Física 2 Capítulo 1 Rotação de corpos rígidos e Dinâmica ...claudio.sartori.nom.br/fisica2fateccap1.pdf · Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica

Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica do Movimento de Rotação Prof. Dr. Cláudio Sérgio Sartori.

1

Rotação dos corpos rígidos

Introdução:

Em algumas situações em física, não há a

possibilidade de estudar o movimento como se a

partícula fosse um ponto material. Citamos o

movimento de um CD/DVD, o movimento de uma serra

elétrica ou de uma roda gigante. Cada um deles envolve

um corpo que gira em torno de um eixo que permanece

estacionário em relação a algum sistema de referência

inercial. A rotação ocorre em todas as escalas, desde o

movimento de elétrons em torno de átomos até o

movimento de galáxias inteiras.

Desenvolveremos métodos especiais que

analisam o movimento de corpos que giram.

No mundo real, as forças que atuam nos corpos

podem ainda deformá-los, esticando-os, torcendo ou

comprimindo-os. Desprezaremos essas deformações,

supondo que o corpo mantenha sua forma definida e

imutável, cujo modelo denominamos de corpo rígido.

Velocidade angular e aceleração angular

Designamos por eixo fixo aquele que

permanece em repouso em relação a algum referencial

inercial e que não muda de direção.

Ângulo θ:

ss r

r

Unidades:

Radiano:

Grau:

Grado:100 gr – 90°

180

rad

Velocidade angular:

Velocidade angular média:

t

2 1

2 1t t

Unidade: Radiano por segundo: rad/s.

Velocidade angular instantânea:

0lim

t t

d

dt

Aceleração angular:

Aceleração angular média:

t

2 1

2 1t t

Unidade: Radiano por segundo ao

quadrado: rad/s².

Aceleração angular instantânea:

0lim

t t

d

dt

Observações: No MCU:

22 f

T

f: Freqüência. Unidade: Hertz (Hz)

1 Hz = 1/s ou rpm=(1/60)Hz

T: período. r

Exemplo 1 – A figura mostra o volante de um

carro que está sendo testado. A posição angular dessa

roda é:

3

32 rad

st

O diâmetro do volante é igual a 0.36m. Ache:

(a) o ângulo θ, em radianos e em graus, nos

instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.


2

(b) Ache a distância percorrida por uma

partícula na periferia do volante nesse intervalo de

tempo.

(c) Calcule a velocidade angular média, em

rad/s e em rev/min (rpm) entre t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s.

(d) Ache a velocidade angular instantânea para

t = 3.0 s.

Solução:

(a) 3 3

1 1 1 12 2 2 16t rad

180180

rad

1

16180 920

3 3

2 2 2 22 2 5 250t rad

180

2

250180 14000

(b) 0.18 250 16s r s

42s m

(c) 2 1

2 1

250 16

5 2t t

78 78 60 740min

rad rad rev

s s

(d) 26

dt

dt

26 3 54rad s

Exemplo 2 – Calcule a aceleração angular do

instantânea e a aceleração angular média entre os

instantes t1 = 2.0 s e t2 = 5.0 s do exemplo anterior:

3

32 rad

st

Solução: 2

2

d d d d

dt dt dt dt

212

radt

s

2 1

2 1t t

2

150 2442

5 2

rad

s

Rotação com aceleração angular constante:

0 t

2

0 02

t t

2 2

0 02

Exemplo 3 – Rotação com velocidade

angular constante. Uma roda de bicicleta está sendo

testada em uma oficina de reparos. A velocidade

angular da roda é 4.00 rad/s no instante t = 0s e sua

aceleração angular é constante e igual a 1.20 rad/s2. Um

raio OP da roda coincide com o eixo Ox no instante t =

0s. (a) Qual a velocidade angular da roda no instante t =


3

3.00 s? (b) Qual é o ângulo formado pelo raio OP e o

eixo +Ox nesse instante?

Solução:

(a) 0 t

4 1.2 3 0.40rad

s

(b) 2

0 02

t t

21.20

0 4 3 3 6.62

rad

Aceleração tangencial, centrípeta e resultante

Aceleração tangencial:

Ta r

Aceleração centrípeta ou normal: 2

2

cp cp

va a r

r

Aceleração resultante:

2 2

cp Ta a a

Exemplo 4 – Movimento de um disco. O

lançador de um disco gira com aceleração angular =

50 rad/s², fazendo o disco se mover ao longo de uma

circunferência de raio 0.8m. Vamos supor que o braço

do lançador possa ser tratado como um corpo rígido,

logo, r é constante. Determine o componente vertical e

o componente horizontal da aceleração no instante em

que a velocidade angular é 10 rad/s.

Solução:

250 0.8 40T T T

ma r a a

s

2 2

210 0.8 80cp cp cp

ma r a a

s

2 2

cp Ta a a

2 280 40a

289

ma

s

Exemplo 5 – Projeto de uma hélice. Você foi

solicitado para projetar a hélice de um avião que deve

girar a 2400 rpm. A velocidade do avião deve ser de

75.0 m/s (270 km/h), e a velocidade da extremidade da

lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca

de 0.8 vezes a velocidade do som no ar. Se as

extremidades das lâminas se deslocassem com a

velocidade do som, elas poderiam produzir uma enorme

quantidade de ruído. Mantendo a velocidade menor que

a velocidade do som obtém-se um nível de ruído

aceitável.)

(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?

(b) Com esse raio, qual é a aceleração da

extremidade da hélice?

Solução:


4

24002400

60f rpm f Hz

40f Hz

2 2 40 251.3rad

fs

(a) Velocidade tangencial de um ponto P na

extremidade da hélice::

Pv r

Velocidade do avião em relação ao ar: vA.

Velocidade total:

2 2 2 2 2

A P Av v v v v r

2 2 2 22

2 2

270 75

251

Av vr r

1.03r m

(b) A velocidade angular da hélice é constante: 2 2251 1.03cp cpa r a

4

26.5 10cp

ma

s

Força que a hélice exerce:

46.5 10cp

F NF m a

m kg

As hélices são fabricadas de materiais leves e

duros, como ligas de alumínio.

Exemplo 6 – Engrenagem de uma bicicleta. Como relacionar as velocidades angulares das duas

rodas dentadas de uma bicicleta com o número de

dentes de cada roda?

