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Aula 5
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Fenmenos de Transporte I
Aula 05
Prof. Dr. Gilberto Garcia Cortez
1
5. Equaes bsicas na forma integral para um
volume de controle.
5.1- Leis bsicas para um sistemaAs leis bsicas para um sistema so brevemente resumidas a seguir.
Conservao de Massa
Como um sistema , por definio, uma poro arbitrria de
matria de identidade fixa, ele constitudo da mesma quantidade
de matria em todos os instantes. A conservao de massa exige que
a massa, M, do sistema seja constante. Numa base de taxa, temos:
0 dt
dM
sistema
( 1 )
dV dm M
M(sistema) V(sistema)
sistema ( 2 )
onde
2
dt
Pd F
sistema
( 3 )
A Segunda Lei de Newton
Para um sistema movendo-se em relao a um eixo referencial fixo, a
segunda lei de Newton estabelece que a soma de todas as foras
agindo sobre o sistema igual taxa de variao da quantidade de
movimento linear do sistema.
onde a quantidade de movimento linear do sistema dada por:
dV v dmv P
M(sistema) V(sistema)
sistema
( 4 )
3
O Princpio da Quantidade de Movimento Angular
O princpio da quantidade de movimento angular (ou do momento
da quantidade de movimento) para um sistema estabelece que a taxa
de variao da quantidade de movimento angular igual soma de
todos os torques atuando sobre o sistema.
dt
Hd T
sistema
( 5 )
onde a quantidade de movimento angular do sistema dada por:
dV vr dmvr H
M(sistema) V(sistema)
sistema
( 6 )
4
A Primeira Lei da Termodinmica
A primeira lei da termodinmica um enunciado da conservao da
energia para um sistema.
W Q dE
W Q dt
dE
..
Sistema
dV dm E
M(sistema) V(sistema)
sistema ee ( 9 )
( 8 )
( 7 )
Esta equao pode ser escrita na forma de taxa como
onde a energia total do sistema dada por:
e
gz 2
v u
2
e ( 10 )
5
6Sistema
Q ( + )
Q ( - )
W ( - )
W ( + )
Fronteira do sistema
A Segunda Lei da Termodinmica
Se uma quantidade de calor, Q , for transferida para um sistema
temperatura T, a segunda lei da termodinmica estabelece que a
variao da entropia, dS, do sistema satisfaz a relao:
T
Q dS
( 11 )
QT
1
dt
dS
.
sistema
( 12 )
Em uma base de taxa, podemos escrever
onde a entropia do sistema dada por:
dV s sdm S
M(sistema) V(sistema)
sistema ( 13 ) 7
5.2- Relao entre as derivadas do sistema e a formulao
para volume de controle.
Normalmente quando estudamos escoamento de fluidos
conveniente fixar uma certa regio do espao e analisar o que
acontece no interior desta regio com o tempo.
Esta regio fixa recebe o nome de volume de controle (VC) e
baseado no mtodo de Euler , ou seja, em vez de acompanhar
as partculas, analisamos seu comportamento numa regio
fixa no espao. O mtodo tradicional de estudo a base do
mtodo de Lagrange.
8
Como estabelecer as equaes para o volume de controle?
Antes de responder especificamente esta questo, podemos
descrever a deduo em termos gerais.
Considere um VC fixo no espao em relao ao sistema de
coordenadas x, y e z. Vamos imaginar que selecionamos uma
poro arbitrria de um fluido em escoamento em algum
instante t = t0, conforme mostrado na Figura 1a. Em t0, as
fronteiras do sistema e do VC coincidem.
9
Figura 1a
Aps um tempo infinitesimal t, o sistema ter se
movimentado para um novo local, conforme mostrado na
Figura 1b. Em t = t0 + t, o sistema ocupa as regies II e III. O
sistema desloca-se com relao ao VC aps um t.
10
Figura 1b
A fim de desenvolver a formulao para volume de controle de
cada lei bsica, partindo da formulao para o sistema,
usaremos o smbolo N para designar qualquer propriedade
extensiva deste (N = M, , , E, S). A correspondentepropriedade intensiva ser designada por .
m
N ( 14 )
e (energia), E N
s , (entropia) S N
vr , angular) movimento de e(quantidad H N
v , linear) movimento de e(quantidad P N
1 , (massa) M N
onde:
11
ETA ( )
N N N N N N
N N
t tIIIIVCt tIIIIIt ts
tVCts
000
00
Observando a Figura 1a e 1b, notamos que o sistema, que estava
inteiramente dentro do volume de controle no instante t0, est
parcialmente fora do volume de controle no instante t0 + t.
As regies I e II, juntas, formam o volume de controle, e a regio III
que, junto com a regio II, delimita o sistema no instante t0 + t.
