Fis124-Exp10

7/23/2019 Fis124-Exp10

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Capıtulo 11

Exp. 10 - RESSONANCIA

ELETRICA

11.1 OBJETIVOS

Estudo das oscilacoes eletricas forcadas em circuitos ressonantes em serie e em paralelo.

11.2 PARTE TEORICA

Muitos sistemas f ısicos estaticos e estaveis, quando momentaneamente perturbados por umagente externo, retornam a posicao de equilıbrio oscilando com uma frequencia naturalde oscilacao tambem chamada de frequencia de oscilacao livre. Se nao houvesse formasde dissipacao de energia (atrito, por exemplo) o sistema oscilaria indefinidamente comuma frequencia natural f o e amplitude constante. A presenca de elementos dissipativosnormalmente reduz a frequencia de oscilacao natural original para um novo valor f e fazcom que a amplitude da oscilacao diminua com o passar do tempo. Quando a perturbacao epersistente e periodica com uma frequencia propria f , a experiencia mostra que, apos certointervalo de tempo com uma oscilacao irregular, o sistema acaba por acompanhar o ritmoimposto pelo agente externo e entra em oscilacao regular com a mesma frequencia f . Istocaracteriza o que chamamos de oscilacao forcada em regime permanente.

O sistema fısico que pretendemos estudar e um circuito eletrico constituıdo por um

resistor, um indutor e um capacitor que podem ser arranjados em serie ou em paralelo.Esse arranjo sera excitado por uma fonte ou gerador e estamos interessados em estudar ocomportamento dos sinais eletricos de tensao e de corrente eletrica como uma resposta aexcitacao.

11.2.1 As fontes de sinais eletricos

As fontes que excitarao o circuito eletrico podem ser do tipo fonte de tensao ou entaofonte de corrente. Uma fonte de tensao ideal e aquela que impoe um determinado valor detensao ou d.d.p. ao elemento de circuito que a ela esteja conectado. Essa tensao pode serconstante ou variavel no tempo e seu valor e conhecido. A corrente eletrica que atravessara

119

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120 N. B. de Oliveira — DFES-I. F ISICA-UFBA-Rev. 2013.1

o elemento aparecera como consequencia e seu valor dependera do valor da tensao da fonte edas propriedades eletricas do elemento. As fontes de energia eletroquımicas como as pilhase baterias bem como as fontes eletromecanicas como os alternadores e geradores de energiaconvencionais se comportam, com boa aproximacao, como fontes de tensao dentro de umadeterminada faixa de valores de corrente. Uma bateria de automovel de 12 V, nova, e umaexcelente fonte de tensao para correntes entre 0 e 50 A por exemplo. Ja uma pilha de 1,5 V,tamanho D, de carvao e utilizada em lanternas pode ser considerada uma fonte de tensaoate que a corrente atinja 0,1 A aproximadamente.

Uma fonte de corrente ideal e aquela que impoe o valor da corrente qualquer que seja oelemento de circuito a ela conectado. A tensao ou a d.d.p. e uma consequencia e depende dovalor da corrente e das propriedades do elemento de circuito. A escolha entre uma excitacaona forma de fonte de tensao ou fonte de corrente e uma questao de mera conveniencia para

facilitar a analise e o entendimento do funcionamento de um circuito.Uma fonte de corrente pode ser implementada a partir de uma fonte de tens ao e um

resistor com valor de resistencia elevado quando comparado ao valor da resistencia equiv-alente do elemento de circuito sob estudo. Considere, por exemplo, que a resistencia doelemento de circuito sob estudo possa variar de 5 a 10 Ω e que esse elemento esteja em seriecom um resistor cuja resistencia vale 1000 Ω e uma fonte de tensao igual a 12 V, veja afigura (Fig. 11.1).

V

R = 1000

R’= 5 - 10

Figura 11.1: Circuito composto por uma fonte de tensao alternada e um outro elemento decircuito.

A corrente i no circuito valei =

ε

R + R

o valor mınimo sera

imin = 12

1000 + 10 = 11, 88mA

e o valor maximo seraimin =

12

1000 + 5 = 11, 94mA.

Ou seja, apesar da resistencia R duplicar o valor, a corrente permanece aproximadamenteconstante em i = 11, 9 mA. Assim, a fonte de tensao em serie com o resistor (R = 1000Ω)funciona como uma fonte de corrente para essa variacao de R .

11.2.2 Circuito RLC em serie

Consideremos a associacao em serie de um indutor, um capacitor, um resistor e uma fontede tensao como na figura (Fig. 11.2).

