FASES GEOMÉTRICAS EM RESSONÂNCIA MAGNÉTICA NUCLEAR

  

APRESENTADO POR: MIGUEL L. NETO MESTRANDO EM FÍSICA – UFCG

miguel@df.ufcg.edu.br

INTRODUÇÃO ‐ RESUMO  

Neste seminário iremos falar sobre fases geométricas na mecânica quântica, em especial, sistemas de spin ½ na presença de um campo magnético. Iniciaremos por rever o conceito de transporte paralelo de vetores e fases geométricas na mecânica clássica, por exemplo, o pêndulo de Foucault, e em seguida mostraremos as fases de Berry na ressonância magnética nuclear.

  

FASES GEOMÉTRICAS EM MECÂNICA CLÁSSICA 

   

   

TEOREMA DE PITÁGORAS 

 

TRANSPORTE PARALELO DE VETORES 

  

 

   

O PÊNDULO DE FOUCAULT 

 

Como se sabe o plano de oscilação roda com a rotação da terra.  

 

 

   A explicação usual faz uso das forças de Coriolis, mas de fato, é apenas uma fase geométrica. O ângulo sólido segundo o qual o caminho é visto à latitude 

   

 É dado por    

 

 

GEOMETRIA & TOPOLOGIA 

  

                                   

                                   

  

RELAÇÃO DE EULER

  

V-A+F=2   

 

EXEMPLO: C60 RELAÇÃO DE EULER: V-A+F=2

V ≡ NÚMERO DE ÁTOMOS A ≡ NÚMERO DE LIGAÇÕES

FP: 12(FACES) * 5(LADOS) = 60(LIGAÇÕES) FH: 20(FACES) * 6(LADOS) = 120(LIGAÇÕES)

CADA ARESTA FOI CONTADA DUAS VEZES, LOGO:

2*A = 60 + 120 => A = 90

ASSIM O NÚMERO DE ÁTOMOS (VÉRTICES) PODE SER OBTIDO PELA “RELAÇÃO DE EULER”.

V – 90 + 32(TOTAL DE FACES) = 2 => V = 60

A MOLÉCULA POSSUI 60 ÁTOMOS E 90 LIGAÇÕES.

 

FASES GEOMÉTRICAS EM MECÂNICA QUÂNTICA   

   A  fase  geométrica  é  considerada  como  sendo  a  condição quântica de transporte paralelo. Para evoluções unitárias, o T.P. é  uma  relação  entre  o  operador  unitário  e  o  estado  inicial  do vetor. 

 Considere um Qubit, por exemplo, o spin‐1/2 de um núcleo. 

TEOREMA ADIABÁTICO

Se uma partícula estava inicialmente no estado |n> do Hamiltoniano Hi, na transição adiabática de Hi para Hf, ela vai ser levada para o estado |n> do Hamiltoniano Hf.

 

   

FASE DINÂMICA 

 

  

FASE DE BERRY  

 

EXEMPLO: SPIN ½ - CAMPO MAGNÉTICO EM ROTAÇÃO    

CAMPO MAGNÉTICO QUE PRECESSA COM VELOCIDADE ANGULAR ω

   

O HAMILTONIANO

  

 

    

 

AUTOVETORES INSTANTÂNEOS

                          

AUTOVALORES DE ENERGIA

   

A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA a & b

EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA

    

                              

SOLUÇÃO EXATA  

 

SOLUÇÃO EXATA NA BASE χ+ E χ-

   

A CONDIÇÃO DO TEOREMA ADIABÁTICO É QUE:

LOGO,  

  

ASSIM TEREMOS                          

   

 

COMPARANDO AGORA AS FASES, TEREMOS

   

   

  

 

    

PARA UMA ROTAÇÃO COMPLETA, TEMOS:

    

                                

 

GRADIENTE EM COORDENADAS ESFÉRICAS

    

    

TEOREMA DE STOKES  

  

              

  

RESSONÂNCIA MAGNÉTICA NUCLEAR 

DESLOCAMENTO QUÍMICO

ACOPLAMENTO

EQUIPAMENTOS DE NMR

$ 1.000.000,00 $ 2.000.000,00 $ 5.000.000,00 $ 25.000.000,00

UM DIA AGENTE CHEGA LÁ!!!rs

$ 50.000.000,00

R$ 100.000,00

QUEM NÃO TEM ESPECTRÔMETRO... SIMULA!!!rs

 

A COMPUTAÇÃO QUÂNTICA GEOMÉTRICA VIA NMR 

 

|ψ> = cos( )|0> + eiφsen( )|1> 

E O FULLERENO ???

? @

@ FU

ULLE

ERENNO

COMPUTADORES QUÂNTICOS

 

 

FASES & PORTAS GEOMÉTRICAS

Os experimentos mais comuns de portas de fase em um Qubit, são os de spin’s-½ num campo magnético estático acoplado a um campo magnético oscilante. Se ω1 é a freqüência de transição do Qubit no campo, ω a freqüência do campo oscilante e A a amplitude do campo oscilante, então controlando ω e ω1, podemos implementar um “circuito cônico” equivalente ao que o campo magnético varia lentamente com um ângulo θ

 

A fase de Berry adquirida por um Qubit (spin-½) depende da freqüência de transição.

SENSIBILIDADE DO EQUIPAMENTO +

“TÉCNICA/PORTAS GEOMÉTRICAS”

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS OS PRÓS E CONTRAS...

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA:

OBRIGADO PELA ATENÇÃO !!! 

www.df.ufcg.edu.br

Miguel L. Neto ∞8