Assim:
12
t
N Nlim
dt
dN 00
tst ts
0 t sistema
( 15 )
Da definio de derivada, a taxa de variao do Nsistema dado por:
Substituindo na definio de derivada do sistema, obtemos:
t
N N N Nlim
dt
dN00 tVCt tIIIIVC
0 t sistema
t
Nlim
t
Nlim
t
N Nlim
dt
dN
3
t tI
0 t
2
t tIII
0 t
1
tVCt tVC
0 t s
0000
( 16 )
13
O termo (1) na equao 16 simplificado para:
dV
t
t
N
t
N Nlim
VC
VCtVCt tVC
0 t
00
( 17 )
Para avaliar o termo (2), primeiro ser desenvolvido uma expresso
para NIII)to + t examinando a sub-regio (3) da regio III.
Para essa sub-regio, temos:
dV N t tt tIII 00
( 18 )
14
O volume do cilindro na sub-regio III dado por:
t A.dv Ad. dAcos dV
( 19 )
Portanto, para a sub-regio III, podemos escrever:
( 20 )
Deste modo, podemos integrar sobre toda regio III, e obter, para o
termo (2) na equao 16,
t A.dv dN t tIII 0
A.dv t
tA.dv
lim t
dN
lim t
Nlim
III
IIIIII
0
0
SC
SC
0 t
SC
t tIII
0 t
t tIII
0 t
( 21 )
15
Podemos desenvolver uma anlise similar para a sub-regio (1) da
regio I, e obter, para o termo (3) da equao 16.
A.dv
t
Nlim
I
0
SC
t tI
0 t
( 22 )
O produto escalar da equao 22 ser negativo, requerendo um
sinal negativo para produzir um resultado positivo.
Finalmente, podemos usar as equaes 17, 21 e 22 para obter:
A.dv A.dv dVt
dt
dN
IIII SCSCVCs
( 23 )
16
As duas ltimas integrais podem ser combinadas porque SCI e
SCIII constituem a superfcie de controle inteira,
A.dv dVt
dt
dN
SCVCs
( 24 )
A equao 24 a relao fundamental entre a taxa de
variao de qualquer propriedade extensiva arbitrria, N, de
um sistema e as variaes dessa propriedade associadas com
um volume de controle. Alguns autores referem-se a equao
24 como o Teorema de Transporte de Reynolds.
17
dV dm N
M(sistema) V(sistema)
sistema ( 25 ) onde
18
Interpretao Fsica
.Ad rea da atravs N extensiva epropriedad da fluxo de taxaa A.dv
tempo;de unidadepor Ad rea de elemento do atravs massa de fluxo de taxaa A.dv
controle; de superfcie da atravs N extensiva epropriedad da fluxo de lquida taxaa A.dv
controle; de volumedo dentro contida N extensiva epropriedad da totalquantidade a dV
controle; de volumeno contido massa de elemento um dV
massa; de unidadepor N, a entecorrespond intensiva epropriedad a
controle; de volume
do dentro arbitrria extensiva epropriedad da tempoo com variaode taxaa dVt
sistema; do N arbritria extensiva epropriedadqualquer de variaode taxaa dt
dN
SC
VC
VC
s
19
d
.d = vdAcos
SC
d
SC
.d = +vdA = 00
.d = -vdA = 1800
SC
d
Avaliao do produto escalar .d
20
5.2- Conservao de Massa
O primeiro princpio fsico ao qual aplicamos a relao entre as
formulaes de sistema e de volume de controle o princpio de
conservao da massa: Amassa do sistema permanece constante
0 dt
dM
sistema
onde
dV dm M
M(sistema) V(sistema)
sistema
( 1 )
( 2 )
21
A.dv dVt
dt
dN
SCVCs
As formulaes de sistema e de volume de controle so
relacionados pela equao 24.
onde
dV dm N
M(sistema) V(sistema)
sistema
( 24 )
( 25 )
22
Para deduzir a formulao de volume de controle da conservao
de massa, fazemos
1 , M N
Com essa substituio na equao 24, obtemos
A.dv dVt
dt
dM
SCVCs
( 26 )
Comparando a equao 26 com a 1, obtemos
que a equao da conservao de massa para um volume de
controle. Esta equao conhecida tambm como equao da
continuidade.
0 A.dv dVt
SCVC
( 27 )
23
Casos especiaisEm casos especiais, possvel simplificar a equao 27.
