2
An´ alise Matem´ atica III 2 o semestre de 2004/2005 Exerc´ ıcio-Teste 1 (a entregar na semana de 07/03/2005) Considere o conjunto V = {(x, y, z ) R 3 : z<x + y< 1; z> 0; x> 0; y> 0} . a) Descreva os cortes em V perpendiculares ao eixo Oz. b) Descreva os cortes em V perpendiculares ao eixo Ox. Resolu¸ ao: V ´ e o conjunto limitado pelos planos coordenados x =0; y =0; z =0 e pelos planos x + y =1; z = x + y e encontra-se representado na figura 1. x y z 1 1 V Figura 1: O conjunto V a) Um corte em V perpendicular ao eixo Oz obtem-se fixando z. Da defini¸ ao de V ´ e claro que 0 <z< 1 e, portanto, o corte ser´ a o conjunto {(x, y): x> 0; y> 0; z<x + y< 1} que se encontra representado na figura 2. b) Fixando x no intervalo ]0, 1[ , o corte respectivo ´ e o conjunto {(y,z ):0 <y< 1 - x ;0 <z<y + x} que se encontra representado na figura 3.

Exercício Resolvido

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Exercício resolvido - cálculo IV

Citation preview

Page 1: Exercício Resolvido

Analise Matematica III

2o semestre de 2004/2005

Exercıcio-Teste 1 (a entregar na semana de 07/03/2005)

Considere o conjunto

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z < x + y < 1 ; z > 0 ; x > 0 ; y > 0} .

a) Descreva os cortes em V perpendiculares ao eixo Oz.

b) Descreva os cortes em V perpendiculares ao eixo Ox.

Resolucao: V e o conjunto limitado pelos planos coordenados x = 0 ; y = 0 ; z = 0 e pelos planos

x + y = 1 ; z = x + y e encontra-se representado na figura 1.

PSfrag replacements

x

y

z

1

1

V

Figura 1: O conjunto V

a) Um corte em V perpendicular ao eixo Oz obtem-se fixando z. Da definicao de V e claro que0 < z < 1 e, portanto, o corte sera o conjunto

{(x, y) : x > 0 ; y > 0 ; z < x + y < 1}

que se encontra representado na figura 2.

b) Fixando x no intervalo ]0, 1[ , o corte respectivo e o conjunto

{(y, z) : 0 < y < 1 − x ; 0 < z < y + x}

que se encontra representado na figura 3.

Page 2: Exercício Resolvido

PSfrag replacements

x

y

z

1

1

V

PSfrag replacements

x

y

z

z

1

1V

Figura 2: Corte em V perpendicular ao eixo Oz

PSfrag replacements

x

y

z

1

1

V

1 − x

PSfrag replacements

x

y

z

1

V1 − x

Figura 3: Corte em V perpendicular ao eixo Ox

2