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11.2. PARTE TE ORICA 121

R

L

v t F

( )

i t ( )

v t R

( )

v t L( )

v t C ( )

C

Figura 11.2: Circuito RLC em serie.

Suponhamos que a fonte seja ligada em t = 0 de modo que

vF (t) = 0, para t < 0

vF (t) = v0 cos(ωt), para t ≥ 0

e procuremos determinar o comportamento da corrente i(t) ao longo do tempo com acondicao inicial i = 0 para t = 0.

A lei das malhas aplicada ao circuito resulta em

vL(t) + vR(t) + vC (t) = vF (t) (11.1)

ou

Ldi(t)

dt + Ri(t) +

1

C i(t)dt = v0 cos(ωt), para t ≥ 0. (11.2)

Derivando com relacao ao tempo e rearrumando fica

d2i(t)

dt2 +

R

L

di(t)

dt +

1

LC i(t) = −ωv0

L sen(ωt) (11.3)

A solucao geral dessa equacao possui dois termos ou parcelas, um termo transitorio eum termo permanente. O termo transitorio decai exponencialmente no tempo e desaparecerapidamente tornando-se desprezıvel, tipicamente, apos alguns µs ou ms. O termo per-manente e um termo oscilatorio cuja amplitude e constante no tempo e pode ser escritocomo

i(t) = v0

Z (ω) cos(ωt + φ(ω)) (11.4)

onde

Z (ω) =

R2 +

ωL − 1

ωC 2

(11.5)

e

φ(ω) = − tan−1

ωL − 1

ωC

R

. (11.6)

Z (ω) e a impedancia e φ(ω) e a diferenca de fase entre a corrente e a tensao. Essasgrandezas estao relacionadas pelo triangulo mostrado na figura (Fig. 11.3).

Observe que tanto a impedancia quanto a diferenca de fase sao funcoes da frequenciaangular ω. O termo ωL e chamado de reatancia indutiva, X L e o termo 1/(ωC ) e chamadode reatancia capacitiva, X C . Observe que se considerarmos variavel, o comportamento deX L e o inverso do comportamento de X C . Quando X L cresce, X C decresce e vice-versa.

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R

Z

L-1/( C)

Figura 11.3: Circuito RLC em serie.

11.2.3 Estudo da variacao da impedancia

O circuito em estudo esta sendo excitado por uma fonte de tensao (causa), portanto acorrente sera uma consequencia. Consideremos que a frequencia da fonte possa ser variadaa vontade mantendo a amplitude da tensao num valor fixo. Para ω variando entre zero einfinito, a impedancia varia de infinito ate um valor mınimo quando Z = R e volta para oinfinito como mostra a figura (Fig. 11.4) para R = 1 ohm, L = 1 henry e C = 1 farad.

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 rad/s)

Z ( )

Figura 11.4: Variacao da impedancia serie com a frequencia angular ω .

O mınimo ocorre quando

ωL = 1

ωC ou ω =

1

LC (11.7)

que e igual a frequencia angular do oscilador livre sem resistencia. Nessa situacao, adiferenca de fase e nula, ou seja, a tensao esta em fase com a corrente e o circuito comporta-se como um circuito puramente resistivo.

A amplitude da corrente e inversamente proporcional a impedancia,

i0 = v0

Z (ω) (11.8)

e lembre-se que a amplitude da tensao v0 e mantida constante, logo, a amplitude da correntepassa por um maximo quando Z e mınimo. Veja a figura (Fig. 11.5) para R = 1 ohm, L =1 henry, C = 1 farad e v0 = 5 volts.

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1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 (rad/s)

io (A)

v Ro/

Figura 11.5: Variacao da amplitude da corrente i0 com a frequencia angular ω .

Dizemos entao que o circuito entra em ressonancia nessa situacao de maximo para aamplitude da corrente. Em outras palavras, o gerador ou fonte “ajuda”o sistema a oscilarquando sua frequencia e igual a frequencia natural do oscilador livre sem resistencia.

A aparencia ou forma da curva de ressonancia depende do valor da resistencia R. Re-sistencias altas tornam a curva baixa, larga e assimetrica enquanto que resistencias baixastornam a curva alta, estreita e quase simetrica. A qualidade de um oscilador pode ser me-dida pela forma da curva de ressonancia atraves de um coeficiente chamado de coeficientede qualidade “Q”. Esse coeficiente e definido pela relacao entre o valor de qualquer das

reatancias na ressonancia e a resistencia.

