FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO · 2006-09-21 · RESUMO ... de Engenharia da Universidade do Minho e, ... CAPÍTULO 6 - Modelação Numérica 6.1 Introdução

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

COMPORTAMENTO CÍCLICO DE ESTRUTURAS PORTICADAS DE BETÃO ARMADO REFORÇADO COM FIBRAS DE AÇO

Simulação Numérica e Análise Experimental

José Manuel de Sena Cruz

Dissertação para obtenção do grau de Mestre em Estruturas de Engenharia Civil

JULHO DE 1998

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO

COMPORTAMENTO CÍCLICO DE ESTRUTURAS PORTICADAS DE BETÃO ARMADO REFORÇADO COM FIBRAS DE AÇO

Orientador Científico

Raimundo Moreno Delgado

Co-Orientador Científico

Joaquim António Oliveira de Barros

Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, para obtenção do grau de

Mestre em Estruturas de Engenharia Civil

Publicação subsidiada pela Junta Nacional de Investigação Científica e Tecnológica

José Manuel de Sena Cruz

Julho de 1998

ÍNDICE GERAL

AGRADECIMENTOS ......................................................................................................... iii

RESUMO............................................................................................................................... v

ABSTRACT ........................................................................................................................ vii

RÉSUMÉ.............................................................................................................................. ix

ÍNDICE DO TEXTO............................................................................................................ xi

ÍNDICE DE FIGURAS ..................................................................................................... xvii

ÍNDICE DE QUADROS................................................................................................. xxvii

SIMBOLOGIA ................................................................................................................. xxix

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO........................................................................................... 1

CAPÍTULO 2 - COMPORTAMENTO DOS BETÕES REFORÇADOS

COM FIBRAS DE AÇO ............................................................................. 7

CAPÍTULO 3 - CARACTERIZAÇÃO DOS MATERIAIS E DOS

PROTÓTIPOS ENSAIADOS ................................................................... 29

CAPÍTULO 4 - PROGRAMA EXPERIMENTAL EM PROVETES CILÍNDRICOS ...... 47

CAPÍTULO 5 - PROGRAMA EXPERIMENTAL EM VIGAS......................................... 73

CAPÍTULO 6 - MODELAÇÃO NUMÉRICA ................................................................. 109

CAPÍTULO 7 - CONCLUSÃO......................................................................................... 189

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 193

ANEXO I........................................................................................................................... 199

ANEXO II.......................................................................................................................... 217

ANEXO III ........................................................................................................................ 225

ANEXO IV........................................................................................................................ 249

Agradecimentos

Ao longo do desenrolar desta dissertação muitos foram os que, de alguma forma,

contribuíram para a sua concretização. Tendo consciência de que seria impraticável agradecer

a todos, não poderei deixar de referir aqui, de um modo especial, algumas das pessoas que

contribuíram de uma forma decisiva para o seu aparecimento.

Ao Professor Raimundo Delgado, o orientador científico desta tese, manifesto aqui o meu

profundo agradecimento pela disponibilidade, o apoio, o incentivo e os ensinamentos

transmitidos, desde que comecei a ser seu aluno.

Ao meu amigo e colega Professor Joaquim Barros, co-orientador científico desta tese,

exprimo a minha gratidão por todo o apoio dado, pelos incentivos, ensinamentos, sugestões e

pela incansável disponibilidade demonstrada na discussão de todos os assuntos abordados

neste trabalho.

Manifesto o meu agradecimento ao Professor Aníbal Costa pela disponibilidade em prestar

diversos esclarecimentos que surgiram no desenvolvimento deste trabalho.

Ao Engenheiro Miranda Guedes pela exemplar disponibilidade manifestada na discussão dos

resultados experimentais e na análise do modelo numérico. Aos Professores Álvaro Azevedo,

António Arêde, Rui Faria e ao Engenheiro Humberto Varum e Rui Pinho pela disponibilidade

manifestada e pelos esclarecimentos efectuados.

Manifesto o meu agradecimento a todas as pessoas e entidades que contribuíram para a

realização dos ensaios experimentais, entre as quais se destacaram:

• o Engenheiro Fernando que teve um papel decisivo neste trabalho;

• o Engenheiro Erik Ulrix, representante da Bekaert que forneceu as fibras de aço;

• o Engenheiro Paulo Choupina e a Engenheira Raquel Figueira, pelo fornecimento

do cimento Secil;

• o Engenheiro Fernandes, representante da Pedreira da Madalena, que permitiu o

fornecimento da brita;

Agradecimentos

iv

• os funcionários do Laboratório de Estruturas da Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto, o Sr. Monteiro e o Sr. Jorge, pelo auxílio prestado durante a

realização dos ensaios;

• os funcionários do Laboratório de Engenharia Civil da Universidade do Minho, em

particular, o Sr. Carlos Jesus o Sr. Pokee, pelo auxílio no fabrico dos modelos.

Aos meus amigos António Topa, Nuno Santos, António Ventura, Castorina Vieira, Daniel

Oliveira, Paulo Costeira, Rui Calçada, Renato Bastos, Nicolau Melo, Luís Brás, Carlos

Coelho, Ademar Cruz e Rosemeri, agradeço todo o interesse, incentivo e companheirismo.

Ao Professor Manuel de Azeredo transmito aqui uma palavra de gratidão pelos ensinamentos

e espírito crítico que me conseguiu incutir, os quais me permitiram compreender muitos dos

problemas surgidos ao longo deste trabalho.

Um agradecimento geral aos meus colegas do Departamento de Engenharia Civil da Escola

de Engenharia da Universidade do Minho e, em particular, ao Professor Barreiros Martins.

Aos funcionários da Secção de Estruturas D. Clotilde Bento, Sr. Manuel, D. Maria Vitória e

D. Elvira pela colaboração prestada.

À Junta Nacional de Investigação Científica e Tecnológica apresento os meus agradecimentos

pelo financiamento da parte escolar do mestrado.

Esta secção não ficaria completa sem que fosse aqui referida a minha família. Assim,

manifesto aqui o meu profundo agradecimento aos meus Pais, José Cruz e Lúcia Rodrigues,

sem os quais esta tese não existiria e, à minha irmã, Susana. Agradeço também à minha

família, em geral, pelo incentivo manifestado. Por último, agradeço à Cátia pela

disponibilidade manifestada na elaboração da dissertação, pela sua ternura, carinho e

compreensão demonstrados nos períodos mais difíceis deste trabalho.

Resumo

Nas últimas décadas, a utilização de fibras de aço no reforço de elementos de betão armado

tem aumentado significativamente. Contudo, o conhecimento do comportamento deste

compósito sob acções cíclicas é reduzido. Com este trabalho pretende-se contribuir para

um melhor conhecimento do comportamento do betão armado reforçado com fibras de aço

sob acções alternadas.

Assim, os resultados de uma campanha de ensaios cíclicos com modelos de betão armado

reforçado com fibras de aço (BARFA) são apresentados. Ensaios cíclicos de compressão

uniaxial em provetes cilíndricos de betão armado reforçado com fibras de aço e, ensaios

quase estáticos em modelos de viga de BARFA foram efectuados.

Em simultâneo com a análise experimental efectuada, foi desenvolvido um modelo

numérico de análise estática não linear material que permite simular estruturas porticadas

planas sujeitas a acções alternadas. As leis constitutivas para o betão e para a armadura

foram definidas com base em bibliografia da especialidade. O modelo numérico

desenvolvido baseia-se nas técnicas dos elementos finitos, tendo-se utilizado o elemento de

Timoshenko para discretizar as barras da estrutura. A secção transversal das barras é

discretizada em camadas, sendo simulado o comportamento elasto-plástico histerético do

betão e das armaduras. A aferição do modelo efectuou-se por intermédio de resultados

apresentados em bibliografia da especialidade e através dos resultados obtidos

experimentalmente.

Os resultados obtidos nos ensaios experimentais são discutidos, assim como, o

desempenho do modelo numérico desenvolvido.

Abstract

In the last decades, the use of steel fibre as reinforcement of concrete structures has

increased significantly. However, the knowledge of the behaviour of this composite under

cyclic loading is limited. The main objective of this work is to contribute to a better

knowledge of the behaviour of steel fibre reinforced concrete (SFRC) under cyclic actions.

The results of a set of experimental cyclic loading tests with SFRC models are presented in

this work. Cyclic compressive loading tests with cylindrical specimens of SFRC and

quasi-static tests with SFRC beams were carried out.

A numerical model for the material nonlinear static analysis was also developed, in order

to simulate the behaviour of plane frames under cyclic loading. Concrete and

reinforcement constitutive laws were based on the recommendations available in the

bibliography. The numerical model is based on finite element techniques. A frame can be

discretized by Timoshenko two or three noded elements. A cross-section of the bar is

divided in concrete and reinforcement layers. The elasto-plastic hysteretic behaviour of the

concrete and reinforcement layers was simulated. The model was calibrated using

experimental results and numerical simulations performed by others authors.

The results obtained in the experimental research plan are discussed, as well as the

performance of the numerical model developed.

Résumé

Durant les dernières decénnies, l’utilisation de fibres d’acier pour renforcer des éléments

en béton armé a beaucoup augmenté. Cependant, on connaît peu le comportement de ce

matériel composite sous l’effet d’actions cycliques. Ce travail vise apporter une

contribution pour que l’on connaîsse mieux le comportement du betón armé renforcé avec

des fibres en acier sous l’effet d’actions alternées.

Ainsi, nous présentons les résultats d’un programme d’essais cycliques avec des modèles

de béton armé renforcé avec des fibres en acier (BARFA). Nous avons éffectué des essais

cycliques de compréssion uniaxiale dans des éprouvettes cylindriques en BARFA, et des

essais quasi-statiques à l’aide de modèles de poutres de BARFA.

Parallèlement à l’analyse expérimentale, un modèle numérique d’analyse statique non

linéaire matérielle a été développé. Il permet de simuler des structures portiquées planes

soumises à des actions alternées. Les lois constitutives pour le béton et pour l’armature ont

été définies à partir d’une bibliographie spécialisée. Le modèle numérique développé se

base sur les techniques des éléments finis - l’élément de Timoshenko servant à définir les

barres de la structure dont la section transversale est définie par couches. On simule le

comportement élasto-plastique histérétique du béton et des armatures. L’étalonnage du

modèle a été effectué à travers les résultats présentés dans la bibliographie spécialisée et, à

travers ceux qui ont été obtenus expérimentalement.

Finalement, on analyse les résultats obtenus dans les essais expérimentaux et la

performance du modèle numérique développé.

ÍNDICE DO TEXTO

CAPÍTULO 1 - Introdução

1.1 Considerações gerais ....................................................................................................... 1

1.2 Objectivos do presente trabalho ...................................................................................... 3

1.3 Descrição da dissertação.................................................................................................. 4

CAPÍTULO 2 - Comportamento dos Betões Reforçados com Fibras de Aço

2.1 Introdução........................................................................................................................ 7

2.2 Comportamento ............................................................................................................. 10

2.2.1 Comportamento à compressão ............................................................................ 10

2.2.1.1 Betão não confinado ............................................................................... 10

2.2.1.2 Betão confinado ...................................................................................... 15

2.2.1.3 Comportamento cíclico do betão à compressão...................................... 19

2.2.2 Comportamento à tracção.................................................................................... 20

2.2.3 Comportamento à flexão ..................................................................................... 23

2.2.4 Comportamento ao corte ..................................................................................... 25

2.3 Conclusões..................................................................................................................... 27

CAPÍTULO 3 - Caracterização dos Materiais e dos Protótipos Ensaiados

3.1 Introdução...................................................................................................................... 29

3.2 Materiais ........................................................................................................................ 30

3.2.1 Armadura............................................................................................................. 30

3.2.2 Fibras ................................................................................................................... 31

3.2.3 Betões .................................................................................................................. 33

3.3 Construção dos modelos................................................................................................ 34

3.4 Características dos modelos .......................................................................................... 35

Índice do Texto

xii

3.4.1 Provetes cilíndricos ..............................................................................................35

3.4.1.1 Geometria ................................................................................................36

3.4.1.2 Pormenorização das armaduras dos provetes cilíndricos ........................36

3.4.1.3 Nomenclatura utilizada............................................................................39

3.4.2 Vigas ....................................................................................................................41

3.4.2.1 Geometria ................................................................................................41

3.4.2.2 Pormenorização das armaduras das vigas................................................42

3.4.2.3 Nomenclatura utilizada............................................................................45

CAPÍTULO 4 - Programa Experimental em Provetes Cilíndricos

4.1 Introdução.......................................................................................................................47

4.2 Sistema de ensaio ...........................................................................................................48

4.2.1 Equipamento ........................................................................................................48

4.2.2 Procedimento do ensaio .......................................................................................51

4.2.2.1 Historial de deslocamentos impostos.......................................................51

4.2.2.2 Velocidade de deformação ......................................................................53

4.2.2.3 Procedimento do ensaio...........................................................................53

4.3 Apresentação dos resultados ..........................................................................................54

4.3.1 Observações durante e após o ensaio ...................................................................54

4.3.2 Resultados numéricos...........................................................................................57

4.3.2.1 Diagramas de tensão versus extensão......................................................57

4.3.2.2 Evolução da degradação de rigidez na descarga/recarga.........................62

4.3.2.3 Energia em compressão ...........................................................................67

4.3.2.4 Tensão e extensão de pico e módulo de elasticidade inicial....................69

4.4 Conclusões .....................................................................................................................70

CAPÍTULO 5 - Programa Experimental em Vigas

5.1 Introdução.......................................................................................................................73

Índice do Texto

xiii

5.2 Configuração dos ensaios, instrumentação e aquisição de dados.................................. 75

5.2.1 Configuração dos ensaios .................................................................................... 75

5.2.2 Instrumentação .................................................................................................... 78

5.2.3 Sistema de aquisição de dados ............................................................................ 80

5.3 Sistema do ensaio .......................................................................................................... 81

5.3.1 Historial de deformações impostas...................................................................... 81

5.3.2 Procedimento do ensaio....................................................................................... 84

5.4 Apresentação dos resultados.......................................................................................... 86

5.4.1 Apresentação detalhada de um modelo ............................................................... 86

5.4.2 Apresentação sintetizada dos resultados referentes a todos os modelos ............. 93

5.4.3 Análise comparativa dos resultados .................................................................. 102

5.5 Conclusões................................................................................................................... 107

CAPÍTULO 6 - Modelação Numérica

6.1 Introdução.................................................................................................................... 109

6.1.1 Modelos das acções sísmicas ............................................................................ 109

6.1.2 Modelos para as estruturas ................................................................................ 111

6.1.3 Modelos de comportamento .............................................................................. 112

6.1.3.1 Modelos de comportamento não linear................................................. 113

6.2 Modelo de análise estática linear................................................................................. 115

6.2.1 Introdução.......................................................................................................... 115

6.2.2 Elemento de viga de Euler-Bernoulli ................................................................ 116

6.2.3 Elemento de viga de Timoshenko ..................................................................... 116

6.2.3.1 Campo de deslocamentos...................................................................... 117

6.2.3.2 Campo de deformações......................................................................... 118

6.2.3.3 Matrizes de deformação........................................................................ 120

6.2.3.4 Relações constitutivas........................................................................... 122

6.2.3.5 Esforços................................................................................................. 123

6.2.3.6 Equações regentes do fenómeno........................................................... 125

6.2.3.7 Matriz de rigidez ................................................................................... 127

6.2.4 Formulação por elementos finitos ..................................................................... 128

Índice do Texto

xiv

6.2.4.1 Elemento de dois nós. ............................................................................128

6.2.4.2 Elemento de três nós. .............................................................................134

6.2.4.3 Vector solicitação ..................................................................................138

6.2.5 Análise do elemento de viga de Timoshenko ....................................................138

6.3 Modelo de análise estática não linear...........................................................................143

6.3.1 Requisitos de um modelo ...................................................................................143

6.3.1.1 Comportamento de elementos de viga...................................................143

6.3.1.2 Comportamento de pilares.....................................................................147

6.3.2 Implementação do modelo .................................................................................147

6.3.2.1 Matriz de rigidez....................................................................................148

6.3.2.2 Forças internas .......................................................................................152

6.3.2.3 Leis constitutivas ...................................................................................154

6.3.2.3.1 Lei constitutiva do betão.........................................................154

6.3.2.3.2 Lei constitutiva da armadura...................................................158

6.3.2.4 Algoritmo de solução não-linear ...........................................................164

6.3.3 Critérios de rotura ..............................................................................................167

6.4 Exemplos de aplicação .................................................................................................170

6.4.1 Exemplo 1 ..........................................................................................................170

6.4.2 Exemplo 2 ..........................................................................................................176

6.4.3 Exemplo 3 ..........................................................................................................181

6.5 Conclusões ...................................................................................................................186

CAPÍTULO 7 - Conclusão

7.1 Conclusões gerais.........................................................................................................189

7.2 Sugestões para futuros desenvolvimentos....................................................................190

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................193

ANEXO I ...........................................................................................................................199

Índice do Texto

xv

ANEXO II......................................................................................................................... 217

ANEXO III ....................................................................................................................... 225

ANEXO IV ....................................................................................................................... 249

ÍNDICE DE FIGURAS

CAPÍTULO 2 - Comportamento dos Betões Reforçados com Fibras de Aço Figura 2.1 - Diferentes formas geométricas de fibras de aço .............................................................................8

Figura 2.2- Diagrama de extensão/tensão para o betão à compressão uniaxial segundo o Código Modelo

CEB-FIP 1990 [MC90] ....................................................................................................................................11

Figura 2.3 - Diagramas σ-ε do betão a partir da lei proposta pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 [MC90]

para diferentes classes de betão........................................................................................................................12

Figura 2.4 - Influência da percentagem de fibras nos diagramas σ-ε, para provetes de betão reforçado com

fibras de aço Dramix 50/.50 [Bal92] ................................................................................................................13

Figura 2.5 - Influência do confinamento no comportamento do diagrama σ-ε do betão [Ric28] ....................15

Figura 2.6 - Efeito dos diferentes tipos de cintagens no comportamento do diagrama σ-ε do betão [CEB83]16

Figura 2.7 - Zona de confinamento efectivo do betão do núcleo para a armadura transversal circular (a) e

rectangular (b) ..................................................................................................................................................17

Figura 2.8 - Diagrama monotónico do betão confinado [Sco82] .....................................................................18

Figura 2.9 - Lei de comportamento do betão simples à compressão cíclica uniaxial [Gom92] .......................20

Figura 2.10 - Lei de comportamento do betão confinado com armadura transversal à compressão cíclica

uniaxial [Tho80] ...............................................................................................................................................20

Figura 2.11 - Comportamento do betão à tracção: (a) betão simples e (b) betão armado [Bar98]...................21

Figura 2.12 - Resposta carga-deslocamento de um provete de betão reforçado com fibras num ensaio de

tracção uniaxial sob controlo de deslocamentos [Bar95].................................................................................22

Figura 2.13 - Relação tensão-deslocamento registada em ensaios cíclicos de tracção em provetes de betão

simples [Rei86] (a) e de betão reforçado com fibras de aço [Gop87] (b) ........................................................23

Figura 2.14 - Influência da quantidade de fibras na relação carga-flecha registada em ensaios de flexão sob

três pontos de carga em prismas de BRFA [Bal92] ..........................................................................................24

Figura 2.15 - Diagramas de distribuição de tensões ao longo da secção de uma barra de betão armado

reforçado com fibras [Rei79]............................................................................................................................25

Figura 2.16 - Relação entre a resistência ao corte e o parâmetro s/d para vigas de BRFA de extremidades

dobradas [Bat85] ..............................................................................................................................................26

Índice de Figuras

xviii

CAPÍTULO 3 - Caracterização dos Materiais e dos Protótipos Ensaiados Figura 3.1 - Resposta obtida para um varão de 6 mm e para um varão 8 mm ................................................. 30

Figura 3.2 - Pormenores das fibras Dramix ..................................................................................................... 32

Figura 3.3 - Plaquetas de fibras Dramix ZP30/.50........................................................................................... 32

Figura 3.4 - Molde utilizado no fabrico dos provetes cilíndricos .................................................................... 36

Figura 3.5 - Corte esquemático referente à armadura utilizada no fabrico dos provetes e correspondentes

características geométricas............................................................................................................................... 37

Figura 3.6 - Armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas afastadas de 270 mm......................... 38

Figura 3.7 - Corte esquemático das armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas afastadas de

270 mm ............................................................................................................................................................ 38

Figura 3.8 - Armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas afastadas de 90 mm........................... 38


90 mm .............................................................................................................................................................. 38

Figura 3.10 - Armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas afastadas de 38.5 mm...................... 39


38.5 mm ........................................................................................................................................................... 39

Figura 3.12 - Molde utilizado no fabrico das vigas ......................................................................................... 41

Figura 3.13 - Sistema de carga a aplicar às vigas. Diagramas de esforços transversos e momentos flectores 42

Figura 3.14 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 750 mm............................. 44

Figura 3.15 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 150 mm............................. 44

Figura 3.16 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 75 mm............................... 44

Figura 3.17 - Corte transversal da vigas ensaiadas .......................................................................................... 44

CAPÍTULO 4 - Programa Experimental em Provetes Cilíndricos Figura 4.1 - Equipamento utilizado nos ensaios realizados em provetes......................................................... 48

Figura 4.2 - Fotografia da prensa MTS ............................................................................................................ 49

Figura 4.3 - Esquema da prensa utilizada nos ensaios de compressão uniaxial............................................... 49

Figura 4.4 - Esquema do módulo de controlo automático dos sensores realizado pelo equipamento de

ensaio ............................................................................................................................................................... 50

Figura 4.5- Procedimento P1 ........................................................................................................................... 52

Figura 4.6 - Procedimento P2 .......................................................................................................................... 52

Figura 4.7 - Encurvadura dos varões longitudinais de um provete da série C270_00 ..................................... 55

Figura 4.8 - Rotura da cinta de um provete da série C38_90........................................................................... 55

Figura 4.9 - Esboço dos principais modos de rotura ocorridos........................................................................ 56

Figura 4.10 - Procedimento utilizado na determinação do diagrama σ-ε para os ensaios cíclicos. ................. 59

Figura 4.11 - Procedimento utilizado na determinação do diagrama σ-ε para os ensaios monotónicos.......... 59

Índice de Figuras

xix

Figura 4.12 - Diagramas de σ-ε para ρw = 0.00 % ...........................................................................................60




Figura 4.16 - Diagramas de σ-ε para Qf = 00 kg/m3 ........................................................................................61




Figura 4.20 - Pontos necessários à determinação do Ec0 ..................................................................................63

Figura 4.21 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 para ρw = 0.00 %.....................................................64




Figura 4.25 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 para Qf = 00 kg/m3..................................................66




Figura 4.29 - Evolução da energia em compressão para ρw = 0.00 % .............................................................67




Figura 4.33 - Evolução da energia em compressão para Qf = 00 kg/m3...........................................................68




CAPÍTULO 5 - Programa Experimental em Vigas Figura 5.1 - Alçado do pórtico utilizado nos ensaios em vigas........................................................................76

Figura 5.2 - Fotografia ilustrativa do equipamento utilizado num ensaio........................................................76

Figura 5.3 - Sistema de apoio utilizado para os carregamentos cíclicos ..........................................................77

Figura 5.4 - Sistema de aplicação das cargas na viga.......................................................................................77

Figura 5.5 - Disposição dos LVDT’s ao longo da viga....................................................................................78

Figura 5.6 - Disposição dos extensómetros de massa utilizados ......................................................................79

Figura 5.7 - Transdutor eléctrico......................................................................................................................79

Figura 5.8 - Extensómetro de massa.................................................................................................................79

Figura 5.9 - Célula de carga colocada entre o pórtico e o actuador .................................................................80

Índice de Figuras

xx

Figura 5.10 - Elementos pertencentes ao sistema de aquisição de dados......................................................... 81

Figura 5.11 - Lei de deslocamentos impostos às vigas ensaiadas .................................................................... 84

Figura 5.12 - Evolução da fendilhação ao longo do ensaio da viga V2_75_30. .............................................. 88

Figura 5.13 - Lei de deslocamentos impostos.................................................................................................. 88

Figura 5.14 - Lei de forças medidas................................................................................................................. 88

Figura 5.15 - Diagrama F-δ para o 1º nível de deformação imposta (semi-ciclo 1 ao 6) ................................ 89

Figura 5.16 - Diagrama F-δ para o 2º nível de deformação imposta (semi-ciclo 7 ao 12) .............................. 89

Figura 5.17 - Diagrama F-δ para o 3º nível de deformação imposta (semi-ciclo 13 ao 18) ............................ 89




Figura 5.21 - Diagrama de extensões no betão ................................................................................................ 90

Figura 5.22 - Diagrama momento-curvatura.................................................................................................... 90

Figura 5.23 - Definição de energia total .......................................................................................................... 91

Figura 5.24 - Diagrama de energia total em função de semi-ciclos ................................................................. 92

Figura 5.25 - Diagrama de energia total em função do deslocamento acumulado........................................... 92

Figura 5.26 - Diagrama de ductilidade em função de semi-ciclos ................................................................... 93

Figura 5.27 - Diagrama de ductilidade em função do deslocamento acumulado............................................. 93

Figura 5.28 - Metodologia utilizada para a determinação do ponto de fendilhação ........................................ 96

Figura 5.29 - Diagrama de evolução da carga de fendilhação com a quantidade de fibras ............................. 99

Figura 5.30 - Diagrama de evolução da carga de cedência com a quantidade de fibras ................................ 100

Figura 5.31 - Diagrama de evolução da carga máxima com a quantidade de fibras...................................... 100

Figura 5.32 - Diagrama de energia total para as vigas com ρw = 0.04 % ...................................................... 103



Figura 5.35 - Diagrama de energia total para as vigas com Qf = 0 kg/m3...................................................... 104

Figura 5.36 - Diagrama de energia total para as vigas com Qf = 30 kg/m3.................................................... 104



Figura 5.39 - Diagrama de ductilidade para as vigas com ρw = 0.04 %......................................................... 105



Figura 5.42 - Diagrama de ductilidade para as vigas com Qf = 0 kg/m3........................................................ 106

Figura 5.43 - Diagrama de ductilidade para as vigas com Qf = 30 kg/m3...................................................... 106



Índice de Figuras

xxi

CAPÍTULO 6 - Modelação Numérica Figura 6.1- Modelos das Estruturas................................................................................................................111

Figura 6.2 - Comportamento dum elemento de viga ......................................................................................115

Figura 6.3 - Convenção de deslocamentos adoptada......................................................................................117

Figura 6.4 - Análise da deformação do elemento de viga de Timoshenko.....................................................119

Figura 6.5 - Distribuição das tensões normais devido ao esforço axial .........................................................124

Figura 6.6 - Distribuição das tensões normais devido aos momentos flectores .............................................125

Figura 6.7 - Distribuição das tensões normais devido a esforço de corte. Distribuição adoptada (a) e

distribuição real (b) ........................................................................................................................................125

Figura 6.8 - Estudo de convergência em função do número de elementos considerados ..............................140

Figura 6.9 - Estudo de convergência considerando elementos de 2 nós ........................................................142

Figura 6.10 - Estudo de convergência considerando elementos de 3 nós ......................................................142

Figura 6.11 - Principais fenómenos que ocorrem numa viga sujeita a deslocamentos alternados [Ma76] ....144

Figura 6.12 - Discretização da secção transversal em camadas de armadura e de betão ...............................148

Figura 6.13 - Simbologia utilizada na discretização das camadas..................................................................150

Figura 6.14 - Envolvente monotónica proposta por Scott, Park e Priestley [Sco82]......................................155

Figura 6.15 - Lei de descarga/recarga adoptada para o betão confinado .......................................................158

Figura 6.16 - Principais características do diagrama histerético σ-ε de um aço.............................................159

Figura 6.17 - Envolvente monotónica do aço utilizada no modelo numérico ................................................161

Figura 6.18 - Modelo cíclico da armadura implementado no modelo numérico............................................163

Figura 6.19 - Secção transversal estudada......................................................................................................171

Figura 6.20 - História de curvaturas aplicada no modelo desenvolvido versus modelo de Gomes ...............171

Figura 6.21 - Elemento de viga considerado ..................................................................................................173

Figura 6.22 - Resposta momento-curvatura obtida pelo modelo numérico desenvolvido .............................174

Figura 6.23 - Diagrama de tensão/extensão na armadura junto à face superior .............................................175

Figura 6.24 - Diagrama de tensão/extensão na primeira camada de betão (inferior) .....................................175

Figura 6.25 - Discretização da secção transversal para a simulação numérica da viga V1_75_00 ................176

Figura 6.26 - Sistema de aplicação de deslocamentos no modelo numérico..................................................178

Figura 6.27 - História de deslocamentos registados experimentalmente na viga V1_75_00 nos LVDT’s

2 e 4 ................................................................................................................................................................178

Figura 6.28 - Diagrama F-δ obtido numericamente e experimentalmente .....................................................179

Figura 6.29 - Diagrama de energia total obtido numericamente e experimentalmente. .................................179

Figura 6.30 - Diagrama F-δ obtido numericamente e experimentalmente .....................................................180

Figura 6.31 - Diagrama de energia total obtido numericamente e experimentalmente ..................................181

Figura 6.32 - Secção transversal do pilar P213C e correspondente discretização no modelo numérico .......182

Figura 6.33 - Sistema de aplicação dos deslocamentos..................................................................................183

Índice de Figuras

xxii

Figura 6.34 - Lei de deslocamentos impostos................................................................................................ 183

Figura 6.35 - Diagrama F-δ obtido experimentalmente e numericamente..................................................... 185

Figura 6.36 - Diagrama de energia total obtido numericamente e experimentalmente.................................. 186

ANEXO I Figura AI.1 - Configuração de rotura dos provetes da série C00_00 ............................................................ 201

Figura AI.2 - Diagrama de tensão-extensão dos provetes da série C00_00................................................... 201

Figura AI.3 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 nos provetes da série C00_00 .............................. 201

Figura AI.4 - Configuração de rotura dos provetes da série C00_30 ............................................................ 202



Figura AI.7 - Configuração de rotura dos provetes da série C00_60 ............................................................ 203



Figura AI.10 - Configuração de rotura dos provetes da série C00_90 .......................................................... 204

Figura AI.11 - Diagrama de tensão-extensão dos provetes da série C00_90................................................. 204

Figura AI.12 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 nos provetes da série C00_90 ............................ 204

Figura AI.13 - Configuração de rotura dos provetes da série C270_00 ........................................................ 205

Figura AI.14 - Diagrama de tensão-extensão dos provetes da série C270_00............................................... 205

Figura AI.15 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 nos provetes da série C270_00 .......................... 205

















Índice de Figuras

xxiii

Figura AI.32 - Diagrama de tensão-extensão dos provetes da série C90_60 .................................................211

Figura AI.33 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 nos provetes da série C90_60 .............................211

Figura AI.34 - Configuração de rotura dos provetes da série C90_90 ...........................................................212















ANEXO II

Figura AII.1 - Evolução da extensão de pico para ρw = 0.00 %.....................................................................219




Figura AII.5 - Evolução da extensão de pico para Qf = 00 kg/m3..................................................................220




Figura AII.9 - Evolução da tensão de pico para ρw = 0.00 % ........................................................................221

Figura AII.10 - Evolução da tensão de pico para ρw = 0.38 % ......................................................................221



Figura AII.13 - Evolução da tensão de pico para Qf = 00 kg/m3....................................................................222




Figura AII.17 - Evolução do módulo de elasticidade inicial para ρw = 0.00 % .............................................223

Índice de Figuras

xxiv

Figura AII.18 - Evolução do módulo de elasticidade inicial para ρw = 0.38 % ............................................. 223



Figura AII.21 - Evolução do módulo de elasticidade inicial para Qf = 00 kg/m3 .......................................... 224




ANEXO III Figura AIII.1 - Diagrama F-δ da viga V1_750_00......................................................................................... 227

Figura AIII.2 - Diagrama de extensões a meio vão da viga V1_750_00 ....................................................... 227

Figura AIII.3 - Diagrama de energia total da viga V1_750_00...................................................................... 227

Figura AIII.4 - Diagrama de ductilidade da viga V1_750_00........................................................................ 227

Figura AIII.5 - Diagrama F-δ da viga V2_750_00......................................................................................... 228





Figura AIII.10 - Diagrama de extensões a meio vão da viga V1_750_30 ..................................................... 229

Figura AIII.11 - Diagrama de energia total da viga V1_750_30.................................................................... 229

Figura AIII.12 - Diagrama de ductilidade da viga V1_750_30...................................................................... 229

Figura AIII.13 - Diagrama F-δ da viga V2_750_30....................................................................................... 230















Índice de Figuras

xxv

Figura AIII.28 - Diagrama de ductilidade da viga V1_750_90 ......................................................................233

Figura AIII.29 - Diagrama F-δ da viga V2_750_90 .......................................................................................234

Figura AIII.30 - Diagrama de extensões a meio vão da viga V2_750_90......................................................234

Figura AIII.31 - Diagrama de energia total da viga V2_750_90 ....................................................................234






























Figura AIII.61 - Diagrama F-δ da viga V1_75_00 .........................................................................................242

Figura AIII.62 - Diagrama de extensões a meio vão da viga V1_75_00........................................................242

Figura AIII.63 - Diagrama de energia total da viga V1_75_00 ......................................................................242

Figura AIII.64 - Diagrama de ductilidade da viga V1_75_00 ........................................................................242

Figura AIII.65 - Diagrama F-δ da viga V1_75_30 .........................................................................................243

Índice de Figuras

xxvi




















ÍNDICE DE QUADROS

CAPÍTULO 2 - Comportamento dos Betões Reforçados com Fibras de Aço Quadro 2.1 - Propriedades típicas das fibras [Ben95] ........................................................................................8

CAPÍTULO 3 - Caracterização dos Materiais e dos Protótipos Ensaiados Quadro 3.1 - Principais características mecânicas dos varões ensaiados .........................................................31

Quadro 3.2 - Principais características das fibras Dramix ZP 30/.50...............................................................32

Quadro 3.3 - Composição dos betões...............................................................................................................33

Quadro 3.4 - Resultados dos ensaios de avaliação de trabalhabilidade dos betões..........................................34

Quadro 3.5 - Percentagem de armadura transversal utilizada ..........................................................................37

Quadro 3.6 - Nomenclatura utilizada para designar as séries de provetes cilíndricos......................................40

Quadro 3.7 - Propriedades da armadura transversal utilizada ..........................................................................43

Quadro 3.8 - Principais características dos modelos de viga ensaiados ...........................................................45

CAPÍTULO 5 - Programa Experimental em Vigas Quadro 5.1 - Pontos notáveis no diagrama força-deslocamento. .....................................................................90

Quadro 5.2 - Modo de rotura dos modelos ensaiados ......................................................................................95

Quadro 5.3 - Valores relativos à fendilhação ...................................................................................................97

Quadro 5.4 - Valores relativos à cedência........................................................................................................97

Quadro 5.5 - Valores relativos à força máxima................................................................................................98

Quadro 5.6 - Valores máximos de energia dissipada e ductilidade................................................................101

Quadro 5.7 - Vigas representativas de cada série...........................................................................................103

CAPÍTULO 6 - Modelação Numérica Quadro 6.1 - Regras de integração numérica disponíveis para o elemento de dois nós.................................132

Quadro 6.2 - Regras de integração numérica disponíveis para o elemento de três nós..................................136

Quadro 6.3 - Valores mínimos do factor convencional de ductilidade em curvadura....................................169

Quadro 6.4 - Parâmetros caracterizadores da armadura longitudinal no exemplo 1 ......................................172

Índice de Quadros

xxviii

Quadro 6.5 - Características relativas ao betão confinado utilizadas no exemplo 1 ...................................... 173


Quadro 6.7 - Parâmetros caracterizadores da armadura longitudinal no exemplo 2...................................... 177


Quadro 6.9 - Parâmetros caracterizadores da armadura longitudinal no exemplo 3...................................... 184

ANEXO I Quadro AI.1 - Resultados dos ensaios dos provetes correspondentes à série C00_00 .................................. 201

Quadro AI.2 - Resultados dos ensaios dos provetes correspondentes à série C00_30 .................................. 202



Quadro AI.5 - Resultados dos ensaios dos provetes correspondentes à série C270_00 ................................ 205












