Nota de Aula

      

Energia Mecânica

FÍSICA

2018

Professor Gomes

CAPÍTULO

                            6 Neste Capítulo

1 Introdução 2 Trabalho e energia potencial 3 Independência da trajetória para o trabalho de forças conservativas 4 Determinação de valores de energia potencial 5 Energia mecânica e sua conservação 6 Força e energia potencial 7 Trabalho realizado por uma força externa sobre um sistema 8 Diagramas de energia

www.professorgomes.com.br

 1 

 

NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 

 

ENERGIA MECÂNICA  

1 INTRODUÇÃO Quando  um  mergulhador  pula  de  um  trampolim  para  uma  piscina,  ele  atinge  a  água  com  velocidade 

relativamente elevada, possuindo grande energia cinética. De onde provém essa energia? A resposta que aprendemos no capítulo anterior é que a força gravitacional (seu peso) exerce um trabalho sobre o mergulhador durante sua queda. A  energia  cinética  do mergulhador —  a  energia  associada  com  seu movimento —  aumenta  em quantidade  igual  ao trabalho realizado sobre ele. 

Contudo, existe um modo alternativo muito útil para estudar conceitos envolvendo trabalho e energia cinética. Esse novo método se pauta no conceito de energia potencial, que é a energia associada com a posição da partícula, e não  com  seu  movimento.  Segundo  essa  abordagem,  existe  energia  potencial  gravitacional  mesmo  no  caso  de  o mergulhador ficar parado sobre o trampolim. Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhador—Terra durante sua  queda,  porém  uma  energia  armazenada  é  transformada  de  uma  forma  (energia  potencial)  para  outra  forma (energia cinética) durante sua queda. Neste capítulo estudaremos como essa transformação pode ser entendida a partir do teorema do trabalho‐energia. 

Quando o mergulhador oscila no  trampolim antes de pular,  a  tábua encurvada acumula um segundo  tipo de energia potencial denominada energia potencial elástica. 

Discutiremos a energia potencial elástica de sistemas simples, como o de molas comprimidas ou alongadas. (Um terceiro tipo importante de energia potencial está associado com a posição relativa entre cargas elétricas. Esse tipo de energia potencial será estudado em outra disciplina) 

Demonstraremos  que  em  alguns  casos  a  soma  da  energia  potencial  com  a  energia  cinética,  que  fornece  a energia mecânica  total de um sistema, permanece  constante durante o movimento do  sistema.  Isso nos  conduzirá a uma formulação geral da lei da conservação da energia, um dos princípios mais fundamentais e abrangentes de todas as ciências.  2 TRABALHO E ENERGIA POTENCIAL 

No capítulo anterior discutimos a relação entre o trabalho e a variação da energia cinética. Agora, vamos discutir a relação entre trabalho e uma variação da energia potencial.  

Suponha que um tomate  seja arremessado para cima como na  figura 1.  Já  sabemos que, enquanto o  tomate está subindo, o trabalho Wg realizado pela força gravitacional sobre o tomate é negativo, porque a força extrai energia da energia cinética do tomate. 

 

    FIGURA  1  Um  tomate  é  arremessado  para  cima.  Enquanto  sobe,  a  força gravitacional  realiza  um  trabalho  negativo  sobre  o  tomate,  diminuindo  sua energia  cinética.  Quando  desce,  a  força  gravitacional  realiza  um  trabalho positivo, aumentando sua energia cinética.  

Podemos  agora  concluir  a  história  dizendo que  esta  energia  é  transferida pela  força  gravitacional  da  energia cinética do tomate para a energia potencial gravitacional do sistema tomate‐Terra. 

O tomate perde velocidade, para e começa a cair de volta por causa da força gravitacional. Durante a queda, a transferência  se  inverte:  o  trabalho Wg  realizado  sobre  o  tomate  pela  força  gravitacional  agora  é  positivo  e  a  força gravitacional passa a transferir energia da energia potencial do sistema tomate‐Terra para a energia cinética do tomate. 

 2 

Tanto na subida como na descida a variação ΔU da energia potencial gravitacional é definida como o negativo do  trabalho  realizado  sobre  o  tomate  pela  força  gravitacional. Usando o  símbolo  geral W para  o  trabalho,  podemos expressar esta definição através da seguinte equação: ΔU = ‐W             [1] 

Esta equação também se aplica a um sistema massa‐mola como o da figura 2. Se empurramos bruscamente o bloco, movimentando‐o para a direita, a força da mola atua para a esquerda e, portanto, realiza trabalho negativo sobre o bloco,  transferindo energia da energia cinética do bloco para a energia potencial elástica do sistema bloco‐mola. O bloco perde velocidade até parar; em seguida, começa a se mover para a esquerda, já que a força da mola ainda está dirigida  para  a  esquerda.  A  partir  desse  momento,  a  transferência  de  energia  se  inverte:  a  energia  passa  a  ser transferida da energia potencial do sistema bloco‐mola para a energia cinética do bloco. 

 FIGURA 2 Um bloco, preso a uma mola e inicialmente em repouso em x = 0, é colocado em movimento para a direita. (a) Quando o bloco se move para a direita (no sentido indicado pela seta) a força elástica da mola realiza trabalho negativo sobre o bloco.  (b) Mais  tarde, quando o bloco se move para a esquerda. Em direção ao ponto x = 0, a  força da mola realiza trabalho positivo sobre ele.  FORÇAS CONSERVATIVAS E DISSIPATIVAS 

Vamos fazer uma lista dos elementos principais das duas situações que acabamos de discutir: 1. O sistema é formado por dois ou mais objetos. 2. Uma  força  atua entre  um objeto do  sistema que  se  comporta  como partícula  (o  tomate ou o bloco)  e o  resto do sistema. 3. Quando a configuração do sistema varia, a força realiza trabalho (W1 digamos) sobre o objeto, transferindo energia cinética K do objeto para alguma outra forma de energia do sistema. 4. Quando a mudança da configuração se inverte, a força inverte o sentido da transferência de energia, realizando um trabalho W2 no processo. 

Nas  situações  em  que  a  relação  W1  =  ‐  W2  é  sempre  observada,  a  outra  forma  de  energia  é  uma  energia potencial, e dizemos que a força é uma força conservativa. Como o leitor já deve ter desconfiado, a força gravitacional e a força elástica são conservativas (de outra forma, não poderíamos ter falado em energia potencial gravitacional e da energia potencial elástica, como fizemos anteriormente). 

Uma força que não é conservativa é chamada de força dissipativa. A força de atrito cinético e a força de arrasto são forças dissipativas.  Imagine, por exemplo, um bloco deslizando em um piso com atrito. Durante o deslizamento a força  de  atrito  cinético  exercida  pelo  piso  realiza  um  trabalho  negativo  sobre  o  bloco,  reduzindo  sua  velocidade  e transferindo a energia cinética do bloco para uma outra forma de energia, chamada energia térmica (que está associada ao movimento aleatório de átomos e moléculas). Os experimentos mostram que essa transferência de energia não pode ser revertida (a energia térmica não pode ser transferida de volta para a energia cinética do bloco pela força de atrito cinético). Assim, embora tenhamos um sistema (composto pelo bloco e pelo piso), uma força que atua entre partes do sistema e uma transferência de energia causada pela força, a força não é conservativa. Assim, a energia térmica não é uma energia potencial.  

Quando  um  objeto  que  se  comporta  como  uma  partícula  está  sujeito  apenas  a  forças  conservativas,  certos problemas  que  envolvem  o  movimento  do  objeto  se  tornam  muito  mais  simples.  Na  próxima  seção,  em  que apresentamos  um  método  para  identificar  forças  conservativas,  será  apresentado  um  exemplo  desse  tipo  de simplificação.  3 INDEPENDÊNCIA DA TRAJETÓRIA PARA O TRABALHO DE FORÇAS CONSERVATIVAS 

O teste principal para determinar se uma força é conservativa ou dissipativa é o seguinte: deixa‐se a força atuar sobre uma partícula que se move ao longo de um percurso fechado, começando em uma certa posição e retornando a essa  posição  (ou  seja,  fazendo  uma  viagem  de  ida  e  volta).  A  força  é  conservativa  se  e  apenas  se  a  energia  total transferida durante a viagem de ida e volta, ao longo deste ou de qualquer outro percurso fechado, for nula. Em outras palavras: 

 3 

O trabalho total realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move ao longo de qualquer percurso fechado é nulo. 

Sabemos,  através  de  experimentos,  que  a  força  gravitacional  passa  neste  teste  do  percurso  fechado.  Um exemplo é o tomate da figura 1. O tomate deixa o ponto de lançamento com velocidade v0 e energia cinética ½ mv0

2. A força gravitacional que age sobre o tomate reduz sua velocidade a zero e depois o faz cair de volta. Quando o tomate retoma ao ponto de partida ele  possui  novamente uma velocidade  v0  e uma energia  cinética ½ mv0

2. Assim,  a  força gravitacional extrai tanta energia do tomate durante a subida quanto fornece energia ao tomate durante a descida. O trabalho total realizado sobre o tomate pela força gravitacional durante a viagem de ida e volta é, portanto, nulo. Uma consequência importante do teste do percurso fechado é a seguinte: O trabalho realizado por uma força conservativa sobre uma partícula que se move entre dois pontos não depende da trajetória seguida pela partícula. 

Suponha, por exemplo, que a partícula se move do ponto a para o ponto b da figura 3a seguindo a trajetória 1 ou a trajetória 2.  

 

   FIGURA 3 (a) Uma partícula pode se mover do ponto a ao ponto b, sob a ação de uma força conservativa, seguindo a trajetória 1 ou a trajetória  2.  (b)  A  partícula  descreve  um  percurso  fechado, seguindo a trajetória 1 para ir do ponto a ao ponto b e a trajetória 2 para voltar ao ponto a.  

Se todas as forças que agem sobre a partícula são conservativas, o trabalho realizado sobre a partícula é o mesmo para as duas trajetórias. Em símbolos, podemos escrever este resultado como Wab,1 = Wab,2            [2] onde o índice ab indica os pontos inicial e final, respectivamente, e os índices 1 e 2 indicam a trajetória. 

Este  resultado  é  importante  porque  permite  simplificar  problemas  difíceis  quando  apenas  uma  força conservativa  está  envolvida.  Suponha  que  você  precise  calcular  o  trabalho  realizado  por  uma  força  conservativa  ao longo  de  uma  certa  trajetória  entre  dois  pontos  e  que  o  cálculo  seja  difícil  ou mesmo  impossível  sem  informações adicionais. Você pode determinar o trabalho substituindo a trajetória entre estes dois pontos por outra para a qual o cálculo seja mais fácil. DEMONSTRAÇÃO DA EQUAÇÃO 2 

A  figura  3b  mostra  um  percurso  fechado  arbitrário  de  uma  partícula  sujeita  à  ação  de  uma  única  força.  A partícula  se  desloca  de  um  ponto  inicial  a  para  um  ponto  b  seguindo  a  trajetória  1  e  volta  ao  ponto  a  seguindo  a trajetória 2. A  força realiza trabalho sobre a partícula enquanto ela se desloca em cada uma das trajetórias. Sem nos preocuparmos em saber se o trabalho realizado é positivo ou negativo, vamos representar o trabalho realizado de a até b ao longo da trajetória 1 como Wab,1 e o trabalho realizado de b até a ao longo da trajetória 2 como Wba,2. Se a força é conservativa, o trabalho total realizado durante a viagem de ida e volta deve ser zero: Wab,1 + Wba,2 = 0  e, portanto, Wab,1 = ‐ Wba,2             [3] Em palavras, o trabalho realizado ao longo da trajetória de ida deve ser o negativo do trabalho realizado ao longo da trajetória de volta.  

Consideremos agora o trabalho Wab,2 realizado pela força sobre a partícula quando ela se move de a para b ao longo da trajetória 2 (figura 3a). Se a força é conservativa, este trabalho é o negativo de Wba,2: Wab,2 = ‐ Wba,2             [4] Substituindo ‐Wba,2 por Wab,2 na equação 3, obtemos Wab,1 =  Wab,2 como queríamos demonstrar.  4 DETERMINAÇÃO DE VALORES DE ENERGIA POTENCIAL 

 4 

Os valores dos dois  tipos de energia potencial discutidos neste capítulo, a energia potencial  gravitacional e a energia  potencial  elástica,  podem  ser  calculados  com  o  auxílio  de  equações.  Para  chegar  a  essas  equações,  porém, precisamos encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a energia potencial a ela associada. 

Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que  faz parte de um sistema no qual atua uma força  conservativa  F.  Quando  essa  força  realiza  um  trabalho W  sobre  o  objeto,  a  variação  ΔU  da  energia  potencial associada ao sistema é o negativo do trabalho realizado. Este fato é expresso pela equação 1 (ΔU = ‐ W). No caso mais geral em que a força varia com a posição, podemos escrever o trabalho W como: 

xf

xi

W F(x) dx             [5] 

Esta equação fornece o trabalho realizado pela força quando o objeto se desloca do ponto xi para o ponto xf, mudando a configuração do sistema. (Como a força é conservativa, o trabalho é o mesmo para qualquer percurso entre esses dois pontos.)  

Substituindo a equação 5 na equação 1, descobrimos que a variação de energia potencial associada à mudança de configuração é 

xf

xi

U F(x) dx             [6] 

a) ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL  Consideremos inicialmente uma partícula de massa m que se move verticalmente ao longo de um eixo y (com o 

sentido  positivo  para  cima). Quando  a  partícula  se move  do  ponto  yi  para  o  ponto  yf  a  força  gravitacional  Fg  realiza trabalho sobre ela. Para determinar a variação correspondente da energia potencial gravitacional do sistema partícula‐Terra usamos a equação 6 com duas modificações: (1) integramos ao longo do eixo y em vez do eixo x, já que a força gravitacional age na direção vertical. (2) Substituímos a força F por ‐ mg, pois Fg possui módulo mg e está orientada no sentido negativo do y. Temos: 

yf yf

yfyi

yi yi

U ( mg) dy mg dy mg[y]  

e portanto,  ΔU = mg(yf ‐ yi) = mg Δy         [7] 

São  apenas  as  variações  ΔU  da  energia  potencial  gravitacional  (ou  de  qualquer  outro  tipo  de  energia)  que possuem significado físico. Entretanto, para simplificar um cálculo ou uma discussão às vezes gostaríamos de dizer que um certo valor de energia potencial gravitacional U está associado a um certo sistema partícula‐Terra quando a partícula está a uma certa altura y. Para isso, escrevemos a equação 7 na forma U ‐ Ui = mg(y‐ yi).           [8] e tomamos Ui como sendo a energia potencial gravitacional do sistema quando ele se encontra em uma configuração de referência na qual a partícula está em um ponto de referência yi. Normalmente tomamos Ui = 0 e yi = 0. Fazendo isso, a equação 8 se torna U(y) = mgy            [9] Esta equação nos diz o seguinte: A  energia  potencial  gravitacional  associada  a  um  sistema  partícula‐Terra  depende  apenas  da  posição  vertical  y  (ou altura) da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da posição horizontal. b) ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA  

Consideramos a seguir o sistema massa‐mola da figura 2, com o bloco se movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k. Enquanto o bloco se desloca do ponto xi para o ponto xf, a força elástica Fx = ‐kx realiza trabalho sobre  o  bloco.  Para  determinar  a  variação  correspondente  da  energia  potencial  elástica  do  sistema  bloco‐mola substituímos F(x) por ‐ kx na equação 6. Obtendo 

xf xf

2 xfxi

xi xi

1U ( kx) dx k xdx k[x ]

2  

ou  

2 2f i

1 1U kx kx

2 2           [10] 

Para  associar um valor de energia potencial U  ao bloco na posição  x  escolhemos a  configuração de  referência  como sendo aquela na qual a mola se encontra no estado relaxado e o bloco está em xi = 0. Nesse caso, a energia potencial elástica Ui é zero e a equação 10 se torna 

 5 

21U 0 kx 0

2  

o que nos dá 

21U (x) kx

2             [11] 

 5 ENERGIA MECÂNICA E SUA CONSERVAÇÃO 

A energia mecânica Emec de um sistema é a soma da energia potencial U do sistema com a energia cinética K dos objetos que compõem o sistema: Emec = K + U             [12] Nesta seção, vamos discutir o que acontece com essa energia mecânica quando as transferências de energia dentro do sistema  são produzidas  apenas por  forças  conservativas,  ou  seja,  quando os objetos do  sistema não estão  sujeitos a forças de atrito e de arrasto. Além disso, vamos supor que o sistema está  isolado do ambiente,  isto é, que nenhuma força externa produzida por um objeto fora do sistema causa variações de energia dentro do sistema. 

