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XXIII SEMANA DA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA


CADERNO DE RESUMOS

Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru 2011


CADERNO DE RESUMOS XXIII SEMANA DA LICENCIATURA EM

MATEMÁTICA

Organizadores: Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento

Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni

Realização: Conselho de Curso da Licenciatura em Matemática

Unesp – Câmpus Bauru


COMISSÃO ORGANIZADORA Docentes Profa. Dra. Ivete Maria Baraldi Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola Prof. Dr. Mauri Cunha do Nascimento Profa. Dra. Sueli Liberatti Javaroni Técnicos Administrativos Daniel Buso de Lima Edinéia Ferigato Mattiazzo Ivone Reina Barbieri Discentes Adilson Preto de Godoi Amanda Ferreira Verardo Ana Dorotéia Aparecida Pinto Débora Tiago Firmino Diego Nunes da Silva Diogo Bressanim Edvaldo Alves de Moraes Fabiane Cristina Camili Felipe Augusto Aureliano Hélio Fernando G. Maziero Karen Rocha Coelho Lincoln Rodrigo Alves Pereira Michele de Souza Lopes Vinicius Martinez Vivianne Ferreira dos Santos

COMISSÃO CIENTÍFICA

Profa. Dra. Adriana Cristina Cherri Nicola

EDITORAÇÃO

Ivone Reina Barbieri


Sumário

Habilidades geométricas desenvolvidas por alunos da educação infantil: um

estudo exploratório ................................................................................................ 1

Introduzindo a reta no ensino fundamental ........................................................... 7

A influência da CADES na formação de professores brasileiros ....................... 10

Método primal-dual afim de pontos interiores para problemas de programação

quadrática convexa em problemas de despacho.................................................. 15

Estudo de equivalência de estímulos e teoria de conjuntos no ensino de novos

símbolos ............................................................................................................... 21

Tableaux e lógica proposicional do plausível: uma versão................................. 26


RESUMOS


XXIII Semana da Licenciatura em Matemática 1

HABILIDADES GEOMÉTRICAS DESENVOLVIDAS POR ALUNOS DA

EDUCAÇÃO INFANTIL: UM ESTUDO EXPLORATÓRIO

Evandro Tortora; Nelson Antonio Pirola Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Educação infantil, habilidades, habilidades geométricas.

Keywords: Early childhood education, skills, geometric skills.

Resumo

O objetivo geral da pesquisa foi investigar o seguinte problema: Quais e como as

habilidades, relacionadas a espaço e forma, estão sendo desenvolvidas na Educação Infantil?

A partir desse problema pretendemos investigar: 1- Como estão sendo desenvolvidas

habilidades básicas da geometria, como lateralidade, lateralização, percepção espacial e

orientação espacial? 2-O que pensa o professor da Educação Infantil sobre os objetivos do

trabalho com espaço e forma? 3- Qual o desempenho e as dificuldades encontradas por

crianças ao término da Educação Infantil em atividades envolvendo habilidades básicas de

lateralização, lateralidade, percepção espacial e orientação espacial? Foram participantes

da pesquisa 25 crianças da Educação Infantil e seus respectivos professores. Foram

utilizados como instrumentos para a coleta de dados questionário, entrevista, diário de

campo e testes para avaliar a lateralização, lateralidade, orientação espacial e percepção

geométrica. Quanto aos professores foi constatado que dão ênfase para os ensino de

conteúdos referentes à alfabetização e enfatizam o ensino de figuras planas e têm dificuldade

em discriminar quais das atividades que trabalha em sala de aula desenvolvem habilidades

relacionadas a espaço e forma. Quanto às crianças, foi observado que a maioria delas tem

dificuldade na percepção de algumas figuras planas quando estão rotacionadas, não

reconhecem outras figuras planas que não sejam o quadrado, o círculo, o triângulo e o

retângulo e também que maioria das crianças consegue discriminar os lados direito e

esquerdo, contudo têm dificuldade em nomeá-los corretamente e apresentaram dificuldade

com alguns termos relacionados à orientação espacial, como por exemplo, o termo “entre”.

1. Introdução

A Psicologia da Educação Matemática – PME - é uma área interdisciplinar que tem

como principal objetivo investigar processos de ensino e aprendizagem da Matemática tendo

como fundamentos teorias da Psicologia. Entre os temas abordados pela PME encontra-se a

formação de conceitos em geometria. Vários estudos têm sido conduzidos nessa área

enfocando diferentes olhares para o problema do ensino e da aprendizagem da geometria

escolar, como por exemplo, os estudos de Pirola (2000). Parece haver um consenso entre

esses autores sobre a existência de um abandono do ensino da geometria nas escolas em

diferentes níveis de ensino.



As habilidades básicas relacionadas à geometria, como percepção geométrica e

orientação espacial, que contribuem para que o aluno consiga trabalhar com noções de espaço

e forma, devem ser desenvolvidas desde a Educação Infantil, pois pode propiciar

desenvolvimento de novas habilidades favorecendo a aprendizagem de conceitos da

geometria plana e espacial de forma significativa.

Embora o tema sobre o desenvolvimento das noções de espaço e forma por crianças da

Educação Infantil seja relevante, nota-se, no entanto, que existe uma aparente escassez de

pesquisas, no âmbito da Educação Infantil, que trata do desenvolvimento do pensamento

geométrico. Como exemplo, podemos citar um levantamento feito CARNEIRO e DECHEN

(2007) sobre os temas dos trabalhos apresentados nos Encontros Paulistas de Educação

Matemática (EPEM) realizado até então, no qual a Educação Infantil aparece com apenas

1,7% das pesquisas apresentadas até 2007. Sendo assim, torna-se relevante para o âmbito das

pesquisas em Educação Matemática, especificamente na Educação Infantil, um estudo

exploratório das habilidades básicas que os alunos devem desenvolver durante essa fase de

sua escolarização.

2. Objetivos

O objetivo geral da pesquisa foi investigar as seguintes questões:

Como estão sendo desenvolvidas habilidades básicas da geometria, como lateralidade,

lateralização, percepção espacial e orientação espacial?

O que pensa o professor da Educação Infantil sobre os objetivos do trabalho com

espaço e forma?

Qual o desempenho e as dificuldades encontradas por crianças ao término da

Educação Infantil em atividades envolvendo habilidades básicas de lateralização,

lateralidade, percepção espacial e orientação espacial?

3. Lateralização, lateralidade, percepção geométrica e orientação espacial

Diversas habilidades são desenvolvidas durante a Educação Infantil no intuito de

promover o desenvolvimento integral do indivíduo. No que diz respeito ao trabalho com os

conteúdos referentes ao eixo Espaço e Forma, as principais habilidades que as crianças

começam a desenvolver são a lateralização, a lateralidade, a percepção geométrica e a

orientação espacial.

Krutetskii (1976), um psicólogo russo investigou, durante uma década, os

componentes das habilidades matemáticas e considerou que as habilidades “são qualidades

internas de uma pessoa que permitem a realização satisfatória de uma atividade definida”

(KRUTETSKII, 1976, p. 74-75).

Entre as principais habilidades geométricas que são (ou deveriam ser) desenvolvidas

na Educação Infantil estão a lateralização e a lateralidade. Esses dois conceitos foram estudos

por Pires, Curi e Campos (2001). Nessa etapa a criança utiliza somente o próprio corpo para

definir, por exemplo, quais objetos estão a sua direita e a sua esquerda. Segundo essas



autoras, “essa ‘lateralização’ precisa evoluir pois a ‘esquerda’ de uma pessoa que está a sua

frente, olhando para ela, coincide com a sua ‘direita’. Quando isso acontece, podemos dizer

que a criança conhece sua lateralidade.” (Pires, Curi e Campos, 2000, p. 54). Portanto, na

lateralidade a criança utiliza outros pontos de referência para localizar objetos.

Outra habilidade geométrica que é desenvolvida pelas crianças é a percepção. De

acordo com Sternberg (2000) a percepção é “um conjunto de processos psicológicos pelos

quais as pessoas reconhecem, organizam, sintetizam e fornecem significações (no cérebro) às

sensações recebidas dos estímulos ambientais (nos órgãos dos sentidos)” (p. 147). No caso

específico da geometria, a percepção geométrica está relacionada à percepção das formas dos

objetos que estão ao nosso redor.

