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Física 1
Mecânica
Sandra Amato
Instituto de Física - UFRJ
Colisões
03/08/2014
(Colisões) Física 1 03/08/2014 1 / 64
a.
*
2/ 65
Outline
1 Impulso
2 Colisões
Colisões Elásticas Unidimensionais
Colisões Inelásticas Unidimensionais
3 Colisões em duas dimensões
4 Colisões no Referencial do CM
(Colisões) Física 1 03/08/2014 2 / 64
3/ 65
Colisões
Para resolvermos problemas de Mecânica utilizando a segunda
Lei de Newton na sua forma
F ma
precisamos conhecer bem as forças que atuam sobre um corpo.
Existem diversas situações em que não sabemos descrever a
força, mas se em vez de usarmos a Lei de Newton na forma
acima, levarmos em conta a variação do momento linear
Fdpdt
seremos capazes de descrever o movimento.
Um exemplo bastante comum é a colisão de partículas.
Resolveremos essas situações usando os conceitos de impulso,
momento linear e sua conservação.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 3 / 64
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Fdpdt
A segunda Lei de Newton nesta forma nos diz que para que o pmude rapidamente, é necessário uma força intensa. Ou, ao
contrário, para uma mudança lenta no momento, não precisamos
de uma força muito forte.
Queremos entender como uma força muda o momento linear de
um objeto. Podemos escrever
dp F dte integrar os dois lados:
pf
pi
dp F dt
p pf pitf
tiF dt
J
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Impulso
Jtf
tiF dt p
J é chamado de Impulso da Força que atua sobre a partícula
durante o tempo t , e representa a variação do momento linear
dessa partícula, causada por um agente externo.
Dessa definição, vemos que J é um vetor, de módulo igual à área
da curva no gráfico F t .Se soubermos a expressão de F(t) podemos calcular a integral.
Mas normalmente esse não é o caso.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 5 / 64
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Impulso
Jtf
tiF dt
Podemos usar o teorema do valor médio ilustrado aqui,
F ttf
tiF dt
de forma que podemos calcular o Impulso como:
J F tEssa força média F pode ser pensada como uma força que atua
no mesmo t produzindo a mesma variação de momento que F .
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Impulso
Uma força intensa atuando em um intervalo de tempo pequeno
pode causar o mesmo Impulso (ou variação de momento) que
uma força fraca agindo por um intervalo de tempo grande.
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Bola de golfe
Uma bola de golfe de 50g é atingida por um taco, lançando a
bola a um ângulo de 45 . Supondo que a bola atinja um alcance
de 200m, calcule o módulo do impulso causado pela colisão.
Supondo que o tempo de contato do taco com a bola seja de
4 5 104s, estime o módulo da força exercida pelo taco sobre
a bola.
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9/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 9 / 64
O cleanse da bold e. on Instance en K no tempo em
que ela retorno as elko ( que e
'
a do b. do tempo pa.
atiwgin a altima main - .
hnax : Vy=o 0 = To cos 45 - of£ ⇒ th - = V
. cos 451gz
a=z£wius1g = 21¥12 = %g
p/ A = Zoo =) Oo = 9.8×277 = 44 mls .
I= Dtp'
considered nolo me directs doe I '
J = MY - 0 = 50 × 153 ×
44 = 2.2 kg - A
b) J = F × at ⇒ E = 2.2/4.5×154 = 4.9×103 N
O peso da bold e
' 50×153×9.8=0.49 N
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Bola colidindo com parede
Suponha que uma bola de tenis de m=0,4kg seja atirada
horizontalmente contra uma parede, com vi 30 m/s. Ela bate e
volta com vf 20 m/s, também na horizontal. a) Calcule o
impulso da força resultante sobre a bola durante o impacto.
b) sabendo que a bola permanece em contato com a parede
durante 0,010s, ache a força média que a parede exerce sobre a
bola. Compare com o peso da bola. Comente a diferença entre
uma bola de tenis e uma de golfe em relação ao Impulso.