Q = ω0L

R =

1ω0C

R (11.9)

Valores pequenos de resistencia (R << ωoL) produzem altos coeficientes de qualidade(Q >> 1). Valores tıpicos situam-se entre 5 e 50 para bobinas e capacitores comuns sendoR associado as perdas ohmicas desses elementos.

O coeficiente de qualidade pode ser determinado diretamente da curva de ressonanciapela medida da frequencia de ressonancia f o e da largura da curva, ∆f , quando a curva caiao valor maximo dividido por

√ 2, como mostrado na figura (Fig. 11.6). Vejamos: o valor

maximo da amplitude da corrente e v0/R; para cair a v0/(R√

2) deveremos ter, de acordocom a equacao (11.8), que

v0

R√

2= v0

R2 + (X L − X C )2

∴ 2R2 = R2 +

R2 + (X L − X C )2

∴ (X L − X C )2 = R2 ou |X L − X C | = R.

Existem duas frequencias em que isso ocorre, na primeira

1

ω1C − ω1L = R

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io

v R0 /

0,707 /v R0

f 1

f 0

f 2

f

Figura 11.6: Largura da curva de ressonancia.

∴ −ω21L +

1

C = ω1R (11.10)

na segunda,

ω2L − 1

ω2C = R

∴ ω22L − 1

C = ω2R. (11.11)

Somando (11.10) e (11.11) fica

(ω22 − ω2

1)L = (ω2 + ω1)R

∴ (ω2 − ω1)(ω2 + ω1)L = (ω2 + ω1)R

∴ ω2 − ω1 = R

L

dividindo por ω0 ficaω2 − ω1

ω0=

R

ω0L

ou multiplicando por 2π

Q =

f 0∆f . (11.12)

Em resumo, para determinar o coeficiente de qualidade basta medir a frequencia deressonancia e dividir pelo intervalo de frequencias em que a amplitude cai do fator 1/

√ 2

(ou 0,707).Outra observacao importante e que para essas duas frequencias a tensao e a corrente

encontram-se em quadratura (φ = ±π/4 rad). Isso pode ser facilmente verificado pelasubstituicao das equacoes (11.10) e (11.11) na equacao (11.10) que resulta em

φ = ± tan−1(1) ou φ = ±π

4 rad. (11.13)

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i t ( )

i t R

( ) i t C ( ) i t

L( )

r C LFonte de

corrente

Figura 11.7: Circuito RLC em paralelo.

11.2.4 Circuito RLC em paralelo

Tomemos agora um indutor, um capacitor e um resistor conectados em paralelo e excitadospor uma fonte de corrente como na figura (Fig. 11.7).

Consideremos quei(t) = 0 para t < 0

i(t) = i0 cos(ωt) para t ≥ 0

A lei dos nos aplicada ao circuito resulta em

i(t) = ir(t) + iC (t) + iL(t) (11.14)

com

ir(t) = vr(t)

R , iC (t) = C dvC (t)

dt , iL(t) = 1

L

vL(t)dt

evr(t) = vC (t) = vL(t) = v(t).

Ou seja,

i0 cos(ωt) = v(t)

R + C

dv(t)

dt +

1

L

v(t)dt. (11.15)

Derivando com relacao ao tempo e rearrumando fica

d2v(t)

dt2 +

1

rC

dv(t)

dt +

1

LC v(t) = −ωi0 sen(ωt) (11.16)

Novamente, a solucao geral dessa equacao possui um termo transitorio e um termo

permanente. Concentremos-nos na solucao permanente

v(t) = Z ||(ω)i0 sen(ωt + θ) (11.17)

onde

Z ||(ω) = 1

1r

2+

ωC − 1ωL

2 (11.18)

e a impedancia paralela e

θ = − tan−1

ωC − 1

ωL1r

. (11.19)

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A amplitude da tensao, v0 = Z ||i0, e, nesse caso, uma consequencia pois o circuito eexcitado por uma fonte de corrente cuja amplitude i0 e constante e conhecida. Observe quenas expressoes de Z || e θ , equacoes (11.18) e (11.19), aparecem os inversos da resistencia edas reatancias.

Estudo da variacao da impedancia

Se considerarmos a frequencia angular da fonte de corrente variando de zero a infinitomantendo a amplitude da corrente constante, verificaremos facilmente que a imped anciaparalela varia de zero a um valor maximo, Z ||max = r, quando ωC = 1/(ωL) e volta a zerocomo mostrado na figura (Fig. 11.8) para r = 8 ohms, L = 1 henry e C = 1 farad.

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 (rad/s)

Z ||

( )

r

8

Figura 11.8: Variacao da impedancia paralela com a frequencia angular ω .

