas é igual ao algarismo das unidades? a) 450 b) 45 c) 90 d) 9 e) 1


Resolução:_____ . _____ . _____ =

fixo 1 1

_____ . _____ . _____ =fixo

0

2 1 1

1

_____ . _____ . _____ =fixo 2 2 0

2

_____ . _____ . _____ =fixo 3 1 2

_____ . _____ . _____ =fixo 3 2 1

_____ . _____ . _____ =fixo 3 3 0

3

_____ . _____ . _____ =fixo 4 4

_____ . _____ . _____ =fixo 5 5

.

.

._____ . _____ . _____ =

fixo 9 9

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 9 = 45Gabarito: B

MTM A – Análise CombinatóriaUERJ | Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso.

Observe a ilustração: Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a serem inseridas na máquina corresponde a: a) 5 b) 13 c) 31 d) 40

MTM A – Análise Combinatória(UFF) Diogo precisa que sua mulher, Cristina, retire dinheiro no caixa eletrônico e manda entregar-lhe o cartão magnético, acreditando que ela saiba qual é a senha. Cristina, entretanto, recorda que a senha, composta de seis algarismos distintos, começa por 75 — os dois algarismos finais indicativos do ano em que se casou com Diogo; lembra, ainda, que o último algarismo da senha é ímpar. Determine o tempo máximo necessário para Cristina descobrir a senha da conta de Diogo, caso ela gaste 10 segundos no teste de cada uma das possíveis senhas.Resolução:

Etapas: ___ ___ ___ ___ ___ ___7 5 3p 7p 6p 5p . . . = 630

10 segundos por tentativa: 10 . 630 = 6300“

1h ------- 3600” xh ------- 6300” 3600.x = 6300 x = 1,75h x = 1h + 0,75.60

x = 1h45min.

MTM A – Análise Combinatória(UNICAMP) Em Matemática, um número natural é chamado palíndromo se seus algarismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se: a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999? b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabilidade de que esse número seja palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que 2%?Resolução:Palíndromos de 1 algarismo : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

Palíndromos de 2 algarismos : _____ . _____ = 9p 1p 9

Palíndromos de 3 algarismos : _____ . _____ . _____ = 9p 10p 1p 90

Palíndromos de 4 algarismos : _____ . _____ . _____ . _____ = 9p 10p 1p 1p 90

Total de palíndromos : 8 +9 + 90 + 90 = 197

= 8

197 – 1 = 196

a)


Resolução:

A quantidade de números no intervalo entre 1 e 9.999 é :

Gabarito: 1,96

b)

9.997

A quantidade de palíndromos no intervalo entre 1 e 9.999 é : 196

A probabilidade de um palíndromo no intervalo entre 1 e 9.999 é : %96,11997196

=

MTM A – Análise CombinatóriaEmpregando o raciocínio combinatório, calcule o número de diagonais de um polígono de: a) 8 lados b) n ladosResolução:

A B

C

D

EF

G

H


Considere os conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. a) Determine o número total de produtos distintos de seis fatores distintos, que podem ser obtidos, escolhendo–se três fatores entre os elementos do conjunto P e três fatores entre os elementos do conjunto Q. b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29.Resolução:a)

_____ _____ _____ _____ _____ _____

38C

36C. 112020.56

!3!.3!6.

!5!.3!8

==

Gabarito: 1120

MTM A – Análise CombinatóriaConsidere os conjuntos P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19} e Q = {23, 29, 31, 37, 41, 43}. b) Determine quantos dos produtos obtidos no item (a) são divisíveis, pelo menos, por um dos números 2 ou 29.

Resolução:

b) Produtos que não interessam (sem os fatores 2 e 29):

_____ _____ _____ _____ _____ _____

37C

35C. 35010.35

!2!.3!5.

!4!.3!7

==

(total de produtos) – (produtos sem interesse)

1120 – 350 = 770

MTM A – Análise CombinatóriaAs embalagens dos produtos vendidos por uma empresa apresentam uma seqüência formada por barra verticais: quatro de largura 1,5 mm; três de largura 0,5 mm e duas de largura 0,25 mm como na figura abaixo. Cada seqüência indica o preço de um produto. Quantos preços diferentes podem ser indicado por essas nove barras?

Resolução:

4 de largura 1,5 mm; 3 de largura 0,5 mm e 2 de largura 0,25 mm:

1260!2!.3!.4

!9P 2,3,49 ==

Gabarito: 1260


Uma prova de História propunha 10 testes, cada um valendo 1 ponto. Se André alcançou 7 pontos na prova, com relação aos testes que acertou e aos que errou, de quantos modos diferentes ele pode realizado?