Quando  uma  força  conservativa  realiza  um  trabalho  W  sobre  um  objeto  dentro  do  sistema,  essa  força  é responsável por uma transferência de energia entre a energia cinética K do objeto e a energia potencial U do sistema. De acordo com o teorema da energia cinética, a variação ΔK da energia cinética é ΔK = W             [13] e, de acordo com a equação 1, a variação ΔU da energia potencial é ΔU = ‐W             [14] Combinando as equações 13 e 14, temos: ΔK = ‐ΔU             [15] Em palavras, uma dessas energias aumenta exatamente da mesma quantidade que a outra diminui. 

Podemos escrever a equação 15 na forma K2 – K1 = ‐(U2 – U1)          [16] onde  os  índices  se  referem  a  dois  instantes  diferentes  e,  portanto,  a  duas  configurações  distintas  dos  objetos  do sistema. Reagrupando os termos da equação 16, obtemos a seguinte equação: K2 + U2 = K1 + U1           [17] Em palavras, esta equação diz o seguinte: 

Soma de K eUpara Soma de K e Upara qualquer

qualquer estado do sistema outro estado do sistema

 

quando o sistema é isolado e apenas forças conservativas atuam sobre os objetos do sistema. Em outras palavras: Em um sistema isolado, onde apenas forças conservativas causam variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem variar, mas sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode variar. Este resultado é conhecido como princípio de conservação da energia mecânica. (Agora você pode entender a origem do nome força conservativa.) Com o auxílio da equação 15, podemos escrever este princípio de outra forma: ΔEmec = ΔK + ΔU = 0           [18] O princípio de conservação da energia mecânica permite resolver problemas que seriam bastante difíceis de resolver usando apenas as leis de Newton:  Quando a energia mecânica de um sistema é conservada, podemos relacionar a soma da energia cinética com a energia potencial em um instante à soma em outro instante sem levar em conta o movimento intermediário e sem calcular o trabalho realizado pelas forças envolvidas. 

A  figura  4  mostra  um  exemplo  no  qual  o  princípio  de  conservação  da  energia  mecânica  pode  ser  aplicado. Enquanto  um  pêndulo  oscila,  a  energia  do  sistema  pêndulo‐Terra  é  transferida  da  energia  cinética  K  para  a  energia potencial gravitacional U e vice‐versa, com a soma K + U permanecendo constante. Se conhecemos a energia potencial gravitacional quando o peso do pêndulo está no ponto mais alto (figura 4c), a equação 17 nos fornece a energia cinética do peso no ponto mais baixo (figura 4e). 

Vamos,  por  exemplo,  escolher  o  ponto  mais  baixo  como  o  ponto  de  referência,  com  a  energia  potencial gravitacional  U2  =  0.  Suponha  que  a  energia  potencial  no  ponto  mais  alto  seja  U1  =  20  J  em  relação  ao  ponto  de referência. Como o peso se imobiliza momentaneamente ao atingir o ponto mais alto, a energia cinética nesse ponto é K1 = 0. Substituindo estes valores na equação 17, obtemos a energia cinética K2 no ponto mais baixo: K2 + 0 = 0 + 20J ou K2 = 20J Observe que obtivemos este resultado sem considerar o movimento entre os pontos mais baixo e mais alto (como na figura 4d) e sem determinar o trabalho realizado pelas forças envolvidas no movimento. 

 6 

 FIGURA 4 Um pêndulo, com a massa concentrada em um peso na extremidade inferior, oscila de um lado para o outro. É mostrado um  ciclo  completo do movimento. Durante o  ciclo  os  valores da  energia  potencial  e  cinética  do  sistema pêndulo‐Terra  variam  quando  o  peso  sobe  e  desce, mas  a  energia mecânica  Emec  do  sistema  permanece  constante. Pode‐se dizer que a energia Emec se alterna continuamente entre as formas de energia cinética e energia potencial. Nos estágios  (a)  e  (e)  toda a energia está na  forma de energia  cinética, o peso  tem velocidade máxima e  se encontra no ponto mais baixo de sua trajetória. Nos estágios (c) e (g) toda a energia está na forma de energia potencial, o peso tem velocidade  nula  e  se  encontra  no  ponto mais  alto  da  trajetória.  Nos  estágios  (h),  (d),  (f)  e  (h) metade  da  energia  é energia  cinética  e  a outra metade é energia potencial.  Se  a oscilação do pêndulo envolvesse uma  força de atrito  no ponto onde o pêndulo está preso ao teto ou uma força de arrasto devido ao ar, Emec não seria conservada e o pêndulo acabaria parando.  6 FORÇA E ENERGIA POTENCIAL  

Para os dois tipos de força conservativa estudados (a elástica e a gravitacional), começamos com uma descrição do comportamento da força e a partir disso deduzimos uma expressão para a energia potencial. Por exemplo, para um corpo de massa m em um campo gravitacional uniforme, a força gravitacional é dada por Fy = ‐mg. Vimos que a energia potencial correspondente é dada por U(y) = mgy. Para esticar uma mola ideal a uma distância x, devemos exercer uma força igual a ‐kx. Pela terceira lei de Newton, a força que a mola ideal exercerá sobre o corpo é igual e contrária ou Fx = ‐kx. A função da energia potencial correspondente é dada por U(x) = ½ kx2. 

Ao estudar física, porém, você encontrará situações em que lhe é dada uma expressão para a energia potencial em  função da posição para que  seja  calculada a  força  correspondente. Veremos vários exemplos desse  tipo, quando estudarmos  as  forças  elétricas  em  uma  outra  disciplina:  é  em  geral  mais  fácil  calcular  a  energia  potencial  elétrica primeiro e depois determinar a força elétrica correspondente.  

 7 

A seguir, mostraremos como proceder para calcular a força que corresponde a um dada expressão de energia potencial.  Inicialmente  considere  um  movimento  retilíneo,  sendo  x  a  coordenada.  Designamos  o  componente  x  da força, uma função de x, por Fx(x), e a energia potencial por U(x). Essa notação serve para lembrarmos de que tanto Fx quanto U são funções de x. Lembramo‐nos agora de que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer deslocamento é igual, mas de sinal contrário, à variação ΔU da energia potencial: W = ‐ΔU Vamos  aplicar  esse  resultado  a  um  deslocamento  pequeno  Δx.  O  trabalho  realizado  pela  força  Fx(x)  durante  esse deslocamento é aproximadamente igual a Fx(x) Δx. Devemos dizer ‘aproximadamente’ porque Fx(x) varia ligeiramente ao longo do deslocamento Δx. Logo, é aproximadamente verdade que 

x x

UF (x) x U e F (x)

x

 

Você  já  deve  ter  percebido  o  que  virá.  Tomamos  o  limite  quando  Δx→0  nesse  limite,  a  variação  de  Fx  torna‐se desprezível, e achamos a expressão exata 

x

dU(x)F (x)

dx             [19] 

Esse resultado faz sentido; em regiões onde U(x) varia rapidamente com x (ou seja, onde dU(x)/dx é grande), ocorre a realização de um trabalho grande em um dado deslocamento, e a  força correspondente possui módulo elevado. Por outro  lado,  quando  Fx(x)  está  orientada  no  sentido  positivo  do  eixo  Ox,  U(x)  diminui  quando  x  cresce.  Logo,  Fx(x)  e dU(x)/dx devem realmente possuir sinais contrários. O significado físico da equação (19) é que uma força conservativa sempre atua no sentido de conduzir o sistema a uma energia potencial mais baixa. Para conferir, considere a função da energia potencial elástica, U(x) = ½ kx2. Usando a equação (19), obtemos 

2x

d 1F (x) kx kx

dx 2

 

que é a expressão  correta da  força exercida por uma mola  ideal  (figura 5a). Analogamente, para a energia potencial gravitacional temos U(y) = mgy; tomando o cuidado de substituir x por y na escolha do eixo, obtemos Fy = ‐dU/dy = ‐d(mgy)/dy = ‐mg, que é a expressão correta para a força gravitacional (figura 5b). 

 FIGURA 5 Uma força conservativa é a derivada negativa da energia potencial correspondente.  FORÇA E ENERGIA POTENCIAL EM TRÊS DIMENSÕES  

Podemos estender a análise anterior para três dimensões, onde a partícula pode se mover ao longo do eixo Ox, Oy ou Oz, ou então, mover‐se no espaço com componentes simultaneamente em todas essas direções, quando está sob a  ação  de  uma  força  que  possui  componentes  FX,  FY  e  FZ.  Cada  componente  da  força  pode  ser  uma  função  das coordenadas  x,  y  e  z.  A  função  da  energia  potencial  U  é  sempre  uma  função  dessas  três  coordenadas  espaciais. Podemos agora usar a equação (19) para achar cada componente da força. A variação da energia potencial ΔU quando a partícula se move de uma pequena distância Δx ao longo do eixo Ox é novamente dada por ‐FxΔx; ela não depende de FY ou  de  FZ,  que  são  componentes  da  força  ortogonal  ao  deslocamento  e  não  realizam  trabalho.  Sendo  assim,  temos novamente a expressão aproximada 

x

UF

x

 

Os componentes y e z da força são obtidos de modo análogo: 

y z

U UF F

y z

 

Para fazer essas relações tornarem‐se exatas, precisamos tomar os limites quando Δx→0, Δy→0 e Δz→0, de modo que essas  relações  se  transformem nas  respectivas  derivadas.  Como U  é  uma  função  dessas  três  coordenadas,  devemos lembrar que ao calcular cada uma dessas, somente uma coordenada varia de cada vez. Calculamos a derivada de U em relação  a  x  supondo  y  e  z  constantes  e  somente  x  variando,  e  assim por  diante.  Esse  tipo  de  derivada  denomina‐se 

 8 

derivada parcial. A notação usual para a derivada parcial é ∂U/∂x e assim por diante; o símbolo ∂ é um d modificado para lembrar‐nos da diferença entre os dois tipos de derivada. Logo escrevemos 

x y z

U U UF F F

x y z

      [20] 

Podemos usar vetores unitários para escrever uma expressão vetorial compacta para a força  F: 

U U UF i j k

x y z

         [21] 

A expressão no interior dos parênteses representa uma operação particular, na qual tomamos as derivadas parciais de U em relação a cada uma das coordenadas, multiplicamos pelo respectivo vetor unitário e fazemos a soma vetorial. Essa 

operação, geralmente abreviada como  U

 é chamada de gradiente de U. Portanto, a  força é o gradiente da energia potencial com o sinal contrário: 

F U

            [22] Para conferirmos, substituindo a expressão da energia potencial gravitacional U = mgy na equação (22), encontramos: 

(mgy) (mgy) (mgy)F (mgy) i j k ( mg)j

x y z

 

Este resultado é a expressão familiar da força gravitacional.  7 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA EXTERNA SOBRE UM SISTEMA 

No capítulo anterior definimos o trabalho como a energia transferida para um objeto ou de um objeto através de uma força que age sobre o sistema. Podemos agora estender essa definição para uma força externa que age sobre um sistema de objetos. Trabalho  é  a  energia  transferida  para  um  sistema  ou  de  um  sistema  através  de  uma  força  externa  que  age  sobre  o sistema. 

A figura 6a mostra um trabalho positivo (uma transferência de energia para um sistema) e a figura 6b mostra um trabalho negativo (uma transferência de energia de um sistema). Quando mais de uma força age sobre um sistema, o trabalho total dessas forças é a energia transferida para o sistema ou retirada do sistema. 

 FIGURA 6  (a) O  trabalho positivo W  realizado  sobre um  sistema  corresponde  a  uma  transferência  de  energia  para  o sistema. (b) O trabalho negativo corresponde a uma transferência de energia para fora do sistema.  

Essas transferências são semelhantes às transferências de dinheiro em uma conta bancária através de depósitos e saques. Se um sistema contém uma única partícula ou um único objeto que se comporta como uma partícula, como no  capítulo  anterior,  o  trabalho  realizado  por  uma  força  sobre  o  sistema  pode mudar  apenas  a  energia  cinética  do sistema. Esta transferência é governada pelo teorema do trabalho e energia cinética expresso pela equação ΔK = W, ou seja,  uma  única  partícula  possui  apenas  uma  conta  de  energia,  chamada  energia  cinética.  Forças  externas  podem apenas transferir energia para esta conta ou retirar energia desta conta. Se um sistema é mais complicado, porém, uma força externa pode alterar outras  formas de energia  (como a energia potencial),  ou  seja, um sistema mais  complexo pode ter várias contas de energia.  

Vamos formular definições de energia para esses sistemas mais complexos examinando duas situações básicas, uma que não envolve o atrito e outra que envolve o atrito. NA AUSÊNCIA DE ATRITO 

Em uma competição de arremesso de bolas de boliche, primeiro você se agacha e coloca as mãos em concha debaixo da bola. Em seguida, você se levanta rapidamente e ao mesmo tempo levanta as mãos, lançando a bola quando as mãos atingem o nível do rosto. Durante o movimento para cima a força que você aplica à bola obviamente realiza trabalho. Ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual sistema? 

Para  responder  a  essa  pergunta  vamos  verificar  quais  são  as  energias  que mudam.  Há  uma  variação  ΔK  da energia cinética da bola e, como a bola e a Terra ficaram mais afastadas uma da outra, há também uma variação ΔU da energia potencial gravitacional do sistema bola‐Terra. Para levar em conta essas duas variações é preciso considerar o sistema bola‐Terra. Assim,  a  força  que  você  aplica  é  uma  força externa que  realiza  trabalho  sobre  esse  sistema,  e  o trabalho é dado por 

 9 

W = ΔK + ΔU            [23] ou W = ΔEmec            [24] onde ΔEmec é a variação da energia mecânica do sistema. Essas duas equações, que estão representadas na figura 7, são equivalentes no caso de um trabalho realizado por uma força externa sobre o sistema na ausência de atrito. 