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11/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 11 / 64
so'
Tenos mrna dimenrao, poctemos considerer come escalon
J = pt . pi = my .
- mvi = 0.4 ( so - 1- so ) = so kgmls on
so N /s
b) At = 0.01 s E = J/Dt = 2010 .oi = Zooo N ( o pesoreform que e- ( + ) i de mm
no senti do do f. T.iobgeto de 200k£
,
sen peso e
'
0.4×9.8 = 3.9 N
bola golf Fg> Ft ' '
ftp.÷ 4 10
- 2
12/ 65
Bola de futebol
A massa de uma bola de futebol é 0,4kg. Inicialmente ela se
desloca da direita para a esquerda a 20m/s, a seguir é chutada,
sendo desviada a 45 para a direita, com v2 30m/s. Calcule o
impulso da força resultante e a força média, supondo que a
colisão ocorra durante 0,01s.
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13/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 13 / 64
Agora estamos em duos dimwits, terms que decompose
a eqnogoio veto vial :
Joe = D pa = ml Vseg -Tai ) = 0.4 ( 30 cos 45 - ( - 20 ) = 16.5 N/s
Jy = Dpy = m ( Vyf - Vy i ) = 0.4 ( 30 sen 45 - 0 ) = 8.5 nA
I = 16.5 i + 8.5J Nls
Fu = 5£ = t.6.sn = 1650 N
. 0 1
Fy = Jy_ = ¥ = 850 N
DE 0.01
Note que oran gulo da t.co was e
' i fuel ao da whoa'
.
dade final
tg O = fy÷ = 81 ⇒ 0=25
1650
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Colisões
Uma colisão é um processo em que uma partícula é lançada
contra a outra podendo trocar energia e momento.
Definição formal: colisão é um evento isolado no qual forças
relativamente grandes atuam em cada uma das partículas
durante um intervalo de tempo relativamente pequeno. Deve ser
possível estabelecer uma separação nítida entre o antes e o
depois da colisão.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 17 / 64
18/ 65
Colisões
Escrevendo a segunda Lei de Newton para cada um dos corpos
temos:
em m1tf
tiF21 dt p1
em m2tf
tiF12 dt p2
pela terceira Lei de Newton: F21 F12
p1 p2 p1f p1i p2i p2f
A soma dos momentos lineares inicial e final é a mesma ‹ o
momento linear do sistema, P , se conserva em uma
colisão.(Colisões) Física 1 03/08/2014 18 / 64
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Colisões elásticas e inelásticas
O momento linear se conserva em qualquer tipo de colisão.
A energia cinética nem sempre, na maioria das colisões a energia
cinética pode se converter em energia sonora, na forma de calor,
etc..
Porém em algumas colisões, pode existir uma deformação dos
dois corpos, de forma que a energia cinética se transforme em
energia potencial elástica armazenada nessa deformação, sendo
recuperada após a colisão.
Usamos esse fato para classificar as colisões em
Elástica - ocorre conservação de energia cinética
Inelástica - Não ocorre conservação de energia cinética
Completamente Inelástica - Objetos se movem juntos
após a a colisão
(Colisões) Física 1 03/08/2014 19 / 64
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Colisões Elásticas em Uma dimensão
Uma dimensão ‹ basta definirmos um sentido positivo para as
velocidades.
cons p m1v1i m2v2i m1v1f m2v2f
cons K1
2m1v 2
1i1
2m2v 2
2i1
2m1v 2
1f1
2m2v 2
2f
Se sabemos as velocidades iniciais sabemos prever as velocidades
finais
(Colisões) Física 1 03/08/2014 20 / 64
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Colisões Elásticas em Uma dimensão
Trabalhando a álgebra (faça!) obtemos:
v2f v1f v2i v1i
A velocidade relativa entre os dois objetos muda de sinal em uma
colisão elástica!
