Teoria de Fourier – Domínio da Freqüência e Domínio do Tempo A teoria de Fourier estabelece que uma forma de onda periódica pode ser decomposta em harmônicos relacionados; senos ou cossenos em diferentes freqüências e amplitudes determinadas pela forma do sinal periódico.O primeiro harmônico ( fundamental) terá a mesma freqüência do sinal periódico os demais terão freqüências que são múltiplos inteiros do fundamental. A teoria de Fourier nos fornece uma maneira de expressar os sinais no domínio da freqüência. Aumentando-se a quantidade de harmônicos para compor a forma de onda mais semelhança esta terá com sinal original. Como é impossível projetar um sistema que suporte um número infinito de freqüências ( largura de banda infinita), uma reprodução perfeita do sinal original será impossível. Em muitos casos eliminando alguns harmônicos não se altera o sinal significativamente. Quanto mais informação um sinal possuir mais componentes (harmônicos) de alta freqüência este sinal necessitará para reproduzir com fidelidade o sinal original.Então quanto mais complexo for o sinal maior a largura de banda necessária para transmiti-lo. O “duty-cycle” de uma série de pulsos periódicos é a relação entre o tempo em que o pulso (t0 ) permanece no nível alto e o período do pulso (T). DC = t 0 / T Para um pulso quadrado ( DC = 0,5) a série de Fourier será representada por : V (t) = A sen 2π f t + A/3[sen 3 (2π f t)] + A/5[sen 5 ( 2π f t)] + A/7[sen 7 (2π f t)] + A/9[sen 9 (2π f t)]+… O circuito abaixo FIG.1 gera um sinal de pulso quadrado.Conforme o número de harmônicos cresce a onda quadrada terá mais ondulações.Um infinito número de harmônicos será requerido para reproduzir perfeitamente a onda quadrada.

FIGURA 1

O circuito abaixo FIG. 2 gera um sinal de pulso triangular. A série de Fourier será representada por: V (t) = A cos (2 π f t) + A/32 cos [3 (2 π f t)] + A/52 cos [5 (2 π f t)] +....

FIGURA 2 O espectro de um trem de pulsos periódicos com um DC de 50% é apresentado na figura abaixo. O formato pontilhado é chamado de envelope.O primeiro cruzamento por zero será f0 = 1/ t 0 onde t 0 será o tempo em que o pulso permanece em nível alto. O primeiro cruzamento por zero ( f0 ) determina a mínima largura de banda requerida para “passar” o trem de pulsos com mínima distorção. Note que quanto menor for a largura do pulso maior será a largura de banda requerida para transmitir o trem de pulsos com mínima distorção. Note também que a separação entre linhas no espectro é o inverso do período ( 1/T) do trem de pulsos. O circuito da figura abaixo irá demonstrar a diferença entre o domínio do tempo e o domínio da freqüência.Também veremos que filtrando alguns harmônicos haverá alteração na FO se comparada ao sinal original. O gerador de freqüências gera um pulso periódico sendo este aplicado à entrada do filtro. Na saída

do filtro o osciloscópio mostra a FO do trem e o analisador de espectro mostra o espectro de freqüência do sinal. O Bode Plotter mostra o diagrama de Resposta em Freqüência do filtro sendo possível medir a largura de banda do filtro.O filtro é um Butterwoth passa – baixas ativo com 2 polos.

1- Monte o circuito da FIGURA 1 com: Varredura = 200µs (Y/T) Canal A = 5V/div (DC) Canal B= 50mV/div (DC) Trigger ( pos edge, level=0 , auto). 2- Acione a simulação por aproximadamente 2 segundos .Esboce abaixo a onda quadrada e o fundamental ( seno) . 3- Utilize o cursor para medir o período de um ciclo da onda quadrada e do fundamental (seno) mostre este valor no esboço acima. 4- Calcule a freqüência (f) da onda quadrada e do fundamental pelo período. Qual a relação entre a freqüência do fundamental e a freqüência do pulso quadrado? ____________________________________________________________________________________ Qual a relação entre as freqüências harmônicas das senóides e a freqüência fundamental? ____________________________________________________________________________________

Qual a relação entre a amplitude de cada harmônico e a amplitude do fundamental? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________ 5- Feche a chave A adicionado uma tensão dc . Simule novamente por 2 segundos. Se necessário ajuste novamente o osciloscópio.Esboce a nova onda quadrada no espaço abaixo. O que ocorreu com a onda quadrada? _______________________________________________________________________________________ 6- DesligandoA,abra as chaves E e F para eliminar o nono e o sétimo harmônico. Simule novamente por 2 segundos. Esboce a nova curva no espaço abaixo. 7- Ligando E e F ,abra a chave D para eliminar o quinto harmônico. Simule novamente por 2 segundos. Esboce a nova curva no espaço abaixo. 8- Abra a chave C para eliminar o terceiro harmônico. Simule novamente por 2 segundos. O que ocorreu com o pulso quadrado? 9- Monte o circuito da FIGURA 2 com: Varredura = 200µs (Y/T) Canal A = 5V/div (DC) Canal B= 100mV/div (DC) Trigger ( pos edge, level=0 , auto).