A orientação espacial também é uma das habilidades que as crianças começam a

desenvolver desde pequenas. Segundo Del Grande (1990) a orientação espacial capacita os

indivíduos a coordenarem os movimentos do corpo com a visão. Para o desenvolvimento da

orientação espacial é necessário o desenvolvimento das habilidades de lateralidade e de

lateralização. Dessa forma, a percepção geométrica leva a criança a reconhecer, organizar e

sintetizar as informações oriundas dos objetos que estão ao seu redor e a orientação espacial

auxilia a criança a se movimentar e a localizar objetos tendo como base pontos de referências.

4. Materiais e métodos

Para alcançar os objetivos da pesquisa, foram utilizados os seguintes instrumentos:

Entrevista semi-estruturada e audiogravadas com os professores;

Diário de Campo com observações de sala de aula;

Teste de percepção geométrica envolvendo figuras geométricas;

Teste de orientação espacial - envolvendo noções de deslocamento e de localização;

Testes de lateralidade e de lateralização.

Para verificar alguns aspectos sobre o que pensa o professor da Educação Infantil a

respeito dos objetivos do trabalho com espaço e forma e sobre como o professor trabalha em

sala de aula no intuito de desenvolver as habilidades básicas da geometria, como lateralidade,

lateralização, percepção espacial e orientação espacial, foram utilizadas uma entrevista semi-

estruturada e diário de campo de observação da sala de aula.

Os testes de percepção geométrica, orientação espacial, lateralidade e lateralização

foram aplicados para investigar qual o desempenho e as dificuldades encontradas por crianças

ao término da Educação Infantil em atividades envolvendo essas habilidades. Os testes foram

elaborados pelo pesquisador, observando o referencial teórico adotado.

Foram participantes da pesquisa 25 crianças da Educação Infantil, com idade entre

quatro e cinco anos, e dois professores que lecionavam para essas crianças de uma escola do

interior paulista.



5. Resultados e discussões

As observações foram realizadas nas salas de aula dos dois professores entrevistados.

Ambos os professores apresentaram dificuldade em discriminar quais as habilidades

gostariam de desenvolver nos alunos com as atividades aplicadas. Um dos professores

demonstrou acreditar que as crianças desenvolvem essas habilidades espontaneamente, já o

outro professor se preocupava mais com a qualidade da execução das tarefas por parte dos

alunos.

As entrevistas refletiram o que havia sido identificado na prática dos docentes. Assim

como nas observações, ambas as professoras tiveram dificuldade em identificar as atividades

que poderiam desenvolver as habilidades referentes a espaço e forma.

Foram elaborados três testes de percepção geométrica, dois de orientação espacial,

quatro de lateralidade e um de lateralização que foram aplicados individualmente.

O primeiro teste consistia em fornecer um desenho em que estavam presentes várias

figuras geométricas e o objetivo era levar as crianças a discriminá-las. Nesse teste todas as

crianças reconheceram as figuras presentes no desenho, identificando os nomes delas.

No segundo teste o pesquisador mostrava para criança um trapézio feito de E.V.A. e

perguntava para a criança se ela conhecia aquela figura, contudo nenhuma criança acertou o

seu nome. Em seguida eram fornecidos para as crianças dois triângulos retângulos, um

retângulo e um círculo feitos de E.V.A. e era solicitado que a criança utilizasse algumas

dessas peças para montar um trapézio. 11 crianças conseguiram realizar a montagem.

O terceiro teste consistia em apresentar para a criança o desenho de 9 figuras

geométricas, e era solicitado o nome delas. A maioria das crianças teve dificuldade em

reconhecer figuras geométricas quando as mesmas eram compostas por outras figuras ou

quando estavam rotacionadas.

No quarto teste era solicitado que a criança se dirigisse a uma mesa que estava entre

outras duas. Foi observado que algumas crianças não sabiam o significado da palavra entre,

contudo, nenhuma criança errou na localização da mesa.

O quinto teste consistia em fornecer à criança um desenho de um labirinto e era

solicitado que a criança se dirigisse ao centro dele. Todas as crianças realizaram o teste sem

dificuldades.

No sexto teste a criança deveria colocar um objeto em cima da mesa, um embaixo e

outro do lado esquerdo. As crianças não apresentaram dificuldades em dispor os objetos em

cima e embaixo da mesa, apenas apresentaram dificuldade quanto à localização do lado

esquerdo, sendo que apenas oito crianças acertaram qual era o lado esquerdo da mesa.

No sétimo teste era apresentado um desenho de uma pessoa de braços abertos na

posição frontal e a mesma pessoa virada de costas. Em seguida era solicitado às crianças que

identificassem a mão direita da pessoa nos dois desenhos. Notou-se que a maioria dos alunos

(18 crianças) conseguiu imaginar o movimento dos desenhos, mas somente 8 crianças

conseguiram obter êxito no teste, ou seja, identificar a mão direita em ambos os desenhos.

O oitavo teste tinha como objetivo a discriminação entre direita e esquerda. Observou-

se que 19 crianças conseguiram identificar os lados esquerdo e direito como opostos.



No nono teste a criança deveria identificar qual a casa que estava entre duas árvores

tendo como referência um desenho. Notou-se que, assim como no quarto teste, algumas

crianças tiveram dificuldade com o termo “entre” e oito crianças não conseguiram circular a

casa correta.

No último teste a criança deveria identificar objetos que estavam à sua direita,

esquerda, acima, à frente e atrás. Nesse teste nenhuma criança demonstrou dificuldade na

localização de objetos que estavam acima, à frente ou atrás dela, mas, novamente,

apresentaram dificuldades em nomear os lados esquerdo e direito.

6. Conclusões

Com relação aos professores, contatamos que; 1- a maioria das habilidades é

trabalhada em conjunto com outras disciplinas; 2- existe uma ênfase maior no ensino das

figuras do círculo, quadrado, triangulo e retângulo; 3- existe uma ausência de atividades que

envolvam distinção dos lados esquerdo e direito, observando um desenvolvimento maior da

lateralidade, elemento importante a ser desenvolvido na Educação Infantil, como apontam

Pires, Curi e Campos (2001); 4- falta de conhecimento por parte dos professores do potencial

dos materiais didáticos (sala de informática e brinquedoteca) para o ensino dos conteúdos de

espaço e forma. Além disso, é dada grande ênfase aos aspectos da alfabetização e existe a

crença de que a escola é o único lugar em que o aluno terá acesso a esse tipo de conteúdo (de

espaço e forma) de forma correta.

Por fim, com relação às crianças foi observado que a maioria delas possui dificuldade

na percepção de figuras geométricas, principalmente aquelas que se apresentam rotacionadas,

como no caso do quadrado, fato já observado em outros estudos, como por exemplo Sternberg

(2000). Além disso, as crianças não reconheceram outras figuras diferentes do quadrado, do

círculo, do triângulo e do retângulo. Nos testes de lateralidade, a maioria das crianças

consegue discriminar os lados direito e esquerdo, contudo têm dificuldade em nomeá-los

corretamente. Os alunos apresentaram dificuldade com alguns termos relacionados à

orientação espacial, como por exemplo, o termo “entre”.

7. Bibliografias

CARNEIRO, R. F. ; DECHEN, T. Tendências no Ensino de Geometria: um olhar para os

anais dos Encontros Paulista de Educação Matemática. In: 16º Congresso de Leitura do

Brasil - No mundo há muitas armadilhas e é preciso quebrá-las, 2007, Campinas. 16º

Congresso de Leitura do Brasil, 2007. p. 1-10.

DEL GRANDE, J. J. Spatial Sense. Arithmetic Teacher. Feb, 14-20. 1990.

KRUTETSKII, V. A. (1976). The psychology of mathematical abilities in scoolchildren.

(Teller, J. (trad.), Kilpatrick, J. e Wirszup, I. (Eds)). Chicago: University of Chicago Press.

STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Trad. Maria Regina Borges Osório. Porto Alegre:

Artes Médicas, 2000.



PIRES, C. M. C.; CURI, E.; CAMPOS, T. M. M. Espaço e forma: a construção de noções

geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do ensino fundamental. São Paulo:

PROEM, 2000. 286 p.

PIROLA, N. A. Solução de problemas geométricos: dificuldades e perspectivas. 2000. Tese

(Doutorado em Educação Matemática) – Faculdade de Educação, Universidade Estadual de

Campinas, Campinas.



INTRODUZINDO A RETA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Fernanda Maria Catinin da Silva Araújo; Gastón Alberto Concha Henriquez Unip, Câmpus de Indiánapolis, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavra-chave: reta

Introdução

Este levantamento de dados tem como objetivo, introduzir o conceito da reta de uma forma

inicialmente natural, se estruturando ao longo do texto. Definimos a reta no ponto de vista

axiomático de sua existência, citando os principais postulados de Euclides, bem como uma

análise inicial dos objetos que a compõe dentro dos seus subconjuntos, iniciando pelo

conjunto dos naturais, presente na vida cotidiana da criança muito antes da vida escolar.