Possibilidades de fazer 7 pontos:

1) A 2) A 3) E 4) E 5) A 6) A 7) A 8) E 9) A 10)A

1) E 2) A 3) A 4) E 5) A 6) E 7) A 8) A 9) A 10)A

. . . . . . .

1) A 2) E 3) A 4) A 5) A 6) A 7) A 8) A 9) E 10)E

120!3!.7!10P 3,7

10 ==

Gabarito: 120

MTM A – Análise CombinatóriaCom n letras iguais a A e 3 letras iguais a B formam-se um total de 8n + 16 permutações. Calcule n.Resolução:

___ ___ . . . . . ___ ___ ___ ___ A A A B B B

n letras 3 letras

16n8P 3,n)3n( +=+

16n8!3!.n)!3n(

+=+

)2n.(81.2.3!.n

!n).1n).(2n).(3n(+=

+++

86

3n4n2

=++

045n4n2 =−+

)servenão(9nou5n 21 −==Gabarito: 5

MTM A – Análise CombinatóriaSobre uma mesa, há 15 bolas de bilhar: 8 vermelhas, 4 amarelas e 3 pretas.De quantos modos podem-se enfileirar essas bolas de modo que duas da mesma cor nunca fiquem juntas?Resolução:

___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

MTM A – Análise Combinatória(UFMG) Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas, cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila? a) 3(5!)3 b) (5!)3 c) (5!)3(3!) d) 15!/(3!5!)

Resolução:

(3!).(5!).(5!).(5!) = (5!)3.(3!)

___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ A V Vd A V Vd A V Vd A V Vd A V Vd

P5 P5 P5. . P3 .

5 vestem camisas amarelas, 5 vestem camisas vermelhas e 5 vestem camisas verdes.

Gabarito: C

MTM A – Análise CombinatóriaUm grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita vai visitar uma exposição de arte. Um dos rapazes é um perfeito cavalheiro e, portanto, não passa pela porta da sala de exposições sem que a senhorita já o tenha feito. Considerando que a entrada é de uma pessoa por vez, então haverá 72 diferentes possibilidades para a ordem de entrada do grupo.

Resolução: 4 rapazes e 1 senhorita: R1, R2, R3, R4, S.

_____ . _____ . _____ . _____ . _____=fixo S 4p 3p 2p 1p 24

_____ . _____ . _____ . _____ . _____=fixo S 3p 3p 2p 1p 18

_____ . _____ . _____ . _____ . _____=fixo S 3p 2p 2p 1p 12

_____ . _____ . _____ . _____ . _____=fixo S 3p 2p 1p 1p 6

60 números

MTM A – Análise Combinatória(FUVEST) Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se despedem com um aceno. Duas mulheres só trocam acenos, tanto para se cumprimentarem quanto para se despedirem. Em uma comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram juntas, todos se cumprimentaram e se despediram na forma descrita acima. Quantos dos presentes eram mulheres, sabendo que foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20


Resolução: Sendo x o número de homens, temos:Cumprimentos entre dois homens: 2.Cx,2

Cumprimentos entre um homem e uma mulher: x.(37 – x) Portanto: 2.Cx,2 + x.(37 – x) = 720

x = 20

Mulheres:37 – x 37 – 20 17

Gabarito: B

2x !2. 37x x 7202!.(x 2)!

+ − =−


(CEM) Considere todos os pares ordenados (x,y), com x e y sendo números naturais, que satisfazem a equação x + y = 12. Ao substituirmos todas estas soluções na expressão , e somarmos

os valores encontrados obteremos um número cuja soma dos algarismos é:


(UNIRIO) A NASA dispõe de 10 pilotos igualmente preparados e habilitados a serem astronautas, sendo que dois deles são irmãos. Sabendo-se que na próxima viagem do “ônibus espacial” irão a bordo 4 astronautas, qual é a probabilidade de os dois irmãos participarem juntos dessa próxima viagem?

MTM A – Análise CombinatóriaO controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2×(0,2%)4. b) 4×(0,2%)2. c) 6×(0,2%)2×(99,8%)2. d) 4×(0,2%). e) 6×(0,2%)×(99,8%).

Resolução: D e D e ND e ND

(0,2%) (0,2%) (99,8%) (99,8%)x x x = (0,2%)2 x(99,8%)2

D, D, ND, ND Gabarito: c


Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de obter um certo número é esse número multiplicado por k, sendo k um número real. Encontre a probabilidade de: a. ocorrer o número 5; b. ocorrer um número par.


(ITA) Numa caixa com 40 moedas, 5 apresentam duas caras, 10 são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é: a) 7/8 b) 5/7 c) 5/8 d) 3/5 e) 5/6

Fim

MTM A AULA 02

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