Exercícios Propostos Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias. 1. Calcular o montante de uma aplicação de $3.500 pelas seguinte taxas de juros e prazos: a) 4% a.m., 6 meses Dados: P = $3.500, = 4% a.m., n = 6 meses

( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,04 $ 4.428,62= = × + = b) 8% a.t., 18 meses Dados: P = $3.500, i = 8% a.t., n = 18 meses = 6 trimestres

( )6nS P(1+i) $3.500 1 0,08 $ 5.554,06= = × + = c)12% a.a., 18 meses Dados: P = $3.500, i =12% a.a., n = 18 meses = 1,5 ano

( )1,5nS P(1+i) $3.500 1 0,12 $ 4.148,54= = × + = 2. Em que prazo um capital de $18.000 acumula um montante de $83.743 à taxa de 15% a.m.? Dados: P = $18.000, S = $83.743, i = 15% a.m., n = ? Podemos aplicar a expressão do montante para, a seguir, destacar o fator financeiro implícito:

( )( )

( )

n

n

n

S P 1 i

$83.743 $18.000 1 0,15

4,65239 1,15

= +

= × +

=

meses 11 1,15 log

4,65239 logn 1,15 logn4,65239 log :logaritmos aplicando ==⇒×=

3. Um investimento resultou em um montante de $43.000 no prazo de três meses. Se a taxa de juros efetiva ganha for 10% a.m., calcular o valor do investimento. Dados: S = $43.000, n = 3 meses, i = 10% a.m., P = ?

( )

( )

n

3

S P 1 i

$43.000 P 1 0,1 P $ 32.306,54

= +

= × + ⇒ =

4. Uma empresa pretende comprar um equipamento de $100.000 daqui a quatro anos com o montante de uma aplicação financeira. Calcular o valor da aplicação necessária se as taxas de juros efetivas ganhas forem as seguintes: a) 13% a.t. (ao trimestre) Dados: S = $100.000, i = 13% a.t., n = 4 anos = 16 trimestres, P = ?

( )

n

16

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,13 P $ 14.149,62

=

= × + ⇒ =

b) 18% a.a. (ao ano) Dados: S = $100.000, i = 18% a.a., n = 4 anos, P = ?

( )

n

4

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,18 P $ 51.578,89

= =

= × + ⇒ =

c) 14% a.s. (ao semestre) Dados: S = $100.000, i = 14% a.s., n = 4 anos = 8 semestres, P = ?

11

( )

n

6

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,14 P $ 35.055,91

=

= × + ⇒ =

d) 12% a.m. (ao mês) Dados: S = $100.000, i = 12% a.m., n = 4 anos = 48 meses, P = ?

( )

n

48

S P(1+i)

$100.000 P 1 0,12 P $ 434,05

=

= × + ⇒ =

5. Um capital de $51.879,31 aplicado por seis meses resultou em $120.000. Qual a taxa de juros efetiva ganha? Dados: S = $120.000, P = $51.879,31, n = 6 meses, i = ?

( )nn

1/ 6

SS P 1 i i 1P

$120.000 i 1 15% a.m.$51.879,31

= + ⇒ = −

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

6. Uma pessoa deve pagar três prestações mensais iguais e consecutivas de $3.500 cada, sendo a primeira para 30 dias. Se resolvesse quitar a dívida por meio de um pagamento único daqui a três meses, qual seria o valor desse pagamento, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 5% a.m.? 1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento: 3 prestações de $3.500 1 pagamento único para 3 meses n=1, 2, 3 meses O valor do pagamento único deverá ser igual à soma das prestações mensais capitalizada até o terceiro ano:

( ) ( )2P $3.500 1,05 $3.500 1,05 $3.500 $11.033,75= × + × + = 7. Em uma determinada compra, há duas formas de pagamento: a) pagamento à vista de $1.400; e b) dois cheques pré-datados de $763,61 cada, para 30 e 60 dias, respectivamente. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada. Se o cliente obtiver 5% a.m. em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo? 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $1.400 2 prestações de $736,61 n = 1, 2 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes das prestações:

( )2$736,61 $736,61$1.400 i = 6% a.m.

(1+i) 1+i= + ⇒

Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 8. Na compra de um bem cujo valor à vista é $140, deve-se pagar uma entrada mais duas prestações de $80 no fim dos próximos dois meses. Considerando-se uma taxa de juros efetiva de 20% a.m., qual o valor da entrada? 1ª forma de pagamento: 2ª forma de pagamento (à vista): Entrada + 2 prestações de $80 P= $140 N = 0, 1, 2 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes dos pagamentos:

12

( ) ( )1 2$80 $80$140 E + E $17,781,2 1,2

= + ⇒ =

9. Uma casa está sendo vendida por $261.324,40 à vista. Considerando-se que o comprador se propõe a pagar $638.000 daqui a quatro meses, calcular a taxa de juros efetiva ao mês embutida na proposta. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: P = $261.324,40 um pagamento de $638.000 daqui a 4 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual ao valor presente do pagamento único:

( )

1/ 4

4

$638.000 $638.000$261.324,40 i 1 i = 25% a.m. $261.324,401+i

⎛ ⎞= ⇒ = − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

10. Qual o tempo necessário para que seja triplicada uma população que cresce à taxa composta de 3% a.a.? Dados: S = 3P, i = 3% a.a., n = ?

( )( )

n

n n

S P 1 i

3P = P 1 i 3 (1,03)

= +

+ ⇒ =

log 3aplicando logaritmos: log 3 n log 1,03 n 37,17 anoslog 1,03

= × ⇒ = =

11. A rentabilidade efetiva de um investimento é de 10% a.a.. Se os juros ganhos foram de $27.473 sobre um capital investido de $83.000, por quanto tempo o capital ficou aplicado? Dados: S = $110.473 ($83.000 + $27.473), P = $83.000, i = 10% a.a., n = ?

( )n

n

S = P 1 i

$110.473 $83.000 (1,10)

+

= ×

log 1,331aplicando logaritmos: log 1,331 n log 1,10 n 3 anoslog 1,1

= × ⇒ = =

12. Nas vendas a crédito, uma loja aumenta em 40% o valor sobre o preço à vista. Desse valor majorado, 20% é exigido como entrada e o resto será quitado em duas prestações mensais de $1.058 cada, sendo a primeira para daqui a um mês. Considerando-se que o valor à vista é de $2.000, determinar a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:P = $2.000 Entrada = 1,4 × 0,2 × $2.000 = $560 mais 2 prestações de $1.058 Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:

( ) ( )1 2$1.058 $1.058$2.000 $560 + + i 30% a.m. 1+i 1+i

= ⇒ =

13. Um produto cujo preço à vista é $450 será pago em duas prestações mensais consecutivas de $280 e $300, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros embutida na primeira prestação é 10% a.m., determinar a taxa embutida na segunda.

13

1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:P = $ 450 1ª. prestação = $280, 2ª. prestação = $300 i1 = 10% a.m. Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:

( ) ( )( )2

2 21 22

$280 $300 $300$450 + 1+i i 23,89% a.m. $195,451,10 1+i

= ⇒ = ⇒ =

14. Um apartamento pode ser comprado à vista por $320.000 ou pagando-se 20% de entrada mais duas prestações de $170.000 cada, a primeira para 3 meses e a segunda para 7 meses. Calcular a taxa de juros efetiva cobrada no financiamento. Se a taxa de juros vigente no mercado para aplicações financeiras for 2% a.m., qual será a melhor opção de compra? 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento:P = $320.000 Entrada = 0,2 × $320.000 = $64.000 mais 2 prestações de $170.000 para 3 e 7 meses Por equivalência de capitais, o valor à vista deve ser igual à soma dos valores presentes de todos as quantias pagas na segunda forma de pagamento:

( )73

$170.000 $170.000$320.000 $64.000 + i = 5,98% a.m. (1+i) 1+i

= + ⇒

Logo, podemos concluir que o melhor seria pagar à vista, pois os juros efetivos da compra são superiores ao ganho obtido através da aplicação financeira do capital na segunda opção. 15. Certa loja tem como política de vendas a crédito exigir 20% do valor à vista como entrada e o restante a ser liquidado em três prestações mensais iguais, a primeira para 30 dias. Considerando-se que a taxa de juros efetiva cobrada será 15% a.m., determinar a porcentagem do valor à vista a ser pago como prestação a cada mês. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P Entrada = 0,2 × P; mais 3 prestações de valor: R = p × P Por equivalência de capitais:

( ) ( )2 31

1 2 3

p P p P p P 0,8 PP 0,2 P + p P = p = 35,05% (1+i) 1 1 11+i 1+i

(1,15) (1,15) (1,15)

× × × ×= × + + ⇒ × ⇒

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

16. Uma loja permite pagamento em três prestações iguais. Considerando-se que cada prestação é igual a um terço do valor à vista, sendo a primeira paga no ato da compra (antecipada), calcular a taxa de juros cobrada. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = P valor das prestações: R = P / 3 Por equivalência de capitais:

( )21

P PP 3 3P + i = 0% a.m. 3 (1+i) 1+i

= + ⇒

17. O valor à vista de um bem é de $6.000. A prazo, paga-se uma entrada mais três parcelas mensais de $2.000 cada, sendo a primeira em um mês. Calcular o valor da entrada, considerando-se que a taxa de juros aplicada é 7% a.m..