Cita-se o movimento deste conjunto no primeiro ano do ensino fundamental. A reta é um

instrumento muito importante ao longo do ensino básico, a partir de sua análise pode-se

trabalhar um tema muito relevante que é o valor posicional dos algarismos, principalmente

em se tratando dos conjuntos dos quocientes . Os números decimais demonstrados na reta

numerada produzem uma visualização que facilita a compreensão do tema. Este trabalho

restringe-se em introduzir e analisar o aparecimento deste objeto matemático, trabalhando a

ideia de três de seus subconjuntos, a saber, .

Objetivo

Destacar a existência deste conceito matemático, mesmo que intrínseco na vida cotidiana e

que se estrutura na vida escolar, citar os principais postulados que fundamentam a sua

existência.

Fundamentação Teórica

A fundamentação teórica baseia-se nos postulados de “Euclides”.

Metodologia

Analise qualitativa, documental bibliográfica.

Resultados

A reta

“Com apenas dez símbolos escrevemos todos os números...”. Com esses dez símbolos e o

valor posicional, o sistema Indo Arábico atravessou os séculos, sendo, hoje, universalmente

usado. Organizado em classes e ordens, seus valores podem ser apresentados em termos de

quantidade e seqüência (série ou ordenação), por isso sua representação geométrica, a reta

numérica, é um dos recursos que mais favorece a comparação dos seus valores.

Pode-se representar geometricamente através da reta, os conjuntos numéricos ,

, e com flexibilidade. A reta é infinita e pode-se usar

mailto:[email protected]



qualquer segmento desse conjunto, ampliando-o ou reduzindo-o conforme a necessidade. O

recurso da reta numérica pode ser utilizado em vários contextos.

A vida está cercada de números: os meses de gestação, o primeiro ano de vida, o primeiro

dentinho e assim por diante, pensando em reta, basta olhar o horizonte. O contato com os

números naturais já acontece muito cedo. E se admitir-se que a reta é um grande conjunto, os

números naturais são um dos seus subconjuntos.

1.1 – Definições da reta

Em matemática, uma reta é um objeto geométrico infinito a uma dimensão. Pode ser definida

de várias formas equivalentes. Em Geometria Descritiva uma reta é o resultado do

deslocamento de um ponto segundo uma determinada lei, a reta pode ser compreendida

como um conjunto infinito de pontos.

Principais postulados de Euclides

Postulado da existência (PE): Numa reta, bem como fora dela, existem vários pontos.

Postulado de determinação (PD): Dados dois pontos distintos do espaço, existe apenas uma

reta que os contém.

Postulado da inclusão (PI): Se uma reta tem dois ou mais de seus pontos num plano, ela está

contida no plano.

Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une;

Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta;

Entes geométricos fundamentais

Os entes geométricos fundamentais são entidades que não apresentam definição, apesar de as

pessoas geralmente saberem o que elas são. O ponto, a reta e o plano são os três entes

geométricos e os elementos fundamentais da geometria clássica. O ponto é uma entidade

geométrica que não tem altura, comprimento ou largura, ou seja, é adimensional. Em sucessão

contínua, os pontos constroem linhas. As linhas têm uma única dimensão; o comprimento e

neste caso chegamos a reta.

O Currículo do Estado de São Paulo para o 6º ano (fundamental)

1º bimestre:

O dois grandes temas trabalhados são: Números Naturais e Fração.

Números Naturais: neste momento é trazido ao conhecimento do aluno a história dos números

e a habilidade desenvolvida é a de: Compreender as principais características do sistema

decimal, observando o seu significado e valor posicional, involuntariamente está se

trabalhando, subconjuntos da reta, e em se tratando de valor posicional uma forma muito

utilizada e eficaz é a utilização da reta numerada, para a visualização trabalhando

principalmente o valor posicional das frações.

2º bimestre

Os dois grandes temas trabalhados: Números Decimais e Sistema de Medida.

Habilidades desenvolvidas: Compreender o uso da notação decimal para representar

quantidades não inteiras, bem como a idéia de valor posicional. Saber realizar e compreender

o significado das operações de adição e subtração dos números decimais, saber transformar

http://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geom%C3%A9trico

http://pt.wikipedia.org/wiki/Infinito

http://pt.wikipedia.org/wiki/Dimens%C3%A3o

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_Descritiva

http://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria



frações em números decimais e vice-versa, realizar medidas, utilizando padrões e unidades,

Conhecer as principais características do sistema métrico decimal, unidade de medida

(Comprimento, massa, capacidade) e transformações de unidades.

Discussões

Destacando a existência deste conceito ao longo do estudo matemático, verifica-se que a reta

é uma grande aliada no ensino dos temas propostas para as séries iniciais, compreender a sua

existência e a de seus subconjuntos, auxilia um desenvolvimento de ideias que serão

construídas ao longo dos estudos matemáticos.

Conclusão

No intervalo escolhido verificou-se a presença de subconjuntos deste objeto matemático e que

é possível implementar no ensino a apresentação, considerando a tamanha importância e a

frequente utilização direta ou indireta do tema.

Referências Bibliográficas:

- Currículo do Estado de São Paulo-

- Um convite a Matemática – Daniel Cordeiro de Morais Filho editora EDUFCG 2º edição

- WWW.sómatemática.com.br



A INFLUÊNCIA DA CADES NA FORMAÇÃO DE PROFESSORES

BRASILEIROS

Juliana Aparecida Rissardi Finato, Ivete Maria Baraldi Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: CADES; formação de professores; educação matemática

Keywords: CADES; formation of professors; mathematical education

Resumo

O presente trabalho tem por objetivo apresentar um recorte da pesquisa de iniciação

científica intitulada “A CADES no interior de São Paulo: reflexões sobre a formação de

professores em Duartina” sob o financiamento do PIBIC/Reitoria. Em um período em que as

faculdades eram quase inexistentes no Brasil, a Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do

Ensino Secundário (CADES) é instituída em 1953 com o objetivo difundir e elevar o nível do

ensino secundário, buscando criar possibilidades para que os mais jovens tivessem acesso a

esse nível de ensino. Uma das finalidades da CADES era a de promover cursos para a

formação de professores que se encontravam em número insuficiente diante da grande

demanda de alunos existentes em um período de democratização do ensino. Ao final desse

curso era necessária a aprovação no Exame de Suficiência que concedia aos professores

aprovados o registro do ensino secundário e o direito de lecionar em escolas em que não

houvesse professores formados por Faculdades de Filosofia. Apesar desta campanha ter

formado milhares de professores no Brasil sendo, portanto, mais relevante do que as

Faculdades de Filosofia em algumas regiões brasileiras, é difícil encontrar trabalhos

referentes a esta campanha de formação de professores. Nesse sentido, buscamos neste

trabalho pontuar alguns de seus aspectos constitutivos, buscando refletir sobre a importância

desta campanha para a formação de professores no Brasil.

Introdução

Neste trabalho apresentamos um recorte da pesquisa de iniciação científica intitulada

“A CADES no interior de São Paulo: reflexões sobre a formação de professores em Duartina”

sob financiamento de PIBIC/Reitoria. Dada a importância desta campanha no cenário

educacional brasileiro resolvemos iniciar esta pesquisa com o objetivo de mapear e entender a

influência da CADES na cidade de Duartina por meio da metodologia da História Oral

buscando esclarecer algumas questões referentes à formação deste profissional.

Através dos estudos provenientes dessa pesquisa, este trabalho busca pontuar alguns

aspectos constitutivos da CADES, buscando refletir sobre a importância desta campanha para

a formação de professores no Brasil. Para isso realizaremos a revisão da literatura existente,

fazendo referência também aos depoimentos dos professores constituintes desta pesquisa. A

utilização de depoimentos é justificada pela História Oral, como uma maneira de

complementar algumas lacunas deixadas pela documentação escrita existente.



Um esboço da CADES

Com a revolução de 1930 no Brasil e a diminuição da influência do setor latifundiário

sobre a economia, a industrialização começa a se firmar em solo brasileiro. Dessa forma,

tornou-se necessário qualificar a mão-de-obra existente para trabalhar nas indústrias, e para

tanto fazia-se urgente a melhoria do ensino médio. Iniciou-se, assim, a fase de democratização

do ensino.

