1) Dos vectores están representado por la altura y la base de un rectángulo respectivamente.

Determinar: LA magnitud y dirección del vector +2

│A+2 │=

│ +2 │=

= =arc

+ = ( , arc

2) En un sistema de dos vectores Y , magnitud de B es 10 unidades y el modulo de ( - ) es 15

unidades; si el ángulo que forma los vectores Y ( - ) es 30 .o Determinar

2.1.- La magnitud del vector .

2.2.- El ángulo entre los vectores Y

a) desarrollo ley de los cosenos

A=

A=

A= 9

b) ley de los senos

=

= =

ѳ = 56,4 o

3. Usando componentes rectangulares, demuestre que el modulo del vector suma + es:

Y que el modulo de - es:

a) = (A. ) + (B cos + B sen )

| = = (A + B cos ) + B sen

=

| =

| =

= A - (B cos + B sen ) = (A – B cos +B sen

| |= =

| |=

| |=

4. Un vector de magnitud de 10 unidades forma un ángulo de 30 con la horizontal y otro

Vector , de modulo 16 unidades, forma un ángulo de 135 con la misma horizontal.

Determinar: El vector , en función de los unitarios

= (10 , 30 con x) =

? ( )

= A cos 30 = 10 cos 30 = 8.66

= A sen 30 = 10 sen 30 = 5

= B cos 45 = 16 cos 45 = -11.3

= B sen 45 = 16 sen 45 = 11.3

5.- Dados los puntos A (-2, 1); B (2,3); C (4, -2) y D (-3,3) Demuestre que la suma de los vectores dados por los

lados del cuadrilátero es cero.

DATOS:

A = (-2, 1)

B = (2,3)

C = (4,-2)

D = (-3,3)

DEMOSTRAR:

+ + + = 0

(6 -3 ) + (-2 +5 ) + (-5 ) + ( -2 )

6 -2 -5 + -3 +5 -2

0 +0 = 0 L. Q. Q. D.

6.- En una mesa de billar hay tres bolas, A, B y C. La bola B se encuentra con respecto a A en la posición (E

10° N; distancia 0,4m) y la bola C se encuentra con respecto a A al ((E 15° S, distancia 0,50m). Cuál es la

posición de B con respecto a C?

DATOS:

= = ( E 10°N,0,4m)

= = ( E 15°S, 0-50n)

= = ?

DESARROLLO:

AB = AB cos 10° = 0.4m cos 10° = 0.394m

AB =AB sen 10° = -0.07m

AC x = AC cos 15° = 0.50 cos 15° = 0.483m

AC z= AC sen 15° = 0.50 sen 15° = 0.129m

= (0.394 +0 -0.07 ) m

= (0.483 +0 +0.129 ) m.

7. - Un avión de aeromodelismo, despega en la dirección S -0 y con un Angulo de elevación de 30 . Luego

de volar en linea recta una distancia deb 40m desde su punto de partida su dueño desea inpactar en un

blanco ubicado en el punto B (-6, 5, -3) metros. Determinar;

a) La dirección que debe tomar el avión para lograr su propósito.

b) La posición del avión respecto al blanco.

Datos:

= = ( S – 0, = 30 ; 40m )

= = (- 6 , 5 , -3 )m

a ) = = ?

b) = = =?

Ax = Ax z Axz = A 0 40m

Ax = 36,44 Axz = 36,44m

Ax = -25,8m Aj = A = 40m

Az = Ax z Aj = 20m

Az = 25,3m

= ( -25,8 + 20 + 25,8 )m =

= ( -6 + 5 - 3 )m = -

- = (-6 +5 - 3 )-(-25,8 + 20 + 25,8 )

= (19,8 + 25 - 28,8 )

= = 43m

= = = 0,46 + 0,582 - 0,67

= + + = = -

= 0,46 = = 62,6 = - ( 19,8 + 25 - 28,8 )

= 0,582 = = 58,13

= -0,67 = = 132

8. Dos pistoleros A y B se encuentran sobre el mismo plano horizontal. B se encuentra respecto a A en el

punto (-2 , 0 , -3 ) metros . El pistolero B lanza una moneda en línea recta en la dirección S 30 E ;

angulo de elevacion de 60 y cuando recorre una distancia de 20metros es inpactada por una bala del

pistolero A . Determinar.

1 a) La dirección del disparo.

1 b) El vector unitario paralelo a la dirección de lanzamiento de la moneda .

Bcxz = Bc = 20m 0 10m

Bcj = Bc 0 20m 0 17,32m

Bcz = Bcxz = 10m = 5m

Bcz = Bcxz 0 10m 0 8,66m

= (5 + 17,32 + 5,66 ) m a) = + = ( 3 + 17,32 + 5,66 )

AC =

b) = = AC = 18,47m

=

= 0,25 + 0,866 + 0,433

9.- Desde lo alto del edificio de administración (60 metros) por medio de un teodolito medimos un ángulo de

sobre la horizontal y una distancia de 4 km a la Basílica. Giramos el teodolito un ángulo de y

medimos un ángulo de depresión de al Estadio Olímpico y estimamos una distancia de 6 km.

Determinar:

a) La distancia entre la Basílica y el Estadio.

b) La posición del Estadio respecto a la Basílica.

DATOS:

DESARROLLO:

a)

b)

10.- Un avión de aeromodelismo despega en la dirección N E; ángulo de elevación de ; luego de volar

en línea recta 60 metros gira en la dirección S – E, ángulo de depresión de y luego de recorrer en línea

recta 30 metros, se estrella contra un árbol. Determinar la posición del árbol en el espacio en función de los

unitarios respecto al punto de despegue del avión.