Fluidos incompressveis ( = cte):
Regime permanente e fluido incompressvel:
Regime permanente e fluido compressvel:
0 A.dv dVt
SCVC
( 28 )
0 A.dv
SC
( 29 )
0 A.dv
SC
( 30 )
24
Exemplo 01: Considere o escoamento permanente de gua em uma
juno de tubos mostrado na figura. As reas das sees so: A1 =
0,2 m2 , A2 = 0,2 m2 e A3 = 0,15 m
2. O fluido tambm vaza para fora
do tubo atravs de um orifcio em 4, com uma vazo volumtrica
estimada em 0,1 m3/s. As velocidades mdias nas sees 1 e 3 so v1 =
5m/s e v3 = 12m/s, respectivamente. Determine a velocidade do
escoamento na seo 2.
25
Soluo:
Consideraes:
1- Escoamento permanente (dado),
2- Escoamento incompressvel,
3- Propriedades uniformes em cada seo.
A equao geral para um volume de controle a equao 26,
porm podemos escrever imediatamente a equao 28 por causa
da considerao 1 e 2.
Assim, temos:
onde Q4 a vazo em volume do vazamento para fora.
0 A.dv
SC
0 Q A.v A.v A.v 4332211
( 1 )
( 29 )
26
Vamos examinar os trs primeiros termos na equao 1 e os sentidos
dos vetores velocidades e reas:
27
Usando estes resultados na equao 1, temos:
2
322
2
2
43311
2
4332211
0,2m
/sm1,0 0,15m12m/s 0,2m5m/s v
A
Q Av Av v
0 Q Av A v Av
m/s5,4 v2
Lembre-se de que v2 representa o mdulo da velocidade, que
assumimos supostamente apontar para fora do volume de controle.
O fato de v2 ter sinal negativo significa que, na verdade, temos uma
entrada de escoamento na seo 2, portanto a nossa hiptese no era
correta.
28
Exemplo 02: A Figura mostra o desenvolvimento de um escoamento
laminar de gua num tubo reto (raio R). O perfil de velocidade na
seo 1 uniforme com velocidade U paralela ao eixo do tubo. O
perfil de velocidade na seo 2 assimtrico, parablico, com
velocidade nula na parede do tubo e velocidade mxima, vmx , na
linha de centro do tubo. Qual a relao que existe entre U e vmx?
Qual a relao que existe entre a velocidade mdia na seo 2 e a
velocidade mxima?
29
Soluo:
Consideraes:
1- Escoamento permanente,
2- Escoamento incompressvel,
3- As propriedades no so uniformes em cada seo.
A equao geral para um volume de controle a equao 26, porm
podemos escrever imediatamente a equao 28 por causa da
considerao 1 e 2.
0 A.dv
SC
R
r 1 v v
2
2
mx
30
R
0
2
42
mx
2
R
0
2
2
mx
2
R
0
2
A
21
A
2211
4R
r
2
r2v UR
rdrR
r 12v UR
rdr v2 R U
0 vdA UA
0 A.dv A.v
2
2
2U vmx
2
42
2
mxm
R
0
2
42
2
mxm
R
0
2
2
2
mxm
R
0
2
2
mx2m
A
m
4R
R
2
R
R
2v v
4R
r
2
r
R
2v v
rdrR
r 1
R
2v v
rdr 2R
r 1v
R
1 v
vdA A
1 v
2
v v mxm
31
Exemplo 03: Um leo incompressvel despejado com uma vazo Qconstante em um reservatrio cilndrico de dimetro D. O leo vaza atravs
de um orifcio de dimetro d, localizado na base do reservatrio, com uma
velocidade de sada dada por v = (2gh)1/2 , em que h o nvel do leo,
conforme mostrado na Figura. Considerando que o jato de leo possui
dimetro d no orifcio de sada, determine:
a) A equao diferencial que descreve a evoluo, com o tempo, do nvel h
de leo supondo um nvel inicial qualquer;
b) O nvel mximo, hmx , de leo no reservatrio a partir do qual o
escoamento fica em regime permanente.
c) Considerando que o tanque no tenha alimentao, qual seria o tempo
para esvazi-lo a partir de h?
32
Soluo:a) Escolhemos como volume de controle o volume ocupado pelo leo do
reservatrio, de forma que a ocorrncia de variao do nvel h implica
na variao do volume de controle com o tempo.
Q
v
A2
A1
h
SC
d
Q
VC
0 A v Av dt
h4
D d
0 A.v A.v dt
dV
0 A.dv dVt
cte) ( 0 A.dv dVt
22
Q
11
2
2211
SCVC
SCVC
+z
33
l)diferencia (equao 2ghD
d
D
4Q
dt
dh
0 4
d 2gh Q
4
D
dt
dh
2
2
2
22
b) No regime permanente qualquer caracterstica ou propriedade do
escoamento invariante com o tempo, ou seja, a partir do instante em que
o escoamento fica permanente tem-se:
gd
8Q h
42
3
mx
2ghD
d
D
4Q
0 dt
dh
mx2
2
2
mx
34
c) A variao do nvel h implica na variao do volume de controle com o
tempo.