Solução:

1 2 1 1 2 2v v r r

2 1

1 2

r

r

A condição de que o espaçamento entre os

dentes é o mesmo nas duas rodas dentadas é dado por:

1 2 1 1

1 2 2 2

2 2r r r N

N N r N

2 1

1 2

N

N

A velocidade angular de cada roda dentada é

inversamente proporcional ao número de dentes. Em

uma bicicleta com várias marchas, você obtém a

velocidade angular mais elevada 2 da roda traseira

pedalando com uma taxa 1 quando a razão N1/N2 é

máxima; isso significa que você deve usar a roda

dentada dianteira com maior raio (maior valor de N1) e a

roda traseira com menor raio (menor valor de N2).

Energia do movimento de rotação

Um corpo girando constitui-se de massas em

movimento. Podemos escrever a energia dese

movimento em termos da velocidade angular do corpo:

A energia cinética total do corpo é a soma das

energias cinéticas de todas as partículas do corpo:

22

1 1

1 1

2 2

N N

i i i i

i i

K m v K m r

2 2

1

1

2

N

i i

i

K m r

Momento de Inércia Definimos como momento de inércia, o

produto pela massa com o quadrado de sua distância ao

eixo de rotação. A palavra momento dá a idéia de que I

depende da maneira como que a massa do corpo é

distribuída no espaço.

2

1

N

i i

i

I m r

Unidade: kg.m2.

21

2K I

Exemplos associados a momento de inércia:


5

Exemplo 7 – Momento de inércia em relação

a diferentes eixos de rotação. Um engenheiro está

projetando uma parte de uma certa máquina que

consiste em três conectores pesados ligados por suportes

leves,. Os conectores podem ser considerados como

partículas pesadas conectadas por hastes com massas

desprezíveis.

(a) Qual é o momento de inércia desse corpo em

relação a um eixo perpendicular ao plano do desenho

passando no ponto A?

(b) Qual é o momento de inércia desse em torno de

um eixo que coincide com a haste BC?

(c) Se o corpo gira em torno de um eixo

perpendicular ao plano do desenho e passa por A, com

velocidade angular = 4.0 rad/s, qual é a sua energia

cinética?

Solução: (a) A partícula no ponto A está sobre o eixo.

Sua distância r é 0. Assim:

2

1

N

i i

i

I m r

2 20.1 0.5 0.2 0.4I 20.057I kg m

(b) As partículas em B e em C estão sobre o

eixo. Para elas, r = 0. Assim:

2

1

N

i i

i

I m r

20.3 0.4I 20.048I kg m

(c)

2 21 10.057 4 0.46

2 2K I K K J

Observação: O momento de inércia de um

corpo depende da localização e da orientação do eixo.

Momento de inércia de figuras:

Teorema dos eixos paralelos


6

2

P CMI I M d

Exemplo 9 – Desenrolando um cabo. Um

cabo leve, flexível e não deformável, é enrolado várias

vezes em torno da periferia de um tambor, um cilindro

sólido com um diâmetro de 0.120m e massa igual a 50

kg, que pode girar em torno de um eixo estacionário

horizontal mantido por mancais sem atrito. A

extremidade livre do cabo é puxada por uma força

constante de módulo igual a 9.0 N deslocando-se uma

distância de 2.0 m. Ele se desenrola sem deslizar

fazendo o cilindro girar. Se o cilindro inicialmente está

em repouso, calcule sua velocidade angular e a

velocidade escalar final do cabo.

Solução:

Existe atrito entre o cabo e o cilindro: é isso

que faz o cilindro girar assim que puxamos o cabo.

Porém, como o cabo não desliza, não existe nenhuma

velocidade relativa de deslizamento entre o cabo e o

cilindro, e nenhuma energia mecânica é perdida em

virtude do atrito. A variação de energia cinética do

cilindro é igual ao trabalho W = F s realizado pela força

F = 9.0 N que atua em um deslocamento s = 2.0 m;

portanto, W = 9.2 = 18J. De acordo com a tabela de

momentos de inércia:

21

2I M R

2 2150 0.6 0.090

2I I kg m

Como o cilindro está inicialmente em repouso,

pelo teorema trabalho-energia:

2 2

2 1 0

1 1

2 2W K K W I I

Como o corpo está em repouso:

0 0

2 2 18

0.090

W

I

20rad s

20 0.06v r v

1.2m

vs

Exemplo 10 – Desenrolando um cabo II. Em

uma experiência de laboratório para testar a

conservação da energia mecânica de rotação, enrolamos

um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço

de massa M e raio R. O cilindro gira com atrito

desprezível em torno do eixo horizontal estacionário.

Amarramos a extremidade livre do cabo a um

objeto de massa m e libertamos o objeto sem velocidade

inicial a uma distância h acima do solo. À medida que o

objeto cai, o cabo se desenrola sem deslizar nem se

esticar, fazendo o cilindro girar. Calcule a velocidade do

objeto que cai e a velocidade angular do cilindro no

instante que o objeto atinge o solo.

Solução:

Inicialmente, o sistema não possui nenhuma

energia cinética (K1 = 0). Consideramos a energia

potencial igual a zero quando o objeto está no nível do

solo. Logo, U1 = m.g.h e U2=0. (Podemos ignorar a

energia potencial gravitacional do cilindro, visto que sua

altura não varia). Assim, o atrito não realiza trabalho,

logo:

2 2 1 1 0FW U K U K

O cabo não realiza trabalho total, porque em

uma extremidade a força e o deslocamento estão no

mesmo sentido, e na outra extremidade a força possui

sentido contrário ao do deslocamento. Logo, o trabalho

total do cabo é igual a zero. Imediatamente antes de o

objeto colidir com o solo, tanto o objeto quanto o

cilindro possuem energia cinética. A energia cinética

total K2 nesse instante é:

2 2

2

1 1

2 2K m v I


7

21cilindro

2I M R

v R

A velocidade da massa que cai deve ser igual à

velocidade tangencial de um corpo na periferia do

cilindro. Usando essas relações e igualando a energia

total inicial com a energia total final, teremos:

2 2 1 1U K U K

2

2 21 1 10

2 2 2

vm g h m v M R

R

21 1

2 2m g h m M v

2

12

g hv

M

m

Velocidade angular final:

v

R

Observe que:

0M m v

2M m v g h

Veja que v não depende do raio do cilindro!

Exemplo 11 – Uso do teorema dos eixos

paralelos. Uma das partes de uma articulação mecânica

possui massa igual a 3.6 kg. Medimos seu momento de

inércia em relação a um eixo situado a uma distância de

0.15 m do seu centro de massa e encontramos o valor IP

= 0.132 kg.m2. Qual o momento de inércia em relação a

um eixo que passa pelo seu centro de massa Icm?