 

   FIGURA  7  Um  trabalho  positivo  W  é  realizado  sobre  um  sistema composto por uma bola de boliche e a Terra, causando uma variação ΔEmec da energia mecânica do sistema, uma variação ΔK da energia cinética da bola e uma variação ΔU da energia potencial gravitacional do sistema.  

NA PRESENÇA DE ATRITO Vamos agora considerar o exemplo da figura 8a. Uma força horizontal constante F puxa um bloco ao longo de 

um eixo x, deslocando‐o de uma distância d e aumentando a velocidade do bloco de v0 para v. Durante o movimento o piso exerce uma força de atrito cinético constante fk sobre o bloco.  Inicialmente, vamos escolher o bloco como nosso sistema e aplicar a ele a segunda lei de Newton.  

 FIGURA 8 (a) Um bloco é puxado por uma força F enquanto uma força de atrito cinético fk se opõe ao movimento. O bloco tem uma velocidade v0 no inicio do deslocamento e uma velocidade v no final do deslocamento. (b) Um trabalho positivo W é realizado pela força F sobre o sistema bloco‐piso, produzindo uma variação ΔEmec da energia mecânica do bloco e uma variação ΔEt da energia térmica do bloco e do piso.  Podemos escrever essa lei para as componentes ao longo do eixo x (Fres,x = max) na forma F – fk = ma            [25] Como as forças são constantes, a aceleração a também é constante. Assim, podemos usar a equação  v2 = v0

2 + 2ad Explicitando a nesta equação, substituindo o resultado na equação 25 e reagrupando os termos, obtemos Fd =1/2 mv2 – 1/2 mv0

2 + fkd         [26] ou, como 1/2 mv2 – 1/2 mv0

2  = ΔK para o bloco. Fd = ΔK + fkd            [27] Em uma situação mais geral  (na qual, por exemplo, o bloco esteja  subindo uma rampa) pode haver uma variação da energia potencial. Para levar em conta essa possível variação generalizamos a equação 27, escrevendo Fd = ΔEmec + fkd           [28] 

Observamos experimentalmente que o bloco e a parte do piso ao longo da qual o bloco se desloca ficam mais quentes  quando  o  bloco  está  se  movendo.  Como  será  visto  posteriormente,  a  temperatura  de  um  objeto  está relacionada à  sua energia  térmica Et  (energia associada ao movimento aleatório dos átomos e moléculas do objeto). Neste  caso,  a  energia  térmica  do  bloco  e  do  piso  aumenta  porque  (1)  existe  atrito  entre  eles  e  (2)  há movimento. Lembre‐se de que o atrito é causado pelas soldas a frio entre as duas superfícies. Quando o bloco desliza sobre o piso as soldas são repetidamente rompidas e refeitas, o que aquece o bloco e o piso. Assim, o deslizamento aumenta a energia térmica Et do bloco e do piso. 

 10 

Experimentalmente, observa‐se que o aumento ΔEt da energia térmica é igual ao produto do módulo da força de atrito cinético, fk por d, o módulo do deslocamento: ΔEt  = fk d            [29] Assim, podemos reescrever a equação 28 na forma Fd = ΔEmec + ΔEt           [30] 

Fd é o  trabalho W  realizado pela  força externa F  (a energia  transferida pela  força), mas  sobre que  sistema o trabalho é realizado (onde são feitas as transferências de energia)? Para responder a esta pergunta, verificamos quais são  as  energias  que  variam.  A  energia mecânica  do  bloco  varia  e  as  energias  térmicas  do  bloco  e  do  piso  também variam. Assim, o trabalho realizado pela força F é realizado sobre o sistema bloco‐piso. Esse trabalho é dado por W = ΔEmec + ΔEt            [31] Esta equação, que está representada na figura 8b, é a definição do trabalho realizado por uma força externa sobre um sistema no qual existe atrito.  8 DIAGRAMAS DE ENERGIA  

Quando uma partícula se desloca em linha reta sob a ação de uma força conservativa, podemos inferir diversas possibilidades  de  movimentos  examinando  o  gráfico  da  função  U(x)  da  energia  potencial.  A  figura  9a  mostra  um cavaleiro de massa m que se move ao longo do eixo Ox em um trilho de ar. A mola exerce sobre o cavaleiro uma força na direção do eixo Ox dada por Fx = ‐kx. A figura 9b mostra um gráfico da energia potencial correspondente U(x) = ½ kx2. Se a força elástica da mola for a única força horizontal atuando sobre o cavaleiro, a energia mecânica total E = K + U permanecerá  constante,  não  dependendo  de  x.  Assim,  o  gráfico  de  E  em  função  de  x  é  uma  linha  reta  horizontal. Usamos o termo diagrama de energia para um gráfico como esse, que mostra tanto a função da energia potencial U(x) quanto a energia da partícula sujeita à força que corresponde a U(x). 

A distância vertical entre a curva de U e a curva de E para cada ponto do diagrama dada pela diferença E ‐ U fornece a energia cinética K nesse ponto. Note que K possui seu valor máximo para x = 0. Ele se anula para os valores de x referentes à intersecção das duas curvas, indicadas por A e ‐A no diagrama. Portanto, a velocidade v possui seu valor máximo para x = 0 e se anula para x = ± A, os pontos que, para um dado valor da energia  total E, correspondem ao deslocamento máximo possível a partir de x = 0. A energia potencial U nunca pode ser maior do que a energia total E; se isso ocorresse, K teria valor negativo, o que é impossível. Trata‐se de um movimento oscilatório entre os extremos x = A e x = ‐A. 

 FIGURA 9 (a) Um cavaleiro sobre um trilho de ar. A mola exerce uma força Fx = –kx. (b) A função da energia potencial.  

Para  cada ponto,  a  força  Fx  sobre o  cavaleiro é dada pela  inclinação da  curva U(x)  com sinal  contrário:  Fx  =  ‐dU/dx (figura 5a). Quando a partícula está em x = 0, a inclinação e a força são iguais a zero, portanto essa é uma posição de equilíbrio. Quando x é positivo, a inclinação da curva U(x) é positiva e a força Fx é negativa, orientada para a origem. Quando x é negativo, a inclinação da curva U(x) é negativa e a força Fx é positiva, orientada novamente para a origem. Essa força algumas vezes é chamada de força restauradora; quando o cavaleiro se desloca para qualquer um dos lados de x = 0, a força resultante tende a ‘restaurar’ sua posição para x = 0. Situação análoga ocorre quando uma bola de gude rola dentro de um recipiente com o fundo redondo. Dizemos que x = 0 é um ponto de equilíbrio estável. De modo geral, qualquer mínimo na curva da energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio estável. 

A  figura  10a  mostra  uma  função  da  energia  potencial  U(x)  hipotética  e  geral.  A  figura  10b  mostra  a  força correspondente Fx = ‐dU/dx. Os pontos x1 e x3 são pontos de equilíbrio estável. Em cada um desses pontos, Fx é igual a zero porque  a  inclinação da  curva U(x)  é nula. Quando a partícula  se desloca para qualquer um dos  lados,  a  força a empurra de volta para o ponto de equilíbrio. A inclinação da curva U(x) também é nula nos pontos x2 e x4, que também são  pontos  de  equilíbrio.  Contudo,  quando  a  partícula  se  desloca  um  pouco  para  a  direita  de  qualquer  um  desses 

 11 

pontos,  a  inclinação  da  curva  U(x)  torna‐se  negativa  e  a  força  correspondente  Fx  torna‐se  positiva,  empurrando  a partícula para longe do ponto de equilíbrio. Quando a partícula se desloca um pouco para a esquerda, a força Fx torna‐se negativa, empurrando novamente a partícula para longe do ponto de equilíbrio. Situação análoga ocorre quando uma bola de gude rola a partir do equilíbrio no topo de uma bola de boliche. Os pontos x2 e x4 correspondem a pontos de equilíbrio instável; qualquer máximo na curva da energia potencial corresponde a um ponto de equilíbrio instável. 

Quando a partícula possui  energia  total  E1  e está  inicialmente em  repouso próximo do ponto  x1,  ela pode  se mover  somente  na  região  entre  xa  e  xb  delimitada  pela  intersecção  entre  a  reta  E1  e  o  gráfico  de  U  (figura  10a). Novamente, U não pode ser maior do que E1 porque K não pode ter valores negativos. Dizemos que a partícula se move em um poço  de  potencial,  e  xa  e  xb  são  os  pontos  de  inversão  do movimento  da  partícula  (porque  nestes  pontos  a partícula para momentaneamente e inverte o sentido do movimento). Quando a energia total aumenta para um valor E2, a partícula pode se mover em uma região maior, entre xc e xd. Quando a energia total é maior do que E3, a partícula pode ‘escapar’ e se deslocar para valores  infinitamente grandes de x. No outro extremo, E0 representa o menor valor possível da energia total do sistema. 

 FIGURA 10 Os máximos e mínimos de uma função da energia potencial U(x) correspondem aos pontos onde Fx = 0.  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS  01 Um saco de farinha de 5,0 kg é elevado verticalmente até uma altura de 15,0 m com uma velocidade constante de 3,5 m/s.  a) Qual é o módulo da força necessária?  b) Qual é o trabalho realizado por essa força sobre o saco? Em que se transforma esse trabalho? SOLUÇÃO Aplique ΣF = ma ao saco para encontrar a força. O trabalho é dado por W = Fd cos φ. A força de elevação atua na mesma direção que o movimento do saco, portanto φ = 0°. a) Para velocidade constante, a força líquida é zero, então a força necessária é o peso do saco, P = (5,00 kg) (9,80 m/s2) = 49,0 N. b) W = (49,0 N) (15,0 m) = 735 J. Este trabalho torna‐se energia potencial.  02 A figura a seguir mostra um pedaço de 2,0 kg de queijo gorduroso que desliza por um trilho sem atrito do ponto a ao ponto b. O queijo percorre uma distância total de 2,0 m ao longo do trilho e uma distância vertical de 0,80 m.  

 12 

 Qual é o trabalho realizado sobre o queijo pela força gravitacional durante o deslocamento? SOLUÇÃO 

(1) Não podemos usar a equação (W = mgd cos) para calcular o trabalho, pois o ângulo  entre a força gravitacional Fg e  o  deslocamento  d  varia  de  ponto  para  ponto  de  forma  desconhecida.  (Mesmo  que  conhecêssemos  a  forma  da 

trajetória e pudéssemos calcular  para todos os pontos, o cálculo poderia ser muito difícil.) (2) Como Fg é uma força conservativa, podemos calcular o trabalho escolhendo outra trajetória entre a e b, uma que tome os cálculos mais simples. Vamos escolher o percurso tracejado da figura abaixo; ele é formado por dois segmentos de reta. Ao longo do segmento 

horizontal o ângulo  é constante e igual a 90°.  

 Não conhecemos o deslocamento horizontal de a para b, mas a equação  (W = mgd cos) nos diz que o  trabalho Wh 

realizado ao longo deste segmento é Wh = mgd cos 90° = 0. 

No  segmento  vertical,  o  deslocamento  d  é  0,80 m  e,  com  Fg  e  d  apontando  verticalmente  para  baixo,  o  ângulo   é constante e igual a 0°. Assim, a equação (W = mgd cos) nos fornece, para o trabalho W, realizado ao longo do trecho vertical do percurso tracejado, Wv = mgd cos 0° = (2,0 kg)(9,8 m/s2)(0,80 m)(1) = 15,7 J. O  trabalho  total  realizado  sobre o queijo por  Fg quando o queijo  se desloca do ponto a para o ponto b ao  longo  do percurso tracejado é, portanto, W = Wh + Wv = 0 + 15,7 J = 15,7 J. Este é também o trabalho realizado quando o queijo escorrega ao longo do trilho de a até b.  03 Um trabalhador de 75 kg sobe por uma escada de 7,0 m até o telhado plano de uma casa. Ele caminha 12 m sobre o telhado, desce por outra escada vertical de 7,0 m e  finalmente  caminha pelo  solo de volta ao  seu ponto de partida. Quanto trabalho a gravidade realiza sobre ele  a) enquanto ele sobe;  b) enquanto ele desce;  c) enquanto ele caminha sobre o telhado e sobre o solo?  d) Qual é o trabalho total realizado sobre ele pela gravidade no percurso completo?  e)  Com base na  resposta do  item d),  você afirmaria que a  gravidade é uma  força  conservativa ou não  conservativa? Explique. SOLUÇÃO O trabalho da força peso(gravidade) é dado por Wgrav = mg cosφ. Quando ele se move para cima, φ = 180° e quando se move para baixo, φ = 0°. Quando ele se move paralelo ao solo, φ = 90°. a) Wgrav = (75 kg) (9,80 m/s2) (7,0 m) cos180 ° = ‐5100 J. b) Wgrav = (75 kg) (9,80 m/s2) (7,0 m) cos0 ° = +5100 J. c) φ = 90 ° em cada caso e Wgrav = 0 em cada caso. d) O trabalho total realizado pela gravidade durante a viagem de ida e volta é de ‐5100 J + 5100 J = 0. e) A gravidade é uma força conservativa, uma vez que o trabalho total realizado para uma viagem de ida e volta é zero. A  força de gravidade é  independente da posição e do movimento do objeto. Quando o objeto se move para cima, a gravidade faz trabalho negativo e quando o objeto se move para baixo, a gravidade faz trabalho positivo.  04 Uma preguiça de 2,0 kg está pendurada a 5,0 m acima do solo (figura abaixo): 

 13 

 a) Qual é a energia potencial gravitacional U do sistema preguiça‐Terra se tomamos o ponto de referência y = 0 como estando (1) no do solo, (2) no piso de uma varanda que está a 3,0 m acima do solo, (3) no galho onde está a preguiça e (4) 1,0 m acima do galho? Considere a energia potencial como sendo nula em y = 0.  b) A preguiça desce da árvore. Para cada escolha do ponto de referência, qual é a variação ΔU da energia potencial do sistema preguiça‐Terra? SOLUÇÃO a) Uma vez escolhido o ponto de referência para y = 0, podemos calcular a energia potencial gravitacional U do sistema em relação a esse ponto de referência usando a relação U = mgy. No caso da opção (l),a preguiça está em y = 5,0 m e U = mgy = (2,0 kg)(9,8 m/s2)(5,0 m) = 98 J Para as outras escolhas, os valores de U são (2) U = mgy = mg(2,0 m) = 39 J, (3) U = mgy = mg(0) = 0J, (4) U = mgy = mg(‐1,0 m) = ‐ 19,6 J b) A variação da energia potencial não depende da escolha do ponto de referência, mas apenas de Δy, a variação de altura. Nas quatro situações temos o mesmo valor Δy = ‐5,0 m. Assim, para as situações (1) a (4), a relação ΔU = mg Δy nos diz que ΔU = mg Δy = (2,0 kg)(9,8 m/s2)( ‐5,0 m) = ‐ 98 J.  05  Uma  mola  armazena  energia  potencial  U0  quando  está  comprimida  em  uma  distância  x0  em  relação  ao  seu comprimento sem deformação.  a) Em termos de U0, quanta energia ela armazena quando está comprimida (i) no dobro e (ii) pela metade?  b)  Em  termos  de  x0,  em  quanto  ela  deve  estar  comprimida  a  partir  do  seu  comprimento  sem  deformação,  para armazenar (i) o dobro da energia e (ii) metade da energia? SOLUÇÃO Usaremos Uel = ½ kx

2. U0 = ½ kx0

2. Onde x é a distância que a mola é esticada ou comprimida. a) (i) com x = 2x0 teremos Uel = ½ k(2x0)

2 = 4(½ kx02) = 4U0.  (ii) x = x/2 teremos Uel = ½ k(x0/2)

2 = ¼.(½ kx02) = U0/4. 

b) (i) U = 2U0 teremos ½ kx2 = 2(½ kx02) e x = x0 2 .    (ii) U =U/2 teremos ½ kx2 = ½.(½ kx0

2) e x = x0/ 2 .  06 Na figura a seguir uma criança de massa m parte do repouso no alto de um toboágua, a uma altura h = 8,5 m acima da base do brinquedo.  