Simbologia

SIGLAS

BARF − Betão armado reforçado com fibras

BARFA − Betão armado reforçado com fibras de aço

BF − Betão com fibras

BRF − Betão reforçado com fibras

BRFA − Betão reforçado com fibras de aço

BS − Betão simples

LP − Limite de proporcionalidade

PTV − Principio dos trabalhos virtuais

MATRIZES, VECTORES E ESCALARES

h − Altura

A − Área da secção transversal da viga

Ans − Área de armadura existente na camada n

Ac − Área de betão

A* − Área reduzida de corte da secção transversal da viga

α − Coeficiente de multiplicação da matriz de rigidez elástica

− Relação de corte

lf − Comprimento da fibra

L − Comprimento do elemento de viga

zn − Cota da camada de armadura n contabilizada em relação ao centro de

gravidade

zki − Cota inferior camada de betão k

zkm − Cota média camada de betão k

Simbologia

xxx

zks − Cota superior camada de betão k

ε − Deformação generalizada na viga

εc max − Deformação máxima no betão

φ y − Deformação por corte admitida de acordo com a teoria de Timoshenko

εc − Deformação por corte

εa − Deformação por esforço axial

ε f − Deformação por flexão

U − Deslocamento generalizado de qualquer ponto da estrutura

w x y z( , , ) − Deslocamento perpendicular ao eixo da viga

u x y z( , , ) − Deslocamento segundo o eixo da viga

Ua − Deslocamentos associados à deformação axial

Uc − Deslocamentos associados à deformação por corte

Uf − Deslocamentos associados à deformação por flexão

U − Deslocamentos generalizados verificados no eixo médio da viga

df − Diâmetro da fibra

γ xz − Distorção

Gc − Energia em compressão

λ − Esbelteza

Nx − Esforço axial do elemento de viga

ν − Esforço axial normalizado

Vz − Esforço transverso do elemento de viga

εx − Extensão

ε1 − Extensão correspondente à tensão máxima de compressão

εsh − Extensão correspondente ao início do endurecimento do aço

εsy − Extensão de cedência da armadura

εs − Extensão na armadura

εc − Extensão no betão

εsu − Extensão última na armadura

Simbologia

xxxi

ϕ − Flecha normalizada

f asint, − Forças nodais equivalentes aos esforços axiais na armadura

f abint, − Forças nodais equivalentes aos esforços axiais no betão

f csint, − Forças nodais equivalentes aos esforços de corte na armadura

f cbint, − Forças nodais equivalentes aos esforços de corte no betão

f fsint, − Forças nodais equivalentes aos esforços de flexão no armadura

f fbint, − Forças nodais equivalentes aos esforços de flexão no betão

( )Ni ξ − Função de forma do nó i

I − Inércia da secção transversal da viga

bk − Largura da linha média da camada de betão k

Ba − Matriz associada à deformação axial

Bc − Matriz associada à deformação por corte

Bf − Matriz associada à deformação por flexão

D − Matriz constitutiva

Ka − Matriz de rigidez associada à deformação axial

KaIE − Matriz de rigidez associada à deformação axial calculada com integração

exacta

Kc − Matriz de rigidez associada à deformação por corte

KcIE − Matriz de rigidez associada à deformação por corte calculada com

integração exacta

KcIR − Matriz de rigidez associada à deformação por corte calculada com

integração reduzida

Kf − Matriz de rigidez associada à deformação por flexão

KfIE − Matriz de rigidez associada à deformação por flexão calculada com

integração exacta

K − Matriz de rigidez do elemento

J − Matriz Jacobiana

Ec0 − Módulo de elasticidade longitudinal do betão na origem

Ec0 − Módulo de elasticidade do ramo de descarga/recarga

Simbologia

xxxii

E − Módulo de elasticidade longitudinal do material

Daf ns

, − Módulo de elasticidade longitudinal tangente da armadura

Daf kb

, − Módulo de elasticidade longitudinal tangente do betão para camada k

Ec1 − Módulo de elasticidade secante

G − Módulo de elasticidade transversal do material

My − Momento flector do elemento de viga

Naξ − Número de pontos de Gauss associado ao cálculo de Ka

Ncξ − Número de pontos de Gauss associado ao cálculo de Kc

Nfξ − Número de pontos de Gauss associado ao cálculo de Kf

Wf − Percentagem de fibras em peso da mistura

ρw − Percentagem volumétrica de cintas

ρw − Percentagem volumétrica de estribos

ρw r, − Percentagem volumétrica de estribos segundo o REBAP

Qf − Quantidade de fibras por metro cúbico de betão

fcm − Resistência máxima à compressão

θy − Rotação de uma secção da viga

Kffs − Submatriz de rigidez da armadura associada à deformação de flexão

Kafs − Submatriz de rigidez da armadura associada à deformação de iteração

axial-flexão

Kfas − Submatriz de rigidez da armadura associada à deformação de iteração

flexão-axial

Kaab − Submatriz de rigidez do betão associada à deformação axial

Kffb − Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de flexão

Kafb − Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de iteração axial-

-flexão

Kfab − Submatriz de rigidez do betão associada à deformação de iteração flexão-

-axial

σsy − Tensão de cedência da armadura

Simbologia

xxxiii

fc − Tensão máxima de compressão no betão simples

σs − Tensão na armadura

σc − Tensão no betão

σsu − Tensão última na armadura

σ − Tensões no elemento de viga

σx − Tensão normal

τxz − Tensão tangencial

δΓint − Trabalho interno de deformação virtual

δΓext − Trabalho produzido pelas forças exteriores

Lv − Vão de corte

P − Vector das forças generalizadas aplicadas em pontos do elemento

qL

− Vector das forças generalizadas e distribuídas ao longo do elemento

qV

− Vector das forças generalizadas proporcionais à massa do elemento

f − Vector das forças nodais

σ∆t − Vector de tensões devido à variação de temperatura

V − Volume

Vf − Volume de fibras

Capítulo 1

Introdução

1.1 Considerações gerais

Na forma de existir do planeta Terra, os acidentes naturais apresentam-se como uma forma

natural de co-habitação com o ser humano. De entre as diferentes catástrofes existentes, os

sismos são os que conduzem a resultados mais adversos para a economia de um país (veja-

-se o caso do sismo de Los Angeles de 1994, cujas estimativas do impacto económico total

apontavam para um valor de trinta biliões de dólares, perto do orçamento do Governo

português para o mesmo ano). Além dos efeitos económicos, é comum ainda a ocorrência

de perdas humanas e danos morais [Var95]. Face a esta visão envolvente da catástrofe

sismo, a Engenharia Sísmica surge como uma área específica da Engenharia Estrutural de

importância fundamental para a sociedade.

Nas últimas décadas tem-se assistido a um interesse crescente por parte dos investigadores

em interpretar e simular o comportamento de estruturas sob a acção de sismos. Muitas

Universidades e Instituições de investigação integram grupos de trabalho na área da

Engenharia Sísmica. Em geral, estas instituições localizam-se em zonas onde existe intensa

actividade sísmica. O Earthquake Engineering Center da Universidade da Califórnia, em

Berkeley, o Building Research Institut em Tsukuba, no Japão, o Politécnico de Milano, em

Itália e a Universidade Técnica de Atenas, na Grécia, são alguns exemplos [Gom92]. O

contributo prestado pela comunidade de investigadores tem permitido criar disposições

regulamentares (apoiadas em critérios de segurança adequados) com vista à concepção

adequada das estruturas.

Capítulo 1

2

Para a generalidade das estruturas e, em particular, para as estruturas de betão armado, a

actual regulamentação prevê critérios que têm por objectivo garantir um comportamento

satisfatório face ao tipo de sismo que actua sobre essas estruturas. Assim, é necessário que

a estrutura esteja preparada para suportar cargas cíclicas quando o comportamento da

estrutura é iminentemente não linear. Muitas vezes, este requisito estrutural é avaliado pela

ductilidade da estrutura, isto é, pela sua capacidade em dissipar energia sem perda de

resistência. As zonas da estrutura com grande ductilidade são os principais focos de

dissipação de energia. A rigidez deverá ser tal que permita a formação de rótulas com

distribuição uniforme, evitando-se, desta forma, o aparecimento de mecanismos

prematuros [Gom92]. Segundo a filosofia de dimensionamento sugerida no Eurocódigo 8,

estas rótulas plásticas deverão concentrar-se, essencialmente, nas vigas, isto é, o

dimensionamento das estruturas deverá ser feito atendendo ao conceito de viga-fraca e

pilar-forte [EC8].

Sempre que no betão armado ocorre uma fenda, a tracção sustida pelo betão passa a ser

absorvida, quase integralmente, pela armadura longitudinal que atravessa o betão

fendilhado. A armadura tem, portanto, uma importância relevante na capacidade de carga

do betão armado. Utilizando-se betões de alta resistência, o reforço dado pela armadura

tem uma importância acrescida devido ao facto destes betões serem mais frágeis que os de

resistência inferior. O betão ideal seria aquele que desenvolvesse, não somente, uma

elevada resistência à compressão e tracção, mas também, ductilidade suficiente e com

custos aceitáveis.

Contudo, este material ainda não existe, embora alguns passos tenham sido dados na sua

obtenção. O recurso à inclusão de fibras nos compósitos de matriz cimentícia é um

exemplo deste reforço. A participação das fibras aumenta consideravelmente a ductilidade

e a capacidade de absorção de energia dos betões. Porém, aumentos significativos de

resistência só são conseguidos à custa de elevadas percentagens de fibras, pelo que a

utilização deste compósito não é corrente nas construções em que o papel do reforço é

colmatar a resistência à tracção do betão [Bar95].

Introdução

3

A adição de fibras a materiais frágeis remonta à época dos Romanos e dos Egípcios, sendo

exemplo disso o reforço de pastas de argila com fibras naturais. Apesar do betão ter

surgido no século passado, somente a partir da metade do corrente século é que os betões

com adição de fibras começaram a ser utilizados na construção. As fibras mais utilizadas

têm sido as metálicas, de vidro, sintéticas, naturais e, mais recentemente, as de carbono.

Todavia, as fibras de aço e de vidro são as mais empregues na indústria da construção civil

devido à melhoria de propriedades que proporcionam, ao seu baixo preço e à sua

durabilidade [Bar95].

As fibras têm sido utilizadas mais frequentemente na construção de pavimentos térreos de

edifícios industriais, pavimentos de estradas, pistas de aeroportos, centrais de abasteci-

mento de combustíveis, em portagens de auto-estradas e em túneis [Bar95].

Tal como foi referido, as estruturas devem ser dotadas de zonas de dissipação de energia,

localizando-se, geralmente, nos nós de ligação viga/pilar. Correntemente, a ductilidade

pretendida é conseguida à custa de grande quantidade de armadura transversal, que

acarreta dificuldades acrescidas na betonagem. Com a utilização de fibras de aço, a

quantidade de armadura transversal poderá ser significativamente reduzida, resultando

numa construção mais eficiente face às acções sísmicas.

1.2 Objectivos do presente trabalho

A presente dissertação tem como principal objectivo o estudo do comportamento de

elementos de betão armado reforçado com fibras de aço (BARFA) envolvendo uma

componente experimental e o desenvolvimento de um modelo numérico. Relativamente à

análise experimental, tendo-se como base a utilização de betões de moderada resistência,

realizaram-se diversos ensaios cíclicos em elementos de betão armado reforçado com

fibras de aço, procurando-se, fundamentalmente:

• contribuir para o melhor conhecimento do comportamento do betão armado

reforçado com fibras de aço sujeito a acções cíclicas;

• avaliar o efeito do confinamento promovido pelas fibras;

Capítulo 1

4

• avaliar a degradação de resistência e rigidez em peças de betão armado

reforçado com fibras sujeitas a acções alternadas de compressão;

• avaliar o efeito do confinamento no comportamento do betão reforçado com

fibras;

• avaliar o comportamento cíclico do BARFA aos esforços de flexão e corte.

No que se refere ao modelo numérico, o objectivo essencial é construir uma ferramenta

que simule, com rigor suficiente, o comportamento de estruturas porticadas planas de betão

armado sujeitas a acções alternadas. Com base nas leis constitutivas dos materiais

intervenientes incluídas no modelo, procurou-se simular os principais fenómenos do

comportamento do betão armado sob acções cíclicas.

1.3 Descrição da dissertação

No Capítulo 2 é feita uma sucinta descrição do comportamento do betão reforçado com

fibras de aço. Neste capítulo, são referidos os principais benefícios promovidos pelas fibras

e são apontados alguns aspectos relacionados com o comportamento deste compósito sob

acções alternadas.

No Capítulo 3 é descrito o processo de fabricação dos modelos ensaiados (provetes

cilíndricos e modelos de viga), assim como, os materiais utilizados para a obtenção dos

mesmos.

O Capítulo 4 descreve os ensaios efectuados em provetes cilíndricos. Os procedimentos

adoptados para a realização dos ensaios são aí referidos. Procedeu-se à apresentação de

várias análises a partir dos resultados obtidos, no intuito de identificar os principais

benefícios da adição de fibras.

No Capítulo 5 são descritos os ensaios realizados nos modelos de viga. Referem-se os

procedimentos utilizados (tal como nos ensaios em provetes cilíndricos), assim como, os

Introdução

5

principais benefícios que se obtiveram resultantes da adição de fibras a elementos de viga

sujeitos a esforços de flexão e corte sob acções alternadas.

O Capítulo 6 descreve o modelo numérico desenvolvido para a análise de estruturas

porticadas planas de betão armado. Na primeira parte deste capítulo descreve-se o modelo

numérico desenvolvido para a análise estática linear. Na segunda parte, apresentam-se as

alterações introduzidas no modelo de forma a ser possível efectuar análises não lineares

materiais em regime estático de estruturas porticadas planas. As leis constitutivas

utilizadas para simular o comportamento do betão e da armadura são também referidas. Os

resultados obtidos com o modelo desenvolvido e os resultados determinados com modelos

numéricos desenvolvidos por outros investigadores são comparados de forma a aferir o

modelo desenvolvido neste trabalho. Para calibrar o modelo foram também utilizados

resultados experimentais obtidos na campanha experimental efectuada e, resultados

experimentais obtidos por outros autores.

Por último, no Capítulo 7 expõem-se as principais conclusões extraídas deste trabalho,

bem como diversos aspectos a serem objecto de futuros desenvolvimentos.

Capítulo 2

Comportamento dos Betões

Reforçados com Fibras de Aço

2.1 Introdução

O recurso ao uso de fibras com o objectivo de reforçar materiais é uma prática que se

realiza já há muitos anos. Provavelmente, o manuscrito mais antigo que relata a utilização

de fibras (naturais) encontra-se no Exodus 5:6-7,

“Nesse mesmo dia, o Faraó deu a seguinte ordem aos inspectores do povo e aos capatazes: ‘Não mais fornecereis ao povo palha para fazer tijolos como antigamente; que eles próprios a vão buscar’.”.

Contudo, só a partir da metade do corrente século é que a aplicação começou a

intensificar-se e, em especial, em materiais de matriz cimentícia, nomeadamente no betão.

Entende-se por betão reforçado com fibras (BRF) o compósito constituído por ligante

hidráulico, inertes de diferentes dimensões e fibras discretas. As fibras correntemente

usadas são as plásticas, cerâmicas, sintéticas, naturais, de vidro, de aço e de carbono.

Contudo, nas aplicações em betão, as fibras mais utilizadas são as de aço e de vidro. As

fibras apresentam uma considerável heterogeneidade de custo, eficácia e propriedades

(Quadro 2.1). Além destas propriedades, as fibras diferem também na forma da geometria

longitudinal e transversal (Figura 2.1). Nos anos 50 e 60 recorria-se a fibras rectas e lisas

para o fabrico do betão reforçado com fibras de aço - BRFA - (“Steel Fiber Reinforced

Concrete” na nomenclatura inglesa). Desde então, geometrias mais complicadas foram

desenvolvidas com o intuito de melhorar a ligação mecânica da fibra à matriz cimentícia.

As fibras actuais podem ser perfiladas, apresentando diferentes formas nas extremidades.

Capítulo 2

8

Quadro 2.1 - Propriedades típicas das fibras [Ben95].

Módulo de Resistência à Extensão na

elasticidade tracção rotura

(µm) (kg/m3) (GPa) (GPa) (%)

Aço 5 a 500 7840 200 0.5 a 2.5 0.5 a 3.5

Vidro 9 a 15 2600 70 a 80 2 a 4 2 a 3.5

Crosidolite (amianto) 0.02 a 0.4 3400 196 3.5 2.0 a 3.0

Crisólito (amianto) 0.02 a 0.4 2600 164 3.1 2.0 a 3.0

Prolipropileno 20 a 200 900 5 a 77 0.5 a 0.75 8.0

Carbono 9 1900 200 a 600 2 a 4 1.0

Nylon - 1100 4 0.9 13.0 a 15.0

Celulose - 1200 10 0.3 a 0.5 -

Acrílico 18 1180 14 a 19.5 0.4 a 1.0 3.0

Madeira - 1500 71 0.9 -

Sisal 10 a 50 1500 - 0.8 3.0

Diâmetro MassaFibra

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 )

Figura 2.1 - Diferentes formas geométricas de fibras de aço.

As propriedades mecânicas das fibras que têm especial relevo são a resistência e a rigidez,

enquanto que a esbelteza (“aspect-ratio” segundo a nomenclatura inglesa) e as

características da superfície são os parâmetros geométricos das fibras com maior

Comportamento dos Betões Reforçados com Fibras de Aço

9

importância na eficácia do reforço. Define-se esbelteza da fibra, como sendo a razão entre

o seu comprimento, lf, e o seu diâmetro, df. Caso a fibra não tenha secção circular,

determina-se o diâmetro correspondente de uma secção circular de área igual à da secção

real da fibra [Bar95].

As fibras podem apresentar dois modos de rotura distintos: por cedência ou por

deslizamento relativamente à matriz envolvente (“pull-out” segundo a nomenclatura

inglesa).

Se o objectivo é aumentar a resistência do compósito, dever-se-ão empregar fibras de

resistência e de esbelteza suficientemente elevadas, por forma a que a rotura do compósito

ocorra por cedência das fibras. Contudo, para se conseguir aumentos significativos de

resistência com adição de fibras curtas e distribuídas aleatoriamente ao longo do

compósito, é necessário adicionar elevadas percentagens de fibras ao betão (Vf = 5 %) e

fibras de elevada resistência. Para se assegurar a necessária trabalhabilidade de uma

composição de matriz cimentícia reforçada com fibras de aço, a percentagem e a esbelteza

das fibras devem ser limitadas, de forma a não prejudicar a referida trabalhabilidade. Para

valores elevados da percentagem de fibras é necessário adaptar a composição da matriz

cimentícia [Cas95].

Se o objectivo da adição de fibras é aumentar a capacidade de absorção de energia do

compósito (principal benefício das fibras), a percentagem e esbelteza das fibras deverão

ser definidas de modo a que a rotura das fibras se dê por deslizamento relativamente à

matriz cimentícia. Este modo de rotura por deslizamento é contrário ao que mobiliza a

cedência das fibras.

Por estes motivos, a esbelteza das fibras de aço não deve ultrapassar o valor de 100 e o

volume os 3 % [Bar95].

Capítulo 2

10

2.2 Comportamento

Os principais benefícios proporcionados pela adição de fibras ao betão são referidos nesta

secção, dando-se especial ênfase ao comportamento cíclico.

2.2.1 Comportamento à compressão

2.2.1.1 Betão não confinado

O diagrama tensão-extensão, σ-ε, representativo do comportamento uniaxial à compressão

pode ser razoavelmente traduzido por intermédio da lei proposta pelo Código Modelo

CEB-FIP 1990 [MC90] pelas seguintes expressões (Figura 2.2):

σ

εε

εε

εε

ε εc

ci

c

c

c

c

c

ci

c

c

c

cm c c

EE

EE

f se, ,lim11 1 1

2

1 11 2

=⋅ −

+ −

⋅

× < (2.1)

com,

−

+⋅⋅+

+⋅⋅⋅ε=ε

21

2

1c

ci

1c

ci1clim,c 2

11EE

21

411

EE

21

21

(2.2)

e,

( )

σ

ε εξ

ε ε

εε ε ε

ξεε

ε εccm

c c c c

c

c c c

c

c

c c

fse,

,lim ,lim ,lim

,lim2

1 1

21

2

1 1

1 2 4=

⋅ −

⋅

+ −

⋅

≥ (2.3)


11

com

2

1c

ci

1c

lim,c

1c

ci

1c

lim,c

1c

ci

2

1c

lim,c

12EE

EE22

EE4

−

−⋅

εε

−

εε

⋅+

−⋅

ε

ε⋅

=ξ (2.4)

em que ciE é o módulo de elasticidade tangente e 1cE corresponde ao módulo secante

medido da origem até à tensão máxima de compressão (fcm). Por sua vez, cσ é a tensão de

compressão, cε a correspondente extensão do betão e 1cε é o valor da extensão

correspondente à tensão de compressão máxima no betão. Para εc1 é sugerido o valor de

0.0022.

σc

fcm0.5

ε c1

eq.(2.1)

eq.(2.3)

εcεc,lim

Eci

c1E

fcm

ε cu

Figura 2.2 - Diagrama de extensão/tensão para o betão à compressão uniaxial segundo o Código Modelo CEB-FIP 1990 [MC90].

Neste diagrama é possível observar uma redução de rigidez antes de se atingir o valor

máximo de compressão, fcm, devida à ocorrência de microfissuração no seio do material.

Após o pico (tensão máxima), o diagrama σ-ε desenvolve um ramo descendente,

Capítulo 2

12

usualmente designado por ramo de amolecimento (“softening”). Em geral, os betões

simples têm um comportamento frágil na fase de amolecimento, isto é, para deformações

crescentes a resistência diminui consideravelmente. Esta fragilidade acentua-se com o

aumento da resistência (Figura 2.3).

σc(MPa)

C12C20C30C40C50C60C70C80

ε c

Figura 2.3 - Diagramas σ-ε do betão a partir da lei proposta pelo Código Modelo

CEB-FIP 1990 para diferentes classes de betão [MC90].

Quando à matriz cimentícia são adicionadas fibras, o comportamento do diagrama σ-ε do

betão reforçado com fibras até alcançar a tensão máxima é praticamente insensível ao

reforço proporcionado por percentagens correntes de fibras. A extensão correspondente à

tensão máxima de compressão aumenta ligeiramente com a percentagem de fibras. As

alterações induzidas pelas fibras manifestam-se, fundamentalmente, na fase de

amolecimento do betão, aumentando a capacidade de absorção de energia com o aumento

da quantidade de fibras. Assim, o declive do ramo de amolecimento é tanto mais suave,

quanto maior for a quantidade de fibras e melhor forem as propriedades de fixação destas à

matriz envolvente. Estes aspectos podem ser observados na Figura 2.4.


13

0

7

14

21

28

35

42

49

Tensão(MPa)

.002 .004 .006 .008 .01

Betão simples

30kg/m3

60kg/m3

90kg/m3

3120kg/m

extensão

Figura 2.4 - Influência da percentagem de fibras nos diagramas σ-ε, para provetes de betão reforçado com fibras de aço Dramix 50/.50 [Bal92].

Na fase de amolecimento, a percentagem de fibras tem maior efeito que a sua geometria e

esbelteza. O aumento da ductilidade depende ainda das propriedades da matriz. Na

bibliografia da especialidade é possível encontrar leis analíticas para a simulação do

BRFA, para betões de moderada resistência. Em geral, estas leis baseiam-se em expressões

propostas para o betão simples (BS), introduzindo-se parâmetros “correctores“. Estes

parâmetros são calibrados experimentalmente e, habitualmente, em função do tipo e da

quantidade de fibras utilizadas. Exemplo disso é o caso da lei proposta por Barros para

simular o BRFA [Bar95]. Barros verificou que a lei proposta pelo Código Modelo

CEB-FIP 1990 [MC90] para simular o comportamento uniaxial do betão simples é

inadequada à resposta observada no BRFA (para betões de moderada resistência). Assim, a

expressão sugerida é (para fibras do tipo ZP30/.50 da Dramix):

Capítulo 2

14

σ

εε

εε

εε

c cm

c

c

c

c

c

c

qp

f

p q q p

= ⋅

− − + ⋅ + ⋅

−1

1 1

1

1( )

(2.5)

em que os parâmetros calibrados experimentalmente obtêm-se por intermédio das

seguintes expressões:

f f W W Wcm cmBS

f f f= + ⋅ − ⋅ − ⋅516992 0 72506 0 520252 3. . . , (2.6)

( )εc f f fW W W13 2 31 10 2.49286 2.04730 2.1355 0 54871= × ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅− . , (2.7)

e

p W Wf f= − + ⋅ − ⋅0 9291 156292 0 38051 2. . . (2.8)

com

q pEE

c

ci= − −1 1 . (2.9)

fcm é a resistência à compressão do BRFA definida por intermédio da resistência máxima

de compressão do correspondente betão simples, fcmBS , e Wf é a percentagem em peso de

fibras na composição do BRFA.

Barros [Bar95] conclui que em betões de moderada resistência, a principal propriedade

beneficiada é o decréscimo do declive do ramo de amolecimento, isto é, o aumento da

ductilidade do material, efeito esse simulado pela lei (2.5).


15

2.2.1.2 Betão confinado

Os elementos de uma estrutura têm que ser capazes de dissipar a energia transmitida pelos

sismos. Esta dissipação é conseguida à custa de deformações inelásticas nos elementos da

estrutura. O aço é um material dúctil com elevada capacidade de dissipação de energia, ao

contrário do betão que atinge a rotura para deformações muito inferiores às de rotura do

aço. Contudo, a ductilidade do betão pode ser significativamente aumentada confinando o

betão por intermédio de uma eficiente cintagem - recorrendo a uma armadura transversal -

e por meio da adição de armadura longitudinal [Gom92].

De entre os numerosos trabalhos realizados nessa área, um dos mais interessantes

reporta-se ao ano de 1928 e foi realizado por Richard, Brandtzaeg e Brown [Ric28]. O

ensaio consistiu em analisar o comportamento do betão à compressão sob diferentes graus

de confinamento proporcionados por uma pressão lateral (ver Figura 2.5). É possível

observar que a ductilidade e a resistência do betão crescem significativamente com o

aumento da pressão lateral.

Tensão (MPa)

Extensão

Resistência do betão não confinado = 25 MPa

Figura 2.5 - Influência do confinamento no comportamento do diagrama σ-ε do betão [Ric28].

Capítulo 2

16

Na Figura 2.6 é possível observar o efeito qualitativo dos diferentes tipos de armadura

transversal. O confinamento promovido por esta armadura é muitas vezes designado por

confinamento passivo (“passive confinement” na bibliografia inglesa).

Pressão hidráulica

Estribos circulares

Estribos rectangularespouco espaçados

Betão simples

Extensão

Tensão

Figura 2.6 - Efeito dos diferentes tipos de cintagens no comportamento do diagrama σ-ε do betão [CEB83].

Quando o betão está sujeito a cargas uniaxiais, este sofre uma expansão lateral, por efeito

do coeficiente de Poisson que é significativo para valores elevados de deformação axial. A

armadura transversal oferece resistência à expansão do betão do núcleo (“concrete core”),

isto é, do betão interior à armadura transversal, pelo que este betão fica confinado. A

pressão lateral depende da deformação da armadura transversal, sendo tanto maior quanto

menor for a deformação das armaduras transversais. Um outro aspecto bem mais relevante,

relaciona-se com o facto de o reforço da armadura transversal ser discreto, o que conduz a

uma zona de confinamento efectivo inferior à zona do betão do núcleo. No confinamento

efectivo do betão, a geometria da armadura transversal tem uma importância fundamental,

como se ilustra na Figura 2.7. É possível observar que os estribos circulares garantem um

maior volume de confinamento efectivo que o proporcionado pelos estribos

rectangulares [CEB83].


17

Zona de betão efectivamente confinado

Betão do núcleo não confinado (a)

Zona de betão efectivamente confinado

Betão do núcleo não confinado (b)

Figura 2.7 - Zona de confinamento efectivo do betão do núcleo

para armadura transversal circular (a) e rectangular (b).

Na bibliografia da especialidade existem variadíssimos trabalhos experimentais relativos

ao comportamento dos diagramas tensão-extensão, σ-ε, para o betão confinado por

armadura transversal, sendo rectangular a forma da secção transversal dos provetes e da

correspondente armadura transversal (na maior parte dos casos). As principais conclusões

que é possível extrair dos diagramas σ-ε são [CEB83]:

• o confinamento não modifica grande parte do ramo ascendente;

• a ductilidade aumenta com o confinamento. A extensão correspondente à tensão

máxima é significativamente mais elevada que a dos elementos não confinados.

Verifica-se que o declive do ramo de amolecimento diminui e a extensão última

aumenta com a quantidade de armadura de confinamento;

• constata-se, ainda, que a resistência máxima aumenta com o grau de

confinamento introduzido.

Quando a razão entre a área do betão do núcleo e a área total da secção transversal é

pequena, o confinamento promovido pela armadura é reduzido. A principal razão para este

facto deve-se à perda prematura de resistência por parte do betão de recobrimento.

Para simular os diagramas σ-ε do betão confinado, a generalidade dos modelos analíticos

têm como ponto de partida os resultados observados em ensaios experimentais, em

Capítulo 2

18

provetes confinados por armadura transversal e longitudinal. Nestes ensaios, procura-se

retirar os efeitos provocados pela existência do betão de recobrimento e da armadura

longitudinal. Assim, como resultado obtêm-se diagramas σ-ε do betão do núcleo que

simulam o comportamento “médio” do betão efectivamente confinado. Em geral, os

modelos analíticos são definidos por intermédio das principais propriedades do betão

simples e das características geométricas, mecânicas e de disposição da armadura

transversal ao longo do elemento. Na Figura 2.8 apresenta-se a título exemplificativo, o

modelo de Scott, Park e Priestley [Sco82]. O significado das variáveis encontra-se definido

no Capítulo 6, na secção 6.3.2.3.1.

0 2. ⋅ ⋅k fc

k fc⋅

εc maxεc20k c⋅ ε 0

Ec0

z k fc⋅ ⋅

ε c

σc

Figura 2.8 - Diagrama monotónico do betão confinado [Sco82].

As informações disponíveis relativas ao betão confinado reforçado com fibras de aço são

em número muito inferior às que existem para o betão simples confinado. A partir dos

resultados experimentais observados em elementos de betão armado reforçado com fibras

de aço (BARFA), conclui-se que [Gan90]:

• o incremento da quantidade de armadura transversal conduz a um aumento da

resistência do betão reforçado com fibras de aço;


19

• nos betões confinados reforçados com fibras de aço, a extensão de pico aumenta

com a percentagem de fibras de aço;

• pequenos níveis de confinamento no BRF são equivalentes a níveis de

confinamento elevado nos betões simples.

Relativamente aos modelos analíticos, estes ainda são mais escassos que as observações

experimentais. Verifica-se que estes modelos são calibrados com um número reduzido de

amostras pelo que a sua fiabilidade pode ser questionável.

2.2.1.3 Comportamento cíclico do betão à compressão

A ocorrência de acções alternadas devidas à natureza da actividade sísmica nas estruturas,

impõe a necessidade de compreender o comportamento cíclico do betão. Em geral, para os

betões simples e confinados admite-se que a envolvente superior no diagrama σ-ε, devido

a acções alternadas, acompanha o correspondente diagrama monotónico. Assim, a partir

dos diagramas monotónicos definem-se leis de descarga e recarga de modo a simularem o

comportamento verificado experimentalmente. Contudo, devido à natureza da dimensão

das deformações adoptam-se leis de descarga e recarga muito simples [Gom92]. A título

ilustrativo apresentam-se duas leis de simulação do carregamento cíclico do betão à

compressão (Figura 2.9 e Figura 2.10).

Figura 2.9 - Lei de comportamento do betão simples à compressão cíclica uniaxial [Gom92].

Figura 2.10 - Lei de comportamento do betão confinado com armadura transversal à compressão cíclica uniaxial [Tho80].

Capítulo 2

20

No que diz respeito ao comportamento do BRF sujeito a acções alternadas, da bibliografia

pesquisada, foi possível concluir que [Ott88 e Ott88a]:

• o conceito de envolvente do diagrama σ-ε para carregamentos alternados de

compressão uniaxial em betão simples (BS) é também válido para o caso dos

betões reforçados com fibras;

• o comportamento das descargas e recargas do BRFA, sob acções cíclicas, é

similar ao do BS;

• para adaptar os modelos de simulação do comportamento do BS à compressão

cíclica, de forma a simular-se o BRF, é essencial ter em conta o comportamento

mais dúctil na fase de amolecimento do material e a maior extensão sob o pico

de carga.

O comportamento uniaxial do BRFA confinado por armadura transversal sob compressão

cíclica encontra-se, ainda, numa fase muito insipiente sendo, por isso, uma área a ser

explorada.

2.2.2 Comportamento à tracção

O BS à tracção desenvolve valores de tensões máximas, fctm , significativamente inferiores

aos que este mesmo compósito apresenta quando sujeito à compressão. Quando fendilha, o

betão simples desenvolve alguma capacidade de retenção de tensões de tracção que

diminui com o aumento da deformação. Porém, a capacidade do betão fendilhado resistir a

esforços de tracção aumenta com a introdução de armaduras como elemento de

reforço [Bar95]. Após a fendilhação do betão, εcr , as respostas do BS e do BA são

significativamente diferentes e são designadas na literatura inglesa por “tension-softening”

e “tension--stiffening”, respectivamente. Na Figura 2.11 ilustra-se o diagrama de tensão

versus extensão média para o BS e para o BA, à tracção.


21

εctp cr2ε

Eci

εcr p cr1ε

α fctm

σctso

fctmEstabilização da fendilhação

(a) εct

Eci

εcr εctCεctBεctA

σctBst

σctAst

σctst

fctm

C

B

A

Estabilização da fendilhação

Plastificação da armadurana fenda

A extensão média alcançaa extensão de cedênciada armadura

(b) Figura 2.11 - Comportamento do betão à tracção: (a) betão simples e (b) betão armado [Bar98].

Geralmente, quando se procura simular o comportamento das estruturas submetidas à

acção sísmica, despreza-se a capacidade resistente do betão à tracção, pois estão em causa

grandes deformações para as quais o BS e/ou o BA apresentam reduzida capacidade de

retenção de tensões de tracção. Todavia, quando se pretende simular o comportamento à

tracção, é corrente considerar como envolvente a resposta monotónica à tracção, à qual são

associadas leis de descarga e recarga lineares e com rigidez igual ao módulo de

elasticidade longitudinal do betão, Eci .

A relação carga-deslocamento que se regista num ensaio de tracção de um provete de BRF

apresenta o comportamento genérico que se ilustra na Figura 2.12. Tal como nos provetes

de BS, a resposta de provetes de BRF apresenta um ramo I com comportamento

linear-elástico. Comparativamente com a resposta dos provetes de BS, nos BRF verifica-se

que o ramo não linear (ramo II), compreendido entre o limite de proporcionalidade (LP) e

o ponto de carga máxima, apresenta maior amplitude. O ramo III tem menor declive e a

deformação última, δu, é mais elevada.

Capítulo 2

22

Carga F

Zona de fractura

F,III

I

II

LP

Deslocamento δ

III

δu

δ F,δ

Figura 2.12 - Resposta carga-deslocamento de um provete de betão reforçado com fibras num ensaio de tracção uniaxial sob controlo de deslocamentos [Bar95].

A resistência à tracção aumenta com a percentagem, esbelteza e capacidade de fixação das

fibras à matriz. Contudo, para percentagens volumétricas de fibras de aço inferiores a 2 %,

o aumento da resistência à tracção (sem adição de aditivos) não é significativo. Verifica-se

ainda que, a resistência à tracção depende do método de manufacturação do

compósito [Bar95].

Na rotura dos provetes de betão simples observa-se, usualmente, o desenvolvimento de

uma única fenda, enquanto que nos betões reforçados com fibras ocorrem, normalmente,

mais do que uma macrofenda. Verifica-se que o comportamento do BRF em fase de

amolecimento depende, prioritariamente, das propriedades mecânicas e geométricas das

fibras, para além da sua distribuição e orientação [Bar95].

No que diz respeito às acções alternadas em tracção é possível verificar que no BRF a

envolvente pode ser traduzida pela monotónica, tal como no BS. Todavia, constata-se que

no BRF existe maior deformação residual que no BS, dado que as fibras que atravessam as


23

fendas oferecem resistência ao fecho destas, diminuindo, por isso, a deformação restituída

(ver Figura 2.13).

(a)

Deslocamento (10 m)

Tensãoaxial,(MPa)

0

1

2

3

4

25 50 100 125 150 17575

BRFA

V =1.5%f

Carreg. monotónico

Carreg. monotónicoCarreg. cíclico

σ

-6 (b)

Figura 2.13 - Relação tensão-deslocamento registada em ensaios cíclicos de tracção em provetes de betão simples [Rei86] (a) e de betão reforçado com fibras de aço [Gop87] (b).

2.2.3 Comportamento à flexão

O aumento da resistência à flexão com a percentagem de fibras só é significativo para

quantidades de fibras acima dos 60 kg/m3 (60 kg de fibras por metro cúbico de betão),

como se pode observar na Figura 2.14 que inclui diagramas carga-flecha, em ensaios de

flexão em provetes de betão reforçado com diferentes quantidades de fibras de aço

Dramix 50/.50. Nesta figura constata-se que o comportamento pós-pico é o mais

beneficiado pelo reforço das fibras.

Capítulo 2

24

kg/m3

Figura 2.14 - Influência da quantidade de fibras na relação carga-flecha registada em ensaios de flexão sob três pontos de carga em prismas de BRFA [Bal92].

Como principais aspectos que contribuem para o aumento da resistência à flexão, refere-se

o aumento do comprimento das fibras e da respectiva esbelteza. As fibras com

extremidades dobradas proporcionam maior aumento de resistência à flexão que as fibras

lisas.

