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Num corpo elástico, a deformação desaparece quandose retira a força e num corpo não elástico, a deformaçãoé permanente. A deformação depende da rigidez docorpo e da intensidade da força aplicada.Robert Hooke, mostrou a variação de comprimento doscorpos elásticos é diretamente proporcional à forçaaplicada, dentro de certos limites.

A lei de Hooke é dada por:F = K . x∆ ; K é a constante elástica (é uma medida darigidez do corpo).Exemplo:

Esse gráfico representa a relação entre a deformaçãox e a força F para uma mola. Qual a constante elásticada mola?

Resolução:Podemos observar, pelo gráfico, que a relação

x

F é

constante:

200001,0

20

02,0

40 ====x

Fk

Portanto, este é o valor da constante elástica da mola:

k = 2,0 . 10 N/m

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No módulo referente a vetores aprendemos adeterminar o vetor soma ou resultante. Considerandotodas as forças, que atuam sobre um corpo, é possívelsubstituí-las por uma única força que produziria omesmo efeito. Chamamos essa força de ForçaResultante.Matematicamente, a força resultante é obtida somandovetorialmente todas as forças aplicadas a ele.Quando a resultante das forças que agem sobre umcorpo é nula, dizemos que o corpo está em Equilíbrio.

Exemplo:Determine a força resultante em cada um dos sistemasa seguir:a) F

1

= 10N F

2

= 20N

Resolução:As forças 21 e FF

��

apresentam mesma direção e mesmosentido. O módulo da força resultante é a soma dosmódulos de :R= F

1

+ F2

= 10N + 20N = 30NA direção de é a mesma de : seu sentido é para adireita.

b) F1

= 50N F

2

= 20N F

3

= 40N

Resolução:Inicialmente calculamos a resultante das forças 21 e FF

��

.

3

��

R = F1

– F2

= 50 – 20 = 30NA seguir, calcula se 3FRR

���

+−

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Um bloco esta em repouso, no plano horizontal, umapessoa aplica uma força 1F

�

, mas não consegue move-lo. Isso se deve à existência de uma força contráriaque equilibra a força aplicada. A essa força,denominamos Força de Atrito.“Modelo estático”

Se aumentarmos a força aplicada e observarmos queo bloco continuou imóvel, podemos concluir que a forçade atrito também aumentou (Fig.2).Aumentando a força aplicada até que o corpo estejana Iminência do movimento, a força de atritoaumentará até atingir um Máximo.“Bloco em movimento”

Agora aplicando uma força 4F�

maior que 3F�

, o blocoentregará em movimento. Verificamos que, iniciado omovimento do corpo, a força necessária para mantê-lo em movimento é menor que a força de atrito máximo.Verifica-se experimentalmente que o valor da força deatrito máximo pe proporcional à força e compressão( N�

).

NFat ..max

µ=

→µ Coeficiente de atrito, depende da natureza dassuperfícies em contato e do seu grau de polimento.

→µ não depende da área da superfície de contato.

OBS: O coeficiente de atrito cinético é menor que oestático.

Exemplos:

1 – Um corpo de peso P está apoiado sobre umasuperfície inclinada de um ângulo em relação hori-

zontal. Determine o coeficiente de atrito estático entreas superfícies, sabendo que o corpo está na iminênciade movimento.

Resolução:O corpo está sob ação da força peso ( P

�

) e da força decontato com o plano, que vamos decompor em duas:força normal ( N

�

) e força de atrito ( atF�

) orientada paracima, pois o corpo tende a se mover para baixo. A forçade atrito é máxima pois o corpo está na iminência demovimento.Podemos decompor o peso P em duas componentes

nPP e 1 nas direções do plano e perpendicular ao plano.Como o corpo está em equilíbrio, podemos estabeleceruma igualdade entre os valores das forças opostas:

N = Pn e 1maxPFat =

Projetando P, obtemos:

(( µ

µ

sen1

cos

PP

PPn

==

Daí:

(( µ

µ

sen

cos

maxPF

PN

at ==

Podemos então obter ?µ :

µµµµµµ

tg

P

P

N

FNF

atat

=

====

?

?? cos

sen. max

max

2 – Um corpo de 40N de peso está em repouso apoiadosobre uma superfície horizontal cujo coeficiente deatrito estático é ?µ = 0,3 e o cinético é cµ = 0,2.Determine:a) a força horizontal mínima capaz de fazer o corpo se

mover;b) a força mínima necessária para manter o corpo em

movimento.