Veja que o comportamento da impedancia paralela e o inverso da impedancia serie como maximo ocorrendo na mesma frequencia do mınimo da impedancia serie, ou seja, em

ω0 =

1

LC

Consequentemente, a amplitude da tensao tambem passa pelo valor maximo, v0 = ri0,desde que a amplitude da corrente permaneca constante. Veja a figura (Fig. 11.9) comi0 = 2 amperes e os mesmos valores para os demais componentes.

Se o circuito tivesse sido excitado por uma fonte de tensao ao inves de uma fonte decorrente, obterıamos o mesmo resultado para a impedancia paralela e terıamos um mınimona amplitude da corrente.

A forma da curva de ressonancia para o circuito paralelo tambem depende do valor daresistencia, contudo, o comportamento e o inverso do que ocorre no circuito serie. Umaumento na resistencia r faz com que a curva de ressonancia torne-se alta, estreita e quasesimetrica enquanto que uma diminuicao nessa resistencia faz com que a curva torne-se baixa,larga e assimetrica.

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2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 (rad/s)

v0 (V)

ri0

16

Figura 11.9: Variacao da amplitude da tensao com a frequencia angular ω no circuito RLCparalelo.

Quando a resistencia e alta, o coeficiente de qualidade do circuito paralelo pode serdefinido de modo inverso ao do circuito serie

Q|| = r

ω0L (11.20)

e pode ser determinado graficamente pelo mesmo processo, pela relacao entre a frequenciade ressonancia e a largura da curva quando a amplitude da tensao cai com o fator 0,707como na figura (Fig. 11.10)

Q|| = f 0∆f

. (11.21)

11.2.5 Representacao das perdas do indutor e do capacitor

Nos circuitos em serie e em paralelo que apresentamos os elementos de circuito foram con-siderados ideais. Na realidade, os indutores e os capacitores apresentam perdas, dissipando

um pouco de energia. As perdas podem ser representadas, de modo aproximado, por re-sistores em serie ou em paralelo com os elementos de circuito (indutor e capacitor) o quefor mais conveniente. No circuito do experimento, o indutor real pode ser representado porum indutor ideal em serie com um resistor como na figura (Fig. 11.11).

A transformacao da representacao das perdas em serie para a representacao em paralelopode ser feita impondo-se que os coeficientes de qualidade sejam os mesmos nas vizinhan casda ressonancia.

r

ω0L =

ω0L

R , ω0 =

1

LC

∴ r = L

RC . (11.22)

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vo

i R0

0,707 i R0

f 1

f 0

f 2

f

Figura 11.10: Variacao da amplitude da tensao com a frequencia angular ω no circuito RLCparalelo.

L R

Indutor real =

Figura 11.11: Representacao de um indutor real.

Os circuitos mostrados na figura (Fig. 11.12) sao equivalentes se a equacao (11.22) forobedecida e desprezarmos as perdas no capacitor.

C LC r

R

L

Figura 11.12: Equivalencia entre circuitos RLC.

O comportamento transitorio em um circuito RLC em paralelo pode ser melhor com-preendido se a excitacao do circuito for feita na forma de um degrau de corrente, ou seja,uma fonte de corrente constante no tempo e ligada em t = 0 impondo um valor de corrente

I ao circuito paralelo. Figura (Fig. 11.13).

i(t) = 0 para t < 0

i(t) = I para t ≥ 0.

A equacao do circuito e semelhante a equacao (11.15) com a funcao de excitacao sub-stituıda por um valor constante I . Derivando com relacao ao tempo fica

d2v(t)

dt2 +

1

rC

dv(t)

dt +

1

LC v(t) = 0. (11.23)

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LC r i t ( )

i t ( )

t

I

o

Figura 11.13: Equivalencia entre circuitos RLC.

Essa equacao tem uma solucao oscilatoria amortecida se a resistencia r nao for muitopequena

v(t) = I ωC

e− 12rC

t sen(ωt), ω =

1LC

−

12rC

2

. (11.24)

Veja a representacao grafica dessa tensao na figura (Fig. 11.14). Onde a amplitude a(t)

v t ( )

t

a(t)

Figura 11.14: Tensao oscilatoria amortecida.

variavel no tempo e dada pora(t) =

I

ωC e−

1

2rCt.

Para valores de r elevados tais que

1

2rC

2

<< 1

LC , ∴ r >>

1

2

L

C (11.25)

a frequencia e aproximadamente igual a frequencia natural que e a propria frequencia deressonancia. Desse modo, a resistencia paralela pode ser transformada em resistencia serieenquanto houver oscilacao.