14

1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = $6.000 Entrada (E) + 3 prestações de $2.000 cada Por equivalência de capitais:

( )31 2

$2.000 $2.000 $2.000$6.000 E + E = $751,37(1,07) (1,07) 1,07

= + + ⇒

18. Por um equipamento de $360.000 paga-se uma entrada de 20% mais dois pagamentos mensais consecutivos. Considerando-se que o valor do primeiro pagamento é $180.000 e a taxa de juros efetiva aplicada é de 10% a.m., calcular o valor do segundo pagamento. 1ª forma de pagamento (à vista): 2ª forma de pagamento: valor à vista = $360.000 E= $72.000; R1 = $180.000, R2 = ? Por equivalência de capitais:

221 2

R$180.000$360.000 $72.000 + R = $150.480(1,10) (1,10)

= + ⇒

19. Uma pessoa pretende, daqui a seis meses, comprar um automóvel no valor de $25.000. Calcular a aplicação necessária a ser efetuada hoje em um investimento que rende juros efetivos de 13% a.m., de modo que o veículo possa ser comprado com os juros ganhos na aplicação. Dados: J = $25.000, i = 13% a.m., n = 6 meses, P = ?

( )( )( )

n

6

os juros obtidos ao término dos seis meses deverão ser iguais ao valor do veículo:

juros = S - P = P 1 i 1

$25.000 = P (1,13) 1 P = $23.106,39

+ −

− ⇒

20. Um capital de $50.000 rendeu $1.000 em um determinado prazo. Se o prazo fosse dois meses maior, o rendimento aumentaria em $2.060,40. Calcular a taxa de juros efetiva ao mês ganha pela aplicação e o prazo em meses. Dados: P = $50.000, S1 = $51.000 ($50.000 + $1.000), S2 = $53.060,40 ($51.000 + $2.060,40), n2 = n + 2, n = ?, i = ?

( )n

n

n 2

2

$51.000 $50.000 (1+i)S P 1 i

$53.060, 40 $50.000 (1+i) (1+i)$53.060, 40(1+i) i 2% a.m

$51.000

⎧ ⎫= ×⎪ ⎪= + ⇒ ⎨ ⎬= × ×⎪ ⎪⎩ ⎭

= ⇒ =

aplicando logaritmos: log 1,02 n log 1,02 n 1 mês= × ⇒ = 21. Dois capitais foram aplicados durante dois anos, o primeiro a juros efetivos de 2% a.m. e o segundo a 1,5% a.m.. O primeiro capital é $10.000 maior que o segundo, e seu rendimento excedeu em $6.700 o rendimento do segundo capital. Calcular o valor de cada um dos capitais. Dados: i1= 2% a.m.; i2 = 1,5% a.m, P1 – P2 = $10.000 , J1 – J2 = $6.700, n = 24 meses, P1 = ?, P2 = ?

( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2

24 241 2

1 2

2 1

J - J = S - S - P - P

$6.700 = P 1,02 P 1,015 $10.000P = P + $10.000

P =$3.440,52 P =$13.440,52

⎧ ⎫− −⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

⇒

22. Dois capitais, o primeiro de $2.400 e o segundo de $1.800, foram aplicados por 40 e 32 dias, respectivamente. Considerando-se que a taxa efetiva ganha pelo primeiro capital foi 5% a.m. e sabendo-se que esse capital rendeu $100 a mais do que o segundo, determinar a taxa mensal ganha pelo segundo capital. Dados: n1 = 40 dias, n2 = 32 dias, P1 = $2.400, P2 = $1.800, J1 – J2 = $100, i1 = 5% a.m., i2 = ? 15

( )( ) ( )1 2 1 2 1 2

40 30 32 302

3032

2 2

J - J = S - S - P - P

$100 = $2.400 1,05 $1.800 1 i $600

$1.861,32i = 1 i = 3,19% a.m.$1.800

× − × + −

⎛ ⎞ − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

23. Um capital foi aplicado por seis meses a juros efetivos de 15% a.a.. Determinar o valor do capital considerando-se que se o montante, ao término do prazo, diminuído da metade dos juros ganhos, fosse reaplicado à mesma taxa efetiva, renderia em 3 meses juros de $18,42.

( )( )

( )( )

n

0,5

0,50,5

rendimento = P 1 i 1

Montante ao término dos 6 meses: P(1,15)

Valor reaplicado ao término dos 6 meses: P(1,15) 0,5P 1,15 1

Rendimento em 3 meses do valor reaplicado:

P

+ −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

( )( ) ( )( )0,5 3/120,5 (1,15) 0,5P 1,15 1 1,15 1 $18, 42 P = $500⎡ ⎤− − − = ⇒

⎣ ⎦

24. Certo capital, após quatro meses, transformou-se em $850,85. Esse capital, diminuído dos juros ganhos nesse prazo, reduziu-se a $549,15. Calcular o capital e a taxa de juros efetiva ao mês ganha na aplicação.

( )

( )( )

n

Montante ao término de 4 meses: $850,85 Juros ganhos ao término de 4 meses: $850,85 - P Capital menos os juros ganhos em 4 meses:P- $850,85 - P $549,15 P $700

S =P 1 i

$850,85=$700 1 i

= ⇒ =

+

× + 4 i 5% a.m. ⇒ ≈

25. Um capital foi aplicado a juros efetivos de 30% a.a.. Depois de três anos, resgatou-se a metade dos juros ganhos e, logo depois, o resto do montante foi reaplicado à taxa efetiva de 32% a.a., obtendo-se um rendimento de $102,30 no prazo de um ano. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.

( )( )

( )

n

3

3 3

3

juros ganhos = P 1 i 1

Montante ao término de 3 anos: P(1,30)

Valor reaplicado ao término dos 3 anos: P(1,30) 0,5P (1,30) 1

Rendimento em 1 anos do valor reaplicado:

P(1,30)

+ −

⎡ ⎤− −⎣ ⎦

( ) ( )( )13 0,5P (1,30) 1 1,32 1 $102,3, 42 P = $200⎡ ⎤− − − = ⇒⎣ ⎦

26. Um capital foi aplicado por 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital inicial e os juros ganhos fosse aplicada à mesma taxa, renderia em 3 meses juros de $44,02. Determinar o valor do capital. Dados: n1 = 50 dias, n2 = 3 meses, P2 = P1 – J1, J2 = $44,02, i = 3% a.m., P1 = ?

( )( ) ( )( )2n 32 2 2 2J P 1 i 1 $44,02 P 1,03 1 P = $474,73= + − ⇒ = − ⇒

Por outro lado,

16

( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1

1

P = P - J = P 2 1+i $474,73 = P 2 1,03

P = $500

− ⇒ − 0 30

27. Um capital foi aplicado durante dez meses à taxa efetiva de 2% a.m.. Ao término desse prazo, seu montante foi reaplicado durante 11 messes a 3% a.m.. A que taxa mensal única deveria ser aplicado o capital durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? Dados: n = n1+ n2, n1,= 10 meses, n2 = 11 meses, i1 = 2% a.m., i2 = 3% a.m., i = ? Por equivalência de capitais:

( )( ) ( )

1 2n n n1 2

10 11 21

P(1+i ) (1+i ) P(1+i)

1,02 1,03 = (1+i) i 2,523% a.m.

× =

× ⇒ =

28. Um capital aplicado à taxa de 4% a.m. rendeu após um ano $480,83 de juros. Do montante obtido, foram retirados $600 e o saldo restante reaplicado à mesma taxa, resultando em um novo montante de $1.226,15 depois de um certo prazo. Determinar o valor do capital inicial e o prazo da reaplicação. Dados: n1 = 12 meses, P2 = S1 – $600, J1 = $480,83, S2 = $1.226,15, i = 4% a.m., P1 = ?, n2 = ?