Resolução:a) A força mínima capaz de fazer o corpo se mover

deve ter intensidade igual à força de atrito estáticamáxima:

NFF eat µ==maxmin

→ →

→N→→

F1→pt1

→ →

→N→→

F2→pt2

→

→

→ →

N→F2

→pt2

→

→

→ →

N→F4

→fat. cinético

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sendo N = P, temos N = 40N Logo: NFF 1240.3,0 minmin ==−

b) Para manter o corpo em movimento, basta aplicaruma força F de intensidade igual à força de atritocinético:

OBS: A força de atrito é sempre contrária à tendênciade movimento relativo entre as superfícies em contato.Esta conclusão pode nos levar a acreditar que a forçade atrito sempre procura impedir movimento doscorpos. Veremos no entanto que, sem a existência doatrito alguns movimentos seriam impossíveis.Tomemos como exemplo nossa própria locomoção.Uma pessoa, para andar, empurra o solo, em sentidocontrário ao do movimento que deseja obter. Devidoao atrito, o solo reage com uma força de mesmaintensidade e sentido contrário, favorável ao movimentoda pessoa. O atrito, neste caso, é responsável pelomovimento.

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1. Converta em quilogramas as seguintes massas:a) 0,1gb) 10g;c) 100g;d) 10-3;e) 50g;f) ??g) 10-2t;h) 3t;i) 106g.

2. Para cada um dos sistemas a seguir, determine aintensidade da força resultante:

a) NF

NF

50

50

2

1

=

=�

�

b) NF

NF

15

20

2

1

=

=�

�

c)

NF

NF

NF

NF

20

30

40

50

4

3

2

1

=

=

=

=

�

�

�

�

d) NF

NF

3

4

2

1

=

=�

�

3. Com o propósito de construir um instrumento paramedir a massa de um corpo, foi montado o seguintedispositivo: um carrinho que pode conter diversasmassas aferidas é puxado por um fio que passa poruma polia e está preso a um corpo A, suspenso. Oponto de partida do carrinho é, para cada experiência,o mesmo ponto 0. com o auxilio de um cronômetro,mede-se a duração do trajeto do carrinho até um pontoB, situado uma distância fixa de 0.

Os resultados obtidos para diversos valores de M (to-tal da massa aferida) constam desta tabela:

M (g) 0 100 200 300 400 500

T(s) 1,5 1,8 2,1 2,5 2,9 3,5

a) Construa o gráfico de t em função de M.b) A partir do gráfico, determine o valor de uma massa

M desconhecida, cujo trajeto teve a duração de 3,1s.

4. O comprimento I de uma mola, em função da forçaF aplicada à sua extremidade livre, é dado por estatabela:

I(cm)12,0 12,5 13,0 13,5 14,0 14,5 15,0 15,5 F(N) 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0

a) Construa o gráfico I x F (gráfico de calibração damola).

b) Uma força desconhecida faz com que o comprimentoda mola seja de 14,3 cm. Qual o valor dessa força?

5. Qual a força F�

horizontal mínima, necessária paracolocar na iminência de movimento um corpo emrepouso sobre uma superfície horizontal cujocoeficiente de atrito estático ? = 0,8 ? O peso corpo éde 20N.

6. Um corpo de 50N de peso, inicialmente em repouso,encontra-se apoiado sobre uma superfície horizontalcujos coeficientes de atrito estático sãorespectivamente, ?? = 0,8 ?? = 0,7. Verifique se o corpopermanecerá em repouso ou entrará em movimentoquando for submetido à ação de uma força horizontalde intensidade 38N.

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7. Um corpo em repouso sobre um plano horizontalesta sendo puxado por uma força F

�

, através de umadinamômetro.Quando o corpo está na iminência de movimento, aescala do dinamômetro registra 40N. determine ocoeficiente de atrito estático entre as superfícies docorpo e do plano sendo o peso do corpo de 80N.

8. Os coeficientes de atrito estático e cinético entre assuperfícies de um corpo inicialmente em repouso eseu apoio horizontal são?????. O peso do corpo é iguala 100N e ela foi submetida a ação de uma força F

�

horizontal. Determine o valor da força de atrito paraos seguintes valores sucessivos de F:a) F = 10Nb) F = 30Nc) F = 60Nd) F = 80N

9. Determine o coeficiente de atrito mínimo entre ocorpo A e o plano horizontal, para que os corpos A e Bestejam em repouso.Dados: ?? e 10 ? ==∆ PNP

10. Um corpo de peso P encontra-se apoiado sobreum plano inclinado de um ângulo de 30º em relação àhorizontal. Determine o coeficiente de atrito estáticoentre as superfícies do corpo e do plano, sabendo queo corpo encontra-se na iminência de movimento.

