UNIVERSIDADE FEDERAL DO PAMPA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

ANÁLISE MATEMÁTICA I

EDUARDO SCHNEIDER

LISTA EXERCÍCIOS 2 Exercício 1. Dado um conjunto X ⊂ ℕ , defina a noção “ X é limitado em ℕ ”. Com essa definição em mãos, prove que dado um co njunto limitado X ⊂ ℕ , as seguintes propriedades são equivalentes: i) X é finito; ii) X é limitado; iii) X possui um maior elemento. Exercício 2. Construa, rigorosamente, uma bijeção entre os númer os naturais e o subconjunto X ⊂ ℕ definido por:

n mX k | k 2 3 ; n, m= ∈ = ∈ℕ ℕ .

Dica: uma forma alternativa é mostrar que esse conj unto é enumerável. Exercício 3. Obtenha uma decomposição 1 2 3X X X=ℕ ∪ ∪ ∪ ⋯ tal que os

conjuntos iX , i∀ ∈ ℕ são infinitos e dois a dois disjuntos.

Exercício 4. Verifique se o conjunto A definido por

( ) n n nA a | n,a e a 0 exceto para um número finito de n's= ∀ ∈ =ℕ

é um conjunto enumerável. Justifique sua resposta.

Exercício 5. Considere o conjunto [ ]xℚ o conjunto de todos os

polinômios na variável x . Podemos escrever [ ]xℚ como:

[ ] ( ) ( ) 0n

nn 0 n

n 0

x p x ; p x a x ,n 0 ,a=

= = ∈ ∈

∑ℚ ℕ ∪ ℚ .

Considere, agora, o conjunto Ω dado por

( ) ( ) [ ] ; p 0, p x xΩ = α ∈ α = ∈ℝ ℚ .

Prove que Ω é enumerável. Exercício 6. Utilize o argumento da diagonal de Cantor para mos trar o conjunto de todas as sequências formadas por 0’s, 1 ’s e 2’s é um conjunto enumerável.