Quando se efectua o cálculo orgânico de secções de betão armado submetidas à flexão, em

geral, despreza-se a resistência à tracção. A não contabilização desta resistência no caso de

BRF conduz a erros que poderão ser consideráveis no cálculo da capacidade última da

secção. Na Figura 2.15 representa-se, esquematicamente, alguns tipos de diagramas tipo

usados na análise à flexão de peças de BRF.


25

(a) (b) (c) (d) (e)cfσ

Figura 2.15 - Diagramas de distribuição de tensões ao longo da secção de uma barra de betão armado

reforçado com fibras [Rei79].

Em termos de ensaios cíclicos à flexão, é possível encontrar diversas publicações relativas

ao BARF. Os ensaios experimentais mais frequentes são ensaios cíclicos em modelos do

tipo nó de ligação viga-pilar. A partir destes conclui-se que [Cha97, Fil94, Lak86]:

• a adição de fibras permite melhorar o comportamento do material e preservar a

integridade estrutural;

• os modelos de BRF são mais dissipativos que os de betão convencional;

• a degradação de rigidez do material é muito similar à do BA, contudo os BRFA

exibem menor degradação de resistência;

• constata-se que as fendas apresentam menor abertura.

2.2.4 Comportamento ao corte

Sendo frágil, o modo de rotura por corte deve ser evitado. Para evitar a ocorrência deste

modo de rotura utiliza-se correntemente uma armadura transversal que contribui de forma

decisiva para a resistência ao esforço de corte. Em zonas de elevada densidade de

armadura transversal - zonas de dissipação de energia devido a acções alternadas - a

betonagem é, por vezes, de difícil execução. A substituição parcial de armadura transversal

(estribos ou cintas) por fibras permite diminuir a percentagem dessas armaduras,

facilitando o processo de betonagem, obtendo-se, assim, um betão com melhores

propriedades. Esta substituição impõe que a participação das fibras permita a conversão de

um modo de rotura por corte num modo de rotura por flexão [Bar95]. A conversão do

modo de rotura depende, fundamentalmente, da percentagem de armadura longitudinal de

tracção e do parâmetro s/d (s é o vão de corte e d a altura útil da viga). Diversos trabalhos

Capítulo 2

26

têm demonstrado que a resistência ao corte aumenta com a percentagem de fibras. Este

aumento parece ser mais significativo nas vigas com s d < 3 do que naquelas com s d > 3

(ver Figura 2.16).

Vu Vu

Vu Vu

Figura 2.16 - Relação entre a resistência ao corte e o parâmetro s/d para vigas

de BRFA de extremidades dobradas [Bat85].

O aumento da resistência ao corte com a participação das fibras deve-se,

fundamentalmente, à maior resistência à tracção do BRF fendilhado e ao aumento da

resistência ao deslizamento entre as bielas de betão comprimido que se formam nas vigas.

As fibras aumentam a resistência última ao corte, a ductilidade e a capacidade de

dissipação de energia quando empregues em nós de ligação viga/pilar sujeitos a esforços

alternados de corte [Jin92].


27

2.3 Conclusões

Neste capítulo abordaram-se as principais propriedades que interessam saber relativamente

ao betão, em especial o betão reforçado com fibras de aço sujeito a acções alternadas. O

comportamento do betão reforçado com fibras depende tanto das propriedades do betão

como das fibras. Verifica-se que é necessário limitar os valores da quantidade de fibras e

respectiva esbelteza, de forma a obter a necessária trabalhabilidade da mistura.

Os principais benefícios do BRF revelam-se após a fendilhação, sendo a capacidade de

absorção de energia a propriedade mais favorecida. Em termos de compressão, os BRF

apresentam ductilidade superior, quer devido ao aumento da extensão de pico, quer devido

à diminuição do declive do ramo de amolecimento. O comportamento à tracção do BRF vê

a sua resistência aumentada com o aumento da quantidade de fibras. Verifica-se que o

comportamento cíclico em tracção e compressão uniaxial do BRF é similar ao do betão

convencional. Com o aumento da quantidade de fibras constata-se que o comportamento

em termos de flexão e corte melhora significativamente.

De acordo com a bibliografia pesquisada, verificou-se que existe, ainda, um grande

desconhecimento do comportamento do BRF sob acções cíclicas. Este desconhecimento

acentua-se ainda mais quando se pretende obter, a partir da bibliografia, leis analíticas que

simulem o comportamento uniaxial do BRFA à compressão e à tracção. Face ao potencial

deste tipo de compósito justifica-se que o comportamento cíclico do BRFA seja objecto de

estudo.

Capítulo 3

Caracterização dos Materiais

e dos Protótipos Ensaiados

3.1 Introdução

No anterior capítulo foram referidos os principais benefícios da adição de fibras ao betão.

Verificou-se que este tipo de compósito melhora o comportamento das estruturas sob

acções alternadas. Todavia, o conhecimento do betão armado reforçado com fibras de aço

sujeito a este tipo de acções é escasso, o que motivou a realização de ensaios

experimentais.

O principal objectivo dos ensaios experimentais (descritos nos Capítulos 4 e 5) é fornecer

um conjunto de resultados que auxiliem na caracterização do comportamento de elementos

de betão armado reforçado com fibras de aço sujeitos a acções cíclicas. Realizaram-se

ensaios de caracterização do comportamento uniaxial à compressão do BARFA com

recurso a provetes cilíndricos e ensaios cíclicos em modelos de viga.

A composição, processo de fabrico e cura foram similares em todos os protótipos

ensaiados. Devido a este facto, a descrição dos procedimentos afectos à sua obtenção será

descrita neste capítulo.

O programa experimental foi realizado no Laboratório de Estruturas da Faculdade de

Engenharia da Universidade do Porto em colaboração com o Laboratório de Engenharia

Civil da Escola de Engenharia da Universidade do Minho.

Capítulo 3

30

3.2 Materiais

3.2.1 Armadura

Para a construção dos protótipos utilizaram-se três tipos distintos de varões de aço: de 3, 6

e 8 milímetros de diâmetro. Com vista à caracterização da armadura efecturam-se ensaios

de tracção uniaxial, apresentando-se na Figura 3.1 a resposta obtida para um varão de 6 e 8

milímetros de diâmetro.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Extensão (%)

Tens

ão (M

Pa)

φ6

φ8

Figura 3.1 - Resposta obtida para um varão de 6 mm e para um varão 8 mm.

Com base nas curvas tensão-extensão obtidas foi possível obter as principais

características mecânicas (ver Quadro 3.1). As principais características da resposta dos

varões com 3 mm de diâmetro foram estudadas por Barros [Bar95], pelo que neste trabalho

apresentam-se apenas os resultados obtidos.

Caracterização dos Materiais e dos Protótipos Ensaiados

31

Quadro 3.1 - Principais características mecânicas dos varões ensaiados.

Ext. no Início Ext. no Início do Tensãoda Cedência Endurecimento Ext. na Rotura Tensão de Cedência Máxima

(%) (%) (%) (MPa) (MPa)

φ3 0.111 - 57 175 288

φ6 0.200 - 12 690 740

φ8 0.215 4 18 430 528

Varão

É possível verificar que a resposta dos varões com 6 mm de diâmetro não apresenta

patamar de cedência, contudo, têm elevada tensão máxima. Este tipo de varões tem poucas

alterações de comportamento, revelando-se adequado aos ensaios em provetes cilíndricos.

Os varões φ3 e φ8 foram utilizados na armadura das vigas. Observa-se que os varões φ8

têm grande ductilidade.

3.2.2 Fibras

Nos betões reforçados com fibras utilizaram-se fibras de aço inox designadas comercial-

mente por Dramix ZP30/.50 (Figura 3.2). As duas letras da designação comercial

caracterizam a geometria e a forma como as fibras se apresentam (coladas ou

soltas) [Bek91]. Os dois números que figuram estão associados ao comprimento,

l mmf = 30 , e diâmetro, d mmf = 05. , o que corresponde a uma esbelteza de

l df f = =30 05 60/ . . Estas fibras apresentam-se com as extremidades dobradas, são

fornecidas em plaquetas de aproximadamente 30 fibras (ver Figura 3.3), sendo embaladas

em sacos de 30 kg. As extremidades dobradas garantem uma superior eficiência em termos

de ancoragem das fibras ao betão.

Capítulo 3

32

Figura 3.2 - Pormenores das fibras Dramix. Figura 3.3 - Plaquetas de fibras Dramix ZP30/.50.

O fornecimento das fibras em plaquetas evita a aglomeração das fibras durante a

amassadura, o que melhora a trabalhabilidade da mistura e assegura uma mistura

homogénea. A cola que agrega as fibras dissolve-se durante o processo de amassadura,

pelo que as fibras recuperam a sua própria esbelteza, conferindo eficácia ao reforço

pretendido [Bar95]. No Quadro 3.2, apresentam-se as principais características das fibras

utilizadas.

Quadro 3.2 - Principais características das fibras Dramix ZP 30/.50.

Massa Volúmica Resistência à Tracção Módulo de Elasticidade Extensão Última(g/cm3) (MPa) (GPa) (%)

ZP 30/.50 7.8 1250 200 3 a 4

Tipo de Fibras


33

3.2.3 Betões

A composição adoptada para o fabrico dos betões foi baseada numa das composições

utilizadas por Barros [Bar95], a qual se revelou adequada para a adição de fibras e

obtenção de betões de moderada resistência. No Quadro 3.3 é apresentada a composição

utilizada. Os inertes utilizados (areia e brita) são provenientes da Pedreira da Madalena em

Vila Nova de Gaia.

Quadro 3.3 - Composição dos betões.

Composição(kg/m3 de betão)

Cimento 450

Areia (0-3 mm) 729

Brita (0-15 mm) 1000

Água 202.5

Fibras 0, 30, 60, 90

Elemento

O cimento utilizado, fornecido pela SECIL, foi o Portland classe B. Todas as composições

foram amassadas numa betoneira de eixo vertical, segundo o seguinte procedimento:

i. com a betoneira em movimento introduziu-se a água;

ii. de seguida, adicionava-se o cimento de uma forma gradual;

iii. adição dos inertes, introduzindo-se em primeiro lugar a brita, seguindo-se a

areia;

iv. ao fim de dois minutos a amassadura era interrompida (o tempo indispensável)

para retirar betão suficiente para a realização do “VB Test” e “Slump Test”;

v. em seguida, prosseguia-se a amassadura durante a qual se adicionava

gradualmente as fibras de aço por forma a evitar a criação de “novelos” de

fibras;

vi. repetição do procedimento iv.

Capítulo 3

34

Com o intuito de avaliar a trabalhabilidade dos betões, efectuaram-se os ensaios

convencionais: o ensaio do cone de Abrams (designado também por “Slump Test”) e o

“VB Test”. Estes ensaios realizaram-se para o betão sem e com adição de fibras segundo a

sequência referida no procedimento para o fabrico dos betões. Os resultados obtidos para

as diferentes composições figuram no Quadro 3.4.

Quadro 3.4 - Resultados dos ensaios de avaliação de trabalhabilidade dos betões.

Tipo de

ComposiçãoAntes da adição

de fibras

Após adição de

fibras

Antes da adição

de fibras

Após adição de

fibras

Betão sem Fibras 185 - 4.1 -

Betão com 30 kg/m3 de fibras 192 121 4.1 8.4



"Slump Test " (mm) "VB Test " (segundos)

É possível verificar um decréscimo dos valores do “Slump Test” com o aumento da

quantidade de fibras. Assiste-se ainda, a um aumento do tempo de leitura do “VB Test”

com o crescimento da quantidade de fibras, embora este aumento seja menos pronunciado

que o registado no “Slump Test”, o que revela que, sob vibração, o BRFA desenvolve boa

trabalhabilidade.

3.3 Construção dos modelos

Para a obtenção dos modelos utilizou-se sempre o mesmo procedimento. Inicialmente,

realizou-se o corte e a dobragem das armaduras. Esta tarefa foi realizada por profissionais

exteriores aos Laboratórios por forma a assegurar-se a montagem das armadura com a

melhor qualidade possível, no mais curto intervalo de tempo.

Em seguida procedia-se à montagem das armaduras e das cofragens. Estas cofragens

metálicas dispunham de um eficiente sistema de montagem/desmontagem. O posicio-


35

namento das armaduras era feito com cuidado de modo a garantir os recobrimentos

pretendidos.

A betonagem dos modelos foi feita retirando-se betão da betoneira e colocando-o nos

moldes com auxílio de colheres de trolha. Todos os modelos eram vibrados em mesa

vibradora com o objectivo de eliminar “chochos” e de expelir tanto quanto possível

“bolhas” de ar e, garantir que o betão envolvesse de forma eficiente toda a armadura.

O processo de cura envolvia os seguintes passos:

i. após serem betonados, os elementos eram colocados durante uma semana em

câmara húmida;

ii. ao fim dessa semana processava-se à descofragem dos modelos que eram

imersos em água até aos 28 dias;

iii. findo este tempo, retiravam-se da água sendo colocados na câmara húmida até à

véspera do ensaio.

3.4 Características dos modelos

3.4.1 Provetes cilíndricos

A caracterização do comportamento uniaxial do BARFA foi feito a partir de ensaios em

provetes cilíndricos. Adoptou-se uma armadura longitudinal constante, fazendo-se variar a

quantidade de armadura transversal, no intuito de avaliar o efeito de confinamento

garantido por esta no BRFA. No que se segue descrevem-se as principais características

dos provetes cilíndricos fabricados.

3.4.1.1 Geometria

As dimensões recomendadas pelo REBAP [Reb86] e pelo EC2 [EC2] no fabrico dos

provetes cilíndricos são 150 mm de diâmetro e 300 mm de altura. Na Figura 3.4

Capítulo 3

36

apresenta-se um dos moldes utilizados para fabricar os provetes com as dimensões acima

referidas.

Figura 3.4 - Molde utilizado no fabrico dos provetes cilíndricos.

3.4.1.2 Pormenorização das armaduras dos provetes cilíndricos

Com vista à avaliação da influência do confinamento lateral garantido pela armadura

transversal no betão reforçado com fibras de aço, utilizaram-se quatro níveis distintos de

confinamento. No Quadro 3.5 apresenta-se o afastamento entre cintas utilizado nas

diferentes séries. Inclui-se ainda a correspondente percentagem de armadura transversal,

ρw, definida pela razão entre o volume de cintas e o volume de betão, por unidade de

comprimento do provete.


37

Quadro 3.5 - Percentagem de armadura transversal utilizada.

Espaçamento entre

cintas (mm)

sem cintas 0.00

270 0.38

90 1.13

38.5 2.65

ρw (%)

Para a realização das cintas utilizaram-se varões com 6 mm de diâmetro. Verificou-se que

este diâmetro era o mais adequado para os ensaios em causa. Para armadura de suporte das

cintas, armadura longitudinal, utilizou-se a 6φ6. Com esta armadura construtiva adoptada,

procurou-se minimizar a sua influência no comportamento global dos provetes. Nas

Figuras que se seguem (da 3.5 à 3.11) ilustram-se pormenores das armaduras utilizadas nos

provetes cilíndricos.

ATotal (mm2) 17671

ANúcleo (mm2) 11474

Perímetro médio das cintas (mm) 413

φ6@270, 90 e 38.5

6φ6

Figura 3.5 - Corte esquemático referente à armadura utilizada no fabrico dos provetes e correspondentes características geométricas.

Na Figura 3.5 constata-se que a forma das cintas não é circunferencial, mas sim,

hexagonal, dado que o equipamento disponível por parte dos profissionais que construíram

as cintas, só permitia a realização destas por segmentos rectos. O recobrimento foi de 3

mm.

Capítulo 3

38

3

Figura 3.6 - Armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas afastadas de 270 mm.

Figura 3.7 - Corte esquemático das armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas

afastadas de 270 mm.

Figura 3.8 - Armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas afastadas de 90 mm.


afastadas de 90 mm.


39

Figura 3.10 - Armaduras utilizadas no fabrico dos provetes com cintas afastadas de 38.5 mm.


afastadas de 38.5 mm.

3.4.1.3 Nomenclatura utilizada

No intuito de simplificar a exposição e compreensão deste trabalho, optou-se por criar uma

nomenclatura própria para designar cada provete cilíndrico. Esta nomenclatura foi criada

de forma a que a sua leitura fosse perfeitamente clara e permitisse a rápida identificação

em termos de afastamento entre cintas e quantidades de fibras utilizadas. Assim, para um

provete genérico a descrição Ci_j_k, efectuada da esquerda para a direita, é a seguinte:

i. a letra “C” em todos os provetes, referindo que se trata de provetes cilíndricos;

ii. em seguida aparece um número (i) que representa o afastamento entre cintas

(valor em milímetros). Para o caso particular dos provetes cilíndricos sem

armadura utilizou-se o valor zero (“00”);

iii. um número (j) que representa, em quilogramas, a quantidade de fibras de aço

por metro cúbico de betão;

iv. um número (l) identificando individualmente os provetes dentro da mesma série.

Entende-se por série como o conjunto de provetes cilíndricos com a mesma quantidade de

armadura transversal e de fibras. A designação adoptada para as séries corresponde a

Capítulo 3

40

omitir o ponto iv. do procedimento, pelo que para uma série genérica ter-se-à Ci_j. Foram

fabricados 5 provetes cilíndricos para cada série, o que perfaz um total de oitenta unidades.

Em certos casos houve necessidade de fazer referência a grupos de séries. Estes são

constituídos por diversas séries, tendo como propriedade comum, o afastamento entre

cintas. Assim, no procedimento anterior corresponde a considerar os passos i. e ii. (Ci).

A título exemplificativo o provete “C38_30_4” significa que se trata do quarto provete da

série em que existe um afastamento entre cintas de 38.5 mm e 30 kg/m3 de fibras. Este

provete pertence à série C38_30 e ao grupo de séries C38.

No Quadro 3.6 sintetizam-se todas as séries utilizadas neste trabalho. A variável Wf

representa a percentagem de fibras em peso da mistura e Vf o volume de fibras. Para o

cálculo da percentagem e do volume de fibras na mistura considerou-se que a massa

específica das fibras é de 7850 kg/m3.

Quadro 3.6 - Nomenclatura utilizada para designar as séries de provetes cilíndricos.

Afastamento entre Quantidade decintas ρw fibras(mm) (%) (kg/m3) (%) (%)

C00_00 - 0.00 0 0.00 0.00C00_30 - 0.00 30 1.25 0.38C00_60 - 0.00 60 2.50 0.76C00_90 - 0.00 90 3.75 1.15C270_00 270.0 0.38 0 0.00 0.00C270_30 270.0 0.38 30 1.25 0.38C270_60 270.0 0.38 60 2.50 0.76C270_90 270.0 0.38 90 3.75 1.15C90_00 90.0 1.13 0 0.00 0.00C90_30 90.0 1.13 30 1.25 0.38C90_60 90.0 1.13 60 2.50 0.76C90_90 90.0 1.13 90 3.75 1.15C38_00 38.5 2.65 0 0.00 0.00C38_30 38.5 2.65 30 1.25 0.38C38_60 38.5 2.65 60 2.50 0.76C38_90 38.5 2.65 90 3.75 1.15

Wf VfSérie


41

3.4.2 Vigas

3.4.2.1 Geometria

As vigas foram construídas com as dimensões 75×150×1600 mm3 (largura×altura×

comprimento) ilustrando-se na Figura 3.12 o molde-tipo utilizado no seu fabrico.

Figura 3.12 - Molde utilizado no fabrico das vigas.

A aplicação das forças à viga realizou-se aos terços (a descrição pormenorizada

encontra-se no Capítulo 5), o que implica a existência de três zonas distintas de esforços

com comprimentos de 0.50 m (Figura 3.13).

Neste caso a relação de corte (“shear ratio”, da nomenclatura inglesa), α, é de:

α =⋅

=⋅

=M

V d

P

P4

2 014357

.. (3.1)

e o vão de corte (shear span), Lv, é de:

LMV

P

P mv = = =4

20 50. , (3.2)

em que M é o momento flector, V o esforço transverso e d a altura útil da secção. Segundo

o CEB [CEB83], para a relação de corte e valor de armadura longitudinal em causa, será de

prever um efeito conjugado dos esforços de corte e de flexão, sendo a rotura por corte.

Capítulo 3

42

0.50 m 0.50 m 0.50 m

P/2 P/2

P/2

-P/2

P/4

Esfo

rço

Tran

sve r

soM

omen

to

Flec

tor

Figura 3.13 - Sistema de carga a aplicar às vigas. Diagramas de esforços

transversos e momentos flectores.

3.4.2.2 Pormenorização das armaduras das vigas

A armadura longitudinal adoptada baseou-se em valores que Barros [Bar95] utilizou em

ensaios de vigas com betão armado reforçado com fibras de aço. Para essas vigas a

armadura utilizada na face traccionada foi de 3φ8. Verificou-se que esta armadura estava

adequada à capacidade máxima das células de carga disponíveis. A utilização de armadura

simétrica, em ambas as faces, não conduz a um acréscimo significativo da resistência.

Assim, utilizou-se para armadura longitudinal 3φ8 junto à face inferior e 3φ8 junto à face

superior, à qual corresponde uma percentagem de armadura de 1.4 %. Refira-se que o

REBAP [Reb86] impõe para percentagem de armadura mínima e máxima os valores de

0.25 e 4.0 %, respectivamente.

O REBAP [Reb86] preconiza para armadura transversal o valor mínimo de 0.16 %. Dado

que em carregamentos monotónicos Barros [Bar95] verificou a possibilidade de substituir


43

parcialmente os estribos por fibras, privilegiou-se neste trabalho, situações em que a

percentagem de estribos é inferior à mínima. Assim, consideraram-se três quantidades

distintas de estribos:

• uma primeira situação que corresponde à ausência de armadura de esforço

transverso. Contudo, foi necessário utilizar armadura construtiva para a

armadura longitudinal. Assim, utilizaram-se estribos afastados de 750 mm;

• uma segunda situação correspondeu a verificar os valores preconizados pelo

REBAP [Reb86]. Para tal, consideraram-se estribos afastados de 75 mm;

• uma terceira situação (intermédia), para a qual se adoptou estribos afastados de

150 mm.

No Quadro 3.7 apresenta-se a percentagem de armadura transversal associada a cada caso.

Neste quadro figuram dois parâmetros distintos: ρw como sendo a razão entre o volume de

estribos e o volume de betão interno aos estribos, por unidade de comprimento da viga e

ρw,r como sendo e percentagem de armadura transversal definida de acordo com REBAP.

Como se pode verificar, nos dois primeiros casos a armadura transversal é inferior à

mínima proposta por este regulamento. Cortes e fotografias das armaduras utilizadas são

representadas nas Figuras 3.14 à 3.17. Para a realização das vigas admitiu-se um

recobrimento de 3 mm.

Quadro 3.7 - Propriedades da armadura transversal utilizada.

Espaçamento entre

estribos

750 0.04 0.025

150 0.21 0.126

75 0.42 0.250

ρw (%) ρw,r (%)

Figura 3.14 - Fotografia da armadura utilizada nas vigas com estribos afastados 750 mm.

Capítulo 3

44



ATotal (mm2) 11250

ANúcleo (mm2) 9515

Perímetro médio dos estribos (mm) 424

3φ8

3φ8

150

75

φ3@ 750 ou 150 ou 75

Figura 3.17 - Corte transversal da vigas ensaiadas.

3.4.2.3 Nomenclatura utilizada

Tal como para os provetes cilíndricos, também nas vigas foi necessário criar uma

nomenclatura própria, procurando-se diferenciar os diferentes modelos com base na


45

quantidade de fibras e de estribos utilizados. Assim, para uma viga genérica Vi_j_k, a

designação é a seguinte:

i. a letra “V” que designa a viga;

ii. segue-se um número (i) que identifica individualmente cada viga da mesma

série;

iii. um número (j) que representa o afastamento dos estribos (valor em milímetros);

iv. um número (k) que representa a quantidade de fibras utilizada (valor em kg/m3 de betão).

No Quadro 3.8 resumem-se as principais características de cada viga, em função da sua

designação, sendo cada série, neste caso, composta por duas vigas com igual quantidade de

fibras e igual afastamento entre estribos.

Quadro 3.8 - Principais características dos modelos de viga ensaiados.

Espaçamento entre Quantidade de estribos ρw Fibras

(mm) (%) (kg/m3)

V1_750_00V2_750_00V1_750_30V2_750_30V1_750_60V2_750_60V1_750_90V2_750_90V1_150_00V2_150_00V1_150_30V2_150_30V1_150_60V2_150_60V1_150_90V2_150_90V1_75_00V2_75_00V1_75_30V2_75_30V1_75_60V2_75_60V1_75_90V2_75_90

0.21

0.21

0.21

0.21

60

30

00

90

000.42

0.42

90

90

60

30

0.42

0.42

75

75

75

75

150

150

150

150

00

750

750

60

30

0.04

0.04

0.04750

750 0.04

Designação

Capítulo 4

Programa Experimental

em Provetes Cilíndricos

4.1 Introdução

Neste capítulo descreve-se o programa experimental efectuado em provetes cilíndricos de

betão armado reforçado com fibras de aço. Estes provetes foram sujeitos a acções uniaxiais

cíclicas de compressão. Com a realização destes ensaios pretendeu-se compreender o

comportamento uniaxial do betão armado reforçado com fibras de aço sujeito a acções

cíclicas de compressão. Procurou-se avaliar a influência das fibras no confinamento do

betão, na degradação de rigidez e de resistência. O efeito do confinamento das cintas no

comportamento do betão reforçado com fibras de aço foi ainda objecto de estudo.

Seguidamente, é exposto o sistema de ensaio adoptado, referindo-se o tipo de equipamento

e procedimentos utilizados nos ensaios. Os principais resultados do programa

experimental, assim como, as conclusões fundamentais são, igualmente, salientadas.

4.2 Sistema de ensaio

4.2.1 Equipamento

Na Figura 4.1 apresenta-se o equipamento utilizado na realização dos ensaios em provetes

cilíndricos.

Capítulo 4

48

(a) Prensa (c) Controlador digital (e) Computador

(b) Grupo hidráulico (d) Painel de controlo

Figura 4.1 - Equipamento utilizado nos ensaios realizados em provetes.

Este equipamento é constituído pelos seguintes elementos: uma prensa, um grupo

hidráulico, um controlador digital, um painel de controlo de carga e um computador. A

prensa da série 315 da MTS, cuja fotografia e esquema simplificado se incluem nas

Figuras 4.2 e 4.3, aplica ao provete a força mecânica em resposta aos comandos

transmitidos pelo controlador digital. Esta prensa permite realizar ensaios de

compressão/tracção, sendo a aplicação da carga ao provete realizada por intermédio de um

actuador hidráulico com movimento segundo o eixo vertical da prensa. A este actuador

podem acoplar-se aduelas de aço de 221 mm de diâmetro, por forma a possibilitar o ensaio

de provetes de dimensões diferentes. O prato superior da prensa possui uma calote esférica

dotando-o de características de rótula. A carga é registada por intermédio de um sistema

hidrodinâmico de pressão, podendo-se aplicar cargas até um limite máximo de 2700 kN. A

prensa está munida de um transdutor de deslocamentos que pode registar deformabilidades

até 200 mm.

Programa Experimental em Provetes Cilíndricos

49

MTS

Célula de carga

Aduelasamovíveis

actuadorhidráulico

transdutor

caixa dealojamento do

Figura 4.2 - Fotografia da prensa MTS. Figura 4.3 - Esquema da prensa utilizada nos ensaios de compressão uniaxial.

O grupo hidráulico fornece a pressão requerida pelo ensaio. Por sua vez, o controlador

digital realiza a interface entre o software e o resto do sistema. O software inclui módulos

de controlo do equipamento, de definição dos sensores e de conexão de equipamento

externo. O painel de controlo permite que o operador mova o dispositivo de aplicação de

carga da prensa ou do actuador, sob o modo de controlo desejado, até posicionar

correctamente o provete para ser ensaiado. Os comandos do sistema e os procedimentos de

ensaio são definidos por software próprio instalado no sistema.

O equipamento (Figura 4.4) está organizado por forma a constituir um servomecanismo

que permite fazer o controlo automático dos sensores acoplados ao sistema. Na Figura 4.4

representa-se, em termos simplificados, um ciclo de controlo automático realizado pelo

sistema durante o ensaio. Trata-se de um ciclo no qual o equipamento de controlo

(computador e controlador digital) fornece o sinal de comando do programa ao elemento

Capítulo 4

50

controlado constituído pela servoválvula, actuador hidráulico e provete. O sensor de

controlo do ensaio envia um sinal de retorno ao controlador digital indicando como o

elemento controlado respondeu. O controlador digital reage à diferença entre os sinais de

comando e de retorno e ajusta o sinal de comando que activa o actuador hidráulico por

forma a corrigir a diferença registada. O presente equipamento está dotado dos módulos de

controlo CLC (“Channel, Limited, Channel”) e PIDF (“Proportional, Integral, Derivative

and feed Forward”) [Bar95, MTS93].

CICLO DECONTROLOAUTOMÁTICO

Servoválvula

Sinal de controlo

Pressão hidráulica

Actuador hidráulico

Controlador digital

Sinal de retorno

Prensa

PROVE

TE

Figura 4.4 - Esquema do módulo de controlo automático dos

sensores realizado pelo equipamento de ensaio

4.2.2 Procedimento do ensaio

4.2.2.1 Historial de deslocamentos impostos

Não existindo um procedimento unanimemente aceite para efectuar este tipo de ensaios,

procurou-se criar um procedimento que desse resposta aos objectivos propostos na

introdução. Assim, fez-se uma estimativa dos deslocamentos correspondentes à força

máxima e ao esgotamento da capacidade de absorção de energia (carga nula). Com base


51

nestes dois deslocamentos, construiu-se um historial de deslocamentos impostos que

procurou para cada provete avaliar:

i. o andamento global da curva tensão/extensão;

ii. a capacidade de absorção de energia;

iii. a degradação de rigidez da resposta descarga/recarga até ao esgotamento da

capacidade de carga.

Adoptaram-se os dois procedimentos distintos P1 e P2, ilustrados nas Figuras 4.5 e 4.6. O

procedimento - P1 - foi utilizado nos grupos de séries C38, C90 e C270, enquanto que o

procedimento - P2 - foi utilizado na série C00. A principal razão deste critério tem a ver

com a capacidade de absorção de energia dos provetes de cada série.

Durante o decorrer dos ensaios da série C270_00 constatou-se que o primeiro

procedimento, P1, (Figura 4.5) não permitia retirar qualquer tipo de conclusões

relativamente às zonas das descargas/recargas, dado que estas se efectuavam quando o

provete apresentava reduzida capacidade de carga. Por este facto, para a série C270_00

adoptou-se o procedimento P2.

Refira-se que as descargas efectuadas cessavam quando se atingia uma força mínima de

10 kN. Este valor era suficientemente reduzido para se poder afirmar que o provete estava

descarregado, e suficientemente elevado para garantir a estabilidade do ensaio.

Efectuaram-se leituras de dois em dois segundos, obtendo-se um número suficiente de

registos que permite caracterizar o comportamento do provete durante todo o ensaio.

Capítulo 4

52

Deformação crescente até 1.0 mm

Descarga até Fmin = 10.0 kN














Fim do Ensaio
















Fim do Ensaio



Figura 4.5 - Procedimento P1. Figura 4.6 - Procedimento P2.

Para cada série ensaiaram-se cinco provetes, quatro dos quais segundo o historial de

deslocamentos correspondente à série em causa, sendo o quinto provete ensaiado sem se

efectuar qualquer descarga (carregamento monotónico). Pretendeu-se, assim, verificar se a


53

monotónica obtida a partir deste ensaio apresentava um andamento sensivelmente distinto

dos restantes elementos da mesma série, ensaiados segundo o procedimento cíclico.

4.2.2.2 Velocidade de deformação

O ramo de amolecimento da resposta tensão-extensão (σ-ε) tem tanto maior desenvolvi-

mento quanto menor for a resistência do betão. A maior ductilidade na fase de amoleci-

mento do provete acentua-se com a adição de fibras ao betão.

Os ensaios deverão ser efectuados com velocidades de deformação entre os 10 µm/s e

30 µm/s, de forma a ser garantida a estabilidade do ensaio [Bar95]. Refira-se que este

intervalo está de acordo com o sugerido pela norma Japonesa [JSC84] para ensaios de

compressão em provetes de betão reforçado com fibras de aço. A velocidade adoptada foi

de 20 µm/s (valor médio).

4.2.2.3 Procedimento do ensaio

Dois a três dias antes de ser ensaiado, as faces de contacto do provete com os pratos de

carga eram alisadas e horizontalizadas com equipamento apropriado. Para se efectuar o

ensaio procedia-se da seguinte forma:

i. o provete era medido e pesado;

ii. por intermédio do computador, era lido o ficheiro no qual se encontrava definido

o procedimento do ensaio que continha entre outros aspectos: a lei de

deslocamentos imposta, a velocidade de deformação e o intervalo de leituras;

iii. em seguida o provete era colocado entre os pratos da prensa e, com recurso ao

painel de controlo, instalava-se uma força reduzida de compressão (0 a 2 kN);

iv. finalmente, realizava-se o ensaio.

A duração de um ensaio variava entre 20 a 40 minutos.

Capítulo 4

54

4.3 Apresentação dos resultados

Do programa experimental realizado com os provetes cilíndricos, obtiveram-se dois tipos

de resultados distintos, nomeadamente:

• informação resultante da observação dos provetes durante e após o ensaio;

• deslocamentos e correspondentes forças.

4.3.1 Observações durante e após o ensaio

Durante os ensaios procurou observar-se as alterações externas ocorridas nos provetes.

Estas observações não se estenderam a todos os provetes, devido ao elevado número de

unidades ensaiadas e ao tempo de duração de cada ensaio. Após a conclusão dos ensaios de

cada série, cada provete foi inspeccionado no intuito de retirar mais elementos sobre o seu

estado final, sendo os aspectos mais significativos anotados.

Em qualquer ensaio verificou-se sempre o aparecimento de fendilhação vertical, em geral,

associada à aproximação da capacidade de carga máxima do provete. Esta fase era

acompanhada pelo esgotamento da resistência do betão de recobrimento. Esta ineficácia do

betão de recobrimento foi bastante notória, principalmente nos provetes fortemente

cintados, em que estes pareciam ter sido “descascados” (ver as fotografias do Anexo I).

A rotura do betão de recobrimento (fenómeno que na literatura da especialidade é

designado por descasque) facilitou a ocorrência da encurvadura dos varões longitudinais

(ver Figura 4.7). Em geral, o comprimento de encurvadura correspondeu à distância entre

cintas. Contudo, não foi possível observar a partir de que estado de deformação a

encurvadura ocorria. Os varões encurvados localizavam-se numa zona afastada das

extremidades do provete devido, essencialmente, ao efeito de cintagem imposto pelos

pratos da prensa.

A encurvadura dos varões longitudinais, a pressão exercida pelo betão cintado e o

descasque foram os aspectos fundamentais que contribuíram para a rotura das cintas (ver

Figura 4.8). Esta aconteceu, de um modo geral, para valores elevados de deformação,


55

ocorrendo, sempre, no ponto de “fecho” da cinta. A rotura das cintas pode também ser

observada nos diagramas tensão-extensão (na secção 4.3.2.1) e corresponde aos ramos em

que existe uma queda brusca de tensão para um pequeno incremento de deformação.

De um modo geral, a concentração dos principais fenómenos (encurvadura, descasque e

rotura das cintas) ocorridos nos provetes localizava-se predominantemente no terço

superior do provete. A principal razão deste fenómeno tem a ver com o processo de fabrico

e ensaio dos provetes: a zona mais compactada (junto à face inferior) era colocada sobre o

prato inferior da prensa.

Figura 4.7 - Encurvadura dos varões longitudinais de um provete da série C270_00.

Figura 4.8 - Rotura da cinta de um provete da série C38_90.

Capítulo 4

56

Da análise do estado dos provetes durante e após os ensaios verificou-se que a integridade

aumentava com a percentagem de fibras e cintas. Os modos de rotura ocorridos nos

provetes cilíndricos podem ser agrupados em quatro (Figura 4.9). O modo de rotura MR1

inicia-se, geralmente, durante o pós-pico de carga, em que as camadas laterais da zona

central do provete se destacam. A capacidade de absorção de carga passa a ser garantida,

fundamentalmente, pelo contacto entre dois cones e pelo atrito entre superfícies de rotura.

No segundo modo de rotura, MR2, verifica-se que as superfícies de fractura contornam os

inertes, pelo que se desenvolve um maior embricamento e atrito entre estas superfícies.

Assim, desenvolve-se uma superfície de rotura de corte ao longo da diagonal do provete. O

modo MR3 verifica-se quando existe um desenvolvimento de inúmeras fendas, sem

contudo ocorrer nenhuma superfície de rotura principal. No modo MR4 a camada externa

do encaixe do cone desagrega-se acentuadamente com o aumento da deformação imposta

ao provete. Contudo, não existe qualquer superfície de rotura principal. Verifica-se que

este modo ocorre principalmente em provetes que apresentam uma diferente rigidez ao

longo da sua altura. A concentração de fibras na zona inferior do provete, com o

correspondente acréscimo de confinamento, é a principal causa para a ocorrência deste

modo de rotura.