Dados: sen 30º = 2

1; cos 30º =

2

3; tg 30º =

3

3

11. O corpo de peso P está sendo puxado por umaforça F

�

de intensidade 50N, paralela à direção doplano inclinado de ângulo ? em relação a horizontal. Ocorpo, nessas condições, está na iminência demovimento ascendente. Determine o valor da força deatrito que age no corpo e o coeficiente de atrito estáticoentre as superfícies.Dados: P – 50N; cos ? = 0,8; sen ? = 0,6.

12. No exercício anterior, que valor deve apresentar aforça F

�

para que o corpo esteja na iminência demovimento descendente?

13. (FCMSCSP) Não é necessária à existência de umaforça resultante atuando:a) quando se passa do estado de repouso ao de

movimento uniforme;b) para se manter um objeto em movimento retilíneo

e uniforme;c) para manter um corpo em movimento circular e

uniforme;d) para mudar a direção de um objeto sem alterar o

módulo de sua velocidade;e) em nenhum dos casos anteriores.

14. (CESGRANRIO) Tendo sido danificado em trechoda estrada, o motorista de um ônibus foi obrigado atomar um desvio, conforme indicado na figura.

Ao faze-lo o motorista julgou que não seria necessáriofrear e manteve constante a velocidade escalar doônibus. Um passageiro, no entanto, reclamou destadecisão, pois foi “sacudido” de uma extremidade paraoutra do banco em que estava sentado. Qual das opçõesabaixo indica corretamente em direção de qualextremidade do banco (direita ou esquerda) opassageiro foi sucessivamente jogado, ao longo datrajetória (P.Q.R e S) do ônibus?

P Q R SA) Direita Esquerda Esquerda DireitaB) Esquerda Direita Direita EsquerdaC) Direita Direita Esquerda EsquerdaD)Esquerda Direita Esquerda DireitaE) Direita Esquerda Direita Esquerda

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1. Um plano inclinado forma um ângulo α com ohorizonte. Um corpo é lançado no sentido ascendentesobre o plano inclinado, com velocidade 0v = 10 m/s.Sabendo que o coeficiente de atrito entre o corpo e oplano é 0,5 e que g = 10 m/s2, determine a distânciapercorrida pelo corpo até atingir velocidade nela.

2. (EPUSP) Um plano inclinado liso faz um ângulo de30º em relação a um plano horizontal áspero. Um corpode massa m = 10kg, abandonado no plano inclinadoleva 2 segundos para atingir o plano horizontal.Determine:a) À distância percorrida pelo móvel no plano

inclinado.b) À distância percorrida no plano horizontal, sabendo

que o coeficiente de atrito entre o corpo e planohorizontal é igual a 0,2.

3. Deixam-se cair simultaneamente, no vácuo, doiscorpos de massa M = 100kg e m = 1kg.a) qual dos blocos faz força sobre o outro?b) Qual a aceleração de cada um deles?

4. Um plano horizontal perfeitamente liso é continuadopor um plano rugoso. No plano liso, um corpo emmovimento uniforme percorre a distância de 40m em4s. O corpo atinge o plano rugoso, percorrendo nesteà distância de 20m até parar. Determine o coeficientede atrito entre o corpo e o plano rugoso.

5. Qual velocidade-limite de uma pára-quedista, sendosua massa, somada à do pára-quedas, iguais a 100kg,e admitindo que, para esse conjunto, a força deresistência do ar é dada por 1F = Kv2, onde k = 100N =s2/m2 e g = 10m/s2?

6. Determine a força de resistência do ar sobre umcorpo de 10kg de massa, em queda no ar, ao atingir asua velocidade-limite. Considere g constante e igual a10 m/s2.

7. Para arrastar um bloco sobre uma mesa horizontal,aqui na terra, devemos fazer uma certa força horizon-tal, vencendo o atrito cinético para dar ao bloco umacerta aceleração. Se o corpo e a mesa fossemtransportados para a lua, e fosse aplicado ao bloco amesma força, poderíamos afirmar que:a) o bloco adquiriria maior aceleração porque sua

massa, na lua, seria menor do que na terra;b) o bloco adquiriria menor aceleração porque a força

de atrito seria maior;c) o bloco adquiriria a mesma aceleração;d) o bloco adquiriria maior aceleração porque a força

de atrito seria menor;e) nenhuma das afirmativas é correta.