( )( )

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

2

2

n11 1 1 1

121 1 1

n n2 1

12 n

2 2

S = P + J = P 1+i

P + $480,83 = P 1,04 P = $800Por outro lado,

S P 1 i S = S $600 1 i

$1.226,15 $800 1,04 $600 1,04

aplicando logaritmos: log 1,8 n log 1,04 n 15 meses

⇒

= + ⇒ − +

= × −

= × ⇒ =

29. Dois capitais, o primeiro igual ao dobro do segundo, foram aplicados pelo mesmo prazo e à mesma taxa efetiva de 4% a.m.. Sabendo-se que o primeiro capital ganhou $400 de juros e que a soma do primeiro capital mais os juros ganhos pelo segundo totaliza $1.032,91, calcular os capitais e o prazo da aplicação. Dados: P1 = 2 × P2, J1 = $400, P1 + J2 = $1.032,91, i = 4% a.m., P1 = ?, P2 = ?, n = ?

( )( )( ) ( )

n

n n2

2

juros ganhos pelo primeiro capital:

J P 1 i 1

$200$400 = 2 P 1,04 1 1,04 1P

= + −

⎡ ⎤× − ⇒ =⎣ ⎦ +

Por outro lado,

( )

( )

n21

n=1 2

2 222

primeiro capital mais juros do segundo:

P P 1,04 1 $1.032,91

substituindo o valor de 1,04 na equação anterior e P 2P :

$2002P P 1 1 $1.032,91 P = $416,46P

×

×

⎡ ⎤+ − =⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦1 P = $832,91

17

( )

( )

n

2

n

$2001,04 1P$2001,04 1 1, 48

$416,46aplicando logaritmos: log 1,48 n log 1,04 n 10 meses

= +

= + =

= × ⇒ =

30. Dois capitais, o primeiro de $1.000 e o segundo de $227,27, foram aplicados a juros efetivos de 20% a.a.. O primeiro capital, na metade do tempo do segundo, obteve um rendimento de $100 a mais. Calcular os prazos das duas aplicações. Dados: P1 = $1.000, P2 = $227,27, J1 – J2 = $100, i = 20% a.a., n1 = n2/2, n1 = ?, n2 = ?

( )( ) ( )

( )

1 1

1

1 2 1 2 1 2

n 2 n

n1 2

J - J = S - S - P - P

$100 = $1.000 1, 20 $227,27 1,20 $772,73

1, 20 1, 20 n = 1 ano n = 2 anos

×− −

= ⇒ ⇒

31. Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos 20% a.a.. Ao término desse prazo, um terço dos juros ganhos foi reaplicado à taxa efetiva de 25% a.a., obtendo-se uma remuneração semestral de $34,62. Calcular o valor do capital inicialmente aplicado.

( )2Juros ganhos ao término de 2 anos: P (1,20) 1−

( )

( ) ( )

2

2 0,5

1o valor reaplicado é igual a um terço dos juros ganhos: P (1,20) 13

rendimento do valor reaplicado ao término de 1 semestre:1 P (1,20) 1 (1,25) 1 $34,62 P = $2.0003

⎡ ⎤× −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤× − − = ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

32. Um capital foi aplicado durante 50 dias a juros efetivos de 3% a.m.. Se a diferença entre o capital e os juros ganhos, acrescida de $10.000, fosse aplicada à mesma taxa, renderia $12.342,82 ao ano. Calcular o capital. Dados: n1 = 50 dias, n2 = 1 ano, J2 = $12.342,82, P2 = P1 – J1 + $10.000, i = 3% a.m., P1 = ?

( )( )( )( )

2n2 2

122 2

J P 1 i 1

$12.342,82 P 1,03 1 P = $28.990

= + −

= − ⇒

Por outro lado,

( ){ } ( ){ }1n 52 1 1 1 1

1

P - $10.000 = P - J = P 2 1+i $18.990 = P 2 1,03

P = $20.000

− ⇒ − 0 30

33. Uma pessoa tomou dois empréstimos. O primeiro por 3 meses a juros efetivos de 5% a.m., e o segundo por 10 meses a 4% a.m.. Sabendo-se que os juros pagos pelos dois empréstimos totalizaram $11.181,14 e que o primeiro empréstimo é igual à metade do segundo, calcular o valor total dos empréstimos. Dados: i1 = 5% a.m., n1 = 3 meses, i2 = 4% a.m, n2 = 10 meses, 2 x P1 = P2, J1 + J2 = $11.181,14, P1 = ?, P2 = ?

( )( ) ( )

1 2 1 2 1 2

3 101

1 2

J + J = S + S - P + P

$11.181,14 = P 1,05 2 1,04 3

P =$10.000 P =$20.000

⎡ ⎤+ × −⎣ ⎦⇒

Valor total dos empréstimos = $10.000 + $20.000 = $30.000

18

34. Dois capitais, o primeiro igual ao triplo do segundo, foram aplicados, respectivamente, a taxas efetivas de 5% a.m. e 10% a.m.. Determinar o prazo em que os montantes dos dois capitais se igualam. Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 10% a.m, P1 = 3 × P2, S1 = S2, n = ?

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

n n1 2

n n2 2

S S

P 1,05 P 1,10

3 P 1,05 P 1,10 1,04762 3n

=

=

× = ⇒ =

aplicando logaritmos: log 3 n log 1,04762 n 23,6159 meses = 23 meses e 18 dias= × ⇒ =

35. Uma empresa tem duas dívidas. A primeira, de $10.000, contratada a juros efetivos de 3% a.m., vence em 48 dias, e a segunda, de $15.000, a juros efetivos de 4% a.m., vence em 63 dias. A empresa pretende liquidar as dívidas com o dinheiro proveniente do desconto financeiro de uma promissória com valor nominal de $27.033 que vence em 90 dias. Calcular a taxa mensal efetiva aplicada pelo banco no desconto do título. Dados: i1 = 3% a.m., n1 = 48 dias, i2 = 4% a.m, n2 = 63 dias, D1 = $10.000, D2 = $15.000, P = $27.033, n = 90 dias, i = ? Por equivalência de capitais:

( )63 3090 30 48 30

$27.033 $10.000 $15.000 i = 5% a.m. (1+i) (1,03) 1,04

= + ⇒

36. Em quanto tempo o rendimento gerado por um capital iguala-se ao o próprio capital, aplicando-se uma taxa efetiva de 5%a.m.? Dados: J = P; i = 5% a.m.; n = ?

( )

( ) ( )

n

n n

J P 1 i 1

P =P 1,05 1 1,05 2

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦⎡ ⎤− ⇒ =⎣ ⎦

aplicando logaritmos: log 2 n log 1,05 n 14,2067 meses 427 dias= × ⇒ = ≈

37. Quanto tempo é necessário para que a relação entre um capital de $8.000, aplicado a juros efetivos de 4% a.m., e seu montante seja igual a 4/10? Dados: P = $8.000, S = (10/4) x P, i = 4% a.m., n = ?

( )

( )

n

nn

P 410P 1 i

$8.000 4 1,04 2,510$8.000 (1,04)

=+

= ⇒ =×

aplicando logaritmos: log 2,5 n log 1,04 n 23,3624 meses = 23 meses e 11 dias= × ⇒ =

38. Três dívidas, a primeira de $2.000 com vencimento em 30 dias, a segunda de $1.000 com vencimento em 60 dias e a terceira de $3.000 com vencimento em 90 dias serão liquidadas por meio de um pagamento único de $6.000. Se a taxa de juros efetiva aplicada for de 3% a.m., determinar daqui a quanto tempo deve ser efetuado esse pagamento. Dados: i = 3% a.m., n1 = 30 dias, n2 = 60 dias, n3 = 90 dias, D1 = $2.000, D2 = $1.000, D3 = $3.000, P = $6.000, n = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais:

19

( ) ( )n

2 3n 30 1

$6.000 $2.000 $1.000 $3.000 (1,03) 6,7581(1,03) (1,03) 1,03 1,03

= + + ⇒ =

aplicando logaritmos: log 6,7581 n log 1,03 n 65 dias= × ⇒ =

39. Quanto tempo é necessário para que o montante de um capital de $5.000 aplicado a juros efetivos de 6% a.m. se iguale ao montante de outro capital de $8.000 aplicado à taxa efetiva de 4% a.m.? Dados: i1 = 6% a.m., i2 = 4% a.m, P1 = $5.000, P2 = $8.000, n = ?

