Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL

1

Exercícios resolvidos. Funções trigonométricas e as suas inversas. Definição. A função )(xf de domínio fD diz-se periódica com o valor do

período mínimo positivo T se: a) fDx∈∀ tem-se fDTx ∈± ;

b) )()( xfTxf =± . Nota. O domínio de uma função periódica é um conjunto ilimitado à esquerda e à direita. 1) Determinar, caso existem, os valores dos períodos mínimos positivos das funções. 1.1) )14()( −= xsenxf . A função )14()( −= xsenxf é usenuf =)( de domínio R composta com a

função 14 −= xu de domínio R e contradomínio R . Portanto RD f = .

Seja 0>T . Porque RD f = resulta que fDx∈∀ tem-se fDTx ∈± .

( )∗=⋅±−⋅=−⋅±⋅=−±⋅=± )4)14(()144()1)(4()( TxsenTxsenTxsenTxf Substituindo α=−⋅ 14 x na continuação temos : ( ) ( )∗∗=⋅±=∗ )4( Tsenα Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é π2 e R∈∀α tem-se

απα sensen =± )2( fazendo π24 ±=± T obtemos 24

2 ππ ==T . Portanto 2

π=T é o

valor mínimo positivo que verifica a relação π24 ±=± T é portanto é o período

mínimo positivo da função. Substituindo 2

π=T na continuação temos:

( ) )14()2(2

4 −==±=

⋅±=∗∗ xsensensensen απαπα .

Portanto foi provado que para a função )14()( −= xsenxf de domínio R tem-se:

a) RDx f =∈∀ tem-se RDx f =∈±2

π;

b) )(2

xfxf =

± π,

isto é, 2

π=T é o período mínimo positivo da função.

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2

1.2) )1()( −⋅= xoscxf π . A função )1()( −⋅= xoscxf π é uoscuf =)( de domínio R composta com a

função 1−⋅= xu π de domínio R e contradomínio R . Portanto RD f = .

Seja 0>T . Porque RD f = resulta que fDx∈∀ tem-se fDTx ∈± .

( )∗=⋅±−⋅=−⋅±⋅=−±⋅=± ))1(()1()1)(()( TxoscTxoscTxoscTxf πππππ Substituindo απ =−⋅ 1x na continuação temos : ( ) ( )∗∗=⋅±=∗ )( Tosc πα Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é π2 e R∈∀α tem-se

απα oscosc =± )2( fazendo ππ 2±=⋅± T obtemos 2=T . Portanto 2=T é o valor mínimo positivo que verifica a relação ππ 2±=⋅± T é portanto é o período mínimo positivo da função. Substituindo 2=T na continuação temos: ( ) )1()2( −⋅==⋅±=∗∗ xoscoscosc παπα . Portanto foi provado que para a função )1()( −⋅= xoscxf π de domínio R tem-se:

a) RDx f =∈∀ tem-se RDx f =∈± 2 ;

b) ( ) )(2 xfxf =± , isto é, 2=T é o período mínimo positivo da função.

1.3) )12()( −⋅= xoscxf .

A função )12()( −⋅= xoscxf é uoscuf =)( de domínio R composta com a

função 12 −⋅= xu de domínio R e contradomínio R . Portanto RD f = .

Seja 0>T . Porque RD f = resulta que fDx∈∀ tem-se fDTx ∈± .

( )∗=⋅±−⋅=−⋅±⋅=−±⋅=± )2)12(()122()1)(2()( TxoscTxoscTxoscTxf

Substituindo α=−⋅ 12 x na continuação temos :

( ) ( )∗∗=⋅±=∗ )2( Tosc α Porque o valor do período mínimo positivo da função cosseno é π2 e R∈∀α tem-se

απα oscosc =± )2( fazendo π22 ±=⋅± T obtemos ππ2

2

2 ==T . Portanto

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3

π2=T é o valor mínimo positivo que verifica a relação π22 ±=⋅± T é portanto é

o período mínimo positivo da função. Substituindo π2=T na continuação temos:

( ) )12()2()22( −⋅==⋅±=⋅⋅±=∗∗ xoscoscoscosc απαπα .

Portanto foi provado que para a função )12()( −⋅= xoscxf de domínio R tem-se:

a) RDx f =∈∀ tem-se fDx ∈⋅± π2 ;

b) ( ) )(2 xfxf =⋅± π ,

isto é, π⋅= 2T é o período mínimo positivo da função.

