Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez

1

Fenômenos de Transporte I

Aula 03

3.5- Força hidrostática sobre superfícies submersas

A determinação de forças na superfície de corpos submersos é

importante no projeto de tanques para armazenamento de fluidos,

navios, submarinos, barragens e de outras estruturas hidráulicas

que esteja sob ação de forças de superfície submersas.

Para determinar completamente a resultante da força atuando

sobre uma superfície submersa, devemos especificar:

1- A magnitude ou módulo da força resultante;

2- O sentido da força;

3- A linha de ação da força.

3.5.1- Força hidrostática sobre uma superfície plana submersa

A determinação das forças que atuam sobre superfícies planas

submersas é um problema frequente da estática dos fluidos. Essas

forças são devidas às distribuições de pressões nos fluidos, e a força

resultante é obtida através da integração da distribuição de

pressões sobre a superfície plana submersa.

2

a) Superfície plana submersa

A força total de contato superficial no corpo pode ser determinada

pela soma vetorial das forças superficiais em toda a área do corpo

submerso.

xy

z

y

x

dF

y’

x’

FR

CP

Centro de Pressão, CP

Ponto de aplicação

da força resultante

dA

(+) h

P0

P

líquido

(superfície livre)

O

3

g

A força de pressão agindo sobre o elemento de área, dA, no ponto O

é dado por:

onde o sinal menos indica que a força dF age sobre o elemento de

área dA, em sentido oposto ao da normal da área A. A força

resultante é dado por:

A pressão P no ponto O sobre superfície plana de área A é dado por:

onde P0 é a pressão na superfície livre (h = 0).

(escalar)PdA dF

(vetor) APd Fd

( 1 )

( 2 ) APd Fd F A

R

gh ρ P P fluido0

( 3 )

4

Adρgh P F 0R ( 4 )

Portanto, a força resultante total aplicada a uma superfície plana

submersa horizontal é dado por:

Podemos escrever também:

onde FRx , FRy e FRz são as componentes escalares de FR nos

sentidos positivos de x, y e z, respectivamente.

kF jF iF F RRRR zyx ( 5 )

5

PdA k.APd k.Fd k.F F

PdA j.APd j.Fd j.F F

PdA i.APd i.Fd i.F F

AA

RR

AA

RR

AA

RR

z

y

x

zz

yy

xx

onde:

kF jF iF F RRRR zyx

6

b) Superfície plana inclinada

ysenθ h y

h senθ

dA

7

y

dA

8

ysenθ h k Wdy Ad

A

0R

AA

R

Adρgh P F

APd Fd F

9

W = largura da comporta

ydA

kWdyρysenθg P F

AdP

0R

k

2

y y Wsenθ γA P F

21

22

0R

k2

y y Wsenθ γ y yWP F

ksenθ2

yWρg Wy P F

kdyWysenθρg W P F

21

22

A

120R

y

y

2

γ

0R

y

yγ

0R

2

1

2

1

( 6 )

10

O momento, M, da força distribuída em relação ao eixo no ponto O

é dado por:

APd . r Fd . r F . r' M R ( 7 )

kF F

kdA Ad

j i r

j' i ' r'

RR

yx

yx

x'

y'

x

y

FdRF

o x

y

z

11

CP

( 8 )

AR

A

R

AR

A

R

PdA F

1 ' PdA F' M

PdA F

1 ' PdA F' M

yyyy

xxxx

x

y

12

Exemplo 01: A porta lateral do tanque é articulada na borda inferior.

Uma pressão de 100 lbf/ft2 (manométrica) é aplicada na superfície

livre do líquido. Determine a força Ft necessária para manter a porta

fechada.