( )( ) ( ) ( )

n

n n

S P 1 i

$5.000 1,06 $8.000 1,04 1,01923 1,6

= +

× = × ⇒ =n

aplicando logaritmos: log 1,6 n log 1,01923 n 24,67444 meses = 740 dias= × ⇒ =

40. Calcular o rendimento de um capital de $7.000 aplicado à taxa efetiva de 1% a.m. no período compreendido entre 3 de abril e 6 de junho do mesmo ano (considere o ano civil). Dados: i= 1% a.m., P = $7.000, J = ?

n= 03/04 até 06/06 = 157-93 n= 64 dias⇒

( ) ( )n 64 30J P 1 i 1 $7.000 1,01 1 $150,18⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

41. Qual a taxa de juros anual efetiva que permite a duplicação de um capital no prazo de 42 meses? Dados: S = 2 x P, n = 42 meses, i = ?

( )( )

n

42 12

S P 1 i

2 P = P 1 i i = 21,9% a.a.

= +

× + ⇒

42. Um capital de $20.000 foi aplicado por 90 dias à taxa efetiva diária de 0,1% a.d.. Determinar o rendimento ganho entre o 46o e o 87o dia . Dados: i= 0,1% a.d., P = $20.000, n1 = 46 dias, n2 = 87 dias, = ? 2 1J - J

( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 1

n

n n2 1

87 462 1 2 1

J = P 1 i 1

J - J = P 1 i 1 1 i 1

J - J = $20.000 1,001 1,001 J - J = $875,98

+ −

+ − − + +

⎡ ⎤− ⇒⎣ ⎦

43. Duas dívidas, uma de $20.000 e outra de $30.000, com vencimento em 2 e 4 meses, respectivamente, serão liquidadas por meio de um único pagamento a ser efetuado em 3 meses. Considerando-se juros efetivos de 5% a.m., calcular o valor desse pagamento. Dados: i= 5% a.m., n1 = 2 meses, n2 = 4 meses, D1 = $20.000, D2 = $30.000, n = 3 meses, P = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais:

( )43 2

P $20.000 $30.000 P = $49.571,43(1,05) (1,05) 1,05

= + ⇒

44. Uma pessoa necessita dispor de $20.000 daqui a 8 meses. Para tanto, pretende efetuar duas aplicações em um fundo que rende juros efetivos de 3% a.m.. A primeira aplicação, de $10.000, foi efetuada hoje, e a segunda o será daqui a um mês. De quanto deverá ser esta segunda aplicação de modo que a pessoa possa dispor da quantia necessitada ao término do oitavo mês? Dados: i = 3% a.m., n1 = 8 meses, n2 = 7 meses, P1 = $10.000, D = $20.000, n = 8 meses, P2 = ?

20

(data focal = 1 mês) Por equivalência de capitais:

11 2n-1

12 27

D P (1+i) + P(1+i)$20.000 $10.000 (1,03) + P P = $5.961,83(1,03)

= ×

= × ⇒

45. Um empréstimo de $5.000, contratado à taxa efetiva de 5% a.m., será liquidado por meio de 5 pagamentos mensais consecutivos, sendo o primeiro daqui a 30 dias. Considerando-se que o valor de cada um dos 4 primeiros pagamentos é $1.000, determinar o valor do último pagamento. Dados: i = 5% a.m., ni = i meses, D = $5.000, P1-4 = $1.000, P5 = ? (data focal = valor presente) Por equivalência de capitais:

( ) ( ) ( )5

5 2 4 51 3

$1.000 $1.000 $1.000 $1.000 P$5.000 P = $1.855,78(1,05) (1,05)1,05 1,05 1,05

= + + + + ⇒

46. Determinar o capital que, aplicado durante 3 meses à taxa efetiva composta de 4% a.m., produz um montante que excede em $500 o montante que seria obtido se o mesmo capital fosse aplicado pelo mesmo prazo a juros simples de 4% a.m. Dados: i= 4% a.m, n = 3 meses, S1 = S2 +$500, P = ?

( ) ( )( ) ( )

n1 2

3

S P 1 i S P 1 n i

P 1,04 = P 1 + 3 0,04 $500 P = $102.796,05

e= + = + ×

× + ⇒

47. Um capital aplicado a uma determinada taxa de juros efetiva mensal rendeu, no prazo de dois anos, um valor igual a um quarto do próprio capital. Determinar a taxa de juros à qual foi aplicado. Dados: n = 2 anos, Capital = P, Rendimento = 0,25P, i =?

[ ] a.m 0,9341%009341,0i P0,251i)(1P 2 ==⇒×=−+ 48. Uma pessoa depositou $1.000 em um fundo que paga juros efetivos de 5% a.m., com o objetivo de dispor de $1.102,50 dentro de 60 dias. Passados 24 dias após a aplicação, a taxa efetiva baixou para 4% a.m.. Quanto tempo adicional, além dos 60 dias inicialmente previstos, a pessoa terá de esperar para obter o capital requerido? Dados: i1 = 5% a.m., i2 = 4% a.m., n1 = 24 dias, P1 = $10.000, S2 = $1.102,50, P2 = S1, n2 = ?

( )( )

n

24 301 1

S P 1 i

S $10.000 1,05 S P = $10.398,04

= +

= × ⇒ = 2

Por outro lado, ( )( ) ( )2 2n - 24 30 n - 24

2S $1.102,50 $1.039,80 1,04 1,04 5,7925= = × ⇒ = ( )2 aplicando logaritmos: log 5,7925 n - 24 log 1,04 n 69 dias

Dias adicionais: 69 -60 = 9 dias a mais= × ⇒ =

49. Um capital de $4.000 foi aplicado dividido em duas parcelas. A primeira à taxa efetiva de 6% a.t., e a segunda a 2% a.m.. Considerando-se que após 8 meses os montantes de ambas as parcelas se igualam, determinar o valor de cada parcela. Dados: i1 = 6% a.t., i2 = 2% a.m, P1 = $4.000 – P2, S1 = S2, n = 8 meses, P1= ?, P2 = ?

21

( )( ) ( ) ( )

n

8 3 82 2 2 1

S P 1 i

$4.000 P 1,06 P 1,02 P = $1.996,69 P = $2.003,04

= +

− = ⇒ ⇒

50. Um capital aplicado em um fundo duplicou seu valor entre 11 de julho e 22 de dezembro do mesmo ano. A que taxa efetiva mensal foi aplicado? (considere o ano civil) Dados: S = 2 × P, i = ?

n= 11/07 até 22/12 = 356-192 n= 164 dias⇒

( )( )

n

164 30

S P 1 i

2 P= P 1 i i = 13,52% a.m.

= +

× + ⇒

51. Um financiamento de $5.000 foi contratado a uma taxa efetiva trimestral de 12% a.t.. Considerando-se que ele foi liquidado após 60 dias, calcular o total de juros pagos pelo financiamento. Dados: i = 12% a.t., n = 2 meses, P = $5.000, J = ?

( ) ( )n 2 3J P 1 i 1 $5.000 1,12 1 $392,40⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

52. Determinar o valor dos juros pagos por um empréstimo de $2.000 contratado a juros efetivos de 5% a.m. pelo prazo de 25 dias. Dados: i = 5% a.m., n = 25 dias, P = $2.000, J = ?

( ) ( )n 25 30J P 1 i 1 $2.000 1,05 1 $82,99⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = × − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

53. Um empréstimo de $5.000 foi tomado a juros efetivos em 14 de abril e liquidado por $5.850 em 28 de maio do mesmo ano. Determinar a taxa efetiva mensal contratada. (considere o ano civil) Dados: S = $5.850, P = $5.000, i = ?

n= 14/04 até 28/05 = 148-104 n= 44 dias⇒

( )( )

n

44 30

S P 1 i

$5.850 $5.000 1 i i 11,2988% a.m.

= +

= + ⇒ =

CAPÍTULO 3 Exercícios Propostos

Atenção: Na resolução dos exercícios considerar, salvo menção em contrário, ano comercial de 360 dias.

1. Dada a taxa efetiva de 48% a.a., determinar a taxa equivalente ao mês, ao trimestre e ao semestre. Dados: ia = 48% a.a.

2 4 12 360a s t m d

1/12m a

1/4t a

1/2s a

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )i =(1 + i ) - 1 = 3,32% a.m.i =(1 + i ) - 1 = 10,30% a.t.i =(1 + i ) - 1 = 21,66% a.s.

22

2. Calcular as taxas de juros efetivas mensal, trimestral e semestral equivalentes à taxa nominal de 60% a.a. capitalizada mensalmente. Dados: j = 60% a.a., k = 12, m = 1

k m 12

a a

2 4 12 360a s t m d

1/12m a

1/4t a

1/2s a

j 0,60(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 1,796k 12

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )i =(1 + i ) - 1 = 5,00% a.m.i =(1 + i ) - 1 = 15,76% a.t.i =(1 + i )

×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

- 1 = 34,01% a.s.