Solução: 2

P cmI I M d

2

cm PI I M d

20.132 3.6 0.15cmI

20.051cmI kg m

Cálculos de momento de inércia.

Quando um corpo rígido não pode ser

representado por massas puntiformes, podemos escrever

a relação integral: 2

corpo

I r dm

Dependendo de como a massa está distribuída,

podemos definir as densidades:

Densidade Símbolo Definição Unidade

Linear

M

L

kg

m

Superficial

M

A

2

kg

m

Volumétrica

M

V

3

kg

m


8

Para o caso unidimensional, podemos definir:

dmdm dl

dl

2

corpo

I r dl

Para corpos bi e tridimensionais, veja a tabela a

seguir.

Tabela - Definições de Momentos, Momentos de

inércia e centro de massa.

Corpos

Bidimensionais

(Figuras Planas)

Corpos tridimensionais

Centro de

Massa

),( mm yx

),,( mmm zyx

Rm

R

x dA

xdA

Rm

R

x dV

xdV

Rm

R

y dA

ydA

Rm

R

y dV

ydV

Rm

R

z dV

zdV

Momentos

Lâmina Sólido

mxM y mzM xy

myM x myM xz

mxM yz

Momentos de

Inércia

Figuras Planas Corpos Tridimensionais

Ix 2

R

y dA

2 2( )R

y z dV

Iy 2

R

x dA

2 2( )R

x z dV

Io, Iz

2 2( )R

x y dA

2 2( )

R

y x dV

Exemplo 12 – Barra delgada uniforme, eixo

ortogonal ao seu comprimento. A figura mostra uma

barra ou vara delgada uniforme de massa M e

comprimento L. Determine seu momento de inércia em

relação a um eixo passando pelo ponto O, a uma

distância arbitrária h de uma de suas extremidades.

Solução: Escolhendo um elemento de massa de uma

seção reta da barra com comprimento dx situado a uma

distância x do ponto O. Assim, se a densidade linear é

uniforme:

dm M Mdm dx

dx L L

2

corpo

I r dm

2 2

L h L h

h h

M MI x dx I x dx

L L

3

3

x L h

x h

M xI

L

2 213 3

3I M L L h h

o Se o eixo passar pela extremidade esquerda: h = 0:

21

3I M L

o Se o eixo passar pela extremidade direita: h = L:

21

3I M L

o Se o eixo passar pelo centro: h=L/2:

21

12I M L

Exemplo 13 – Cilindro maciço ou oco

girando em torno de seu eixo. A figura mostra um

cilindro oco e uniforme com comprimento L, raio

interno R1 e externo R2 e massa M. Calcule o momento

de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro.


9

Solução:

2dm dV dm r L dr

2

corpo

I r dm

2

1

2 2

R

R

I r r L dr

2

1

32

R

R

I L r dr

4 4

2 14

LI R R

Exemplo 14 – Esfera homogênea de raio R e

eixo passando pelo centro. A esfera abaixo poderia ser

uma bola de bilhar. Determine seu momento de inércia.

Solução:

2 2r R x

2dm dV dm r dx

2

corpo

I r dm

2 2dm R x dx

Para um disco:

21

2dI r dm

2

2 2 2 21

2dI R x R x dx

2

2 2

2dI R x dx

2

2 2

0

22

R

I R x dx

58

15I R

34

3

M M

VR

3

3

4

M

R

58

15I R

5

3

8 3

15 4

MI R

R

22

5I M R

Exemplo 15 – Movimento de um CD/DVD.

Em um compact disc ou digital video disc, as

informações são gravadas digitalmente em uma série de

pits (―buracos‖) e flats (regiões de áreas planas) sobre a

superfície do disco, representando uma série de binários

0 ou 1, que serão lidos pelo compact disc player e

convertidos em ondas sonoras. Os pits e as flat areas

são detetados por um sistema de um laser e lentes. O

comprimento de um certo número de zeros e uns

gravados é o mesmo ao longo de todo o disco, próxima

a borda ou próximo ao seu centro. Para que o

comprimento da região gravada de ―0s‖ e ―1s‖ sempre

passe pelo sistema de leitura lentes e laser no mesmo

período, a velocidade linear da superfície do disco na

região de leitura deve ser constante. Em um aparelho de

CD típico, a velocidade de leitura é da ordem de 1.3

m/s. Encontre a velocidade angular do disco quando a

informação está sendo lida do interior (first track) em r

= 23 mm e no exterior (final track) r = 58 mm.


10

Solução:

2

2

1.356.5

2.3 10

1.322.4

5.8 10

i i

i

ie e

rad

v s

radr

s

56.58.99

2

22.423.565

2

i ii

i

e e

f f Hz

f

f f Hz

( ) ( ) 60if rpm f Hz

539.4

213.9

i

e

f rpm

f rpm


11

Dinâmica do Movimento de Rotação

Introdução:

Ao usarmos uma chave de roda para retirar o

parafuso para trocar o pneu de um automóvel, a roda

inteira pode começar a girar, a menos que você descubra

um meio de mantê-la firme. O que ocorre com a força

que você realiza sobre a chave de roda que ocasiona a

rotação da roda? De modo geral, o que produz a

aceleração angular em um corpo que gira? Uma força

pode puxar, empurrar mas para produzir um movimento

de rotação é necessária uma ação giratória ou de

rotação.

Analisaremos uma nova grandeza física, o

torque, que descreve a ação giratória da força.

Desenvolveremos um novo princípio de

conservação, a lei da conservação do momento angular,

que é extremamente útil para entender o movimento de

rotação do corpo rígido e de corpos não rígidos. Uma

aplicação interessante é o movimento de um giroscópio,

que se comporta de acordo com a dinâmica do

movimento de rotação.

Torque

Definimos como torque, ou momento da força

F

em relação a um ponto O como sendo o produto da

distância l perpendicular entre o ponto O e a linha de

ação da força e o módulo da força F

: F

. Assim:

F l

Em notação vetorial:

r F

Unidade: N.m

Exemplo 1 – Um bombeiro hidráulico, incapaz

de afrouxar a conexão de um tubo, encaixa um pedaço

de sucata (―uma alavanca‖) sobre a haste da chave de

grifa. A seguir ele usa seu peso de 900 N para ficar em

pé na extremidade da alavanca. A distância entre o

centro da conexão e o ponto onde o peso atua é igual a

0.80 m, e o eixo da alavanca faz um ângulo de 19° com

a horizontal.


