Física 4-09

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Prof. A.F.GuimaresFsica 4 Questes 09

Questo 1

Uma fenda de largura

iluminada por um

feixe colimado de luz monocromtica que incide ortogonalmente ao planoda fenda. O anteparo est situado a uma distnciade do plano da fenda. A distncia entre oprimeiro mnimo e o quarto mnimo da figura deinterferncia produzida pela difrao na fenda igual a . Calcule .Resoluo:

Para a difrao, as franjas de mnimos se localizamde acordo com a expresso:

(1.1)No anteparo, a posio dos mnimos dada por:

(1.2)

Em que a distncia, a partir do ponto central e

a distncia do anteparo at a posio da fenda.

Levando em considerao que o ngulo envolvido pequeno, poderemos efetuar a seguinteaproximao:

(1.3)

De (1.1), (1.2) e (1.3) teremos:

(1.4)

Utilizando os dados numricos do enunciado,teremos:

(1.5)

Questo 2

Suponha que um feixe de luz monocromtica

incida sobre uma fenda nica de largura , formando um ngulo de com adireo da normal ao plano da fenda.Imediatamente atrs da fenda coloca-se uma lenteconvergente que focaliza a luz sobreum anteparo. (a) Sabendo que ,determine a distncia, sobre o anteparo, entre ocentro e o terceiro mnimo. (b) Calcule ongulo entre o centro do anteparo e a posio dostimo mnimo.

Resoluo:a)De forma semelhante ao que foi efetuado emFsica 4-08, questo 01, equao (1.3), teremos:

(2.1)

Tambm, poderemos utilizar a expresso (1.2) daquesto anterior. Sendo assim, teremos:

(2.2)Com a mesma aproximao efetuada na questoanterior (1.3), teremos, de (2.1) e (2.2):

(2.3)

Utilizando os dados numricos em (2.3), teremos:

(2.4)

b)Utilizando (2.1), teremos:

(2.5)

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Questo 3

Mostrar que os valores de , correspondentess intensidades mximas no caso de difrao defenda nica, podem ser obtidos exatamentefazendo

. Determine tambm, os valores

de que satisfazem a esta relao e tambmencontre as intensidades mximas para os trsprimeiros mximos adjacentes ao mximo central.Resoluo:A expresso que fornece a intensidade de umdispositivo de fenda nica dada por:

(3.1)

Em que a intensidade mxima referente aomximo central. O argumento , por sua vez, dado por:

(3.2)

Em (3.1), podemos determinar com facilidade osmnimos, no entanto, para determinarmos osmximos, vamos derivar (3.1) e igualar a zero.Assim, teremos:

(3.3)

Fazendo o termo (3.3) igual a zero, teremos:

(3.4)

A equao obtida em (3.4) no pode serresolvida por meios analticos, logo, teremos queresolver por tentativas ou ento construir umgrfico e encontrar os pontos de interseco. Afigura 3.1 mostra o grfico das duas funes.

Figura 3.1

Observando a figura 3.1, podemos encontra osargumentos para os mximos. Assim, o primeiromximo, aps o mximo central, ocorre com

, que equivale a , osegundo mximo ocorre para ,que equivale a , e o terceiro ocorre para ou . Agora, utilizando(3.1), teremos:

(3.5)

Questo 4

Um satlite espio em rbita a, digamos da superfcie da Terra, possui uma lentecom uma distncia focal de

. O seu poder de

resoluo para objetos no solo de , ou seja,poderia facilmente detectar um automvel. Qual o dimetro efetivo da lente, determinadounicamente por consideraes de difrao?Considere .Resoluo:Utilizando o critrio de Rayleigh, teremos:

(4.1)

-12,00

-7,00

-2,00

3,00

8,00

0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00

Tg e (rad)

(rad)

Tg x e x

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Questo 6

Deduzir a seguinte distribuio deintensidades, relativa a uma rede de trs fendas:

,

onde

.Supor .Resoluo:

Seja o campo eltrico resultante dado por:

(6.1)

Em que o componente da primeira fenda, o componente da segunda fenda e ocomponente da terceira fendas, que por sua vezso dados por:

(6.2)

(6.3) (6.4)

Aqui representa a diferena de fase, dada noenunciado da questo. Substituindo (6.2)-(6.4) em(6.1), teremos:

(6.5)

Sejam as relaes trigonomtricas que se seguem:

(6.6)

(6.7)

(6.8)

Agora, utilizando as relaes (6.6)-(6.7) em (6.5),teremos:

(6.9)

Assim, de (6.9), temos:

(6.10)

Sabemos que a intensidade proporcional aoquadrado de (6.9). Logo, vamos tomar o quadradode (6.10) para escrever:

(6.11)

Assim, teremos:

(6.12)

Para

, em que

a intensidade

mxima. Ento, de (6.12), teremos:

(6.13)

Assim, de (6.12) e (6.13), teremos:

(6.14)

Questo 7

Uma rede de difrao tem um nmero (grande) de fendas, todas de largura . Seja aintensidade de um mximo principal qualquer eseja a intensidade do k-simo mximosecundrio adjacente. (a) Se , mostrar dodiagrama de fasores que, aproximadamente,

. (b) Para os mximossecundrios que esto aproximadamente no meio

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entre dois mximos principais adjacentes, mostrarque vale . (c) Considerar omximo principal central e os mximossecundrios adjacentes para os quais .Mostrar que esta parte da figura de difrao seassemelha quantitativamente com a de uma fendanica de largura

.

Resoluo:

De forma semelhante ao que foi realizado naquesto anterior, vamos desenvolver ocomponente eltrico resultante devido s vriasfendas existentes na rede. Assim, teremos:

(7.1)

Em que . Com o auxlio de um manualde frmulas, poderemos encontrar as sriescontidas em (7.1). Por exemplo, M. R. Spiegel,Manual de Frmulas e Tabelas Matemticas,

Coleo Shaum, Ed. McGraw-Hill, So Paulo, 1973,

pg. 109. Assim, teremos para (7.1):

(7.2)

Ainda, utilizando

(7.3)

Em (7.2), teremos:

(7.4)

E como foi efetuado na questo anterior (6.11),teremos aqui a seguinte relao:

(7.5)

Para

, pois

. Assim,

teremos para o mximo central:

(7.6)

Aqui se utilizou LHospital. Ou ainda,

(7.7)

Assim, poderemos escrever:

(7.8)

Agora, para pequeno, o argumento tambmser pequeno. Logo, poderemos reescrever aequao (7.8) da seguinte forma:

(7.9)

Tambm, em (7.9), podemos desprezar ascontribuies das outras fendas, fazendo ,logo, teremos para (7.9):

(7.10)

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d

Direo do feixeincidente

Para os mximos dados por (7.10), teremos:

(7.11)

Que conduz a:

(7.12)

Ainda, de (7,9), podemos escrever:

(7.13)

Sendo que:

(7.14)

E

(7.15)Questo 8

Duas raias espectrais tm comprimento deonda e , respectivamente, onde .Mostrar que sua separao angular numespectrmetro de rede dada, aproximadamente,

por

, onde d a separao

entre dois centros de fendas adjacentes e m aordem na qual as linhas so observadas. Notar quea separao angular maior nas ordens maiselevadas.Resoluo:Para as raias espectrais, escrevemos:

(8.1)

Tomando a variao:

(8.2)

Para ngulos prximos, podemos escrever:

(8.3)Agora, utilizando a relao ,juntamente com a equao (8.1) em (8.3),teremos:

(8.4)

Questo 9

Raios X monocromticos incidemsobre um cristal de cloreto de sdio, fazendo umngulo de com a linha de referncia, como sev na figura 9.1. Os planos so separados por umadistncia de . De que ngulo o cristal deveser girado para ocorrer um feixe difratado,

associado aos planos indicados? Supor que o giroseja executado em torno de um eixo perpendicularao plano da pgina.