3. Determinar a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 60% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: diária, mensal, trimestral e semestral. Dados: j = 60% a.a., m = 1

k m

a

360

a

12

a

4

a

j(1 + i ) = 1+k

0,60Diária (k=360) i = 1+ - 1 = 82,12% a.a.360

0,60Mensal (k=12) i = 1+ - 1 = 79,59% a.a.12

0,60Trimestral (k=4) i = 1+ - 1 = 74,90% a.a.4

Semestral (k=

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2

a0,602) i = 1+ - 1 = 69,00% a.a.

2⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠

4. Calcular a taxa nominal anual equivalente à taxa efetiva de 40% a.a. nas seguintes hipóteses de capitalização dos juros da taxa nominal: mensal, trimestral e semestral. Dados:ia = 40% a.a., m = 1

k m1 k m

a a

1 12

1 4

1 2

j(1 + i ) = 1+ j = (1 + i ) 1 ×kk

Mensal (k=12) j = (1,40) 1 ×12 = 34,12% a.a.

Trimestral (k=4) j = (1,40) 1 ×4 = 35,10% a.a.

Semestral (k=2) j = (1,40) 1 ×2 = 36,64% a

××⎛ ⎞ ⎡ ⎤⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦⎡ ⎤⇒ −⎣ ⎦ .a.

5. A que taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, uma aplicação de $13.000 resulta em um montante de $23.000 em 7 meses? Dados: P = $13.000, S = $23.000, m = 7/12, k = 12, j = ? % a.a.

( )

k m 1 k m

1 12 7 12

j SS = P 1+ j = 1 ×kk P

$23.000j = 1 ×12= 101,90% a.a.$13.000

× ×

×

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

6. Se uma aplicação de $18.000 à taxa nominal de 180% a.a., capitalizada mensalmente, resultou em um montante de $36.204,48, por quantos meses o capital ficou aplicado? Dados: P = $18.000, S = $36.204,48, j = 180% a.a., k =12, m = ? anos 23

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

1,80$36.204,48 $18.000 1+ 1,15 2,01112

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

=

aplicando logaritmos: log 2,011=12×m×log 1,15 m= 5 meses⇒

7. Determinar: a) a taxa efetiva para dois meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada mensalmente. Dados: j = 120% a.a., k = 12, m = 2/12 anos, i = ?

k m

a

2 4 12 360a s t m d

j(1 + i ) = 1+k

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12 2 121,20i = 1+ 1 21%

12

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) a taxa efetiva para 18 meses equivalente à taxa nominal de 120% a.a. capitalizada semestralmente. Dados: j = 120% a.a., k = 2, m =18/12 anos, i = ?

( )2 18 121,20i = 1+ 1 309,60%2

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) a taxa nominal anual capitalizada mensalmente equivalente à taxa efetiva de 10% em 60 dias. Dados: ib = 10% a.b., k = 12, m = 1 ano, j = ? % a.a.

k m6 6

a b b

6 12 1

j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×kk

j = (1,10) 1 ×12 = 58,57% a.a.

××

×

⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎡ ⎤−⎣ ⎦

d) a taxa nominal anual capitalizada trimestralmente equivalente à taxa efetiva de 15% a.s.. Dados: is = 15% a.s., k = 4, m = 1 ano, j = ? % a.a.

k m2 2

a s s

2 4 1

j(1 + i ) = (1 + i ) 1+ j = (1 + i ) 1 ×kk

j = (1,15) 1 ×4 = 28,95% a.a.

××

×

⎛ ⎞ k m⎡ ⎤= ⇒ −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎡ ⎤−⎣ ⎦

e) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.a. capitalizada diariamente. Dados: j = 24% a.a., k = 360, m = 41/360 anos, i = ?

( )360 41 3600,24i = 1+ 1 2,77 %360

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

f) a taxa efetiva para 41 dias equivalente à taxa nominal de 24% a.s., capitalizada diariamente. Dados: j = 24% a.s., k = 180, m = 41/180 anos, i = ?

( )180 41 1800,24i = 1+ 1 5,62 %180

×⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

24

8. Um capital foi aplicado à taxa nominal de 90% a.a., capitalizada mensalmente. Calcular a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos: 180 dias, 3 meses, 5 trimestres e 7 semestres. Dados: j = 90% a.a., k = 12, m = 1

k m 12

a a

2 4 12 360a s t m d

j 0,90(1 + i ) = 1+ (1 + i ) = 1+ 2,382k 12

(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

180 dias

1/2180 dias ai =(1 + i ) - 1 = 54,33%

3 meses 1/4

3 meses ai =(1 + i ) - 1 = 24,23% 5 trimestres

5/45 trimestres ai =(1 + i ) - 1 = 195,89%

7 semestres

7/27 semestres ai =(1 + i ) - 1 = 1.985,24%

9. Uma aplicação de $18.000 rendeu juros efetivos de $4.200 em quatro meses. Qual seria o rendimento em 11 meses? Dados: P = $18.000, S1 = $22.200, n1 = 4 meses, n2 = 11 meses, S2 = ?

( )( ) ( )

n

4m m

S = P 1+i

$22.200 $18.000 1+i 1+i 1,0538= ⇒ =

Por outro lado, ( )11

2 m

2

S = $18.000 1+i $32.043,78J = S - P = $14.043,78

=

10. Quanto devemos aplicar em um CDB que paga uma taxa nominal de 84% a.a. capitalizada mensalmente de modo a obter um montante de $76.000 após quatro meses? Dados: S = $76.000, j = 84% a.a., m = 4/12 anos, k = 12, P = ?

( )

k m

12 4 12

jS = P 1+k

1,84 $76.000 P 1+ P $57.980,0412

×

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

11. Calcular o montante para um capital de $2.000 aplicado conforme as hipóteses a seguir:

Prazo Taxa nominal Capitalização a) 3 meses 48% a.s. mensal

b) 2 anos 18% a.a. mensal c) 17 dias 35% a.m. diária

k mjS = P 1+

k

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

a) Dados: P = $2.000, j = 48% a.s., m = 3/6 semestres, k = 6, S = ?

30,48S = $2.000 1+ $2.519,426

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

25

b) Dados: P = $2.000, j = 18% a.a., m = 2 anos, k = 12, S = ?

12 20,18S = $2.000 1+ $2.859,0112

×⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

c) Dados: P = $2.000, j = 35% a.m., m = 17/30 meses, k = 30, S = ?

170,35S = $2.000 1+ $2.435,94

30⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

12. A juros nominais de 48% a.a., capitalizados mensalmente, determinar em quantos meses um capital de $10.000 rende juros de $3.685,69. Dados: P = $10.000, S = $13.685,69, j = 48% a.a., k = 12, m = ? anos

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

0,48$13.685,69 $10.000 1+ 1,04 1,36812

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

=

aplicando logaritmos: log 1,368 12 m log 1,04 m= 8 meses= × × ⇒

13. Para os prazos a seguir, calcular as taxas efetivas equivalentes à taxa efetiva de 48% a.a.: a) 8 meses

8/128 mesesi =(1,48) - 1 = 29,87%

b) 11 meses

11/1211 mesesi =(1,48) - 1 = 43,24%

c) 18 dias

18/36018 diasi =(1,48) - 1 = 1,98%

d) 3 meses

3/123 mesesi =(1,48) - 1 = 10,30%

e) 420 dias

420/360420 diasi =(1,48) - 1 = 57,99%

f) 7 meses e 12 dias

222/3607 meses e 12 diasi =(1,48) - 1 = 27,35%

14. Qual é a melhor alternativa: investir à taxa nominal de 240% a.a., capitalizada mensalmente, ou à de 264% a.a., capitalizada bimestralmente? Dados: j1 = 240% a.a., k1 = 12, j2 = 264% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, i1 = ? % a.a., i2 = ? % a.a.

ik mi

ii

12

1 1

6

2 2

j(1 + i ) = 1+k

2,40(1 + i ) = 1+ i = 791,61%12

2,64(1 + i ) = 1+ i = 791,61%6

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

26

As alternativas são equivalentes! 15. Qual deve ser a freqüência da capitalização dos juros de uma taxa nominal de 565,98% a.a., de modo que seja equivalente à taxa nominal de 480% a.a., capitalizada bimestralmente? Dados: j1 = 565,98% a.a., j2 = 480% a.a., k2 = 6, m = 1 ano, k1 = ?