(...) o capitalismo industrial promoveu um novo curso na educação brasileira. Se

antes, durante o sistema oligárquico, as necessidades de instrução e uma organização

educacional não se faziam necessárias pela população, diante das condições e

exigências do trabalho, nem pelos centralizadores do poder, ficou evidente que, com

o capitalismo industrial e a nova realidade proveniente deste, a instrução tornou-se

principal meio de ascensão social e colocação no mercado de trabalho,

especialmente com o crescimento do setor terciário. (GIAMOGESCHI, 2009, p. 2)

No entanto, as Faculdades de Filosofia – localizadas, principalmente, nos grandes

centros e capitais – eram insuficientes para formar o quadro necessário de professores para

atender o aumento na demanda do ensino secundário. Buscando solucionar esse problema, de

forma emergencial, foi promulgado pelo Decreto-Lei nº 8.777 de 22 de fevereiro de 1946, o

Exame de Suficiência. Os candidatos com ensino secundário completo ou qualquer formação

superior que fossem aprovados nesse exame recebiam o direito de lecionar no ensino

secundário onde não houvessem professores formados por faculdades de filosofia. No

entanto, o índice de reprovação nesse exame era alto.

Posteriormente, verificou-se que a formação acadêmica do corpo docente do ensino

secundário – em sua maioria advogados, farmacêuticos, médicos, engenheiros, padres e

normalistas – estava comprometida. Na tentativa de elevar o nível do ensino secundário, bem

como difundi-lo, é instituída, durante o governo getulista, a Campanha de Aperfeiçoamento e

Difusão do Ensino Secundário (CADES) – Decreto nº 34.638 de 17 de novembro de 1953.

Conforme publicado na Revista EBSA nº 30 – Novembro de 1953 – p. 317-318 e apresentado

por Baraldi (2003), algumas finalidades da CADES consistiam na elaboração de material

didático; adoção de providencias destinadas à melhoria e barateamento do livro didático;

proposta de construção de prédios, instalações, oficinas escolares e laboratórios; promoção de

intercâmbio entre escola e educadores nacionais e estrangeiros assim como a realização de

cursos e estágios de especialização e aperfeiçoamento para professores, técnicos e

administradores de estabelecimentos de ensino secundário. Com relação à última finalidade

apresentada, esses cursos – com a duração de um mês (janeiro ou julho – período de férias

escolares) - tinham por finalidade suprir as deficiências conceituais e pedagógicas dos

professores nas disciplinas que iriam lecionar ou que já lecionavam. Eram três as disciplinas

ministradas no curso da CADES: Didática Geral, Didática Específica e Conteúdo Específico,

sendo um professor para cada uma delas. A Didática Geral era ministrada para todos os cursos

oferecidos pela Campanha, sendo geralmente apresentada em forma de palestra em um

anfiteatro que reunisse todos os alunos do pólo. As disciplinas de Didática Específica e



Conteúdo Específico eram ministradas segundo o curso frequentado, sendo desenvolvido nas

próprias salas de aula da unidade.

Ao final desse curso era necessária a aprovação no Exame de Suficiência. Como

explicitado por alguns depoentes no trabalho de Baraldi (2003), eram os professores da

CADES quem indicavam os alunos que poderiam prestar tal exame. Caso contrário, pediam

que o aluno se preparasse mais um ano. Esse exame, como apontado anteriormente, tinha um

índice de reprovação alto e por isso foi condicionado a CADES que passou a promover cursos

intensivos de preparação para essas provas (Lei nº 2.430 de 19 de fevereiro de 1955). Baraldi

e Gaertner (2010) apontam a elevação no número de aprovações depois da vinculação do

Exame de Suficiência a CADES.

(...) antes da vinculação dos exames aos cursos da CADES, apenas 520 professores

obtiveram registro para lecionar e que de 1955 a 1960, dos 18.815 candidatos que se

inscreveram nos cursos, 7.506 foram aprovados no exame de suficiência, ou seja,

considerado aptos para exercer a docência no ensino secundário. (BARALDI e

GAERTNER, 2010, p. 164)

Com o surgimento de faculdades no interior dos estados brasileiros ao final da década

de 1960, os cursos promovidos pela CADES se tornam desnecessários sendo que o Exame de

Suficiência perde sua validade em 1971 com a nova LDB (Lei 5.692/71).

A CADES foi instituída em um período em que a demanda de alunos no ensino

secundário era grande devido à democratização do ensino, fazendo com que esta campanha –

que foi responsável pela formação de milhares de professores no Brasil – se tornasse mais

relevante em algumas regiões do país se comparado com as Faculdades de Filosofia que

estavam localizadas nos grandes centros brasileiros. No entanto, é difícil encontrar na

literatura educacional existente trabalhos que se refiram à campanha, mostrando o

esquecimento dado pela historiografia da educação às regiões distantes dos grandes centros.

A CADES e a formação de professores

Com a realização da pesquisa de iniciação cientifica descrita anteriormente, é possível

pontuar alguns aspectos dessa campanha na formação do professor brasileiro. Através da fala

dos depoentes deste trabalho, é possível perceber que esta Campanha, mesmo tendo um

caráter emergencial, desempenhou um papel importante na formação dos professores sendo a

responsável pelo início da docência no ensino secundário, bem como forneceu ingredientes

para que eles se empenhassem em progredir na carreira docente, procurando novos cursos de

formação.

O registro da CADES era sazonal, com abrangência apenas em locais onde não

houvesse faculdades de filosofia, ciências e letras. Mas foi ele que favoreceu minha

entrada no ensino secundário. (excerto do relato do professor José Joannitti).

Enquanto fazia a CADES fiquei sabendo que o professor de desenho do ginásio de

Duartina, Euclides Calil, que era professor concursado, ia se afastar para ser diretor

então abriu uma vaga de professor para ministrar essa disciplina. Então fiz esse

curso para poder lecionar. (...) Com o curso da CADES eu pude lecionar na minha



cidade comodamente, próximo ao colégio, sem precisar me deslocar para longe. (...)

Tive sorte. Fui um privilegiado, me formar e continuar aqui lecionando. Então por

isso acho que tudo encaminhou certo. (excerto do relato do professor Francisco

Rojas Valera).

Outro aspecto importante da CADES no cenário educacional brasileiro, se refere a

intensa produção bibliográfica composta no período de sua existência. Silva (2001) aponta

que os periódicos se constituem como fontes que possibilitam a apreensão dos modos de

funcionamento do cenário educacional da época, podendo ser considerado um espelho do

fazer docente. Como salientam Baraldi e Gaertner (2010) a maioria dessas produções era

voltada aos aspectos pedagógicos das diversas disciplinas ministradas pela campanha.

Podemos citar três periódicos organizados pela campanha: a Revista Escola

Secundária (lançada no ano de 1957), os Cadernos de Orientação Educacional (publicados

entre 1958 e 1959) e a série Didáticas Especiais (resultado dos concursos de monografias

promovidas em comemoração ao Dia do Professor). Em geral, os três periódicos eram

voltados à esfera pedagógica apresentando relatos de experiência de professores, orientações

ao professor em suas responsabilidades em relação à sala de aula, disseminação de novos

conteúdos e novos métodos e técnicas de ensino e até mesmo orientar a implantação e o

desenvolvimento dos estabelecimentos de ensino de grau médio presentes em alguns artigos

dos Cadernos de Orientação Educacional.

Com relação aos outros materiais publicados pela CADES, Baraldi e Gaertner (2010)

– em um trabalho de localização desses materiais – se depararam com diversas obras nas mais

diversas disciplinas ministradas pela CADES: “(...) no total, foram localizados e

referenciados: sete livros da área de Matemática; noventa e dois livros das mais diversas áreas

educacionais; onze livros que discorrem sobre a CADES e suas finalidades (...)” (BARALDI

e GAERTNER, 2010, p. 23).

Por tudo que foi exposto a respeito da CADES, podemos concluir que esta campanha

teve papel importante na formação do quadro de professores secundaristas durante as décadas

de 1950 e 1960, sendo responsável pela formação de milhares de docentes em todo o país.

Finalizamos com as palavras de Pinto (2008) sobre a influência da CADES no cenário

educacional brasileiro:

Considerando as condições do País e particularmente da educação escolar,

acreditamos que, por intermédio das diversas atividades desenvolvidas, essa

Campanha pode ser considerada um espaço de estudos pedagógicos e de

aperfeiçoamento administrativo que teve benéfica repercussão no ensino secundário.

(Pinto, 2008, p. 174)

Referências

BARALDI, Ivete Maria. Retraços da Educação Matemática na região de Bauru (SP): uma

história em construção. 2003. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – IGCE,

Universidade Estadual de São Paulo, Rio Claro, 2003.