 

 14 

Supondo  que  a  presença  da  água  torna  o  atrito  desprezível,  encontre  a  velocidade  da  criança  ao  chegar  à  base  do toboágua. SOLUÇÃO (1) Não podemos calcular a velocidade da criança usando a aceleração durante o percurso, como fizemos em capítulos anteriores, porque não conhecemos a inclinação (ângulo) do toboágua. Entretanto, como a velocidade está relacionada à energia cinética talvez possamos usar o princípio da conservação da energia mecânica para calcular a velocidade da criança. Nesse caso não precisaríamos conhecer a inclinação do brinquedo.  (2) A energia mecânica é conservada em um sistema se o sistema é isolado e se as transferências de energia dentro do sistema são causadas apenas por forças conservativas. Vamos verificar. Duas  forças atuam sobre a  criança. A  força gravitacional, que é uma  força conservativa,  realiza  trabalho  sobre ela. A força  normal  exercida  pelo  toboágua  sobre  a  criança  não  realiza  trabalho,  pois  sua  direção  em  qualquer  ponto  da descida é sempre perpendicular à direção em que a criança se move. Como  a  única  força  que  realiza  trabalho  sobre  a  criança  é  a  força  gravitacional,  escolhemos  o  sistema  criança‐Terra como o nosso sistema, que podemos considerar isolado. Assim, temos apenas uma força conservativa realizando trabalho em um sistema isolado e, portanto, podemos usar o princípio de conservação da energia mecânica. Seja Emec,a a energia mecânica quando a criança está no alto do toboágua e Emec,b a energia mecânica quando a criança está na base. Nesse caso, de acordo com o princípio da conservação da energia mecânica, Emec,b = Emec,a. Explicitando os dois tipos de energia mecânica, escrevemos Kb + Ub = Ka + Ua    ½ mvb

2 + mgyb = ½ mva2 + mgya 

Dividindo a equação por m e reagrupando os termos, temos: vb

2 = va2 + 2g(ya – yb) 

Fazendo va = 0 e ya ‐ yb = h, temos vb = 13 m/s. Esta é a mesma velocidade que a criança teria se caísse verticalmente de uma altura de 8,5 m. Em um brinquedo de verdade haveria algum atrito e a criança chegaria à base com uma velocidade um pouco menor.  07 Um “bungee jumper” de 2 m de altura e 100 kg de massa pula de uma ponte usando uma “bungee cord”, de 18 m de comprimento quando não alongada, constante elástica de 200 N/m e massa  desprezível, amarrada aos seus pés. Na sua descida, a partir da superfície da ponte, a corda atinge a extensão máxima sem que ele toque nas rochas embaixo. Qual a menor distância entre a superfície da ponte e as rochas? SOLUÇÃO 

 

Seja d a distância pedida e x a máxima deformação da corda. d = 18 + x + 2,0 (em metros) d = 20 + x (em metros) Emf  =  Emi  (referencial  na  posição  mais  baixa  do  centro  de  massa  do bungee ‐ jumper): K x2/2 = m g h  200 x2/2 = 100 ∙ 10 ∙ (20 + x) x2 – 10 x – 200 = 0 Resolvendo‐se a equação: x = 20 m Logo: d = 20 + 20 (em metros)  d = 40 m  

 08 Considere a situação esquematizada na figura em que um aro circular de raio R = 50 cm e massa M = 3,0 kg, disposto verticalmente,  é  apoiado  sobre  uma  balança  graduada  em newtons.  Uma  pequena  esfera  de massa m  =  200  g  será lançada por um operador de modo a percorrer a parte  interna do aro,  sem perder o contato com a  trajetória e  sem sofrer a ação de forças de atrito. 

 15 

 No local, a influência do ar é desprezível e adota‐se g = 10 m/s2. Supondo que nos instantes em que a esfera passa no ponto A, o mais alto do aro, a balança indique zero, determine: a) a intensidade da velocidade da esfera no ponto B, o mais baixo do aro; b) a indicação da balança nos instantes da passagem da esfera no ponto B. SOLUÇÃO a) Para que a balança indique zero nos instantes em que a esfera passa no ponto A, a força de contato trocada entre ela e o aro nesse ponto deve ser vertical e de intensidade igual ao peso do aro. 

 

 FnA = Paro = M ∙ g FnA = 3,0 ∙ 10 (N)  FnA = 30 N  

Ponto A: FnA + P = Fcp 

2

AnA

mvF  mg   

R  

22AA

0,2.v30 0,2.10 v 80

0,5

 

Sistema conservativo: 2 2

B A

2

B B

mv mvmg2R

2 2

v 80 2.10.2.0,5 v 10 m/ s

 

b) Ponto B: 

 

FnB + P = Fcp 2

BnB

2

nB

nB

mvF  mg   

R

0,2.(10)F 0,2.10

0,5

F 42 N

 

A indicação da balança nos instantes da passagem da esfera no ponto B, (I), corresponde à intensidade da força vertical total transmitida ao aparelho. 

 

I = Paro + FnB I = M g + FnB I = 3,0 ∙ 10 + 42 (N) I = 72 N  

 

 16 

09 A  figura,  fora de escala, mostra um pêndulo simples abandonado à altura h do ponto mais baixo da trajetória. Na vertical que passa pelo ponto de sustentação, um pino faz o fio curvar‐se e o pêndulo passa a descrever uma trajetória circular de raio r e centro C. 

 Qual o menor valor de h para que a esfera pendular descreva uma circunferência completa? SOLUÇÃO 

 (I) No ponto B:  FcpB = P  

22BB

mvmg v gr (I)

r  

(II) Sistema conservativo: EmA = EmB   

2

B

2

B

mvm g  h  –  2 r  

2

vg h‐2gr  (II)

2

 

Substituindo (I) em (II): 

gr gh‐2gr   h 2,5r

2  

 10 Uma pequena esfera penetra com velocidade V em um tubo oco, recurvado e colocado em um plano vertical, como mostra  a  figura,  num  local  onde  a  aceleração  da  gravidade  tem módulo  igual  a g.  Supondo  que  a  esfera  percorra  a região  interior  do  tubo  sem  atrito  e  acabe  saindo  horizontalmente  pela  extremidade,  pergunta‐se:  que  distância  x, horizontal, ela percorrerá até tocar o solo? 

 SOLUÇÃO 

 17 

Emsaída = Ementrada (referencial no ponto de saída) 

2 2

Smv mvmgR /2

2 2 

2

Sv v gR          (I) 

Movimento balístico: Na vertical: MUV Δy = v0y t + αy/2 t

2  3 R/2 = g/2 t2q  

qt   3 R/g           (II) 

Na horizontal: MU Δx = vHΔt  x = vs tq                (III) Substituindo (I) e (II) em (III): 

2 3Rx v gR

g 

Do qual:  

23Rx (v gR)

g 

 11 Na figura, tem‐se um cilindro de massa 5,0 kg, dotado de um furo, tal que, acoplado à barra vertical indicada, pode deslizar  sem  atrito  ao  longo  dela.  Ligada  ao  cilindro,  existe  uma  mola  de  constante  elástica  igual  a  5,0∙102  N/m  e comprimento natural de 8,0 cm, cuja outra extremidade está fixada no ponto O. Inicialmente, o sistema encontra‐se em repouso  (posição  A)  quando  o  cilindro  é  largado,  descendo  pela  barra  e  alongando  a  mola.  Calcule  o  módulo  da velocidade do cilindro depois de ter descido 16 cm (posição B). Adote nos cálculos g = 10 m/s2. 

 SOLUÇÃO Emf = Emi mv2B/2 + K (ΔxB)

2/2 = m ∙ g ∙ hA + K (ΔxA)2/2 

5,0 v2B/2 + 5,0 ∙ 102 ∙ (0,12)2/2 = 5,0 ∙ 10 ∙ 0,16 + 5,0 ∙ 102 ∙ (0,040)2/2 

Da qual: vB = 1,4 m/s  12 Uma bolinha de gude de dimensões desprezíveis é abandonada, a partir do repouso, na borda de um hemisfério oco e passa a deslizar, sem atrito, em seu interior. 

 

 18 

Calcule o ângulo θ (expresso por uma função trigonométrica) entre o vetor‐posição da bolinha em relação ao centro C e a vertical para o qual a força resultante f sobre a bolinha é horizontal. SOLUÇÃO A componente f na direção radial ao hemisfério é a resultante centrípeta. Ver figura abaixo. sen θ = Fcp/f sen θ = m v2/R f m v2 = R ∙ f sen θ            (I) 

 Sistema conservativo: EmB = EmA m v2/2 = m g h Mas h = R cos θ; logo: m v2 = 2 m g R cos θ                 (II) Comparando (I) e (II): R f sen θ = 2 m g R cos θ f tg θ = 2 m g                            (III) 

 Donde: tg θ = f/P tg θ = f/m g Onde: f = m g tg θ                                 (IV) Substituindo (IV) em (III): m g tg θ tg θ = 2 m g tg2 θ = 2 

tg      2  

 13 Um pequeno bloco de gelo parte do repouso do ponto A da superfície hemisférica representada na figura e desce sem sofrer ação de atritos ou da resistência do ar: 

 Sendo R o raio do hemisfério, calcule a que altura h do solo o bloco perde o contato com a superfície, passando a se mover sob a ação exclusiva da gravidade g . SOLUÇÃO 

 19 

 Ponto Q: Pn = Fcp m g cos θ = m v2/R v2 = g R cos θ  v2 = g h                                         (I) EmA = EmQ (referencial no solo): m g R = m v2/2 + m g h  g R = v2/2 + g h                           (II) Substituindo (I) em (II), vem: g R = g h/2 + g h  h = 2R/3  14 Considere um trilho envergado em forma de arco de circunferência com raio igual a R instalado verticalmente, como representa a figura. No local, a aceleração da gravidade tem módulo g e a resistência do ar é desprezível. Supondo‐se conhecido o  ângulo θ,  qual deve  ser  a  intensidade da  velocidade V0  com que  se deve  lançar um pequeno objeto do ponto O, o mais baixo do trilho, para que ele possa deslizar livremente saltando da extremidade A para a extremidade B, executando assim um movimento periódico? 

  SOLUÇÃO 

 Do movimento balístico, o alcance horizontal pode ser calculado por: AB = V2

A sen 2θ/g ou AB = V2

A 2 sen θ cos θ/g                             (I) Partindo‐se do triângulo retângulo destacado, conclui‐se que: AB = 2 R sen θ                                              (II) Comparando‐se (I) e (II): V2

A 2 sen θ cos θ/g = 2 R sen θ  onde:  V2

A = g R/cos θ                                            (III) Sistema conservativo: EmO = EmA 

 20 

m V20/2 = m V2

A/2 + m g (R + R cos θ) V2

0 = V2A + 2 g R (1 + cos θ)                    (IV) 

(III) em (IV):  V2

0 = g R/cos θ + 2 g R (1 + cos θ) 

0

1V   gR     2  1   cos 

cos  

 15 Uma partícula  com carga elétrica é mantida em  repouso no ponto  x = 0, enquanto uma  segunda partícula  com a mesma carga pode mover‐se livremente ao longo do sentido positivo do eixo Ox. A energia potencial do sistema é 

CU(x)

x  

onde C é uma constante positiva que depende do módulo das cargas. Deduza em função da posição uma expressão para o componente x da força que atua sobre a carga que se move. SOLUÇÃO A energia potencial U(x) foi fornecida, e devemos encontrar a função da força Fx(x). Usaremos a relação Fx(x)= ‐dU(x)/dx. A derivada em relação a x da função 1/x é ‐1/x2. Logo, a força que atua sobre a carga que se move para x > 0 é dada por 

x 2 2

dU(x) 1 CF (x) C

dx x x

 

O componente x da força é positivo, correspondendo a uma interação repulsiva entre cargas elétricas de mesmo sinal. A energia  potencial  é  muito  elevada  quando  as  partículas  estão  próximas  (x  é  pequeno)  e  tende  a  zero  quando  as partículas  se  afastam  (x  é  grande);  a  força  empurra  a  carga móvel  para  os  valores  x mais  positivos,  para  os  quais  a energia potencial é menor. A força Fx(x) = C/x

2 torna‐se mais fraca quando as partículas se afastam (x aumenta).  16 Um disco de hóquei desliza sobre uma mesa de ar sem atrito. As coordenadas do disco são x e y. Sobre ele atua uma força conservativa oriunda de uma energia potencial dada pela função 

2 21U(x,y) k(x y )

2  

Deduza uma expressão para a força que atua sobre o disco de hóquei e ache uma expressão para o módulo da força em função da posição. SOLUÇÃO 

A  partir  da  função  U(x,y),  precisamos  encontrar  os  componentes  dos  vetores  e  o  módulo  da  força  conservativa  F

correspondente. 

Os componentes da força de U(x,y) podem ser determinados usando‐se a relação U U U

F i j kx y z

. Essa função 

não  depende  de  z,  portanto  a  derivada  parcial  de  U  em  relação  a  z  é  ∂U/∂z  =  0,  e  a  força  não  possui  nenhum 

componente de z. A seguir, determinamos o módulo da força usando a fórmula para o módulo de um vetor:  2 2x yF F F

. Os componentes de x e y da força são 

x y

U UF kx F ky

x y

 

Pela relação U U U

F i j kx y z

, o resultado anterior corresponde ao vetor 

F k(xi yj)

 

Porém,  (xi yj) é somente o vetor posição  rda partícula, de modo que podemos reescrever essa  relação do seguinte 

modo  F kr

: Essa força é contrária ao vetor posição em cada ponto, ou seja, uma força que em cada ponto é dirigida para o sentido da origem. A energia potencial é mínima na origem, de modo que novamente vemos que a força aponta no sentido da diminuição da energia potencial. O módulo da força em cada ponto é dado por 

2 2 2 2F ( kx) ( ky) k x y kr  

onde r é a distância da partícula à origem. Esse resultado é igual ao da força que atua sobre uma mola que obedece à lei de Hooke e que possui comprimento muito pequeno (em comparação com outras dimensões do problema) quando ela não está esticada. (A outra extremidade da mola está presa à origem da mesa de ar.) 