12

Calcule o módulo, a direção e o sentido do

torque que ele aplica em torno do centro de conexão.

Solução:

O ângulo entre r

e F

é igual a 190°. Assim,

o braço l da alavanca é:

0.8 109 0.76l sen l m

900 0.76F l

680N m

Torque e aceleração angular de um corpo

rígido.

A relação fundamental para a dinâmica da

rotação de um corpo rígido pode ser feita se

imaginarmos que o corpo constituí de um número

grande de partículas. Escolhemos para o eixo de rotação

o eixo Oy; a primeira partícula de massa m1 está a uma

distância r1 do eixo. Assim, a segunda lei de Newton

para o movimento tangencial é:

1,tan 1 1,tanF m a

2

1,tan 1 1 1F r m r

Somando sobre todas as partículas:

2

i i im r

Segunda lei de Newton para o movimento de

rotação:

I

Exemplo 2 – Desenrolando um cabo. A

figura mostra a mesma situação mostrada no exemplo

do capítulo anterior.


13

Um cabo é enrolado diversas vezes em torno de

um cilindro sólido uniforme que pode girar em torno de

seu eixo. O cilindro possui diâmetro igual a 0.120 m e

massa de 50 kg. O cabo é puxado com uma força de 9.0

N. Supondo que o cabo seja desenrolado sem se dilatar

e sem deslizar, qual sua aceleração?

Solução:

9 0.060F l

0.54N m

21

2I M R

2150 0.06

2I

20.09I kg m

I

2

0.0546.0

0.090

rad

s

Exemplo 3 – Desenrolando um cabo II.

Suponha a mesma situação mostrada no exemplo

anterior. Ache a aceleração do objeto de massa m e a

aceleração angular do cilindro.

Solução:

yF m g T m a

O peso Mg e a força normal N não possuem

torque em relação ao eixo de rotação.

Assim:

I

21

2 a

R

R T I R T M R

1

2T M a

tana a R

1

2m g M a m a

12

ga

M

m

1

2T M a

1

21

2

gT M

M

m

2

22 2 2

2

M g M m gT T

m M m M

m

2

m MT g

m M

Exemplo 4 – Um cavaleiro de massa m1

desliza sem atrito ao longo de um trilho de ar horizontal.

Ele está ligado a um objeto de massa m2 por meio de um

fio de massa desprezível. A polia é uma casca cilíndrica

(ligada ao centro por raios de massa desprezível) com

massa M e raio R, e o fio faz o cilindro sem deslizar

nem dilatar. Ache a aceleração angular da polia e a

tensão em cada parte do fio.

Solução:

As equações de movimento para o cavaleiro e o

objeto são:

1 1 1xF T m a

2 2 2 2yF m g T m a Momento de inércia da polia em torno do eixo:

2I M R


14

Considerando positivo o sentido da rotação dos

ponteiros do relógio, a equação do movimento da polia

é: 2

2 1I T R T R M R Como o fio não dilata nem desliza, temos as

relações cinemáticas adicionais:

1 2a a R

Juntando as equações, teremos:

1 1 1

2 2 2 2

2 1 1

T m a

m g T m a

T T M a

Somando as três equações e

eliminando-se T1 e T2:

21

1 2

ma g

m m M

Substituindo na relação acima:

1 21

1 2

m mT g

m m M

1 2

2

1 2

m M mT g

m m M

Movimento combinado de rotação e

translação: Relações envolvendo energia.

Todo movimento de um corpo rígido pode ser

sempre dividido em um movimento de translação do

centro de massa e outro de rotação em torno do centro

de massa. A energia cinética do corpo possui duas

parcelas: uma devida à translação do centro de massa e

outra devida à rotação:

2 21 1

2 2cm cmK M v I

Condição para rolamento sem deslizamento:

CMv R


15

Exemplo 5 – Enrolamento de uma casca

cilíndrica. Uma casca cilíndrica oca de raio R e massa

M rola sem deslizar com uma velocidade vCM ao longo

de uma superfície plana. Qual a sua energia cinética?

Solução:

2 21 1

2 2cm cmK M v I

2

2 21 1

2 2

CMcm

vK M v M R

R

2

cmK M v

Exemplo 6 – Velocidade de um ioiô. Um ioiô

é feito enrolando-se um fio diversas vezes em torno de

um cilindro de massa M e raio R. Mantém-se presa a

extremidade enquanto o cilindro é liberado sem

velocidade inicial. O fio se desenrola, mas não desliza

nem se dilata à medida que o cilindro cai e gira. Use

considerações de energia para achar a velocidade do

centro de massa vCM do cilindro sólido depois que ele

caiu a uma distância h.

Solução:

2 21 1

2 2cm cmK M v I

21

2

CMvI M R

R

2

2 2

2

1 1 1

2 2 2

CMcm

vK M v M R

R

2

2

3

4cmK M v

Aplicando a conservação da energia:

1 1 2 2K U K U

230 0

4cmM g h M v

4

3cmv g h

Exemplo 7 – Competição entre corpos

girando. Em uma demosntração durante a aula de

física, o professor faz uma ―competição‖ de vários

corpos rígidos redondos, deixando-os rolar do alto de

um plano inclinado. Qual a forma do corpo que alcança

primeiro a parte inferior?

Solução:

1 1 20 0K U M g h U

2 2

2

1 1

2 2cm cmK M v I

1 1 2 2K U K U

2 21 10 0

2 2cm cmM g h M v I

Chamando de: 2

cmI c M R 2

2 21 1

2 2

cmcm

vM g h M v c M R

R

2 21 1

2 2cm cmM g h M v M v c

21 21

2 1cm cm

ghM g h M v c v

c

Todos os cilindros sólidos possuem a mesma

velocidade no ponto inferior do plano, mesmo quando

possuem massas e raios diferentes, pois eles possuem o

mesmo valor da constante c. Todas as esferas sólidas

possuem a mesma velocidade na base do plano. Quando

menor o valor de c maior a velocidade do corpo quando

ele chega na parte inferior do plano. Observando a

tabela de momento de inércia, vemos que a ordem de

chegada do plano é: Qualquer esfera maciça, qualquer

cilindro maciço, qualquer esfera oca com parede fina ou

casca esférica e, finalmente, qualquer casca cilíndrica.


16

Exemplo 8 – Aceleração de um ioiô. Ache a

aceleração de cima para baixo do ioiô e a tensão no fio.