Figura 4.9 - Esboço dos principais modos de rotura ocorridos.


57

Para as séries ensaiadas, verificou-se que:

• nos grupos de séries C00 ocorreram, fundamentalmente, os modos de rotura

MR1 e MR2. O modo MR2 apareceu em maior quantidade nas séries C00_00 e

C00_30, enquanto que o MR1 surgiu mais nas séries C00_60 e C00_90;

• nos grupos de séries C270 o principal modo de rotura foi o MR1, excepto para a

série C270_90 à qual correspondeu, preponderantemente, o modo MR4;

• para os grupos de séries C90 e C38, o modo fundamental foi o MR3.

4.3.2 Resultados numéricos

Após a realização destes ensaios obtiveram-se 80 ficheiros de resultados. Cada um

continha os deslocamentos versus forças, de cada provete. Foi então necessário proceder

ao tratamento destes resultados com vista à obtenção das seguintes grandezas (para cada

provete e cada série):

• o diagrama tensão versus extensão (σ-ε);

• a evolução da degradação de rigidez do ramo de descarga/recarga;

• a energia em compressão;

• a extensão e tensão de pico;

• o módulo de elasticidade inicial.

Neste trabalho, para as diferentes análises realizadas, desprezaram-se as alterações de

comportamento motivadas pelo comportamento não linear material e geométrico dos

varões longitudinais. Refira-se, ainda, que a relação entre a força máxima dos 6φ6

(armadura longitudinal) e a carga máxima dos provetes variou entre 10 % e 20 %.

4.3.2.1 Diagramas de tensão versus extensão

Devido à posição do transdutor de deslocamentos da prensa (ver Figura 4.3), os

deslocamentos lidos incluem a deformação das aduelas, entre outros deslocamentos

parasitas. Para eliminar os deslocamentos parasitas, os deslocamentos lidos, δlido, eram

Capítulo 4

58

corrigidos de modo a se obter os deslocamentos reais, δreal, por intermédio da expressão

seguinte [Bar95]:

δ δreal lido

F= −

1400 (4.1)

em que F é a força em kN correspondente ao deslocamento lido. Os deslocamentos δreal e

δlido deverão estar definidos em milímetros. Para a obtenção da tensão dividiu-se a força

pela área da secção transversal do provete. Por sua vez, a extensão obteve-se dividindo o

valor do deslocamento real pela altura total do provete.

Apesar das faces dos provetes terem sido rectificadas, verificou-se a existência de uma

resposta não linear na fase inicial nas curvas tensão-extensão (σ-ε). Para eliminar a fase

inicial não linear, desenvolveu-se um algoritmo. Neste procurava-se o maior valor do

módulo de elasticidade inicial, Eci, cumprindo-se os seguintes requisitos:

• utilização de quatro pontos consecutivos da curva;

• o máximo ponto susceptível de ser utilizado coincidiu com o ponto correspon-

dente ao início da primeira descarga ou com o ponto correspondente à tensão

máxima (para os provetes ensaiados sem qualquer descarga);

• utilização do método dos mínimos quadrados.

Constatou-se que o valor de Eci ocorria entre os 40% e 50% da carga máxima, com

coeficientes de correlação muito próximos da unidade. Determinado o módulo de

elasticidade, procedeu-se à rectificação da curva σ-ε. Para esse efeito considerou-se que o

módulo de elasticidade seria válido até ao ponto de maior deformação que foi utilizado na

determinação de Eci. De seguida a relação σ-ε era transladada. Nas Figuras 4.10 e 4.11

encontra-se esquematizado o procedimento adoptado para a obtenção das curvas σ-ε nos

ensaios com historial de deformações cíclicas e nos ensaios monotónicos, respectivamente.

No Anexo I apresentam-se as curvas σ-ε até 5.0 % de deformação, relativas a todos os

provetes, à excepção do C270_00_1 e do C90_30_1. A não consideração destes provetes


59

está relacionada com a discrepância dos seus resultados face aos restantes da mesma série.

Relativamente ao provete C270_00_1 a explicação tem a ver com o facto deste ter sido

ensaiado com o procedimento P1, ao contrário dos restantes provetes da mesma série, que

foram ensaiados com o procedimento P2. Infelizmente, para o provete C90_30_1, não se

encontrou qualquer explicação para o referido fenómeno.

Ponto máximosusceptível de serutilizado

DiagramaInicial

DiagramaFinal

Conjunto depontosutilizados nadefinição de Eci

ε

σ

Zona decomportamentonão linear

σ

ε

Conjunto de pontosutilizadosna definição doMódulo deElasticidade Inicial

Diagrama Inicial

Diagrama Final

Translação dodiagrama

Eci

Ponto máximosusceptível de serutilizado

Figura 4.10 - Procedimento utilizado na determinação

do diagrama σ-ε para os ensaios cíclicos.

Figura 4.11 - Procedimento utilizado na determinação do diagrama σ-ε para os ensaios monotónicos.

A partir de uma breve análise de todos os diagramas σ-ε conclui-se que os primeiros

quatro provetes de cada série (ensaiados com historial de deformação cíclico em

compressão), tiveram um andamento semelhante ao quinto, da mesma série (ensaio

monotónico). Em geral, as respostas da mesma série, incluindo os ramos de

descarga/recarga, apresentaram um andamento muito próximo.

No sentido de comparar as diferentes séries, tornou-se necessário determinar o

comportamento representativo de cada série. Este foi definido com base na determinação

da curva média σ-ε referente aos provetes com historial de deformação cíclico em

compressão. Da Figura 4.12 à 4.15 apresentam-se os diagramas de tensão versus extensão

Capítulo 4

60

para níveis crescentes de quantidade de fibras e igual percentagem de armadura transversal

(ρw constante).

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_00

C00_30

C00_60

C00_90

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C270_00

C270_30

C270_60

C270_90

Figura 4.12 - Diagramas de σ-ε para ρw = 0.00 %. Figura 4.13 - Diagramas de σ-ε para ρw = 0.38 %.

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C90_00

C90_30

C90_60

C90_90

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C38_00

C38_30

C38_60

C38_90

Figura 4.14 - Diagramas de σ-ε para ρw = 1.13 %. Figura 4.15 - Diagramas de σ-ε para ρw = 2.65 %.

Da observação das figuras é possível concluir que:

• ao aumento da quantidade de fibras não corresponde um aumento significativo

da tensão e correspondente extensão de pico;


61

• o declive do ramo de amolecimento é tanto mais suave quanto maior for a

percentagem de cintas e de fibras, pelo que o comportamento do provete é mais

dúctil na fase de amolecimento;

• há um aumento da capacidade de absorção de energia com o aumento da

quantidade de fibras.

Realizando um re-arranjo dos diagramas σ-ε, foi possível obter diagramas para níveis

crescentes de percentagem de armadura transversal, mantendo-se constante a quantidade

de fibras, Qf. Estas relações estão apresentadas nas Figuras 4.16 a Figura 4.19.

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_00

C270_00

C90_00

C38_00

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_30

C270_30

C90_30

C38_30

Figura 4.16 - Diagramas de σ-ε para Qf = 00 kg/m3. Figura 4.17 - Diagramas de σ-ε para Qf = 30 kg/m3.

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_60

C270_60

C90_60

C38_60

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_90

C270_90

C90_90

C38_90

Figura 4.18 - Diagramas de σ-ε para Qf = 60 kg/m3. Figura 4.19 - Diagramas de σ-ε para Qf = 90 kg/m3.

Capítulo 4

62

A partir destes diagramas concluí-se que:

• a tensão e a extensão de pico aumentam com o crescimento da percentagem da

armadura transversal;

• a capacidade de absorção de energia aumenta com a percentagem de armadura

transversal;

• a forma do ramo de amolecimento é idêntica em qualquer das séries, sofrendo

apenas uma translação com a variação da percentagem de armadura transversal e

quantidade de fibras.

4.3.2.2 Evolução da degradação de rigidez na descarga/recarga

Quando se efectua uma descarga, esta apresenta um comportamento essencialmente não

linear. Não obstante, a recarga manifesta um comportamento muito próximo do linear. Em

geral, na bibliografia da especialidade os ramos de descarga/recarga das leis constitutivas

do betão são simulados por segmentos rectos. Na presente dissertação, a evolução dos

ramos de descarga/recarga foi também determinada admitindo-os como sendo rectos. No

cálculo do módulo de elasticidade correspondente a um ramo genérico de descarga e de

recarga recorreu-se ao seguinte procedimento (ver Figura 4.20):

i. determinou-se o ponto a partir do qual se iniciava a descarga, PT1;

ii. determinou-se o ponto PT2, no ramo de recarga, correspondente ao primeiro

ponto com deformação superior à deformação do ponto PT1;

iii. calculou-se o ponto médio PTM, definido a partir dos pontos PT1 e PT2;

iv. determinou-se o ponto PT3, correspondente à deformação mais baixa

encontrada;

v. o módulo de elasticidade foi definido a partir do declive da recta que passa pelos

pontos PTM e PT3.

Com o módulo de elasticidade representativo dos ramos de descarga e recarga, Ec0,

traçaram-se diagramas da sua evolução para diferentes níveis de deformação. Os módulos

de elasticidade foram avaliados nos pontos PTM (Figura 4.20), aos quais estão associadas

as extensões, εPTM. Os valores Ec0 e os correspondentes εPTM constituem o conjunto de

pontos que definem curvas designadas por diagramas de degradação de rigidez de Ec0. No


63

Anexo I apresentam-se os diagramas de evolução de Ec0 para todos os provetes ensaiados.

Da Figura 4.21 à 4.24 representam-se os diagramas de degradação de rigidez de Ec0

correspondentes às séries ensaiadas. Estas curvas foram determinadas a partir das curvas

σ-ε representativas de cada série.

σ

ε

PT1

PT3

PT2

PTM

Ec0

Figura 4.20 - Pontos necessários à determinação do Ec0.

É possível verificar uma evolução semelhante de todos os diagramas. Estes apresentam

uma forma de evolução que se aproxima de uma lei exponencial. Existe uma diminuição

da degradação de rigidez com o aumento da percentagem de fibras. Refira-se, ainda, que o

módulo de elasticidade inicial, Eci, apresenta, em certos casos, (preponderante nos grupos

de séries C00 e C270) valores inferiores aos verificados para níveis superiores de

deformação. As dificuldades associadas à determinação de Eci poderão ter contribuído para

o aparecimento deste aspecto.

As curvas de degradação de rigidez da série C38_00 (Figura 4.24) são mais idênticas que

as curvas das restantes séries (Figura 4.21 a 4.23). Este facto poderá sugerir que, acima de

Capítulo 4

64

determinados níveis de confinamento produzidos pela armadura transversal, deixa de ser

oportuno aumentar a percentagem de fibras.

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_00

C00_30

C00_60

C00_90

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

intu

dina

l (G

Pa)

C270_00

C270_30

C270_60

C270_90

Figura 4.21 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 para ρw = 0.00 %.


0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C90_00

C90_30

C90_60

C90_90

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C38_00

C38_30

C38_60

C38_90




65

Nas Figuras 4.25 a 4.28 estão representados os diagramas da evolução de degradação de

rigidez dos ramos de descarga/recarga, para valores crescentes de ρw, mantendo-se

constante o valor da quantidade de fibras (Qf). O aumento de ρw conduz a uma variação

notória do diagrama, podendo afirmar-se que, para efeitos de diminuição da degradação de

rigidez, as cintas são mais eficientes que as fibras.

Todavia, pode também verificar-se que, por exemplo, o comportamento dos provetes

reforçados com 60 kg/m3 de fibras e com ρw = 113. % - C90_60 - (Figura 4.27) é

semelhante ao desenvolvido pelos provetes de betão simples com ρw = 2 65. % - C38_00 -

(Figura 4.25). Isto significa que, no caso de ser necessário aplicar percentagem elevada de

cintas, o que pode prejudicar o processo de betonagem, estas podem ser parcialmente

substituídas por fibras, sem prejuízo da capacidade de retenção de rigidez do material.

Constata-se que a eficácia das cintas, para o fenómeno em análise, diminui com o aumento

da percentagem de fibras. Verifica-se que as séries C270 têm pior comportamento que as

C00. A ocorrência deste fenómeno poderá estar relacionada com os seguintes aspectos:

• nas séries C270 as cintas estão colocadas nas extremidades do provete (ver

Capítulo 3). Estas cintas têm um reduzido contributo em termos de

confinamento do betão, pelo que o confinamento é essencialmente garantido

pelos pratos da prensa nas séries C00 e C270;

• a existência da armadura longitudinal nas séries C270 favoreceu o descasque da

camada de recobrimento diminuindo o volume de betão resistente e, consequen-

temente, a rigidez do provete.

Capítulo 4

66

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_00

C270_00

C90_00

C38_00

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_30

C270_30

C90_30

C38_30

Figura 4.25 - Diagrama de degradação de rigidez de Ec0 para Qf = 00 kg/m3.


0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_60

C270_60

C90_60

C38_60

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_90

C270_90

C90_90

C38_90




67

4.3.2.3 Energia em compressão

A propriedade do material mais beneficiada pelo reforço das fibras é a capacidade de

absorção de energia registada após o pico de carga. Esta energia aumenta com a quantidade

de fibras [Bar95]. Neste trabalho definiu-se energia em compressão, Gc, como sendo a área

do diagrama σ-ε correspondente à envolvente monotónica. No Anexo I apresentam-se os

valores de Gc obtidos em todos os provetes ensaiados. Nas Figuras 4.29 a 4.36 apresenta-se

a evolução da energia em compressão, quer para valores crescentes da quantidade de

fibras, quer para percentagens crescentes de armadura transversal, para os diferentes

grupos de séries.

Nestes diagramas, figura também o valor do coeficiente de variação, associado ao cálculo

da energia em compressão. Este coeficiente é definido pelo cociente entre o desvio padrão

e a média, tendo-se utilizado, como amostra, os quatro provetes de cada série sujeitos a um

historial de descargas/recargas.

0

250

500

750

1000

1250

0 30 60 90

Quantidade de Fibras (kg/m3 de betão)

Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0.0

1.7

3.3

5.0

6.7

8.3

10.0

Coe

ficie

nte

de V

aria

ção

(%)

Média

Coef.Variação

0

250

500

750

1000

1250

0 30 60 90


Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0.0

5.0

10.0

15.0

Coe

ficie

nte

de V

aria

ção

(%)

Média

Coef. Variação

Figura 4.29 - Evolução da energia em compressão para ρw = 0.00 %.


Capítulo 4

68

0

250

500

750

1000

1250

0 30 60 90


Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0

2

4

6

8

10

Coe

ficie

nte

de V

aria

ção

(%)

Média

Coef.Variação

0

250

500

750

1000

1250

0 30 60 90


Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0

2

4

6

8

10

Coe

ficie

nte

de V

aria

ção

(%)

Média

Coef.Variação



0

250

500

750

1000

1250

0 1 2 3

Percentagem de Cintas, ρw (%)

Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0

4

8

12

16

20

Coeficiente de Variação (%

)

Média

Coef.Variação

0

250

500

750

1000

1250

0 1 2 3


Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0

4

8

12

16

20


)

Média

Coef.Variação

Figura 4.33 - Evolução da energia em compressão para Qf = 00 kg/m3.



69

0

250

500

750

1000

1250

0 1 2 3


Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0

3

6

9

12

15


)

Média

Coef.Variação

0

250

500

750

1000

1250

0 1 2 3


Ener

gia

em C

ompr

essã

o (k

N/m

m2 )

0

3

6

9

12

15


)

Média

Coef.Variação



A partir destes diagramas é possível concluir que, em geral, ocorre aumento da energia em

compressão com o aumento quer da quantidade de fibras, quer da percentagem de

armadura transversal.

Verifica-se que a lei de evolução da energia em compressão (para valores crescentes da

quantidade de fibras) não sofre variação significativa quando se consideram valores

crescentes de ρw. Situação idêntica é verificada para o caso da evolução da energia em

compressão para valores crescentes da percentagem de armadura transversal.

4.3.2.4 Tensão e extensão de pico e módulo de elasticidade inicial

A tensão e extensão de pico, assim como, o módulo de elasticidade são parâmetros de

extrema importância na caracterização do diagrama σ-ε. No entanto, a apresentação neste

capítulo de todos os diagramas obtidos iria conduzir a uma situação de pouco conforto na

explanação das ideias. Assim, optou-se por reportar todos os valores e diagramas para o

Anexo I e o Anexo II. Os valores da extensão de pico, εc1, tensão máxima, fcm, e módulo de

elasticidade inicial, Eci, encontram-se no Anexo I. No Anexo II apresentam-se os diagramas

de evolução destes três parâmetros com a quantidade de fibras e com a percentagem de

Capítulo 4

70

armadura transversal, para os diferentes grupos de séries. Refira-se, ainda, que os

parâmetros εc1, fcm e Eci de cada série apresentados no Anexo II, foram determinados com

base nas curvas σ-ε dos diferentes provetes de cada série (Anexo I) e não com base nas

curvas σ-ε representativas de cada série.

Da análise dos resultados obtidos, verifica-se que a extensão de pico sofre um ligeiro

aumento com a quantidade de fibras. Contudo, este aumento é muito mais pronunciado

com o aumento da percentagem de armadura transversal. É de referir que a lei de evolução

da extensão parece ser diferente quando existe ou não armadura transversal.

Mantendo-se constante ρw, a tensão máxima parece não sofrer alterações com o aumento

da quantidade de fibras. Verifica-se ainda que a tensão máxima aumenta com a

percentagem de armadura transversal.

Da análise dos resultados relativos ao módulo de elasticidade inicial, Eci, verifica-se que a

sua evolução não varia significativamente, quer com a quantidade de fibras, quer com a

quantidade de cintas.

4.4 Conclusões

Dos resultados obtidos nos ensaios cíclicos de compressão uniaxial, efectuados com

provetes cilíndricos de betão armado com fibras de aço, verificou-se que a capacidade de

absorção de energia foi a propriedade mais beneficiada com a adição de fibras ao betão. É

então possível concluir que a adição de fibras aumenta a ductilidade. O aumento de

ductilidade, propriedade de elevada importância do ponto de vista das acções sísmicas, é

traduzida num ramo de amolecimento de menor declive e, no aumento da extensão de pico.

Com o aumento da quantidade de fibras, verificou-se um ganho de rigidez dos ramos de

descarga/recarga, enquanto que a tensão de pico e o módulo de elasticidade inicial não

sofreram alterações significativas.


71

As curvas tensão-deformação registadas nos ensaios monotónicos com provetes de BRFA

correspondem às envolventes das curvas tensão-deformação obtidas nos ensaios cíclicos de

compressão uniaxial.

A introdução de armadura transversal (cintas) conduz a um aumento da tensão e extensão

de pico, da energia em compressão e da rigidez dos ramos de descarga/recarga.

Verificou-se, também, que o módulo de elasticidade inicial não varia significativamente

com o grau de confinamento dado pela armadura transversal.

Para finalizar, refere-se que é possível substituir, parcialmente, cintas por fibras, sem

prejuízo da capacidade de retenção de energia e de rigidez do material.

Capítulo 5

Programa Experimental

em Vigas

5.1 Introdução

Neste capítulo é descrito o programa experimental efectuado em vigas. Os principais

objectivos que presidiram à realização dos ensaios em vigas de betão armado reforçado

com fibras foram os seguintes:

• observar o comportamento sob o efeito de acções alternadas;

• obter resultados de modo a desenvolver e aferir um modelo numérico de análise

não linear material de pórticos sujeitos a acções cíclicas;

• avaliar o efeito das fibras no comportamento ao esforço transverso;

• determinar parâmetros indicadores do comportamento dos elementos de viga.

A caracterização do comportamento inelástico das estruturas pode ser efectuada através de

ensaios quase-estáticos, de ensaios pseudo-dinâmicos, ou ainda, de ensaios em mesa

sísmica.

Os ensaios quase-estáticos realizam-se, em geral, em peças individuais ou em pequenas

estruturas constituídas por um número reduzido de peças, encastradas num maciço ou

simplesmente apoiadas. Estas peças são sujeitas a um historial de cargas ou deslocamentos

cíclicos simples. Como vantagens deste tipo de ensaios, referem-se [Pip93]:

• a simplicidade do ensaio permitindo, por isso, realizar estudos à escala real;

• a realização do estudo com elevado detalhe do comportamento de zonas críticas

onde ocorre a dissipação de energia.

Capítulo 5

74

As principais limitações estão associadas:

• à não adequabilidade em extrapolar os resultados obtidos para estruturas mais

complexas;

• à diferença de velocidades de deformação que se verifica aquando da história de

deformações de um sismo;

• à não reprodução da história de deformações de um sismo, sendo a história de

deformações um parâmetro relevante no resultado final.

Os ensaios pseudo-dinâmicos constituem um método híbrido, tendo-se por objectivo a

caracterização da resposta a um acelerograma pré-definido. As forças de inércia e de

amortecimento são modeladas numericamente e, as forças de restituição são determinadas

a partir do modelo, por forma a satisfazer, em cada passo de integração, as equações de

equilíbrio dinâmico. Trata-se de um ensaio que decorre de uma forma quase-estática. Esta

via de realizar ensaios permite utilizar modelos à escala real. Contudo, o aparecimento de

erros numéricos e experimentais levanta alguns cuidados acrescidos [Gue97].

Nos ensaios em mesa sísmica, a estrutura ou sub-estrutura é sujeita a um acelerograma real

ou artificial. A reprodução das condições reais das solicitações faz com que se possa

afirmar que este tipo de ensaios é considerado como o mais representativo das

características de comportamento não linear das estruturas quando sujeitas a acções

sísmicas. Todavia, existem inconvenientes a realçar [Pro96]:

• o elevado custo deste tipo de ensaios;

• os problemas que surgem quando se pretende estabelecer a correspondência do

comportamento do modelo à escala reduzida com o comportamento da estrutura

real, por intermédio da teoria da semelhança;

• as limitações associadas às dimensões das mesas sísmicas, à capacidade, níveis

de força e potência hidráulica dos equipamentos de aplicação de movimento;

• dificuldades associadas à instrumentação.

Programa Experimental em Vigas

75

O Laboratório de Estruturas de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia da

Universidade do Porto dispõe de um pórtico metálico e de actuadores, permitindo a

realização de ensaios cíclicos, quase-estáticos em vigas simplesmente apoiadas.

Nas secções seguintes deste capítulo são referidos os aspectos fundamentais da realização

dos ensaios, tais como a configuração dos ensaios, a instrumentação, o sistema de

aquisição de dados e o sistema de ensaio. A apresentação dos resultados é feita de forma

detalhada para um modelo, seguindo-se uma apresentação sintética de todos os modelos.

Efectuaram-se comparações entre os diferentes modelos de modo a obter as principais

conclusões.

5.2 Configuração dos ensaios, instrumentação e aquisição

de dados

5.2.1 Configuração dos ensaios

O pórtico metálico autoportante utilizado nos ensaios quase-estáticos representado na

Figura 5.1 é constituído por um sistema de elementos metálicos (perfis HE180A), em que o

posicionamento dos elementos horizontais pode ser ajustado em função das dimensões do

elemento a ensaiar. Na Figura 5.2 apresenta-se uma fotografia do equipamento utilizado

nos ensaios.

Para realizar os ensaios foi necessário criar um dispositivo de fixação das vigas, por

intermédio de dois apoios extremos (com recurso a perfis INP120). A fixação da viga a

estes perfis foi feita por intermédio de duas chapas aparafusadas (ver pormenor na

Figura 5.3), existindo, entre as duas chapas, duas meias canas de 20 mm de raio que

estabeleciam o contacto directo com as vigas.

Capítulo 5

76

570

1500

2000

2010

HE180A

HE180A

HE1

80A

HE1

80A

Figura 5.1 - Alçado do pórtico utilizado nos ensaios em vigas.

Figura 5.2 - Fotografia ilustrativa do equipamento utilizado num ensaio.


77

A aplicação das cargas foi feita aos terços da viga, por intermédio de actuadores

hidráulicos (Enerpac) comandados por uma bomba hidráulica manual. Estes actuadores

apresentam um curso máximo de 70 mm. Na extremidade do êmbolo de cada actuador,

existe um dispositivo de rótula. A força proveniente do actuador era transferida para um

perfil INP100 que, por sua vez, transmitia a força à viga por intermédio de duas meias

canas (ver Figura 5.4).

Viga

INP1

2 0 Meias Canas

Figura 5.3 - Sistema de apoio utilizado para os carregamentos cíclicos.

Viga

Act

uado

rA

ctuado r

INP100

INP100

Capítulo 5

78

Figura 5.4 - Sistema de aplicação das cargas na viga.

A aplicação alternada das cargas, com uma única bomba hidráulica, foi realizada com

recurso a um sistema de válvulas que permitia fornecer a pressão ao actuador desejado,

mantendo o outro actuador inactivo. Saliente-se que só se aplicava pressão num actuador

quando o outro estivesse completamente descarregado e o êmbolo recolhido.

5.2.2 Instrumentação

A instrumentação das vigas foi efectuada usando transdutores de deslocamentos,

extensómetros de massa e células de carga.

Os transdutores de deslocamentos (LVDT’s - Linear Voltage Displacement Transducer) -

ver Figuras 5.5 e 5.7 - foram dispostos de forma a determinar os deslocamentos verticais

verificados ao longo do eixo da viga. Para tal, colocaram-se cinco LVDT’s afastados entre

si de 250 mm (Figura 5.5). Dois deles coincidiam com os pontos de aplicação das cargas e

um outro permitia medir os deslocamentos a meio vão. Os LVDT’s encontravam-se

ligados a uma barra de alumínio de secção transversal tubular, que por sua vez, se

encontrava apoiada na viga em dois pontos fixos. Este sistema evitava que fossem

registados deslocamentos parasitas, tais como a deformação do pórtico e o esmagamento

do betão sobre os apoios. Os LVDT’s em causa tinham um campo de leitura com uma

amplitude linear de ±25 mm.

2 5 0 2 5 0

LVD

T1

LVD

T 2

LVD

T 3

LVD

T4

LVD

T5

2 5 0 2 5 0 2 5 0 2 5 0

Figura 5.5 - Disposição dos LVDT’s ao longo da viga.


79

Para avaliar as extensões médias nas armaduras e calcular a curvatura, na secção de meio

vão, utilizaram-se dois extensómetros de massa (ver Figura 5.8), posicionados a meio do

vão da viga, da forma ilustrada na Figura 5.6. Estes aparelhos eram fixos à viga por

intermédio de uns suportes colados nas devidas posições. A distância entre pontos fixos

dum extensómetro de massa é de 100 mm e seu campo de leitura linear é de ± 4 mm.

100

135

Ext2

Ext1

Figura 5.6 - Disposição dos extensómetros de massa utilizados.

A força transmitida pelo actuador às vigas era medida por intermédio de uma célula de

carga com uma capacidade máxima de carga de 50 kN. A célula de carga era colocada

entre o actuador e a placa de fixação do actuador hidráulico ao pórtico (ver Figura 5.9).

Figura 5.7 - Transdutor eléctrico. Figura 5.8 - Extensómetro de massa.

Capítulo 5

80

Figura 5.9 - Célula de carga colocada entre o pórtico e o actuador.

5.2.3 Sistema de aquisição de dados

Para além das células de carga, dos transdutores de deslocamentos e dos extensómetros de

massa, o sistema de aquisição de dados é composto, sucintamente, pelas seguintes

unidades (Figura 5.10):

• micro-computador que inclui o software para conversão dos sinais analógicos

em valores digitais, apresenta-os no ecrã e arquiva-os em ficheiro;

• unidade de aquisição de dados, constituída por um Data Acquisition/Control

Unit HP3497A;

• caixas concentradoras para LVDT’s, células de carga e extensómetros de massa;

• fonte de alimentação.


81

Legenda: (1) Computador (2) Data Acquisition/

Control Unit HP3497A (3) Fonte de alimentação (4) Caixa concentradora

Figura 5.10 - Elementos pertencentes ao sistema de aquisição de dados.

5.3 Sistema do ensaio

5.3.1 Historial de deformações impostas

Não existindo normas que indiquem qual o procedimento a adoptar para este tipo de

ensaios, tem sido utilizada, na maioria das situações, como referência, a recomendação

proposta pelo ECCS [ECCS85] para ensaios cíclicos de subestruturas metálicas. Esta

recomendação propõe uma história convencional de deslocamentos impostos alternados,

expressos em termos do deslocamento de cedência, δy. Tais recomendações visam

constituir uma base de trabalho que permita a unificação e a comparação de resultados de

diferentes tipos estruturais, assim como, de resultados provenientes de diferentes

laboratórios. Refira-se que tal proposta não visa obter a resposta do comportamento de

elementos estruturais quando sujeitos a uma acção sísmica, mas antes obter a resposta a

cargas alternadas.

A aplicação da recomendação do ECCS a elementos de betão armado sofre algumas

alterações, de forma a ter em conta a especificidade deste compósito. Assim, a história de

Capítulo 5

82

deslocamentos proposta é constituída por conjuntos de três ciclos completos alternados e

simétricos com as seguintes amplitudes: 1 4 2 4 3 4 4 4 2 3, , , , , , ..., n de δy. É de salientar

que o recurso a repetições visa obter a estabilização quer da rigidez, quer da resistência.

Verifica-se que o número de repetições necessárias à estabilização aumenta com a redução

da relação de corte (shear ratio) [Gom92].

A partir da bibliografia consultada foi possível concluir que, na generalidade dos casos, a

paragem dos ensaios resulta do cumprimento de uma condição de rotura. Quando o modelo

exibe uma rotura frágil, a condição de rotura é inquestionável. No caso de uma rotura

dúctil, haverá então que definir uma rotura designada correntemente, na bibliografia da

especialidade, por rotura convencional. Segundo Proença [Pro96], esta rotura deverá

reflectir um compromisso entre a exploração do comportamento inelástico, considerações

de ordem económica e de segurança. Em geral, os critérios de rotura baseiam-se na

comparação da força de pico ocorrida no ciclo corrente, Fpico, com uma percentagem da

força máxima , Fmax, ou percentagem da força de cedência Fy [Gom92]:

F Fpico = ⋅08. max (5.1)

ou

F F ou Fpico y y= ⋅ ⋅10 0 75. . . (5.2)

Gomes [Gom92] procurou encontrar a forma de determinar δy em pilares de betão armado.

Obteve resultados concordantes recorrendo a um dos seguintes três processos:

i. por extrapolação, prolongando a recta secante ao diagrama monotónico, nos

pontos F Fy= ⋅0 6. e F Fy= ⋅0 75. , até atingir Fy (calculado analiticamente);

ii. impondo deslocamentos até se atingir Fy (calculado analiticamente);

iii. por controlo da deformação instalada no extensómetro situado na armadura mais

traccionada (calculado experimentalmente).


83

Neste trabalho, face às limitações existentes ao nível do equipamento optou-se por utilizar

a segunda via. Para tal, recorreu-se a um programa numérico que permite determinar a

resposta de uma secção de betão armado reforçado com fibras de aço para uma história de

curvaturas crescentes, com esforço axial associado, desenvolvido por Barros [Bar98].

Considerou-se, para a simulação numérica, uma viga com 60 kg/m3 de fibras. Refira-se que

a percentagem de armadura transversal não foi tida em conta, dado que o modelo apenas

contém leis de betão não confinado. Obteve-se para deslocamento a meio vão da viga no

momento de entrada em cedência da armadura, δy, o valor de 6.25 mm. Como foi possível

constatar, este valor aproximou-se com rigor suficiente dos valores registados

experimentalmente. Na Figura 5.11 ilustra-se o diagrama de deslocamentos impostos a

todas as vigas ensaiadas. Antes de δy, criou-se um conjunto de 3 ciclos suplementares,

tendo em vista observar o comportamento na fase que antecede a fendilhação. É possível

verificar que só existem três ciclos com deformação imposta superior a δy. A razão desta

decisão deve-se a:

• por um lado verificou-se em ensaios realizados no âmbito de outros trabalhos de

investigação, uma certa instabilização por parte do sistema de actuação das

cargas quando alcançadas cargas de elevado valor. Não sendo possível criar um

sistema de contraventamento da viga na direcção perpendicular àquela onde

actuam as cargas optou-se, por razões de segurança, não atingir deformações

muito elevadas;

• por outro lado, o próprio campo de medida linear dos LVDT’s não permitia

atingir valores de deslocamentos muito mais elevados do que os propostos, a fim

não serem registadas leituras no domínio não linear dos LVDT’s e,

principalmente, de não os danificar.

Neste trabalho o ensaio era terminado quando:

i. toda a lei de deformações era executada;

ii. ocorria rotura frágil.

Capítulo 5

84

-25.0

-20.0

-15.0

-10.0

-5.0

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclo

Des

loca

men

to

|Deslocamento|

(mm)

1 a 6 0.50

7 a 12 1.56

13 a 18 3.13

19 a 24 4.69

25 a 30 6.25

31 a 36 18.75

Semi-ciclo

δ +

−δ

Figura 5.11 - Lei de deslocamentos impostos às vigas ensaiadas.

5.3.2 Procedimento do ensaio

Na véspera da realização do ensaio era necessário efectuar diversas tarefas prelimilares

sobre a viga, nomeadamente:

i. limpeza da viga;

ii. marcação da viga. Nesta fase realizava-se a marcação do posicionamento dos

elementos necessários à fixação dos extensómetros, dos apoios da barra metálica

que suporta os LVDT’s e da furação para a colocação dos dispositivos

necessários para que os LVDT’s pudessem registar os deslocamentos;

iii. furação da viga;

iv. colagem e aparafusamento de todos os elementos;

v. pintura da viga de forma a que fosse possível detectar a fendilhação;

vi. nas zonas da aplicação das cargas e nos apoios eram introduzidas chapas de

chumbo, com o objectivo de evitar o esmagamento localizado do betão;


85

vii.por último, a viga era colocada no pórtico, fixada e instrumentada.

O ensaio era iniciado com o sistema totalmente descarregado. A carga era aplicada de uma

forma quase-estática, procurando-se alcançar o deslocamento máximo de cada semi-ciclo.

Convencionou-se que os deslocamentos verticais descendentes em relação ao eixo da viga

eram positivos (ver Figura 5.11). Por vezes excedeu-se o deslocamento previsto, devido ao

facto de ser difícil cumprir com rigor a lei de deslocamentos pretendida, quando se utiliza

um sistema manual de aplicação da carga, enquanto que, noutros casos o deslocamento

ficava ligeiramente aquém. O controlo do deslocamento era feito com recurso ao software

gráfico e numérico existente no computador que permitia saber “on-line” todos os

resultados nos aparelhos de medida. Verificou-se que o tempo de varrimento para a leitura

dos aparelhos rondava os três segundos, período durante o qual não se aplicava qualquer

carga à estrutura. A duração do ensaio era de cerca de 3 horas. O ensaio era finalizado

quando se verificava uma das duas condições enumeradas em 5.3.1.

O critério adoptado para descrever o diagrama histerético procurou sempre estabelecer, tal

como nos ensaios dos provetes cilíndricos, um compromisso entre a qualidade do diagrama

e o número de leituras. O número de leituras era definido em função do deslocamento

máximo para cada semi-ciclo, de forma a obter-se um número suficiente que possibilitasse

reproduzir o comportamento de cada semi-ciclo.

Capítulo 5

86

5.4 Apresentação dos resultados

Do programa experimental obteve-se um elevado volume de informação. Nestas

circunstâncias, as possibilidades de combinação são praticamente ilimitadas sendo, por

isso, necessário adoptar um critério consistente de apresentação dos resultados. Este deverá

pôr em evidência os aspectos mais relevantes de cada modelo e permitir comparar os

diversos modelos.

O processamento da informação poderá ser resultado quer das medições directas, quer das

medições indirectas. As primeiras surgem directamente a partir da instrumentação: forças,

deslocamentos e extensões, sendo as segundas obtidas a partir das primeiras com recurso a

expressões algébricas. São exemplo de medições indirectas a energia dissipada, a

ductilidade e os níveis de dano.

5.4.1 Apresentação detalhada de um modelo

A título ilustrativo faz-se uma apresentação exaustiva dos resultados obtidos num dos

modelos ensaiados, o modelo V2_75_30 (2ª viga reforçada com estribos afastados de

75 mm e com 30 kg/m3 de fibras), ilustrando-se na Figura 5.12 a evolução da fendilhação

ao longo do ensaio. Observou-se que a fendilhação iniciou-se nos semi-ciclos 7 e 8 para o

deslocamento positivo ( δ f+ ) e para o deslocamento negativo ( δ f

− ), respectivamente. A

cedência ocorreu nos semi-ciclos 31 e 32 para δy+ e δy

− , respectivamente, verificando-se

que a rotura convencional foi dúctil. Até ao semi-ciclo 19 as principais fendas eram de

flexão. A partir daí surgiram fendas de corte, sem terem contudo assumido

desenvolvimento significativo.

