MATEMÁTICA2ª FASE

 

2ª Fase

Provas Com

IntroduçA prova de apresentadocorreta dos questões deobjetivos, te A média ger24 pontos, da prova, o A seguir, paanálise do daproveitame

QuestãoDiversas padcidade de Cesses produt

a) Determi

produto b) Conside

Suponhapreços p

ObjetivoAvaliar o con

Resposta) (2 ponto

Para o cafez

com leite, o

b) (2 pontoNo cafezinhestabelecimecustam $$2,00. Log$2,00

e • Mat

entadas • Ma

ção Matemática

o no Ensino problemas e

e Matemáticaendo cada qu

ral de desemcom um desvque é desejá

ara cada quesdesempenho ento deste ma

o 13 darias e lanc

Campinas regtos com um v

ne a variaçãoos.

ere a proporça que o preçpraticados no

o da Quenhecimento s

ta Esperas)

zinho, o aum

aumento pe

os) ho com leite ento B um c$3,00 40go, o preço $100,00.

temátic

atemática • 2

procura seleFundamenta a apresenta aplicadas naestão focaliza

mpenho dos cvio padrão dvel para uma

stão aplicadados candidaaterial.

honetes vendistrou uma vvolume de 60

Produto Cafezinho Cafezinho c

o percentual

ção de café ço cobrado so estabelecim

estão sobre porcen

ada

mento percen

rcentual é de

são servidoscafezinho de/60que está se

ca

2ª Fase

ecionar candial e Médio. Ação de respo

a segunda fasado mais de

candidatos nae 6,3 pontos

a seleção ade

, apresentamtos. Além dis

dem o “cafevariação gran0 , conform

om leite

dos preços

e de leite see refere apeento B, calcu

tagem e varia

ntual é de $

e $ , $ ,

$ ,

s 1/3 60e 60 custa$2,00. Portando cobrado

datos com uA leitura ate

ostas claras sãse do Vestibuum tópico do

a prova de Ms. Esses resulquada.

mos o enunciasso, fazemos

zinho” e o “de de preços

me mostra a t

AR$ 2R$ 2

do estabelec

ervida nessesnas às quant

ule o valor qu

ação percent

$ , $ ,

$ ,

100%

20 dea $3,00, oanto, os 20o por um litr

um conhecimenta dos enuão indispensáular 2017 foro programa,

Matemática fotados caracte

ado, os objets alguns com

“cafezinho cos entre dois etabela abaixo

A2,002,50

cimento A pa

s dois produtidades de cae está sendo

tual.

100% 0,5

0,6 100%

e leite e 2/3s 40 de c

de leite sro de leite (1

ento crítico eunciados das áveis para o sam originais,no intuito de

oi igual a 10,2erizam um g

tivos, uma reentários gera

om leite”. Umestabelecimeno.

BR$ 3,00R$ 4,00

ara o estabele

tos conformeafé e de leitecobrado por

5 100% 5

60%.

3 60 4café servidosservidos custa1 1000

e integrado s questões, asucesso do c, com enuncie integrar con

2 pontos, derau médio d

esolução detaais, visando a

ma pesquisa ntos, A e B,

ecimento B,

e indica a fie servidas. Cor um litro de

50% e, para

40 de cafs no cafezinham $4,00

50 20

do conteúdoa formulaçãocandidato. Asados claros e

nhecimentos.

e um total dee dificuldade

alhada e umaa um melhor

realizada naque vendem

para os dois

gura abaixo.om base nosleite.

o cafezinho

fé. Como noho com leite

$2,00) é 50

o o s e

e e

a r

a m

s

. s

o

o e

1

2ª Fase

Provas Com

DesempA nota médprova de Mresolução.

ComentEmbora de praticados nestabelecimeapresentada

QuestãoSejam umplano cartes

a) Determirespectiv

b) Conside. S

ObjetivoAvaliar a cagráfico da ppara manipu

e • Mat

entadas • Ma

penho doia dos candidatemática, o

tários Gefácil solução

nos estabelecento. Além a através de f

o 14 m número reasiano, conside

ne no casovo gráfico pa

ere os pontosSabendo que

o da Queapacidade deparábola que ular coordena

temátic

atemática • 2

os candiddatos nessa q que é comu

rais o, a questãocimentos A e

disso, no itiguras fazia r

al e ere a parábol

o em que a ara 0 4

s de coordeno ponto méd

estão e extrair info

a representaadas cartesian

ca

2ª Fase

datos questão foi igum acontecer

o requer atene B e não entem b era referência aos

4 ua dada pelo g

abscissa e a 4.

nadas dio do segme

ormações bása, e explorar nas de ponto

gual a 3,0, cor com a prim

nção para setre os preçosimportante s volumes e n

uma função gráfico de

ordenada d

, e ento é

sicas da expo conhecime

os sobre gráfic

om um desviomeira questão

e calcular a s do cafezinhque o cand

não aos preço

quadrática d.