8. Um homem de 70 kg de massa se encontra numelevador, em pé sobre uma balança de molas. Aaceleração da gravidade é g = 10 m/s2. Determine aleitura da balança (em Newtons) nos seguintes casos:a) elevador subindo, com velocidade constante de 2

m/s;b) elevador descendo, com velocidade constante de 2

m/s2;c) elevador subindo acelerado, com aceleração de 1

m/s2;d) elevador descendo acelerado, com aceleração de 1

m/s2;e) elevador subindo retardado, com aceleração de 1

m/s2.

9. A figura mostra um elevador, no interior do qual sependurou um corpo em um dinamômetro. Quando oelevador está descendo em movimento uniforme, oexperimentador lê no dinamômetro o valor 8,0N. Aoatingir o térreo, o elevador breca e a leitura sobemomentaneamente para 10,0N. Sendo g = 10 m/s2,determine vetor-aceleração ao elevador de quanto eleestá brecando módulo, direção e sentido.

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1. (FESP) O sistema de dois blocos, ligados por umfio, é puxado sobre um plano horizontal sem atrito poruma força constante F

�

, paralela ao plano. A razãoentre os módulos da força e da força de tração no fioAB é:a) 1;b) 2;

c) 2

1;

d) 2

3.

2. (PUCC-SP) Sobre um carrinho de massa m= 2kgatuam as forças colineares 1F = 15N e 2F = 5N,conforme indica a figura. Admitindo-se ausência deatrito, a aceleração resultante do carrinho, em m/s2,será:a) 2,5;b) 5,0;c) 7,5;d) 10;e) 12.

3. (CESGRANRIO) A figura representaesquematicamente uma composição ferroviária comuma locomotiva e três vagões idênticos, movendo-secom aceleração constante a

� . Sejam 321 e , FFF osmódulos das forças exercidas por cada uma das barrasde acoplamento (1), (2) e (3), respectivamente, sobreos vagões. Se as forças de atrito exercidas sobre osvagões forem desprezíveis, podemos afirmar que:

a) 321 2

1

3

1FFF == ;

b) 321 3

1

2

1FFF == ;

c) 321 FFF == ;

d) 321 32 FFF == ;

e) 321 23 FFF == .

4. (EEM-SP) Um motorista de um automóvel, viajandopor um trecho reto e plano de uma estrada, percebeum obstáculo a 200 m de distância. Aplica os freiosde tal modo que o veículo adquire a máxima aceleraçãode retardamento possível e consegue parar junto aoobstáculo. O coeficiente de atrito entre as rodas doautomóvel e o pavimento é 0,2 e o peso daquele é de9.800N. o automóvel pode ser considerado pontomaterial e g = 9,8 m/s2. Determine:a) a aceleração do retardamento do veículo;b) a velocidade,em km/h, que o mesmo desenvolve

no início da freada;c) o tempo que o mesmo levou até parar.

5. (CESCEM-SP) O coeficiente de atrito de C sobre B é0,2. O coeficiente de atrito de B sobre A é 0,05. Sãodados: m

a

= 10 kg, mc

= 5 kg e g = 10 m/s2. Se o corpo Cé puxado com uma força F = 5N:a) C desliza sobre B, mas B não desliza sobre A;b) C não desliza sobre B, mas B desliza sobre A;c) C não desliza sobre B e B não desliza sobre A;d) C desliza sobre B e B desliza sobre A;e) C desliza sobre B e B desliza sobre A em sentido

contrário.

6. (VUNESP) Uma locomotiva de massa igual a 5,0velocidade de 72 km/h. Em dado momento ela enfrentauma obstrução na linha devida a um desabamento dobarranco. Sem que o maquinista acione qualquercomando, ele vence a barreira em 5,0s, reduzindo suavelocidade à metade.a) calcule a força média exercida pela barreira sobre

a locomotiva;b) explique os princípios físicos envolvidos.

7 – (FEI-SP) Pesa-se um corpo com um dinamômetropreso ao forro de um elevador. Com este em repousoou em movimento, as leituras do dinamômetro sãorespectivamente P

r

e Pm

. Podemos afirmar:a) rm PP > , se o elevador subir em movimento

retardado;

��

b) rm PP > , se o elevador descer em movimentoretardado;

c) rm PP > , se o elevador subir em movimento uniforme;d) rm PP > , se o elevador descer em movimento

uniforme;e) rm PP = , qualquer que seja o movimento do elevador.

8. (FAAP-SP) Tem-se mA

= 1 kg e mg

= 4 kg. O fio e apolia são ideais e o atrito é desprezível. Calcule avelocidade dos blocos 2s após terem sido abandonados.