Na Figura 5.13 representa-se a lei dos deslocamentos verticais impostos a meio vão e, na

Figura 5.14 a força medida, em função do semiciclo. Da Figura 5.15 à Figura 5.20

apresentam-se gráficos relacionando as grandezas anteriores para níveis de deformação


87

crescente. Estes diagramas foram designados por diagramas força-deslocamento (F-δ),

resumindo-se no Quadro 5.1 os pontos notáveis.

Semi-ciclo: 1

Semi-ciclo: 7

Semi-ciclo: 8

Semi-ciclo: 12

Semi-ciclo: 13

Semi-ciclo: 14

Semi-ciclo: 18

Semi-ciclo: 19

Semi-ciclo: 20

Semi-ciclo: 24

Capítulo 5

88

Semi-ciclo: 25

Semi-ciclo: 26

Semi-ciclo: 31

Semi-ciclo: 32

Figura 5.12 - Evolução da fendilhação ao longo do ensaio da viga V2_75_30.

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Des

loca

men

tos

(mm

)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Forç

as (k

N)

Figura 5.13 - Lei de deslocamentos impostos. Figura 5.14 - Lei de forças medidas.

Para o primeiro nível de deformação (Figura 5.15) observa-se que o comportamento é

praticamente linear. Após a fendilhação (Figura 5.16) a rigidez diminui. Nos restantes

níveis de deformação a rigidez mantém-se quase inalterável. A cedência da armadura

(Figura 5.20) conduz a uma alteração significativa da rigidez.


89

-10

-7.5

-5

-2.5

0

2.5

5

7.5

10

-1.0 -0.8 -0.5 -0.3 0.0 0.3 0.5 0.8 1.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

O - Fendilhação

Figura 5.15 - Diagrama F-δ para o 1º nível de

deformação imposta (semi-ciclo 1 ao 6). Figura 5.16 - Diagrama F-δ para o 2º nível de

deformação imposta (semi-ciclo 7 ao 12).

-30.0

-22.5

-15.0

-7.5

0.0

7.5

15.0

22.5

30.0

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

-6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)




-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

- Plastificação da armadura∗ - Rotura da viga




Capítulo 5

90

Quadro 5.1 - Pontos notáveis no diagrama força-deslocamento.

Nível de dano Semi-ciclo δ+(mm) F+(kN) Semi-ciclo δ-(mm) F-(kN)

Fendilhação 7 0.63 8.88 8 -0.40 -7.00

Cedência 31 8.10 37.05 32 -4.10 -36.15

Força Máxima 31 17.49 38.75 26 -6.38 -37.35

O diagrama de extensões ao nível da armadura superior e inferior representa-se na

Figura 5.21. É possível observar que após a cedência da armadura longitudinal obtêm-se

extensões médias da ordem dos 5.25×10-3. Na Figura 5.22 é apresentado o diagrama

momento/curvatura para a secção de meio vão. Para definição deste diagrama utilizou-se

os registos das referidas extensões e a carga aplicada.

-6

-3

0

3

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)

Extensão ao nível da armadura inferiror

Extensão ao nível da armadura superior

-10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

7.5

10.0

-0.075 -0.050 -0.025 0.000 0.025 0.050 0.075

Curvatura (1/mm)

Mom

ento

(kN

m)

Figura 5.21 - Diagrama de extensões no betão.

Figura 5.22 - Diagrama momento-curvatura.

A caracterização e interpretação do comportamento de uma estrutura sob acções cíclicas é

correntemente efectuada por intermédio de parâmetros apropriados, sendo os mais

utilizados a ductilidade e a capacidade de dissipação de energia. É também corrente

utilizarem-se indicadores para caracterizar, num dado instante do carregamento, o nível de

dano e de capacidade de resposta a futuras acções. Um bom indicador deverá ser simples,


91

devendo incluir o menor número possível de variáveis [Gom92]. Alguns dos indicadores

da qualidade do comportamento e nível de danos, são [Gom92]:

• ductilidade em termos de deslocamentos ou curvaturas;

• energia total (muitas vezes designada por energia dissipada);

• energia dissipada normalizada;

• rotação acumulada normalizada;

• índice normalizado de dissipação de energia;

• índice de danos.

Neste trabalho utilizaram-se os dois seguintes indicadores: energia total e ductilidade. A

energia total permite ter em consideração o efeito da repetição de ciclos de igual

amplitude. Contudo, este indicador não permite representar de forma explícita a

importância do nível de deformação imposta. A energia total pode ser determinada por

intermédio do diagrama histerético força-deslocamento, como se ilustra na

Figura 5.23 [Var95].

Forç

a G

ene r

aliz

ada

Deslocamento Generalizado

Energia total dissipada por histerese

Energia recuperável por deformação elástica

Deslocamento Acumulado

Ener

gia

Tota

l

ou Semi-ciclo

A

B

A

B Energia total dissipada por histerese

Energia Total

Figura 5.23 - Definição de energia total.

Capítulo 5

92

É possível realizar diversas combinações para obter diagramas envolvendo a energia total

acumulada. As mais correntes são aquelas que consideram em abcissas deslocamentos

acumulados ou semi-ciclos. Na Figura 5.24 e Figura 5.25 são expostas as duas situações.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Ener

gia

(kN

m)

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500

Deslocamentos Acumulados (mm)

Ener

gia

(kN

m)

Figura 5.24 - Diagrama de energia total em função de semi-ciclos.

Figura 5.25 - Diagrama de energia total em função do deslocamento acumulado.

Definiu-se coeficiente de ductilidade, µδ, em termos de deslocamentos a meio vão, a partir

das expressões:

µδδδ =

+

+i

y (5.3)

e

µδδδ =

−

−i

y, (5.4)

sendo δ i o deslocamento máximo atingido no semi-ciclo de ordem i e δy o deslocamento

de cedência em correspondência com o sentido de δ i . Nas Figuras 5.26 e 5.27 apresentam-

-se diagramas de ductilidade em função de semi-ciclos e deslocamentos acumulados,

respectivamente. Obteve-se na rotura convencional uma energia dissipada de 4000 kNm e

uma ductilidade de 5.2.


93

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-Ciclos

Duc

tilid

ade

0

1

2

3

4

5

6

0 100 200 300 400 500

Deslocamentos Acumulados (mm)D

uctil

idad

e

Figura 5.26 - Diagrama de ductilidade em função de semi-ciclos.

Figura 5.27 - Diagrama de ductilidade em função do deslocamento acumulado.

Neste caso, verifica-se que os diagramas relativos a ductilidade apresentam-se com uma

espécie de “dentes”, devido aos deslocamentos δy+ e δy

− serem muito diferentes, para a

viga em causa.

5.4.2 Apresentação sintetizada dos resultados referentes a todos os modelos

Durante o decorrer de todos os ensaios foi possível constatar alguns aspectos que se

consideraram relevantes, nomeadamente:

• a rotura dos modelos foi por corte, por flexão e por flexão-corte. A rotura frágil

por corte ocorreu apenas nas vigas V1_750_00, V2_750_00 e V2_750_30. A

rotura por flexão desenvolveu-se nas vigas em que apenas houve plastificação

da armadura longitudinal. O modo de rotura flexão-corte ocorreu nas vigas em

que houve, numa fase inicial, a cedência das armaduras longitudinais, após a

qual, se seguiu o desenvolvimento de fendas de corte que conduziram à rotura

por corte do modelo. No Quadro 5.2 descrimina-se o tipo de rotura que ocorreu

em cada modelo;

Capítulo 5

94

• com o aumento da quantidade de fibras, a fendilhação tornava-se mais densa.

Este fenómeno está relacionado com o facto das fibras constituírem um reforço

mais homogéneo promovendo uma maior redistribuição de esforços e uma

melhor distribuição das fendas;

• a fendilhação iniciou-se sempre devido a esforços de flexão. Para níveis de

deformação superiores, a fendilhação intensificou-se quer em quantidade, quer

em profundidade. Após a entrada em cedência da armadura, a fendilhação

passou a concentrar-se na zona da plastificação da armadura, entrando as

restantes fendas em descarga. Por vezes, verificou-se a “rotação” das fendas de

corte;

• as fendas de flexão concentraram-se, preponderantemente, na zona de esforço

transverso nulo - flexão pura - entre pontos de aplicação da carga, sendo nessa

zona que se deu a cedência da armadura;

• as fendas de corte apareceram nas zonas compreendidas entre os pontos de

aplicação da carga e os apoios, zona essa onde se deu a rotura das vigas que

romperam por corte;

• as vigas em que ocorreu rotura frágil (por corte), reforçadas com maior

quantidade de fibras, romperam de uma forma mais dúctil. É de sublinhar que,

para as vigas V750 sem fibras, a rotura deu-se sem aviso prévio. Nas vigas do

mesmo grupo, mas com fibras, foi sempre possível visualizar a formação do

mecanismo de rotura;

• em alguns casos constatou-se o destaque do betão de recobrimento.

Os diagramas força-deslocamento a meio vão dos modelos ensaiados, as leituras nos

extensómetros de massa, os diagramas de energia total e os diagramas de ductilidade são

apresentados no Anexo III.


95

Quadro 5.2 - Modo de rotura dos modelos ensaiados.

Viga Modo de Rotura A história de deslocamentos foi percorrida na totalidade

V1_750_00 Corte NãoV2_750_00 Corte NãoV1_750_30 Flexão/Corte (1) NãoV2_750_30 Corte NãoV1_750_60 Flexão/Corte NãoV2_750_60 Flexão/Corte NãoV1_750_90 Flexão/Corte NãoV2_750_90 Flexão/Corte NãoV1_150_00 Flexão/Corte (1) NãoV2_150_00 Flexão/Corte (1) NãoV1_150_30 Flexão/Corte NãoV2_150_30 Flexão/Corte NãoV1_150_60 Flexão/Corte NãoV2_150_60 Flexão/Corte NãoV1_150_90 Flexão/Corte NãoV2_150_90 Flexão/Corte NãoV1_75_00 Flexão/Corte NãoV2_75_00 Flexão/Corte NãoV1_75_30 Flexão SimV2_75_30 Flexão SimV1_75_60 Flexão SimV2_75_60 Flexão SimV1_75_90 Flexão SimV2_75_90 Flexão Sim

(1) Nestas vigas a cedência da armadura deu-se apenas numa das faces.

Neste Anexo não figuram os resultados dos modelos V1_150_90 e V2_75_00, porque no

decorrer destes ensaios, o sistema de suporte dos LVDT’s descolou-se da viga,

inviabilizando a extracção de resultados. Na viga V1_75_90 só figuram valores a partir do

semi-ciclo 18 dado que, no decorrer do ensaio deste modelo, houve falha de energia

eléctrica, tendo o ficheiro de resultados ficado parcialmente danificado. Da análise dos

resultados apresentados no Anexo III verifica-se que algumas das vigas pertencentes às

séries V150 apresentam resultados em que a história de deslocamentos afastou-se da pré-

-definida. Na realidade este grupo de séries foi o primeiro a ser ensaiado e dado não ter

sido possível efectuar testes preparatórios, os ensaios destas séries serviram também para

afinar os procedimentos de ensaio.

Capítulo 5

96

A partir dos diagramas de força-deslocamento (F-δ) é possível, desde já, retirar algumas

conclusões:

• o efeito de Pinching é pouco pronunciado;

• na generalidade dos casos verificou-se uma menor capacidade de dissipação de

energia para forças ascendentes (no diagrama F-δ, negativas). A principal razão

tem a ver com a forma da betonagem dos modelos (ver Capítulo 3): as vigas

ensaiadas foram sempre colocadas com a face não cofrada voltada para cima. A

vibração promoveu uma maior concentração de fibras na zona inferior da viga,

pelo que é de esperar uma maior capacidade de carga e de dissipação de energia

para cargas descendentes.

Nos Quadros 5.3, 5.4 e 5.5 apresentam-se os pontos notáveis dos diagramas F-δ, isto é, os

pontos referentes ao deslocamento e correspondente força associada ao início da

fendilhação, da cedência e força máxima. Para a determinação da força e do deslocamento

correspondente à fendilhação utilizou-se o critério ilustrado na Figura 5.28. O ponto

correspondente à cedência foi lido directamente no diagrama F-δ, pois neste ponto

verifica-se uma alteração brusca de rigidez, resultante da plastificação das armaduras

longitudinais. O ponto de Fmax corresponde ao maior valor de força lida no diagrama F-δ.

Qualquer destes procedimentos foi efectuado para os dois sentidos do carregamento.

Ponto deFendilhação

F

δ

Figura 5.28 - Metodologia utilizada para a determinação do ponto de fendilhação.


97

Quadro 5.3 - Valores relativos à fendilhação.

Viga Semi-ciclo δ+ (mm) F+ (kN) Semi-ciclo δ− (mm) F− (kN)

V1_750_00 7 0.63 8.75 8 -0.63 -8.75V2_750_00 7 0.63 8.75 8 -0.38 -7.50V1_750_30 7 0.63 8.80 8 -0.40 -8.00V2_750_30 7 0.63 9.00 8 -0.40 -7.50V1_750_60 7 0.75 9.00 8 -0.63 -9.00V2_750_60 7 0.62 9.00 8 -0.50 -7.00V1_750_90 7 0.75 9.00 8 -0.50 -7.60V2_750_90 7 0.63 8.75 8 -0.47 8.70V1_150_00 7 0.60 8.75 8 -0.50 -7.50V2_150_00 7 0.63 9.00 8 -0.40 -6.00V1_150_30 7 0.76 9.00 8 -0.51 -8.80V2_150_30 7 0.60 9.00 8 -0.40 -8.00V1_150_60 7 0.60 9.00 8 -0.40 -8.00V2_150_60 7 0.61 9.50 8 -0.39 -8.00V1_150_90V2_150_90 7 0.62 8.75 8 -0.40 -7.40V1_75_00 7 0.63 8.75 8 -0.51 -8.70V2_75_00V1_75_30 7 0.63 8.60 8 -0.40 7.70V2_75_30 7 0.63 8.80 8 -0.38 -7.00V1_75_60 7 0.61 8.75 8 -0.50 -7.50V2_75_60 7 0.63 10.00 8 -0.40 -7.50V1_75_90V2_75_90 7 0.63 8.90 8 -0.38 -7.20

Quadro 5.4 - Valores relativos à cedência.


V1_750_00V2_750_00V1_750_30 31 6.23 35.98V2_750_30V1_750_60 31 6.71 37.99 32 -7.24 -34.99V2_750_60 31 6.59 38.38 32 -6.54 -36.52V1_750_90 31 6.89 39.65 32 -7.68 -37.63V2_750_90 31 7.37 40.68 32 -7.19 -37.99V1_150_00 25 5.55 34.33V2_150_00 31 7.07 35.70V1_150_30 31 6.58 36.51 32 -6.44 -38.49V2_150_30 25 5.58 36.70 32 -5.06 -37.07V1_150_60 31 7.28 34.07 34 -9.35 -35.49V2_150_60 25 4.89 34.93 26 -5.32 -35.59V1_150_90V2_150_90 31 7.72 38.56 32 -4.56 -34.28V1_75_00 25 5.87 34.83 26 -6.26 -34.66V2_75_00V1_75_30 27 6.25 35.43 26 -6.12 -38.22V2_75_30 31 8.10 37.05 32 -4.10 -36.15V1_75_60 25 5.91 36.77 26 -5.16 -37.24V2_75_60 25 5.32 36.26 26 -5.36 -35.70V1_75_90 31 6.52 37.28 26 -6.52 -38.78V2_75_90 31 6.52 38.96 32 -4.87 -37.12

(1)(1)

(1)(1)

(1)

(1)(1)(1)(1)

Capítulo 5

98

Quadro 5.5 - Valores relativos à força máxima.


V1_750_00 19 4.68 29.18 20 -4.99 -27.77V2_750_00 19 4.63 29.14 20 -4.60 -29.38V1_750_30 31 16.14 38.83 26 -6.92 -36.79V2_750_30 25 6.12 37.44 26 -6.71 -37.78V1_750_60 31 12.51 40.44 32 -13.27 -36.42V2_750_60 31 11.63 41.18 32 -12.76 -37.68V1_750_90 35 13.98 40.43 34 -15.36 -38.22V2_750_90 31 7.37 40.68 32 -9.16 -39.27V1_150_00 31 12.43 36.24 25 -6.37 -36.89V2_150_00 31 14.95 36.78 28 -6.53 -34.94V1_150_30 33 15.56 39.88 32 -6.44 -38.49V2_150_30 37 21.54 41.45 32 -9.91 -39.30V1_150_60 25 6.62 37.28 34 -12.76 -38.29V2_150_60 37 17.79 37.75 38 -23.22 -37.62V1_150_90V2_150_90 33 14.86 40.21 26 -6.89 -39.58V1_75_00 31 16.45 36.89 26 -6.26 -34.66V2_75_00V1_75_30 33 12.35 38.17 26 -6.69 -38.59V2_75_30 31 17.49 38.75 26 -6.38 -37.35V1_75_60 37 23.97 39.57 26 -7.04 -39.56V2_75_60 31 17.28 40.34 32 -18.05 -38.45V1_75_90 31 13.52 41.79 32 -15.61 -40.16V2_75_90 31 17.65 42.97 34 -19.99 -39.32

A observação (1) assinalada no Quadro 5.4 pretende indicar que a armadura longitudinal dessas vigas não

chegou a plastificar.

Em termos gerais, a análise do Quadro 5.3 permite concluir que os valores do

deslocamento correspondente à carga de fendilhação apresentaram alguma dispersão. O

mesmo ocorre para os deslocamentos correspondentes à carga de cedência (Quadro 5.4).

Contudo, o valor médio do deslocamento de cedência aproxima-se do valor estimado.

Relativamente à carga máxima, esta cresceu na relação directa com a quantidade de fibras.

Verificou-se que o maior valor ocorria, na generalidade do casos, para forças

descendentes. A justificação deste fenómeno tem a ver com o sentido da betonagem (como

já foi referido anteriormente). Pode ainda concluir-se que a adição de fibras melhora

significativamente a resistência ao esforço transverso, permitindo que a rotura ocorra por

plastificação da armadura, impedindo, por conseguinte, uma anticipação da carga última

devido à rotura por corte.


99

No intuito de permitir uma melhor compreensão dos quadros elaborados relativos aos

pontos notáveis, elaboraram-se diagramas que procuraram traduzir a evolução do

comportamento das vigas com o aumento da quantidade de fibras. Assim, para quantidades

de fibras crescentes apresentam-se os diagramas de evolução da força de fendilhação, de

cedência e força máxima (somente para forças positivas), nas Figuras 5.29, 5.30 e 5.31,

respectivamente.

ρω (%)

6

8

9

11

12

0 30 60 90

Quantidade de Fibras (kg/m3)

Forç

a de

Fen

dilh

ação

(kN

)

0.04 0.21 0.42

Figura 5.29 - Diagrama de evolução da carga de fendilhação com a quantidade de fibras.

A Figura 5.29 permite concluir que a carga de fendilhação se mantém relativamente

insensível à quantidade de fibras e percentagem de armadura de esforço transverso

utilizadas. Nas vigas com 60 kg/m3 de fibras ocorre uma dispersão significativamente

superior à registada nas restantes vigas.

Capítulo 5

100

ρω (%)

20

30

40

50

0 30 60 90


Forç

a C

edên

cia

(kN

)

0.04 0.21 0.42

Figura 5.30 - Diagrama de evolução da carga de cedência com a quantidade de fibras.

ρω (%)

20

30

40

50

0 30 60 90


Forç

a M

áxim

a (k

N)

0.04 0.21 0.42

Figura 5.31 - Diagrama de evolução da carga máxima com a quantidade de fibras.

Observando os gráficos relativos à força de cedência e carga última, constata-se que estas

crescem com o aumento da quantidade de fibras, contudo, não apresentando um

crescimento linear com o aumento da quantidade de armadura transversal.

Em algumas vigas ensaiadas, os extensómetros de massa acabaram por descolar da viga,

inviabilizando a leitura dos seus valores. No Anexo III figuram todos os resultados que


101

foram possíveis extrair dos extensómetros de massa. Face à ausência destes valores optou-

-se por não descrever os ensaios em termos de diagramas momento-curvatura.

Para determinar a energia dissipada a partir do diagrama de energia total procurou

localizar-se o último ponto correspondente à situação em que o sistema estava

completamente descarregado. Nas vigas onde a história de deslocamentos foi

integralmente percorrida, o referido ponto coincidiu com o final do ensaio. Nos modelos

que romperam por corte, não cumprindo integralmente a história de deslocamentos

definida, o ponto considerado foi o do último semi-ciclo completo.

A determinação dos diagramas de ductilidade processou-se da forma descrita na

secção 5.4.1. Contudo, para as vigas em que não ocorreu plastificação da armadura foi

necessário definir um critério para determinar o valor de δy. O critério adoptado para o

cálculo de δy corresponde ao deslocamento médio de cedência (em correspondência com o

sentido de aplicação da carga) de todas as vigas com a mesma quantidade de fibras, em que

a armadura plastificou. No Quadro 5.6 apresentam-se os valores máximos de energia

dissipada e ductilidade.

Quadro 5.6 - Valores máximos de energia dissipada e ductilidade.

Viga Energia (kNm) µmax

V1_750_00 172 0.8V2_750_00 191 0.8V1_750_30 760 2.8V2_750_30 347 1.8V1_750_60 2797 3.6V2_750_60 3099 4.0V1_750_90 1566 2.1V2_750_90 531 1.3V1_150_00 716 2.7V2_150_00 293 2.7V1_150_30 4123 3.2V2_150_30 1823 3.9V1_150_60 1970 2.1V2_150_60 3883 4.4V1_150_90V2_150_90 3383 5.3V1_75_00 977 3.5V2_75_00V1_75_30 3621 3.3V2_75_30 3990 5.1V1_75_60 3125 4.1V2_75_60 2071 4.2V1_75_90V2_75_90 4583 5.7

Capítulo 5

102

A partir do Quadro 5.6 é possível concluir que, de um modo geral, a adição de fibras aos

modelos ensaiados favoreceu, significativamente, o comportamento destes sob acções

cíclicas, aumentando os valores da energia dissipada e da ductilidade.

No entanto, os resultados relativos à ductilidade e energia dissipada apresentam uma certa

dispersão, dificultando a extracção de um maior número de conclusões. Esta dispersão

poderá estar associada ao facto da história de deslocamentos aplicados não ter sido

perfeitamente igual em todas as vigas, aos modos de rotura terem sido distintos e à

distribuição não homogénea das fibras.

No sentido de minimizar este inconveniente, na secção seguinte, procedeu-se, a uma

análise comparativa dos resultados baseada num sub-conjunto de resultados em que se

seleccionou para cada caso a viga mais representativa.

5.4.3 Análise comparativa dos resultados

Com o objectivo de comparar a eficiência do reforço proporcionado pela armadura

transversal e pelas fibras, houve necessidade de seleccionar uma das duas vigas de cada

série. Esta selecção justifica-se dado que nem sempre existiam resultados de ambas as

vigas, a história de deslocamentos não coincidia, e os resultados existentes nem sempre

eram completos, o que inviabilizou a criação da “viga média” de cada série. Assim, foi

necessário definir o ensaio representativo de cada série segundo o seguinte critério:

i. o comportamento global do ensaio foi assegurado;

ii. não houve instabilidade lateral;

iii. a leitura efectuada pelos LVDT’s decorreu normalmente;

iv. os extensómetros de massa não descolaram.

Com base nestes critérios consideraram-se as vigas indicadas no Quadro 5.7.

Quadro 5.7 - Vigas representativas de cada série.


103

Qf (kg/m3) ρw = 0.04 % ρw = 0.21 % ρw = 0.42 %

0 V1_750_00 V1_150_00 V1_75_00

30 V2_750_30 V1_150_30 V2_75_30

60 V2_750_60 V2_150_60 V1_75_60

90 V1_750_90 V2_150_90 V2_75_90

Assim, da Figura 5.32 à Figura 5.34 apresentam-se os diagramas de energia total para valor

constante de afastamento entre estribos. Da Figura 5.35 à Figura 5.38 apresentam-se os

diagramas de energia total para valor constante da quantidade de fibras.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500Deslocamentos Acumulados (mm)

Ener

gia

(kN

m)

V1_750_00

V2_750_30

V2_750_60

V1_750_90

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

V1_150_00

V1_150_30

V2_150_60

V2_150_90

Figura 5.32 - Diagrama de energia total para

as vigas com ρw = 0.04 %. Figura 5.33 - Diagrama de energia total para

as vigas com ρw = 0.21 %.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

V1_75_00

V2_75_30

V1_75_60

V2_75_90

Figura 5.34 - Diagrama de energia total para as vigas com ρw = 0.42 %.

Capítulo 5

104

0

1000

2000

3000

4000

5000


Ener

gia

(kN

m)

V1_750_00

V1_150_00

V1_75_00

0

1000

2000

3000

4000

5000


Ener

gia

(kN

m)

V2_750_30

V1_150_30

V2_75_30

Figura 5.35 - Diagrama de energia total para as vigas com Qf = 0 kg/m3.


0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

V2_750_60

V2_150_60

V1_75_60

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

V1_750_90

V2_150_90

V2_75_90



A partir dos gráficos anteriores verifica-se que, em geral, com o aumento da quantidade de

fibras a energia dissipada aumenta. É possível observar que os modelos sem fibras

evidenciaram uma capacidade de absorção de energia diminuta, resultante da antecipação

da carga de rotura por corte. Algumas vigas reforçadas com 60 kg/m3 de fibras,

apresentam, numa fase inicial, uma menor capacidade de dissipação de energia

(comparativamente com os restantes modelos). Contudo, para níveis de deformação

superiores acabam por recuperar esse “atraso”. As vigas com Qf = 90 kg/m3 são as que têm


105

melhor capacidade de absorção de energia, sendo esta, significativamente superior às vigas

sem fibras. Conclui-se ainda que, com o aumento da percentagem de armadura de esforço

transverso (estribos), os modelos têm maior capacidade de dissipação de energia. Por

último será de referir que o modelo V1_75_00 teve pior comportamento que os modelos

V2_750_60 e V1_750_90, o que revela que as fibras têm boa capacidade de absorção do

esforço transverso. Nas Figuras 5.39 à 5.45 apresentam-se diagramas de ductilidade.

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

V1_750_00

V2_750_30

V2_750_60

V1_750_90

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

V1_150_00

V1_150_30

V2_150_60

V2_150_90

Figura 5.39 - Diagrama de ductilidade para as vigas com ρw = 0.04 %.


0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

V1_75_00

V2_75_30

V1_75_60

V2_75_90


Capítulo 5

106

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

V1_750_00

V1_150_00

V1_75_00

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

V2_750_30

V1_150_30

V2_75_30

Figura 5.42 - Diagrama de ductilidade para as vigas com Qf = 0 kg/m3.


0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

V2_750_60

V2_150_60

V1_75_60

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

V1_750_90

V2_150_90

V2_75_90



Com o aumento da quantidade de fibras os valores de ductilidade crescem, observando-se

que os maiores níveis de ductilidade são conseguidos para os modelos com Qf = 90 kg/m3.

Verifica-se que o aumento da percentagem de estribos conduz, igualmente, a modelos com

maior ductilidade.


107

Particularmente notório é o facto de, para a mesma quantidade de armadura transversal, os

modelos sem fibras apresentarem menos de metade da ductilidade dos modelos com

Qf = 90 kg/m3.

5.5 Conclusões

Neste capítulo foi descrito o estudo experimental efectuado em modelos de viga sujeitas a

cargas alternadas, reforçadas com diferentes quantidades de fibras e armadura transversal.

Em termos gerais, verificou-se que a adição de fibras permite aumentar a capacidade

última das vigas, assim como, o valor da carga que conduz à plastificação da armadura.

Com o aumento da quantidade de fibras e de estribos obtêm-se modelos mais dissipativos e

com ductilidade superior.

A partir destes ensaios concluiu-se que as fibras apresentam grande capacidade de

absorção ao esforço transverso. Verifica-se que é possível fazer uma substituição parcial

da armadura de esforço transverso por fibras de aço. A questão que reside é saber se o

emprego do BARF aplicado a estruturas porticadas é económico. Este tema merece um

plano de investigação abrangendo os domínios envolvidos.

Capítulo 6

Modelação Numérica

6.1 Introdução A modelação numérica de uma estrutura submetida a acções sísmicas passa pela

consideração dos seguintes três modelos distintos: os modelos das acções sísmicas, os

modelos para as estruturas e os modelos de comportamento das estruturas. Os modelos

para as acções sísmicas têm em vista a simulação dos movimentos sísmicos que solicitam

as estruturas. Estas estruturas poderão ser modeladas bi ou tridimensionalmente, com

recurso a análises estáticas ou dinâmicas, sendo necessário definir o comportamento das

estruturas quando são solicitadas pelas acções sísmicas.

6.1.1 Modelos das acções sísmicas

Os movimentos sísmicos, em geral, têm características muito diferentes, podendo ser

classificados, segundo Newmark e Rosenblueth [New71], nos quatro tipos seguintes:

• tipo 1: impulsos de curta duração;

• tipo 2: vibrações muito irregulares com durações moderadas;

• tipo 3: vibrações de longa duração nas quais é possível distinguir frequências

predominantes;

• tipo 4: vibrações provocando movimentos de grande amplitude e deformações

permanentes no terreno.

As vibrações do tipo 1 ocorrem em terrenos firmes, a pequena distância do epicentro e

correspondem a sismos de magnitude moderada com pequena distância focal. Os seus

movimentos são essencialmente uni-direccionais com um sentido predominante.

Capítulo 6

110

As vibrações do tipo 2 verificam-se em terrenos firmes, a moderadas distâncias focais e

apresentam uma intensidade semelhante em todas as direcções. A energia produzida

reparte-se de uma forma aproximadamente uniforme numa banda de frequências

relativamente larga. Grande parte das vibrações sísmicas intensas pertence a este tipo.

A caracterização das vibrações de tipo 3 resulta da passagem das vibrações de tipo 1 e 2

em terrenos muito brandos, dando origem a amplificações selectivas da intensidade de

determinadas frequências.

Para quantificar as acções sísmicas é usual recorrer a uma das três possibilidades

seguintes:

• valores de pico;

• espectros de resposta;

• espectros de potência.

A quantificação das vibrações sísmicas a partir dos valores de pico, isto é, da aceleração

máxima, velocidade máxima e deslocamento máximo, tem sido, nos últimos tempos,

preterida pelas outras duas possibilidades.

O espectro de resposta é uma função que traduz a resposta sísmica em termos de

deslocamentos, velocidade ou aceleração de um oscilador linear com um grau de liberdade.

Esta resposta é função do valor do amortecimento considerado.

Os espectros de potência, especialmente indicados para representar os movimentos

sísmicos do tipo 2 e 3, têm subjacente a idealização dos movimentos do terreno recorrendo

aos princípios e métodos da teoria dos processos estocásticos [Vaz93].

É possível relacionar os diferentes modelos caracterizadores da acção sísmica, isto

é, estabelecer [Vaz93]:

• relações entre os valores de pico e espectros de resposta;

• relações entre espectros de resposta e espectros de potência;

• relações entre espectros de potência e valores de pico.


111

No que se refere ao desempenho dos diferentes modelos de quantificação das acções

sísmicas, os modelos que usam os valores de pico são muito restritivos, estando limitados a

determinado tipo de estruturas. Os espectros de resposta apenas permitem calcular o valor

máximo da resposta para cada modo de vibração, deixando em aberto a sua sobreposição.

Por sua vez os modelos baseados em espectros de potência apresentam as seguintes

principais vantagens [Vaz93]:

• a duração das vibrações pode ser considerada;

• o cálculo do valor máximo da resposta para cada modo de vibração e sua

sobreposição pode ser efectuado.

6.1.2 Modelos para as estruturas

Os modelos das estruturas podem dividir-se em dois grandes grupos: os modelos planos e

os modelos tridimensionais. Num segundo nível, estes modelos subdividem-se em termos

do tipo de análise a efectuar: análise estática ou análise dinâmica. Assim, é possível definir

4 tipos de modelos estruturais (Figura 6.1).

MODELOS

PlanosP

TridimensionaisT

EstáticosTE

DinâmicosTD

EstáticosPE

DinâmicosPD

Figura 6.1 - Modelos das Estruturas.

A despeito do maior volume de informação que envolvem, apenas os modelos

tridimensionais reproduzem um conjunto de fenómenos que, na generalidade dos casos,

são determinantes na resposta das estruturas dos edifícios face à acção sísmica. De entre

Capítulo 6

112

estes fenómenos, destacam-se os seguintes:

• o carácter tridimensional da acção. Se desprezadas as componentes de rotação,

as acelerações impostas na base da estrutura apresentam, três componentes cuja

variação ao longo do tempo e valores de pico são diferentes;

• o fenómeno da torção envolvendo diferentes rotações das lajes de piso. Os pisos,

vulgarmente assimilados a diafragmas indeformáveis no seu plano, apresentam

movimentos de torção que não são contabilizados explicitamente nos modelos

planos. A torção pode surgir, quer da não coincidência entre o centro de massa e

o centro de rigidez, quer da excentricidade decorrente do comportamento não

linear das peças, quer ainda dos movimentos de rotação do solo;

• a flexão composta desviada dos pilares.

Para além dos fenómenos referidos, existem ainda edifícios, como sejam aqueles cuja

estrutura reticulada não se desenvolve segundo dois eixos ortogonais em planta, para os

quais é difícil idealizar modelos planos representativos.

6.1.3 Modelos de comportamento

Os modelos de comportamento das estruturas podem classificar-se em modelos lineares e

modelos não lineares. Os primeiros estão associados ao comportamento elástico e linear,

enquanto que os segundos estão associados ao comportamento elástico não linear

geométrico ou ao comportamento não linear material histerético. O comportamento

elástico não linear geométrico está associado aos deslocamentos elevados da estrutura. O

comportamento não linear material histerético refere-se a não linearidades físicas devidas

ao comportamento pós-elástico dos materiais face a acções alternadas [Vaz93].

As estruturas porticadas de betão armado sujeitas à acção sísmica desenvolvem um

comportamento que é essencialmente não linear material histerético. Assim, no que se

segue, apresentar-se-á o enquadramento do modelo de comportamento não linear material

implementado no código computacional desenvolvido.


113

6.1.3.1 Modelos de comportamento não linear

Existem várias perspectivas para classificar os modelos não lineares. A perspectiva

apresentada nesta dissertação aponta para uma correspondência entre o número de peças

que constituem a estrutura e o número de elementos finitos que a pretendem discretizar.

Esta metodologia está em consonância com a bibliografia consultada [Pro96, CEB94].

Assim, de acordo com o grau de discretização obtém-se uma modelação:

• por pontos;

• global;

• por peças.

Quando a estrutura é representada por um número de elementos finitos que excede (em

ordem de grandeza) o número de peças que constitui a estrutura, está-se em presença de

um modelo de discretização por pontos.

Nos modelos de discretização global, a cada elemento finito considerado na modelação

corresponde diversas peças da estrutura.

Nos modelos de discretização por peças existe uma correspondência directa (geométrica)

entre a estrutura e o número de elementos finitos. Habitualmente a correspondência é de

1:1, havendo, contudo, casos em que a uma peça da estrutura correspondem diversos

elementos finitos. Dentro dos modelos de discretização por peças é habitual

distinguirem-se duas abordagens:

• os modelos fenomenológicos, em que as características do comportamento não

linear dos materiais são consideradas de uma forma empírica, sem que haja

correspondência directa com os fenómenos físicos que lhes estão subjacentes;

• os modelos físicos, em que o comportamento não linear material decorre

directamente dos fenómenos físicos em causa. A complexidade do modelo

depende da quantidade de fenómenos que se procura simular. O modelo de

fibras, incluído nos modelos físicos é designado, segundo o CEB [CEB94] por

modelo fundamental, pois constitui o melhor compromisso actual entre a

fidelidade da simulação dos efeitos não lineares e a eficiência computacional.

Capítulo 6

114

As principais vantagens do modelo de fibras na simulação do comportamento não

linear das estruturas de betão armado são as seguintes:

• a pormenorização da estrutura é tida em conta de uma forma explícita. As

vigas e pilares são simulados com as características geométricas reais;

• os efeitos da degradação de rigidez e de resistência do betão armado podem

ser parcialmente reproduzidos desde que sejam adoptados modelos

materiais que considerem, ao nível material, os efeitos equivalentes. O

mesmo se passa com o fenómeno do colapso progressivo global sempre que

este decorra do colapso material;

• é possível contabilizar o efeito do confinamento do betão do núcleo. Para

tal, o betão de recobrimento e o betão do núcleo devem ser tratados de

forma distinta, dado terem diferente grau de confinamento. Assim, a lei

constitutiva do betão do núcleo deve ter em conta o efeito das armaduras

transversais;

• é considerado o efeito do estreitamento dos diagramas histeréticos

(pinching).

As principais limitações do modelo de fibras são as seguintes:

• não tem em conta, de uma forma explícita, o efeito do escorregamento

relativo aço-betão;

• conduz a um elevado volume computacional.