BARALDI, Ivete Maria; GAERTNER, Rosinéte. Contribuições da CADES para a Educação

(Matemática) Secundária no Brasil: uma descrição da produção bibliográfica. BOLEMA.

Boletim de Educação Matemática (UNESP. Rio Claro. Impresso), v. 23, p. 159-183, 2010.

EBSA – Documentário do Ensino. Rio de Janeiro: Editora do Brasil, n. 30, p. 317-318, nov.

1953.

GIAMOGESCHI, Carina Lopes. O capitalismo e a expansão do ensino no Brasil. Educação

em Foco, UNISEPE, 1ª edição, ago./2009. Disponível em:

<www.unifia.edu.br/projetorevista/edicoesanteriores/agosto09/educacaoemfoco.html.>

Acesso em: 20 jul. 2011.

PINTO, Diana Couto. Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário: uma

trajetória bem sucedida? In: MENDONÇA, Ana Waleska; XAVIER, Libânia Nacif. Por uma

política de formação do magistério nacional: o Inep/MEC dos anos 1950/1960. Brasília:

Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira, 2008. p. 145-177.

SILVA, Claudia Panizzolo Batista da. 2001. Atualizando pedagogias para o ensino médio;

um estudo sobre a Revista Atualidades Pedagógicas (1950-1962). Dissertação de Mestrado

em Educação PUC – SP.

http://www.unifia.edu.br/projetorevista/edicoesanteriores/agosto09/educacaoemfoco.html



MÉTODO PRIMAL-DUAL AFIM DE PONTOS INTERIORES PARA

PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO QUADRÁTICA CONVEXA EM

PROBLEMAS DE DESPACHO

Larissa Tebaldi de Oliveira, Antonio Roberto Balbo

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática, [email protected]

Palavras-chave: Problemas de programação quadrática, métodos afim de pontos interiores, problemas de

despacho

Resumo

Este trabalho visou a investigação de um Método Primal-Afim de Pontos Interiores e sua

extensão para Problemas de Programação Quadrática (PPQ) com variáveis canalizadas e

restrições de igualdade, com o objetivo de utilizar esse método para determinar soluções

aproximadas e consistentes de Problemas de Despacho Econômico (PDE) encontrados na

Engenharia Elétrica, dentro da área de Sistemas de Energia. Esses PDE’s buscam otimizar o

processo de alocação da demanda de energia elétrica entre as unidades geradoras disponíveis,

minimizando uma função quadrática relativa ao custo de geração e satisfazendo suas restrições

operacionais, que são compostas de restrições lineares de igualdade, relativas ao atendimento da

demanda do mercado, e variáveis canalizadas, relativas aos limites máximo e mínimo de

geração. Ao final do trabalho foi proposto um algoritmo que foi implementado utilizando o

software Borland C++ Builder 6.0 e aplicado em um PDE definido para 6 geradores. Os

resultados obtidos foram comparados com aqueles encontrados na bibliografia e demonstraram a

eficiência do método proposto.

INTRODUÇÃO

Nesse trabalho foi realizada a extensão do Método Primal-Afim para Problemas de

Programação Quadrática, apresentados em [FANG E PUTHENPURA, 1993], para o caso de

variáveis canalizadas e restrições de igualdade. O Método Primal-Afim para PPQ’s é uma

variação do Método Primal-Afim para Problemas Lineares definido em [VANDERBEI et al,

1985], cuja origem está no algoritmo de Transformação Projetiva de Karmarkar, visto em

[KARMARKAR, 1984].

Foi utilizada uma estratégia Primal-Dual para determinar as direções de busca e as

soluções ótimas aproximadas. Essa estratégia baseia-se no Método Primal-Dual de Pontos

Interiores visto em [MONTEIRO, 1990], [KOJIMA, 1989], [WRIGHT, 1997], entre outros,

porém, sem o procedimento relativo a barreira logarítmica presente em [FRISCH, 1955], que foi

utilizada para demonstrar a complexidade do método proposto pelos autores acima citados.

O método proposto neste trabalho foi utilizado na determinação de soluções aproximadas

de PDE’s encontrados na Engenharia Elétrica, dentro da área de Sistemas de Energia. Esses

problemas visam otimizar o processo de alocação da energia elétrica entre as unidades geradoras,

minimizando uma função quadrática relativa ao custo de geração e satisfazendo as restrições

operacionais compostas de restrições lineares de igualdade, relativas ao atendimento da demanda



de mercado, e variáveis canalizadas, relativas aos limites máximo e mínimo de geração. Com isso,

os PDE’s podem ser tratados como PPQ’s com restrições lineares de igualdade e variáveis

canalizadas.

Uma implementação computacional do método foi realizada utilizando a linguagem de

programação C/C++ e o software Borland C++ Builder 6.0, para determinar as soluções ótimas

aproximadas em um PDE definido para 06 geradores. Os resultados obtidos foram comparados

com aqueles encontrados em [SOUZA, 2010] e [SAMED, 2004] e demonstram a eficiência do

método proposto.

OBJETIVOS

Este trabalho teve por objetivo a investigação e extensão do Método Primal-Afim de

Pontos Interiores para PPQ’s com variáveis canalizadas e restrições lineares de igualdade; a

elaboração e implementação do algoritmo do método proposto utilizando o software Borland C++

Builder 6.0; a aplicação o método em um PDE definido para o caso de 06 geradores; e a

comparação dos resultados com aqueles obtidos através de outros métodos e já divulgados.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Baseando-se no Método Primal-Afim de Pontos Interiores para PPQ’s proposto por

[FANG E PUTHENPURA, 1993] e [VANDERBEI et al, 1985], realizamos sua extensão para

PPQ’s com variáveis canalizadas e restrições de igualdade conforme a seguir:

Problema Quadrático com Variáveis canalizadas

Seja uma matriz semi-definida positiva, , e

, então, o PPQ com variáveis canalizadas é definido da seguinte forma:

Minimizar

Sujeito a: (1)

equivalente a:

↔

Minimizar

Sujeito a: (2)

onde são variáveis de excesso e folga, respectivamente. Considerando

não vazio e limitado, então o problema (2) tem

solução ótima e finita.

Problema Quadrático Dual com Variáveis canalizadas

O problema Lagrangiano Dual associado ao problema (2) é definido por:

Maximizar

Sujeito a: (3)

onde, e .

Considerando-se, sem perda de generalidade, v = x em (3), e que o conjunto

é não vazio e limitado,



então o problema (3) tem solução ótima finita e podem ser consideradas as seguintes condições de

KKT para os PPQ’s (2) e (3):

; ; ; ; e (4)

onde R, S, Z e F são matrizes diagonais com, respectivamente, e como elementos

diagonais e .

Conseguimos determinar as direções de busca primais e duais, ,

; os tamanhos de passo primal e dual ; os critérios de otimalidade e os novos

pontos: , , , ,

e (5)

ao considerarmos os termos de primeira ordem e eliminarmos os termos de segunda ordem das

equações e , presentes após uma perturbação nas soluções correntes da iteração

k.

Com isso, obtemos os seguintes passos propostos para o algoritmo Primal-Afim para

PPQ’s com variáveis canalizadas e restrições de igualdade, utilizando uma estratégia Primal-Dual:

Algoritmo Primal-Afim para PPQ’s com variáveis canalizadas

1º Passo: Fixar k=0 e escolher e factíveis. Além disso, escolher e

como três números positivos suficientemente pequenos e , para ser uma constante

positiva. Calcular e . Usualmente é pré-definida por: .

2º Passo: Calcular: ; ; ;

; e .

3º Passo: Testar a otimalidade da solução: Se e ;

, , ;

e ;

então PARE, pois, é a solução ótima aproximada do problema (2) e , e do problema

(3). Caso contrário, vá para o próximo passo.

4º Passo: Calcular as direções de busca: ;

; ; ;

e .

5º Passo: Testar a ilimitariedade da solução: Se , então PARE,

pois, o problema é ilimitado. Se , então PARE também, pois

e são soluções ótimas do primal e do dual, respectivamente. Caso contrário, vá para

o próximo passo.

6º Passo: Calcular o comprimento do passo: ,

, , e

, onde e i=1, 2, ... , n. E determinar, e

.



7º Passo: Determinar as novas soluções definidas em (5). Fazer k=k+1 e voltar ao 2º

passo.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

O modelo de otimização para o PDE, desconsiderando o efeito do ponto de válvula,

apresentado em [SMITH, 1943] é definido por:

Minimizar

Sujeito a: (6)

onde, representa os custos de cada unidade geradora k e , , e são os coeficientes da

função custo relativo à unidade k. corresponde às potências de operação da unidade geradora k;

é o valor da demanda de energia a ser atendida pelas unidades geradoras; é o valor das

perdas na transmissão; e são os limites operacionais inferiores e superiores,

respectivamente, de saída das unidades de geração termoelétrica relativas à unidade k.