1.4) )45()( +⋅= xtgxf . O domínio da função )45()( +⋅= xtgxf é

{ } =

∈⋅+=+∈==+∈= ZkkxRxRxoscRxRD f ,

245:\0)45(:\ ππ

UZk

kkZkkxRxR∈

⋅++−⋅+−=

∈⋅+−=∈=

5)1(

5

4

10,

55

4

10,

55

4

10:\

ππππππ.

Seja 0>T . ( )∗=⋅±+⋅=+⋅±⋅=+±⋅=± )5)45(()455()4)(5()( TxtgTxtgTxtgTxf

Substituindo α=+⋅ 45 x na continuação temos : ( ) )5( Ttg ⋅±=∗ α . Porque o valor do período mínimo positivo da função tangente é π e para qualquer α do domínio da função tangente tem-se απα tgtg =± )( fazendo π±=⋅± T5 obtemos

5

π=T . Portanto 5

π=T é o valor mínimo positivo que verifica a relação π±=⋅± T5 .

Com 5

π=T tem-se:

ff DxNkkxRxRDx ∈±⇒

∈⋅+−=∈=∈

5,

55

4

10:\

πππ.

Se

⋅++−⋅+−∈5

)1(5

4

10,

55

4

10

ππππkkx então

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4

⋅+−⋅−+−∈−55

4

10,

5)1(

5

4

105

πππππkkx

e

⋅++−⋅++−∈+5

)2(5

4

10,

5)1(

5

4

105

πππππkkx .

Portanto foi provado que para a função )45()( +⋅= xtgxf de domínio

UZk

f kkZkkxRxRD∈

⋅++−⋅+−=

∈⋅+−=∈=

5)1(

5

4

10,

55

4

10,

55

4

10:\

ππππππ

tem-se:

a) fDx∈∀ tem-se fDx ∈±5

π;

b) )(5

xfxf =

± π,

isto é, 5

π=T é o período mínimo positivo da função.

1.5) )423()( +⋅= xsenxf .

A função )423()( +⋅= xsenxf é usenuf =)( de domínio R composta com

a função 423 +⋅= xu de domínio R e contradomínio R . Portanto RD f = .

Seja 0>T . Porque RD f = resulta que fDx∈∀ tem-se fDTx ∈± .

( )∗=⋅±+⋅=+⋅±⋅=+±⋅=± )23)423(()42323()4)(23()( TxsenTxsenTxsenTxf

Substituindo α=+⋅ 423 x na continuação temos :

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5

( ) ( )∗∗=⋅±=∗ )23( Tsen α Porque o valor do período mínimo positivo da função seno é π2 e R∈∀α tem-se

απα sensen =± )2( fazendo π223 ±=⋅± T obtemos 3

2

23

2 ππ ==T . Portanto

3

2π=T é o valor mínimo positivo que verifica a relação π223 ±=⋅± T é portanto

é o período mínimo positivo da função. Substituindo 3

2π=T na continuação temos:

( ) ( ).423)2()3

223()23( +⋅==±=⋅±=⋅±=∗∗ xsensensensenTsen απαπαα

Portanto foi provado que para a função )423()( +⋅= xsenxf de domínio R tem-se:

a) RDx f =∈∀ tem-se fDx =±3

2π;

b) )(3

2xfxf =

± π

,

isto é, 3

2π=T é o período mínimo positivo da função.

1.6) )45()14()( +⋅−−= xtgxsenxf .

tgsenf DDD I= .

RDsen = (exemplo 1.1)

e

∈⋅+−=∈= ZkkxRxRDtg ,

55

4

10:\

ππ (exemplo 1.4).

Portanto o domínio da função )45()14()( +⋅−−= xtgxsenxf é

=

∈⋅+−=∈= ZkkxRxRRD f ,

55

4

10:\

ππI

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6

UZk

kkZkkxRxR∈

⋅++−⋅+−=

∈⋅+−=∈=

5)1(

5

4

10,

55

4

10,

55

4

10:\

ππππππ.

A função )14()(1 −= xsenxf é periódica e o valor do período mínimo positivo

é 2

π=senT (exemplo 1.1).

A função )45()(2 +⋅= xtgxf é periódica e o valor do período mínimo positivo

é 5

π=tgT (exemplo 1.4).

Levando em conta que para a função periódica )14()(1 −= xsenxf com o

valor do período mínimo positivo 2

π=senT tem-se que NnnTn sen ∈⋅=⋅ ,2

π, também

é período da função e para a função periódica )45()(2 +⋅= xtgxf com o valor do

período mínimo positivo 5

π=tgT tem-se que NmmTm sen ∈⋅=⋅ ,5

π, também é

período da função concluímos que o período da função )45()14()( +⋅−−= xtgxsenxf , caso existe, Portanto o período mínimo positivo fT

da função )45()14()( +⋅−−= xtgxsenxf , caso existe, verifica a relação

52

ππ ⋅=⋅=⋅=⋅= mTmnTnT tgsenf .