 21 

Para conferir nosso  resultado, note que a  função energia potencial  também pode ser escrita como U = ½ kr2. Escrito dessa forma, U é uma função de uma única coordenada r, de modo que podemos encontrar a força substituindo x por r na relação Fx(x)= ‐dU(x)/dx:  

2r

dU d 1F kr kr

dr dr 2

 

exatamente como calculamos acima, a força possui módulo kr; o sinal negativo indica que a força possui direção radial para dentro (no sentido da origem).  17  Os  habitantes  pré‐históricos  da  ilha  da  Páscoa  esculpiram  centenas  de  gigantescas  estátuas  de  pedra  em  uma pedreira e depois as espalharam por toda a ilha (figura abaixo).  

                A  forma  como  transportaram  essas  estátuas  por  até  10  km  sem  usar máquinas  sofisticadas  até  hoje  é motivo  para acaloradas  discussões.  Provavelmente  colocaram  as  estátuas,  uma  a  uma,  em  uma  espécie  de  trenó  de  madeira  e puxaram o  trenó por uma  "pista"  formada por  toras de madeira quase do mesmo  tamanho, que  funcionavam como roletes. Em uma reconstituição moderna dessa técnica, 25 homens conseguiram transportar uma estátua de 9000 kg, semelhante às da ilha da Páscoa, a uma distância de 45 m, em terreno plano, em 2 min. a) Estime o trabalho realizado pela força total F exercida pelos 25 homens durante o transporte da estátua e determine o sistema sobre o qual a força realizou o trabalho. b) Qual foi o aumento ΔEt da energia térmica do sistema durante o deslocamento de 45 m? c) Estime o trabalho que teria sido realizado pelos 25 homens se eles tivessem transportado a estátua por 10 km sobre um terreno plano na ilha da Páscoa. Estime também a variação total ΔEt que teria ocorrido no sistema estátua‐trenó‐ troncos‐solo. SOLUÇÃO 

a) (1) Podemos calcular o trabalho realizado usando a equação (W = Fd cos).  (2) Para determinar qual é o sistema sobre o qual a força realizou o trabalho, vamos verificar quais foram as energias que mudaram.  

Na equação acima, d é a distância percorrida, 45 m, F é o módulo da força exercida pelos 25 homens sobre a estátua e  = 0°. Vamos supor que cada homem puxou a estátua com uma força cujo módulo era igual ao dobro do seu peso, que consideraremos  como  tendo o mesmo valor mg para  todos os homens. Assim, o módulo da  força  resultante era  F = (25)(2mg) = 50mg. Estimando a massa de um homem em 80 kg, podemos escrever 

W = Fd cos  = 50mgd cos  = (50)(80 kg)(9,8 m/s2)(45 m) cos0° = 1,8.106 J Como a estátua  se moveu, houve  certamente uma mudança ΔK da energia  cinética durante o movimento. Podemos supor que houve um atrito cinético considerável entre o trenó, os troncos e o solo, o que resultou em uma variação ΔEt da energia térmica desses objetos. Assim, o sistema sobre o qual o trabalho foi realizado era formado pela estátua, o trenó, os troncos e o solo. b) Podemos relacionar ΔEt ao trabalho W realizado por F através da relação W = ΔEmec + ΔEt   para um sistema no qual existe atrito: W = ΔEmec + ΔEt O  valor  de W  foi  determinado no  item  (a).  A  variação ΔEmec  da  energia mecânica  da  estátua  foi  nula,  pois  a  estátua estava em repouso no início e no fim do deslocamento e não mudou de altura. Assim, temos:  ΔEt = W = 1,8.106 J. c) Calculamos W como em(a),mas com d = 1.104 m. Além disso, podemos igualar ΔEt a W. O resultado é o seguinte: W = ΔEt = 3,9.10

8 J  Isso mostra que a quantidade de energia transferida pelos homens durante o movimento da estátua teria sido enorme. Mesmo assim, os 25 homens poderiam ter transportado a estátua por 10 km sem recorrer a nenhuma fonte misteriosa de energia. 

 22 

18 Um operário empurra um engradado de repolhos (massa total m = 14 kg) sobre um piso de concreto com uma força horizontal  constante  F  de  módulo  40  N.  Em  um  deslocamento  retilíneo  de  módulo  d  =  0,50  m,  a  velocidade  do engradado diminui de v0 = 0,60 m/s para v = 0,20 m/s. a) Qual foi o trabalho realizado pela força F e sobre que sistema esse trabalho foi realizado? b) Qual é o aumento ΔEt da energia térmica do engradado e do piso? SOLUÇÃO a) Como a  força aplicada F é constante, podemos calcular o  trabalho  realizado pela  força usando a equação  (W = Fd 

cos). Substituindo os valores conhecidos e levando em conta o fato de que a força F e o deslocamento d apontam na mesma direção, temos: 

W = Fd cos  = (40 N)(0,50 m) cos 0° = 20 J. Para determinar o  sistema  sobre o qual o  trabalho é  realizado devemos examinar quais  são as energias que variam. Como a velocidade do engradado varia,  certamente existe uma variação ΔK da energia  cinética do engradado. Existe atrito  entre  o  piso  e  o  engradado  e,  portanto,  uma  variação  da  energia  térmica?  Observe  que  F  e  a  velocidade  do engradado apontam no mesmo sentido. Assim, se não existisse atrito F aceleraria o engradado,  fazendo a velocidade aumentar. Como a velocidade do engradado está diminuindo, deve existir atrito e uma variação ΔEt da energia térmica do engradado e do piso. Assim, o sistema sobre o qual o trabalho é realizado é o sistema engradado‐piso, porque as variações de energia ocorrem nesse sistema. b) Podemos relacionar ΔEt ao trabalho W realizado pela força F à definição de energia da relação W = ΔEmec + ΔEt  para um sistema no qual existe atrito: W = ΔEmec + ΔEt O valor de W foi calculado no item (a). Como a energia potencial não variou, a variação ΔEmec da energia mecânica do engradado é igual à variação da energia cinética, e podemos escrever: ΔEmec + ΔK = 1/2 mv2 – 1/2 mv0

2 Substituindo esta expressão na equação W = ΔEmec + ΔEt e explicitando ΔEt, obtemos ΔEt = W ‐ (1/2mv2 – 1/2mv0

2) = W – 1/2m(v2 – v02) = 20 J – 1/2(14 kg)[(0,20 m/s)2 ‐ (0,60 m/s)2] = 22,2 J 

 19 Um pêndulo de comprimento L é abandonado na posição indicada na figura e, quando passa pelo ponto mais baixo da  sua  trajetória,  tangencia  a  superfície  de  um  líquido,  perdendo  em  cada  uma  dessas  passagens  30%  da  energia cinética que possui. Após uma oscilação completa, qual será, aproximadamente, o ângulo que o fio do pêndulo fará com a vertical? 

 SOLUÇÃO EPf = 0,70 EPi – 0,30 (0,70 ∙ EPi)  EPf = 0,49 EPi m g L (1 – cos θ) = 0,49 m g L cos θ = 0,51   θ = 60°  20 Uma bola de borracha deixada cair de uma altura de 1,80 m é rebatida várias vezes pelo chão, perdendo 10% de sua energia cinética de cada vez. Depois de quantas colisões a bola não conseguirá se elevar acima de 0,90 m? SOLUÇÃO Considere o seguinte esquema: 

 

 23 

Seja K0  a energia  cinética  inicial,  K1  a energia  cinética após a primeira  rebatida, K2  a energia  cinética após a  segunda rebatida, etc., e KN a energia cinética da bola após a N‐ésima rebatida. Temos que: K1 = 0,9K0 

K2 = 0,9K1 = 0,92K0 

K3 = 0,9K2 = 0,93K0 

Logo: KN = 0,9

NK0             (1) Também pode‐se usar o trabalho da força gravitacional na subida da bola após cada rebatida para  fazer o cálculo de K1, K2, etc., KN. W = ΔK ‐mgh1 = K – K0 = 0 – K1 K1 = mgh1 Logo: K2 = mgh2 Portanto, após a N‐ésima rebatida: KN = mghN         (2) Queremos saber N tal que hN  ≤ 0,90 m. Igualando‐se (1) e (2): 0,9NK0 = mghN 

0,9Nmgh0 = mghN 

0,9N = hN/h0 

hN/h0 = 0,90/1,80 = 0,5 = 0,9N 

ln0,5 = ln0,9N N = ln0,5/ln0,9 N = 6,57... A altura h = 0,90 só deixa de ser atingida após N = 6,57 rebatidas. Logo: N = 7  21 Um bloco de massa m movendo‐se a uma velocidade v comprime uma mola através de uma distância x antes de sua velocidade ser reduzida pela metade. Encontre a constante elástica da mola. SOLUÇÃO Observe o esquema abaixo: 

 No ponto A a velocidade é v e no ponto B a velocidade é v/2. Usando EMA = EMB, teremos: 

2 2 2A B

2 2 2 2 2A B

2

2

1 1 1mv mv kx

2 2 2kx m(v v ) m(v v / 4)

3mvk

4x

 

 22 Uma extremidade da mola de comprimento natural h e constante elástica k é fixada no chão e a outra extremidade está presa a um anel de massa m onde é permitido deslizar sem atrito sobre uma haste horizontal fixada a uma altura h (figura  abaixo).  Inicialmente,  a mola  faz  um  ângulo  de  37°  com  a  vertical  quando  o  sistema  é  liberado  do  repouso. Encontre a velocidade do anel quando a mola se encontra na vertical. 

 SOLUÇÃO Considere v a velocidade quando a mola estiver na vertical. Observe o esquema abaixo: 

 24 

 Cos37° = BC/AC = 0,8 = 4/5 AC = h + x =5h/4 (pois BC = h), então x = 5h/4 – h = h/4 Aplicando o princípio da conservação da energia mecânica, teremos: 

2 21 1mv kx

2 2

h kv x k /m

4 m

 

 23 Um bloco de 2,0 kg é lançado do topo de um plano inclinado, com velocidade escalar de 5,0 m/s, conforme indica a figura. Durante a descida, atua sobre o bloco uma força de atrito constante de intensidade 7,5 N, que faz o bloco parar após deslocar‐se 10 m. Calcule a altura H, desprezando o efeito do ar e adotando g = 10 m/s2. 

 SOLUÇÃO Durante  a  descida  da  caixa,  agem  sobre  ela  as  forças  peso,  normal  N  e  a  força  de  atrito.  Dentre  elas,  são  não‐conservativas a normal N e a força de atrito. Pelo Princípio do Trabalho da Forças Não‐conservativas, teremos: Wforças não cons = EMi ‐ EMf Wfat + WN = (EPi + ECi) – (EPf + ECf) ‐fat.d + 0 = (0 + 0) – (mgH + mv2/2) ‐7,5.10 + 0 = (0 + 0) – (2.10H + 2.(5)2/2) H = 2,5 m  24 Um corpo é lançada verticalmente para cima com uma velocidade v. A que altura sua energia potencial gravitacional é cinco vezes a sua energia cinética? (g: aceleração da gravidade). SOLUÇÃO Observe o esquema abaixo: 

 Após ser lançada só atua no corpo a força gravitacional, portanto a energia mecânica se conserva. EMA = EMB  

 25 

ECA = ECB + EPB Pela condição da questão: EPB = 5ECB, então: ECA = 1/5 EPB + EPB ECA = 6/5 EPB 

2

2

1 6mv mgh

2 5

5 vh

12 g

 

 25 Um bloco de massa m = 5 kg é puxado por uma força constante F, de modo que ao passar pelos pontos A e B tem velocidade de 6 m/s e 10 m/s respectivamente. Se μ = 0,2, qual é o valor de F? 

 SOLUÇÃO Decompondo as forças como na figura abaixo, observamos que a força de atrito é dada por Fat = 0,2.40 = 8 N.  

 Então, a força resultante paralela ao plano inclinado é dada por  Fr = F ‐ 30 ‐ Fat = F ‐ 38   (1)  Onde 30 N é a componente do peso na direção do plano. Vemos que o deslocamento é d = AB = 20 m, e utilizando a relação  Fr.d = ECf ‐ ECi,       (2)    logo: (F – 38).d = ½ m(vB

2 – vA2) 

F = 54 N  26  Determine  o  trabalho  que  é  necessário  realizar  sobre  a  haste mostrada  na  figura  abaixo,  para  tira‐la  da  posição vertical até a posição indicada por θ = 53°, a haste é uniforme e homogênea de massa m = 6 kg. 

 SOLUÇÃO Considere um esquema em que o  nível  de  referência  horizontal  passa  pelo  centro de  gravidade CG da haste  na  sua posição vertical. Em tal forma, as posições do CG da haste são hA = 0 m e hB = 2 m. Considerando que o movimento de rotação  é  muito  lento,  então  a  velocidade  e,  portanto,  a  energia  cinética,  são  insignificantes.  Deste  modo,  energia mecânica é dada pela relação EM = mgh. Em seguida, utilizando o teorema do trabalho‐energia, o trabalho será dado por: W = EMf – EMi = mg (hB ‐ hA) W = 120 J 

 26 

 27 Uma prancha uniforme e homogênea de 2 m de comprimento é lançada horizontalmente sobre um piso áspero com coeficiente de atrito μ = 0,5 como indicada na figura abaixo. Se ao entrar no dito piso o extremo B da prancha tem uma velocidade vc = 5 m/s, determine o espaço percorrido pela prancha até parar por completo. 

 SOLUÇÃO Em  primeiro  lugar,  deve‐se  reconhecer  que  a  força  de  atrito  passa  por  duas  fases:  Inicialmente  varia  com  o deslocamento x, em seguida, mantém‐se constante. Fazendo o gráfico F versus x teremos: 

 Note  que  a medida  que  o  deslocamento  x  aumenta,  aumenta  o  peso  P’  da  porção  da  barra  sobre  o  piso,  a  reação normal N’ e a força de atrito Fat. Quando a prancha estiver inteiramente no piso, a força de atrito tem o valor máximo: Fat = μmg. Usando a relação W = EMf – EMi e considerando que a velocidade final é  igual a zero, a área sob a curva no gráfico F versus x nos dá o trabalho líquido, teremos: ½ [(xf ‐ L) + xf].μmg = ½ mv2  xf = 3,5 m  28 Um pequeno corpo é solto a partir de A em uma cavidade esférica sem atrito cujo raio é R = 8 m. Em seguida, entra em um plano  inclinado em B de coeficiente de atrito μ = 1/4. O Professor Gomes pede que se determine a altura do ponto C em que o corpo para. Considere θ = 37°. 