1 2

1

k m k m1 2

1 2

k 6

1

j j1+ = 1+k k

5,6598 4,801+ = 1+ 34,01k 6

× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

11

1 1

5,6598aplicando logaritmos: log 34,01 3,5266 k log 1+k

Oras, sabemos que k é um divisor de 12, então testando valores obtemos k = 4

⎛ ⎞= = × ⎜ ⎟⎝ ⎠

Logo, a capitalização é trimestral!

16. Em quanto tempo dobra um capital aplicado à taxa nominal de 227,05% a.a., capitalizada mensalmente ? Dados: S = 2 x P, j = 227,05% a.a., k = 12, m = ? anos

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

2,27052 1+ 1,189 212

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

=

aplicando logaritmos: log 2=12×m×log 1,189 m= 4 meses⇒

17. Em 14 meses, uma aplicação de $12.000 rendeu juros brutos de $2.300. Considerando-se a cobrança de um imposto de 2% sobre os rendimentos, calcular a taxa efetiva mensal obtida pela aplicação. Dados: P = $12.000, J = $2.300, Imposto = 2%, im = ? a) Rendimento efetivo em 14 meses:

[ ] rendimento efetivo juros brutos - imposto $2.3000 0,02 $2.300 $2.254

=

= − × =

b) Taxa de rendimento efetivo mensal:

114

m$2.254i 1 1 1,2371% a.m.

$12.000

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

eses à taxa efetiva de 45% a.a.. ados: P = $17.8000, i = 45% a.a., m = 7 meses, J = ?

18. Calcular o rendimento de $17.800 aplicados por sete mD

( )7 12nJ = P (1+i) 1 = $17.800 1,45 1 $4.308,10⎡ ⎤⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

19. Um capital de $24.000 aplicado à taxa nominal de 120% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu

ados: P = $24.000, S = $29.040, j = 120% a.a., k = 12, m = ?

$5.040. Determinar o prazo da operação. D

27

( )

k m

12 m12 m

jS = P 1+k

1,20$29.040 $24.000 1+ 1,21 1,112

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= × ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

'

aplicando logaritmos: log 1,21=12×m×log 1,1 m= 2 meses⇒

20. Em sete meses, um investimento de $15.000 teve um rendimento bruto de $4.000. Considerando-se um imposto de 3% sobre o rendimento e uma comissão de 1,5% sobre o valor aplicado, calcular a taxa de juros efetiva mensal ganha na aplicação. Dados: P = $15.000, J = $4.000, Imposto = 3%, Comissão = 1,5%, im = ? a) Rendimento efetivo em 14 meses:

[ ] [ ] rendimento efetivo juros brutos - imposto - comissão $4.0000 0,03 $4.000 0,015 $15.000 $3.655

=

= − × − × =

b) Taxa de rendimento efetivo mensal:

17

m$3.655i 1 1 3,1642% a.m.

$15.000⎛ ⎞= + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

21.Um investimento rende juros nominais de 6% a.a., capitalizados mensalmente. Calcular a taxa efetiva anual. Dados: j = 6% a.a., k = 12, m = 1 ano, ia = ?

k m

a

12

a

j(1 + i ) = 1+k

0,06i = 1+ 1 6,1678%12

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

22. Em operações de crédito, o Banco A cobra uma taxa efetiva de 30% a.a., e o Banco B cobra juros nominais de 27% a.a., capitalizados mensalmente. Qual é a melhor taxa para o cliente? Dados: i = 30% a.a., j = 27% a.a., k = 12, m = 1 ano

ak×m 12

a

Taxa efetiva anual:Banco A i =30% a.a.

j 0,27 Banco B i = 1+ - 1= 1+ - 1=30,60% a.a.k 12

O oferta A é a melhor para o cliente. Representa a menor taxa efetiva

⇒

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23. Uma aplicação a juros nominais de 24% a.a., capitalizados semestralmente, resultou em um montante de $10.000. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $15.735,19. Calcular o capital e o prazo da aplicação em anos. Dados: S1 = $10.000, S2 = $15.735,19, j1 = 24% a.a., j1 = 48% a.a., k1 =2, k2 = 4. P = ?, m = ? anos

[ ]

k m

m2

m

jS = P 1+k

0,24 $10.000$10.000 P 1+ P2 1, 2544

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Por outro lado,

28

[ ]$15.735,19 P 1+ 1,2544 1,57354

= ⇒ =⎢ ⎥

k m

m4m

jS = P 1+k

0,48

×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦

aplicando logaritmos: log 1,5735 m log 1,2544 m= 2 anos P= $6.355,18= × ⇒ ⇒ 24. Em que prazo um capital de $75.000, aplicado à taxa nominal de 22% a.a., capitalizada semestralmente, resulta em um montante de $ 155.712? Dados: P = $75.000, S = $155.712, j = 22% a.a., k = 2, m = ?

( )2 m$155.712 $75.000 1+ 2,076 1,112

k m

2 m

jS = P 1+k

0,22

×

××

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞'

25. Dois capitais foram aplicados. O primeiro de $8.000, à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada trimestralmente, e o segundo de $33.800,80, à taxa nominal de 10% a.a., capitalizada semestralmente. Em quantos anos os dois capitais produzirão o mesmo rendimento? Dados: P1 = $8.000, P2 = $33.800,80, j1 = 20% a.a., j1 = 10% a.a., k1 = 4, k2 = 2, J1 = J2, m = ? anos

= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 2,076=2×m×log 1,11 m= 42 meses⇒

( )

k m

4 m 2 m

2m

jrendimento: J = P 1+ 1k

0,20 0,10$8.000 1+ -1 = $33.800,80 1+ -14 2

1,05 3, 2251

×⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⇒ =

⎤⎥⎥⎦

aplicando logaritmos: log 3,2251 m log 1,1025 m = 12 anos= × ⇒

26. Um capital de $12.600 foi aplicado por três anos à taxa nominal de 22% a.a.. Calcular o montante, considerando-se que, no primeiro ano, os juros são capitalizados semestralmente; no segundo, trimestralmente, e no terceiro, bimestralmente. Dados: P = $12.600, j = 22% a.a., k1 = 2, k2 = 4, k3 = 6, m1 = 1 ano, m2 = 1 ano, m3 = 1 ano, S = ?

k m

2 4

S = P 1+k⎜ ⎟

⎝ ⎠ 6

j

$23.870, 48

×⎛ ⎞

0,22 0,22 0,22S $12.600 1+ 1+ 1+ S2 4 6

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒

27. Um capital de $12.500 aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu juros de $12.172,78. Calcular o prazo da aplicação. Dados: P = $12.500, j = 24% a.a., k = 2, S = $24.672,78, m = ? anos

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠⎝

29

( )$24.672,78 $12.5 0 1 1,9738 1,122

k m

2 m

jS = P 1+k

0,240 +

×

×2 m×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞'

= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒

28. Três quartos de um capital foram aplicados à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada semestralmente, e o restante a 12% a.s., capitalizada trimestralmente. Considerando-se o prazo de aplicação de quatro anos e sabendo-se que o rendimento ( juros obtidos) da primeira parcela foi $4.726,04 maior que o rendimento da segunda, calcular o capital. Dados: P1 = (3/4) x P, P2 = (1/4) x P, J1 – J2 = $4.726,04, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 12% a.s., k2 = 2, m,=,4 anos = 8 semestres, P = ?

( )k mjS P 1 J - = S - S - P - P

×⎛ ⎞

1 2 1 2 1 2

2 4 2 8

k

3 0, 2 1 0,12 1$4.726,04 = P 1 1 P= $10.0004 2 4 2 2

× ×

J= +⎜ ⎟⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

29. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $9.738,23. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o rendimento seria de $28.959,76.

zo da aplicação em anos e calcular o valor do capital.

⇒

Determinar o praDados: J = $9.1 738,23, J2 = $28.959,76, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ?

( )

k×m

2×m2×m

jJ = P 1+ -1k

0,24 $9.738,23$9.738,23 = P 1+ -1 1,12 = 12 P

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Por outro lado, k×m

4×m

2

jJ = P 1+ -1k

0,48$28.959,76 = P 1+ 14

$9.738,23$28.959,76 = P 1 -1P

$9.738,23$28.959,76 = $9.738,23 2 P= $10.000P

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤+ ⇒

⎢ ⎥⎣ ⎦

( )

( )

2×m $9.738,23 $9.738,231,12 = 1 1P $10.000

+ = +

2×m1,12 = 1,9738aplicando logaritmos: log 1,9738 2 m log 1,12 m= 3 anos= × × ⇒

30. Um capital aplicado durante quatro anos à taxa nominal de 12% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu de juros $12.252 a mais do que teria rendido se a capitalização fosse semestral. Calcular o alor do capital. ados: J1 – J2 = $12.252, j = 12% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 4 anos, P = ?

vD

30

( )k mjS P 1

×⎛ ⎞= + ⇒⎜⎝

1 2 1 2 1 2

12 4 2 4

J - J = S - S - P - Pk

0,12 0,12$12.252 = P 1 1 P= $666.666,5612 2

× ×

⎟⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

31. Dividir a importância de $2.832.774 em três partes, de modo que, aplicadas à taxa nominal de 20% a.a., capitalizada semestralmente, produzam, respectivamente, montantes iguais em dois, três e cinco nos, considerando-se que a diferença entre o primeiro e o segundo capital é de $205.627,30. a

Dados: P1 – P2 = $205.627,30, P1 + P2+ P3 = $2.832.774, j = 20% a.a., k = 2, m1= 2 anos, m2 = 3 anos, m3 = 5 anos, P1 = ?, P2 = ?, P3 = ?