Solução: A equação para o movimento de translação do

centro de massa é:

cmyF M g T M a

O momento de inércia em relação a um eixo

que passa pelo centro de massa:

21

2I M R

Somente a força de tensão possui torque em

relação a um eixo que passa pelo centro de massa é:

21

2cmT R I T R M R

Como o fio se desenrola sem se deslizar:

CMv R

CMCM

aa R

R

1

2cma

T M R

1

2cmT M a

cmM g T M a

1

2cm cmM g M a M a

1

2cm cmM g M a M a

3 2

2 3cm cmM g M a a g

1

2cmT M a

1 2

2 3T M g

2

3T M g

Exemplo 9 – Aceleração de uma esfera

rolando. Uma esfera de bliche sólida rola sem deslizar

para baixo de uma rampa ao longo de uma guia. O

ângulo de inclinação da rampa em relação à horizontal é

. Qual é a aceleração da bola? Considere a bola uma

esfera homogênea sólida, desprezando seus orifícios.

Solução: A figura mostra o diagrama de corpo livre,

mostrando o sentido positivo das coordenadas.

Usando o momento de inércia da esfera sólida:

22

5I M R

Equações de translação e rotação do centro de

massa e chamando de f a força de atrito:

cmxF M g sen f M a

22

5cmf R I f R M R

Como:

CMCM

aa R

R

Substituindo, teremos:

2

5cmf M a

cmM g sen f M a

2

5cm cmM g sen M a M a

2

5cm cmM g sen M a M a

7 5

5 7cm cmM g sen M a a g sen


17

2 2 5

5 5 7cmf M a f M g sen

2

7f M g sen

Coeficiente de atrito:

2

7

cos

M g senf

N M g

2

7tg

Trabalho e potência no movimento de rotação Podemos escrever:

tandW F ds ds R d

tandW F R d

dW d

2

1

W d

Podemos desenvolver:

dW d

ddW I d dW I d

dt

ddW I d

dt

dW I d

2

1

W I d

2 2

2 1

1 1

2 2totW I I

dW d

dt dt

P

Exemplo 10 – Um anúncio fazendo

propaganda da potência desenvolvida pelo motor de um

automóvel afirma que o motor desenvolve 1.49.105W

para uma rotação de 6000 rpm. Qual é o torque

desenvolvido pelo motor?

Solução:

PP

60006000

60f rpm Hz

100f Hz

2 2 100 200rad

fs

51.49 10

200

237N m Exemplo 11 - Um motor elétrico desenvolve

um torque constante de = 10 N.m sobre o esmeril

montado no seu eixo motor. O momento de inércia é I =

2.0 kg.m². Sabendo que o sistema começa a se mover a

partir do repouso, calcule o trabalho realizado pelo

motor em 8.0 s e a energia cinética no instante final.

Qual a potência média desenvolvida pelo motor?

Solução:

II

2

10

2

rad

s

t

5 8 40rad

s

2 21 12 40 1600

2 2K I K K J

2 21 15 8 160

2 2t rad

10 160 1600W W W J

1600200

8

WP P P W

t


18

A potência instantânea P = não é constante,

porque cresce continuamente. Porém podemos

calcular o trabalho total por:

2 2

1 1

t t

t t

W P dt W dt

2

1

8

0

10 5

t

t

W t dt tdt

82

0

50 16002

t

t

tW W J

Momento angular

Uma grandeza análoga ao momento linear p

de uma

partícula é o momento angular, que representamos por

L

. Definimos como:

L r p

L m v r sen

L m v l

Pode-se mostrar que a taxa de variação do momento

angular é igual ao torque da força resultante:

dL dr dpp r

dt dt dt

dL dr mdvmv r

dt dt dt

0

dLv mv r ma

dt

dLr F

dt

dL

dt

Para um corpo rígido de i partículas, o momento

angular de cada uma será:

i i i iL m v r

i i i i iL m r r

2

i i i iL m r

2

i i i iL L L m r

L I


19

Exemplo 12 – A hélice da turbina de um motor

a jato possui momento de inércia 2.5 kg.m² em torno do

eixo de rotação. Quando a turbina começa a girar, sua

velocidade angular em função do tempo é dada por 2 3400 t rad s

(a) Calcule o momento angular da hélice em função

do tempo e ache seu valor em t = 3.0 s.

(b) Determine o torque resultante que atua sobre a

hélice em função do tempo e calcule seu valor para t =

3.0 s.


20

Solução:

(a) 22.5 400L I L t

21000L t

2

23 1000 3 9000kg m

L t Ls

(b) 1000 2dL

tdt

2000 t

3 2000 3 6000t N m

Conservação do momento angular

Princípio da conservação do momento angular: Esse

princípio vale em todas escalas, desde o sistema

atômico como o planetário e decorre da equação:

dL

dt

Quando 0 0i

i

dL

dt

Podemos escrever também:

1 1 2 2I I

Exemplo 13 – Qualquer um pode ser

bailarino. Um professor de física acrobata está de pé

sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus

braços estendidos horizontalmente com um haltere de

5.0 kg em cada mão.

Ele está girando em torno de um eixo vertical

completando uma volta a cada 2.0 s. Calcule a nova

velocidade angular do professor quando ele aproxima os

dois halteres do seu estômago e discuta como isso

modifica a sua energia cinética. Seu momento de

inércia (sem os halteres) é igual a 3.0 kg.m² quando seus

braços estão distendidos para fora, diminuindo para 2.2

kg.m² quando suas mãos estão próximas do seu

estômago. Os halteres estão inicialmente a uma

distância de 1.0 m do eixo e a distância final é igual a

0.20 m. Considere o halteres como partículas.

Solução

prof halteresI I I

2

1 3 2 5 1I

2

1 13I kg m

2

2 2.2 2 5 0.2I

2

2 2.6I kg m

1 1

22

radf f Hz f

T s

1 1 2 2I I

12 1 2 2

2

135

2.6

I rad

I s

12 1 2 2

2

130.5 2.5

2.6

If f f f Hz

I

2 2

1 1 1 1 1

1 113 64

2 2K I K K J

22

2 2 2 2 1

1 12.6 5 320

2 2K I K K J

Exemplo 14 – A figura mostra 2 discos, um

deles é o volante de um motor e o outro é um disco

ligado a um eixo de transmissão. Seus momentos de

inércia são IA e IB, respectivamente; inicialmente eles

estão girando com a mesma velocidade angular A e B,

respectivamente. A seguir empurramos os dois discos

um contra o outro aplicando forças que atuam ao longo

do eixo, de modo que sobre nenhum dos dois discos

surge torque em relação ao eixo. Os discos permanecem

unidos um contra o outro e atingem uma velocidade

angular final . Deduza uma expressão para .