 SOLUÇÃO Considerando que a energia cinética em B é dada por: ECB = mgR = 10mR. Decompondo as forças no plano inclinado teremos: 

 Então, a força resultante paralelo ao plano inclinado será Fr = Fat + 6m = 8m, onde 6m é a componente na direção do plano do peso 10m. Reconhecendo que o deslocamento d = BC é oposto à força resultante Fr, usaremos a relação ‐Fr.d = ECC ‐ ECB (EC = 0). ‐8md = ‐ 10mR d = 5/4 R = 10 m Finalmente, aplicando Pitágoras no triângulo BHC teremos h = 6 m 

 27 

 29 Um corpo de massa m é solto do ponto A de uma calha lisa em forma de circunferência de raio R como mostrado na figura abaixo. Em que ponto B da calha, definido por θ a aceleração do referido corpo será horizontal? 

 SOLUÇÃO Considere o esquema mostrado abaixo: 

 Pela conservação da energia mecânica em A‐B ½ mvB

2 = mgRcosθ vB

2 = 2gRcosθ     (1) Pelo diagrama de forças temos:  N = mg/cosθ     (2) Em B teremos: N = mgcosθ = mvB

2/R   (3) Substituindo (1) e (2) em (3), descobrimos que mg/cosθ ‐ mgcosθ = 2mgRcosθ/R 

3cos

3  

θ = arccos3

3

 

 30 Uma pequena esfera é solta do ponto A de uma calha lisa em forma de circunferência de raio R e abandona a calha no ponto B  como  indica  a  figura  abaixo. Determine  a  altura máxima h  atingida pela  esfera  após  abandonar  a  calha. Considere que R = 8 m e θ = 60°. 

 SOLUÇÃO Observe o esquema abaixo: 

 28 

 Considerando o nível de referência passando por B e considerando a conservação da energia mecânica, teremos: EMB = EMA ½ mv2 = mg.R/2  v2 = gR  Do movimento parabólico que se inicia em B, teremos  H = v2 sen260°/2g e de v2 = gR  H = 3/8 R Finalmente: h = H + R/2  h = 7/8 R h = 7 m  31 Na figura abaixo se mostra um sistema de dois blocos  inicialmente em repouso com massas m1 e m2  tal que m1 = 3m2. Se o sistema for liberado, qual a velocidade dos blocos quando se cruzam? 

 SOLUÇÃO Reconhecendo que os blocos ao se cruzarem têm a mesma velocidade v (em módulos) e a mesma altura h em relação ao piso,  tomemos o nível de  referência no ponto em que  se  cruzam para que  toda a energia potencial  gravitacional inicial seja convertida em energia cinética. Observe o esquema abaixo: 

  Então aplicando a conservação da energia mecânica, teremos: 

 29 

½ m1v2 + ½ m2v

2 = m1g(h/2) + m2g(‐h/2) 

 1 2

1 2

m mv gh

m m

v 5 m / s

 

 32 Uma corda de massa m = 9 kg e comprimento L = 2 m, se encontra sobre uma mesa lisa com 1/3 de seu comprimento pendurado  como  mostra  a  figura  abaixo.  Determine  o  trabalho  mínimo  que  se  dever  realizar  para  colocá‐la completamente em cima da mesa. 

 SOLUÇÃO Fazendo o esquema  correspondente  ao estado  inicial  e  final  do  sistema,  traçamos o nível  de  referência no CG(2)  da porção  pendurada.  Sabemos  que  a  massa  de  qualquer  porção  da  corda  é  diretamente  proporcional  ao  seu comprimento. Então, usando a relação W = EMf ‐ EMi e considerando que o movimento aconteceu muito lentamente, de modo que a velocidade e energia cinética são zero, temos: 

 W = EMf ‐ EMi = mg(L/6) ‐ 2/3 mg(L/6) W = 1/18 mgL W = 10 J  33 Observe o sistema de corpos abaixo. Sabendo que na posição mostrada o sistema está em repouso e a mola não está deformada, determine a máxima deformação experimentada pela mola, xm, quando o sistema for liberado do repouso. Despreze a massa da polia móvel e considere m = 1 kg e k = 400 N/m. 

 SOLUÇÃO A mola atinge a sua deformação máxima no instante em que o bloco para, observa‐se também que o deslocamento da polia é xm para cima e o do bloco é 2xm para baixo, conforme mostrado na figura abaixo.  

 30 

 Agora, considerando como sistema bloco‐polia‐mola, teremos: EMf = EMi ½ kxm2 = mg(2xm) xm = 4mg/k xm = 0,1 m  34 Um bloco de massa m = 1 kg está inicialmente em repouso na posição A do plano inclinado como mostrado na figura abaixo. Uma força constante F = 10 N começa a atuar paralelo à direção do plano inclinado. Determine a velocidade do bloco quando passa pelo ponto C. Considere que há atrito apenas no trecho BC (μc = 0,8) e AB = BC = 5 m. (g = 10 m/s2). 

 SOLUÇÃO O trabalho realizado por todas as forças externas diferentes do peso é igual à variação da energia mecânica: 

 WF + WFat = EMC ‐ EMA FdAC – μmg(cos37°).dBC = mghC + ½ mvc

2 – 0 (10).(10) – (0,8).(1).(10).(4/5).(5) = (1).(10).(6) + ½ (1)vC

2 vC = 4 m/s  35  A  um bloco de massa m aplica‐se  uma  força  constante  F  =  2 mg  ao  longo do  segmento AB.  Se  o  bloco parte  do repouso da posição A, determinar sua velocidade ao passar a posição C. Não há atrito. AB = L. 

 

 31 

SOLUÇÃO O trabalho realizado pela força F é igual à variação da energia mecânica: WF = EMC ‐ EMA FdAB  = mghC + ½ mvc

2  2mgL = mg3L + ½ mvc

2 ‐gL = ½ vc

2 

Cv 2gL  

Portanto o bloco não chega a posição C.  36 Um bloco parte do  repouso em A deslizando para baixo de uma rampa e perde, entre A e B, 10% da sua energia mecânica por atrito. De B a C não há atrito. Se no ponto C de altura máxima sua velocidade é vC = 6 m/s, determine essa altura máxima H. Adote g = 10 m/s2. 

 SOLUÇÃO A energia mecânica no ponto B é de 90% da energia em A. Mas a energia mecânica nos pontos B e C são iguais: EMB = EMC. Então: 0.9 EMA = EMC  0,9mghA = mgH + ½ mvC

2 Substituir os dados que temos: 0,9.(10).(10) = (10).H + ½ (6)2  90 = 18 + 10H H = 7,2 m  37 Um bloco parte do ponto A sem velocidade inicial e desliza ao  longo do caminho mostrado na figura. Determine a distância d percorrida sobre a parte plana, sabendo que só existe atrito sobre essa superfície plana. O coeficiente de atrito cinético é de 0,5. Considere: g = 10 m/s2 e H = 2,5 m. 

 SOLUÇÃO Considere o esquema abaixo: 

 Usando o princípio da conservação da energia mecânica: EMA = EMB = mgH    (1) O trabalho realizado pela força de atrito é igual à variação da energia mecânica entre B e C: WFat = EMC ‐ EMB      (2) Substituindo (1) em (2), teremos: ‐Fat.d = 0 – mgH 

 32 

‐μmgd = ‐mgH d = H/μ d = 5 m  38 Um bloco parte de A sem velocidade inicial e desliza pelo caminho mostrado na figura (R = 1 m). A que altura h sobe o bloco, sabendo que há atrito apenas na parte plana. O coeficiente de atrito cinético é de 0,4. 

 SOLUÇÃO Considere o esquema abaixo no trecho plano: 

 Teorema  de  trabalho  e  energia  mecânica:  O  trabalho  realizado  pela  força  de  atrito  é  igual  à  variação  de  energia mecânica que experimenta o bloco. WFat = EMB ‐ EMA   WFat = EPB + ECB – EPA – ECA    WFat = mgh + 0 – mgR ‐ 0  ‐Fat.d = ‐mg(R – h)    μmgd = mg(R – h) h = R ‐ μd h = 0,2 m  39 Se tem uma partícula de massa 2 kg na posição A (1, 3) m com velocidade (0, 5) m/s. Uma força desconhecida agindo sobre a referida massa a faz ir para a posição B (3, 6) m. Na segunda posição ela tem velocidade (6, 8) m/s. Determine o trabalho da força desconhecida. Adote g = 1 0 m/s2. SOLUÇÃO A velocidade das partículas na posição A é de 5 m/s e na posição B é de 10 m/s. O deslocamento no eixo vertical é h = 3 m. O peso realiza um trabalho negativo igual a: ‐mgh. 

 Do teorema da energia cinética: O trabalho realizado por todas as forças é igual a variação da energia cinética. W = ΔEC WF ‐ mgh = ½ m(vf

2 – vi2) 

Substituindo os dados teremos: WF = 135 J  

 33 

40  O  sistema  apresentado  é  composto  de  duas  esferas  de  massa  m  e  2m  unidas  por  uma  barra  imponderável  de comprimento 2L que pode rodar em torno do seu centro O, num plano vertical. Se o sistema for deixado livre quando disposto verticalmente, qual será a velocidade máxima atingida esferas? 

 SOLUÇÃO A velocidade das esferas será máxima quando o sistema passa por sua posição de equilíbrio, ou seja, quando a esfera 2m passa pelo ponto mais baixo da sua trajetória. Observe o esquema: 

 Pelo princípio da conservação da energia mecânica: EMf = EMi 2mg2L = mg2L + ½ mv2 + ½ 2mv2  resolvendo para v teremos: 

gLv 2

3  

 EXERCÍCIOS PARA RESOLVER  01 Um halterofilista ergue uma anilha de 10,0 kg verticalmente até uma altura de 1,5 m com uma velocidade constante de 1,5 m/s.  a) Qual é o módulo da força necessária?  b) Qual é o trabalho realizado pelo halterofilista sobre a anilha? Em que se transforma esse trabalho?  02 Uma caixa de massa M começa a se deslocar a partir do repouso, no topo de uma rampa sem atrito e inclinada a um ângulo α acima da horizontal. Calcule  sua velocidade escalar na extremidade  inferior da  rampa a uma distância d do ponto de partida. Faça isso de duas formas:  a) Considere que o nível no qual a energia potencial é  igual a  zero situa‐se na extremidade  inferior da  rampa, com y positivo orientado de baixo para cima.  b) Considere o nível zero para a energia potencial no topo da rampa, com y positivo orientado de baixo para cima.  c) Por que a força normal não foi considerada na solução?  03 Você está testando uma nova montanha‐russa em um parque de diversões com um carro vazio de massa de 120 kg. Uma parte da trajetória é uma espira vertical com raio de 12,0 m. No ponto  inferior da espira  (ponto A) o carro tem velocidade escalar de 25,0 m/s, e no topo da espira (ponto B) ele tem velocidade de 8,0 m/s. Enquanto o carro desliza do ponto A para o ponto B, quanto trabalho é realizado pelo atrito?  04 Dois blocos com massas diferentes estão amarrados a cada extremidade de uma corda  leve que passa sobre uma polia leve e sem atrito, que está suspensa a partir do teto. As massas são libertadas do repouso, e a mais pesada começa 

 34 

a descer. Após essa massa descer 1,20 m, sua velocidade é 3,0 m/s. Se a massa total dos dois blocos é 15,0 kg, qual é a massa de cada bloco?  05  Em um acidente, um carro atropelou um pedestre, e em seguida o motorista pisou nos  freios para parar o carro. Durante o julgamento, o advogado do motorista alegou que ele obedecia ao limite de velocidade de 35 milhas/h, mas que a velocidade legal era alta demais para permitir que ele enxergasse o pedestre e reagisse em tempo para evitar o atropelamento.  Você  foi  convocado  como  testemunha.  Sua  investigação  do  acidente  constatou  que  as  marcas  de frenagem deixadas no  local do acidente  tinham 280 pés de comprimento e que a  freada produziu um coeficiente de atrito cinético de 0,30 com a rua.  a)  Em  seu  testemunho no  tribunal,  você afirmaria que o motorista obedecia  ao  limite  de  velocidade? Você deve  ter fortes argumentos para comprovar sua conclusão e passar pelo crivo dos advogados.  b) Se a multa por excesso de velocidade fosse de $ 10 a cada milha por hora que o motorista dirigisse acima do limite de velocidade, ele teria que pagar alguma multa? Em caso afirmativo, de quanto seria?  06 Uma bola de gude de 5,0 g é  lançada verticalmente para cima usando uma espingarda de mola. A mola deve  ser comprimida de exatamente 8,0 cm para que a bola alcance um alvo colocado 20 m acima da posição da bola de gude na mola comprimida.  a) Qual é a variação ΔUg da energia potencial gravitacional do sistema bola de gude‐Terra durante a subida de 20m?  b) Qual é a variação ΔUE da energia potencial elástica da mola durante o lançamento da bola de gude?  c) Qual é a constante elástica da mola?  07 Uma massa de 2,50 kg é empurrada contra uma mola horizontal de constante elástica 25,0 N/cm sobre uma mesa de ar sem atrito. Amola é presa ao tampo da mesa, e a massa não está presa à mola. Quando a mola foi suficientemente comprimida para armazenar 11,5 J de energia potencial, a massa é subitamente libertada do repouso.  a) Ache a maior velocidade escalar que a massa atinge. Quando isso ocorre?  b) Qual é a maior aceleração da massa e quando ela ocorre?  08 Sobre uma superfície horizontal, uma caixa com massa de 50,0 kg é colocada contra uma mola que armazena 360 J de energia. A mola é libertada, e a caixa desliza por 5,60 m antes de parar. Qual é a velocidade escalar da caixa, quando ela está a 2,0 m da sua posição inicial?  09 Uma caixa de 10,0 kg é puxada por um cabo horizontal formando um círculo sobre uma superfície horizontal áspera, para a qual o coeficiente de atrito cinético é 0,250. Calcule o trabalho realizado pelo atrito durante uma volta circular completa, considerando o raio de  a) 2,0 m e  b) 4,0 m.  c) Com base nos resultados obtidos, você afirmaria que o atrito é uma força conservativa ou não conservativa? Explique.  10 Seja k a constante de uma mola ideal que possui um bloco de massa m preso a uma de suas extremidades.  a) O bloco se move de x1 a x2, onde x2 > x1. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante esse deslocamento?  b) O bloco se move de x1 a x2 e a seguir retorna de x2 para x1. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante o deslocamento de x2 para x1? Qual o trabalho total realizado pela força da mola durante o deslocamento total x1 → x2  →x1? Explique por que você encontrou a resposta esperada.  c) O bloco se move de x1 a x3, onde x3 > x2. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante esse deslocamento? A seguir o bloco se move de x3 a x2. Qual o trabalho realizado pela força da mola durante esse deslocamento? Qual é o trabalho total realizado pela força da mola durante o deslocamento total x1 → x3  →x2? Compare essa resposta com sua resposta do item (a), notando que o ponto inicial e o ponto final nos dois casos são os mesmos, porém as trajetórias são diferentes.  11 A energia potencial entre dois átomos de hidrogênio separados por uma distância x muito grande é dada por U(x) = ‐C/x6, onde C é uma constante positiva. Qual é a força que um átomo exerce sobre o outro? Essa força é de atração ou de repulsão?  12 Uma força paralela ao eixo Ox atua sobre uma partícula que se desloca ao longo deste eixo. Essa força produz uma energia potencial dada por U(x) = αx4, onde α = 1,20 J/m4. Qual é a força (módulo, direção e sentido) quando a partícula se encontra em x = ‐0,800 m? 