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O fator de qualidade Q aparece no decaimento exponencial pois,

r = r1

ω0C

= rω0C.

∴ e− 1

2rCt = e−

ω02Q

t

Portanto, esse fator pode ser diretamente determinado pela medida da amplitude dospicos da oscilacao amortecida: sendo T o o intervalo de tempo entre picos sucessivos, A1 aamplitude do primeiro pico e An a amplitude do n -esimo pico, teremos de acordo com afigura (Fig. 11.15) que

An = A1e−ω02Q

(n−1)T 0 , ω0 = 2π

T 0

∴ Q = (n − 1)π

ln A1

An

. (11.26)

v t ( )

t

(n-1) T0

An

A1

Figura 11.15: Tensao oscilatoria amortecida.

Observe que a tensao oscila amortecendo ao redor de v = 0 nesse circuito ideal. Em umindutor real, existe sempre um valor de resistencia associado a resistencia do fio, RF , aindaque pequena e essa resistencia contribui para o valor final da tensao. Em outras palavras,a tensao oscila ao redor de um pequeno valor diferente de zero,

vfinal = r

r + RF

RF I.

11.2.6 Teoria da medida

Realizaremos um estudo experimental em um circuito ressonante em serie e em paralelo.

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No circuito RLC em serie operando no regime permanente, estamos interessados emobservar o comportamento da impedancia em funcao da frequencia. Como nao podemosmedir a impedancia de modo direto utilizando um osciloscopio, pois esse instrumento somede tensao, utilizaremos o artifıcio de passar uma corrente senoidal com amplitude con-

stante atraves do indutor e do capacitor reais (com a resistencia R representando as perdas).Como a amplitude da tensao na associacao em serie desses elementos e diretamente pro-porcional ao produto da impedancia pela amplitude da corrente, a observacao da variacaodessa amplitude de tensao refletira a variacao da impedancia. Sendo assim, o circuito seraexcitado por uma fonte de corrente. Nao dispomos dessa fonte na forma de um instrumentopronto para uso, mas podemos implementa-la a partir da fonte de tensao associando emserie um resistor com valor de resistencia R elevado quando comparado com os valoresdas outras resistencias do circuito. Utilizaremos R = 10 kΩ. Veja a figura (Fig. 11.16).

Nesse circuito, manteremos aproximadamente constante a amplitude da corrente mantendoconstante a amplitude da tensao do gerador e variaremos a frequencia em uma ampla faixade valores passando pela frequencia de ressonancia.

R’ i t ( )

C L R F

Para oosciloscópio

Figura 11.16: Circuito RLC serie para o estudo da impedancia.

A resistencia RF que representa as perdas ohmicas do fio do indutor na representacaoem serie e bastante pequena, da ordem 1 Ω, de modo que, com a introducao em serie umresistor de valor elevado (R = 10 kΩ) essa resistencia RF sera desprezıvel. Alem disso, aresistencia interna da fonte tambem sera muito pequena quando comparada com R e estasera a resistencia que limitara o valor da corrente na situacao de ressonancia. Isso e muitoimportante para o bom funcionamento do gerador, pois se a corrente fosse de valor elevado,poderia haver distorcao na forma do sinal (senoidal) e o gerador nao se comportaria comofonte de tensao.

A tensao desenvolvida nos extremos da associacao RF LC sera levada a entrada ver-

tical do osciloscopio. Amplitude da tensao de saıda do gerador sera mantida constanteenquanto a frequencia sera variada em uma ampla faixa de valores, de 100 Hz a 3000 Hzaproximadamente.

No circuito RLC em paralelo operando no regime permanente estamos interessadosem observar o comportamento da impedancia em funcao da frequencia quando o circuitoe excitado com uma fonte de corrente. Para observar o comportamento da impedancia,observaremos o comportamento da tensao e implementaremos a fonte de corrente como nocaso anterior. Veja a figura (Fig. 11.17). Nesse circuito, manteremos aproximadamenteconstante a amplitude da corrente mantendo constante a amplitude da tens ao do geradore variaremos a frequencia em uma ampla faixa de valores passando pela frequencia deressonancia.

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R’ i t ( )

C Lr

Para oosciloscópio

Figura 11.17: Circuito RLC paralelo para o estudo da impedancia.

No estudo do circuito RLC em paralelo operando no regime transit orio estudaremoso comportamento da tensao como resposta a um degrau de corrente. Isso ocorre numintervalo de tempo muito curto, alguns milesimos de segundo. Para podermos observar osinal com um osciloscopio analogico e necessario repetir essa excitacao periodicamente comuma frequencia mais alta que 20 Hz para obtermos uma persistencia visual. Para isso,utilizaremos uma excitacao na forma de um sinal quadrado como mostrado na figura (Fig.11.18).