Cuidado: só vale para colisão elástica em 1 dimensão!
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Colisões Elásticas em Uma dimensão
Trabalhando a álgebra (faça!) obtemos as velocidades finais em
termos das velocidades iniciais:
v1fm1 m2
m1 m2v1i
2m2
m1 m2v2i
v2f2m1
m1 m2v1i
m1 m2
m1 m2v2i
Discutir casos particulares:
m1 m2 mm2 em repouso,
m1 m2
m2 em repouso,
m2 m1
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:.
-
23/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 23 / 64
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Colisão Inelástica em uma dimensão
Em uma colisão inelástica existe perda de energia cinética. Só é
válida a equação de conservação do momento linear:
cons p m1v1i m2v2i m1v1f m2v2f
Não podemos saber as velocidades finais sabendo apenas as
iniciais, precisamos saber também uma das finais.
Caso particular: Colisão Completamente Inelástica - ocorre a
maior perda de energia cinética possível ‹ os dois objetos se
movem juntos após a colisão
m1v1i m2v2i m1 m2 vf vfm1v1i m2v2i
m1 m2VCM
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Pêndulo Balístico
Um pêndulo balístico é um dispositivo usado para medir a
velocidade de um projétil. Sabendo as massas do bloco de
madeira e do projétil, e medindo a altura atingida pelo bloco,
podemos saber a velocidade do projétil
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26/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 26 / 64
Eousndeneqoois ;
- consenvagoio de - met lute O instant inn al e ime dietary
afros a eolisao . @
- coms . energie entire i me die to mute afros a coli sons e o instant
final @
@ mnvnitmz 0 = ( m, + mz ) Vt ⇒ Vni = µ¥)✓f
Otlmfmz) Vp =
#m<)gh= >
- '
y.= 2 gh
Vni = Mi + M 2 -- Zgh
'
m ,
27/ 65
Um neutron de massa mn e velocidade vni sofre uma colisão
elástica com um núcleo de Carbono de massa mC inicialmente
em repouso. Quais são as velocidades finais do neutron e do
núcleo de Carbono? Qual a fração de energia cinética perdida
pelo neutron?
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28/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 28 / 64
cons . mom . Mn Vni = Mn Jnf + Mc Vcf: ~ '
com . K : turn Th = tmuvng.
+ } mo Vly : Mt
make =
mm÷ ( Ong + let ) = > V.+
= Vni - Vnf 0
Teri =
I hit +45 ) ⇒ vis.= vii - vi �2�
�2� i �1�
�3� Vcf = Unit Vnf subset en cons . p :
.+=oni+k÷÷Mi=CnITtI÷Mi=n÷n€A em g. pnohda pho mention e- a gomha fnlo c :
" ÷÷÷±÷K÷Ha÷÷i
29/ 65
Uma bala de massa m e velocidade v passa através do bulbo de
um pêndulo de massa M e emerge com velocidade v 2. O fio que
suporta o bulbo tem comprimento . Qual é o menor valor de vpara que o bulbo do pêndulo gire uma volta completa?
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30/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 30 / 64
cons . p antes e ineohd Fannie afros a coli too i
eons . E dvpois don coli saj e no pronto wais alto
para que gin mrna volta com pieta , a veloci -
dale no pronto mains alto deve M t 0 :
Mgtt = M Title
cons p : mv = my t M ✓'
z
com . E izmv?
= mg 2 l + zt M Vaehi
M g= Mutual ⇒ vtiio = lg
{ Mv '2= zmge + { Mgl = I Mge
v'
'
= 5glmv = my + M Fly
ztmv = M Eeg
v = zM= Eeg
31/ 65
Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superfície
horizontal, como mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o
bloco e a superfície é . Uma extremidade de uma mola, de
constante elástica k , está ligada ao bloco, e a outra extremidade
está presa a uma parede. Inicialmente a mola não está
distendida. Uma bala de massa m1 atinge o bloco e fica grudada
nele. Se a deflexão máxima da mola for x , obtenha a velocidade
da bala em função de m1, m2, k , , g e x .
