Experimento

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

licença Esta obrá está licenciada sob uma licença Creative Commons

geometria e medidas

Duplicação do Cubo

Objetivos da unidadeExperimentalmente, obter a aresta de um cubo, que possui 1. o dobro do volume de um outro cubo de arestas já conhecidas;Obter numericamente um valor aproximado de ;2. Desenvolver a noção de número irracional.3.

3√2

Duplicação do Cubo

Objetivos da unidadeExperimentalmente, obter a aresta de um cubo, que possui 1. o dobro do volume de um outro cubo de arestas já conhecidas;Obter numericamente um valor aproximado de ;2. Desenvolver a noção de número irracional.3.

3√2

Guia do professor

SinopseNesta atividade exploramos experimentalmente o problema clássico da duplicação de um cubo para, a partir disso, introduzir o número irracional e calcular numericamente a sua representação decimal com um determinado número de casas decimais.

ConteúdosNúmeros, Conjuntos Numéricos; �

Geometria Espacial, Geometria Métrica. �

ObjetivosExperimentalmente, obter a aresta de um cubo, que possui o dobro do 1. volume de um outro cubo de arestas já conhecidas;Obter numericamente um valor aproximado de ;2. Desenvolver a noção de número irracional.3.

DuraçãoUma aula dupla.

Duplicação do Cubo

3√2

Desde meados do século V a.C. o problema da duplicação do cubo foi amplamente discutido pelos matemáticos gregos. Esse problema tem um enunciado muito simples: dado um cubo de aresta conhecida, qual deve ser a aresta do cubo que tem o dobro do volume do primeiro? Há uma lenda que diz que os deuses enviaram uma peste que dizimou um quarto da população ateniense. Para saber como se livrar da peste, um grupo de sábios foi até o oráculo do deus Apolo e a solução proposta pelo oráculo foi que dobrassem o volume do altar cúbico de Apolo. Apesar da aparente simplicidade do problema, os gregos não conseguiram resolvê-lo utilizando apenas suas técnicas de construção com compasso e régua não-graduada. Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da álgebra, foi demons-trado que é impossível fazer tal construção com esses instrumentos! Outras soluções utilizando diferentes recursos foram apresentadas. Entre elas, se destacam a solução de Arquitas (cerca de 400 a.C.), a de Platão (340 a. C.), a de Eratóstenes (cerca de 230 a. C.), a de Viète (1593) e de Descartes (1637). Esse experimento tratará, na sua primeira parte, de uma busca geo-métrica e experimental por um valor aproximado do número irracional e analisar uma relação entre as arestas de dois cubos, um com o dobro do volume do outro. Na segunda parte, será feita uma busca numérica para uma aproximação do número .

O problema clássico descrito servirá de motivação para desenvolvermos esse experimento. Pode ser sugerido aos alunos que inicialmente façam uma pesquisa histórica sobre os três problemas clássicos da geometria grega: a quadratura do círculo, a trissecção do ângulo e a duplicação do cubo.

Comentários iniciais

Métodos diversificados para aprendizagem, como o uso de massa de modelar, despertam o interesse do aluno, estimulando sua participação e contribuindo para uma melhor compreensão do conteúdo. A calculadora constitui ferramenta auxiliar na obtenção das aproximações do número irracional.

Construção de cubos

O objetivo principal desta etapa é observar que o volume do cubo maior é o dobro do volume do cubo menor. É esperado que esse fato seja percebido por meio da visualização do processo de construção dos dois cubos. Além disso, o aluno deve se ater ao fato de que os diversos grupos encontram, para a razão entre arestas dos dois cubos, números bem próximos. Na etapa seguinte, há uma justificativa para essa proximidade, mostrando que a razão é uma constante.

O valor da Razão

O propósito desta etapa é mostrar, utilizando resultados teóricos, que a razão entre as arestas dos dois cubos é igual a . É importante observar que na Etapa 1 foi obtido experimentalmente um valor próximo a para essa razão. Debatendo com os alunos sobre a proximidade das razões, atente para o fato de que existem imprecisões nos cálculos devido a erros na mode-lação dos cubos e na medição das arestas. Um fato muito importante com respeito ao número é que ele não possui uma representação decimal exata, nem uma representação decimal infinita periódica, ou seja, é um número irracional. Considerando o conjunto dos números inteiros, podemos definir o con-junto , dos números racionais, como o conjunto dos quocientes entre dois números inteiros, e , . Escrevemos . Pode ser provado que todo número racional tem uma representação (expres-são) decimal exata ou uma representação decimal infinita periódica e, reciprocamente, toda representação decimal, exata ou infinita periódica, representa um número racional. Ver Niven, p. 36-38, p. 47-52 .

Um número irracional é todo número real que tem uma expansão decimal infinita não periódica.

Assim, todo número irracional não pode ser escrito na forma , onde e são números inteiros e q é diferente de zero.