10- Acione a simulação por aproximadamente 2 segundos. Esboce abaixo a onda triangular e o fundamental ( cosseno) .

11-Utilize o cursor para medir o período de um ciclo da onda triangular e do fundamental (cosseno) mostre este valor no esboço acima.

12-Calcule a freqüência (f) da onda triangular e do fundamental pelo período.

Qual a relação entre a freqüência do fundamental e a freqüência do pulso triangular? ____________________________________________________________________________________ Qual a relação entre as freqüências harmônicas das cossenóides e a freqüência fundamental? ____________________________________________________________________________________ Qual a relação entre a amplitude de cada harmônico e a amplitude do fundamental? ____________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________

13-Feche a chave A adicionado uma tensão dc . Simule novamente por 2 segundos. Se necessário ajuste novamente o osciloscópio.Esboce a nova onda triangular no espaço abaixo O que ocorreu com a onda quadrada? _______________________________________________________________________________________ 14-Desligando A,abra as chaves E e D para eliminar o sétimo e o quinto harmônico. Simule novamente por 2 segundos. Esboce a nova curva no espaço abaixo.

15- Fechando E e D,abra a chave C para eliminar o terceiro harmônico. Simule novamente por 2 segundos. O que ocorreu com a onda triangular? 16- Monte o circuito da FIG.3 com os ajustes: onda quadrada 1 kHz, DC= 50%, tensão de pico 2,5 V, offset = 2,5V .No osciloscópio: Varredura = 500µs/div , canal A 5V/div dc , canal B 5V/div dc , trigger = auto. 17- Acione a tela do osciloscópio e simule por 2 segundos . Desconsiderando as diferenças de amplitude as FO de entrada e de saída do filtro são iguais. 18- Com os cursores meça o período (T) e o tempo nível alto (t0) do valor de entrada. T = t0 = 19- Calcule o DC. DC = Como este valor calculado se compara com o valor do ajuste DC no gerador de funções. 20- Com o Bode Plotter ajustado para : Vertical- F = 10 dB e I = - 40 dB , Horizontal – F = 200 kHz e I = 100 Hz efetue a simulação e meça a freqüência de corte. fc = 21- Com o analisador de espectro ajustado para : Freq. ( Start = 0 Hz , Center = 5 kHz , End = 10 kHz ) e Ampl. (Lin, Range = 1V/ div), Res = 50 Hz, efetue a simulação até que a resolução das freqüências estabilizem .Use o cursor para medir a amplitude do Fundamental até o nono harmônico preencha a tabela abaixo.

Freqüência (kHz) Amplitude f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9

Que conclusões podemos obter sobre a diferença entre os harmônicos pares e ímpares da onda quadrada cujo DC foi obtido no passo 19? Que conclusões podemos obter acerca da amplitude de cada harmônico comparado com o fundamental da onda quadrada cujo DC foi obtido no passo 19?

Qual será o espectro de freqüência esperado para a onda quadrada cujo DC foi obtido no passo 19? Baseado na freqüência de corte medida no passo 20 quantos harmônicos da onda quadrada se espera que “passem” pelo filtro.Baseado na resposta acima haverá grande distorção da onda quadrada na saída do filtro. 22- Ajuste ambos os capacitores do filtro para 50% (2,5 nF) cada . Efetue nova simulação por alguns segundos. Desconsiderando amplitudes, os sinais na entrada e na saída do filtro são iguais? 23- Com o Bode plotter meça a freqüência de corte do filtro. fc = 24- Com o Analisador de Espectro efetue uma simulação até que o espectro se estabilize , preencha a tabela abaixo:

Freqüência (kHz) Amplitude f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9

Como a amplitude de cada harmônico pode ser comparada com os valores obtidos na tabela anterior. Com relação à freqüência de corte obtida em 28 é esperada grande distorção na saída do filtro.Sua resposta no passo 25 confere com esta conclusão.