Figura 9.1

Resoluo:Para a localizao dos mximos temos:

(9.1)

Assim, utilizaremos (9.1) para encontrar osngulos.

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Para :

(9.2)

Assim, teremos que girar o cristal no sentidohorrio segundo um ngulo de:

(9.3)

Para :

(9.4)Assim, teremos que girar o cristal no sentidohorrio segundo um ngulo de:

(9.5)

Para : (9.6)

Assim, teremos que girar o cristal no sentido anti-horrio segundo um ngulo de:

(9.7)

Para : (9.8)

Assim, teremos que girar o cristal no sentido anti-horrio segundo um ngulo de:

(9.9)

Questo 10

A equao foi deduzida a partirde uma comprovao experimental atribuda aBrewster. Faa uma deduo simplificada destaequao com base em argumentos tericos.

Consulte um livro de Eletromagnetismo ou umlivro de tica mais avanado.Resoluo:Consultando um livro de Eletromagnetismo, porexemplo, Reitz, Milford e Christy, Fundamentos daTeoria Eletromagntica, 1982, Ed. Campus, Rio de

Janeiro, R.J., pginas 372-378, podemos encontraros coeficientes de reflexo e transmisso dadospor:

(10.1)

(10.2)

(10.3)

(10.4)

As equaes (10.1) e (10.2) se referem aoscomponentes perpendiculares ao plano deincidncia. As equaes (10.3) e (10.4) se referemaos componentes paralelos ao plano de incidncia.Verifica-se que: se , a amplitudeparalela ao plano de incidncia no ser refletida

e a amplitude da onda perpendicularao plano de incidncia ser parcialmente refletida.Assim, a luz no polarizada que incide segundoum ngulo que satisfaz , serpolarizada por reflexo. A lei de Snell ento prev:

(10.5)

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Questo 11

Um feixe de luz plano-polarizada deintensidade incide sobre duasplacas polarizadoras superpostas. A direocaracterstica da primeira placa forma um ngulo

com o plano de polarizao do feixe incidente; adireo caracterstica da segunda placa ortogonal ao plano de polarizao do feixeincidente. Determine os valores de para que aintensidade do feixe transmitido seja: (a) mxima,(b) mnima. (c) Suponha ; encontre aintensidade do feixe emergente da segunda placa.Resoluo:Para a intensidade transmitida pela primeiraplaca temos:

(11.1)Agora, para a intensidade transmitida pelasegunda placa teremos, utilizando (11.1):

(11.2)

Utilizando as relaes trigonomtricas, teremos:

(11.3)

Para (11.3) assumir os valores mximos, temosque: Logo,

(11.4)

Para (11.3) assumir valores mnimos, temos que: Logo,

(11.5)

E para

, teremos:

(11.6)

Questo 12

Luz parcialmente polarizada (uma mistura defeixes no polarizados e de feixes plano-polarizados) pode ser representada por doisfeixes plano-polarizados de intensidadesdesiguais, ao longo do eixo dos e ao longo doeixo dos , e com uma defasagem aleatria. O graude polarizao definido por .(a) Supor que um feixe de luz parcialmentepolarizada atravessa uma placa Polaride com asua direo caracterstica fazendo um ngulo

com o eixo dos . Mostrar que a intensidadetransmitida,

(b) Esta expresso reduz-se a valores esperadospara Resoluo:

a)Acredito que a definio de polarizao dada no

enunciado esteja equivodada. At porque pensoque a mesma seja um nmero puro. Assim, seriamais correto definir da sequinte forma:

(12.1)

A intensidade transmitida seria dada por:

(12.2)

Utilizando a relao fundamental datrigonometria, teremos para (12.2):

(12.3)

Utilizando a relao , em (12.3),teremos:

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(12.4)

De (12.1), temos:

(12.5)Utilizando (12.1), (12.4) e (12.5), teremos:

(12.6)

b)

Para temos, , logo, de (12.2),teremos:

.(12.7)

Que corresponde a:

(12.8)Que forma assumida por (12.6). Agora, para , temos . E de (12.2), teremos:

(12.9)

Que a forma assumida por (12.6).