L = 3ft

b = 2ft

Articulação (eixo x) = 100 lbf/ft3

P = 100 lbf/ft2

Comporta

13

Solução: Aplicando os momentos em relação ao eixo x da

articulação, temos:

L

0dA

A

t

t

)(M)(M

t

bdPL

1 PdA

L

1 F

dFL

1 F

0 dF .LF M

zzz

z

z

x

x

x

z

z

x

dF

Ft

L

h (+)

Articulação (eixo x)

h = L - z

P0

14

o

h

L γ P P

L h

h γ P gh ρ P P

fluido0

fluido0fluido0

z

z

3

L

2

LL

L

γb

L2

bLP F

3

z

2

Lz

L

γb

L2

bP F

dz LL

γb dP

L

b F

d L γ PbL

1 F

3220

t

L

0

32L

0

20

t

L

0

2

L

0

0t

L

0

fluido0t

z

zzzz

zzz

15

lbf 600 F

6

ft 9ft x 2 x

ft

lbf 100

2

3ft2ft x x

ft

lbf100 F

6

γbL

2

bLP

3

1

2

1bL γ

2

bLP F

t

2

32t

2020

t

Este problema ilustrou:

a) A inclusão da pressão manométrica diferente de zero na

superfície livre do líquido;

b) O emprego direto do momento distribuído sem a avaliação da

força resultante e sua linha de ação em separado.

16

Exemplo 02: A medida que a água sobe no lado esquerdo da

comporta retangular de largura W, ela abrir-se-á automaticamente.

A que profundidade ‘D’ acima da articulação (A) isso ocorrerá?

Despreze a massa da comporta.

z

y

1,5 m

zdF2

D dF1

y

h1

P1

AP2

h2

líquido

17

D

0

m 1,5

0

m 1,5

0dA

D

0 dA

m 1,5

0

2

P

2

D

0

1

P

1

m 1,5

0

22

D

0

11

m 1,5

0

2

D

0

1A

Dd d D

dWDgρ dW Dgρ

dAρgh dAρgh

0 dAP dAP

0 dF dF M

21

21

zzyyy

zzyyy

zy

zy

zy

18

2

3

2

33

232

m5,1

0

2D

0

32

Dx1,125m 6

D

Dx1,125m 3

D

2

D

2

1,5mD

3

D

2

DD

2D

3

2

D

zyy

2,6m D

19

Exemplo 03: A comporta de 2 m de comprimento é articulada em H. Sua

largura de 2 m é normal ao plano da Figura. Calcule a força Ft requerida em

A para manter a comporta fechada.

Dado: água = 9810 N/m3

30

1 m

H

Ft

z

y

água

h

dF

h1

A

Patm ( 0)

30

20

L = 2m

yPd F

dLyPL

1 yPdA

L

1 ydF

L

1 F

0 ydF LF M

L

0

t

L

0

t

tH

y

y

ysen30 1m γ P

ysen30 1m h 1m h

h γgh ρ P P

0

água

0

1

águaáguaatm

21

2m L W

Wdy dA

N 32700 F

6

8m

2

4mm1

m

N9810 F

2

1

3

(2m)

2

(2m)1m. γ F

sen303

y

2

y1m. γ F

dsen30y 1m.y γ dysen30 1myγ F

t

32

3t

32

águat

2m L

0

0

32

águat

L

0

02

água

L

0

0

águat

yy

kN 32,7 F t

22

Exemplo 04: O nível de água é controlado por uma comporta plana de

espessura uniforme e articulado em A. A largura da comporta, normal ao

plano da Figura, é W = 10 ft. Determine a massa M, necessária para manter

o nível à profundidade H, ou menos, se a massa da comporta for desprezível.