Q
v
A2
h
SC
d
VC
0 A v dt
h4
D d
0 A.v A.v dt
dV
0 A.dv dVt
cte) ( 0 A.dv dVt
22
2
221
0
1
SCVC
SCVC
+z
35
dg2
Dh2 t
22/1
2
t
0
2/1
2
2h
0
1/2
2/1
2
2
1/2
1/22/1
2
2
2
2
22
dtg2D
d
h
dh
dtg2D
d
h
dh
hg2D
d
dt
dh
2ghD
d
dt
dh
0 4
d 2gh
4
D
dt
dh
36
Exemplo 04: gua est entrando em um tanque bem agitado com uma
vazo de 68,1 kg/h e 13,62 kg/h de sal (NaCl) tambm entra no sistema. A
soluo resultante, com uma vazo de 54,48 kg/h, est saindo do tanque;
por causa do efeito da boa agitao realizada, a soluo que deixa o
tanque a mesma que a da soluo no interior do sistema. Considerando-
se que existem 45,4 kg de gua pura no interior do tanque, no incio da
operao, e que as vazes de entrada e sada so mantidas constantes,
calcular a concentrao de sada (frao mssica de sal) aps 1 hora.
NaClH2O
Soluo
68,1 kg/h 13,62 kg/h
45,4 kg de gua para t = 0
54,48 kg/h
37
) 1 ( 0 m m t
M
0 Av Av t
M
0 A.v A.v t
M
0 A.dv t
V
0 A.dv dVt
0 A.dv dVt
.
2
.
1
m
22
m
11
2211
SC
SCVC
SCVC
.
2
.
1
38
Balano de massa global no tanque de mistura contnuo (equao1):
(3) t h
kg27,24 45,4kg M
0) (t 45,4kg M ;t h
kg27,24 M M
dth
kg27,24 dM
(2) h
kg27,24
t
M
0 h
kg54,48
h
kg13,62 68,1
t
M
0 m m t
M
00
t
0
M
M
.
2
.
1
0
(1)
39
Balano parcial de massa de sal (NaCl) no tanque de mistura contnuo:
(4) 0 h
kg48,54 w
h
kg13,62 M
t
w w
t
M
0 m w m Mt
w w
t
M
0 mw mw Mt
w w
t
M
0 m w m w t
Mw
A
A
A
A2
.
AA1
.A
A
A2
.
w
A2A1
.
1
A1
A
A
A2
.
A2A1
.
A1
A
A
40
27,24t 45,4 M ( 3 )
0 48,54 w 13,62 Mt
w w
t
M A
AA
( 4 )
Aw
0A
A
t
0
AA
AA
AA
A
AA
A
81,72w 13,62
dw
27,24t 45,4
dt
0 27,24t 45,4t
w 81,72w 13,62
1)(x 0 13,62 27,24t 45,4t
w 81,72w
0 w48,54 13,62 27,24t 45,4t
w 27,24w
0 48,54 w 13,62 27,24t 45,4t
w w
t
27,24t 45,4
Substituindo (3) em (4), temos:
41
(5) 6t 10
10 1
6
1 w
6w 1 10
6t 1
6w 1ln 10
6t 1ln
13,62
81,72w 13,62ln
45,4
27,24t 45,4ln3
13,62ln 81,72w 13,62ln 45,4ln 27,24t 45,4ln3
81,72w 13,62ln81,72
1 27,24t 45,4ln
27,24
1
3
A
A
3
A
3
A
A
w
0A
t
0A
Para t = 1 h, wA = 0,126 (frao mssica de NaCl)
42
Exemplo 05: Um fluido, com massa especfica de 1050 kg/m3, flui
em regime permanente atravs da caixa retangular. Dados: A1 =
0,05 m2; A2 = 0,01 m2; A3 = 0,06 m
2; V1 = 4i m/s e V2 = -8j m/s,
determine a velocidade V3.
43
/sm 0,28 A.v
m j0,01m/s j8 m i0,05m/s i4 A.v
A.v A.v A.v
0 A.v A.v A.v
0 A.dv
0 A.dv dVt
3
33
22
33
221133
332211
SC
SCVC
permanenteregime
VC
+x
-y
= 0
44
0 A.v 33
Como , o fluxo para fora da seo 3, assim temos :
m/s j2,34 i4,04 v
jcos60m/s 4,67 isen60m/s 4,67 v
jcos60 v isen60 v v
m/s 4,67 v
0,06m
/sm28,0 /sm28,0
A
1 v
/s0,28m A v A.v
3
00
3
0
3
0
33
3
2
3
3
3
3
3
3333
3v
060
+x
-y