R’ i t ( )

C Lr

Para oosciloscópio

Figura 11.18: Circuito RLC paralelo para o estudo do regime transitorio.

Da mesma forma que no circuito anterior, a fonte de tensao e o resistor com resistenciaR formam a fonte de corrente.

11.3 PARTE EXPERIMENTAL

11.3.1 Lista de material

Identifique os materiais e equipamentos sobre a mesa:

• Uma bobina de fio e nucleo de ferro laminado ou ferrite,

• gerador de sinais,

• osciloscopio de dois canais,

• capacitor de valor conhecido,

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11.3. PARTE EXPERIMENTAL 133

• resistores de valores conhecidos (1,2 kΩ, 10 kΩ),

• placa de ligacoes e fios .

11.3.2 Circuito RLC em serie

Antes de realizar qualquer medida e necessario fazer o ajuste da simetria do sinal do geradorde sinais. Para isso conecte os terminais de saıda do gerador diretamente com os terminaisde entrada do canal 1 do osciloscopio. Ligue o gerador de sinais, selecione a funcao quadrada,ajuste a frequencia em torno de 100 Hz e a amplitude num valor medio. Ligue o osciloscopioe aguarde um minuto para o aquecimento. Ajuste o osciloscopio para visualizar o sinalquadrado. Em caso de duvida veja o roteiro do experimento OSCILOSCOPIO DE RAIOS

CAT´ODICOS-I. Estando o sinal quadrado imobilizado no centro da tela e com um perıodovisıvel, ajuste o gerador (botao DADJ) para que a duracao do semi-ciclo positivo seja

exatamente igual a duracao do semi-ciclo negativo, ou seja, o traco superior do sinal temque ter o mesmo comprimento do traco inferior. Esse ajuste tem que ser feito com muitocriterio.

Selecione a funcao senoidal no gerador e observe se a senoide esta perfeitamente simetrica.Varra a frequencia do sinal senoidal de 100 Hz a 1500 Hz e verifique se a amplitude do

sinal permanece constante. Se nao permanecer constante sera necessario ajusta-la duranteo decorrer do experimento.

Nao desligue o gerador durante todo o experimento, apenas desconecte os fios tomandoo cuidado para nao coloca-los em curto-circuito.

Monte o circuito da figura (Fig. 11.19), mas nao conecte ainda o gerador de sinais.Chame o professor ou o monitor para conferir as ligacoes.

R’ = 10 k

C

L

Fio vermelho

do CH1

Fio pretodo CH1

Osciloscópio

Figura 11.19: Circuito RLC serie conectado ao osciloscopio.

Se tudo estiver correto, conecte o gerador e ajuste-o para 200 Hz. Ajuste o oscilosc opiopara visualizar alguns perıodos da senoide na tela de modo que a senoide nao ultrapasseos limites verticais da tela. Varie a frequencia do gerador para encontrar a situacao deressonancia caracterizada pelo mınimo de amplitude do sinal. Determine a frequencia deressonancia lendo o valor mostrado no gerador e confirme esse valor fazendo a medida natela do osciloscopio (aumente bastante a sensibilidade vertical para essa medida).

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Agora, voce vai levantar pontos para tracar a curva de ressonancia. Ajuste a frequenciado gerador na metade da frequencia de ressonancia. Ajuste a amplitude do gerador em con- junto com a sensibilidade vertical do osciloscopio para que a senoide ocupe toda e extensaovertical da tela do osciloscopio. Se houver distorcao na senoide, diminua a amplitude dogerador e aumente a sensibilidade. Varie a frequencia do gerador da metade ate o dobroda frequencia de ressonancia medindo o valor pico a pico do sinal senoidal correspondentea cada frequencia. Escolha os pontos de modo inteligente, pois a variacao nao e linear.Tome pelo menos doze pontos de medida e construa uma tabela onde conste a frequencia ea tensao pico a pico. E sempre conveniente deslocar verticalmente o sinal na tela para queo pico inferior da senoide toque a linha mais inferior da gratıcula para realizar a medida datensao. Durante as medidas a amplitude do sinal do gerador deve permanecer constante,se for necessario altere apenas a sensibilidade do osciloscopio, o tempo de varredura e o

posicionamento vertical.Introduza o nucleo de ferro no indutor e meca apenas a nova frequencia de ressonancia.

