Para maiores informações teóricas sobre este assunto veja também:

Probabilidade - Conceitos

Exercícios resolvidos - Probabilidade

1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidadedesta bola ser verde?

Neste exerc íc io o espaço amostral possui 12 elementos , que é o número total de bolas , portanto aprobabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemosrepresentar a resolução ass im:

A probabilidade desta bola ser verde é 5/12

2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com amesma face para cima?

A través do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos aolançarmos três moedas .

C omo cada moeda pode produzir dois resultados dis tintos , três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultadosdis tintos , ou seja, poderão produzir 8 resultados dis tintos . Es te é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 poss ibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma facepara c ima possui apenas 2 poss ibilidades , ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.

3) Um casal pretende ter f ilhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%.Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma dec imal é igual a 0,2.A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Es te exerc íc io trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida),então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais .C omo a mulher só deve engravidar no quarto mês , então a probabilidade dos três meses anteriores deve serigual à probabilidade dela não engravidar no mês , logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.

Então:

A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.

4) Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele f izer 5 tentativas,qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?

O u o c redor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada tentativa es tamos

tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra poss ibilidade, além do fato de a probabilidade ser amesma em todas as tentativas , vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5.

k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1.

p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4.

q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6.

Subs tituindo tais valores na fórmula temos:

O número binomial é ass im resolvido:

Então temos:

A ss im:

A probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.

5) Em uma caixa há 2 f ichas amarelas, 5 f ichas azuis e 7 f ichas verdes. Se retirarmos uma única f icha, qual aprobabilidade dela ser verde ou amarela?

Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, is to é, não

haver elementos em comum aos dois eventos , podemos s implesmente utilizar.

A o somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Es ta quantidade é o número total deelementos do espaço amostral.

Nes te exerc íc io os eventos obter f icha verde e obter f icha amarela são mutuamente exclusivos, pois aocorrênc ia de um impede a ocorrênc ia do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos . Não hábolas verdes que são também amarelas . Nes te caso então podemos utilizar a fórmula:

Note que es ta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos .

O evento de se obter f icha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos , que é onúmero total de fichas , então a probabilidade do evento obter f icha verde ocorrer é igual a 7/14:

A nalogamente, a probabilidade do evento obter f icha amarela, que possui 2 elementos , é igual a 2/14:

O bserve que poderíamos ter s implificado as probabilidades , quando então 7/14 passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, noentanto is to não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades prec isamos que elas tenham umdenominador comum:

Es te exerc íc io foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que vocêtivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você pres taratenção ao enunc iado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que em alguns casos

pode tornar a resolução mais rápida. V ejamos:

Note que a probabilidade de se obter f icha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então a probabilidade de não seobter f icha azul é 9 em 14, pois :

O 1 que aparece na expressão ac ima se refere à probabilidade do espaço amos tral.

Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma f icha azul, só poderemoster uma f icha verde ou uma f icha amarela, pois não há outra opção.

A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.

6) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também aoacaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel?

A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2.

A probabilidade de escolhermos um pas tel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como aprobabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos:

A probabilidade de escolhermos um pas tel na segunda travessa é 4 em 6, is to é 4/6 e como a probabilidadede escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:

Então a probabilidade de escolhermos um pas tel é igual a:

A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48.

7) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cadaquadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam denenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer,qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

C hamemos de A o evento da ocorrênc ia de um 3:

A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }

C hamemos de B o evento da ocorrênc ia de um 4:

B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }

V eja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos , logo .

C alculando as probabilidades de A , B e da intersecção, temos:

Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união dedois eventos:

Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, descons iderando-se a ocorrênc ia que se

repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).

A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28.

8) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolasdesta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha ebranca?

No evento E1 a probabilidade de tirarmos uma bola verde é de 4 em 16:

C omo não há repos ição, a cada retirada o número de elementos do espaço amostral diminui em uma unidade.

No evento E2 a probabilidade de tirarmos uma bola azul é de 4 em 15:

No evento E3 a probabilidade de tirarmos uma bola vermelha é de 4 em 14:

No evento E4 a probabilidade de tirarmos uma bola branca é de 4 em 13:

Finalmente a probabilidade de tirarmos as bolas conforme as res trições do enunc iado é:

A probabilidade é 8/1365.

9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso deespanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual aprobabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol?

C hamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês .

P odemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:

Segundo o enunc iado e , então:

Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do númerode elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que jáocorreu.

A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é 2/5.

10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade destabola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

V amos representar por E3 o evento da ocorrênc ia das bolas divis íveis por 3:

E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 }

E por E4 vamos representar o evento da ocorrênc ia das bolas divis íveis por 4:

E4 = { 4, 8, 12 }

O espaço amostral é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

A probabilidade de sair uma bola divis ível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divis ível por 4 é:

C omo es tamos interessados em uma ocorrênc ia ou em outra, devemos somar as probabilidades , mas comoexplicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois taiseventos não são mutuamente exc lus ivos . C omo podemos ver, o número 12 es tá contido tanto em E3 quantoem E4, ou seja:

A probabilidade da intersecção é:

P ortanto:

A probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7/15.