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32/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 32 / 64
cons p i me V = ( mit mz ) ✓ mit MZI M
cons E i DK + duel = W fat
0 - t MV-
+ g- kn2 - 0 = - µ Mg mti- ÷(n=ku2 - µ Mgm )=k÷i - zµgn
a- reef
33/ 65
Colisões em duas dimensões
Vamos considerar as situações mais gerais em que as colisões não
se dão em uma linha reta, mas em um plano.
O momento Linear se conserva em qualquer tipo de colisão, mas
agora temos que decompor a equação de conservação (que é
vetorial) em duas componentes:
cons px m1v1ix m2v2ix m1v1fx m2v2fx
cons py m1v1iy m2v2iy m1v1fy m2v2fy
Se a colisão for elástica, existe também a conservação de energia
cinética
cons K1
2m1v 2
1i1
2m2v 2
2i1
2m1v 2
1f1
2m2v 2
2f
Vemos que agora não é sufuciente sabermos as velocidades
iniciais para obtermos as finais: temos 4 incógnitas
(v1fx v1fy v2fx v2fy) e apenas 3 equações.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 33 / 64
34/ 65
Colisões em duas dimensões
As velocidades finais dependem do parâmetro de impacto b entre
os centros dos objetos antes da colisão. A quarta equação
depende desse parâmetro e do tipo de força entre os objetos.
Na prática, o que se costuma querer determinar são esses
parâmetros e mede-se uma ou todas as velocidades finais.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 34 / 64
35/ 65
Experimento de Rutherford
(Colisões) Física 1 03/08/2014 35 / 64
1911
1/8000 angulo > 90
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Um objeto de massas m1 e velocidade v1i 20 m/s colide com
um de massa m2 inicialmente em repouso. Após a colisão, o de
massa m1 se move com v2f 15 m/s formando um ângulo de 25
com a direção da velocidade inicial. Em que direção segundo
objeto está se movendo?
R: tan 2sen 1
v1iv1f
cos 10 99 2 45
(Colisões) Física 1 03/08/2014 36 / 64
i.
10
en se i me V, i = m , Vnf cos O
,+ mz Vzf Cos Oz @ 2 eng .
~ Yi 0 = +m,
V , f see ,- mz Vzj sense �2� 2 in high Tos : 02
,4 g-
�2� Mz Vzf hlufz = M , V, f slim ,
@ Mz Vzf Hz = we
,
Vni - m ,
J, y
cd 0)
% : tg02 = VitMf = serf = 0.99 ⇒ 02=48Vni - Vy cord V÷ -
cow,
Kf
37/ 65
Um carro de 1200kg dirige para leste quando, num cruzamento,
um caminhão de 3000 kg dirigindo na direção norte a 50 km/h
colide com o carro, de forma que os dois saem juntos após a
colisão formando um ângulo de 59 com a direção inicial do
carro. O motorista do caminhão acusa o do carro, dizendo que
ele estava acima do limite permitido de 80 km/h. Verifique se
essa afimativa é verdadeira ou não.
R: vcmtvt
mctan 75 km h(Colisões) Física 1 03/08/2014 37 / 64
n
38/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 38 / 64
cons . month ze i.
Mc Uc = ( Mc + Mt ) ✓f cos O @
in Y :
Mt Vt = ( ma tmt ) Vf sew @
T tgO = Mt¥ ⇒
Mc Tc
Vc = Mt Ot = Zooox 50=
75km/h÷tgO nsoo top 59
O Cerro Nato estava aci me do
limit
39/ 65
Em uma colisão, uma bola de bilhar deslocando-se a uma
velocidade de 2,2 m/s atinge outra idêntica em repouso. Após a
colisão uma delas tem velocidade de 1,1 m/s fazendo um ângulo
de 60 com a linha original de movimento.
a) Qual a velocidade da outra bola?
b) a colisão é elática?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 39 / 64
s
40/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 40 / 64
vMe = mz = m if
54 : OI ?'