DATOS:

= 25,98 m

11) Dados los puntos A (2, -3, 6) y B (-1, 2, -2) unidades, Determinar un vector , de módulo unidades,

cuya línea de acción coincide con la bisectriz del ángulo formado por los radios de los vectores de los puntos

A y B.

= 7

= 3

=

(cos81, 13°)=3

(sin81, 13°)= 19, 21

= 0

)+ (19,21 ] unidades

12) Un vector cuya magnitud es 100 unidades tiene una línea de acción cuyos cosenos directores son

; relativos a un sistema de coordenadas x, y, z. Si el vector está localizado en el

primer octante y se aleja del origen, escríbalo en términos de

DATOS:

m

DESARROLLO:

13) Determinar la suma de tres vectores en donde:

y C es un vector en el plano xy, que forma un ángulo de con dirección positiva del de las x y se aleja

del origen y cuya magnitud es

14) Determinar la proyección de una fuerza de 100 Kgf cuyos cosenos directores son 0,29; 0,4 y -0,87,

sobre la línea de acción de otro vector cuyos senos son directores son -0,2; 0,6 y 0,775.

15) Para el valor de “m” forman un angulo de entre si, los vectores que van de (2,-7;5) a (7,1,-3)y de (8,m,-

4) a (4,-2,1)

m=?

16) en el prisma de la figura, si P y Q son los puntos medidos de las diagonales OF y OA. Determinar:

a) La posición de P respecto a Q

b) Cal es la posición geográfica de b respecto a Q ( latitud y longitud)?

c) Cual es la proyección del vector

a)

b)

17.- En el paralelepípedo ABCDEFGO, indicado en la figura, determinar:

a) los vectores en función de sus componentes normalizados

b) el angulo formado por los vectores

a)

b)

c)

b) =

c)

d)

18) En un aeropuerto se presenta la siguiente situación un avión (b) se halla parqueados en la posición 30 e ;

distancia a 200m respecto a la base de una torre de control de 15 m

De 15 m de altura en ese instante se encuentra otro avión con la dirección s-o , a una altura

De 400 m de la pista y distancia 2.000 m respecto a la base de las torres anteriores determinar

AB=2192.7m

19) En la figura determinar

19.1- la dirección geográfica del vector LN

19.2 La vector proyección de OQ sobre QL

19.2 el vector unitario paralelo al vector OL

a)

B)

DESARROLLO

L(APX,PLY,OAZ)

Op=ML=10

Apex =op sen15

Apex =10sen15=2.6

OAZ=opcos15=10 cos15 =9.66

PLY=10

L (2.6, 10, 9.66)

N (OBx, QNY, BQZ)

N = (9.66,10,2.6 )

a) )

)

20) UN aviador de Washington a manila determine el vector desplazamiento, si las latitudes longitudes de

las ciudades son (39n, 77oy15n 121e) respectivamente. El radio de la tierra es aproximadamente 6.370 km

WM=11219, 3 KM

21)Dado los vector

a,b,c =?

2a

-6a-3b

A=

=96b

114b=114

22.-Se tienen una cuerda fija en el punto A y se la hala con fuerza de 100 N, desde el punto B. Determinar:

a) el vector en términos de

b) La proyección del vector sobre

Datos:

F = 100N

a)

b)

23.- en la figura, determinar :

a) El angulo formado por los vectores y .

b) el vector proyectado de sobre .

= (5) (sin60°)= 5

Cz= (C) (Cos )= (5) (Cos60°) = 2,5

= (10 +5 +2,5 ) = = 11, 456 unidades

= (10 +5 +5 ) = = 12, 247 unidades

=

= (0 +5 +2,5 ) = = 5, 5902 unidades

= (0 +5 +5 ) = = 7, 0712 unidades

=

/ = ( ) (Cos ) ( )

/ = (5, 5902) ( (0/7,0712 +5/7,0712 +5/7,0712 )

/ = (5,2973) (0 +0,7071 +0,7071 )

/ = (0 +3,7457 +3,7457 ) Unidades

24.- Si las longitudes del horero y del minutero de un reloj son 10 y 15 cm respectivamente, determinar la

posición del extremo del horero respecto al extremo del minutero, para:

a) las 3:00h.

b) las 2:30 h.

h = 10 cm

M = 15 cm

a)

b)

a)

Hx = h cos = 10 cos = 9,66

Hy = h sen = 10 sen = 2.59

25.- Un niño eleva una cometa desde un punto O en el suelo. Cuando ha desarrollado 50m de piola en

dirección N20 E y la cometa se encuentra a 30m sobre el suelo posición a), el niño se mueve 10m en dirección

SE hasta un punto P posterior el viento obliga a la cometa a realizar un desplazamiento = -60i -20j +40k

desde la posición A hasta una nueva posición P determinar:

a) Cuanta piola tiene que enrollar o desenrollar el niño para ir de O a P, de modo que la cometa siga en la

posición A

b) cual es la altura de la cometa sobre el suelo cuando se encuentre en la posición B

c) que ángulo forman los vectores posición de la cometa en A y B, respecto al punto P

La cometa esta en la posición = 50-54.32 = 4.2m el niño debe desenrollar piola para dejarlo en la

posición A.

Modulo 69,28m

m modulo 32.12m

m modulo 103.88 m

3.-