O PDE definido em (6) é equivalente ao PPQ com variáveis canalizadas definidos em (1).

O algoritmo desenvolvido foi implementado Computacionalmente utilizando o software

Borland C++ Builder 6.0 e aplicado ao seguinte PDE, definido para 06 geradores, encontrado na

Engenharia Elétrica na área de sistemas de geração. Esse PDE encontra-se definido em [SAMED,

2004] e [SOUZA, 2010] e seus dados são apresentados a seguir:

Minimizar:

Sujeito a:

O Método Afim-Escala para PPQ foi inicializado com os pontos iniciais:

, , e

e os seguintes

dados , , onde é o valor da demanda e ,

ou seja, não há perda de transmissão. As tolerâncias são dadas por

e . Os resultados obtidos pelo método foram

encontrados na 7ª iteração de acordo com a tabela 1:

Nesse caso o valor ótimo da função objetivo obtido para o custo de geração foi de

$26.998,82, coincidindo com aquela encontrada em [SOUZA, 2010] e sendo melhor do que a

encontrada em [SAMED, 2004].



Tabela 1. Resultados para o PDE definido para 06 geradores

CONCLUSÕES

Neste trabalho foi investigado e implementado um método Primal-Afim de Pontos

Interiores para PPQ’s com variáveis canalizadas e restrições de igualdade, com estratégia Primal-

Dual, que foi utilizado para determinar soluções aproximadas de um PDE definido para 6

geradores. A implementação realizada em C++ mostrou-se eficiente, pois o tempo computacional

de execução foi insignificante e os resultados encontrados quando comparados àqueles

encontrados em [SOUZA, 2010] e [SAMED, 2004], mostraram a eficiência do método citado na

resolução destes problemas.

REFERÊNCIAS

FANG, S. C.; PUTHENPURA, S. Linear Optimization and Extension: Theory and

Algorithms, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993.

FRISCH, K. R. The Logarithmic Potencial Method of Convex Programming, University

Institute of Economics (manuscript), Oslo, Norway, 1955.

KARMARKAR, N. A new polynomial time algorithm for linear programming, Combinatoria

4, 373-395, 1984.

KOJIMA, M.; MIZUNO, S.; YOSHINE A. A primal dual – interior point method for linear

programming, it Progress in Mathematical Programming: Interior-Point and Related

Methods, Ed. N. Megiddo, Springer-Verlag, New York, 29-48, 1989.

MONTEIRO, R. C. ; ADLER, I.; RESENDE, M. C. A polynomial-time primar-dual affine

scaling algorithm for linear and convex quadratic programming and its power series

extension, Mathematics of Operations Research 15, 191-214, 1990.

SAMED, M. M. A. Um Algoritmo Genético Hibrido Co-Evolutivo para Resolver Problemas

de Despacho, Tese de Doutorado, UEM, Depto. De Engenharia Quimica, Agosto de 2004, 167 p.

SOUZA, M. A. S. Investigação e Aplicação de Métodos Primal – Dual de Pontos Interiores

em Problemas de Despacho Econômico e Ambiental, Tese de Mestrado, Faculdade de

Ciências, UNESP, Bauru, 2010.

STEINBERG, M. J. C.; SMITH, T. H. Economic Loading of Power and Electric Systems,

MacGraw-Hill, 1943.

VANDERBEI, R.J.; MEKETON, M.S.; FREEDMAN, A. A modification of Karmarkar’s

linear programming algorithms, Algorithmica 1, 395-407, 1985.



WRIGHT, S. J. Primal-Dual Interior Point Methods, SIAM Journal, 2t89-304, 1997.



ESTUDO DE EQUIVALÊNCIA DE ESTÍMULOS E TEORIA DE

CONJUNTOS NO ENSINO DE NOVOS SÍMBOLOS

Lucas Kenjy Bazaglia Kuroda; Celso Socorro Oliveira


Palavras-chave: Equivalência; conjuntos; matching.

Keywords: Equivalence; sets; matching.

Resumo

Esse trabalho é o estudo de uma aplicação do conceito de Equivalência tal como utilizado na

Psicologia Experimental para o ensino de novos repertórios e/ou símbolos. O trabalho

analisa de um lado a necessidade de testes de reflexibilidade, simetria e transitividade como

requisitos para comprovar a equivalência entre elementos de conjuntos de estímulos. Por

outro lado, analisa a performance de aplicação de um software, MTSLab, com o

procedimento de “matching-to-sample” para aumentar o repertório de símbolos (estímulos

abstratos para manter a arbitrariedade e garantir o aprendizado). O experimento utilizou

quatro conjuntos de estímulos abstratos com três elementos cada um. Todos os participantes

conseguiram identificar as classes estímulos equivalentes formadas, comprovados através

dos testes de reflexibilidade, simetria e transitividade. Por outro lado, uma observação

quanto ao procedimento da psicologia, indicou que a partir de quatro conjuntos começa a

ficar exaustivo o número de testes necessários para comprovar a equivalência, tornando

didaticamente cansativo e problemático.

1. Introdução

Desde 1982, o conceito de equivalência é utilizado no ramo da Psicologia

Experimental para comparar estímulos entre conjuntos, que representem o mesmo valor

simbólico, baseado em Teoria de Conjuntos, com o intuito de analisar a aprendizagem de um

aluno. Na matemática, a equivalência generaliza a relação de igualdade. Assim, a relação de

equivalência sobre um conjunto A é observada por uma relação reflexiva ( aRaAa , ),

simétrica ( bRaaRbAba ,, ) na presença do conjunto B e transitiva

( aRcbRcaRbAcba ,,, ) na presença do terceiro conjunto C.

2. Objetivos

Analisar, através do procedimento de Matching-To-Sample e com o paradigma de

Equivalência de Estímulos baseado em Teoria de Conjuntos, a aprendizagem de símbolos

abstratos e qual o esforço para provar que a equivalência de estímulos emerge tal como

estudado na Psicologia, através da quantidade de relações treinadas e testadas, tomando por

base o número de relações treinadas e o número de relações testadas ao variar o número de

conjuntos e o número de símbolos a serem ensinados.



3. Material e métodos

Material:

O material utilizado foi o Software MTSLab e 12 símbolos abstratos em arquivos com

formato jpg. Na figura 1, os conjuntos estão divididos por colunas: na primeira se encontra o

conjunto A com os elementos {a1, a2 e a3} respectivamente; na segunda coluna, está os

elementos de B = { b1, b2, b3}; na terceira, o conjunto C contendo {c1, c2, c3} e na quarta

coluna os elementos de D = { d1, d2, d3}.

Figura 1. Elementos dos conjuntos A, B, C e D (por coluna).

A Figura 2 ilustra as telas de execução do MTSLab para as tarefas de treino e teste:

1 – No início, o experimentador escolhe quais atividades aplicará. Um arquivo gerado

indica a correção das questões, a porcentagem de acertos e o tempo decorrido.

2 – Aparece uma figura (estímulo a1) na metade superior da tela (estímulo AMOSTRA),

onde o aluno, ao clicar, simboliza a propriedade reflexiva, a1Ra1 (a1 se relaciona com a1).

3 – Após clicar, aparecerá outro(s) símbolo(s) na metade inferior (até o máximo de

três)(estímulo COMPARAÇÃO), cabendo ao aluno clicar em um deles para associar figura

superior da tela (a1) com um dos do lado inferior (triângulo - b1).

4 – No treino, aparecerá na tela uma professora sinalizando a resposta.

Figura 2. Telas do software MTSLab, numerados de 1 a 6.



5 – Nas tarefas de teste, a professora não aparece e a resposta é gravada em arquivo.

Essas atividades exigem repetições dessas tarefas para que o aluno aprenda as relações.

Procedimento:

O projeto foi dividido em duas fases:

1ª fase: Primeiramente estudou-se a quantidades de treinos (com indicação de ver se a

resposta está correta ou errada) e testes (sem dica) necessários para a ocorrência das três

propriedades - reflexiva, simétrica e transitiva utilizando um número n de conjuntos.

2ª fase: Realizado a fase anterior, adaptou-se o software para que aplicar com quatro

conjuntos com três elementos cada. O experimentador testou em si o software. Em seguida, o

programa foi aplicado a outros alunos para que pudesse extrair resultados sobre a eficácia do

software em relação a aprendizagem de figuras abstratas relacionadas arbitrariamente.