Nao levantaremos pontos para uma nova curva de ressonancia. Apos a medida retire onucleo de ferro.

Anote os valores exatos da capacitancia e da resistencia em uso.

11.3.3 Circuito RLC em paralelo

Monte o circuito da figura (Fig. 11.20) e chame o professor ou o monitor antes de conectaro gerador para verificar as ligacoes.

R’

C L R’’

Fio vermelho

do CH1

Fio pretodo CH1

Osciloscópio

R’

R’’

= 10 k

= 1,2 k

Figura 11.20: Circuito RLC paralelo conectado ao osciloscopio.

Observe que as perdas no indutor foram aumentadas artificialmente pela introducao deum resistor com resistencia R = 1, 2 kΩ para tornar mais facil a execucao da experiencia.

Novamente, variando a frequencia do gerador de sinais determine e anote a frequenciade ressonancia correspondente ao maximo da amplitude da tensao. Confirme o valor dafrequencia medindo com o osciloscopio alem do valor indicado no gerador.

Ajuste a sensibilidade vertical do osciloscopio juntamente com a amplitude do ger-ador para que a amplitude da senoide ocupe toda a extensao vertical da gratıcula datela na situacao de ressonancia. Varie a frequencia do gerador da metade ate o dobroda frequencia de ressonancia medindo o valor pico a pico do sinal senoidal correspondente

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11.3. PARTE EXPERIMENTAL 135

a cada frequencia. Determine pelo menos doze pontos de medida escolhendo-os de modointeligente.

Introduza o nucleo de ferro e repita apenas a medida da frequencia de ressonancia. Aoterminar a medida retire o nucleo de ferro, mas nao desmonte o circuito.

11.3.4 Transitorio no circuito RLC paralelo

Para estudar o regime transitorio utilizaremos o mesmo circuito anterior e o excitaremoscom um sinal quadrado de baixa frequencia entre 30 Hz e 40 Hz. Nessa frequencia o osciladorRLC tera tempo suficiente para oscilar e relaxar completamente durante cada semi-ciclodo sinal quadrado. Alem disso, a frequencia e suficientemente alta para obtermos uma boapersistencia visual.

Para visualizar o sinal quadrado produzido pelo gerador e sincronizar o osciloscopioutilizaremos tambem o canal 2 do osciloscopio. Os terminais desse canal deverao ser conec-tados diretamente aos terminais de saıda do gerador tomando o cuidado para que o fio pretodesse canal esteja eletricamente conectado ao mesmo ponto do fio preto do canal 1. Veja afigura (Fig. 11.21).

R’

C L R’’

Fio vermelho

do CH1

Fio vermelho

do CH2

Fios pretosde CH1 e CH2

Osciloscópio

R’

R’’

= 10 k

= 1,2 k

CH1 CH2

Gerador desinal quadrado

Figura 11.21: Circuito RLC paralelo com excitacao quadrada e conectado ao osciloscopio.

Inicialmente, selecione sinal quadrado no gerador, a juste a frequencia num valor entre30 Hz e 40 Hz com amplitude media. Selecione apenas o canal 2 (CH2) no osciloscopiotomando o cuidado de colocar a chave de entrada desse canal na posicao DC, isto retira ocapacitor de entrada interno que poderia deformar o sinal quadrado de baixa frequencia.Sincronize o osciloscopio apenas pelo proprio canal 2.

Ajuste a varredura, a sensibilidade do canal 2 e os posicionamentos para visualizar osinal quadrado no centro da tela, um ou dois perıodos, comecando no lado esquerdo. Se fornecessario ajuste o botao de nıvel de sincronismo (LEVEL).

Agora, selecione tambem o canal 1 (CH1) colocando a chave de entrada desse canaltambem na posicao DC. Voce devera estar vendo os dois canais simultaneamente. Aumentebastante a sensibilidade vertical desse canal e posicione o sinal no meio da tela. Voce deveraperceber um sinal transitorio na borda esquerda de um pequeno sinal quadrado. Aumentea sensibilidade para visualiza-lo melhor.

Se voce prestar bem atencao percebera que, se o primeiro transitorio comeca oscilandopara cima, o segundo transitorio, na outra borda do sinal quadrado, comeca oscilando para

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baixo e vice-versa. Isso e devido a transicao de nıvel do sinal quadrado. Pense a respeitodisso.

Voce pode selecionar apenas o canal 1 para visualizacao se o canal 2 estiver atrapalhando,pressione apenas a tecla CH1 em VERTICAL MODE na parte superior do painel. Mantenhaa fonte de sincronismo no canal 2.