Porque com Nmn ∈, a relação

5

2

52⋅=⇔⋅=⋅ mnmn

ππ

se verifica para 5,2 == mn concluímos que a função )45()14()( +⋅−−= xtgxsenxf

é periódica e o valor do período mínimo positivo é πππ =⋅=⋅=52

mnTf .

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7

1.7) )423()12()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf .

senoscf DDD I= .

RD osc = (exemplo 1.3) e RDsen = (exemplo 1.5).

Portanto o domínio da função )423()12()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf é RD f = .

Porque RD f = resulta que fDx∈∀ tem-se fDTx ∈± , 0>∀T .

A função )12()(1 −⋅= xoscxf é periódica e o valor do período mínimo

positivo é π2=oscT (exemplo 1.3).

A função )423()(2 +⋅= xsenxf é periódica e o valor do período mínimo

positivo é 3

2π=senT (exemplo 1.5).

Portanto o período mínimo positivo fT da

função )423()12()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf , caso existe, verifica a relação

3

22

ππ ⋅=⋅=⋅=⋅= mTmnTnT senoscf .

Porque com Nmn ∈, a relação

33

22

mnmn =⇔⋅=⋅ ππ

se verifica para 3,1 == mn concluímos que a função

)423()12()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf é periódica e o valor do período mínimo

positivo é πππ 23

22 =⋅=⋅= mnTf .

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8

1.8) )423()1()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf π .

senoscf DDD I= .

RD osc = (exemplo 1.2) e RDsen = (exemplo 1.5).

Portanto o domínio da função )423()1()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf π é RD f = .

Porque RD f = resulta que fDx∈∀ tem-se fDTx ∈± , 0>∀T .

A função )1()(1 −⋅= xoscxf π é periódica e o valor do período mínimo positivo

é 2=oscT (exemplo 1.2).

A função )423()(2 +⋅= xsenxf é periódica e o valor do período mínimo

positivo é 3

2π=senT (exemplo 1.5).

Portanto o período mínimo positivo fT da

função )423()12()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf , caso existe, verifica a relação

3

22

π⋅=⋅=⋅=⋅= mTmnTnT senoscf .

Porque

236

2

3

22

πππ ⋅=⋅=⇔⋅=⋅ mmnmn

e não existem Nmn ∈, que verificam a relação concluímos que a função

)423()1()( +⋅+−⋅= xsenxoscxf π não é periódica.

1.9) ( )2)( xoscxf = .

A função ( )2)( xoscxf = é uoscuf =)( de domínio R composta com a função 2xu = de domínio R e contradomínio +

0R . Portanto RD f = .

Com 0>T tem-se:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ⇔+±=⇔±= 22222 2 TxTxoscxoscTxoscxosc

( ) ( )( ) ( )∗⇔±= 222 2 TxTxoscxosc m

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Levando em conta que o período mínimo positivo da função cosseno é π2 tem-se:

2

84202222

222

mmm

πππ ±±−=⇔=−+⇔= xxTxTTTxT .

Obtemos que T depende de x e portanto não existe 0>T tal que Rx∈∀ se verifica

( ) ( )( )22 Txoscxosc ±= , isto é, a função ( )2)( xoscxf = não é periódica.

2) Calcular os valores das seguintes expressões que envolvem as funções trigonométricas e as funções trigonométricas inversas:

2.1)

6

37πsenarcsen .

Levando em conta que a função xseny = tem o domínio RDsen = e o

contradomínio [ ]1,1−=senCD , e a função xarcseny = tem o domínio

[ ]1,1−== senarcsen CDD e o contradomínio

−=2

,2

ππarcsenCD (a restrição principal

da função xseny = ) resulta que

xxsenarcsen =

, se e só se

−∈2

,2

ππx .

Na base da periodicidade da função xseny = tem-se απα senksen =+ )2( , R∈∀α e Zk ∈∀ .

Então temos:

=

+=

+=

66

66

36

6

37 πππππsenarcsensenarcsensenarcsen

66

ππ =

= senarcsen .

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10

2.2)

−4

45πsenarcsen .

Analogamente tem-se:

=

−−=

−−=

−4

510

4

5

4

40

4

45 πππππsenarcsensenarcsensenarcsen

4444

5 πππππ =

=

−−=

−= senarcsensenarcsensenarcsen .

2.3)

6

43πoscoscarc .