( )

1 2k m k mj j× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 2P 1 = P 1k k

+ +

2 2 2 3

2 2 2

1 3

0,2 0,2P + 205.627,30 1 = P 1 P = $979.177,612 2

P = $1.184.804,92 P = $668.791,47

× ×

⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

32. Dois capitais foram aplicados pelo prazo de dois anos. O primeiro à taxa nominal de 20% a.a.,

⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

capitalizada semestralmente, e o segundo, à de 18% a.a., capitalizada trimestralmente. Considerando-se que os juros obtidos pelo primeiro capital excederam em $6.741,00 os juros obtidos pelo segundo e que o primeiro é $10.000 maior que o segundo, calcular os dois capitais. Dados: P1 – P2 = $10.000, J1 – J2 = $6.741, j1 = 20% a.a., k1 = 2, j2 = 18% a.a., k2 = 4, m = 2 anos, P1 = ?, P = ? 2

( )

( )

1 2 1 2 1 2

2 2 4 2

2 2

2 1

J - J = S - S - P - P

0,20 0,18$6.741 = P + $10.000 1 - P 1 $10.0002 4

P = $50.000,73 P = $60.000,73

× ×⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇒

Um capital foi aplicado durante cinco anos à taxa nominal de 5.5% a.a., capitalizada

?

33. semestralmente, e a seguir seu montante foi colocado a juros efetivos de 4% a.a. durante dez anos. A que taxa efetiva anual única o capital poderia ser aplicado durante todo esse tempo de modo que resultasse no mesmo montante? Dados: j1 = 5,5% a.a., k = 2, i = 4% a.a., m = 5 anos, n = 10 anos, n = 15 anos, i = 1 2 1 2

( )

( ) ( ) ( )

k mn

2 510 15 15

jS = P 1+ P 1+ik

0,0551+ 1+0,04 1+i 1+i 1,9416 i = 4,5226% a.a.2

×

×

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ = ⇒ = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

34. Uma pessoa precisa de $10.000 por dois anos. Oferecem-lhe o dinheiro nas seguintes condições: a) a juros nominais de 5% a.a., capitalizados trimestralmente; b) à taxa nominal de 5,375% a.a., capitalizada semestralmente; e c) a juros simples de 5,5% a.a. Qual é a melhor oferta? Dados: j1 = 5% a.a , k1 = 4, j2 = 5,375% a.a , k2 = 2, i3 = 5,5% a.a., n = 2 anos

31

( )

k×m 4×2

k×m 2×2

Juros pagos:

j 0,05Oferta A = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $1.044,86k 4

j 0,05375 Oferta B = P 1+ - P = $10.000× 1+ -$10.000 = $ .119,12k 2

Oferta C = P 1+i n - P = $10.0

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

× ( )00× 1+0,055 2 -$10.000 = $1.100,00A oferta A é a melhor para o cliente. Paga-se menos juros nela.

×

to

ados: P1 = $20.000, P2 = J1, j1 = 18% a.a., j2 = 12% a.a., k1 =2, k2 = 4, m1 = 4 anos, m2 = 15/12 anos, J2 = ?

1

35. Uma pessoa aplicou um capital de $20.000 durante quatro anos à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros obtidos foram reaplicados

l de 12% a.a., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimenpor mais 15 meses à taxa nominaessa última aplicação. d

D

k mj ×

equação para calcular os juros: J = P 1+ 1k

⎡ ⎤⎛ ⎞ −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 4

2 1 2 0,18 P = J = $20.000 1+ 1 P = $19.851,25

2

×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠

o l⎢ ⎥⎣ ⎦

or outr ado, P( )4 15 12

2 20,12J = $19.851,25 1+ 1 J = $3.161,79

4

×⎡ ⎤⎛ ⎞ − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

6. Um banco oferece uma rentabilidade efetiva de 40% a.a.. Considerando-se que o investidor tem

i =(1 + i ) - = 8,78% a.t.

A oferta B (9% a.t.) oferece maior taxa efetiva, portanto maior rentabilidade para o cliente! 37. Um investidor aplicou $25.000 na Bolsa de Valores esperando ganhar uma rentabilidade efetiva de 100% a.a.. Caso tal rentabilidade ocorresse, calcular os juros obtidos ao fim de 20 meses.

5.000, i = 100% a.a., n = 20 meses, J = ?

3condições de ganhar juros efetivos de 9% a.t. em outro banco, qual deve ser a alternativa escolhida? Dados: i1 = 40% a.a, i2 = 9% a.t

2 4 12 360a s t m d(1 + i ) = (1 + i ) = (1+ i ) = (1+i ) = (1+i )

1/4

t1 a 1

Dados: P = $2

( )

( )

n

20 12

J P 1 i 1

J $25.000 2 1 J $54.370,05

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦⎡ ⎤= − ⇒ =⎣ ⎦

38. Um capital aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada semestralmente, rendeu $2.294,08. Se a taxa fosse de 48% a.a., capitalizada trimestralmente, o montante seria de $9.903,85. Calcular o capital e o prazo da aplicação. Dados: J1 = $2.294,08, S2 = $9,903,85, j1 = 24% a.a., k1 = 2, j2 = 48% a.a., k2 = 4, P = ?, m = ?

32

( )

k×m

2×m2×m

jJ = P 1+ -1k

0,24 $2.294,08$2.294,08=P 1⎢⎜⎝

+ -1 1,12 = 12 P

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⇒ +⎥⎟⎠

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎢ ⎥⎣ ⎦Por outro lado,

k×mjJ = P 1+ -1k

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥

22×m⎡ ⎤

2

0,48$9.903,85=P 1+4

$2.294,08$9.903,85=P 1P

$2.294,08 P$9.903,85=$2.294,08 2 P= $4.000P $2.294,08

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

+ + ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦

39. O Produto Interno Bruto (PIB) de um país cresceu 200% em dez anos. Qual foi a taxa de crescimento anual média? Dados: idécada = 200% a.d., i = ?

1.61% a.a. 40. Em 12/10/2006, um foi aplicado à taxa nom a.a., capitalizada diariamente. C cu s os m n r a ivil). Dados: j = 36% a. k = 5, $ = =

nd t c g s iv tre as duas datas (capítulo 1 do livro): e s r d v ro) = +328 e e te e = −285

⎢ ⎥⎣ ⎦

aplicando logaritmos: log 1,5735=2×m×log 1,12 m= 2 anos⇒

a 10 1/10

década a a d(1 + i ) = (1 + i ) i =(1 + i ) - 1 = 1⇒

capital de $2.300 inal de 36%al lar o jur acu ulados em 24/11/2007 (co side ar o no c

a., 36 P = 2.300, m ?, J ?

Determinação do prazo usa o a ábua para onta em de dia do ano c il en

número d dias da data po terio (24 e no emb núm ro d dias da data an rior (12 d outubro)

prazo: 43 dias Prazo total = 365 + =

43 408 dias

k m×

408

j+ ⎞J P ⎛⎢ 1 1

0 $ 8

=k ⎟

⎠

0,36 ⎞J $2.3 0 ⎢ ⎥1+ 1− J = 1.13 ,80365 ⎠

⎡ ⎤−

⎛= × ⎜⎝

bu a o e e e s a

⎥⎜⎝⎢⎣ ⎥⎦

⎡ ⎤⇒⎟

⎢ ⎥⎣ ⎦Tá a p ra c ntag m d dias entr dua dat s

J . AN FEV. MAR ABR.

MAI. JUN. JUL. AGO SET. OUT. NOV DEZ.