 35 

13 Um objeto se desloca no plano xy submetido à ação de uma força conservativa descrita pela função energia potencial dada por U(x, y) =  α (1/x2 + 1/y2), onde α é uma constante positiva. Deduza uma expressão para a força em termos dos 

vetores unitários  ˆ ˆi e j . 

 14 Uma partícula com massa m sofre ação de uma força conservativa e se desloca ao longo de uma trajetória dada por x = x0cosω0t e y = y0senω0t, onde x0, y0 e ω0 são constantes.  a) Ache os componentes da força que atua sobre a partícula.  b) Ache a energia potencial da partícula em função de x e y. Considere U = 0 quando x = 0 e y = 0.  c) Ache a energia total da partícula quando (i) x = x0 = 0 e (ii) x = 0, y = y0.  15 A energia potencial de uma molécula diatômica (um sistema de dois átomos, como H2 ou O2) é dada por 

12 6

A BU

r r  

onde r é a distância entre os átomos da molécula e A e B são constantes positivas. Esta energia potencial está associada à força de ligação entre os dois átomos.  a) Determine a distância de equilíbrio, ou seja, a distância entre os átomos para a qual as forças a que os átomos estão submetidos é nula. A força é repulsiva ou atrativa se a distância é  b) menor e  c) maior que a distância de equilíbrio?  16 A figura mostra um gráfico da energia potencial U em função da posição x de uma partícula de 0,90 kg que pode se deslocar apenas ao longo de um eixo x. (Forças dissipativas não estão envolvidas.) Os três valores mostrados no gráfico são UA = 15,0 J, UB = 35,0 J e UC = 45,0 J. A partícula é liberada em x = 4,5 m com uma velocidade inicial de 7,0 m/s, no sentido negativo de x.  

 a) Se a partícula puder chegar ao ponto x = 1,0 m, qual  será sua velocidade nesse ponto? Se não puder, qual  será o ponto de retorno?  Quais são  b) o módulo e  c) a orientação da força experimentada pela partícula quando ela começa a se mover para a esquerda do ponto x = 4,0 m? Suponha que a partícula seja liberada no mesmo ponto e com a mesma velocidade, mas o sentido da velocidade seja o sentido positivo de x.  d) Se a partícula puder chegar ao ponto x = 7,0 m, qual  será sua velocidade nesse ponto? Se não puder, qual  será o ponto de retorno? Quais são  e) o módulo e  f) a orientação da força experimentada pela partícula quando ela começa a se mover para a direita do ponto x = 5,0 m?  17 Uma bola de gude move‐se ao longo do eixo Ox. A energia potencial é indicada na figura abaixo.  

   a) Para quais valores de x indicados no gráfico a força é igual a zero?  b) Para quais valores de x indicados no gráfico o equilíbrio é estável?  

 36 

c) Para quais valores de x indicados no gráfico o equilíbrio é instável  18 Um biscoito de mentira, deslizando em uma superfície horizontal, está preso a uma das extremidades de uma mola horizontal de  constante elástica  k = 400 N/m; a outra extremidade da mola está  fixa. O biscoito possui uma energia cinética  de  20,0  J  ao  passar  pela  posição  de  equilíbrio  da mola.  Enquanto  o  biscoito  desliza,  uma  força  de  atrito  de módulo 10,0 N age sobre ele.  a) Que distância o biscoito desliza a partir da posição de equilíbrio antes de parar momentaneamente?  b) Qual é a energia cinética do biscoito quando ele passa de volta pela posição de equilíbrio?  19 O Professor Gomes empurra um bloco de 2,0 kg  contra uma mola horizontal,  comprimindo‐a 15 cm. Em seguida, solta o bloco e a mola o faz deslizar sobre uma mesa. O bloco para depois de percorrer 75 cm a partir do ponto em que foi solto. A constante elástica da mola é 200 N/m. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa?  20 Um pacote de 4,0 kg começa a subir um plano inclinado de 30° com uma energia cinética de 128 J. Que distância ele percorre antes de parar, se o coeficiente de atrito cinético entre o pacote e o plano é 0,30?  21 Uma criança que pesa 267 N desce em um escorregador de 6,1 m que  faz um ângulo de 20° com a horizontal. O coeficiente de atrito cinético entre o escorregador e a criança é 0,10.  a) Qual é a energia transformada em energia térmica?  b) Se a criança começa a descida no alto do escorregador com uma velocidade de 0,457 m/s, qual é sua velocidade ao chegar ao chão?  22 Um pequeno objeto de massa m = 234 g desliza em um trilho que tem a parte central horizontal e as extremidades são arcos de círculo. 

  A parte horizontal mede L = 2,16 m e nas porções curvilíneas não há atrito. O objeto é solto no ponto A, situado à altura h = 1,05 m acima do trecho horizontal, no qual ele perde 688 mJ de energia mecânica, devido ao atrito. Em que ponto o objeto irá parar?  23 No tampo horizontal de uma mesa apóia‐se um sólido de massa m = 2,0 kg sujeito a uma mola  leve de constante elástica k = 200 N/m. O coeficiente de atrito dinâmico entre o móvel e a mesa é μ = 0,20. Inicialmente o móvel se situa no ponto que corresponde a esforço nulo na mola; esse ponto é adotado como origem do eixo de abscissas Ox. O móvel é deslocado para o ponto de abscissa x = 5,0 cm. É dado g = 10 m/s2.  Abandonado em repouso, o móvel desliza para a esquerda e estaciona.  Determinar a abscissa x do ponto em que o móvel estaciona.  

 24  A  figura  representa  um  bloco  de massa m  =  1,0  kg  apoiado  sobre  um  plano  inclinado  no  ponto  A.  A mola  tem constante elástica K = 10 N/m e está vinculada ao bloco. O bloco é solto da altura h = 40 cm, com a mola na vertical, sem deformação. Adotando g = 10 m/s2, determine sua velocidade ao passar pelo ponto B.  

 

 37 

 25 Um corpo de massa M igual a 2 kg é abandonado de uma certa altura de um plano inclinado e atinge uma mola ideal de constante elástica igual a 900 N/m, deformando‐a de 10 cm. Entre os pontos A e B, separados 0,50 m, existe atrito cujo coeficiente de atrito vale 0,10. As outras regiões não possuem atrito. A que distância de A o corpo M irá parar?  

  26 Uma bola de borracha de 650 gramas é largada de uma altura inicial de 2,50 m, e a cada quique ela retorna a 75 % da sua altura anterior.  a) Qual é a energia mecânica inicial da bola assim que é libertada da sua altura inicial?  b) Quanta energia mecânica a bola perde durante o seu primeiro quique? O que acontece com essa energia?  c) Quanta energia mecânica é perdida durante o segundo quique?  27 A peça de uma máquina de massa m é presa a uma mola ideal horizontal de constante elástica k e que está presa à borda de uma superfície horizontal sem atrito. A peça é empurrada contra a mola, comprimindo‐a por uma distância x0, e em seguida é libertada do repouso. Ache  a) a velocidade escalar máxima e  b) a aceleração máxima da peça.  c) Em que ponto do movimento ocorrem as máximas obtidas nos itens (a) e (b)?  d) Qual será a extensão máxima da mola? e) Descreva o movimento subsequente dessa peça. Ela vai parar permanentemente?  28 Um bloco de 3,0 kg está conectado a duas molas ideais horizontais com constantes elástica k1 = 25,0 N/cm e k2 = 20,0 N/cm  (ver  figura).  O  sistema  está  inicialmente  em  equilíbrio  sobre  uma  superfície  horizontal,  sem  atrito.  O  bloco  é empurrado 15,0 cm para a direita e libertado do repouso.  

 a) Qual é a velocidade escalar máxima do bloco? Em que ponto do movimento essa velocidade máxima ocorre?  b) Qual é a compressão máxima da mola 1?  29 Um dispositivo experimental de massa m está apoiado sobre uma mola vertical com massa desprezível e empurrado para  baixo  até  que  a mola  seja  comprimida de uma distância  x. O dispositivo  é  então  libertado e  atinge uma altura máxima h acima do ponto onde ele foi libertado. O dispositivo não está ligado à mola, e para essa altura máxima ele não está mais em contato com a mola. A aceleração máxima que o dispositivo pode suportar sem se danificar é a, onde a > g.  a) Qual deve ser a constante elástica da mola necessária?  b) Até que distância a mola é comprimida inicialmente?  30 Um bloco de 263 g é jogado sobre uma mola vertical com uma constante elástica k = 2,52 N/cm (ver figura). O bloco adere à mola que se comprime 11,8 cm antes de  ficar momentaneamente em repouso. Enquanto a mola está sendo comprimida, qual é o trabalho realizado  a) pela força da gravidade e  b) pela mola?  c) Qual era a velocidade do bloco imediatamente antes de atingir a mola?  d) Se esta velocidade inicial do bloco for dobrada, qual será a máxima compressão da mola? Despreze o atrito. 

    

 38 

31  Um  bloco  de  700  g  é  liberado  a  partir  do  repouso  de  uma  altura  h0  acima  de  uma mola  vertical  com  constante elástica k = 400 N/m e massa desprezível. O bloco se choca com a mola e para momentaneamente depois de comprimir a mola 19,0 cm. Qual é o trabalho realizado  a) pelo bloco sobre a mola e  b) pela mola sobre o bloco?  c) Qual é o valor de h0?  d) Se o bloco fosse solto de uma altura 2,00h0 acima da mola, qual seria a máxima compressão da mola?  32 Alega‐se que até 900 kg de água podem ser evaporados diariamente pelas grandes árvores. A evaporação ocorre nas folhas e para chegar lá a água tem de ser elevada desde as raízes da árvore.  a) Suponha que em média a água seja elevada de 9,20 m acima do solo; que energia deve ser fornecida?  b) Qual a potência média envolvida, se admitirmos que a evaporação ocorra durante 12 horas?  33 Uma haste delgada de comprimento L = 2,13 m e de massa desprezível pode girar em um plano vertical, apoiada num de  seus extremos. A haste é afastada de θ = 35,5° e  largada,  conforme na  figura. Qual a velocidade da bola de chumbo presa à extremidade inferior, ao passar pela posição mais baixa? 

    34 Duas crianças brincam de acertar, com uma bolinha  lançada por um revólver de brinquedo situado na mesa, uma caixinha colocada no chão a 2,20 m da borda da mesa da figura. Caio comprime a mola de 1,10 cm, mas a bolinha cai a 27,0 cm antes da caixa. De quanto deve a mola ser comprimida por Gabriel para atingir o alvo?  

  35 Um pequeno bloco de massa m escorrega ao longo de um aro como mostrado na figura. O bloco sai do repouso no ponto P.  a) Qual a força resultante que atua nele quando estiver em Q?  b) A que altura acima do fundo deve o bloco ser solto para que, ao passar na parte mais alta do círculo, esteja a ponto de desprender‐se dele? 

  36 Na figura abaixo um pequeno bloco de massa m = 0,032 kg pode deslizar em uma pista sem atrito que forma um loop de raio R = 12 cm.  

 39 

 O bloco é liberado a partir do repouso no ponto P, a uma altura h = 5,0R acima do ponto mais baixo do loop. Qual é o trabalho realizado sobre o bloco pela força gravitacional enquanto o bloco se desloca do ponto P para  a) o ponto Q e  b) o ponto mais alto do loop?  Se a energia potencial gravitacional do sistema bloco‐Terra for tomada como nula na base do loop, quanto valerá essa energia potencial quando o bloco estiver  c) no ponto P.  d) no ponto Q e  e) no topo do loop?  f) Se, em vez de ser simplesmente liberado, o bloco recebe uma velocidade inicial dirigida para baixo ao longo da pista, as respostas dos itens de (a) até (e) aumentam, diminuem ou permanecem as mesmas?  37 Um bloco com massa m = 2,00 kg é apoiado em uma mola em um plano inclinado sem atrito de ângulo θ = 30° (figura abaixo). (O bloco não está preso à mola.) A mola, de constante elástica k = 19,6 N/cm, é comprimida de 20 cm e depois liberada.  

 a) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida?  b) Qual é a variação da energia potencial gravitacional do sistema bloco‐Terra quando o bloco se move do ponto em que foi liberado até o ponto mais alto que atinge no plano inclinado?  c) Qual é a distância percorrida pelo bloco ao longo do plano inclinado até atingir esta altura máxima?  38 De um ponto S fixo em relação à Terra pende um fio suportando um sólido na extremidade livre. O comprimento do fio é L, a massa do sólido é m, a aceleração local da gravidade é g. Mediante um fio tenso horizontalmente o Professor Gomes puxa o sólido quase estáticamente até a distância x da vertical, por S. Os fios são leves, flexíveis e inextensíveis. No sólido suspenso o Professor Gomes exerce uma força horizontal F (mediante o fio de tração), e o fio de suspensão exerce uma força T. Demonstrar que na operação descrita o trabalho da força T é nulo; o trabalho da força F é igual ao do peso, com sinal trocado. Determinar o trabalho do Professor Gomes. Em particular considerar o caso em que x << L.  

  

 40 

39 Um objeto pontual de massa m desliza com velocidade inicial v, horizontal, do topo de uma esfera em repouso, de raio R. Ao escorregar pela superfície, o objeto sofre uma força de atrito de módulo constante dado por f = 7m.g/4 π. Determine o módulo de sua velocidade inicial para que o objeto se desprenda da superfície esférica após percorrer um arco de 60° (veja figura). 

  40 Uma esquiadora parte com velocidade inicial desprezível do topo de uma esfera de neve com raio muito grande e sem  atrito,  desloca‐se  diretamente  para  baixo  (ver  figura).  Em  que  ponto  ela  perde  o  contato  com  a  esfera  e  voa seguindo a direção da  tangente? Ou seja, no momento em que ela perde o contato com a esfera, qual é o ângulo a entre a vertical e a linha que liga a esquiadora ao centro da esfera de neve? 

    41 Uma haste rígida de comprimento L e massa desprezível é suspensa por uma das extremidades de tal maneira que a mesma possa oscilar sem atrito. Na outra extremidade da haste acha‐se fixado um bloco de massa m = 4,0 kg. 

 

A haste é abandonada no repouso, quando a mesma faz um ângulo θ = 60° com a vertical. Nestas condições, determine a tensão T sobre a haste, quando o bloco passa pela posição mais baixa. Adotar g = 10,0 m/s2.  42  Um bloco  de massa m  é  abandonado  sobre  o  trilho  e  desliza,  a  partir  do  ponto A,  como  representado  na  figura abaixo. 

 O coeficiente de atrito cinético entre o trilho e o bloco no trajeto retilíneo AB é μ. A seção circular que se inicia no ponto B não tem atrito. a) Qual o módulo da menor velocidade que o bloco deve ter no ponto B para que consiga passar pelo ponto C? b) Qual a altura hA para que isso ocorra? A aceleração da gravidade tem módulo g e despreza‐se o efeito do ar.  