o vértice da

, , 1, , dete

ressão de umento sobre tracos.

o padrão de 1o, que, por tr

variação perho e do cafedidato perceos.

efinida para

parábola têm

onde e ermine e .

ma função qaçado de par

1,2. Foi a maradição, é a

rcentual entezinho com leebesse que

todo númer

m soma nula

são número.

quadrática, arábolas. Aval

aior média dade mais fácil

re os preçoseite em cadaa proporção

ro real . No

a e esboce o

os reais com

ssociadas aoiar a aptidão

a l

s a o

o

o

m

o o

2

2ª Fase

Provas Com

Resposta) (2 pontoPodemos esvértice no pparábola é

4

b) (2 pontoTemos que

/2,equação, Simplificand

4 1 2

1 √3

DesempA nota médabaixo, as Q

ComentUm dos fatoaté segmento cálculo dahabilidade c

e • Mat

entadas • Ma

ta Esperas)

screver ponto 2

2. Abaixo te

os) ,4

2 edo, obtemos

4 8

1 ∓ √3. Com

penho doia dos candid

Questões 14,

tários Geores que contos de reta fo

as raízes da ecom as manip

temátic

atemática • 2

ada

42, 4 . Do

4 2, oemos um esbo

,4

e substituind2 4 4

12, temos

mo , tem

os candiddatos nessa q16 e 17 apre

rais ntribuíram paoram exibidosquação quad

pulações algé

ca

2ª Fase

2enunciado teo vértice é oço da paráb

4 e /2 . Log

do na segu4 0, ou ain

as soluções

mos que

datos questão foi igsentaram mé

ra a baixa ms para repres

drática corresbricas necess

4. Logemos que 2

2, 2), pabola para 0

,go, unda equaçnda 2

s

1 √3 e

ual a 1,3, coédia e desvio

média desta qsentar uma fuspondente pasárias para a

go, a parábo4 0,

ara 0 tem4.

4 . O p2 e ão, temos 2 0. Calc

√ √

1 √3.

m um desviopadrão muito

questão foi o unção quadráara esboçar oresolução do

la dada pelo ou seja,

mos 0

ponto médio4 4 .

que culando o dis

1 √3. Po

padrão de 1o próximos.

esboço incoática. Observa gráfico. Um item b.

gráfico de 2. Assim, a2 e para

o é, então, Tomando, 2 4scriminante,

ortanto,

,4. Como se

orreto do gráar que não e outro fator

tem equação da

4 temos

1,da primeira

4 2 . ∆ 2

2 2

rá observado

fico, em quera necessáriofoi a falta de

m a s

a .

o

e o e

3

2ª Fase

Provas Com

QuestãoA figura abcompriment

a) Determide 6

b) Para retângu

ObjetivoAvaliar a casistema linea

Resposta) (2 pontoIndicando o

6 da11 2 9

b) (2 pontoUma vez quser retângulde Pitágoras4 4

e • Mat

entadas • Ma

o 15 baixo exibe ttos , e , r

ne os valores e a distância

2 e lo.

o da Quepacidade de ar, bem como

ta Esperas) s comprimen5 ,

a segunda e9 e, portanto,

os) ue e o, o comprims, e, portanto,

temátic

atemática • 2

três círculos respectivamen

s de , e a entre e

3 , determ

estão relacionar co

o de aplicar o

ada

ntos dos raio6

equação e su, 1 . D

, o compmento da hip

2 20, o q

ca

2ª Fase

no plano, tante.

, sabendo qué de 9 .

mine o valor

orretamente o Teorema de

s nos círculo e ubstituindo nDaí obtemos

primento do motenusa é

, ou sque implica qu

angentes do

ue a distância

de de

os comprimee Pitágoras.

os, como exib9

na terceira e5 1

maior lado d e o comp

seja, 3ue 10

is a dois, co

a entre e

modo que o

entos de raio

be a figura ab. Tomando

quação, obte4 e 6

o triângulo éprimento dos

2 3.

om centros e

é de 5 ,

triângulo de

os de círculos

baixo, podemo 5 emos 56 1 5

é . Assims catetos,

2 . L

em , e

a distância e

e vértices em

s tangentes e

mos construirda primeira

6.

m, como o tr e . P

Logo, 9 6

e raios de

entre e é

, e seja

e resolver um

r as relações:a equação e

9, ou seja,

iângulo devePelo Teorema

25

e

é

a

m

: e ,

e a

4

2ª Fase

Provas Com

DesempA nota médmuito próximusual na pro

ComentOs candidatGeometria Pno item a, oum valor alede modo a a

QuestãoSabendo qu a) Mostre q b) Determi

(PA), cuj

ObjetivoAvaliar o coprova de umnuméricos d

Resposta) (2 ponto

Observe que

uma raiz de

b) (2 ponto

e • Mat

entadas • Ma

penho dodia dos candima da médiaova de Matem

tários Geos obtiveram

Plana estão seonde um sisteeatório a umaaplicar corret

o 16 e e são n

que, se é u

ne os valoreja razão é igu

o da Quenhecimento

m resultado sdo polinômio.