1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 3352 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 3363 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 3374 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 3385 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 3396 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 3407 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 3418 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 3429 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343

10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 34411 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 34512 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 34613 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 34714 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 34815 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349

33

16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 35017 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 35118 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 35219 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 35320 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 35421 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 35522 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 35623 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 35724 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 35825 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 35926 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 36027 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 36128 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 36229 88 119 149 180 210 241 272 302 333 36330 89 120 150 181 211 242 273 303 334 36431 90 151 212 243 304 365

41. Em 31/12/2005, uma pessoa aplicou $10.000 à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada diariamente.

30/06/2007 (considerar o ano civil). Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k =365, P = $10.000, m1 = ?, m1 = ?, S = ?

Considerando-se que, a partir de 01/01/2007, a taxa nominal passou a ser de 20% a.a., calcular o valor de resgate da aplicação no dia

1 1

2 2

m = 31/12/2005 até 01/01/2007 m = 366 dias m = 01/01/2007 até 30/06/2007 m = 180 dias

⇒⇒

k m

366 180

jS P 1+k

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛

0,24 0,20S $10.000 1+ 1+ S $14.037,98365

⎞ ⎛ ⎞= × ⇒ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟365

×

⎝ ⎠ 42. Uma aplicação foi feita em duas parcelas. A primeira por quatro anos à taxa nominal de 28% a.a., com capitalização trimestral, e a segunda por dois anos à taxa nominal de 12% a.s., com capitalização mensal. Considerando-se que a primeira parcela excede em $100 a segunda e a diferença dos juros obtidos entre as duas é de $1.404,57, calcular o valor do capital. Dados: P1 – P2 = $100, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 28% a.a., k1 = 4, j2 = 12% a.s., k2 = 6, m1 = 4 anos, m2

4 semestres, P = P + P = ?

⎝ ⎠

= 1 2

( )

( )

1 2 1 2 1 2

4 4 6 4

2 2

J - J = S - S - P - P

0,28 0,12$1.404,57 = P + $100 1 - P 1 $100× ×

2

4 6P = $900 P = $1.000 P= $1.900

⎝ ⎠ ⎠⇒ ⇒1

⎛ ⎞

43. Um capital de $4.000 foi aplicado por 11 meses: nos primeiros três meses à taxa de 24% a.a., capitalizada mensalmente, e nos 8 últimos meses à taxa de 36% a.s., capitalizada trimestralmente. Calcular o rendimento da aplicação. Dados: j1 = 24% a.a., j2 = 36% a.s., k1 = 12, k2 = 2, P = $4.000, m1 = 3 meses, m2 = 8 meses, J = ?

⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝

k m

3 2

J P 1+ 1k

0,24 0,36J=$4.000 1+ 1+ 1 $1.910,5012 2

j ×⎡ ⎤⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

eses: nos primeiros 11 meses à taxa de 48% a.a., capitalizada mensalmente, nos 12 meses seguintes à taxa de 40% a.s., capitalizada trimestralmente, e nos últimos 2 meses à taxa de 36% a.a., capitalizada bimestralmente . Calcular o montante final. Dados: j1 = 48% a.a., j2 = 40% a.s., j3 = 36% a.a., k1 = 12, k2 = 2, k3 = 6, P = $6.000, m1 = 11 meses, m2 = 12 meses, m1 = 2 meses, S = ?

⎢ ⎥

⎣ ⎦ 44. Um capital de $6.000 foi aplicado por 25 m

34

k m

12 (11/12) 2 (12 / 6) 6 (2 /12)

jS P 1+k

0,48 0,40 0,36S $6.000 1+ 1+ 1+ $20.302,4712 2 6⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 45. Dois terços

×

× × ×

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × × =

de um capital foram aplicados por dois anos à taxa de 18% a.s., capitalizada a.t., capitalizada

ensalmente. Considerando-se que o valor do capital é de $12.000 e o rendimento da primeira parcela é $4.048,79 maior que o rendimento da segunda, calcular o prazo em anos da segunda parcela. Dados: P1 = $8.000, P2 = $4.000, J1 – J2 = $1.404,57, j1 = 18% a.s., k1 = 3, j2 = 18% a.t., k2 = 3, m1 = 4 semestres, m2 = ?

bimestralmente, e o restante foi aplicado por um determinado prazo à taxa de 18%m

( )

( ) 23 m1,06 2,012× =

2

1 2 1 2 1 2

3 4 3 m

J - J = S - S - P - P× ×

46. Um capital foi aplicado por 18 meses a juros nominais de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Se

inal fossem semestrais, o rendimento seria $1.000 menor. Calcular o alor do capital.

Dados: J1 – J2 = $1.000, j = 24% a.a., k1 = 12, k2 = 2, m = 18 meses, P1 = P2 = P = ?

0,18 0,18$4.048,79 = $8.000 1 - $4.000 1 $4.000

3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 2,012=3×m×log 1,06 m= 4 trimestres = 1 ano⇒

as capitalizações da taxa nomv

( )1 2 1 2 1 2

18 3

J - J = S - S - P - P

$1.000 = P 1⎡ ⎤⎛ 0,24 0,24 P = $42.884,87⎞ ⎛ ⎞ ⇒1

12 2+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ 47. Calcular o prazo em que um capital dobra quando aplicado a juros nominais de 120,17% a.a., capitalizados diariamente. Dados: S = 2 × P, j = 120,17% a.a., k = 360, m = ?

( )

k m

360 m360 m

jS P 1k

1,20172 1 1,00334 2360

×

××

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

aplicando logaritmos: log 2=360×m×log 1,00334 m= 208 dias⇒

que prazo devemos aplicar um capital a48. A juros nom

trimestralmente, de modo que ele proporcione o me mo rinais de 20% a.a., capitalizados

endimento obtido se for aplicado durante oito anos a juros efetivos de 5% a.a.? Dados: j = 20% a.a., k = 4, i = 5% a.a., n = 8 anos, m =?

s

( )4×m

4×m8 0,2(1,05) = 1+ 1,477 1,054

⎛ ⎞

k×mn j(1 + i) = 1+

k⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⇒ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

35

aplicando logaritmos: log 1,477=4×m×log 1,05 m= 2 anos⇒ 49. Um investidor teria o mesmo rendimento se aplicasse um capital em qualquer uma de duas opções de investimento. A primeira opção permite aplicar o capital durante quatro anos à taxa efetiva composta de 8% a.a., e a segunda, durante dois anos a uma determinada taxa nominal anual,

Dados: k = 2, i = 8% a.a., n = 4 anos, m = 2 anos, j = ?

capitalizada semestralmente. Qual é a taxa nominal?

k×mn j(1 + i) = 1+

k⎛ ⎞⎜ ⎟

2×2

⎝ ⎠

4 j(1,08) = 1+ j 16% a.a.2

⎛ ⎞ ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

50. Em que data um capital de $10.000, aplicado em €20 de setembro de 2006 a juros efetivos de 40% a.a., resultará em um montante de €$19.600? (trabalhar com o ano civil) Dados: i = 40% a.a., P = $10.000, S = $€19.600, n =?

( )( ) ( )

n

n 365 n 365

S P 1+i=

meses) de aplicação de um capital de $20.000 de modo que ele proporcione um ndimento mínimo de $5.000 quando aplicado à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente?

Dados: S = $25.000, P = $20.0000, j = 24% a.a., k = 12, m = ?

$19.600 $10.000 1,4 1,4 1,96000= × ⇒ =

aplicando logaritmos: 365×log 1,9600=n×log 1,4 n= 730 dias⇒ Logo, o prazo é de dois anos e a data final é 19 de setembro de 2008.

51. Qual o prazo (emre

( )

k m

12 m12 m

jS P 1k

0,241, 25 1 1,02 1,2512

×

××

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

20% a.a., o que motivou o saque de uma siderando-se que, transcorridos seis meses

desse saque, a conta foi encerrada, resgatando-se o saldo total de $20.000, calcular o capital inicialmente aplicado. Dados: P2 = S1 – P1/2, j1 = 24% a.a., j2 = 20% a.a., k = 4, m1 = 1 ano, m2 = 6 meses, S2 = $20.000, P1 = ?

aplicando logaritmos: log 1,25=12×m×log 1,02 m= 12 meses⇒ 52. Um capital foi aplicado em uma conta remunerada que pagava uma taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente. Depois de um ano, a taxa baixou para quantia igual a 50% do capital inicialmente aplicado. Con

4 1×⎡ ⎤⎞

2 1 1 11 0,24P = S - P = P 1+2 4

⎛⎢⎜⎝ ⎠

2 10,5 P = 0,762 P− ⇒⎥⎟⎢ ⎥⎣ ⎦

Por outro lado, k m

4 0,5

1 1

jS = P 1+k

0,20$20.000 = 0,7625 P 1+ P = $23.791,664

×

×

×

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞× ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠

36