Ajuste a frequencia do gerador para que cada transitorio tenha tempo bastante para seextinguir, mas nao exagere, pois, se a frequencia ficar muito baixa a figura piscara na tela.

Agora, concentre-se em apenas um dos transitorios, pode ser o primeiro no lado es-querdo, e ajuste a varredura e o posicionamento para que apenas ele fique visıvel na tela. Aoscilacao amortecida deve terminar em cima do traco horizontal do centro da tela. Ajustea sensibilidade vertical e a amplitude do gerador, simultaneamente, para obter a maximaexcursao do primeiro pico ate a linha limite vertical da tela.

• a) Retire o resistor R = 1, 2 kΩ que esta em paralelo com o indutor e observe oque acontece anotando o resultado. Se for necessario altere a sensibilidade vertical,a varredura e ate mesmo a frequencia do gerador para visualizar melhor o efeito daretirada do resistor. Se estiver disponıvel, introduza um resistor de 270 Ω no lugar deR , observe e anote o resultado. Retire o resistor. A seguir, todas as medidas seraoexecutadas sem a presenca desse resistor.

• b) Meca a frequencia natural das oscilacoes livres amortecidas com o osciloscopio. Usea maior precisao possıvel da tela do osciloscopio expandindo ao maximo um ciclo daoscilacao. Certifique-se que o sinal esta bem centralizado na tela.

• c) Observe o que acontece quando introduzimos inteiramente o nucleo de ferro noindutor. Meca novamente a frequencia natural.

• d) Retire o nucleo, reajuste o osciloscopio e reposicione o sinal oscilatorio amortecidopara que o termino da oscilacao ocorra na linha inferior da tela do oscilosc opio. Voceso visualizara a parte superior do sinal. Ajuste a sensibilidade vertical e a amplitudedo gerador para que o primeiro pico do sinal alcance a linha superior da tela. Tenhacerteza que a oscilacao continua terminando na linha inferior, reajuste se necessario.Conte alguns picos ate cair abaixo de uma divisao e meca a amplitude desse n-esimopico. Veja a figura (Fig. 11.2) como referencia.

• e) Volte os ajustes do osciloscopio para uma posicao “normal”que permita ver avarredura, desligue e desmonte o circuito.

11.4 TRABALHOS COMPLEMENTARES

1. Das medidas executadas no circuito RLC em serie, item 11.3.2, determine o valor daindutancia sem nucleo e com nucleo. Explique a acao do nucleo. Trace a curva deressonancia, amplitude da tensao versus logaritmo na base dez da frequencia. Vocepode utilizar papel lin-log, papel lin-lin e calcular o logaritmo ou utilizar qualquerprograma para tracado de grafico. Em qualquer caso apresente o grafico em tamanhoA4 ou proximo disso.

2. Compare a frequencia de ressonancia em serie, item 11.3.2 com a frequencia de res-sonancia em paralelo, item 11.3.3. Qual e a conclusao? Trace a curva de ressonancia

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11.5. BIBLIOGRAFIA 137

para o circuito em paralelo, amplitude da tensao versus logaritmo na base dez dafrequencia. Compare com a curva do item anterior e discuta.

3. A partir da curva precedente estime o coeficiente de qualidade total do circuito com-pleto. Lembramos que o circuito RLC em paralelo pode ser considerado, perto daressonancia, como equivalente ao da figura (Fig. 11.22) onde r representa as perdasno indutor e L e C sao elementos ideais. No nosso caso, introduzimos propositada-mente em paralelo o resistor R = 1, 2 kΩ que e muito menor que r de modo que aacao de r pode ser desprezada.

R’ R’’ C Lr

R’ R’’ = 10 k = 1,2 k

Figura 11.22: Circuito RLC paralelo conectado ao osciloscopio.

4. Compare as frequencias naturais medidas no regime transitorio, item 11.3.4b e 11.3.4c

com as frequencias de ressonancia correspondentes.

5. Usando o diagrama da figura (Fig. 11.22) justifique o resultado observado no item11.3.4a.

6. Atraves das medidas das amplitudes dos picos no regime transitorio realizadas noitem 11.3.4 determine o coeficiente de qualidade desse circuito. Por que ele diferedo coeficiente calculado no item 11.4-3? Agora um desafio: voce e capaz de corrigirteoricamente esse valor e comparar o resultado com o valor calculado no item 11.4-3?

11.5 BIBLIOGRAFIA

[14], [20], [8], [22], [17]

Crıticas e sugestoes, contate Prof. Newton B. Oliveira - [email protected]

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