ta Esperas)

e 0, pois

. Como

e .

os)

temátic

atemática • 2

os candididatos nessa a da primeiramática.

rais m notas acimaendo bem abema linear bea das variáveiamente o Teo

números reais

ma raiz de

s de e pual a 2 .

estão do conceito simples. Aval.

ada

s 0 1

o é uma rai

ca

2ª Fase

datos questão foi

a questão, e m

a da média nbsorvidos peloem simples des. No item b orema de Pitá

s, considere o

, então 1/

para os quais

básico de raiziar a habilida

0. Assim, te

z de , te

igual a 2,7, muito afasta

esta questãoos alunos do everia ser corera essencialágoras.

o polinômio c

/ é uma raiz

s a sequência

z de polinômade para calc

emos que

emos que

com um desda da média

o, o que talveEnsino Básico

rretamente rel identificar o

cúbico

z do polinômi

a 1 , 0

mio e a capaccular a razão

0 e, por

svio padrão ddas outras q

ez indique quo. Podemos oesolvido, muit maior lado d

o

0 , 1 é um

idade de encde uma PA

rtanto,

de 1,6. Essaquestões. Ess

ue os conceitoobservar, no tos candidatodo triângulo

1.

ma progressã

cadear de forcujos termo

1

0, ou

média ficouse fato não é

os básicos deentanto, queos atribuíramapresentado,

1.

ão aritmética

rma correta as são valores

1

u seja, 1/ é

u é

e e

m ,

a

a s

é

5

2ª Fase

Provas Com

Temos que 2 8 42 0

igualdade, o9 2 1

DesempA nota méd

ComentO desempenavaliação dogeral, é de pontos preecuja resoluçinvés do valo

QuestãoSabendo qu

a) Seja

quadrad

b) Para

e • Mat

entadas • Ma

14 2 1

1obtemos dire

e, portan

penho doia dos candid

tários Genho dos cando polinômio grande dificu

estabelecidos,ão fornecia aor correto

o 17 e é um nú

a matriz dosdos dos eleme

2, encontre

temátic

atemática • 2

1 19 4 21 0 ,

etamente qunto, 8.

os candiddatos nessa q

rais didatos, nestaem um pontuldade para , a aplicação a solução req2 , fato que

úmero real, co

s coeficienteentos da mat

e a solução d

ca

2ª Fase

1 , 2 . Como , ou seja, ue 0. Su

datos uestão foi ig

a questão, ficto, sua resolos estudanteda condição

querida. Entrcontribuiu pa

onsidere o sis

s desse sistetriz é igual

do sistema lin

0 0 01 , 0 ,

9 4 2ubstituindo es

ual a 1,2, com

cou abaixo daução exige ues. No item bo de PA davaretanto, muitara uma méd

stema linear n

2 4

3

2 4

mx z

x y z

x mz

ema. Determà soma dos e

ear para a qu

0 1 1,1 é um

2 1sse resultad

m um desvio

as expectativaum encadeamb, após a oba origem a uos candidato

dia tão baixa n

nas variáveis

4,

3,

4.

mine os valorelementos da

ual o produto

1 1

ma PA com

o na primeir

padrão de 1

as. Embora omento lógico btenção dos vm sistema sim

os utilizaram na questão.

, e :

es de paa matriz

o é mínim

1

razão 2 ,2 1. D

ra igualdade

,4.

o item a envoo mais formavalores do pmples de duo valor 2 co

ara os quais ∙ .

mo.

2 e temos quea segunda

e, temos que

olva apenas al, o que, emolinômio emas equações,mo razão ao

a soma dos

e e a e

a m m , o

s

6

2ª Fase

Provas Com

ObjetivoO candidatocalcular o qanalisando o

Resposta) (2 ponto

A matriz dos

elementos d,

2A A A

A soma dos 2 10

b) (2 pontoPara 2,

Note que aSubstituindoinfinitas soluproduto dasproduto é uuma parábodessa paráb

e • Mat

entadas • Ma

o da Queo deveria efequadrado deso mínimo de

ta Esperas)

s coeficientes

da matriz é

0

1 1

2 0

m

A

elementos d11. Para q

os) temos o sist

a primeira e o na segunduções: para qs variáveis emma função q

ola com a conola tem absc

temátic

atemática • 2

estão etuar operaçõssa matriz. Duma função

ada

s do sistema

igual a

2

1 1

2

m

m

e é, entãoque ,

ema linear

a terceira eda equação, qualquer núm

m qualquer soquadrática nancavidade voissa em 1

ca

2ª Fase

ões com os Deveria aindaquadrática.

linear é dada

0 2

0 2

1 1

0 m

o, devemos ter

equações são2

mero real , olução é dadoa variável , coltada para ci1. Portanto, a

elementos da encontrar a

a por 1

2

m

A

1 1

2 0 4

1 2

2 0 2

m

m

m

4 0 42 11

2 2

2 2

x z

x y z

x z

o iguais. Da

3, co,

o por cujo coeficienima, cujo véra solução pro

a matriz dosas soluções

0 2

1 1

0 m

.