O'
Jfi Vzf.
inns
xVni = YuYf cos 60 +
vxvzgni @
en
:=
YuVif sen 68 -
YuTasty�1� :
Vzfx = Uni - Vig as Go = 2.2 - 1.1 Cos 6¥54s@ i V2fy = Vnf sen Go = 1.1 sen Go = 0.95 - /s
&g = 1.65 i -
0.95 f mls
A colinas e. elois ti co se a energia crime tied se conserve
Ki = tz we VP = lzm2.22=2.42 m
Kf = zt we Vf + t
m Va }
Vzf = €+0.9527 = 1.9 - Is
Kf = ztm 1.
P + } m1.92 = 2.4 i
ni j e
' elastics .
41/ 65
Em um jogo de sinuca, a bola da vez sai a um ângulo de 35 com
a direção inicial. A que ângulo sai a bola branca, supondo que a
colisão seja elástica?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 41 / 64
42/ 65(Colisões) Física 1 03/08/2014 42 / 64
? +5g→ w - as -
courageous de f won for -
uetonali- >
Th; = % + Vzfllevando - qnedndao e
lembmondo free
° from one -wetos e- o pronto et he -
han dele M we mis - i
v .i=CIt+vis .
) .CI's +5*1=45+5++2555;= Vj .
+ Vip + 2 V, + Vzy as (0+35)
funthnd com @
2 Yf Vzf cos (0+35)=0 = > 0+35=90
43/ 65
Colisões de partículas
Imagens de Câmara de Bolha
(Colisões) Física 1 03/08/2014 43 / 64
Em uma colisão elástica de duas partículas de mesma massa, o ângulo entre elas após a colisão é 90 graus.
44/ 65
Colisões no Referencial do CM
Quero descrever as colisões no referencial do CM. Vamos
considerar um sistema formado por duas partículas:
Já vimos como descrever o Movimento do
CM:
Fext MACM
Quero escrever a posição de cada partícula
em relação ao CM.
Sabemos a posição do CM em relação a um
nosso sistema de referência:
Rcmm1r1 m2r2
M
(Colisões) Física 1 03/08/2014 44 / 64
r
r
1
2
RCM
rr
1
2
h
Ma0÷9seem.
>
>O
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Posição de m1 e m2 em relação ao CM:
r1 r1 Rcm r1m1r1 m2r2
m1 m2
m1r1 m2r1 m1r1 m2r2
M
r1m2
Mr1 r2
r2 r1 Rcm r2m1r1 m2r2
m1 m2
m1r2 m2r2 m1r1 m2r2
M
r2m1
Mr2 r1
m1
Mr1 r2
r2m1
m2r1
m1r1 m2r2 0
r1 e r2 tem a mesma direção e sentidos opostos: O CM é
um ponto interno à reta que liga as duas massas.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 45 / 64
2
46/ 65
Momento Linear em relação ao CM
m1r1 m2r2 0
Derivando esta equação:
m1v1 m2v2 0
ou seja:
p1 p2 0
O momento linear total do sistema em relação ao CM é
nulo. Esta é uma definição de CM.
Este resultado pode ser estendido a muitas partículas, resultando
em:
miri 0
mivi pi 0
(Colisões) Física 1 03/08/2014 46 / 64
→
→
47/ 65
Descrição da colisão no Referencial do CM
No referencial do CM, as partículas se aproximam uma da outra
com momentos iguais e contrários. Após a colisão, elas se
afastam também com momentos iguais e contrários.