Dado: água = 1,94 slug/ft3

M

z y

H = 4 ft

W

dFh

D

A

23

7,5ft

0

7,5ft

0

zA

yPwdy 2,5ft Mgcosθ

yPwdy yPdA ydF 2,5ft Wcosθ

0 ydF 2,5ft W M

ysenθ ft 4 γh γ P

32,23 θ 7,5)arcseno(4/ θ 0,53 7,5ft

4ft senθ

ysenθ 4ft D 4ft h

h γgh ρ P P

águaágua

0

águaáguaatm

24

slug 344 M

0

32

0

3

7,5ft

0

32

água

7,5ft

0

2água

7,5ft

0

água

sen32,233

(7,5ft) ft 4

2

(7,5ft)

cos32,232,5ft

t1,94slug/f10ft M

senθ3

y ft 4

2

y

cosθ2,5ft

wρ M

dysenθy ft 4ycosθg2,5ft

ρgw M

wdyysenθ ft 4γy 2,5ft Mgcosθ

25

Exemplo 05: A comporta AOC mostrada na Figura tem 6 ft de largura e é

articulada ao longo de O. Desconsiderando o peso da comporta, determine a

força na barra AB.

Dado: água = 1,94 slug/ft3 ; 1slug = lbf.s2/ft ; g = 32,2 ft/s2

26

Ft

z

yFt

dF1

dF2

6 ft

8 ft

12 ft h2

h1

A

OC

B3 ft

27

z

y

12ft γ P

12ft h

h γ ghρ P P

y 12ft γ P

y 12ft h

h γ ghρ P P

água2

2

2água2águaatm2

água1

1

1água1águaatm1

6ft

0

2

ft12

0

1t

2211t

21t

12tO

WdzzP WdyyP 15ft F

dAzP dAyP 15ft F

zdF ydF 15ft F

0 ydF zdF 15ft F M

28

2

z12ft

3

y 12ft

2

y Wγ15ft F

zdz12ft dyy y12ft Wγ15ft F

Wdz12ftz Wdyy 12ft yγ 15ft F

WdzzP WdyyP 15ft F

6ft

0

212ft

0

32

águat

6ft

0

ft12

0

2

águat

6ft

0

ft12

0

águat

6ft

0

2

ft12

0

1t

29

lbf 1797,6 F t

216ft 576ft 864ft ftft

lbf374,51 15ft F

2

6ft12ft

3

12ft 12ft

2

12ft

s

ft32,2

ft

lbf.s94,16ft 15ft F

2

z12ft

3

y 12ft

2

y g Wρ15ft F

333

4t

232

24

2

t

6ft

0

212ft

0

32

águat

30

3.6- Empuxo e estabilidade

Se um objeto estiver imerso, ou flutuando, num líquido, a força

vertical atuando sobre ele em decorrência da pressão do líquido é

denominada empuxo.

Para calcularmos esta força vamos considerar um corpo cilíndrico

submerso em um fluido qualquer:

H

Patm

z (+)dF2 (+)

dF1 (-)

P1

P2

y1

y2

líquidodV

dA

31

h (+)

A força que atua no topo do cilindro é:

( 1 )

A força que atua na base do cilindro é:

( 2 )

Nas laterais do cilindro as forças se anulam.

A força resultante, FR , é:

dA ρgy P dA P dF 1atm1z1,

dA ρgy P dA P dF 2atm2z2,

dAy y γ dF

yρg P yρg P dF

dF dF dF

H

12zR,

1

γ

atm2

γ

atmzR,

z1,z2,zR,

32

( 3 ) dV γ dA H γ dF

dV

zR,

ρgV V γ F

dV γ dF

zR,

zR,

Integrando a equação (3) e considerando o fluido incompressível,

tem-se:

ρgV V γ ( 4 )

Esta força resultante é conhecida como empuxo, Є.

= massa específica do fluido

g = aceleração da gravidade

V = volume do sólido submerso

33

Observações:

1- Quando um corpo submerso tende a subir no fluido:

2- O corpo tende a afundar:

Є

W

líquido

sólidofluido

sólidosólidosólidofluido

sólidosólidofluido

ρ ρ

gVρ Vgρ

gm V γ

W

Є

W

líquido sólidofluido

sólidosólidosólidofluido

sólidosólidofluido

ρ ρ

gVρ Vgρ

gm V γ

W

O sólido flutua!

O sólido afunda!