4. Resultados

Para que analisar o esforço de treino e teste, foram realizados cálculos com o intuito

de encontrar o número de testes e treinos que se adéquam a cada atividade em função de um

número n de conjuntos. Assim, tomou-se inicialmente dois conjuntos A={a1, a2, a3} e B= {b1,

b2, b3}, onde a1Rb1, a2Rb2 e a3Rb3.

Realizou-se a seguinte contagem do número de treinos: A – B (A se relaciona com B)

Foi verificado que seria necessários um total de nove treinos – três treinos para a1, três

treinos para a2 e três treinos para a3. Fazendo a contagem para o número de testes necessários

para a simetria, verificou-se que seriam necessários três testes: onde cada elemento de B se

relaciona com um elemento de A aplicando então, a simetria entre os elementos do conjunto

B com os elementos de A (tabela 1) .

Amostra Comparação Resposta Esperada

b1 a1 a2 a3 a1

b2 a3 a2 a1 a2

b3 a2 a1 a3 a3

Tabela 1. Tabela das possibilidades de téste no software MTSLab, para dois conjuntos, A e B.

Portanto, dados dois conjuntos A e B, contendo cada um três elementos, serão

realizados 9 treinos e 3 testes.

A análise continuou tomando-se três conjuntos A, B e C, onde A – B – C (A se

relaciona com B, que se relaciona com C). Realizando o mesmo procedimento anterior, tem-

se que a cada dois conjuntos há nove treinos. Então, A – B = 9 treinos; B – C = 9 treinos,

totalizando 18 treinos

Verificando o número de testes necessários tem-se:

Para simetria: B – A = 3 testes e C – B = 3 testes;

Para transitividade: A – C = 3 testes e C – A = 3 testes

Total = 12 testes. Assim, o número de treinos (18) é maior que o de testes (12), o

treino tem esforço superior ao teste. A partir de três conjuntos há a relação de transitividade.

Tomando-se quatro conjuntos A, B, C e D. As relações seriam A – B – C – D:



Os treinos seriam: A – B = 9; B – C = 9; C – D = 9; Total = 27 treinos

Relações de simetria testadas seriam: B – A; C – B e D – C com três testes cada.

As relações transitivas com três testes cada: A – C; C – A; A – D; D – A; B – D; D – B.

Havendo quatro conjuntos, o número de treinos será igual ao número de testes (27).

Tomando-se cinco conjuntos (A, B, C, D e E), foi verificado que a quantidade de

relações treinadas seria 36 e testadas 48. Portanto, o esforço para testar é maior que o de

treino, para o número de conjuntos superior a quatro.

Na fase II, o software foi aplicado para quatro conjuntos, treinando-se AB, BC, CD

(sessões 1 a 3) e testando-se a simetria e transitividade (sessão 4 com 40 tarefas), obtendo-se

os seguintes resultados (acertos em porcentagem):

Alunos Sessão 1 Sessão 2 Sessão 3 Sessão 4

E 100% 96,7% 100% 70%

EV 93,3% 100% 100% 80%

J 86,7% 100% 100% 85%

M 66,7% 86,7% 90% 70%

T 100% 100% 100% 85%

K 100% 96,7% 100% 90%

I 93% 96,7% 96,7% 60%

A 96,7% 100% 86,7% 55%

P 83,3% 100% 100% 62,5%

Tabela 3. Tabela do índice de acertos dos nove alunos no software MTSLab, percentual de acertos.

Na sessão 4, quando se usa implicitamente a propriedade transitiva, os alunos se

confundem e demoram mais para responder, já que precisam lembrar das relações existentes

entre os símbolos das tarefas 1, 2, e 3.

5. Conclusões

As propriedades de equivalência desempenham um papel muito importante na

matemática como um modo de generalizar uma relação de igualdade. No entanto, as

propriedades de equivalência foram utilizadas como instrumento de estudo do esforço da

aprendizagem de relações entre figuras.

O trabalho de montar uma aula é grande, já que o número de testes irá aumentar a partir

do quarto conjunto.

6. Referências

FEITOSA, H. A.; NASCIMENTO, M. C.; ALFONSO, A. B. Teoria dos conjuntos: sobre a

fundamentação matemática e a construção de conjuntos numéricos. Bauru: editora, 2008. 90p.



HISTÓRIA DA ÁLGEBRA LINEAR

Rilda Nobuko Kato; Hércules de Araujo Feitosa


Palavras-chave: Álgebra linear; história da matemática; aplicações da álgebra linear

Resumo

O presente trabalho tem como tema a Álgebra Linear. Partindo do pressuposto de que o

conhecimento matemático é historicamente construído e passa por evoluções, então, em

princípio, mostramos algumas concepções algébricas na antiguidade e, em seguida,

destacamos a legitimação dos números negativos e dos números complexos. Posteriormente,

mencionamos o desenvolvimento de métodos de análise vetorial no plano, para depois

seguirmos para a generalização da representação geométrica no espaço, bem como

abordarmos o progresso das transformações lineares. Também trataremos da história das

matrizes, básicas para a álgebra linear, que surgiram em função da necessidade de

determinar soluções dos sistemas de equações lineares. Com base nesses tópicos, veremos

que eles foram essenciais para o surgimento da álgebra linear como conhecemos atualmente.

Embora, até o final do século XIX, não tinha alguma teoria ou definição que caracterizasse a

álgebra linear; hoje, no século XXI, ela é fundamental para a engenharia, computação

gráfica, redes elétricas e até mesmo, para a tomografia computadorizada, para o estudo de

crescimento populacional por faixa estaria e para a imagem digital. No final deste trabalho,

serão apontadas essas aplicações e outras da álgebra linear.



TABLEAUX E LÓGICA PROPOSICIONAL DO PLAUSÍVEL: UMA

VERSÃO

TABLEAUX AND PROPOSITINAL LOGIC OF PLAUSIBLE: A

VERSION

Tiago Augusto dos Santos Boza; Hércules de Araujo Feitosa

Unesp, Câmpus de Bauru, Faculdade de Ciências, Licenciatura em Matemática,

[email protected]

Palavras-chave: Modelos algébricos; tableaux; lógica proposicional do plausível

Keywords: Algebric models; tableaux; propositional logic of plausible

Resumo

Neste trabalho apresentaremos a lógica proposicional do plausível, que foi originalmente

introduzida em versão hilbertiana, numa versão de tableaux. O método dos tableaux é

baseado em refutação, ou seja, num tal sistema para verificarmos a validade de uma fórmula

A, inicialmente aceitamos, como hipótese, a sua negação, ¬A. Se da análise das suas

subfórmulas, de modo conveniente e algorítmico, obtemos uma contradição, então a fórmula

testada ¬A não é válida e, portanto, a fórmula A é válida.

1 Lógica Proposicional do Plausível

Apresentamos, agora, a lógica proposicional do plausível, denotada por L(∇), que é

uma extensão conservativa da lógica proposicional clássica.

Esta lógica de caráter modal adiciona um novo operador ∇ não definido através dos

outros operadores na linguagem clássica. Assim, a linguagem de L(∇) é dada por L(¬, →, ∇).

A lógica proposicional do plausível é determinada pelos seguintes axiomas e regras:

- (Ax0) Os axiomas da lógica proposicional clássica (LPC)

- (Ax1) (∇A ∧ ∇B) → ∇(A∧B)

- (Ax2) (∇A ∨ ∇B) → ∇(A∨B)

- (Ax3) ∇A → A

- (Ax4) ∇(A ∨ ¬A)

- (MP) Modus Ponens

- (R∇) ⊢ (A ↔ B) / ⊢ (∇A ↔ ∇B).

De maneira intuitiva, podemos entender os axiomas (Ax1) a (Ax4) como:

(Ax1) Se A é plausível e B é plausível, então A ∧ B é plausível;

(Ax2) Se A é plausível ou B é plausível, então A ∨ B é plausível;

(Ax3) Se A é plausível, então A vale;

(Ax4) Todo teorema é plausível.



2 Tableaux para a Lógica Proposicional do Plausível

A lógica proposicional do plausível na versão de tableaux será denotada por TPl.