 41 

43 O fio da figura tem comprimento L = 120 cm e a distância d ao pino fixo P é de 75,0 cm. 

 Quando  se  larga  a  bola  em  repouso  na  posição mostrada  ela  oscilará  ao  longo  do  arco  pontilhado. Qual  será  a  sua velocidade  a) quando alcançar o ponto mais baixo do movimento? b) quando alcançar o ponto mais elevado depois que o fio encostar no pino?  44 Na figura abaixo uma corrente é mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto do comprimento pendurado fora da mesa. Se a corrente tem um comprimento L = 28 cm e massa m = 0,012 kg, qual é o trabalho necessário para puxar a parte pendurada de volta para cima da mesa? 

  45 Uma corrente uniforme de comprimento 2L e massa M está situada numa tábua absolutamente lisa. Uma pequena parte da corrente foi introduzida numa abertura na tábua.  

 No momento inicial o extremo da corrente, que se encontrava sobre a tábua, estava fixo, mas depois foi  liberado e a corrente começou a mover‐se sob a ação da força da gravidade na parte da corrente que ficou pendurada fora da tábua. Determinar  a  velocidade  de  movimento  da  corrente  no  momento  em  que  o  comprimento  da  parte  pendurada  da corrente é x (x < L). Determinar, para esse mesmo momento, a aceleração da corrente e a reação do extremo da tábua.  46 Uma corrente uniforme de comprimento L e massa M encontra‐se numa mesa horizontal sem atrito com uma parte muito  pequena pendurada na borda da mesa. A  corrente  começa  a  cair  sob o  peso da parte  pendurada. Obtenha  a expressão para a velocidade da corrente no instante em que o comprimento da corrente pendurada se torna L/n onde n > 1.  47 Na figura abaixo é mostrado o  instante em que uma corrente homogênea é abandonada sobre uma mesa. Qual a velocidade do extremo A no instante em que a corrente perde contato com a mesa? 

 48 Na figura abaixo é mostrado dois blocos A e B, cada um com uma massa de 320 g conectada por um fio  leve que passa sobre uma polia ideal. A superfície horizontal na qual o bloco A pode deslizar é lisa. O bloco A está ligado a uma mola de constante elástica 40 N/m cuja outra extremidade é fixada a um suporte a 40 cm acima da superfície horizontal. 

 42 

Inicialmente, a mola está na vertical e não apresenta deformação quando o sistema é liberado para se mover. Encontre a velocidade do bloco A no instante em que perde contato com a superfície. Adote g = 10 m/s2. 

  49  Uma  corda  de  borracha  lisa  de  comprimento  l  e  de  constante  elástica  k  é  suspensa  pela  extremidade  O  (figura abaixo). A outra extremidade está equipada com um esbarro B. Um pequeno pino A de massa m começa a cair do ponto O. Desprezando as massas da corda e do esbarro, encontre o alongamento máximo da corda. 

  50 No sistema da figura, a massa do corpo 1 é n (n > 4) vezes maior que a do corpo 2. A massa da polia e dos fios, assim como o atrito, são desprezíveis. Em um certo momento, o corpo 2 é abandonado a partir do repouso e o sistema passa a se mover. Determine a máxima altura atingida pelo corpo 2 em função de n, da altura h inicial do corpo 1 e da gravidade local g. 

  51  Duas  esferas  de massa m estão  fixas  a  uma haste  rígida de massa desprezível  e  comprimento  3L  como mostra  a figura.  A  haste  está  livre  para  girar  em  torno  de  um  ponto  fixo.  O  Professor  Gomes  pede  para  você  determinar  a velocidade da esfera B ao passar pela posição mais baixa durante a rotação livre. 

 

 43 

52 Um bloco é abandonado em repouso num ponto A de um plano inclinado, conforme a figura. Os trechos inclinados AB e CD são perfeitamente lisos e o trecho horizontal BC apresenta atrito de coeficiente μ = 0,40. O Professor Gomes pede para você determinar a altura máxima que o bloco atinge no trecho CD. 

  53 Um bloco é  lançado horizontalmente com velocidade  inicial v0 em direção a uma rampa  inclinada, como mostra a figura abaixo, num local em que a gravidade vale g. Sabendo que o coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície, em todo percurso, vale μ, determine a altura máxima atingida pelo bloco ao longo da rampa, em função de v0, g, a, b, μ e d. 

  54 A figura a seguir mostra a trajetória percorrida por uma esfera que foi abandonada no ponto A a uma altura H sobre uma  superfície  inclinada.  Se  os  atritos  são  desprezíveis,  determine  H  em  função  de  R,  a  fim  de  que  a  esfera  caia exatamente no ponto C, o ponto mais baixo do trecho circular. 

  55 Uma esfera de massa m ligada a um fio é abandonada da posição A, como mostrado na figura. Determine o ângulo que o fio forma com a vertical no instante em que a aceleração é horizontal. 

  56 No dispositivo representado na figura, o atrito entre o bloco e o plano inclinado é desprezível; o bloco de massa M está preso a uma mola ideal de constante elástica k. Empurra‐se o bloco contra a mola até esta se achar comprimida em uma  distancia  d  em  relação  ao  seu  comprimento  natural.  A  seguir,  o  bloco  é  largado  a  partir  do  repouso.  Qual  a distância percorrida pelo bloco até parar pela primeira vez? A gravidade local vale g. 

 

 44 

57  No  bloco  mostrado  na  figura  abaixo  começa  a  agir  uma  força  F  que  depende  da  altura  (h),  de  acordo  com 

ˆF (20 h) j

N, em que h está em metros. Se o ar exerce uma força de resistência de módulo 2 N, qual será sua máxima 

velocidade? (g = 10 m/s2)  

  58 O bloco mostrado na figura abaixo foi abandonado em A e parou em D. Se existe atrito apenas no trecho horizontal, qual a velocidade com que ele passou em C? (g = 10 m/s2) 

  59 Na  figura abaixo,  duas pequenas esferas de 0,5  kg  cada uma,  estão  ligadas  a uma haste  rígida de 3,2 m e massa desprezível. As esferas são abandonadas dentro de uma superfície semicilíndrica de raio de 2 m. Se o atrito não é muito intenso, determine a energia dissipada devido ao atrito depois de um tempo muito longo. (g = 10 m/s2) 

  60 Na figura abaixo é mostrado um bloco de 4 kg unido a uma mola de constante elástica 8 N/cm. Se você começar a exercer uma força vertical ascendente na extremidade livre da mola, qual é o menor trabalho deve realizar para que o bloco se eleve 3 m? (g = 10 m/s2) 

  61 Na  figura abaixo são mostrados dois blocos, de mesmo material, presos a uma mola sem deformar. Um operador começa a puxar o bloco da esquerda que inicia seu movimento a partir do repouso. Qual o mínimo trabalho que deve ser realizado até o momento em que o outro bloco fica prestes a deslizar? 

  62  Uma  pequena  esfera  é  abandonada  da  posição  como mostrada  na  figura  abaixo.  Determinar  o  máximo  alcance horizontal sobre a superfície horizontal AB (desprezar todos os tipos de atrito). 

 45 

  63 Uma partícula de massa m = 2 kg é abandonada em A. Calcular a reação normal quando ele passa pela posição C na superfície da curvatura 2R. Não há atrito e g = 10 m/s2. 

  64 Uma canaleta é constituída por dois quadrantes com centros O1 e O2 de raios iguais a R como mostra a figura abaixo. Uma esfera é abandonada da posição A a uma altura h = R/5, em relação a horizontal que passa pelo ponto de  inflexão curvilínea. Desprezando todos os tipos de atrito, determinar em que a posição da segunda secção, definida pelo ângulo θ, a pequena esfera sai da superfície. 

 65 Na figura abaixo é mostrada uma esfera de 2 kg de massa descrevendo uma trajetória circular em um plano vertical. Determinar a variação do valor da força de tração do cabo, quando a esfera passa da posição P para Q. (g = 10 m/s2) 

 66  No  teto  de  um  carro  em  repouso  é  suspenso  um  pêndulo  de  2 m  de  comprimento.  Se  o  carro  repentinamente 

adquire uma aceleração constante de  a = + 10 i  m/s2, qual valor tem a máxima velocidade do pêndulo para uma pessoa 

dentro do carro? (g = 10 m/s2)  67 Na figura abaixo se mostra o momento em que se abandona uma esfera em um tubo sem atrito. Que direção tem sua velocidade quando colide com o solo? 

 46 

  68 Uma barra homogênea e uniforme está inicialmente numa posição horizontal ligada a uma mola de comprimento L = 40 cm e constante elástica k = 100N/m. Ao extremo B da barra se aplica uma força F que a coloca na posição vertical em A como indica a figura abaixo. Sabendo que a barra tem uma massa m = 4 kg, o Professor Gomes pede que se determine o trabalho realizado pela força F. 

  69 A figura a baixo mostra um sistema mecânico em equilíbrio com uma mola de constante elasticidade k = 20 N/m de extensão natural 5 m,  ligados nas suas extremidades a duas esferas de massa m = 2 kg. Quando o cabo é cortado no ponto A, qual a deformação máxima sofrida pela mola. O comprimento da corda é L = 5 m. (g = 10 m/s2) 

  70 O sistema apresentado é composto de duas esferas de massa m e M (M = 2m) unidas por uma haste imponderável de comprimento 3L que pode girar em torno do eixo O, num plano vertical. Se o sistema for deixado livre na posição vertical, qual a velocidade angular máxima que as esferas adquirem? 

  71 A figura abaixo mostra uma estrutura em forma de L de peso desprezível. Nas suas extremidades estão fixadas duas esferas  de  massa  m  cada.  Se  abandonada  da  posição  indicada,  qual  será  a  máxima  energia  cinética  adquirida  pelo sistema? A estrutura pode girar livremente em torno da rótula A. 

 47 

  72 Na figura abaixo, os blocos de massas m1 e m2 são liberados a partir da posição indicada. Mostre que a velocidade dos blocos exatamente antes que m1 colida contra o chão é: 

1/2

1 2

1 2

2gd(m m )v

(m m )

 

Desprezar a massa e o atrito da polia. 

  73 Um carrinho parado no ponto "A", é abandonado a partir de uma altura "h", do plano horizontal "DE", e atravessa os dois  planos  inclinados  "AB"  e  "BC".  Se  a  força  que  se  opõe  ao movimento,  devido  à  resistência  do  ar  e  ao  atrito,  é constante e  igual a um décimo do peso do carrinho, mostre que a altura atingida pelo  carrinho quando ela para em qualquer um dos planos inclinados após ter passado em "B" n vezes será dado por: 

n

n

2h h

3

 

  

Respostas 01 a) 100 N     b) 150 J 

02 a)  2v 2gdsen      b)  2v 2gdsen  c) a normal é perpendicular ao deslocamento e não realiza trabalho. 

03 ‐ 5400 J 04 mA = 10,4 kg e mB = 4,6 kg 05 a) não     b) sim, $150 06 a) 0,98 J     b) – 0,98 J     c) 3,1 N/cm 07 a) 3,03 m/s; quando a massa deixa a mola     b) 95,9 m/s2; logo após a massa ser libertada 08 3,04 m/s 09 a) ‐ 308 J     b) ‐ 616 J     c) não conservativa 

 48 

10 a)  2 21 2

1k(x x )

2      b)  2 2

1 2

1k(x x ); zero

2     c)  2 2

3 1

1k(x x );

2 2 2

2 3

1k(x x );

2 2 2

2 1

1k(x x ); amesma

2  

11  76C / x  

12 2,46 N na direção +x 

13 3 3

2 2F i j

x y

 

14 a) Fx = ‐mω02x, Fy = ‐mω0

2x     b) ½ mω02(x2 + y2)  c) i) ½ mω0

2(x02 + y0

2)    ii) ½ mω02(x0

2 + y02) 

15 a)1/6

eq

Ar 1,12

B

  

b)  Isso define um mínimo na curva de energia potencial  (como pode ser verificado por um gráfico ou ao tomar outra derivada e verificar que é côncava para cima neste ponto), o que significa que para valores de r ligeiramente menores do que req a inclinação da curva é negativa (então a força é positiva, repulsiva). c) E para valores de r ligeiramente maiores do que req a inclinação da curva é positiva (assim a força é negativa, atrativa). 16 a) 2,1 m/s     b) 10 N    c) na direção de x+     d) 5,7 m    e) 30 N  f) na direção de x‐ 17 a) ponto b e d     b) ponto b     c) ponto d 18 a) 0,292 m       b) 14,2 J 19 μ = 0,15 20 4,3 m  21 a) 150 J       b) 5,5 m/s 22 20 cm 23 x = ‐1 cm 24 2,1 m/s 25 0,25 m além de A 26 a) 15,9 J       b) 4 J Essa energia é convertida em energia termica.       c) 3 J 

27 a)  2 0

kv x

m       b) a = 

k

mx0  

c) Velocidade é máxima quando x = 0, Aceleração é máxima quando x = ‐x0  d) Em x = x0  e) Irá oscilar entre x = ‐x0 e x = +x0 e nunca irá parar permanentemente. 28 a) 5,81 m/s       b) 15 cm  

29 a) 2m(g a)

k2gh

      b) 

2ghx

g a

 

30 a) 0,304 J       b) ‐1,75 J     c) ‐3,32 m/s     d) ‐0,225 m 31 a) ‐7,2 J       b) ‐7,2 J     c) 0,86 m     d) 0,26 m 32 a) ‐81,2 kJ       b) 1,88 W  33 2,75 m/s 34 1,25 cm 35 a) ‐8mgi – mgj     b) h = 5R/2 36 a) 0,15 J       b) 0,11 J     c) 0,19 J     d) 0,038 J  e) 0,075 J       f) as respostas permanecem as mesmas 37 a) 39,2 J       b) 39,2 J     c) 4 m 38 Demonstração 

39 2gR

v3

 

40 48,2° 41 160 N 

42 a) Bv 5gR      b)  A

5 Rh

2 1 cotg

 

43 a) 4,85 m/s       b) 2,42 m/s  44 0,001 J 

45 2

2

gx gx Mgx(L x)v a N

2L 2L L

 

 49 

46 gL

vn

 

47 5gb

v2

 

48 v = 1,5 m/s 

49 mg 2kl

l 1 1k mg

 

50 6nh

Hn 4

 

51  B

8gLv

5  

52 H = 1 m 

53 2ov a

h d2 g a b

 

54  A

7Rh

4  

55  arctag 2  

56 2Mgsen

D 2dk

 

57 8 m/s 

58 4 5 m / s  

59 2,4 J 60 W = 121 J 

61 2

e cmín e

2 (mg)W

2 k

 

62 8 3

d r9

 

63 70 N 64 θ = 37° 65 30 N 66 v = 4,07 m/s 67 254° 68 W = 10 J 69 xmáx = 4 m 

70 4 g

3 L

 

71  cE mgL(1 2)  

72 Demonstração 73 Demonstração