21

Solução: O único torque que atua sobre cada disco é o torque

que cada disco exerce sobre o outro disco; não existe

nenhum torque externo. Logo o momento angular total

do sistema dos dois discos é o mesmo antes e depois de

eles serem unidos. No equilíbrio final eles giram juntos

como se constituíssem um único corpo com momento

de inércia:

A BI I I

A conservação do momento angular fornece:

A A B BI I I

A A B BI I

I

A A B B

A B

I I

I I

Exemplo 15 – No exemplo anterior, suponha

que o volante A tenha massa de 2.0 kg, um raio de 0.20

m e uma velocidade angular inicial de 200 rad/s.

Calcule a velocidade angular comum final depois que

os discos ficam em contato. A energia cinética se

conserva nesse processo?

Solução:

2 2 21 12 0.2 0.040

2 2A A A A AI m r I I kg m

2 2 21 14 0.1 0.020

2 2B B B B BI m r I I kg m

A A B B

A B

I I

I I

0.04 50 0.02 200

0.04 0.02

100rad

s

2 2

1

1 1

2 2A A B BK I I

2 2

1

1 10.04 50 0.02 200

2 2K

1 450K J

2

2

1

2A BK I I

2

2

10.04 0.02 100

2K

2 300K J

Um terço da energia foi perdida na ―colisão

angular‖, o análogo rotacional de uma colisão linear

completamente inelástica. Não deveríamos esperar

conservação da energia cinética, embora a força externa

resultante e o torque resultante sejam nulos, porque

existem forças internas não conservativas (forças de

atrito) que atuam enquanti os dois discos começam a

girar unidos e tendem a girar com uma velocidade

angular comum.

Exemplo 16 – Momento angular em uma

ação policial. Uma porta de largura 1 m e massa de 15

kg é articulada com dobradiças em um dos lados de

modo que possa girar sem atrito em torno de um eixo

vertical. Ela inicialmente não está aberta. Um policial dá

um tiro com uma bala de 10 g e velocidade de 400 m/s

exatamente no canto da porta. Calcule a velocidade

angular da porta imediatamente depois que a bala

penetra na porta. A energia cinética se conserva?

Solução: Considere um sistema formado pela porta

juntamente com a bala em seu interior. Não existe

nenhum torque externo em torno do eixo definido pelas

dobradiças, de modo que o momento angular em torno

desse eixo deve se conservar. O momento angular da

bala é:

0.01 400 0.5L m v l L 22L kg m s

O momento angular final é:

L I

porta balaI I I

2

2

3

p

bala

m dI m l


22

2215 1

0.010 0.53

I

25.0025I kg m

m v LL I

I

20.40

5.0025

rad

s

A colisão entre a porta e a bala é inelástica porque

forças não conservativas atuam durante o impacto da

bala. Logo, não esperamos que haja conservação da

energia cinética. Para conferirmos, calculamos a energia

cinética inicial e final:

2 2

1 1

1 10.010 400

2 2K m v K

1 800K J

2

2

1

2K I

2

2

15.0025 0.4

2K

2 0.40K J

A energia cinética final é apenas 1/2000 da energia

cinética inicial.

Exemplo 17 - Determinar, em cada caso, o

momento angular para as seguintes situações:

(a) um carro de 1200 kg percorre no sentido

anti-horário um círculo com 20 m de raio com

velocidade de 15 m/s.

(b) o carro mencionado desloca-se com

velocidade ˆ15v m s i

sobre a reta y = y0 =20m,

paralela ao eixo x.

(c) um disco, no plano xy, com raio de 20 m e a

massa de 1200 kg, girando a 0.75 rad/s em torno do seu

eixo, que coincide com o eixo z.

Solução:

(a) ˆL r p L r m v k

5 2ˆ ˆ20 1200 15 3.6 10L k L kg m s k

(b) 0ˆ ˆ ˆ ˆr x i y j r x i y j

ˆp m v p p i

0ˆ ˆ ˆL r p L x i y j p i

0ˆL y p k

5 2 ˆ3.6 10L kg m s k

(c) L I

21 ˆ2

L m R k

21 ˆ1200 20 0.752

L k

5 2 ˆ1.8 10L kg m s k

Exemplo 18 - A máquina de Atwood tem

dois corpos de massa m1 e m2 ( sendo m1 maior que m2),

ligados por um cordel de massa desprezível que passa

por uma polia cujos rolamentos não oferecem atrito. A

polia é um disco uniforme, de massa M e raio R. O

cordel não escorrega na polia. Determinar a aceleração

angular da polia e a aceleração dos dois corpos pela

equação:

,

1

N

i ext

i

dL

dt

Solução:

,

1

N

i ext

i

dL

dt

1 2z pL L L L

1 2zL I m v R m v R

, 1 2z res m g R m g R

,Z

z res

dL

dt

1 2 1 2

dm g R m g R I m v R m v R

dt

1 2 1 2m g R m g R I m a R m a R


23

2

1 2 1 2

1

2

am m g R M R m m a R

R

1 2

1 2

1

2

m ma g

M m m

Exemplo 19 – Um disco gira em torno de um

eixo sem atrito, que coincide com o respectivo eixo de

simetria, com velocidade angular inicial i, como

mostra a figura. O seu momento de inércia em relação

ao eixo é I1. Num certo instante, o disco cai sobre o

outro, de momento de inércia I2, montado sobre o

mesmo eixo. Graças ao atrito entre as duas superfícies

em contato, os dois discos atingem uma velocidade

angular comum aos dois, f. Calcular essa velocidade

angular.

Solução:

A velocidade angular final está relacionada com a

inicial pela conservação do momento angular:

f iL L

1 2 1f iI I I

1

1 2

f i

I

I I

Exemplo 20 – Um carrossel com 2 m de raio

e 500 kg.m2 de momento de inércia gira em torno de seu

eixo, sem atrito, completando uma volta a cada 5 s.

Uma criança, com 25 kg, está inicialmente no centro do

carrossel e depois caminha até a borda. Calcular a

velocidade angular que terá, então, o carrossel.