Se temos a velocidade v1i e v2i no referencial do laboratório,
podemos passar para o referencial do CM:
v1i v1i VCM v1i v1i VCM
v2i v2i VCM v2i v2i VCM
(Colisões) Física 1 03/08/2014 47 / 64
at* k A
H t 111 $
48/ 65
Caso particular
Vamos considerar o caso particular de duas massas iguais e que
uma delas esteja parada:
v1i v1i VCM
v2i VCM
VCMmv1i m 0
2mv1i
2
Note que essa velocidade do CM é constante pois P MVCM se
conserva.
(Colisões) Física 1 03/08/2014 48 / 64
49/ 65
Energia Cinética
Quero mostrar que a energia cinética de um sistema de partículas
pode ser escrita como a soma da energia cinética do CM com a
Energia cinética em relação ao CM.
K K1
2MV 2
CM
K1
2m1v 2
11
2m2v 2
2
v1 v1 VCM v2 v2 VCM
K1
2m1 v1 VCM
2 1
2m2 v2 VCM
2
(Colisões) Física 1 03/08/2014 49 / 64
50/ 65
K1
2m1 v1 VCM
2 1
2m2 v2 VCM
2
K1
2m1v 2
11
2m1V 2
CM m1v1VCM1
2m2v 2
21
2m2V 2
CM m2v2VCM
K1
2m1v 2
11
2m1V 2
CM m1v1VCM1
2m2v 2
21
2m2V 2
CM m2v2VCM
K K KCM VCM m1v1 m2v2
como mivi 0:
K K KCM c q d
Qual é o maior valor de energia cinética que pode ser perdido
durante a colisão?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 50 / 64
51/ 65
K1
2m1 v1 VCM
2 1
2m2 v2 VCM
2
K1
2m1v 2
11
2m1V 2
CM m1v1VCM1
2m2v 2
21
2m2V 2
CM m2v2VCM
K1
2m1v 2
11
2m1V 2
CM m1v1VCM1
2m2v 2
21
2m2V 2
CM m2v2VCM
K K KCM VCM m1v1 m2v2
como mivi 0:
K K KCM c q d
Qual é o maior valor de energia cinética que pode ser perdido
durante a colisão?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 50 / 64
52/ 65
Um núcleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se,
emitindo um elétron e um neutrino em direções perpendiculares
entre si. O módulo do momento linear do elétron é
1 2 1022
kg m/s e o do neutrino 6 4 1023
kg m/s.
1 Ache a direção e o módulo do momento adquirido pelo núcleo
ao recuar.
2 A massa do núcleo residual é de 5 8 1026
kg. Qual a sua
energia cinética de recuo?
(Colisões) Física 1 03/08/2014 51 / 64
r.EE#e 0=28.
b) K = 1,59×15"
J = 1 er
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Duas partículas P e Q estão inicialmente em repouso, separadas
por uma distância de 1 m. A partícula P tem massa
m1 3 0 kg, e Q tem massa m2 5 0 kg. Elas atraem-se
mutuamente com uma força constante de módulo 0,35 N.
Nenhuma força externa atua sobre este sistema.
1 Descreva o movimento do centro de massa do sistema.
2 A que distância da posição original de P as partículas vão
colidir?
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b) R : 0.6 -
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Dois corpos de massas m1 4 kg e m2 2 kg, com velocidades
de módulos v1 5 m/s e v2 2 m/s, como indicado na figura,
colidem e permanecem juntas após o choque.
1 Calcule a velocidade das partículas após o choque e a
variação na energia cinética total durante o choque.
2 Calcule as velocidades iniciais e finais dos corpos num
referencial ligado ao centro de massa do sistema. Faça o
esquema da colisão neste referencial.
3 Calcule a variação da energia cinética no referencial do centro
de massa do sistema.
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V , =5mls Vt. 2mA→ -
Me M2
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a) m, T
,+ mz Vz = ( m , two ) ✓
✓= 4×5 + 2×2 = 4 mls = Van
.