Questo 13

Um feixe estreito de luz no polarizada incideem um cristal de calcita cortado, em relao aoseu eixo tico, de modo indicado na figura 13.1.(a) Considerando e , calcular adistncia entre os feixes emergentes x e y. (b) Qualdeles ser o raio ordinrio e qual o raioextraordinrio? (c) Qual o estado de polarizaode cada um dos raios emergentes? (d) Dizer o queacontencer inserindo-se um polarizador no feixe

emergente e em seguida, fazendo-o girar.(Sugesto: Dentro do cristal, as vibraes do vetorE de um dos raios so sempre perpendiculares aoeixo tico, e as do outro, sempre paralelas. Essesdois raios so definidos pelos ndices ; noplano em questo, cada raio obedece lei de Snell.)

Figura 13.1

Resoluo:O enunciado da questo no indicou ocomprimento de onda do feixe que incide nocristal. Assim sendo, vamos adotar umcomprimento de onda dado por , quepossui os seguintes ndices de refrao para acalcita (D. Halliday e R. Resnick, Fsica 4, 4 edio,Editora LTC, Rio de Janeiro, 1984, pg.: 257), , respectivamente, pararaios ordinrios e extraordinrios. Utilizando a leide Snell, temos:

(13.1)

Em que o ngulo de refraa. Observando afigura 13.1, podemos concluir que , logo,de (13.1), podemos verificar que o queindica que x o raio extraordinrio. Seja d, odesvio sofrido pelos raios emergentes, dado por:

(13.2)

Assim, a distncia entre os raios emergentes serdada por:

(13.3)

Utilizando a relao (13.2) em (13.3), teremos:

. . . . .

. . . . .. . . .. . .

Eixo ticoxy

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(13.4)

Da relao (13.1), podemos escrever:

(13.5)

Com o auxlio de (13.1) e (13.5), tambm podemosescrever:

(13.6)

Utilizando os resultados (13.5) e (13.6) em (13.4),teremos:

(13.7)

Utilizando os valores dos ndices de refrao, emque , teremos, para (13.7), ovalor aproximado de . A polarizao doraio y se encontra no plano da figura 13.1 e a e ado raio x perpendicular a esse plano. Opolarizador far um ou outro raio desaparecer,alternadamente, medida que o polarizador girarde .Questo 14

Que espessura deve ter uma placa de mica demodo a constituir uma placa de um quarto deonda para a luz amarela ? A clivagem damica ocorre de maneira que os ndices derefrao, correspondentes transmisso da luzortogonalmente ao plano de clivagem, so 1,6049e 1,6117.Resoluo:Seja o nmero de onda dado por:

(14.1)

Em que a espessura da placa. Assim, tomandoa diferena entre os nmeros de ondas como umquarto, teremos:

(14.2)

Sabendo que na refrao:

(14.3)

Ento, utilizando (14.2) e (14.3), teremos:

(14.4)

Questo 15

Suponha-se que um objeto absorva um feixe de

raios paralelos de luz circularmente polarizada,cuja intensidade seja de . Com que taxaem relao ao tempo ser cedido ao objeto omomento angular do feixe luminoso? Tratando-sede um disco chato, com de dimetro emassa de , aps quanto tempo atingira velocidade angular de (supondo quepossa girar livremente em torno do seu eixo)?Considerar o comprimento de onda de .Resoluo:

O momento angular do feixe dado por: (15.1)

Em que a quantidade de energia absorvida e a frequncia angular da luz. Utilizando apotncia fornecida, podemos reescrever (15.1):

(15.2)

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De (15.2), teremos:

(15.3)

O momento de inrcia do disco dado por:

(15.4)

Para o eixo de rotao perpendicular a superfciepassando pelo centro. O momento angular para asupracitada velocidade de rotao ser:

(15.5)

Logo, de (15.5) e (15.3), teremos:

(15.6)

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