No âmbito desta dissertação desenvolveu-se um modelo numérico de análise estática não

linear material de pórticos planos de betão armado. Este modelo baseia-se no método dos

elementos finitos (MEF) formulado pelo método dos deslocamentos. Dentro dos modelos

de comportamento não linear, o modelo desenvolvido constitui um modelo de fibras.


115

6.2 Modelo de análise estática linear

6.2.1 Introdução

Nesta secção são expostos os fundamentos teóricos subjacentes ao modelo de análise

estática linear. Na secção seguinte, são referidas as alterações efectuadas no modelo de

forma a ser possível efectuar análises estáticas em estruturas porticadas com

comportamento não linear material.

Na simulação do comportamento de vigas com recurso ao método dos elementos finitos é

corrente o uso das formulações de Euler-Bernoulli e de Timoshenko [Tim70]. No elemento

de viga de Euler-Bernoulli, as secções transversais normais ao eixo da viga, antes da

deformação, mantêm-se planas e ortogonais ao referido eixo após a deformação. Desta

hipótese resulta que a rotação de uma secção transversal é igual à inclinação do eixo da

viga, pelo que, a deformação por corte é ignorada. Assim, a aplicação desta formulação

deve ser limitada a estruturas constituídas por peças lineares delgadas. Na teoria de

Timoshenko as secções planas e normais ao eixo, antes da deformação, permanecem

planas mas não necessariamente ortogonais ao eixo em causa, pelo que é possível simular a

deformação por esforço transverso. Na Figura 6.2 ilustra-se o comportamento da viga

segundo as hipótese de Euler-Bernoulli e de Timoshenko.

Normal à superfície média após adeformação: teoria de Euler-Bernoulli

Deformação real

Deformação admitida nateoria de Timoshenko

z,w

x,u

Figura 6.2 - Comportamento de um elemento de viga.

Capítulo 6

116

6.2.2 Elemento de viga de Euler-Bernoulli

Para além da hipótese referida na introdução, o elemento de viga de Euler-Bernoulli

recorre ainda a outras duas, a saber:

i. os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma qualquer secção

transversal são pequenos quando comparados com a altura da viga, e são iguais

aos do seu eixo;

ii. o deslocamento lateral é nulo.

As equações de equilíbrio de um elemento podem ser obtidas por intermédio do Princípio

dos Trabalhos Virtuais (PTV). No caso da teoria de Euler-Bernoulli, as equações de

equilíbrio resultantes envolvem segundas derivadas dos deslocamentos verticais. Para

garantir a continuidade dos deslocamentos e suas primeiras derivadas será necessário

utilizar funções de forma da classe C1 (funções e suas respectivas primeiras derivadas

contínuas) [Oña92]. Esta imposição tem em vista evitar singularidades no cálculo dos

integrais. Consequentemente, é corrente utilizarem-se as funções de forma hermitianas que

asseguram a continuidade do campo de deslocamentos e do campo das rotações.

6.2.3 Elemento de viga de Timoshenko

A teoria utilizada no elemento de viga de Timoshenko suporta-se nas seguintes hipóteses:

i. os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma qualquer secção

transversal são pequenos face à altura da viga, e são iguais aos do seu eixo;

ii. o deslocamento lateral é nulo;

iii. as secções planas e normais ao eixo da viga, antes da deformação, permanecem

planas mas não necessariamente normais ao eixo da viga.

Neste tipo de deformação recorre-se a um campo de deslocamentos em que existe uma

independência entre os deslocamentos horizontais, verticais e rotações, sendo possível

simular a deformação por esforço transverso. Em geral, adoptam-se elementos de viga de

dois ou três nós, aos quais correspondem funções da classe C0.


117

Neste trabalho optou-se pela formulação de Timoshenko dado que permite analisar quer

vigas delgadas, quer vigas espessas, pelo que será resumidamente descrita nas próximas

secções.

6.2.3.1 Campo de deslocamentos

Os deslocamentos de qualquer ponto da estrutura, { }U u w y

T= , ,θ , podem ser expressos à

custa dos deslocamentos verificados no eixo médio da viga, { }U u w y

T= , ,θ . Na Figura 6.3

ilustra-se a convenção adoptada para o campo dos deslocamentos. O sobre-índice “−” em

qualquer grandeza pretende designar que essa grandeza é expressa em função dos graus de

liberdade dispostos ao longo do eixo médio da viga.

θy

h

L u

wpy

z

y

x

Py

My

O ≡ x ≡ u

z

y

hθy

w

Figura 6.3 - Convenção de deslocamentos adoptada.

Assim, para um determinado ponto que se encontre à cota z, tem por campo de

deslocamentos:

( ) ( )( )

u x y z u x y z z x y z

w x y z w x y zy( , , ) , , , ,

( , , ) , ,

= = = − ⋅ = =

= = =

0 0 0 0

0 0

θ

(6.1)

Capítulo 6

118

6.2.3.2 Campo de deformações

As deformações em relação ao sistema de eixos x, y, e z do referencial local do elemento

de viga podem ser traduzidas pelo seguinte vector:

ε

εγ

=

x

xz.

(6.2)

Adoptando-se a hipótese dos pequenos deslocamentos e procurando traduzir as

deformações à custa dos deslocamentos generalizados ao nível do eixo médio, obtém-se,

para o campo das deformações, o vector:

ε

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂θ∂

θ∂∂

=+

=− ⋅

− +

uxuz

wx

ux

zx

wx

y

y

.

(6.3)

Cada uma das diferentes parcelas de ε é susceptível de interpretação física. Com o auxílio

da Figura 6.4, é possível concluir que:

i. a parcela ∂∂

ux

representa a variação de deslocamento ao longo do eixo da barra

por unidade de comprimento da mesma (constante ao longo da secção). Trata-se,

portanto, da deformação axial;

ii. a parcela − ⋅zx

y∂θ∂

corresponde também a uma variação de deslocamento por

unidade de comprimento. No entanto, neste caso, esta deformação é variável ao

longo da altura da secção transversal. Conclui-se daqui que esta deformação diz

respeito à deformação por flexão;

iii. a parcela − +θ∂∂y

wx

não é mais do que o valor simétrico da deformação por

corte pois:

θ

∂∂

φy y

wx

= +

(6.4)

ou seja,


119

φ

∂∂

θy y

wx

= − + ,

(6.5)

sendo, φ y , a deformação por corte.

Normal à superfície média após adeformação.

Deformação real

Deformação admitida nateoria de Timoshenko

z,w

∂∂wxφy

θy

x,u

∂θ∂

yx

∂θ ∂y x z⋅

∂∂

ux

O, yx, u

z, w

z

Figura 6.4 - Análise da deformação do elemento de viga de Timoshenko.

É então possível reduzir o vector das deformações à seguinte forma:

ε

ε

εε

=

+

a

c

f

0

(6.6)

em que

ε

∂∂a

ux

=

(6.7)

representa a deformação axial,

ε

∂θ∂f

yzx

= − ⋅

(6.8)

ou

ε εf fz= − ⋅

(6.9)

Capítulo 6

120

representa a deformação de flexão, e

ε θ

∂∂c y

wx

= − +

(6.10)

a deformação de corte.

6.2.3.3 Matrizes de deformação

O modelo desenvolvido permite discretizar uma estrutura por intermédio de elementos

isoparamétricos de 2 e 3 nós. O estado de deformação num determinado ponto de um

elemento pode ser obtido por intermédio dos deslocamentos nodais desse elemento, isto é,

ε = ⋅

=∑B Ui ii

n

1

(6.11)

ou ainda,

ε =

+ ⋅

⋅

=

⋅

=∑

B z BB U

BB

U

a i f i

c ii

n

i

af

c

, ,

,1

(6.12)

em que n é o número de nós do elemento, Ui representa os deslocamentos generalizados

correspondentes ao nó i, ao nível do eixo médio, e Ba , Bf e Bc são as matrizes de

deformação correspondentes à deformação axial, de flexão e de corte, respectivamente.

Assim, para um nó genérico i, as matrizes de deformação apresentam o seguinte aspecto

(para elementos de dois nós):

( ) ( )BN

xN

xa i, =

∂ ξ∂

∂ ξ∂

1 20 0 0 0 ,

(6.13)


121

( ) ( )B zN

xz

Nxf i, = − ⋅ − ⋅

0 0 0 01 2∂ ξ

∂∂ ξ

∂

(6.14)

e

( ) ( ) ( ) ( )BN

xN

Nx

Nc i, = − −

0 01

12

2

∂ ξ∂

ξ∂ ξ

∂ξ

(6.15)

em que ( )Ni ξ é a função de forma correspondente ao nó i, que se encontra definida num

sistema de eixos isoparamétricos (ξ,ζ = 0,η = 0). Os deslocamentos generalizados de um nó

apresentam-se na forma,

{ }U u wi i i y i

T= , , ,θ .

(6.16)

Procurando associar os graus de liberdade às correspondentes deformações, obtém-se,

{ }U ua i=

(6.17)

como sendo o grau de liberdade associado à deformação axial,

{ }Uf y i= θ ,

(6.18)

o grau de liberdade associado à deformação de flexão, e

{ }U wc i y i

T= , ,θ

(6.19)

os graus de liberdade associados à deformação de corte.

Capítulo 6

122

6.2.3.4 Relações constitutivas

Num elemento de viga o vector das tensões é constituído pelas duas seguintes

componentes:

{ }σ σ σ= af c

T

(6.20)

em que

{ }σ σaf x=

(6.21)

é a tensão normal (segundo x) que se desenvolve na secção transversal do elemento de

viga, e

{ }σ τc xz=

(6.22)

é a tensão tangencial (tensão numa faceta ortogonal a x e dirigida segundo z) . A relação

entre tensões e deformações é estabelecida por intermédio da matriz constitutiva, D ,

σ ε= ⋅D .

(6.23)

No caso de se admitir que o elemento de viga é constituído por um material homogéneo,

isotrópico e com comportamento linear, a matriz D apresenta as seguintes componentes:

D

EG=

00

(6.24)

sendo E e G, os módulos de elasticidade longitudinal e transversal do material,

respectivamente. Decompondo a tensão, σaf , na componente axial, σa , e de flexão, σ f , a

relação entre tensões e deformações passa a ser traduzida da seguinte forma:


123

σσσσ

εεε

εεε

=

=

⋅

=⋅⋅⋅

a

f

c

a

f

c

a

f

c

EE

G

EEG

0 00 00 0

(6.25)

6.2.3.5 Esforços

Às tensões normais, de flexão e de corte, correspondem esforços axiais, momentos

flectores e esforços transversos, respectivamente. A obtenção destes esforços

generalizados pode ser feita por meio da integração das tensões ao longo da secção

transversal. Assim:

NMV

z dA z dz dbx

y

z

x

x

xzA

x

x

xzh

h

b

= ⋅

= ⋅

∫ ∫∫−

σσ

τ

σσ

τ2

2

.

(6.26)

Substituindo (6.25) em (6.26) e tendo em conta (6.9) obtém-se:

NMV

E dzdb

z E dzdb

G dzdb

x

y

z

mh

h

b

fh

h

b

ch

h

b

=

⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅

−

−

−

∫∫

∫∫

∫∫

ε

ε

ε

2

2

2

2

2

2

2

(6.27)

em que Nx , My e Vz representam o esforço axial, o momento flector e o esforço

transverso, respectivamente, do elemento de viga. No caso particular da secção transversal

apresentar forma rectangular de largura b, e altura h, a expressão (6.27) reduz-se à

seguinte:

NMV

b h Eb h

E

b h G

x

y

z

a

f

c

=

⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅

ε

ε

ε

3

12,

(6.28)

Capítulo 6

124

ou ainda,

NMV

E A

E IG A

x

y

z

a

f

c

=

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅

ε

ε

ε*

(6.29)

em que A, I, e A* representam, respectivamente, a área, o momento de inércia à flexão e a

área reduzida de corte da secção transversal.

Da Figura 6.5 à Figura 6.7 encontra-se ilustrada a distribuição de tensões. Nestas figuras é

possível constatar que, quer nas tensões normais devidas à deformação axial, quer nas

tensões normais devidas à deformação por flexão, a distribuição admitida coincide com a

distribuição exacta. Em termos de tensões de corte, a distribuição admitida ao longo da

secção transversal é constante, não coincidindo com a distribuição real que, no caso mais

simples da secção rectangular de material homogéneo, é uma função parabólica. Tal

discrepância prende-se com o facto de na teoria de Timoshenko, se considerar que as

normais ao folheto médio se mantêm rectilíneas, isto é, a deformação por corte é

independente da coordenada z. Para corrigir esta deficiência do modelo introduz-se um

factor correctivo na área da secção transversal, de forma a garantir que a energia de

deformação de corte na espessura do elemento seja igual à energia de deformação de corte

real [Bar89]. No caso particular de secções rectangulares de material homogéneo, o factor

correctivo da área é 5/6.

Nx

z

y

x

Nx

z

O ≡ yx

Figura 6.5 - Distribuição das tensões normais devido ao esforço axial.


125

Myx

y

z

My

O ≡ z

z

x

Figura 6.6 - Distribuição das tensões normais devido aos momentos flectores.

Vz

z

y

x

Vy

z

O ≡ y x

(a)

Vy

z

O ≡ yx

(b)

Figura 6.7 - Distribuição das tensões normais devido a esforço de corte. Distribuição adoptada (a) e distribuição real (b).

6.2.3.6 Equações regentes do fenómeno

Nos problemas da mecânica estrutural, as equações regentes do comportamento

estabelecem o equilíbrio em qualquer ponto do domínio. Quando se procura estabelecer o

equilíbrio com recurso ao método dos elementos finitos recorre-se principalmente [Del84,

Zie89]:

Capítulo 6

126

• à aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV), em que “é condição

necessária e suficiente para que um corpo esteja em equilíbrio elástico, sob a

acção de um sistema de forças exteriores que, numa deformação virtual do

corpo, o trabalho virtual das forças exteriores seja igual ao trabalho virtual de

deformação”, isto é,

δΓ δΓint = ext

(6.30)

em que δΓint representa o trabalho interno de deformação virtual, e δΓext o

trabalho produzido pelas forças exteriores durante a deformação virtual. O

trabalho interno de deformação virtual pode ser definido por,

δΓ δε σint = ⋅∫ T

V

dV

(6.31)

sendo V o volume do elemento e δ significa que a entidade que lhe está

adjacente, à direita, é uma grandeza virtual. O trabalho externo é traduzido por,

δΓ δ δ δ δε σext VV

LL

T t

V

U P U q dV U q dL dVT T T

= ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫ ∆

(6.32)

Com P , qV

e qL

pretende-se representar os vectores das forças generalizadas

aplicadas em pontos do elemento, proporcionais à massa do elemento e

distribuídas ao longo do elemento, respectivamente. O vector de tensões devido

à variação de temperatura é traduzido por σ∆t ;

• à aplicação do Método dos Resíduos Pesados: após a obtenção da equação

diferencial regente do fenómeno para o comportamento da viga, é quantificado o

erro resultante da aproximação adoptada para o campo dos deslocamentos. Com

a utilização de um conjunto de funções de peso que ponderam o erro, é possível

obter as equações que definem o equilíbrio. Dependendo do tipo de funções de

peso obtêm-se vários métodos des resíduos pesados: o método da colocação


127

pontual, o método da colocação por sub-domínio ou, ainda, o método de

Galerkin;

• à aplicação de Métodos Variacionais, em que se procura que um dado funcional,

neste caso concreto a energia potencial total, satisfaça uma condição de

estacionaridade (condição de máximo ou mínimo).

Através de qualquer dos métodos é-se conduzido a um sistema de equações de

equilíbrio

K U f⋅ =

(6.33)

em que K representa a matriz de rigidez do elemento, U os deslocamentos nodais e f o

vector das forças nodais estaticamente equivalentes às forças de volume, de superfície,

pontuais e variações de temperatura aplicadas no elemento. No desenvolvimento deste

trabalho, optou-se por aplicar o PTV dada a simplicidade da sua formulação.

6.2.3.7 Matriz de rigidez

Através do desenvolvimento matemático da expressão que define o trabalho interno de

deformação virtual [Bar95] obtém-se a matriz de rigidez do elemento de viga,

K

B D B z B D B

z B D Bz B D B

B D B

dV

aT

af a aT

af f

fT

af a

fT

af f

cT

c c

V

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

+

⋅ ⋅

∫ 2 .

(6.34)

Estando interessado em obter a matriz de rigidez correspondente a um comportamento

linear elástico tem-se,

Capítulo 6

128

K

B D B

z B D B

B D B

dV

aT

af a

fT

af f

cT

c c

V

=

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅+

⋅ ⋅

∫

0

0

2

(6.35)

6.2.4 Formulação por elementos finitos

Na formulação desenvolvida utilizaram-se elementos finitos de viga com 2 e 3 nós.

6.2.4.1 Elemento de dois nós

O elemento de dois nós, quando referido a um sistema de eixos isoparamétricos, é

caracterizado pelas funções de forma seguintes:

1-1

1

ξ0

1

1-1 ξ0

N1

12

=− ξ

N2

12

=+ ξ

(6.36)

sendo as correspondentes derivadas cartesianas,

∂∂ξN1 1

2= −

(6.37)

e

∂∂ξN2 1

2= .

(6.38)


129

O campo de deslocamentos de qualquer ponto interior do elemento é definido à custa dos

deslocamentos nodais, isto é,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

u N u N u

w N w N w

N Ny y y

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

θ ξ ξ θ ξ θ

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2, ,

(6.39)

ou matricialmente,

( )( )( )

uw

NN

N

NN

N

uw

uwy

y

y

ξξ

θ ξ

θ

θ

=

⋅

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

0 00 00 0

0 00 00 0

,

,

(6.40)

ou ainda

U N u= ⋅

(6.41)

Em 6.2.3.3 foi definido o vector de deformação, ε , para o elemento de viga de

Timoshenko. Realizou-se ainda a sua decomposição, de forma a obter a deformação axial

εa , de flexão ε f e de corte εc . Assim, atendendo a que o campo de deslocamentos se

refere a um sistema isoparamétrico, tem-se,

( ) ( )ε ξ ξa a aB U= ⋅

(6.42)

( ) ( ) ( )ε ξ ξ ξf f f f fB U z B U= ⋅ = ⋅ ⋅

(6.43)

( ) ( )ε ξ ξc c cB U= ⋅

(6.44)

sendo

Capítulo 6

130

( ) ( )B

Nx

Nxa =

∂ ξ∂

∂ ξ∂

1 20 0 0 0

(6.45)

( ) ( )B z

Nx

zN

xf = − ⋅ − ⋅

0 0 0 01 2∂ ξ∂

∂ ξ∂

(6.46)

( ) ( ) ( ) ( )BN

xN

Nx

Nc = − −

0 011

22

∂ ξ∂

ξ∂ ξ

∂ξ

(6.47)

e

[ ]U u ua = 1 20 0 0 0 ,

(6.48)

[ ]Uf y y= 0 0 0 01 2θ θ, , ,

(6.49)

e

[ ]U w wc y y= 0 01 1 2 2θ θ, ,

(6.50)

são os graus de liberdade do elemento correspondentes à deformação axial, de flexão e de

corte, respectivamente. Os termos das submatrizes Ba , Bf e Bc são constituídos por

funções de forma definidas no sistema de eixos isoparamétrico, ξ, e por derivadas destas

funções em relação ao eixo local da viga, x. Para resolver estas derivadas efectua-se o

seguinte procedimento:

( ) ( )∂ ξ∂ξ

∂ ξ∂

∂∂ξ

N Nx

xi i= ×

(6.51)

ou

∂∂

∂∂ξ

∂∂ξ

∂∂ξ

Nx

N x NJi i i

=

×

=

×

−

−

11 .

(6.52)


131

No caso de se considerar elementos de 2 nós ou elementos de 3 nós, com o nó intermédio

localizado a meio do elemento, o valor de J, matriz Jacobiana, é igual a metade do

comprimento do elemento (consultar Anexo IV), isto é,

J

L=

2

(6.53)

em que L representa o comprimento do elemento de viga. Assim, as matrizes de

deformação associadas à deformação axial, de flexão e de corte, eliminando os termos

nulos, podem ser traduzidas, respectivamente, da seguinte forma:

B

L La = −

1 1 ,

(6.54)

B

L Lf = −

1 1 (6.55)

e

( ) ( )BL Lc = − − ⋅ − − ⋅ +

1 12

1 1 12

1ξ ξ .

(6.56)

A matriz de rigidez tem de ser determinada atendendo ao facto de o referencial de cálculo

ser isoparamétrico. O aspecto formal da matriz de rigidez passa a ser então,

K

B D B B D B

B D BB D B

B D B

J d dA

aT

af a aT

af f

fT

af a

f af f

c c c

A

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

+⋅ ⋅

×−∫∫1

1

det ξ

(6.57)

Admitindo comportamento linear, obtém-se:

Capítulo 6

132

( )

( )

K

B EA B

B EI B

B GA B

Ld

aT

a

f f

c c

=

⋅ ⋅

⋅ ⋅+

⋅ ⋅

×

∗

−∫

0

021

1

ξ

(6.58)

O cálculo dos integrais referentes à matriz de rigidez é feito de forma numérica, recorrendo

à integração numérica de Gauss-Legendre. Realizando este cálculo para cada submatriz

associada às diferentes deformações, obtém-se:

[ ]K B E A B

LWa a

Ta

p

N

pa

a

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

∑ ξ

ξ

21,

(6.59)

[ ]K B E I BL

Wf fT

fp

N

pf

f

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

∑ξ

ξ

21,

(6.60)

e

[ ]K B E A BL

Wc cT

cp

N

pc

c

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∗

=∑

ξ

ξ

21,

(6.61)

em que, Naξ , N

fξ e Ncξ representam o número de pontos de Gauss no cálculo de Ka, de

Kf e de Kc, respectivamente. No Quadro 6.1 referem-se as regras de integração numérica

disponíveis para o código computacional desenvolvido.

Quadro 6.1 - Regras de integração numérica disponíveis para o elemento de dois nós.

Ordem de ElementoIntegração Funções de Forma Linear

Axial e Flexão 1Exacta

Corte 2

Axial e Flexão 1Selectiva Corte 1


133

Dado que se trata de um elemento de simples formulação, é possível obter as submatrizes

de rigidez. Assim, apresentam-se as diferentes submatrizes para o caso de elementos de

viga de Timoshenko de secção transversal constante:

K

E ALa

IE =⋅ −

−

1 11 1

(6.62)

corresponde à submatriz associada à deformação de axial (integrada de forma exacta),

K

E ILf

IE =⋅ −

−

1 11 1

(6.63)

a submatriz associada à deformação de flexão (integrada de forma exacta) e

KG A

L

L L

L L L

L

SimL

cIR =

⋅

−

−

−

∗

12

12

4 2 4

12

4

2 2

2

.

,

(6.64)

KG A

L

L L

L L L

L

SimL

cIE =

⋅

−

−

−

∗

12

12

3 2 6

12

3

2 2

2

.

(6.65)

as submatrizes associadas à deformação de corte, integradas de forma reduzida e exacta,

respectivamente. O estudo do comportamento da matriz de rigidez global adoptada

(dependente do tipo de integração) será objecto de estudo neste trabalho.

Capítulo 6

134

6.2.4.2 Elemento de três nós.

As funções de forma do elemento de viga de três nós apresentam a seguinte forma,

0 1-1

1

ξ

1

0 1-1 ξ

1

0 1-1 ξ

( )N1 21= ⋅ −

ξξ ( ) ( )N2 1 1= − ⋅ +ξ ξ ( )N3 2

1= ⋅ +ξ

ξ (6.66)

sendo as correspondentes derivadas cartesianas,

∂∂ξ

ξN1 1

2= − ,

(6.67)

∂∂ξ

ξN2 2= − ⋅

(6.68)

e

∂∂ξ

ξN3 1

2= +

(6.69)

O campo de deslocamentos de qualquer ponto interior do elemento é definido à custa dos

deslocamentos nodais, isto é,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

u N u N u N u

w N w N w N w

N N Ny y y y

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ ξ ξ

θ ξ ξ θ ξ θ ξ θ

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3, , ,

(6.70)

ou matricialmente,


135

( )( )( )

uw

NN

N

NN

N

NN

N

uw

uw

uw

y

y

y

y

ξξ

θ ξ

θ

θ

θ

=

⋅

1

1

1

2

2

2

3

3

3

1

1

1

2

2

2

3

3

3

0 00 00 0

0 00 00 0

0 00 00 0

,

,

,

(6.71)

ou ainda,

U N u= ⋅ .

(6.72)

Para este elemento as matrizes de deformação apresentam a seguinte configuração,

( ) ( ) ( )BN

xN

xN

xa =

∂ ξ∂

∂ ξ∂

∂ ξ∂

1 2 30 0 0 0 0 0

(6.73)

( ) ( ) ( )B zN

xz

Nx

zN

xf = − ⋅ − ⋅ − ⋅

0 0 0 0 0 01 2 3∂ ξ

∂∂ ξ

∂∂ ξ

∂

(6.74)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )BN

xN

Nx

NN

xNc = − − −

0 0 01

12

23

3

∂ ξ∂

ξ∂ ξ

∂ξ

∂ ξ∂

ξ

(6.75)

Os deslocamentos generalizados são:

[ ]U u u ua = 1 2 30 0 0 0 0 0

(6.76)

[ ]Uf y y y= 0 0 0 0 0 01 2 3θ θ θ, , ,

(6.77)

[ ]U w w wc y y y= 0 0 01 1 2 2 3 3θ θ θ, , ,

(6.78)

Assim, eliminando os termos nulos, as matrizes de deformação associadas à deformação

axial, de flexão e de corte, podem ser traduzidas da seguinte forma:

Capítulo 6

136

B

L L La = −

⋅ − ⋅ ⋅ +

⋅

ξ ξ ξ

12

22

2 12

2,

(6.79)

( )B z

Lz

Lz

L

zL

f = − ⋅ −

⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +

⋅

= − ⋅ ⋅ − − ⋅ +

ξ ξ ξ

ξ ξ ξ

12

22

2 12

2

2 12

212

,

(6.80)

( ) ( ) ( )( ) ( )BL L Lc = −

− − − + − +

− +

ξ

ξξ ξ ξ ξ ξ

ξξ

12

22

1 22

1 112

22

1 . (6.81)

Substituindo as matrizes de deformação (6.79), (6.80) e (6.81) nas expressões que

permitem o cálculo das diferentes contribuições para a matriz de rigidez do elemento

(6.59), (6.60) e (6.61), respectivamente, obtêm-se as submatrizes de rigidez. Na integração

da matriz de rigidez do elemento de 3 nós, o código computacional desenvolvido permite

utilizar regras de integração resumidas no Quadro 6.2.

Quadro 6.2 - Regras de integração numérica disponíveis para o elemento de três nós.

Ordem de ElementoIntegração Funções de Forma Parabólica

Axial e Flexão 2Exacta

Corte 3

Axial e Flexão 2Selectiva Corte 2

Do cálculo analítico das submatrizes de rigidez resulta:

KE A

LSim

mIE =

⋅

−

−

73

83

13

163

83

73

.

,

(6.82)


137

integrada de forma exacta,

KE IL

Sim

fIE =

⋅

−

−

73

83

13

163

83

73

.

(6.83)

integrada de forma exacta,

KG A

L

L L L

L L L L L

L

L L L

L

SimL

cIS =

⋅

−⋅

−

−⋅

−

−⋅

⋅−

⋅

−

∗

73 2

83

23

13 6

92

3 9 6 18163

083

23

49

23 9

73 2

9

2 2 2

2 2

2

.

,

(6.84)

integrada de forma selectiva e,

KG A

L

L L L

L L L L L

L

L L L

L

SimL

cIE =

⋅

−⋅

−

⋅−

⋅−

−⋅

⋅−

⋅

−

⋅

∗

73 2

83

23

13 6

215

23 15 6 30

163

083

23

815

23 15

73 2

215

2 2 2

2 2

2

.

(6.85)

integrada de forma exacta.

Capítulo 6

138

6.2.4.3 Vector solicitação

Neste trabalho é possível simular forças concentradas, forças de superfície, forças de

volume, variações de temperatura e assentamentos de apoio. O vector solicitação é obtido

com recurso à expressão do trabalho externo do PTV. Substituindo (6.40) em (6.32)

obtém-se:

( ) ∫ ∫ ∫ ∆σ⋅δ−⋅δ+⋅δ+⋅δ=ΓδV L V

tTT

L

TT

V

TTTText dVBUdLqNUdVqNUPUU

(6.86)

que conduz a um vector solicitação, extf , dado por,

∫ ∫ ∫ ∆σ⋅−⋅+⋅+⋅=V L V

tT

L

T

V

TText dVBdLqNdVqNPUf ,

(6.87)

que resulta do facto do PTV ser aplicável para qualquer campo de deslocamentos virtuais, TUδ .

Na integração numérica correspondente ao cálculo do vector solicitação utilizou-se a

integração exacta.

6.2.5 Análise do elemento de viga de Timoshenko

Associado ao estudo de estruturas por elementos finitos surgem, em geral, problemas de

pesquisa da solução exacta. Este procedimento deve-se ao facto de o campo de

deslocamentos ser simulado por funções aproximadas das reais, podendo implicar a

existência de “erros” nas soluções obtidas. Contudo, existem formas de minimizar estes

erros, quer explorando as técnicas de integração numérica da matriz de rigidez, quer

procedendo ao refinamento da malha.

Nesta secção, apresenta-se um breve estudo do comportamento do elemento de viga de

Timoshenko de 2 e 3 nós em regime elástico, linear e estático, com vista a retirar

conclusões relativamente ao comportamento destes dois elementos.


139

Considerou-se uma viga simplesmente apoiada com um vão de 10.00 m, sujeita à acção de

uma carga uniformemente distribuída de 1000 kN/m. A secção transversal apresenta a

forma rectangular de 0.30×0.50 m2 (largura×altura). Admitiu-se o valor de 10.0 GPa para o

módulo de Young e, 0.10 para o coeficiente de Poisson. No intuito de obter a convergência

com o refinamento da malha, estudaram-se as seguintes soluções:

− elemento de 2 nós com integração exacta (ie);

− elemento de 2 nós com integração selectiva (is);

− elemento de 3 nós com integração exacta (ie);

− elemento de 3 nós com integração selectiva (is).

Assim, para cada caso, procurou comparar-se o deslocamento vertical a meio vão, com o

correspondente deslocamento vertical dado pela solução exacta. Por solução exacta

entende-se a solução resultante da equação diferencial que rege a lei dos deslocamentos

verticais de uma viga, segundo as hipóteses de cálculo de Timoshenko [Tim70] e que, para

este caso, vale:

δTeorico

p lEI

p lGA

=⋅ ⋅

⋅+

⋅⋅ ∗

5384 8

4 2

(6.88)

em que p é a carga uniformemente distribuída, l o vão da viga, EI a rigidez à flexão e GA∗

a rigidez ao corte. Na Figura 6.8, apresentam-se os resultados obtidos.

É possível concluir que, em relação ao elemento de 2 nós com integração exacta, a

convergência para a solução teórica é lenta. Contudo, quando é adoptada a integração

reduzida, a solução obtida com um número reduzido de elementos conduz a erros

pequenos. A excessiva rigidez do elemento de viga de 2 nós com integração exacta pode

ser compreendida através da análise dos modos de deformação [Del84]. Assim,

considerando apenas os graus de liberdade associados à deformação por flexão e corte

(deslocamentos perpendiculares ao eixo da viga e rotações), Delgado [Del84] constatou

que a excessiva rigidez se deve ao facto do 3º modo de deformação ser obtido apenas por

distorção e o 4º modo incluir uma parcela de distorção não existente na solução teórica. No

entanto, a constatação mais importante é a de que é possível obter a solução exacta com o

Capítulo 6

140

elemento de viga de 2 nós de secção constante, desde que se multiplique a matriz de

rigidez pelo parâmetro dado por:

α =

+⋅

⋅

∗

1

112

2l GAEI

.

(6.89)

No elemento de 2 nós com recurso à integração selectiva, somente o cálculo do 4º modo de

deformação vem alterado. Neste a parcela da rigidez devida à deformação por corte é nula,

obtendo-se, portanto, um 4º modo de deformação coincidente com o obtido através da

solução teórica. Assim, é possível concluir que os bons resultados obtidos se devem ao

facto de ser possível representar de forma exacta a flexão circular [Del84].

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

0 4 8 12 16 20

Número de Elementos Utilizado

Des

loca

men

to a

mei

o vã

o (m

)

2 nós (ie)2 nós (is)3 nós (ie)3 nós (is)Solução Teórica

Figura 6.8 - Estudo de convergência em função do número de elementos considerados.

Em relação ao elemento de viga de 3 nós, é possível constatar que, para o caso da

integração exacta, a convergência é razoável. No caso da integração selectiva a solução


141

coincide com a exacta. Quando o elemento de viga de 3 nós é integrado de forma selectiva

e o nó intermédio é condensado para os extremos, obtém-se a matriz de rigidez

correspondente à solução teórica [Del84]. Face aos resultados obtidos é possível concluir

que, em geral, a integração selectiva conduz a muito bons resultados.

Outras técnicas têm sido utilizadas para contornar os problemas numéricos associados à

integração da matriz de rigidez, tais como técnicas de interpolações distintas para o campo

de deslocamentos e de rotações. Outras determinam a posição dos pontos de Gauss onde

deve ser calculada a matriz de rigidez por deformação de corte. Estes pontos são obtidos

com base num elemento submetido a flexão pura, dado que neste caso, o trabalho de

deformação por corte tem de ser nulo [Oña92, Zie89].

Realizou-se um segundo estudo em que se considerou a mesma viga, no entanto com um

número de elementos finitos fixo: 8. Alterou-se o valor da carga uniformemente distribuída

para 100 kN/m. Fixou-se a largura da viga em 1.0 m. Em seguida, fez-se variar a altura

desta. Nas Figuras 6.9 e 6.10 apresenta-se a relação entre a flecha normalizada, ϕ, e a

esbelteza da viga, λ, para o elemento de 2 e 3 nós. Por esbelteza entende-se a relação entre

o vão da viga, l, e a respectiva altura, h. A flecha normalizada é obtida pela razão entre a

flecha obtida e a flecha determinada segundo a formulação de Euler-Bernoulli,

BernoulliEuler−δ , isto é:

EI384lp5 4

BernoulliEuler ⋅⋅⋅

=δ − .

(6.90)

No que se refere ao elemento de 2 nós é possível constatar que, quando se utiliza a

integração exacta, com o aumento da esbelteza a solução obtida afasta-se da solução

teórica. No caso do elemento de 2 nós com integração selectiva a solução aproxima-se

razoavelmente da teórica.

No elemento de 3 nós com integração selectiva, os resultados obtidos coincidem com os da

solução teórica. Para o caso do elemento de 3 nós com integração exacta, é possível

Capítulo 6

142

verificar que a solução é bastante boa para esbeltezas baixas. Contudo, à medida que a

esbelteza aumenta a solução afasta-se ligeiramente da teórica.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 10 100 1000

λ

ϕ

Integração ExactaIntegração SelectivaSolução de TimoshenkoSolução de Euler-Bernoulli

Figura 6.9 - Estudo de convergência considerando elementos de 2 nós.

0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

1.15

1.20

1.25

1.30

1.35

1.40

1 10 100 1000

λ

ϕ

Integração Exacta

Integração Selectiva

Solução de Timoshenko

Solução de Euler-Bernoulli

Figura 6.10 - Estudo de convergência considerando elementos de 3 nós.

Neste trabalho dar-se-á preferência às integrações selectivas e, em particular, ao recurso ao

elemento de viga de 3 nós.


143

6.3 Modelo de análise estática não linear

6.3.1 Requisitos de um modelo

Os modelos numéricos de análise não linear material de estruturas porticadas submetidas a

cargas alternadas deverão procurar reproduzir os principais fenómenos que ocorrem nos

seus principais elementos constituintes, isto é, vigas e pilares. No que se segue, serão

expostos os principais fenómenos ocorridos em vigas e pilares quando sujeitos a cargas

cíclicas.

6.3.1.1 Comportamento de elementos de viga

O CEB [CEB94] procedeu a um levantamento dos ensaios cíclicos em vigas de betão

armado, que apresentavam fundamentalmente as seguintes características:

• a grande maioria dos ensaios decorria sob controlo dos deslocamentos

alternados numa das extremidades;

• prevalecia a deformabilidade por flexão;

• as secções transversais apresentavam forma rectangular e eram simetricamente

armadas.

Os resultados típicos neste tipo de ensaios são diagramas força-deslocamento (F-δ),

momento-curvatura (M-ρ) e momento-rotação (M-θ).

Os aspectos mais importantes que foi possível observar (alguns dos quais também

observados nos ensaios quase-estáticos descritos no Capítulo 5) foram os seguintes

(Figura 6.11):

i. o carácter envolvente e, por vezes, assimptótico do diagrama monotónico;

ii. o efeito da degradação de rigidez na descarga;

iii. o efeito de estreitamento dos diagramas histeréticos (pinching);

iv. o efeito da degradação de rigidez na recarga;

v. o efeito da degradação de resistência;

Capítulo 6

144

vi. o colapso progressivo.