Os números e são números irracionais supostamente conhecidos pelos alunos. Também, o número é outro irracional. Além disso, pode-se concluir que os números , , …, , , são números irracionais. Com isso, pode-se intuir que existe uma infinidade de números irracionais, na verdade pode-se provar isto no Ensino Médio, sem maiores esforços do que a demonstração de que é irracional. O conjunto de todos os números irracionais pode ser representado por . A reunião de todos os números racionais e irracionais resulta no conjunto

Definição de número irracional

dos números reais, denotado por . Assim, a união do conjunto com o conjunto é o conjunto . E também o conjunto intersecção com o conjunto é igual ao conjunto vazio.

Uma aproximação decimal para

Nesta etapa é utilizado um algoritmo para a determinação de uma aproxi-mação numérica para o número irracional . Os alunos podem ter dificuldade no procedimento a ser desenvolvido. É importante que o professor fique atento ao trabalho deles para uma orientação sempre que necessário. A escolha do intervalo inicial é de competência do aluno. Pode ser esco-lhido pelo aluno qualquer intervalo com extremidades e que satisfaça a condição . Porém, se o intervalo escolhido tiver como extremi-dades dois números consecutivos, ou seja, e , o trabalho é facilitado.

Numa calculadora simples que repete a última operação efetuada ao pres-sionar a tecla [ ], o valor pode ser obtido pressionando as teclas na seguinte sequência: [ ], [ ], [ ], [ ].

Dica para o uso da calculadora

Não é intuitivo para o aluno que é um número irracional. Uma sugestão para o professor é levantar entre os alunos uma discussão sobre quantas vezes deve-se repetir o procedimento da etapa 3 para encontrar um número decimal que seja uma aproximação melhor de . É importante que o aluno sinta a curiosidade de saber se o procedimento termina resultando em uma representação exata ou continua resultando numa dízima periódica ou em uma representação decimal infinita não periódica. Devido à dificuldade para se chegar a uma conclusão/resposta, espera-se que o aluno sinta a necessidade de uma demonstração como está apresentada no fechamento do experimento.

Sugestão de leituraO artigo A duplicação do cubo: Como usá-la em sala de aula de matemá-tica, de Eduardo Sebastiani Ferreira, apresenta diversas soluções para o problema da duplicação do cubo. Entre elas, estão a solução de Platão obtida por construção mecânica, e a de Arquitas, obtida pela intersecção de sólidos no espaço.

Na etapa 2 do experimento, ao obter como relação entre as arestas dos dois cubos cujos volumes estavam na razão para , observa-se que a razão entre os volumes dos dois cubos é o cubo da razão de entre suas arestas. Essa razão, na verdade, é a razão de semelhança entre os dois cubos. Desse modo, o cubo da razão de semelhança é igual à razão entre seus volumes. Este experimento pode então ser utilizado com esse enfoque: ampliar o conceito de semelhança entre figuras espaciais e a relação entre os volumes de sólidos semelhantes.

Boyer, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

Eves, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

Ferreira, E. Sebastiani. A duplicação do cubo: Como usá-la em sala de aula de matemática. Cadernos cedes, 40, História e Educação Matemática. Campinas: Papirus, 1996.

Lima, E. L. et al. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: sbm, 2006. v. 1. (Coleção do Professor de Matemática)

Lima, E. L. et al. Medida e Forma em Geometria. Rio de Janeiro: sbm, 1991. (Coleção do Professor de Matemática)

Niven, I. Números Racionais e Irracionais. Rio de Janeiro: sbm, 1984. (Coleção do Professor de Matemática)

Kumayama, H., Wagner, E. Vamos usar a calculadora? Revista do Professor de Matemática, n. 26, p. 16-21, 2º semestre, 1994.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

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AutoresClaudina Izepe Rodrigues, Eliane Quelho Frota Rezende eMaria Lúcia Bontorim de Queiroz

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico Preface Design

Duplicação do Cubo Folha do aluno

Folha do aluno Geometria e medidas

Comentários iniciais

Um dos problemas mais conhecidos da Matemática grega é o da duplicação do cubo. Ele consiste em cons­truir um cubo com o dobro do volume de um outro cubo de medidas já conhecidas. Vamos tentar resolver esse desafio?

Construção dos cubos

Construa um cilindro com sua massa de modelar e divida­o em três partes iguais com o auxílio de uma régua, conforme a figura 1.

Forme um cubo com uma dessas partes e outro cubo juntando as outras duas partes;

Dessa forma vocês construíram dois cubos, um com o dobro do volume do outro! Chamem a aresta do cubo menor de a e a do cubo maior de b.

Meça as arestas a e b e preencha a tabela. Repita o proce­dimento mais duas vezes com quantidades diferentes de massa para preencher totalmente a tabela 1.

Cercando o 3√2

O valor de 3√2

Utilizando o procedimento explicado pelo professor, encontre as seguintes aproximações de 3

√2 e preencha

a tabela 2.

Você é capaz de encontrar uma representação decimal exata para 3

√2?

Notem que:

Pense e responda

a b b/a

Construção 1

Construção 2

Construção 3

Valor médio da razão

Aproximação por falta

Aproximação por excesso

Sem casas decimais

Uma casa decimal

Duas casas decimais

Três casas decimais

Quatro casas decimais

Cinco casas decimais

fig. 1 Foto do procedimento

tabela 1 tabela 2