34

2- O corpo permanece estático:

Є

W

líquido

sólidofluido

sólidosólidosólidofluido

sólidosólidofluido

ρ ρ

gVρ Vgρ

gm V γ

W

O sólido fica parado,

mas submerso!

35

Exemplo 01: Um balão de ar quente (com a forma aproximada de

uma esfera de 15,24 m (50 ft) deve levantar um cesto com carga de

2668,8 N (600 lbf). Qual a temperatura que o ar deve ser aquecido de

modo a possibilitar a decolagem do balão?

Dados:

Condições padrão de temperatura e pressão: T = 15C, Patm = 1 atm.

Dbalão = 15,24 m, Peso da carga do balão = 2668,8 N

ar = 1,23 kg/m3 a 15C; g = 9,81 m/s2

Solução:

Considere o gás ideal e pressão atmosférica ao redor do balão.

WAQ

Wcarga

Є

6

πD V

3

balão

36

15,24m πm/s 9,81

kg.m/s 2668,86

m

kg1,23 ρ

D gπ

6W ρ ρ

gV

W ρ ρ

0 gV

W ρ ρ

gV 0 W gVρ gVρ

0 W gm gVρ

0 W W

0 F

32

2

3AQ

3

carga

AFAQ

balão

carga

AFAQ

balão

carga

AQAF

balãocargabalãoAQbalãoAF

cargaAQbalãoAF

cargaAQ

y

37

kg/m 1,08 ρ 3

AQ

Para obter a temperatura do ar quente, podemos usar a equação do

gás ideal na seguinte forma:

K273,15 15kg/m 1,08

kg/m 1,23 T

ρ

ρ T

Tρ

1

Tρ

1

Tρ

mP

Tρ

mP

T

VP

T

VP

3

3

1

2

12

2211

22

22

11

11

QuenteAr

2

22

CNTP naAr

1

11

Quente)(Ar C55 328,17K T 0

2

Ar21

atm21

i

ii

i

ii

m m m

P P P

ρ

m V

V

m ρ

38

Exemplo 02: Verificou-se que um pedaço de minério pesa 1,5 N no

ar e 1,1 N quando submerso em água. Qual é o seu volume em cm3

e sua densidade relativa? Despreze o empuxo do ar.

Єar = 0

W

F1 = 1,5 N F2 = 1,1 N

ЄÁgua

W

água = 9,81x103 N/m3

ar

VsVs

) 2 ( W FÁgua2

) 1 ( W F

W F

1

ar1

39

m4,077x10 V

/mN9,81x10

N1,1 1,5

γ

F F V

V γ F F

V γ F F F

) 2 ( ) 1 (

35

s

33

água

21

s

ságua21

ságua2Água21

3

s

35

s

1

s

s

s

ssssss

N/m 36791,8 γ

m4,077x10

N 1,5

V

F

V

W γ

V γ g Vρ .gm W

cm 40,8 V 3

s

40

33

3

água

S

água

s

sN/m 9,81x10

N/m 36791,8

γ

γ

g

g SG

Exemplo 03: Quando se fazem pesagens precisas usando uma

balança de pratos, deve-se corrigir o empuxo do ar, no caso se a

densidade do corpo que está sendo pesado for muito diferente dos

pesos padrão do latão. Se um pedaço de madeira de madeira = 0,4

g/cm3 for equilibrado por um peso de latão de 20g, qual o peso real

da madeira? Dado: Latão = 8 g/cm3 ; Ar =1,3.10-3 g/cm3

3,75 SG s

ЄAr ЄAr

Wlatão Wmadeira

FR,L FR,M

Latão Madeira

41

No equilíbrio da balança, temos:

0,4g/cm

0,0013g/cm 1m

8,0g/cm

0,0013g/cm 1g20

ρ

ρ 1m

ρ

ρ 1m

ρ

mρ m

ρ

mρ m

Vgρ gm Vgρ gm

W W

F F

3

3

M3

3

M

Ar

M

L

Ar

L

M

M

ArM

L

L

ArL

MArMLArL

ArMArL

RR madeiralatão

g 20,06195 m M

42

3.7- Densímetros

Os densímetros utilizam a noção de empuxo para determinar a

densidade dos líquidos.

d

h

V0 V2

Є

Є

W W

Material de

enchimento

V

Fluido 1, 1

SG1 = 1 (padrão)

Fluido 2, 2

SG2

Posição inicial

no fluido 1 padrão

Posição final

no fluido 2

Posição inicial

no fluido 1 padrão

43

a = área da seção do tubo

V0 = volume submerso do densímetro no fluido 1

V2 = volume submerso do densímetro no fluido 2 (V2 = V0 - V )

1 = peso específico do fluido 1 padrão

2 = peso específico do fluido 2

W = peso do densímetro

h = variação do nível emerso no fluido 2

V = variação do volume do densímetro emerso no fluido 2

SG1 = densidade relativa do fluido 1 padrão

SG2 = densidade relativa do fluido 2

) 1 ( W gVρ

W gVρSG

W gVρ

W Vγ

W

0água

0água

1

1

01

01

) 2 ( W V VgρSG

W gVρSG

W gVρ

W Vγ

W

2V

0água2

2água2

22

22

Fluido 1, 1

SG1 = 1

Fluido 2, 2

SG2

44

aSG

1 SGV h

2

20

0022

2020

020

0água20água

V VSG ahSG

)1(x ahSG VSG V

ah VSG V

ah V

V VgρSG Vgρ

) 2 ( ) 1 (

( 1 )

Na equação 1:

Quando SG2 1, o densímetro sobe (h+) em relação ao nível do fluido

padrão 1 com SG1 = 1.

Quando SG2 1, o densímetro afunda (h-) em relação ao nível do

fluido padrão 1 com SG1 = 1.

4

πd a

2

( 2 )

45

(SG)

46

Exemplo 04: O densímetro mostrado na Figura a seguir apresenta

massa igual a 45 gramas e a seção transversal da haste é igual a 290

mm2. Determine a distância entre as graduações na haste referentes

as densidades relativas 1,0 e 0,9. Dado: água = 1g/cm3 a 4C

W

Є

47

3

0

3

água

0

0água

0água

0água

1

1

01

01

45cm V

1g/cm

45g

ρ

m V

m Vρ

gm Vgρ

) 1 ( W gVρSG

W gVρ

W Vγ

W

1 Fluido

) 2 ( W V VgρSG

W gVρSG

W gVρ

W Vγ

W

2 Fluido

2V

0água2

2água2

22

22

SG1 = 1 SG2 = 0,9

48

0022

2020

020

0água20água

V VSG ahSG

)1(x ahSG VSG V

ah VSG V

ah V

V VgρSG Vgρ

) 2 ( ) 1 (

aSG

1 SGV h

2

20

)afunda! densímetro (o 1,72cm h

0,92,9cm

1 0,9cm45 h

2

3

49

Exemplo 05: Um densímetro é um indicador de densidade relativa,

sendo o valor indicado pelo nível no qual a superfície livre

intercepta a haste que flutua num líquido. A marca 1,0 é o nível em

água destilada. Para o instrumento mostrado, o volume imerso em

água destilada é de 15cm3. A haste tem 6mm de diâmetro.

Determine a distância, h , da marca 1,0 à superfície, quando o

densímetro é colocado numa solução de ácido nítrico de densidade

relativa 1,5. Dado: água = 1g/cm3 a 4C

50

aSG

1 SGV h

2

20

4

πd a

2

V0 = 15cm3

SG1 = 1,0

SG2 = 1,5

d = 6mm = 0,6cm

2

22

cm 0,283 4

0,6cmπ

4

πd a

)sobe! densímetro (o 177mm 17,66cm h

1,50,283cm

1 1,5cm15 h

2

3

51