Estreitamento dodiagrama

histerético

Degradação da rigidez na recarga

Degradação darigidez na descarga

Degradação daresistência

Início da plastificação daarmadura longitudinal

Início do endurecimentoda armadura longitudinal

Figura 6.11 - Principais fenómenos que ocorrem numa viga sujeita

a deslocamentos alternados [Ma76].

De uma forma geral, os diagramas monotónicos correspondem à envolvente superior dos

diagramas de ensaios cíclicos. O diagrama monotónico pode ser decomposto em três

ramos, ou zonas perfeitamente distintas. O primeiro ramo apresenta um andamento

praticamente elástico até ao início da fendilhação. O processo de fendilhação

desenvolve-se de uma forma gradual, traduzido pela suave diminuição de rigidez do ramo

seguinte. Nesta fase, ocorre um escorregamento da armadura longitudinal traccionada. A

entrada no terceiro ramo do diagrama coincide com uma perda brusca de rigidez, devida à


145

entrada em cedência das armaduras traccionadas. Depois da cedência a resistência do

elemento continua a aumentar dado que, por um lado, o braço do binário resistente

aumenta e, por outro, dá-se o início do endurecimento do aço (“hardening” na

nomenclatura inglesa). Nesta fase, a rotura do betão de recobrimento (“spalling of concrete

cover”), designada no presente trabalho por descasque, provoca uma ligeira diminuição da

resistência. Dependendo da magnitude das deformações a armadura comprimida poderá

plastificar.

A primeira descarga a partir do ramo de cedência apresenta, numa fase inicial, uma rigidez

superior à rigidez elástica. A partir daí assiste-se a uma descompressão progressiva e

gradual da região de betão anteriormente comprimido, resultando uma perda da rigidez

(“stiffness degradation”). Quando o elemento está completamente descarregado permanece

uma deformação permanente significativa, resultante das deformações plásticas

permanentes na armadura e do escorregamento residual entre a armadura e o betão.

Existem fendas permanentes para força nula.

O ramo de recarga compreendido entre a intersecção com o eixo das deformações e a carga

no sentido contrário ao do anterior semi-ciclo, apresenta-se, numa fase inicial, muito

suave. A reduzida rigidez desta fase é consequência das ocorrências no semi-ciclo anterior,

nomeadamente:

• a existência de fendas abertas;

• a incursão plástica das armaduras;

• a existência do escorregamento entre o betão e as armaduras.

Nesta fase a resistência do elemento é garantida, exclusivamente, através dos varões

longitudinais. Como resultado existe um aparente amolecimento do comportamento

durante o ramo de recarga. As fendas vão-se gradualmente fechando até que as duas faces

opostas, estejam em contacto, mobilizando novamente a rigidez do betão. Normalmente,

esta fase ocorre depois da cedência da armadura comprimida. O fecho das fendas e a

reactivação do betão conduz a um aumento gradual da rigidez do ramo de recarga. Os

fenómenos descritos conduzem a um estreitamento do diagrama histerético, conforme se

ilustra na Figura 6.11. Ao efeito de estreitamento dos diagramas histeréticos dá-se,

usualmente, a designação de pinching.

Capítulo 6

146

Após o efeito de pinching ter terminado, o ramo de recarga inicia novamente um efeito de

amolecimento devido à entrada em cedência da armadura traccionada. Embora esta recarga

possa ser considerada como sendo um carregamento virgem para a direcção em causa,

verifica-se que a resposta obtida para esta direcção face à anterior é mais suave. Esta

suavidade resulta, do efeito de Bauschinger ocorrido quer nas armaduras da face superior,

quer nas armaduras da face inferior.

Nos ciclos seguintes assiste-se a uma degradação de resistência traduzida no facto dos

diagramas cíclicos se afastarem progressivamente para o interior dos correspondentes

diagramas monotónicos. As principais razões para este facto são as seguintes:

• a alternância de abertura e fecho das fendas causam degradação de rigidez e de

resistência do betão comprimido, assistindo-se a uma degradação da ligação das

faces das fendas;

• a deterioração das condições de aderência aço-betão para ciclos repetidos de

igual amplitude degrada a contribuição do betão entre fendas (“tension-stiffening

effect”);

• o descasque do betão de recobrimento (“spalling of concrete cover”);

• a encurvadura dos varões longitudinais.

O colapso progressivo está associado à degradação de resistência, verificando-se que

quando existe falta de estabilização da resistência para ciclos repetidos de igual amplitude,

o colapso está iminente. Segundo o CEB [CEB94], o colapso é gradualmente controlado

pela progressiva degradação das zonas de compressão. A deterioração inicia-se com o

descasque, agrava-se com a encurvadura local dos varões longitudinais que perderam o

suporte lateral proporcionado pelo betão de recobrimento e aumenta com a desintegração

do betão do núcleo muitas vezes precipitada pela propagação de fendas de corte na zona de

compressão. De uma forma geral, propõe-se para critério convencional de colapso o final

de um determinado semi-ciclo em que se obteve, pelo menos, uma resistência 20 % mais

baixa que a resistência máxima observada.


147

6.3.1.2 Comportamento de pilares

Relativamente a ensaios em pilares, o CEB [CEB94] refere que os ensaios mais correntes

são aqueles em que o pilar de secção transversal rectangular, simetricamente armado e

encastrado na base, é sujeito na extremidade livre a um esforço axial constante e a uma

história de deslocamentos transversais alternados.

Os resultados típicos, tal como nos ensaios em vigas, são diagramas força-deslocamento

(F-δ), momento-curvatura (M-ρ) e momento-rotação (M-θ).

A introdução do esforço axial modifica o comportamento inelástico à flexão, sendo os

aspectos mais relevantes aqui realçados:

• a acção do esforço axial induz também acentuados efeitos de pinching; contudo,

ao contrário das vigas (sujeitas a flexão simples), o binário resistente é

complementado com a intervenção activa do betão;

• a degradação de resistência aumenta consideravelmente ao longo dos ciclos de

amplitude crescente com o crescimento do valor de esforço axial normalizado,

( )ν = ⋅N A fc c , especialmente, para valores da ordem de 0.4. A gradual ou

abrupta ocorrência do colapso é influenciada pelo valor do esforço axial e do

nível de confinamento transversal;

• a redução do nível de ductilidade.

6.3.2 Implementação do modelo

Para modelar o comportamento não linear histerético, no programa de elementos finitos

desenvolvido, utilizou-se uma formulação em que a secção transversal é decomposta em

camadas paralelas à linha neutra. Estas camadas podem ser de betão ou de armadura, sendo

o comportamento do elemento regido ao nível dos pontos de Gauss, na direcção

longitudinal. Com base na lei de deformações ao longo da secção, e considerando as

hipóteses de Timoshenko, é possível avaliar a rigidez de cada camada e, por conseguinte, a

rigidez do elemento. Esta rigidez é definida por intermédio das leis constitutivas dos

materiais intervenientes. Estes aspectos são esquematizados na Figura 6.12.

Capítulo 6

148

y

z

x,G

εbetão

εarmadura

Figura 6.12 - Discretização da secção transversal em camadas de armadura e de betão.

As leis constitutivas dos materiais intervenientes são iminentemente não lineares, pelo que

o sistema de equações de equilíbrio é não linear. A resolução deste sistema de equações é

efectuada por intermédio da aplicação do método de Newton-Raphson [Aze85, Zie90]. As

alterações efectuadas na determinação da matriz de rigidez, o processo de cálculo das

forças internas e o algoritmo não linear adoptado, são apresentados nas próximas secções.

6.3.2.1 Matriz de rigidez

Para proceder à análise não linear material, a matriz de rigidez de cada elemento passa a

ter um aspecto formal diferente. Assim, esta é determinada por meio da contribuição de

cada camada, quer de betão quer de armadura. As diferentes componentes da matriz de

rigidez associadas às camadas de betão obtêm-se da seguinte forma:

K B D B J Waab

aT

a

b

ap

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.90)

com,


149

D D b z za

b

af kb

k ks

ki

k

NC∧

== ⋅ ⋅ −∑ , ( )

1, (6.91)

K B D B J Wafb

aT

af

b

fp

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.92)

K B D B J Wfab

fT

fa

b

ap

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.93)

em que,

D D D b z z zaf

b

fa

b

af kb

k ks

ki

k

NC

km

∧ ∧

== = ⋅ ⋅ − ⋅∑ , ( )

1 (6.94)

K B D B J Wffb

fT

f

b

fp

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.95)

com,

( )D D b z z zf

b

af kb

k ks

ki

k

NC

km

∧

== ⋅ ⋅ − ⋅∑ , ( )

1

2 (6.96)

em que, Kaab , Kaf

b , Kfab e Kff

b são as submatrizes de rigidez associadas à deformação axial,

à deformação de interacção axial-flexão e flexão-axial e à deformação de flexão,

respectivamente. Por sua, vez Daf kb

, e bk são o módulo de elasticidade longitudinal

tangente e a largura da linha média da camada genérica k. zki , zk

m e zks são,

respectivamente, a cota inferior, intermédia e superior da camada k (ver Figura 6.13),

medidas a partir do centro de gravidade da secção. NC corresponde ao número de camadas

de betão em que a secção é discretizada.

Capítulo 6

150

y

z

x,G

iz

kb

k kmz z s

k

Figura 6.13 - Simbologia utilizada na discretização das camadas.

Neste modelo foi desprezada a rigidez à flexão da própria camada. Caso se pretendesse

obter a contribuição da rigidez à flexão da própria camada, a expressão de Df

b∧

passaria a

ser dada por [Bar89]:

( ) ( )[ ]D D b z zf

b

af kb

k ks

ki

k

NC∧

== ⋅ ⋅ −∑ ,

3 3

13. (6.97)

É de salientar que esta simplificação não introduz erros significativos desde que se utilize

um número de camadas suficiente para simular adequadamente o comportamento da

secção transversal. É possível verificar que para uma secção discretizada em 10 a 12

camadas, o erro é inferior a 1.0 % [Bar95].

No modelo desenvolvido admitiu-se comportamento linear para deformação por corte. A

contribuição dos termos de rigidez de corte para a matriz de rigidez do elemento

processa-se de forma igual à descrita na secção 6.2.


151

As armaduras são discretizadas em elementos finitos de 2 ou 3 nós. À rigidez dos

elementos finitos que simulam o betão, é adicionada a rigidez dos elementos que simulam

a armadura. Porém, as camadas de armadura, excentricamente posicionadas em relação à

linha média da secção, introduzem termos de flexão na matriz de rigidez do elemento. A

matriz de rigidez da armadura é definida por:

K B D B J Waas

aT

a

s

ap

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.98)

com,

D D Aa

s

af ns

ns

n

NS∧

== ⋅∑ ,

1, (6.99)

K B D B J Wafs

aT

af

s

fp

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.100)

K B D B J Wfas

fT

fa

s

ap

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.101)

em que,

D D D A zaf

s

fa

s

af ns

ns

n

NS

n

∧ ∧

== = ⋅ ⋅∑ ,

1, (6.102)

K B D B J Wffs

fT

f

s

fp

N

p

af

af

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

1

ξ

ξ

det , (6.103)

sendo,

( )D D A zf

s

af ns

ns

n

NS

n

∧

== ⋅ ⋅∑ ,

1

2, (6.104)

em que, Kaas , Kaf

s , Kfas e Kff

s são as submatrizes de rigidez associadas à deformação axial,

de deformação de interacção axial-flexão e de flexão-axial e deformação de flexão,

Capítulo 6

152

respectivamente. Por sua vez, Daf ns

, é o módulo de elasticidade longitudinal tangente da

armadura, Ans é a área de armadura existente na camada n, à cota zn medida em relação ao

centro de gravidade da secção transversal. NS corresponde ao número de camadas de

armaduras consideradas.

Utilizou-se a mesma regra de integração para o cálculo da matriz de rigidez dos elementos

de betão e de armadura.

6.3.2.2 Forças internas

No estabelecimento da configuração de equilíbrio é necessário calcular as forças nodais

equivalentes ao estado de tensão instalado. Assim, para um determinado elemento, as

expressões que determinam as forças nodais no betão são:

{ }f N B N J Wab

xb

aT

bp

N

paf

af

int, det= = ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

ξ

ξ

1 (6.105)

em que

( )N b z zb af kb

k ks

ki

k

NC∧

== ⋅ ⋅ −∑σ ,

1, (6.106)

{ }f M B M J Wfb

yb

fT

bp

N

paf

mf

int, det= = ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

ξ

ξ

1 (6.107)

em que

M b z z zb af kb

k ks

ki

k

NC

km

∧

== ⋅ ⋅ − ⋅∑σ , ( )

1 (6.108)

e,


153

{ }f V B Q J Wcb

y cT

bp

N

pc

c

int, det= = ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

ξ

ξ

1 (6.109)

sendo

Q Ab c

∧∗= ⋅ τ . (6.110)

Sendo A∗ a área reduzida de corte e τc a tensão tangencial. Nas expressões anteriores

f abint, , f f

bint, e f c

bint, são as forças nodais equivalentes aos esforços axiais, de flexão e de

corte, respectivamente. σaf kb

, é a tensão normal na camada k.

Na armadura, as forças nodais equivalentes aos esforços axiais, f asint, , e de flexão, f f

sint, , são

determinadas da seguinte forma:

{ }f N B N J Was

xs

aT

sp

N

paf

af

int, det= = ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

ξ

ξ

1 (6.111)

em que

N As mf ns

ns

n

NS∧

== ⋅∑σ ,

1 (6.112)

{ }f M B M J Wfs

ys

fT

sp

N

paf

af

int, det= = ⋅

⋅ ⋅∧

=∑

ξ

ξ

1 (6.113)

em que

M A zs af ns

ns

nn

NS∧

== ⋅ ⋅∑σ ,

1, (6.114)

Capítulo 6

154

sendo σaf ns

, a tensão normal para a armadura n. No cálculo das forças nodais equivalentes

no betão e na armadura recorreu-se à mesma ordem de integração, que foi adoptada para a

integração da matriz de rigidez daqueles materiais.

6.3.2.3 Leis constitutivas

As leis constitutivas da armadura e do betão que foram implementadas no modelo

pretenderam modelar o comportamento global que se verifica em ensaios experimentais

(ver secção 6.3.1).

6.3.2.3.1 Lei constitutiva do betão

Na resposta de peças lineares de betão armado a acções cíclicas, o comportamento

mecânico das regiões de betão é muito menos relevante que o do aço, sendo a importância

dos caminhos de descarga/recarga diminuta. Assim, a modelação do comportamento do

betão passa pelo recurso a modelos relativamente simples. Contudo, estes deverão

apresentar especial cuidado na envolvente monotónica, pois esta marca de algum modo, a

resposta global [Gom92].

É habitual classificar os modelos para betão de triaxiais, biaxiais e uniaxiais, consoante

estes tenham por base ensaios experimentais triaxiais, biaxiais ou uniaxiais de compressão

e de tracção. Ao nível analítico, a distinção entre os modelos faz-se quando as relações

constitutivas se exprimem à custa do tensores das tensões e das deformações, ou apenas de

uma componente considerada como dominante. Dentro dos modelos triaxiais existe a

seguinte classificação [Pro96]:

• modelos baseados na Teoria da Elasticidade;

• modelos baseados na Teoria da Plasticidade;

• modelos baseados na Mecânica da Fractura.

Os modelos uniaxiais são os mais utilizados, devido à simplicidade da sua formulação e à

facilidade de serem integrados nos modelos de fibras. Dado que não foi considerado o

efeito de encurvadura optou-se por desenvolver apenas um modelo que tem em conta o


155

efeito do confinamento no betão promovido pela existência de cintas, no caso de pilares, e

de estribos no caso de vigas.

Um dos modelos mais utilizados tem sido o de Scott, Park e Priestley [Sco82]. Neste

trabalho, apresenta-se uma versão de Gomes [Gom92] que conjuga a envolvente de Scott,

Park e Priestley com as regras de descarga e recarga seguidas por Thompson e

Park [Tho80]. O modelo proposto considera o efeito da cintagem quer na tensão máxima e

correspondente extensão máxima, quer na inclinação do ramo descendente. Com base em

resultados experimentais, a envolvente monotónica é definida por três ramos (Figura 6.14):

0 2. ⋅ ⋅k fc

k fc⋅

εc maxεc20k c⋅ ε 0

Ec0

z k fc⋅ ⋅

ε c

σc

Figura 6.14 - Envolvente monotónica proposta por Scott, Park e Priestley [Sco82].

Capítulo 6

156

( )[ ]σ

εε

εε

ε ε

ε ε ε ε ε

ε ε ε

c

cc

c

c

cc c

c c c c c c

c c c c

k fk k

se k

k f z k se k

k f se

=

⋅ ⋅⋅⋅

−⋅

≤ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ < ≤

⋅ ⋅ < ≤

2

1

0 2

0 0

2

0

0 0 20

20. max

(6.115)

em que:

• εc e σc são a extensão e tensão do betão;

• fc é a tensão média de rotura à compressão em cilindros (de altura e diâmetro,

300 e 150 mm, respectivamente) expressa em MPa;

• k é o parâmetro que define o efeito de cintagem dado por,

kf

v sw

c= +

⋅1 0ρ σ

; (6.116)

• z é o coeficiente que define o declive do ramo descendente da curva,

zf

fbs

kc

cv c

=+ ⋅⋅ −

+ ⋅ ⋅ − ⋅

0503 0 29

145 100034 0

.. '

ρ ε; (6.117)

• ρv é a relação volumétrica da armadura transversal definida por:

ρvswAs

b db d

= ⋅ ⋅+⋅

2' ' '

' '; (6.118)

sendo Asw' a área de um ramo do estribo, b’ e d’, a largura e altura do núcleo

cintado da secção, medidas em relação às faces exteriores do estribo,

respectivamente, e s é o espaçamento dos estribos;


157

• k c⋅ ε 0 é a extensão correspondente ao ponto onde ocorre a tensão máxima

( εc0 0 002= . );

• a deformação limite do ramo descendente é dada por:

ε εc ckz20 0

08= ⋅ +

.; (6.119)

• σsw0 é a tensão de cedência dos estribos expressa em MPa. A deformação

máxima, εc max , é dada por:

ε ρσ

c vsw

max . .= + ⋅ ⋅0 004 0 9300

0 . (6.120)

Os caminhos de descarga e recarga são definidos por ramos rectos (Figura 6.15). A lei é

definida a partir do ponto de inversão (εc1, σc1) e é dada por:

( )σ ε ε σc c c c cE= ⋅ − ⋅1 1 1 , (6.121)

sendo Ec1 o declive do ramo de descarga/recarga dado por:

( )

E

E se k

kk

E se k

E se

c

c c c

c c

c cc c c c

c c c c

1

0 0

1 0

20 00 0 20

0 20

0 8 0 7

01

=

≤ ⋅

− ⋅− ⋅− ⋅

⋅ ⋅ < ≤

⋅ < ≤

ε ε

ε εε ε

ε ε ε

ε ε ε

. .

. max

(6.122)

e Ec0 é o módulo de elasticidade longitudinal na origem (em MPa), dado por:

Capítulo 6

158

E fc c0 1000= ⋅ (6.123)

ε c

σc

k fc⋅

0 2. ⋅ ⋅k fc

Ec1

Ec1

Ec1

k c⋅ ε 0 ε c maxεc20

Figura 6.15 - Lei de descarga/recarga adoptada para o betão confinado.

6.3.2.3.2 Lei constitutiva da armadura

Tal como foi referido na secção 6.3.1, a armadura tem um papel fundamental no

comportamento dos elementos de betão armado sujeitos a acções alternadas. Haverá, pois,

que utilizar um modelo constitutivo para a armadura com rigor suficiente, devendo este ser

capaz de simular os seguintes fenómenos [CEB96] (ver Figura 6.16):

• ramo elástico, patamar de cedência (“Yield plateau”), ramo de endurecimento,

(“Hardening branch”) na primeira incursão;

• o efeito de Bauschinger e a redução do módulo de elasticidade na zona não

elástica;

• o endurecimento cíclico isotrópico.


159

σsy

σsy

σs

Es

Es

εs

Troço deEndurecimento

Patamar deCedência

Efeito deBauschingerEndurecimento cíclico

isotrópico

Degradação do módulode elasticidade, após ainversão da deformação

Figura 6.16 - Principais características do diagrama histerético σ-ε de um aço.

Por incursão entende-se o ramo do diagrama σ-ε compreendido entre pontos de inversão

do sentido da deformação. Uma incursão plástica é uma incursão em que ocorrem

deformações plásticas.

O efeito de Bauschinger traduz-se na antecipação do ramo não elástico para uma tensão

inferior à de cedência. Este efeito só ocorre após uma incursão plástica e, quanto maior for

esta, mais acentuado é esse efeito.

O endurecimento isotrópico consiste no aumento do valor da tensão em ciclos posteriores a

incursões plásticas.

O CEB [CEB96] classifica os modelos existentes com base no tipo de expressão

matemática, a saber:

i. equação algébrica explícita em tensões na forma,

( )σ σ εs s= ; (6.124)

Capítulo 6

160

ii. equação algébrica explícita em extensões na forma,

( )ε ε σs s= ; (6.125)

iii. equação algébrica implícita na forma,

( )f s sε σ, ; (6.126)

iv. equação diferencial de primeira ordem na forma,

( )δσδε

σs

sp s

psE f= = . (6.127)

Por εs representa-se a extensão, σs, a tensão, εsp , a componente plástica da deformação e

Esp o módulo de elasticidade plástico da armadura. Os modelos do tipo i. e ii. são os mais

usados face à sua simplicidade formal. Quando se recorre a modelos baseados no método

dos elementos finitos as formulações do tipo i. são as mais utilizadas.

O modelo do aço implementado foi baseado numa versão de Guedes [Gue97]. A

envolvente monotónica (ver Figura 6.17) é constituída por três ramos distintos. O ramo

elástico é definido à custa do módulo de elasticidade longitudinal, Es , na forma:

σ εs s sE= ⋅ , (6.128)

para 0 ≤ ≤ε εs sy , em que, σs e εs representam a tensão e extensão na armadura, respec-

tivamente. σsy e εsy são a tensão e a correspondente extensão de cedência da armadura. O

patamar de cedência é definido por:

σ σs sy= , (6.129)

válido no intervalo ε ε εsy s sh≤ ≤ . A extensão, εsh , corresponde ao ponto de deformação a

partir da qual se inicia o ramo de endurecimento isotrópico, sendo este ramo de


161

endurecimento definido com recurso a um polinómio de quarto grau e, válido entre os

pontos ( )ε σsh sy, e ( )ε σsu su, :

( )σ σ σ σε εε εs su su sy

su s

su sh= − − ⋅

−−

4

(6.130)

O ponto ( )ε σsu su, é usualmente designado por ponto de rotura.

εshεsy εsu ε

syσ

su

Es

σ

σ

Figura 6.17 - Envolvente monotónica do aço utilizada no modelo numérico.

Como o efeito da encurvadura dos varões longitudinais não é tido em conta, a monotónica

em tracção coincide com a monotónica em compressão.

Nos carregamentos cíclicos Guedes [Gue97] utilizou uma formulação do tipo Giuffré e

Pinto e implementada por Menegotto [Men72]. O modelo cíclico é activado, deixando de

ser válida a envolvente monotónica a partir de uma descarga que inclua a plastificação da

armadura e verifique a relação:

Capítulo 6

162

ε εε

s ssy

max − ≥3

(6.131)

sendo, εs max , a máxima incursão plástica verificada na curva monotónica. Refira-se ainda

que, enquanto a condição (6.128) não for verificada, as descargas na monotónica são

elásticas, isto é, com um módulo de elasticidade de descarga igual ao Es . A expressão que

define a tensão para carregamentos cíclicos é dada por (Figura 6.18):

( )

( )( )σ ε

εεs s

s

R Rsb

b∗ = ⋅ +−

+

⋅*

*

*1

11 , (6.132)

onde

σσ σσ σs

s sr

s sr

* =−−0

, (6.133)

e

εε εε εs

s sr

s sr

* =−−0

, (6.134)

R Ra

a= −

⋅+0

1

2

ξξ

. (6.135)

O ponto ( )ε σsr sr, corresponde ao ponto de inversão da deformação e o ponto ( )ε σs s0 0,

corresponde ao ponto de intersecção das duas assímptotas de inclinação Es e Esh. O

parâmetro b é a razão entre o módulo de elasticidade inicial, Es, e o módulo de elasticidade

do ramo de endurecimento, Esh. Este módulo de elasticidade pode ser estimado pela

seguinte expressão:


163

Eshsu sy

su sy=

−−

σ σε ε

(6.136)

Os parâmetros a1, a2 e R0 que figuram na expressão (6.135) deverão ser aferidos

experimentalmente. O parâmetro R define a forma de transição da curva e está

directamente ligado ao efeito de Bauschinger. O parâmetro ξ mede a diferença entre a

maior deformação verificada ao longo da direcção do carregamento, εs max e, εs0, dividida

por ( )ε εs i sr i0 1, ,− − , isto é,

ξε εε εis s i

s i sr i=

−−

−

−

max ,

, ,

0 1

0 1 (6.137)

εshεsy ε

syσ

σ

sΕ

shΕ

Εshσsy

( )R ξ2

( )R ξ1

( )ε σs s0 0 2,

( )ε σsr sr, 1

( )ε σsr sr, 0( )ε σs s0 0 1,

( )ε σsr sr, 2

Figura 6.18 - Modelo cíclico da armadura implementado no modelo numérico.

Capítulo 6

164

6.3.2.4 Algoritmo de solução não-linear

A resolução de problemas não lineares é efectuada usualmente recorrendo-se a um

processo incremental e iterativo. O vector solicitação é dividido num determinado número

de incrementos e em cada incremento as equações de equilíbrio são resolvidas por

intermédio do método de Newton-Raphson [Aze85, Zie90]. No modelo desenvolvido

implementaram-se as diferentes vertentes do método de Newton-Raphson, podendo a

matriz de rigidez ser calculada:

• em cada incremento e iteração;

• no 1º incremento e 1ª iteração;

• na 1ª iteração de cada incremento;

• na 2ª iteração de cada incremento;

• na 1ª e 2ª iteração de cada incremento.

O código computacional dispõe destas diferentes possibilidades. Verificou-se que, para os

exemplos realizados, (ver secção 6.4) a terceira opção conduzia a uma convergência mais

rápida.

Na resolução de um problema estrutural não linear, em cada fase do processo iterativo é

necessário minimizar o erro associado às equações de equilíbrio da estrutura. O processo

iterativo termina, isto é, a convergência é satisfeita, quando o erro é inferior a determinado

limite. Os principais critérios de convergência podem ser definidos em termos de forças, de

deslocamentos, ou ainda, em termos energéticos.

Para uma determinada iteração i de um incremento n, a convergência em termos de forças

estabelece uma comparação entre a norma das forças nodais não equilibradas, ∆f inint, e a

norma das forças exteriores correspondentes ao referido incremento n, f extn , isto é:

∆f

f

f f

ftoleri

n

extn

extn

in

extn

int, int,=

−≤ . (6.138)

ou,


165

r

ftoleri

n

ext in

,

≤ . (6.139)

Nos critérios em termos de deslocamentos, realiza-se a comparação entre a norma dos

acréscimos de deslocamentos da iteração i e incremento n, ∆din e a norma dos

deslocamentos totais na primeira iteração do incremento n, dn1 , isto é:

∆dd

tolerin

n1

≤ . (6.140)

São vários os critérios usados em termos energéticos. A título exemplificativo,

apresenta-se o critério que estabelece a comparação entre o trabalho realizado pelas forças

residuais na iteração i, no incremento n, r in , nos acréscimos de deslocamento

correspondentes à iteração i, nid∆ , e o trabalho desenvolvido pelas forças residuais na

primeira iteração do incremento n, r n1 , nos acréscimos de deslocamentos correspondentes

∆dn1 , ou seja:

( )( )r d

r dtoleri

n T

in

n T n

⋅

⋅≤

∆

∆1 1

. (6.141)

Em geral, para os critérios de convergência em termos de forças, de deslocamentos e de

energia adoptam-se valores de tolerância (toler) de 0.1 %, 0.1 % e 0.0001 %, respectiva-

mente [Nev93].

A selecção do critério ideal passaria pela utilização simultânea de todos eles. Contudo,

para os problemas em causa, o critério de convergência em termos de forças tem-se

revelado bastante eficiente [Bar95], sendo por isso, o adoptado neste trabalho. A tolerância

Capítulo 6

166

procurou estabelecer um compromisso entre os resultados a obter e o dispêndio de tempo

de cálculo.

O algoritmo não-linear utilizado para o modelo numérico desenvolvido, numa iteração

genérica i de um incremento n é o seguinte:

1. Cálculo da matriz de rigidez tangente, Kin , com base na deformação instalada

na iteração i-1, ain−1 ;

2. Resolução do sistema de equações, sendo rin−1 o vector das forças residuais da

iteração i−1: K a ri

nin

in⋅ = −∆ 1 ;

3. Actualização dos deslocamentos:

a a ain

in

in= +−1 ∆ ;

4. Cálculo das forças nodais equivalentes, f inint, , com base nos deslocamentos ai

n ;

5. Cálculo das forças residuais nodais equivalentes:

r f fin

extn

in= − int, ;

6. Verificação do critério de convergência:

• se rf

tolerin

extn ≤ , implementar novo incremento de carga, ao qual deverá

ser somado o resíduo rin ;

• senão voltar a 1.


167

Durante o processo de convergência, nos exemplos expostos na secção 6.4 ocorreram

problemas numéricos associados ao mau condicionamento da matriz de rigidez. Estes

surgiam, fundamentalmente, na fase em que a armadura sofria incursões plásticas (ao qual

corresponde um módulo de elasticidade tangente reduzido). Para contornar o problema,

adoptou-se a metodologia proposta por Guedes [Gue97], que consiste no estabelecimento

de uma matriz de rigidez, K , resultante da adição de uma percentagem da matriz de

rigidez tangente, Kt , devida ao estado de deformação existente, com uma percentagem da

matriz de rigidez elástica, Kelast , (calculada na primeira iteração do primeiro incremento),

isto é,

( )K K Kt elast= ⋅ − + ⋅1 α α (6.142)

Verificou-se que, em geral, com α = 10 % se obtinha uma convergência rápida com

ausência de problemas numéricos.

6.3.3 Critérios de rotura

No estudo das estruturas sujeitas a acções cíclicas há interesse em explorar todo o

comportamento inelástico do material. Assim, o tipo de critérios de paragem ou rotura dos

modelos numéricos terá, necessariamente, de permitir que nas estruturas sejam atingidos

níveis de deformação superiores àqueles que conduzem à resistência máxima da

secção [Gom92].

A rotura de uma estrutura poderá ser definida ao nível local ou global. A rotura local (ao

nível da secção) consiste em definir um conjunto de critérios bastante objectivos, a partir

dos quais é possível afirmar se a secção rompeu. Em termos da rotura global, os critérios

para a definir são mais complexos e, ainda hoje, o problema está longe de ser resolvido,

dado o número de factores envolvidos (modo de rotura da estrutura, carregamento a que a

estrutura está sujeita, características geométricas e mecânicas das secções, entre outros

factores). Assim, os critérios de rotura que geralmente se utilizam são ao nível local.

Alguns dos critérios de rotura, ao nível local, mais utilizados são [Gom92, Gue97]:

Capítulo 6

168

i. F Fpico y< ⋅0 75. ;

ii. a rotura por esmagamento da secção de betão;

iii. a rotura da armadura.

O primeiro critério consiste em considerar que a rotura ocorre quando se verifica que a

força generalizada, Fpico, é inferior a 75 % da força generalizada que conduziu à cedência

da armadura, Fy.

O segundo critério corresponde, em termos numéricos, a considerar que a deformação das

camadas de betão ultrapassaram o valor máximo de deformação admissível, εcmax.

Definir a rotura dos varões longitudinais (terceiro critério), em termos numéricos,

corresponde a considerar-se que o varão rompe quando o valor acumulado de toda a

história de carga das deformações plásticas de cada incursão, εsplast , atinge um determinado

valor limite, εslim , isto é,

ε εsplast

s∑ ≥ lim . (6.143)

Paralelamente a este critério para a rotura da armadura longitudinal, é possível definir

outro que consiste em admitir que a rotura ocorre quando o nível de deformação, εs ,

excede o valor da deformação de rotura de um ensaio monotónico, εsult , ou seja:

ε εs sult≥ . (6.144)

O Eurocódigo 8 [EC8] também refere um critério de rotura em termos de ductilidades.

Assim, se o dimensionamento for baseado no conceito de pilar-forte e viga-fraca, as zonas

de dissipação de energia concentrar-se-ão nas vigas, exigindo que em todas as zonas

críticas, em especial nos nós de ligação das vigas aos pilares, seja satisfeito o factor

convencional de ductilidade em curvatura, µ 1r (CCDF - “conventional curvature ductility

factor”). O CCDF é dado por:


169

µµµ1

0 85

r y= . , (6.145)

em que, µ0 85. é a curvatura correspondente ao momento pós-pico de 85 % do momento

máximo resistente e, µy é a curvatura de cedência. Em caso algum, as extensões no betão,

εc, e na armadura, εs, deverão ultrapassar os seguintes limites:

ε εc cu≤ e ε εs su k≤ , , (6.146, 6.147)

sendo, εcu a extensão no betão correspondente à tensão pós-pico de 85 % da tensão

máxima de compressão e, εsu k, o valor característico da extensão de rotura da armadura.

No Quadro 6.3 apresentam-se os valores mínimos que as zonas críticas devem apresentar

em termos de factor convencional de ductilidade em curvatura, em função da classe de

ductilidade.

Quadro 6.3 - Valores mínimos do factor convencional de ductilidade em curvatura.

Classe de Ductilidade µ1/r

Baixa 5

Média 9

Elevada 13

No presente modelo numérico apenas foram definidos critérios de rotura ao nível da

secção, a saber:

• rotura da secção por esmagamento do betão;

• rotura da secção por fractura da armadura, devido a ter alcançado a deformação

última na armadura εsult .

Capítulo 6

170

6.4 Exemplos de aplicação

A calibração do modelo numérico foi realizada por intermédio de resultados apresentados

na bibliografia da especialidade e de resultados obtidos experimentalmente, tendo-se

analisado três exemplos.

No primeiro exemplo avalia-se o desempenho do modelo ao nível da simulação do

comportamento de uma secção. Para tal, é comparada a resposta obtida pelo modelo

numérico desenvolvido e por um modelo um existente na bibliografia.

No segundo exemplo é simulado numericamente um dos ensaios efectuados, a viga

V1_75_00.

No terceiro exemplo, os resultados obtidos num ensaio experimental efectuado num pilar

sujeito a acções alternadas são comparados com os resultados obtidos por intermédio do

modelo numérico desenvolvido.

6.4.1 Exemplo 1

Para avaliar o desempenho do modelo desenvolvido ao nível da secção, utilizou-se os

resultados obtidos pelo modelo numérico desenvolvido por Gomes [Gom92] na simulação

do comportamento de uma secção sob acções cíclicas alternadas, em flexão composta. A

semelhança destes modelos ao nível da simulação do comportamento de uma secção de

betão armado está na base da selecção deste exemplo, dado ser possível, desta forma, aferir

o modelo desenvolvido. Gomes [Gom92] estudou uma secção de um pilar de um edifício

(Figura 6.19), sujeita a um esforço axial constate de 400 kN e a uma história de curvaturas

alternadas crescentes representada na Figura 6.20 (considerou 0.009/m como sendo o valor

da curvatura de cedência). A secção foi discretizada em 50 camadas de betão confinado e

150 camadas de betão de recobrimento com 2.0 cm de espessura [Gom92].


171

A armadura longitudinal dista do centro de gravidade da secção de 0.166 m, estando as

suas características mecânicas e outros parâmetros indicados no Quadro 6.4. A armadura

transversal, φ[email protected], apresenta uma tensão de cedência, σsw0, de 400 MPa.

0.30 m

0.40 m8φ16

φ[email protected]

Figura 6.19 - Secção transversal estudada.

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 10 20 30 40 50Semi-ciclo

Cur

vatu

ra/C

urva

tura

de

cedê

ncia

Figura 6.20 - História de curvaturas aplicadas no modelo desenvolvido.

Capítulo 6

172

O betão do núcleo (betão confinado) da classe B30 tem as suas principais características

referidas no Quadro 6.5.

Quadro 6.4 - Parâmetros caracterizadores da armadura longitudinal no exemplo 1.

Módulo de Elasticidade Es 200 (GPa)

Rigidez do Troço de Endurecimento Esh 4 (GPa)

Tensão de Cedência σsy 400 (MPa)

Extensão de Cedência εsy 2.00 (1/1000)

Extensão do início do endurecimento εsh 2.3 (1/1000)

Tensão de Rotura σsu 600 (MPa)

Extensão de Rotura εsu 52 (1/1000)

R0 20.0

a1 19.0

a2 0.30

Parâmetros histeréticos

Com vista à simulação numérica deste exemplo com o modelo numérico desenvolvido,

utilizou-se uma viga simplesmente apoiada (ver Figura 6.21), discretizada com um

elemento de 3 nós, integrado de forma selectiva, ao qual se aplicou, nas extremidades, uma

história de rotações θ. Para que uma viga simplesmente apoiada tenha uma curvatura ρ é

necessário aplicar nas extremidades uma rotação θ de valor ρ/2. Assim, a história de

rotações que foi aplicada à viga correspondeu à história de curvaturas utilizada no modelo

de Gomes e multiplicada por 0.5 (ver Figura 6.20). Aplicou-se ainda o um esforço axial de

400 kN.


