Exercícios Resolvidos Eletromagnetismo

LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IFUFRGS 30 de Junho de 2004, a`s 4:17

Exerccios Resolvidos de Teoria EletromagneticaJason Alfredo Carlson Gallas

Professor Titular de Fsica TeoricaDoutor em Fsica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal do Rio Grande do SulInstituto de Fsica

Materia para a PRIMEIRA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livroFundamentos de Fsica, Halliday, Resnick e Walker.

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Conteudo23 Carga Eletrica 2

23.1 Questoes . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Problemas e Exerccios . . . . . . . . . 3

23.2.1 Lei de Coulomb . . . . . . . . 323.2.2 A Carga e Quantizada . . . . . 823.2.3 A Carga e Conservada . . . . . 1023.2.4 As Constantes da Fsica: Um

Aparte . . . . . . . . . . . . . . 10

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23 Carga Eletrica

23.1 Questoes

Q 23-1Sendo dadas duas esferas de metal montadas em supor-te portatil de material isolante, invente um modo de car-rega-las com quantidades de cargas iguais e de sinaisopostos. Voce pode usar uma barra de vidro ativada comseda, mas ela nao pode tocar as esferas. E necessarioque as esferas sejam do mesmo tamanho, para o metodofuncionar? Um metodo simples e usar inducao eletrostatica: aoaproximarmos a barra de vidro de qualquer uma das es-feras quando ambas estiverem em contato iremos indu-zir (i) na esfera mais proxima, uma mesma carga iguale oposta a` carga da barra e, (ii) na esfera mais afastada,uma carga igual e de mesmo sinal que a da barra. Sesepararmos entao as duas esferas, cada uma delas ira fi-car com cargas de mesma magnitude porem com sinaisopostos. Este processo nao depende do raio das esfe-ras. Note, entretanto, que a densidade de cargas sobrea superfcie de cada esfera apos a separacao obviamentedepende do raio das esferas.

Q 23-2Na questao anterior, descubra um modo de carregar asesferas com quantidades de carga iguais e de mesmo si-nal. Novamente, e necessario que as esferas tenham omesmo tamanho para o metodo a ser usado? O enunciado do problema anterior nao permite quetoquemos com o bastao nas esferas. Portanto, repeti-mos a inducao eletrostatica descrita no exerccio ante-rior. Porem, mantendo sempre a barra proxima de umadas esferas, removemos a outra, tratando de neutralizara carga sobre ela (por exemplo, aterrando-a). Se afas-tarmos o bastao da esfera e a colocarmos novamente emcontato com a esfera cuja carga foi neutralizada, iremospermitir que a carga possa redistribuir-se homogenea-mente sobre ambas as esferas. Deste modo garantimosque o sinal das cargas em ambas esferas e o mesmo. Pa-ra que a magnitude das cargas seja tambem identica enecessario que as esferas tenham o mesmo raio. E que adensidade superficial comum a`s duas esferas quando emcontato ira sofrer alteracoes diferentes em cada esfera,apos elas serem separadas, caso os raios sejam diferen-tes.

Q 23-3Uma barra carregada atrai fragmentos de cortica que, as-sim que a tocam, sao violentamente repelidos. Expliquea causa disto. Como os dois corpos atraem-se inicialmente, deduzi-mos que eles possuem quantidades de cargas com sinaisdiferentes. Ao tocarem-se a quantidade de cargas menore equilibrada pelas cargas de sinal oposto. Como a cargaque sobra reparte-se entre os dois corpos, estes passam arepelir-se por possuirem, entao, cargas de mesmo sinal. Note que afirmar existir repulsao apos os corpostocarem-se equivale a afirmar ser diferente a quantida-de de cargas existente inicialmente em cada corpo.

Q 23-4As experiencias descritas na Seccao 23-2 poderiam serexplicadas postulando-se quatro tipos de carga, a saber,a do vidro, a da seda, a do plastico e a da pele do animal.Qual e o argumento contra isto?

E facil verificar experimentalmente que os quatro ti-pos novos de carga nao poderiam ser diferentes umasdas outras. Isto porque e possvel separar-se os quatrotipos de carga em dois pares de duas cargas que sao in-distinguveis um do outro, experimentalmente.

Q 23-6Um isolante carregado pode ser descarregado passando-o logo acima de uma chama. Explique por que?

E que a alta temperatura acima da chama ioniza o ar,tornando-o condutor, permitindo o fluxo de cargas.