6
DK = Kf - ki
Ki = at 4×52+2+222=545Kg. =
{(4+2)×42 = 48 J
Ll K = - 6 J
b) V,
'
= Y - Van = 5-4=1 - Is
VL = Vz - Van = 2 - 4 = -
2 m 11
:-. of | cnn.ITcm
4kg
, /
e ) DK'
= Kf - Kia*'
i = { 4 × it {2×22=6 J
DK = - 6 J
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Como mostrado na figura, observa-se um bloco de madeira com
massa M 0 49 kg em repouso num plano horizontal. O
coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0 25. Uma
bala de massa m 0 01 kg é atirada contra o bloco, atingindo-o
horizontalmente com velocidade de 500 m/s, ficando nele
engastada.
1 Calcule a velocidade do conjunto imediatamente após o
impacto.
2 Ache a distância que o conjunto percorre até parar.
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m
M
a) v= iomls
b) D= son
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Uma partícula de massa m movendo-se com velocidade v sobre
uma mesa plana sem atrito incide sobre outra partícula de massa
2m , em repouso. Após o choque, observa-se que a massa m tem
velocidade de módulo 2v 3 fazendo um ângulo de 60 com a
direção original do movimento, do ponto de vista de um
observador no laboratório.
1 Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e
depois do choque?
2 Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa do
sistema, da partícula de massa 2m após o choque?
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no- OV
2mm0,6243←
in = we : 0133 M
b) antes :
V'
, = V - % =2YzV 'z = O - Yz = - V/3
m 243 - Vl 3. - =2 in
depois .
.
> - ,
TH= It - Van
; Yf em se i
- -1-60.0
1
- Yfn = ¥ cos 60 - Ig toown 8/3
°'ty= ¥ II - o = W÷On
para a masse 2 w :
no ref . do an E p , .= 0 | vT3/ }
in m : m Vign = 2 m vs f n
0 ~
0 2 m
V !fn = 0 com where
.
hams
em Y : m ¥ = zn vi , y ⇒ Visy =
±& " %
6
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Uma bola de aço de massa 0,5 kg está presa a um cordão de
70 cm de comprimento e é abandonada quando o cordão está na
horizontal. Na parte mais baixa de sua trajetória, a bola atinge
um bloco de aço de massa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre
uma superfície lisa, como mostrado na figura. A colisão é elástica.
Determine as velocidades da bola e do bloco após a colisão.
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0,5
0,7
said
toA
Ri Vsola = - 2.5 - Is
Vblo co = 1,2 we / s
Coutu os instants imedietamente antes e depots da colisa hoi a conservation de moment linear
Para - benwos a who aided com que a bold atiwge ° blood, promos user conserve gas de
emerged pois not hoi forges dissipations he neolizamfuebalho .
MOT mgh={not:. To = FGI v%no .=nr+mr ⇒→mmlyj¥j,!Ir . } vote ✓
$mvo2= tfmv + ¥nV'
subst . em @
MUO = MV + M Vot MV
( mtm ) V = ( m - m ) Vo
V = m . M To = - ÷ Oo = - 2.5 - b
÷ M
V = Vo to = Vo ( 1 - §)= I = 1.2 - Is
3
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Uma colisão perfeitamente inelástica ocorre entre uma massa de
3 kg deslocando-se para cima a 20 m/s e outra de 2 kg
deslocando-se para baixo a 12 m/s. A que altura a massa
combinada se eleva acima do ponto de colisão?
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Ri 2.6 m
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Na colisaio f'
se cowewa entre os
-
instants inn .
diatameute antes e defois old colicao .
+
§ M2 = 2 kgm
, y,
+ vuz Vz = Hit mz)V/ €m ,
= 3kg V = 3x2o-2= = 7.2 wits5
v2= ✓ ! - 2g BY ⇒ by = 71=2.6 m
20
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