Solução:

Pela conservação do momento angular:

f iL L

, ,sis f f sis i iI I

2

sis m c mI I I I m r

2

m f m iI m R I

2

mf i

m

I

I m R

2

500

500 25 2f i

5

6f i

5 1 1

6 5 6f f

rev

s

Exemplo 21 – A criança mencionada no

exemplo anterior corre com velocidade 2.5 m/s sobre

uma tangente à beira da plataforma do carrossel, que

está imóvel, e pula para a plataforma. Calcular a

velocidade angular final da criança no carrossel.

Solução:

Momento angular inicial da criança correndo em

relação ao centro da plataforma do carrossel:

iL m v R

Expressão do momento angular final do sistema

criança-carrossel em termos da velocidade angular final

f:

2

f m fL m r I

Igualando as expressões:

f iL L

2

m fm R I m v R

2f

m

m v R

m R I

0.208f

rad

s

Exemplo 22 – Uma partícula de massa m

descreve, com velocidade v0, um círculo de raio r0 sobre

a superfície de uma mesa horizontal sem atrito. A

partícula está presa a um fio que passa por um buraco na

mesa, no centro do círculo. O fio é lentamente puxado

para baixo, de modo que a partícula acaba descrevendo

um círculo de raio rf.


24

(a) Calcular a velocidade final em termos de r0, v0 e

rf.

(b) Calcular a tensão T no fio quando a partícula

descreve um círculo de raio rf em termos de m, r e do

momento angular 0 0 0L m v r .

(c) Calcule o trabalho feito pela partícula pela tensão

T, integrando T dr

de r0 até rf. Dar a resposta em

termos de r0, rf e L0.

Solução:

(a) A conservação do momento angular relaciona as

velocidades final à inicial e os raios inicial e final:

0fL L

00 0 0f f f

f

rm v r m v r v v

r

(b) Como i

i

F m a

2vT m

r

0 0 0f fm v r m v r L

0Lv

m r

2

02

L

v m rT m T m

r r

2

0

3

LT

m r

(c) O trabalho é:

rdW T dr dW T dr

2

0

3r

LT

m r

0

2 2

0 0

3 3

fr

r

L LdW dr W dr

m r m r

0

2

0

22

fr r

r r

LW

m r

2

0

2 2

0

1 1

2 f

LW

m r r

Exemplo 23 – Uma barra de massa M e

comprimento d pode girar em torno de um eixo fixo a

uma de suas extremidades. Uma bola de massa plástica,

com massa m e velocidade v, atinge a barra a uma

distância x do eixo e fica grudada na barra.

Achar a razão entre a energia final e a energia inicial

do sistema.

Solução: 1. Energia cinética depois da colisão em termos

do momento angular Li e do momento de inércia I´do

sistema bola-massa: 2

2

f

f

LE

I

2. Conservação do momento angular para

relacionar Li a m, v e x:

f i f iL L L L m v x

3. O momento de inércia I´:

2 21

3I m x M d

4. As expressões de Lf e de I´na equação de Ef

ficam:

22

2 2122

3

f

f f

L m v xE E

Im x M d


25

2 2 2

2 2

3

2 3f

m v xE

m x M d

5. A razão entre a energia cinética depois da

colisão e a energia inicial da bola de massa plástica é

então:

2 2 2

2 2

2

3

2 3

1

2

f

i

m v x

E m x M d

Em v

2

2 2

3

3

f

i

E m x

E m x M d

Exemplo 24 – Calcule o torque de cada força

em relação ao ponto O em cada caso:

F = 10N

L = 4m

(g)

F1=180N

F2 = 26N

F3 = 14N

(h)

(a) ˆ40 N m k

(b) ˆ34.6 N m k

(c) ˆ20 N m k

(d) ˆ17.3 N m k

(e) ˆ0 k

(f) ˆ0 k

(g) 1

ˆ1.62F

N m k

; 2

ˆ2.34F

N m k

3

ˆ1.78F

N m k

(h) 1 2 3

ˆ5.3 7.5 0F F F

N m k

;

ˆ0.726 N m k


26

Giroscópios e precessão

Se o eixo do volante for inicialmente colocado

horizontalmente e depois largado, sua extremidade livre

começará a cair sob a ação da gravidade, se o volante

inicialmente não estava girando. Porém, quando o

volante está inicialmente girando, o que ocorre é

basicamente diferente. Um movimento possível é o

movimento circular uniforme do eixo em um plano

horizontal combinado com o movimento de rotação do

volante em torno desse eixo. Esse movimento

surpreendente, que não é intuitivo, denomina-se

precessão. A precessão ocorre na natureza, assim como

nas máquinas que giram, como no caso do giroscópio. A

Terra sofre precessão: seu eixo de rotação ( o eixo que

liga o pólo norte ao pólo sul) muda constantemente de

direção, e a direção desse eixo só retorna exatamente à

posição inicial depois de um ciclo completo de

precessão que dura 26000 anos.

Para estudar o estranho fenômeno da precessão,

devemos nos lembrar que o torque, o momento angular

e o linear são grandezas vetoriais. Em particular,

precisamos da relação geral entre o torque resultante

que atua sobre um corpo e a taxa de variação de

momento angular L

, dada pordL

dt

. Vamos

inicialmente aplicar essa equação ao caso em que o

volante não está girando. Tomamos a origem sobre o

ponto O do pivô e supomos que o volante seja

simétrico, com massa M e momento de inércia I em

torno do eixo do volante. O eixo do volante está

inicialmente na direção ao longo do eixo Ox. As únicas

forças que atuam sobre o giroscópio são a força normal

que atua sobre o pivô N

e o peso w

do volante que atua

no centro de massa, situado a uma distância r do pivô.

A força normal possui torque nulo em relação ao

pivô e o peso possui torque

na direção do eixo Oy ,

como indicado na figura a seguir.

Inicialmente não existe rotação e o momento angular

inicial 0iL

.Pela equação:

dL

dt

A variação dL

do momento angular em um intervalo de

tempo curto dt é:

dL dt

Essa variação está na direção Oy porque

também

está. À medida que decorre cada intervalo de tempo dt, o


27

momento angular varia em incrementos adicionais dL

na direção Oy porque a direção do torque é constante. O

aumento crescente do momento angular horizontal

significa que o giroscópio gira para baixo com

velocidade crescente em torno do eixo Oy até que ele

atinja o suporte ou então que caia na mesa onde ele se

apoia.