Q 23-9Por que as experiencias em eletrostatica nao funcionambem em dias umidos? Em dias umidos existe um excesso de vapor deagua no ar. Conforme sera estudado no Captulo 24, amolecula de agua, , pertence a` classe de moleculasque possui o que se chama de momento de dipoloeletrico, isto e, nestas moleculas o centro das cargaspositivas nao coincide com o centro das cargas nega-tivas. Este desequilbrio faz com que tais moleculassejam eletricamente ativas, podendo ser atraidas porsuperfcies carregadas, tanto positiva quanto negativa-mente. Ao colidirem com superfcies carregadas, as



moleculas agem no sentido de neutralizar parte da car-ga na superfcie, provocando deste modo efeitos inde-sejaveis para os experimentos de eletrostatica. Isto por-que nao se tem mais certeza sobre qual a quantidade decarga que realmente se encontra sobre a superfcie.

Q 23-13Uma pessoa em pe sobre um banco isolado toca um con-dutor tambem isolado, mas carregado. Havera descargacompleta do condutor? Nao. Havera apenas uma redistribuicao da carga entreo condutor e a pessoa.

Q 23-14(a) Uma barra de vidro positivamente carregada atrai umobjeto suspenso. Podemos concluir que o objeto estacarregado negativamente? (b) A mesma barra carregadapositivamente repele o objeto suspenso. Podemos con-cluir que o objeto esta positivamente carregado? (a) Nao. Poderamos estar lidando com um objetoneutro porem metalico, sobre o qual seria possvel in-duzir uma carga, que passaria entao a ser atraido pelabarra. (b) Sim, pois nao se pode induzir carga de mes-mo sinal.

Q 23-16Teria feito alguma diferenca significativa se BenjaminFranklin tivesse chamado os eletrons de positivos e osprotons de negativos? Nao. Tais nomes sao apenas uma questao deconvencao. Na terceira edicao do livro, afirmava-se que Fran-klin, alem de positivo e negativo, haveria introdu-zido tambem as denominacoes bateria e carga. Naquarta edicao a coisa ja mudou de figura... Eu tenho aimpressao que positivo e negativo devem ser ante-riores a Franklin mas nao consegui localizar referenciasadequadas. O qumico frances Charles Francois de Cis-ternay Du Fay (1698-1739), descobriu a existencia dedois tipos de eletricidade: vitrea (do vidro) e resinosa(da resina).Porem, a quem sera que devemos os nomes de cargaspositivas e negativas? Ofereco uma garrafa de boachampanha a quem por primeiro me mostrar a solucaodeste puzzle!

Q 23-17A Lei de Coulomb preve que a forca exercida por umacarga puntiforme sobre outra e proporcional ao produto

das duas cargas. Como voce poderia testar este fato nolaboratorio? Estudando de que modo varia a forca necessaria paralevar-se cargas de distintos valores ate uma distancia ,constante, de uma outra carga fixa no espaco.

Q 23-18Um eletron (carga

) gira ao redor de um nucleo(carga ) de um atomo de helio. Qual daspartculas exerce maior forca sobre a outra? Se realmente voce nao souber a resposta correta, oufaz e entende o Exerccio E 23-2 ou tranca o curso bemrapido!

Q 23-15 extra A forca eletrica que uma carga exercesobre outra se altera ao aproximarmos delas outras car-gas? A forca entre duas cargas quaisquer depende unicae exclusivamente das grandezas que aparecem na ex-pressao matematica da lei de Coulomb. Portanto, e facilconcluir-se que a forca pre-existente entre um par de car-gas jamais podera depender da aproximacao de uma oumais cargas. Observe, entretanto, que a novidade queresulta da aproximacao de cargas extras e que a forcaresultante sobre cada carga pre-existente podera alterar-se, podendo tal resultante ser facilmente determinadacom o princpio de superposicao.

23.2 Problemas e Exerccios23.2.1 Lei de Coulomb

E 23-1Qual seria a forca eletrostatica entre duas cargas de Coulomb separadas por uma distancia de (a) m e (b) km se tal configuracao pudesse ser estabelecida? (a) !"$#&%!'%

%)(

* +,-" N.(b) ./ !"$#0%-'1%2

%436587

(

*9 ,-: N.

E 23-2

Uma carga puntiforme de -9?A@ C dista ! cmde uma segunda carga puntiforme de BDCEF-G?H@ C.Calcular o modulo da forca eletrostatica que atua sobrecada carga.