173

Quadro 6.5 - Características relativas ao betão confinado utilizadas no exemplo 1.

Tensão média de rotura à compressão em cilindros σc0 25.00 (MPa)

Coeficiente que considera o efeito de cintagem k 1.07

Tensão máxima de compressão kσc0 26.77 (MPa)

Módulo de elasticidade longitudinal na origem Ec0 25.00 (GPa)

Extensão correspondente à tensão máxima kεc0 2.14 (1/1000)

Coeficiente que define o declive do ramo descendente z 81.65

Extensão máxima εcmax 9.28 (1/1000)

Extensão limite do troço descendente εc20 11.94 (1/1000)

Na análise efectuada a secção transversal foi discretizada em 20 camadas de betão, nas

quais se utilizou as características referidas no Quadro 6.5. Para a armadura considerou-se

os parâmetros que figuram no Quadro 6.4.

400 kN

θ = ρ/2θ = ρ/2

1.00 m

Figura 6.21 - Elemento de viga considerado.

No processo incremental-iterativo considerou-se uma tolerância de 1×10-6 e um valor de α

de 10 % no cálculo da matriz de rigidez (ver expressão (6.139)). Na Figura 6.22

apresenta-se o diagrama de momento-curvatura (M-ρ) obtido para uma qualquer secção da

viga e o obtido por Gomes.

É possível verificar que o andamento da curva M-ρ é muito idêntico ao obtido por

Gomes [Gom92]. Contudo, para deformações mais elevadas, as respostas obtidas com os

Capítulo 6

174

dois modelos afastam-se ligeiramente dado que, contrariamente ao modelo de Gomes, o

modelo desenvolvido no presente trabalho não faz distinção entre betão não confinado e

betão confinado. Além disto, nos dois modelos as leis constitutivas do aço são ligeiramente

distintas (no modelo desenvolvido é desprezado o efeito de encurvadura dos varões

longitudinais, enquanto no modelo de Gomes esse efeito é considerado). Nas Figuras 6.23

e 6.24 apresenta-se o diagrama de tensão/extensão (σ-ε) para a armadura junto à face

superior e o diagrama σ-ε na primeira camada de betão.

-0.225

-0.15

-0.075

0

0.075

0.15

0.225

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08

Curvatura (1/m)

Mom

ento

(MN

m)

Modelo numérico desenvolvido

Modelo de Gomes

Figura 6.22 - Resposta momento-curvatura obtida pelo modelo numérico

desenvolvido versus modelo de Gomes.

É possível verificar, que o diagrama σ-ε da armadura determinado com o modelo numérico

desenvolvido encontra-se ligeiramente deslocado para a direita (no sentido positivo das

extensões), comparativamente com o obtido por Gomes [Gom92]. Uma das razões está

associada ao facto de, no modelo desenvolvido, a secção transversal apenas conter betão

confinado, o que conduz a uma secção de betão capaz de receber tensões de compressão

mais elevadas, originando o mesmo nível de esforço numa menor área comprimida e,

portanto, uma menor compressão na armadura.


175

-600

-400

-200

0

200

400

600

-0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

Extensões

Tens

ões

(MPa

)

Figura 6.23 - Diagrama de tensão/extensão na armadura junto à face superior.

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.0020

Extensões

Tens

ões

(MPa

)

Figura 6.24 - Diagrama de tensão/extensão na primeira camada de betão (inferior).

Por último, será de referir que a rotura no modelo de Gomes deu-se para o critério de

M Mpico y< ⋅0 75. , aquando da encurvadura dos varões longitudinais. Não foi possível obter

Capítulo 6

176

a rotura convencional que Gomes obteve, dado que o algoritmo desenvolvido não

contempla tal critério de rotura.

6.4.2 Exemplo 2

Neste exemplo, procedeu-se à comparação dos resultados experimentais obtidos na viga

V1_75_00 com a simulação numérica. A viga foi discretizada longitudinalmente em 15

elementos finitos de 3 nós de igual comprimento, e transversalmente por 20 camadas de

betão e 2 camadas de armadura (Figura 6.25). As principais características do betão

figuram no Quadro 6.6, e as principais características da armadura longitudinal

encontram-se representadas no Quadro 6.7. A solicitação imposta à viga consistiu em

aplicar deslocamentos nos pontos correspondentes aos deslocamentos δ2 e δ4 (Figura 6.26).

Esses deslocamentos aplicados na simulação numérica (Figura 6.27) resultaram do valor

médio registado experimentalmente nos LDVT’s 2 e 4 (ver Capítulo 5).

6φ8 φ3@75

Figura 6.25 - Discretização da secção transversal para a

simulação numérica da viga V1_75_00.


177










Utilizou-se integração selectiva para o cálculo da matriz de rigidez e das forças nodais

equivalentes. Durante o processo incremental iterativo considerou-se uma tolerância de

1×10-6 e uma parcela da matriz de rigidez elástica, α, de 10 %.



Rigidez do Troço de Endurecimento Esh 0.567 (GPa)



Extensão do início do endurecimento εsh 30 (1/1000)



R0 20.0

a1 18.5

a2 0.15


Capítulo 6

178

0.50 m 0.50 m0.50 m

δ δ2 4

Figura 6.26 - Sistema de aplicação de deslocamentos no modelo numérico.

Na Figura 6.28 ilustra-se a resposta força-deslocamento (F-δ) no ponto de imposição do

deslocamento δ2, estando o correspondente diagrama de energia total representado na

Figura 6.29.

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0 5 10 15 20 25 30 35

Semi-ciclos

Des

loca

men

tos

(mm

)

LVDT2

LVDT4

Figura 6.27 - História de deslocamentos registados experimentalmente

na viga V1_75_00 nos LVDT’s 2 e 4.


179

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Numérico

Experimental

Figura 6.28 - Diagrama F-δ obtido numericamente e experimentalmente.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 50 100 150 200 250


Ener

gia

(kN

m)

Numérico

Experimental

Figura 6.29 - Diagrama de energia total obtido numericamente e experimentalmente.

Capítulo 6

180

A partir das Figuras 6.28 e 6.29 conclui-se que o modelo numérico de uma forma global

aproxima razoavelmente os resultados experimentais, embora numa fase inicial a

aproximação não seja tão boa. Como razões fundamentais refere-se, por um lado, o facto

do modelo numérico não contemplar a resistência à tracção do betão (o efeito de “tension

stiffening” e “tension softeting”) e, por outro, para níveis baixos de deformação, a lei

constitutiva numérica do betão à compressão ser muito pouco dissipativa. Para valores de

deformação mais elevados (da ordem dos 110 mm - deslocamentos acumulados) constata-

-se que o modelo reproduz com maior rigor a realidade. É possível verificar que o modelo

numérico simulou melhor o comportamento da viga para valores de força positivos. A

razão deste fenómeno está associada à heterogeneidade verificada nas vigas, já referida no

Capítulo 5.

Na Figura 6.30 ilustra-se a resposta F-δ obtida numericamente e experimentalmente a meio

vão da viga. O valor da força, F, considerado foi o dobro do valor obtido numericamente

no ponto correspondente a δ2, e corresponde à força que os actuadores exercem sobre a

viga. A correspondente energia total representa-se na Figura 6.31.

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Numérico

Experimental

Figura 6.30 - Diagrama F-δ obtido numericamente e experimentalmente.


181

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 50 100 150 200 250 300


Ener

gia

(kN

m)

Numérico

Experimental


O comportamento obtido a meio vão foi em tudo idêntico ao obtido num dos pontos de

aplicação de deformação (δ2 e δ4). Contudo, para este caso verifica-se um diferencial de

deslocamento entre o valor obtido numericamente e experimentalmente (mais visível na

fase final do diagrama de deslocamentos acumulados).

No modelo numérico não foi possível simular a rotura da viga V1_75_00 dado que rompeu

por corte.

6.4.3 Exemplo 3

No terceiro exemplo realizado procedeu-se à comparação dos resultados experimentais

obtidos num dos pilares ensaiados por Guedes [Gue97] com os resultados obtidos com o

modelo numérico desenvolvido. O pilar ensaiado P213C (designação adoptada por

Guedes) com 7.82 m de altura, cuja secção transversal se ilustra na Figura 6.32, foi sujeito

a uma história de deslocamentos horizontais no topo (extremidade livre) representada na

Figura 6.34. O ponto de aplicação dos deslocamentos localizava-se a 8.40 m da

Capítulo 6

182

extremidade encastrada (ver Figura 6.33). Ao pilar P213C foi-lhe ainda aplicado uma força

de compressão uniaxial de 1700 kN. Considerou-se um recobrimento de 8 mm.

20φ8 6φ12 14φ14

1280

φ5@60

160 160

160

480

160

Figura 6.32 - Secção transversal do pilar P213C e correspondente discretização no modelo numérico.


183

7.82

m0.

58 m

1700 kN

Deslocamento Imposto

Figura 6.33 - Sistema de aplicação dos deslocamentos.

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Semi-ciclos

Des

lcam

ento

Impo

sto

(m)

Figura 6.34 - Lei de deslocamentos impostos.

Capítulo 6

184

Para a discretização longitudinal do pilar utilizaram-se 10 elementos com 840 mm de

comprimento e, para a discretização transversal utilizaram-se 24 camadas de betão com a

espessura de acordo com a Figura 6.32 e, 14 camadas de armadura longitudinal.

Utilizaram-se elementos de 3 nós com integração selectiva, considerou-se α = 10 % e uma

tolerância de 1×10-4. As características utilizadas para definir o betão confinado

encontram-se no Quadro 6.8, enquanto que no Quadro 6.9 referem-se as características

associadas à armadura longitudinal.












Rigidez do Troço de Endurecimento Esh 2.39 (GPa)



Extensão do início do endurecimento εsh 23 (1/1000)



R0 10.0

a1 9.0

a2 0.15



185

Na Figura 6.35 ilustra-se o diagrama F-δ obtido numericamente e experimentalmente para

o ponto onde foi imposto o deslocamento (a 8.40 m da secção de encastramento). Na

Figura 6.36 ilustra-se o respectivo diagrama de energia total.

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

Deslocamentos (m)

Forç

a (M

N)

Experimental

Numérico

Figura 6.35 - Diagrama F-δ obtido experimentalmente e numericamente.

É possível constatar a partir do diagrama de F-δ obtido que, numa fase inicial, o

comportamento é idêntico. Para deformações crescentes os valores de força obtidos

numericamente aproximam-se, por defeito, aos valores registados experimentalmente.

Uma das razões poderá ter a ver com uma deficiente estimativa das características dos

materiais. Verificou-se, também, que para valores relativamente reduzidos de força, o

modelo revela um acentuado efeito de estreitamento do diagrama histerético. Um factor

que contribuiu para o afastamento dos valores tem a ver com o efeito de encurvadura dos

varões longitudinais, fenómeno esse que o modelo numérico não consegue simular.

Capítulo 6

186

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7

Deslocamento Acumulado (m)

Ener

gia

(MN

m)

Experimental

Numérico


A partir do diagrama de energia total verificou-se que na fase inicial de deformação o

modelo numérico acompanhou com elevado rigor os valores registados

experimentalmente. Para valores crescentes de deformação os valores de energia total

afastaram-se ligeiramente (numéricos/experimentais). Contudo, verificou-se uma

concordância razoável entre a simulação numérica e os valores experimentais.

6.5 Conclusões

A implementação do elemento finito de viga de Timoshenko veio a revelar-se bastante útil

para a obtenção do modelo de análise não linear. Uma das principais conclusões que foi

retida relativamente ao modelo de análise estática linear, foi a excelência dos resultados

obtidos com o elemento de 3 nós com integração selectiva.


187

O modelo numérico de análise estática não linear desenvolvido permitiu reproduzir o

comportamento não linear material de elementos pertencentes a estruturas porticadas em

betão armado. A partir dos exemplos efectuados foi possível concluir que os principais

fenómenos que ocorrem (degradação de rigidez na descarga e na recarga, efeito de

pinching, degradação de resistência e de rigidez) são simulados com rigor aceitável.

Porém, verificou-se que o efeito de pinching era um pouco acentuado. Os critérios de

rotura implementados revelaram-se insuficientes para prever os modos de rotura ocorridos

experimentalmente.

A implementação de algumas melhorias no modelo numérico torná-lo-ão ainda mais

eficiente, entre as quais de destacam:

• introdução de alterações na lei constitutiva do betão em termos de

descargas/recargas, com vista à “suavização” do efeito de pinching;

• introdução de leis constitutivas para o betão não confinado;

• simulação da encurvadura dos varões longitudinais;

• simulação do escorregamento entre os varões longitudinais e o betão;

• definição de critérios de rotura.

Capítulo 7

Conclusão

7.1 Conclusões gerais

O trabalho efectuado desenvolveu-se em duas áreas complementares: a análise

experimental de elementos de betão armado reforçado com fibras de aço e, o

desenvolvimento de um código computacional para a simulação do comportamento de

estruturas porticadas planas de betão armado sujeitas a acções alternadas.

A análise experimental realizada contemplou o estudo do comportamento uniaxial cíclico

em compressão de provetes cilíndricos e, a realização de ensaios quase-estáticos em vigas.

Quer os provetes, quer as vigas eram armados com diferente percentagem de armadura

transversal e reforçados com 0, 30, 60 e 90 kg de fibras por metro cúbico de betão.

No que diz respeito aos ensaios em provetes cilíndricos o principal benefício da adição de

fibras ao betão verificou-se no aumento da energia em compressão. Aumentando a

percentagem de fibras, verifica-se que a rigidez dos ramos de descarga e recarga, Ec0,

aumenta e, observa-se, ainda, um ligeiro aumento da extensão correspondente à tensão de

pico. Contudo, a tensão de pico não sofreu alterações significativas com a introdução de

fibras de aço. Aumentando a percentagem de armadura transversal a tensão de pico e a

correspondente extensão aumentam, bem como a rigidez das descargas e recargas, Ec0, e a

capacidade de absorção de energia em compressão. O módulo de elasticidade inicial, Eci, é

praticamente independente da quantidade de fibras e cintas utilizadas no reforço dos

provetes ensaiados. Foi ainda possível concluir que existe a possibilidade de substituir,

parcialmente, armadura transversal por fibras sem prejuízo do comportamento do material.

Capítulo 7

190

Dos ensaios efectuados em vigas foi possível concluir que a existência de fibras contribui

de forma decisiva para o comportamento mais dúctil destes elementos. Constatou-se ser

possível substituir parcialmente estribos por fibras. Para valores crescentes da quantidade

de fibras obteve-se valores crescentes da carga de cedência e da carga máxima. A adição

de fibras conduz a elementos com maior capacidade de dissipação de energia e com maior

ductilidade. O material apresenta um melhor comportamento global, permitindo uma maior

redistribuição de esforços e uma melhor distribuição das fendas.

O modelo numérico desenvolvido foi baseado no método dos elementos finitos, tendo sido

utilizado o elemento de Timoshenko para discretizar as barras da estrutura. Da análise

estática linear foi possível concluir que o elemento de 3 nós integrado de forma selectiva

conduz aos resultados dados pela solução exacta. Da análise estática não linear material foi

possível concluir que o modelo reproduz, com rigor aceitável, os principais aspectos que se

observam no comportamento de elementos de betão armado sujeitos a acções alternadas.

Dos exemplos analisados verificou-se que o fenómeno de pinching é demasiado acentuado.

7.2 Sugestões para futuros desenvolvimentos

Em muitos aspectos e a despeito do facto de se terem globalmente atingido os objectivos

inicialmente estabelecidos, a limitação temporal deste trabalho inviabilizou o desenvol-

vimento de alguns aspectos considerados como interessantes, a saber:

• com base nos ensaios em provetes cilíndricos, desenvolver uma lei constitutiva

para a simulação do comportamento uniaxial cíclico em compressão do betão

reforçado com fibras;

• modificações a efectuar no modelo numérico:

1. com vista a suavizar o efeito de pinching, adoptar a lei constitutiva para

o betão de forma que a transição tracção/compressão e

compressão/tracção se dê de uma forma gradual;

2. distinção ao nível da secção transversal entre betão confinado e não

confinado;

3. simulação da encurvadura dos varões longitudinais;

Conclusão

191

4. simulação do escorregamento entre os varões longitudinais e o betão;

5. introdução de leis constitutivas de modelação do comportamento do BRF

à tracção e à compressão de modo a poder reproduzir, com rigor, os

ensaios cíclicos realizados;

6. implementação de um algoritmo de simulação dinâmica de estruturas

porticadas de BARFA de forma a determinar coeficientes de comporta-

mento e demonstrar os benefícios da introdução de fibras de aço neste

tipo de estruturas;

7. adaptar o modelo de forma a analisar estática e dinamicamente estruturas

reforçadas com diferentes tipos de materiais, com especial ênfase, nos

reforços com materiais compósitos.

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Anexo I

Anexo I

201

Não foi possível fotografar osprovetes desta série.

Figura AI.1 - Configuração de rotura dos provetes da série C00_00 (1).

Quadro AI.1 - Resultados dos ensaios dos provetes correspondentes à série C00_00.

Idade fcm Eci εc1 Ec1 Gc Altura Peso(dias) (MPa) (GPa) (x10-3) (GPa) (kN/mm2) (mm) (kgf)

C00_00_1 48 36.1 35.1 1.7 21.0 209.6 300 12.70

C00_00_2 48 36.7 37.3 1.5 23.8 177.1 300 12.75

C00_00_3 48 35.5 30.9 1.8 19.9 176.1 298 12.70

C00_00_4 48 35.9 24.3 1.9 18.8 179.9 295 12.55

C00_00_5 48 32.9 23.9 1.9 17.8 170.8 298 12.65

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_00_1

C00_00_2

C00_00_3

C00_00_4

C00_00_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_00_1

C00_00_2

C00_00_3

C00_00_4

Figura AI.2 - Diagrama de tensão-extensão dos

provetes da série C00_00. Figura AI.3 - Diagrama de degradação de rigidez de

Ec0 nos provetes da série C00_00.

(1) Não foi possível fotografar os provetes desta série.

Anexo I

202

Figura AI.4 - Configuração de rotura dos provetes da série C00_30.



C00_30_1 40 33.9 28.4 2.0 17.1 291.8 300 12.60

C00_30_2 40 33.8 25.5 1.8 19.0 318.2 299 12.65

C00_30_3 40 32.4 14.9 3.1 10.5 305.0 298 12.60

C00_30_4 40 35.4 31.5 1.8 19.6 296.0 298 12.70

C00_30_5 40 33.9 24.9 2.1 16.2 386.9 298 12.60

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_30_1

C00_30_2

C00_30_3

C00_30_4

C00_30_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Logi

ntud

inal

(GPa

)

C00_30_1

C00_30_2

C00_30_3

C00_30_4




Anexo I

203




C00_60_1 40 34.1 22.2 2.8 12.3 426.6 300 12.75

C00_60_2 40 34.7 30.6 2.0 17.3 420.7 297 12.75

C00_60_3 40 32.1 19.2 2.5 12.6 422.7 298 12.70

C00_60_4 40 36.6 31.9 1.9 19.4 460.6 299 12.75

C00_60_5 40 34.3 29.3 1.8 18.7 429.1 300 12.80

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_60_1

C00_60_2

C00_60_3

C00_60_4

C00_60_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_60_1

C00_60_2

C00_60_3

C00_60_4




Anexo I

204




C00_90_1 40 32.9 27.5 2.1 15.9 473.2 300 12.75

C00_90_2 40 33.3 24.3 2.4 13.7 535.1 298 12.75

C00_90_3 40 33.1 25.2 2.3 14.6 541.0 298 12.75

C00_90_4 40 34.7 31.6 2.2 16.0 533.0 300 12.90

C00_90_5 40 32.6 25.3 2.7 11.9 629.5 299 12.70

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C00_90_1

C00_90_2

C00_90_3

C00_90_4

C00_90_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C00_90_1

C00_90_2

C00_90_3

C00_90_4


provetes da série C00_90. Figura AI.12 - Diagrama de degradação de rigidez

de Ec0 nos provetes da série C00_90.

Anexo I

205




C270_00_1 41 (1) (1) (1) (1) (1) 300 13.15

C270_00_2 41 32.2 22.1 1.7 18.9 170.7 299 13.05

C270_00_3 41 32.3 20.7 2.1 15.2 242.2 296 13.15

C270_00_4 41 35.6 31.4 1.6 22.6 197.5 298 13.10

C270_00_5 41 31.7 31.4 1.5 21.6 185.9 298 13.10

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C270_00_2

C270_00_3

C270_00_4

C270_00_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C270_00_2

C270_00_3

C270_00_4



de Ec0 nos provetes da série C270_00. (1) Não foram considerados os resultados deste provete.

Anexo I

206




C270_30_1 48 38.7 30.2 1.7 22.2 377.9 300 13.20

C270_30_2 48 28.2 24.3 1.9 14.5 339.6 285 13.15

C270_30_3 48 32.8 28.5 1.9 17.5 395.9 280 13.10

C270_30_4 48 30.8 29.1 2.0 15.6 311.2 300 13.20

C270_30_5 48 36.3 34.9 1.4 25.3 337.1 295 13.20

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C270_30_1

C270_30_2

C270_30_3

C270_30_4

C270_30_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C270_30_1

C270_30_2

C270_30_3

C270_30_4




Anexo I

207




C270_60_1 45 33.8 27.1 2.3 15.0 477.6 300 13.25

C270_60_2 45 31.8 29.3 1.8 17.5 421.2 310 13.30

C270_60_3 45 31.2 19.3 2.6 12.2 447.1 285 13.20

C270_60_4 45 30.3 25.6 2.1 14.2 371.4 280 13.15

C270_60_5 45 30.6 26.7 2.0 15.2 441.5 285 13.25

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C270_60_1

C270_60_2

C270_60_3

C270_60_4

C270_60_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C270_60_1

C270_60_2

C270_60_3

C270_60_4




Anexo I

208




C270_90_1 68 28.7 18.6 3.2 9.0 488.3 300 13.10

C270_90_2 68 33.0 22.1 2.9 11.2 613.0 298 13.15

C270_90_3 68 28.6 23.8 2.3 12.4 449.3 298 13.00

C270_90_4 68 31.7 25.2 2.2 14.6 524.7 300 13.30

C270_90_5 68 32.2 19.5 4.2 7.6 529.7 298 13.15

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C270_90_1

C270_90_2

C270_90_3

C270_90_4

C270_90_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C270_90_1

C270_90_2

C270_90_3

C270_90_4




Anexo I

209




C90_00_1 55 41.3 34.5 2.4 17.3 471.7 297 13.20

C90_00_2 55 38.2 44.3 2.8 13.4 424.1 298 13.25

C90_00_3 55 39.5 42.6 3.0 13.0 440.7 297 13.20

C90_00_4 55 37.7 30.3 3.1 12.0 419.6 297 13.25

C90_00_5 55 44.0 35.1 2.6 17.2 404.3 298 13.35

Amostra

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C90_00_1

C90_00_2

C90_00_3

C90_00_4

C90_00_5

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C90_00_1

C90_00_2

C90_00_3

C90_00_4




Anexo I

210




C90_30_1 54 (1) (1) (1) (1) (1) 297 13.25

C90_30_2 54 37.3 24.8 4.2 8.8 643.3 298 13.25

C90_30_3 54 36.8 26.0 4.0 9.2 603.5 296 13.30

C90_30_4 54 35.4 29.5 3.3 10.7 650.1 300 13.25

C90_30_5 54 36.3 25.3 3.5 10.5 616.9 296 13.10

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C90_30_2

C90_30_3

C90_30_4

C90_30_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Logi

tudi

nal (

GPa

)

C90_30_2

C90_30_3

C90_30_4



de Ec0 nos provetes da série C90_30. (1) Não foram considerados os resultados deste provete.

Anexo I

211

Figura A1.31 - Configuração de rotura dos provetes da série C90_60.



C90_60_1 54 39.5 30.3 4.1 9.5 763.2 299 13.30

C90_60_2 54 35.5 26.7 4.7 7.5 691.7 300 13.30

C90_60_3 54 35.9 26.1 3.6 10.1 729.6 299 13.30

C90_60_4 54 37.8 29.1 3.6 10.5 654.2 296 13.40

C90_60_5 54 38.3 28.5 3.4 11.1 753.9 296 13.30

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C90_60_1

C90_60_2

C90_60_3

C90_60_4

C90_60_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C90_60_1

C90_60_2

C90_60_3

C90_60_4




Anexo I

212




C90_90_1 49 34.5 22.6 6.1 5.6 852.4 301 13.30

C90_90_2 49 34.6 24.3 4.6 7.6 784.1 298 13.30

C90_90_3 49 37.6 25.7 4.8 7.9 904.8 296 13.25

C90_90_4 49 35.4 27.6 4.4 8.0 761.9 300 13.30

C90_90_5 49 39.4 25.9 3.9 10.0 876.1 298 13.50

Amostra

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C90_90_1

C90_90_2

C90_90_3

C90_90_4

C90_90_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C90_90_1

C90_90_2

C90_90_3

C90_90_4




Anexo I

213




C38_00_1 47 47.8 28.4 6.2 7.7 850.0 300 13.75

C38_00_2 47 43.4 24.2 8.0 5.4 849.5 299 13.35

C38_00_3 47 40.9 24.2 5.9 7.0 760.7 300 13.70

C38_00_4 47 47.0 28.8 6.4 7.3 933.0 301 13.70

C38_00_5 47 46.0 18.1 6.3 7.3 863.2 299 13.75

Amostra

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C38_00_1

C38_00_2

C38_00_3

C38_00_4

C38_00_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C38_00_1

C38_00_2

C38_00_3

C38_00_4




Anexo I

214




C38_30_1 53 49.2 36.9 5.7 8.7 857.4 300 13.75

C38_30_2 53 48.9 33.1 6.1 8.0 956.9 300 13.70

C38_30_3 53 48.1 36.9 6.8 7.1 924.6 296 13.60

C38_30_4 53 46.5 32.2 6.0 7.8 980.6 300 13.70

C38_30_5 53 47.9 32.9 5.9 8.1 975.6 295 13.70

Amostra

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C38_30_1

C38_30_2

C38_30_3

C38_30_4

C38_30_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C38_30_1

C38_30_2

C38_30_3

C38_30_4




Anexo I

215




C38_60_1 57 50.1 31.7 6.6 7.6 1049.6 300 13.70

C38_60_2 57 49.1 28.9 6.4 7.7 1173.5 280 13.65

C38_60_3 57 48.7 24.8 7.0 6.9 1002.8 300 13.75

C38_60_4 57 49.4 32.1 6.3 7.9 1119.1 300 13.90

C38_60_5 57 46.0 34.0 5.2 8.8 1058.8 295 13.65

Amostra

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C38_60_1

C38_60_2

C38_60_3

C38_60_4

C38_60_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C38_60_1

C38_60_2

C38_60_3

C38_60_4




Anexo I

216




C38_90_1 47 45.9 23.0 6.9 6.6 1165.5 300 13.75

C38_90_2 47 40.9 23.2 7.8 5.2 1070.0 302 13.35

C38_90_3 47 46.2 24.6 7.5 6.1 1121.2 299 13.70

C38_90_4 47 45.7 26.5 7.6 6.0 1204.3 298 13.70

C38_90_5 47 45.0 24.7 9.1 4.9 1264.1 300 13.75

Amostra

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Tens

ões

(MPa

)

C38_90_1

C38_90_2

C38_90_3

C38_90_4

C38_90_5

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

Extensões (x10-3)

Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

C38_90_1

C38_90_2

C38_90_3

C38_90_4




Anexo II

Anexo II

219

Diagramas correspondentes à extensão de pico:

0

2

4

6

8

10

0 30 60 90


Exte

nsão

cor

resp

onde

nte

à te

nsão

máx

ima

(x10

-3)

0

6

12

18

24

30


)

Média

Coef.Variação

0

2.5

5

7.5

10

0 30 60 90


Exte

nsão

cor

resp

onde

nte

à te

nsão

máx

ima

(x10

-3)

0

5

10

15

20


)

Média

Coef.Variação

Figura AII.1 - Evolução da extensão de pico

para ρw = 0.00 %. Figura AII.2 - Evolução da extensão de pico

para ρw = 0.38 %.

0

2.5

5

7.5

10

0 30 60 90


Exte

nsão

cor

resp

onde

nte

à te

nsão

máx

ima

(x10

-3)

0

5

10

15

20


)

Média

Coef.Variação

0

2.5

5

7.5

10

0 30 60 90


Exte

nsão

cor

resp

onde

nte

à te

nsão

máx

ima

(x10

-3)

0

5

10

15

20


)

Média

Coef.Variação


para ρw = 1.13 %. Figura AII.4 - Evolução da extensão de pico

para ρw = 2.65 %.

Anexo II

220

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3


Exte

nsão

Máx

ima

de C

ompr

essã

o (x

10-3

)

0

4

8

12

16

20


)

Média

Coef.Variação

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3


Exte

nsão

Máx

ima

de C

ompr

essã

o (x

10-3

)

0

6

12

18

24

30


)

Média

Coef.Variação


para Qf = 00 kg/m3 de betão. Figura AII.6 - Evolução da extensão de pico

para Qf = 30 kg/m3 de betão.

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3


Exte

nsão

Máx

ima

de C

ompr

essã

o (x

10-3

)

0

4

8

12

16

20


)

Média

Coef.Variação

0

2

4

6

8

10

0 1 2 3


Exte

nsão

Máx

ima

de C

ompr

essã

o (x

10-3

)

0

4

8

12

16

20


)

Média

Coef.Variação


para Qf = 60 kg/m3 de betão. Figura AII.8 - Evolução da extensão de pico


Anexo II

221

Diagramas correspondentes à tensão de pico:

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

2

4

6

8

10


)Média

Coef.Variação

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

5

10

15

20


)

Média

Coef.Variação

Figura AII.9 - Evolução da tensão de pico

para ρw = 0.00 %. Figura AII.10 - Evolução da tensão de pico

para ρw = 0.38 %.

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

2

4

6

8

10


)Média

Coef.Variação

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

2.5

5

7.5

10


)

Média

Coef.Variação


para ρw = 1.13 %. Figura AII.12 - Evolução da tensão de pico

para ρw = 2.65 %.

Anexo II

222

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

2

4

6

8

10


)

Média

Coef.Variação

0

10

20

30

40

50

0 1 2 3


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

3

6

9

12

15


)

Média

Coef.Variação


para Qf = 00 kg/m3 de betão. Figura AII.14 - Evolução da tensão de pico


0

10

20

30

40

50

0 1 2 3


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

2

4

6

8

10


)

Média

Coef.Variação

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Tens

ão M

áxim

a de

Com

pres

são

(MPa

)

0

2

4

6

8

10

Coe

ficie

nte

de V

aria

ção

(%)

Média

Coef.Variação


para Qf = 60 kg/m3 de betão. Figura AII.16 - Evolução da tensão de pico


Anexo II

223

Diagramas correspondentes ao módulo de elasticidade inicial:

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal I

nici

al (G

Pa)

0

6

12

18

24

30


)

Média

Coef.Variação

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal I

nici

al (G

Pa)

0

5

10

15

20

25


)

Média

Coef.Variação

Figura AII.17 - Evolução do módulo de

elasticidade inicial para ρw = 0.00 %. Figura AII.18 - Evolução do módulo de

elasticidade inicial para ρw = 0.38 %.

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal I

nici

al (G

Pa)

0

5

10

15

20


)

Média

Coef.Variação

0

10

20

30

40

50

0 30 60 90


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal I

nici

al (G

Pa)

0

5

10

15

20


)

Média

Coef.Variação

Figura AII.19 - Evolução do módulo de

elasticidade inicial para ρw = 1.13 %. Figura AII.20 - Evolução do módulo de

elasticidade inicial para ρw = 2.65 %.

Anexo II

224

0

12.5

25

37.5

50

0 1 2 3


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

0.0

6.3

12.5

18.8

25.0


)Média

Coef.Variação

0

12.5

25

37.5

50

0 1 2 3


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

0.0

7.5

15.0

22.5

30.0


)

Média

Coef.Variação

Figura AII.21 - Evolução do módulo de elasticidade

inicial para Qf = 00 kg/m3 de betão. Figura AII.22 - Evolução do módulo de elasticidade

inicial para Qf = 30 kg/m3 de betão.

0

12.5

25

37.5

50

0 1 2 3


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

0

7.5

15

22.5

30


)

Média

Coef.Variação

0

10

20

30

40

0 1 2 3


Mód

ulo

de E

last

icid

ade

Long

itudi

nal (

GPa

)

0.00

3.75

7.50

11.25

15.00


)

Média

Coef.Variação

Figura AII.23 - Evolução do módulo de elasticidade

inicial para Qf = 60 kg/m3 de betão. Figura AII.24 - Evolução do módulo de elasticidade

inicial para Qf = 90 kg/m3 de betão.

Anexo III

Anexo III

227

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação

Plastif icação da armadura

Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)



Figura III.1 - Diagrama F-δ da viga

V1_750_00. Figura III.2 - Diagrama de extensões a meio vão

da viga V1_750_00.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade

Figura III.3 - Diagrama de energia total

da viga V1_750_00. Figura III.4 - Diagrama de ductilidade

da viga V1_750_00.

Anexo III

228

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0 7.5 10.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)Extensão ao nível da armadura inferiror



V2_750_00. Figura III.6 - Diagrama de extensões a meio

vão da viga V2_750_00.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_750_00.

Anexo III

229

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_750_30.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_750_30.

Anexo III

230

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3





da viga V2_750_30.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_750_30.

Anexo III

231

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_750_60.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_750_60.

Anexo III

232

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3





da viga V2_750_60.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_750_60.

Anexo III

233

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_750_90.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_750_90.

Anexo III

234

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3





da viga V2_750_9.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_750_90.

Anexo III

235

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-4

-3

-1

0

1

3

4

5

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_150_00.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Dut

ilidad

e



da viga V1_150_00.

Anexo III

236

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)




V2_150_00. Figura III.38 - Diagrama de extensões a meio

vão da viga V2_150_00.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_150_00.

Anexo III

237

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_150_30.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40


Duc

tilid

ade



da viga V1_150_30.

Anexo III

238

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V2_150_30.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500

Deslocamentos-Acumulados (mm)

Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_150_30.

Anexo III

239

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_150_60.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_150_60.

Anexo III

240

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V2_150_60.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_150_60.

Anexo III

241

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V2_150_90.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_150_90.

Anexo III

242

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3





da viga V1_75_00.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_75_00.

Anexo III

243

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_75_30.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_75_30.

Anexo III

244

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3





da viga V2_75_30.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40

Semi-Ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_75_30.

Anexo III

245

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V1_75_60.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_75_60.

Anexo III

246

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3





da viga V1_75_90.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

0 10 20 30 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V1_75_90.

Anexo III

247

-50.0

-40.0

-30.0

-20.0

-10.0

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

-30.0 -25.0 -20.0 -15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

Deslocamento (mm)

Forç

a (k

N)

Fendilhação


Rotura da viga

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40Semi-ciclos

Exte

nsõe

s (x

10-3

)





da viga V2_75_9.

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 100 200 300 400 500


Ener

gia

(kN

m)

0

1

2

3

4

5

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Semi-ciclos

Duc

tilid

ade



da viga V2_75_90.

Anexo IV

Anexo IV

251

Comprovação matemática que J corresponde a metade do comprimento do elemento (elemento de 2 nós):

( ) ( )( )( ) ( )

( )

∂∂ξ

∂∂ξ

ξ ξ

∂ ξ∂ξ

∂ ξ∂ξ

xN x N x

Nx

Nx

x x

x x

L c q d

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅

= − ⋅ + ⋅

= ⋅ −

= ⋅

1 1 2 2

11

22

1 2

2 1

12

12

1212

. . .

Comprovação matemática que J corresponde a metade do comprimento do elemento (elemento de 3 nós):

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

∂∂ξ

∂∂ξ

ξ ξ ξ

∂ ξ∂ξ

∂ ξ∂ξ

∂ ξ∂ξ

ξ ξ ξ

ξ

ξ

xN x N x N x

Nx

Nx

Nx

x x x

x x x x x x

LL L

L c q d

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅

= −

⋅ + − ⋅ ⋅ + +

⋅

= ⋅ − + ⋅ − + −

= ⋅ + ⋅ − +

= ⋅

1 1 2 2 3 3

11

22

33

1 2 3

3 1 1 2 3 2

12

212

1212 2 212

. . .

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FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DO PORTO · 2006-09-21 · RESUMO ... de Engenharia da Universidade do Minho e, ... CAPÍTULO 6 - Modelação Numérica 6.1 Introdução