Vamos agora analisar o que ocorre quando o

volante está inicialmente girando, de modo que o

momento angular inicial iL

não é igual a. Uma vez que

o volante gira em torno do eixo de simetriaiL

está ao

longo desse eixo. Porém, cada variação de momento

angular dL

é perpendicular ao eixo, porque o torque

r

é perpendicular ao eixo. Isso faz com que a

direção do eixo varie, porém seu módulo não varia. As

variações de dL

ocorrem sempre no plano xy

horizontal, de modo que o vetor momento angular e o

eixo do volante que com ele se move estão sempre em

um plano horizontal. Em outras palavras, o eixo não cai

— ele apenas sofre precessão.

Caso isso ainda lhe pareça difícil, pense em uma

bola presa a um fio. Se a bola estiver inicialmente em

repouso e você puxar o fio para você, a bola também se

deslocará para você. Porém, se a bola estiver

inicialmente se movendo e você puxá-la

perpendicularmente à direção do seu movimento, ela se

moverá em um círculo em torno de sua mão: ela não se

aproximará de sua mão. No primeiro caso a bola possuía

momento angular zero; quando você aplica uma força

F

orientada para você durante um intervalo de tempo

dt, a bola adquire um momento linear dp Fdt

que

também está orientado para você. Porém, quando a bola

já possui um momento linear p

, uma variação do

momento angular dp

perpendicular a p

produzirá uma

variação da direção do movimento, e não uma variação

do módulo da sua velocidade. Troque p

por L

e F

por

neste raciocínio, e você verá que a precessão é

simplesmente o análogo relacional do movimento

circular uniforme.

No instante indicado na Figura (a), o giroscópio

possui momento angular L

. Depois de um intervalo de

tempo curto dt, o momento angular passa para L dL

a variação infinitesimal do momento angular e

dL dt

que é perpendicular a L

. Como indica o

diagrama vetorial da Figura, isso significa que o eixo

do volante do giroscópio girou de um ângulo pequeno

d dado por:

dLd

L

A taxa com a qual o eixo se move. d/dt, denomina-

se velocidade angular de precessão escalar:

representando essa grandeza por , achamos:

dL

Ld w r

dt dt L I

Portanto a velocidade angular de precessão é

inversamente proporcional à velocidade angular da

rotação em torno do eixo. Um giroscópio que gira

rapidamente realiza uma precessão lenta; caso o atrito

nos mancais faça diminuir a velocidade angular do

volante, a velocidade angular de precessão aumenta. A

velocidade angular de precessão da Terra é muito lenta (

l rev/26000 anos) porque sua velocidade angular em

torno do eixo, ou velocidade angular de spin é muito

grande, e o torque devido às influencias

gravitacionais do Sol e da Lua é relativamente pequeno.

A medida que o giroscópio realiza uma precessão,

seu centro de massa se move em um círculo de raio r

sobre um plano horizontal. Seu componente vertical da

aceleração é zero, de modo que a torça normal de baixo

para cima N

exercida pelo pivô deve ter módulo pre

cisamente igual ao peso. O movimento circular do

centro de massa com velocidade angular necessita de

uma força F

orientada para o interior do círculo, com

módulo 2F M r

. Essa força também deve ser

fornecida pelo pivô.

Uma hipótese básica que lidemos em nossa

analise do giroscópio foi que o vetor momento angular

L

está associado somente com o momento angular de

spin do volante e e puramente horizontal. Contudo,

existirá também um componente vertical do momento

angular associado com o movimento de precessão do


28

giroscópio. Ignorando isso estamos tacitamente

supondo que a precessão é lenta, isto é, que a velocidade

angular de precessão é muito menor do que a

velocidade angular de spin . Como a Equação anterior

de mostra, um valor elevado de automaticamente

fornece um valor pequeno de , de modo que essa

aproximação é razoável. Quando a precessão não é

lenta, efeitos adicionais mostram que surge um

movimento ondulado de cima para baixo, denominado

nutação do eixo do volante, que se superpõe com o

movimento de precessão. Você pode ver o movimento

de nutação ocorrendo em um giroscópio à medida que

sua velocidade angular de spin diminui, de modo que

aumenta, e o componente vertical de L

não pode ser

mais desprezado.

Giroscópio é um dispositivo que consiste de um rotor suspenso por um suporte formado por

dois circulos articulados, com juntas tipo cardan. Seu funcionamento

baseia-se no princípio da inércia. O eixo em rotação guarda direção fixa em relação ao espaço. O giroscópio veio a substituir a bússola na

navegação marítima. Na aviação, serve de girocompasso e piloto

automático, permitindo o vôo em condições de visibilidade zero. Nos vôos espaciais o dispositivo é fundamental para a

orientação das espaçonaves.

O giroscópio consiste essencialmente em uma roda livre, ou varias rodas, para girar em qualquer direção e com uma

propriedade: opõe-se a qualquer tentativa de mudar sua direção

original. Exemplo facilmente observável é que, ao girar a roda de uma

bicicleta no ar e tentar mudar a direção de seu eixo bruscamente,

percebe-se uma enorme reação.

Dessa maneira, o giroscópio serve como referência de

direção, mas não de posição. Ou seja, é possível movimentar um

giroscópio normalmente no espaço sem qualquer trabalho além do necessário para transportar sua massa. A resistência surge contrária a

forças que atuem de maneira a rotacionar seu eixo de rotação a

qualquer configuração não paralela à sua posição original. Assim, um veículo munido de um giroscópio e sensores apropriados pode medir

com precisão qualquer mudança em sua orientação, exceto rotações

que ocorram no plano de giro dos discos do giroscópio. Por essa razão, normalmente são utilizados dois giroscópios perpendiculares de

modo a integralizar a possibilidade de detecção de variações na

orientação. É usado como auxiliar em navegação de helicópteros radio

controlados, corrigindo automaticamente o curso.

As agências espaciais utilizam um aparelho baseado no giroscópio conhecido como giroscópio humano para o treinamento de

astronautas. O astronauta utiliza o peso como motor e tem a sensação

de "driblar a gravidade". Somente depois de estar apto ao Giroscópio humano o astrounauta estará pronto para fazer viagens espaciais.

Adaptado de:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Giroscópio Sears & Zemansky, Young, Física, V 1, Ed. Pearson 10a Edição.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Girosc%C3%B3pio


29

Documents

Física 2 Capítulo 1 Rotação de corpos rígidos e Dinâmica ...claudio.sartori.nom.br/fisica2fateccap1.pdf · Física 2 – Capítulo 1 – Rotação de corpos rígidos e Dinâmica