De acordo com a terceira Lei de Newton, a forca queuma carga I

%

exerce sobre outra carga I$ e igual emmodulo e de sentido contrario a` forca que a carga I$exerce sobre a carga I

%

. O valor desta forca e dado pelaEq. 23-4. Conforme a convencao do livro, usamos aquios modulos das cargas. Portanto

JKML

3

I

%

I

N

O9 ,-

"

#

;,-9?A@$#$)DC,-G?H@$#

8!,-

?

#

9 N

E 23-3Qual deve ser a distancia entre duas cargas puntiformesI

%

PQR C e I$ST

JVU

R C para que o modulo da forcaeletrostatica entre elas seja de CG U N?

W

!

"

#$OQ,-

?A@

#X

JGU

!

?H@

#

CG

U

Y

J

metros

E 23-4Na descarga de um relampago tpico, uma corrente deGDCZ![ Ampe`res flui durante


} ~

I I

:

Substituindo estes valores na equacao %

0} , obte-mos I

%

J

I$ . Como as cargas devem ter sinaisopostos, podemos escrever I

%

J

I$ , que e a respostaprocurada.Observe que o sinal da carga I- permanece totalmentearbitrario.

P 23-10

Na Fig. 23-15, quais sao as componentes horizontal evertical da forca eletrostatica resultante que atua sobrea carga do vertice esquerdo inferior do quadrado, sendoIB ,-9?Af C e

h

{CG cm? Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadascom a origem coincidente com a carga no canto esquer-do, com o eixo horizontal e eixo vertical, como decostume. A forca exercida pela carga I

NG

J

JKML

3

#8

C#

W

J

O9 ;Q\#

!

"

,-

?H@ C

Conhecendo-se a soma e o produto de dois numeros,conhecemos na verdade os coeficientes da equacao dosegundo grau que define estes numeros, ou seja,

I

%

#$E,I--#k*

FI

%

I-!#)>I

%

I-



Dito de outra forma, se substituirmos

I$.!cm, g- g e E{CG cm, quanto vale I ? (a) Chamando de a tensao em cada um dos fios ede o modulo da forca eletrostatica que atua sobre cadauma das bolas temos, para que haja equilbrio:

sen

X9 gEA

Dividindo membro a membro as duas relacoes anterio-res, encontramos:

6

gE

Como e um angulo pequeno, podemos usar aaproximacao

g

6

Y sen

i

Por outro lado, a forca eletrostatica de repulsao entre ascargas e dada por

JKML

3

I

Igualando-se as duas expressoes para e resolvendopara , encontramos que

Eu

KML

3

I

gE

w

%

:

(b) As duas cargas possuem o mesmo sinal. Portanto,da expressao acima para , obtemos

IB

W

:

KML

3

g

G

J

!

?H

J

,-

?A" C

J

nC



P 23-20

No problema anterior, cujas esferas sao condutoras (a)O que acontecera apos uma delas ser descarregada? Ex-plique sua resposta. (b) Calcule a nova separacao deequilbrio das bolas. (a) Quando uma das bolas for descarregada nao po-dera mais haver repulsao Coulombiana entre as bolas e,consequentemente, as bolas cairao sob acao do campogravitacional ate se tocarem. Ao entrarem em contato, acarga I que estava originalmente numa das bolas ira serepartir igualmente entre ambas bolas que, entao, por es-tarem novamente ambas carregadas, passarao a repelir-se ate atingir uma nova separacao de equilbrio, digamos1q .

(b) A nova separacao de equilbrio Aq pode ser calculadausando-se IqA*I i :

q

u

Iq#

KML

3

g

w

%8

:

u

J

w

%8

:

-

cm

u

I

KML

3

gE

w

%

:

u

J

w

%8

:

e9 C m

;9n


E 23-26

O modulo da forca eletrostatica entre dois ons identicosque estao separados por uma distancia de CG -G?

%43

m vale ;9U

-G?H" N. (a) Qual a carga de cada on? (b)Quantos eletrons estao faltando em cada on (o que daao on sua carga nao equilibrada)? (a) Da Lei de Coulomb temos:

I

N

JKML

3

#)T{P; +,-

?

%

" C

(b) Cada eletron faltante produz uma carga positiva de QxZ!G?

%

" C. Usando a Eq. 23-10, I+.M , encontra-mos o seguinte numero de eletrons que faltam:

;9D,-9?

%

"

Q+,-

?

%

"

P eletrons

E 23-27

Duas pequenas gotas esfericas de agua possuem cargasidenticas de B xZ- ?