1 1 2

4 0 0

2 0 1 0

2 0 0m

1 1

2 10

4,

3,

4.

primeira eqncluímos qu1 e 2

1 2nte quadráticrtice fornece ocurada é

s coeficientesde um sistem

A soma dos

0

0 2 0

0 2 1

0 4 0

m 1 4

11, ou seja

uação, podee 1. A é uma solu

2o é positivo. o valor mínim

1,

s de um sistma linear ind

s quadrados d

2 11.

2

2

4

m m

m m

m

4 0a, 0.

emos escreveAssim, esse ução. Temos 2

O gráfico demo do produ1 e 2

ema linear edeterminado,

dos

Calculando

2 4 0

1 1

4 0

m m

m m

4

er 2 .sistema tementão que o1 1. Esse

essa função éuto. O vértice

1.

e ,

2

4

1 .

4

m

m

m

. m o e é e

7

2ª Fase

Provas Com

DesempA nota méd

ComentApesar de ocom potêncresolução. Aestudantes,

QuestãoSabendo qu

a) Seja um

b) Para

ObjetivoAvaliar a cap

Resposta) (2 pontoTemos que cos , ob2 2

b) (2 pontoPara 3, 3 sen

18 sen0 2 ,

e • Mat

entadas • Ma

penho doia dos candid

tários Geo tema Sistemcia de matrizeAlém disso, nque atribuíra

o 18 e é um núm

m número re

3, encontre

o da Quepacidade de m

ta Esperas)

2 sbtemos 2 sen cos

os) temos que cos

2 cos, temos as so

temátic

atemática • 2

os candiddatos nessa q

rais mas Lineares ses e obtençãono item b, o am valores nu

mero real, co

eal tal que

e todas as sol

estão manipular fu

ada

en 2 cos2 2 sen

cos 1

3 sen3 sen

16 senluções

ca

2ª Fase

datos uestão foi ig

ser intensameo do valor msistema linea

uméricos inte

onsidere a fun

0. Mostr

uções da equ

nções e equa

2 2 secos 2 co2 cos

n coscos 9

2 10, o/4 ou 3

ual a 1,1, com

ente abordadmínimo de umar resultante iros às variáv

nção

re que 2

uação

ações trigono

en cosos 1. C

1. Como

9 sen9 sen

ou seja, sen/4 ou 5

m um desvio

do na Educaçma função qu

é indeterminveis, tentando

sen cos

1.

1

ométricas.

cos seColocando 2

0, obt

6 sen cos6 sen cos

. Tem5 /4 ou

padrão de 1

ção Básica, a adrática torn

nado, fato não encontrar a

s , definida p

10 para 0

en . Subst2 cos em temos 2

s coscos . L

os então que7 /4.

,3.

combinação naram a quesão muito com solução.

para todo nú

2 .

tituindo senevidência, c0 1

e Logo,

e sen √

desse tópicostão de difícilmum para os

mero real .

n por1chegamos a1.

e, como

o l s

a

8

2ª Fase

Provas Com

DesempA nota médProva de Ma

ComentO item a deexpressões necessária cfunção senosimples, de propriedadeProva de Ma

e • Mat

entadas • Ma

penho doia dos candidatemática, o q

tários Geepende da aenvolvendo

certa habilidao é ímpar e acordo com

es, o que inviatemática e d

temátic

atemática • 2

os candiddatos nessa qque pode ser

rais plicação de senos e cos

ade para a da função coa restrição imiabiliza uma

do Exame.

ca

2ª Fase

datos questão foi igr justificado p

identidades tssenos, assundedução exigosseno é par mposta no enresolução co

ual a 0,9, copela dificuldad

trigonométricntos considegida. No item

para a análnunciado. Pororreta. Soma

m um desviode do tema T

cas, como a rados difícei

m b, era funise das soluçrém, vários caa-se a tudo is

padrão de 1Trigonometria

do arco dups pelos cand

ndamental o ções de umaandidatos fazsso o fato de

,3. Foi a mena.

plo, e da madidatos. Alémconhecimen

a equação trizem confusãoe ser a última

nor média da

nipulação dem disso, erato de que aigonométricao entre essasa questão da

a

e a a a s a

9