Levando em conta que a função xoscy = tem o domínio RD osc = e o

contradomínio [ ]1,1−=oscCD , e a função xosarccy = tem o domínio

[ ]1,1−== oscosarcc CDD e o contradomínio

= π,0osarccCD (a restrição principal da

função xoscy = ) resulta que

xxosarcc =

cos , se e só se

∈ π,0x .

Na base da periodicidade da função xoscy = tem-se απα osckosc =+ )2( , R∈∀α e Zk ∈∀ . Então temos:

=

+=

+=

6

76

6

7

6

36

6

43 πππππoscoscarcoscoscarcoscoscarc

=

−=

−=

=6

5

6

52

6

7 ππππoscoscarcoscoscarcoscoscarc

6

5

6

5 ππ =

= oscoscarc .

2.4)

−3

28πoscoscarc .

Analogamente tem-se:

=

+=

=

−3

4

3

24

3

28

3

28 ππππoscoscarcoscoscarcoscoscarc

=

−=

=

+=3

22

3

4

3

48

πππππ oscoscarcoscoscarcoscoscarc

3

2

3

2

3

2 πππ =

=

−= oscoscarcoscoscarc .

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11

2.5)

3

11πoscsenarc .

=

−=

−=

34

33

12

3

11 πππππoscsenarcoscsenarcoscsenarc

=

−=

=

−=3233

ππππsensenarcoscsenarcoscsenarc

66

ππ =

= sensenarc .

2.6)

−9

29πsenoscarc .

=

+−=

+−=

−9

74

9

7

9

36

9

29 πππππsenoscarcsenoscarcsenoscarc

18

5

18

5

18

5

29

7 πππππ =

=

+=

= oscoscarcsenoscarcsenoscarc .

2.7)

3

1oscarctg .

Levando em conta que ααα

osc

sentg = e que com 11 ≤≤− c tem-se

( )( ) ccoscarcosc = obtemos

( )∗=

=

=

3

13

1

3

1

3

1

3

1oscarcsen

oscarcosc

oscarcsen

oscarctg

Seja α=

3

1oscarc com [ ]πα ,0∈ (na base da definição da função xoscarcy = ).

Levando em conta que αααα 222 11 oscsenoscsen −±=⇔=+ e com

[ ]πα ,0∈ tem-se

=

−=

−=−=2

22

3

11

3

111 oscarcoscoscarcoscoscsen αα

3

2

3

2

3

11

3

11

2

==−=

−= .

na continuação temos

( ) ( )2

3

13

2

3

1

3

13

1

===

=∗ αsenoscarcsen

.

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12

2.8)

+

6

25

6

41 ππarctgtgtgarctg .

Na base da definição da função xarctgy = tem-se:

( )

−∈∀=2

,2

,ππ

xxxtgarctg e ( ) Rxxxarctgtg ∈∀= , .

Portanto temos:

=+

−=

+

6

25

66

42

6

25

6

41 πππππtgarctgarctgtgtgarctg

ππππππππ 46

25

66

25

66

25

67 =+−=+

−=+

−= tgarctgtgarctg .

2.9)

+

6

25

6

41 ππarcctgctgctgarcctg .

Na base da definição da função xarcctgy = tem-se:

( ) ] [π,0, ∈∀= xxxctgarcctg e ( ) Rxxxarcctgctg ∈∀= , .

Portanto temos:

=+

+=

+

6

25

6

5

6

36

6

25

6

41 πππππctgarcctgarcctgctgctgarcctg

πππππππππ 56

30

6

25

6

5

6

25

6

5

6

25

6

56 ==+=+

=+

+= ctgarcctgctgarcctg .

2.10)

+

6

25

6

41 ππarctgctgctgarctg .

=

−=

−=

−=

667

66

42

6

41 ππππππctgarctgctgarctgctgarctgctgarctg

33

ππ −=

−= tgarctg .

ππππ

25

6

6

251

6

25

1

6

25 ==

=

arctgtg

arctgctg .

Portanto

ππ

ππππ

75

1825

25

6

36

25

6

41 2 +−=+−=

+

arctgctgctgarctg .

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13

2.11)

+

6

25

6

41 ππarcctgtgtgarcctg .

=

−=

−=

−=

6666

42

6

41 πππππtgarcctgtgarcctgtgarcctgtgarcctg

=

−=

−=

−−=3362

ππππctgarcctgctgarcctgctgarcctg

3

2

3

2

3

ππππ =

=

+−= ctgarcctgctgarcctg .

ππππ

25

6

6

251

6

25

1

6

25 ==

=

arcctgctg

arcctgtg .

Portanto

ππ

ππππ

75

1850

25

6

3

2

6

25

6

41 2 +=+=

+

arcctgtgtgarcctg .