%

@ C, e estao separadas, centroa centro, de cm. (a) Qual e o modulo da forca ele-trostatica que atua entre elas? (b) Quantos eletrons emexcesso existem em cada gota, dando a ela a sua carganao equilibrada? (a) Aplicando diretamente a lei de Coulomb encon-tramos, em magnitude,

O !"$#$)&,-9?

%

@$#

)B,-

?

#

,-

?

%

" N

(b)A quantidade de eletrons em excesso em cada gotae

I

!G?

%

@

Q,-

?

%

"

cQCG

P 23-31

Pelo filamento de uma lampada de ! W, operando emum circuito de ! V, passa uma corrente (suposta cons-tante) de 9 ; A. Quanto tempo e necessario para que mol de eletrons passe pela lampada? De acordo com a Eq. 23-3, a corrente constante quepassa pela lampada e ]{I i +_ , onde I e a quantida-de de carga que passa atraves da lampada num intervalo+_ .

A carga I correspondente a mol de eletrons nadamais e do que +Ic, , onde cQ \;,- : eo numero de Avogadro. Portanto

+_b

]

Q \;+ !

:-#X8 Q,-G?

%

"!#

9 ;

D+ ! segundos

+,-

J

eQ=Q

. ; dias

P 23-34Na estrtura cristalina do composto B! (cloreto decesio), os ons Cs formam os vertices de um cubo eum on de Cl ? esta no centro do cubo (Fig. 23-18). Ocomprimento das arestas do cubo e de 9 J nm. Em ca-da on Cs falta um eletron (e assim cada um tem umacarga de


s por 9 -V . Com que forca duas pequenas moedasde cobre, colocadas a m uma da outra, se repeliriam?O que podemos concluir? (Sugestao: Veja o Exemplo23-3.) Como sugerido no problema, supomos que a moeda ea mesma do exemplo 23-3, que possui uma carga tantopositiva quanto negativa igual dada por I/ ; U ,-

C. Se houvesse uma diferenca (desequilbrio) de cargas,uma das cargas seria maior do que a outra, teramos paratal carga um valor

I-FGI&8-

?1[

#$)!

?

#X) ;

U

!$#*9n-;

U

y

onde c9 9T{9 = T! ?H@ . Portantoa magnitude da forca entre as moedas seria igual a

I

JKML

3

N

!"$#$9n-;

U

#

) #

U

!

N

Como tal forca seria facilmente observavel, concluimosque uma eventual diferenca entre a magnitude das car-gas positiva e negativa na moeda somente poderia ocor-rer com um percentual bem menor que 9 .Note que sabendo-se o valor da menor forca possvel dese medir no laboratorio e possivel estabelecer qual o li-mite percentual maximo de erro que temos hoje em diana determinacao das cargas. De qualquer modo, tal limi-te e MUITO pequeno, ou seja, uma eventual assimetriaentre o valor das cargas parece nao existir na pratica,pois teria consequencias observaveis, devido ao gran-de numero de cargas presente nos corpos macroscopicos(que estao em equilbrio).

23.2.3 A Carga e Conservada

E 23-37

No decaimento beta uma partcula fundamental se trans-forma em outra partcula, emitindo ou um eletron ouum positron. (a) Quando um proton sofre decaimen-to beta transformando-se num neutron, que partcula eemitida? (b) Quando um neutron sofre decaimento be-ta transformando-se num proton, qual das partculas eemitida? (a) Como existe conservacao de carga no decaimento,a partcula emitida precisa ser um positron.(b) Analogamente, a partcula emitida e um eletron.

As reacoes completas de decaimento beta aqui men-cionados sao, na verdade, as seguintes:

E

Gy

>

?

>9y

onde representa uma partcula elementar chamadaneutrino. Interessados, podem ler mais sobre Decai-mento Beta na Seccao 47-5 do livro texto.

E 23-38Usando o Apendice D, identifique nas seguintesreacoes nucleares:

\# %s%

Z`

o-# %

Fs%

o-#

%

%

[

Como nenhuma das reacoes acima inclui decaimen-to beta, a quantidade de protons, de neutrons e deeletrons e conservada. Os numeros atomicos (protonse de eletrons) e as massas molares (protons + neutrons)estao no Apendice D.(a)%

H tem proton, eletron e neutrons enquanto queo " Be tem

J

protons,J

eletrons e +

J

C neutrons.Portanto tem

J

C protons, BJ

eletrons eC

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