Definição 2.1 A linguagem do sistema TPl é determinada a partir da formalização de

Smullyan (1971) para a LPC, acrescida apenas dos seguintes itens:

i) No alfabeto de TPl, denotado por AlfTPl, acrescenta-se o operador ∇.

ii) O conjunto de fórmulas de TPl, denotado por ForTPl, é definido recursivamente

pelas fórmulas da LPC mais a seguinte cláusula:

- Se A é uma fórmula, então ∇A também é uma fórmula de TPl.

iii) O conjunto de regras de dedução do sistema TPl é formado pelas regras de

dedução dos tableaux para a LPC, acrescido das regras de dedução ‘específicas’

para o operador ∇, que serão introduzidas a seguir.

iv) Um ramo de um tableau de TPl fecha ao obtermos A e ¬A no mesmo ramo ou

ainda o símbolo de contradição ⊥.

As regras de dedução específicas para o operador ∇ adicionam pelo menos uma nova

fórmula no final de cada ramo que contém a premissa da regra.

Definição 2.2 As regras de expansão de TPl para o operador ∇ são as seguintes:

(R∇1): ∇A

A

(R∇2): ¬∇A

⊨ A

⊥

Se encontramos uma expressão ¬∇A, então testamos a subfórmula A. Se A é válida,

isto é, o tableau de ¬A fecha, então incluímos ⊥ e fechamos o tableau, pois se A é válida,

então tem que valer ∇A. Agora, se A não é válida, então expandimos o tableau com uma das

regras seguintes:

(R∇3): ¬∇(A∧B) (R∇4): ¬∇(A∨B)

¬∇A |¬∇Β ¬∇A

¬∇B

(R∇5_A): ¬∇(A→B) (R∇5_B): ¬ ∇(A ↔ B)

¬∇(¬A∨B) ¬∇((A→B)∧(B→A))

(R∇6): ⊩ A ↔ B

∇A | ¬∇A

∇B | ¬∇B

A seguir, mostraremos a correção e completude, isto é, mostraremos que todos os

teoremas e deduções que podem ser obtidos a partir do sistema Hilbertiano da lógica

proposicional do plausível, também podem ser obtidos pelo sistema TPl.



Teorema 2.1 Γ ⊢ A ⇒ Γ ⊩ A.

Demonstração: Por indução sobre o comprimento da dedução. Para n = 1, temos que A está

em Γ ou A é um axioma da lógica proposicional do plausível. Se A pertence a Γ, obviamente

Γ ⊩ A. Agora, se A é um axioma, então mostraremos que existe um tableau fechado para Γ ∪

{¬A}:

i) Se A é um dos axiomas de CPC, o resultado já é conhecido.

ii) Se A é um dos axiomas da lógica proposicional do plausível, temos:

- (Ax1) ∇A∧∇B → ∇(A∧B): construindo o tableau, obtemos:

Γ

∇A∧∇B

¬∇(A∧B)

∇A

∇B

⋏

¬∇A ¬∇B

- (Ax2) ∇A ∨ ∇B → ∇(A∨B): a dedução é análoga à anterior usando-se a regra (R∇4);

- (Ax3) ∇A → A: a verificação é trivial, pois apenas usamos a regra (R∇1);

- (Ax4) ∇(A∨¬A):

Γ

¬∇(A∨¬A)

⊨ (A∨¬A)

⊥

Agora, tomemos como Hipótese de Indução (HI) que:

Γ ⊢ An ⇒ Γ ⊩ An, para todo n ≤ k.

Há três possibilidades para o passo seguinte, k +1, da indução:

i) Ak+1 é uma premissa;

ii) Ak+1 é um axioma da lógica proposicional do plausível;

iii) Ak+1 é deduzida a partir da regra (R∇), ou seja,

(R∇) ⊢ A↔B ⇒ ⊢ ∇A↔∇B.

Para os itens i) e ii) nada temos a demonstrar, pois essa justificação é a mesma feita

no caso base da indução. Para o caso iii), é preciso que analisemos a regra (R∇).

Suponhamos que há uma dedução a partir de Γ em que Ak ≡ A↔B e Ak+1 ≡

∇A↔∇B. Segue daí que Γ ⊢ A ↔ B e pela hipótese de indução que Γ ⊩ A↔B.

Assim, precisamos mostrar que o tableau para Γ ∪ {¬(∇A↔∇B)} também fecha, ou

seja, mostrar que Γ ⊩ ∇A↔∇B. Construindo o tableau para o que queremos, temos:



Γ

¬(∇A↔∇B)

⋏

¬(∇A→∇B) ¬(∇B→∇A)

∇A ∇B

¬∇B ¬∇A

⋏ ⋏

∇A ¬∇A ∇A ¬∇A

∇B ¬∇B ∇B ¬∇B

Usamos a hipótese de indução para a última parte do tableau. ■

Agora demonstrarmos a recíproca do Teorema 2.1.

Teorema 2.2 Γ ⊩ A ⇒ Γ ⊢ A.

Demonstração: Assim como foi feito na demonstração anterior, estenderemos a demonstração

clássica da LPC para o operador ∇. Para cada regra de TPl obteremos uma dedução, muitas

delas pelo princípio da redução ao absurdo (RAA), isto é, uma dedução indireta, na lógica

proposicional do plausível.

- Para a regra (R∇1): ∇A / A, se dá de maneira trivial, usando apenas uma instância

do axioma (Ax3) e a regra de dedução Modus Ponens;

- Para a regra (R∇2): ¬∇A, ⊢A / ⊥, temos:

1. ¬∇A p.

2. ⊢ A p.

3. ⊢ A ↔ (B∨¬B) Equivalência de Teoremas

4. ⊢ ∇A ↔ ∇ (B∨¬B) R∇ em 3

5. ⊢ ∇ (B∨¬B) Axioma (Ax4)

6. ⊢ ∇ (B∨¬B) → ∇A CPC em 4

7. ⊢ ∇A MP em 5 e 6

8. ∇A ∧ ¬∇A C em 1 e 7

9. ⊥ Equivalência em 8

- Para a regra (R∇3): ¬∇(A∧B) / ¬∇A ∨ ¬∇B:

1. ¬∇(A∧B) p.

2. ¬(¬∇A ∨ ¬∇B) p.p.

3. ¬¬∇A ∧ ¬¬∇B De Morgan em 2

4. ∇A ∧ ¬¬∇B DN em 3



5. ∇A ∧ ∇B DN em 4

6. ∇A ∧ ∇B → ∇(A∧B) Axioma (Ax1)

7. ∇(A∧B) MP em 5 e 6

8. (∇(A∧B)) ∧ (¬∇(A∧B)) C em 1 e 7

9. ¬∇(A∧B) / ¬∇A ∨ ¬∇B RAA de 1 a 8

- Para a regra (R∇4): ¬∇(A∨B) / ¬∇A ∧ ¬∇B, a dedução é análoga a da regra (R∇3),

usando dessa vez uma instância do axioma (Ax2);

- Para as regras (R∇5_A): ¬∇(A→B) / ¬∇(¬A∨B) e (R∇5_B): ¬∇(A ↔ B) /

¬∇((A→B)∧(B→A)) as deduções seguem de maneira imediata;

- Para a regra (R∇6), ⊢ A↔B / ⊢ ∇A∧∇B ou ⊢ ¬∇A∧¬∇B, temos:

1. ⊢ A↔B p.

2. ⊢ ¬(∇A∧∇B) p.p.

3. ⊢ ¬(¬∇A∧¬∇B) p.p.

4. ⊢ ¬(∇A↔∇B) CPC em 2 e 3

5. ⊢ ∇A ↔ ∇B (R∇) em 1

6. ⊢ (∇A ↔ ∇B) ∧ ¬(∇A ↔ ∇B) C em 5 e 6

7. ⊢ (∇A∧∇B) ∨ (¬∇A∧¬∇B) RAA de 2 a 6. ■

Teorema 2.3 (Adequação Forte) Γ ⊩ A ⇔ Γ ⊢ A ⇔ Γ ⊨ A.

Demonstração: Segue imediatamente dos Teoremas 5.4, 5.5 e Corollary 5.5 de (Feitosa,

Nascimento, Grácio, 2009). ■

Do teorema 2.3 concluímos que o presente trabalho estabelece a equivalência entre a

Lógica Proposicional do Plausível e o Sistema de Tableaux TPl.

3 Conclusões

Esse trabalho mostra a equivalência entre a Lógica Proposicional do Plausível e o

Sistema de Tableaux TPl. Portanto, todas as fórmulas obtidas na Lógica Proposicional do

Plausível, podem ser obtidas no sistema apresentado.

Referências Bibliográficas

FEITOSA, H. A.; NASCIMENTO, M. C.; GRÁCIO, M. C. C. A Propositional Version for

the Plausible. Bauru: UNESP (sujeito à publicação), 2009.

SMULLYAN, R. First-order logic. Amsterdam: North-Holland, 1971.

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