FIS-26 — Lista-01 — Março/2018————————————————————————————————————————————————————————Resolver os exercícios de forma individual em uma única folha. Data de entrega

• Turma 1: às 10:10 do dia 28/03.

• Turma 2: às 08:00 do dia 28/03.

• Turma 3: às 10:10 do dia 29/03.

• Turma 4: às 10:10 do dia 29/03.

Não serão aceitas listas com atraso.

1. (5 pontos) Uma partícula de massam tem energia mecânica E e se movimenta numa região do espaçoonde as forças são conservativas. A energia potencial experimentada pela partícula nessa região é

V (x) =

{kx2

2para x < 0

βx para x ≥ 0

Considere que o movimento da partícula é unidimensional e que β e k são constantes positivas.Sabe-se que em t = 0 a partícula passa pela posição x = 0 com velocidade no sentido positivo de x.

(a) (3 pontos) Calcule o período do movimento em função de E, m, k e β.

(b) (1 ponto) O movimento é do tipo harmônico simples? Por quê?

(c) (1 ponto) Esboce o gráfico de x versus t para um período completo.

2. (5 pontos) Todos os animais que caminham, inclusive os homens, possuem um ritmo natural dacaminhada, um número de passos por minuto mais confortável do que um ritmo lento ou veloz.Suponha que este ritmo natural seja igual ao período da perna, encarada como um pêndulo (físico)em forma de barra com um pivô na junta do quadril. Algumas evidências de fósseis mostram queo Tyrannosaurus rex, um dinossauro bípede que viveu há 65 milhões de anos no final do períodocretáceo, possuía pernas com comprimento L = 3,1 m e uma passada (distância entre uma pegadae a pegada seguinte do mesmo pé) de S = 4,0 m. Estime a velocidade de caminhada (em km/h) doTyrannosaurus rex.

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——————————————————————————————————————————————————————Exercícios extras

——————————————————————————————————————————————————————1. Qual o curso de Engenharia que você pretende fazer? Com base nesta resposta, escreva um breve

texto (no máximo 3 parágrafos), abordando a importância do estudo de oscilações para esta carreirade Engenharia.

2. A caixa d’água mostrada na Figura a seguir é sustentada por uma coluna de altura l feita de concretoreforçado. A massa de água que cabe na parte superior da caixa d’água, quando esta está cheia, éigual a M (nesta massa já estamos incluindo a massa da parte superior da caixa d’água também).Considere que a parte superior da caixa d’água (cheia) pode ser modelada por uma massa pontualM , e que a coluna pode ser modelada por um barra elástica unidimensional cuja massa m estáuniformemente distribuída ao longo da altura l. Esta coluna quando sofre um esforço P na direçãotransversal à sua altura exibe uma deformação elástica (na direção do esforço aplicado) que podeser caracterizada pela função matemática y(x) = ymax

2l3(3x2l − x3), onde ymax = P/k, sendo k uma

“espécie de constante elástica de mola” (por curiosidade, k = 3EI/l3, onde E é o módulo de Youngdo concreto e I é o momento de inércia de área da seção transversal da coluna). Nos itens (a) e (b)que se seguem, ignore o efeito da massa M .

(a) Suponha que a coluna é posta para oscilar sob a ação de uma força P periódica, de forma que asua extremidade superior oscila com velocidade v(t) = dy(l)

dt= vmax sin(ωt). Com isto, a coluna

(em toda a sua extensão) adquire uma energia cinética que varia (periodicamente) com o passardo tempo entre 0 e Tmax. Encontre uma expressão para a energia cinética média Tmed da colunade massa m. Dê sua resposta em função de m e vmax. OBS.: o valor médio 〈f〉 de uma funçãoperiódica f(t) com período p é dada por:

〈f〉 = 1

p

∫ t0+p

t0

f(t)dt,

onde t0 é um valor convenientemente escolhido (o valor médio independe de t0).

(b) Encontre meq a massa puntiforme “equivalente” à coluna, isto é, uma massa meq que, postapara oscilar na posição y = l com velocidade v(t) = dy(l)

dt= vmax sin(ωt), teria a mesma energia

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cinética da coluna inteira. Escreva sua resposta da forma meq = fm, onde f é uma fraçãoirredutível (uma razão entre dois números inteiros simplificada ao máximo).

(c) Obtenha a frequência angular ω0 de oscilação do sistema coluna mais caixa d’água. Dê suaresposta em função de M , m e k. OBS.: Se você não tiver conseguido fazer o item (b), vocêpode tentar resolver este problema; neste caso, deixe sua resposta em função de f (você poderáreceber uma pontuação parcial, se fizer isto). Dica: Para o cálculo da frequência angular deoscilação, o efeito da gravidade pode ser ignorado.

3. Desenvolva a equação diferencial do movimento para o sistema mostrado, em termos da variável x1.A massa do mecanismo é desprezível. Assuma pequenas oscilações.

4. Uma placa circular homogênea de raio R e massa M é suspensa por um fio de módulo de torção K,de duas maneiras diferentes

(a) Pelo centro C da placa, ficando ela no plano horizontal;

(b) Por um ponto O da periferia, com a placa na vertical.

Calcule os períodos τa e τb das pequenas oscilações de torção, respectivamente nos casos (a) e (b).

5. Quando um nadador caminha até a extremidade de um trampolim horizontal, ele desce 5,00 cm soba ação do peso, no equilíbrio. Desprezando a massa do trampolim, calcule a sua frequência angularde oscilação em torno do equilíbrio, com o nadador permanecendo na extremidade.

6. Uma barra esbelta possui o formato de um semicírculo de raio r como mostrado. Determine afrequência natural fn para pequenas oscilações da barra enquanto está apoiada sobre a aresta dacunha horizontal, no ponto médio de seu comprimento.

3

7. Obtenha o período de pequenas oscilações do hemisfério abaixo, mediante a hipótese de rolamentosem deslizamento. A distância do CM do hemisfério ao centro do mesmo é de d = 3r/8. O momentode inércia do hemisfério por um eixo horizontal passando pelo CM é ICM = 83mr2/320. Deixe suaresposta em função de r e g.

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Respostas

1. (a) (2/β)√2mE + π

√m/k

2. 5,0 km/h.

Extras

1.

2. (a) Tmed = 33mv2max/560, (b) meq = 33m/140, (c) ω =√k/(M +meq) =

√k/(M + 33

140m)

3. [m1 + b2m2/a2]x1 + [k1 + b2k2/a

2]x1 = 0

4. τa = πR√

2M/K e τb = πR√M/K.

5. ω = 14 rad/s.

6. fn = (2π)−1√g/(2r)

7. T = 2π√26r/(15g)

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