Física III Curso - Licenciatura em Física – EAD

Profº. M.Sc. Marcelo O’Donnell Krause

ILHÉUS - BA

Campo Magnético

Objetivos da aula:

• Conhecer a natureza da força que um campo magnético exerce sobre uma partícula carregada em movimento;

• Compreender a diferença entre as linhas do campo elétrico e as linhas do campo magnético;

• Aprender como analisar o movimento de uma partícula carregada em um campo elétrico.

O campo magnético

Por ser uma grandeza vetorial, para encontrarmos o

módulo a direção e o sentido do campo magnético

em um ponto, consideraremos:

• Uma carga de prova na região onde exista um

campo magnético;

• Calculamos a força magnética que atua sobre a

carga.

Os resultados mostraram que:

• A força magnética 𝐹 𝑚 é proporcional à carga de prova 𝑞 e à

velocidade 𝑣 da partícula;

• O módulo e a direção da força magnética sobre a partícula de prova

dependem das direções do vetor velocidade e do vetor campo

magnético;

• Quando uma partícula desloca-se paralelamente ao campo

magnético, a força magnética sobre a carga é nula;

• Quando o campo elétrico faz um ângulo 𝜃 com o campo magnético,

a força magnética age em uma direção perpendicular ao plano

formado por 𝑣 e 𝐵 ;

• O valor da força magnética é proporcional a 𝑠𝑒𝑛 𝜃 ; a força

magnética sobre uma carga negativa tem sentido oposto à força

magnética que age sobre uma carga positiva que se desloca na

mesma direção.

O campo magnético • Desse modo podemos escrever:

𝑭𝒎 = 𝒒𝒗𝑩𝒔𝒆𝒏 𝜽

• A unidade de medida:

𝐵 =𝐹𝑚

𝑞𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃⇒ 1

𝑁𝑠2

𝐶.𝑚⇒ 1𝑇 (𝑡𝑒𝑠𝑙𝑎)

Ou ainda pode ser expressa na forma vetorial, lembrando que:

𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑏. 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑭𝒎 = 𝒒𝒗 × 𝑩

Dessa forma poderemos trabalhar em três dimensões. Além de podermos traçar

vetores de campo para esquerda e direita podemos ainda traçar para dentro ou para

fora de um plano:

B para fora da

página

X X X X X X X

X X X X X X X

X X X X X X X

B para dentro da

página

O campo magnético

Na tentativa de visualizarmos os vetores de campo magnético,

velocidade e força magnética que atuam sobre uma partícula,

usamos a regra da mão direita.

Movimento de uma partícula carregada

em um campo magnético Vamos considerar uma partícula de

massa 𝑚 carga 𝑞 em movimento, com

velocidade 𝑣 perpendicular a um

campo magnético uniforme 𝐵 , como

mostra a figura

Neste caso:

𝐹 𝑚 ⊥ 𝑣 𝑒 𝐹 𝑚 ⊥ 𝐵

A partícula executa M.C.U.

𝐹 𝐵 = 𝐹 𝐶

𝐹𝐵 = 𝑚. 𝑎𝑐

𝐹 𝐶 = 𝑚.𝑣2

𝑟

𝑞𝑣𝐵𝑠𝑒𝑛90° = 𝑚.𝑣2

𝑟

𝒓 =𝒎𝒗

𝒒𝑩

Onde r é o raio da trajetória da

partícula.

Movimento de uma partícula carregada

em um campo magnético

Caso a velocidade faça um

ângulo diferente de 90° com o campo

magnético, a trajetória será em forma

de hélice.

• A distância percorrida pela

trajetória da partícula será:

𝜟𝒔 = 𝒗∥. 𝜟𝒕

Lembrando que o vetor velocidade

tem duas componentes: 𝒗∥ e 𝒗⊥

Aplicações do movimentos de partículas

carregadas em campos magnéticos

Filtro de velocidades

• Faz com que as partículas tenham a

mesma velocidade.

• As partículas colocadas nessa região

irão sofrem ação de forças elétricas e

magnéticas

Neste caso:

𝐹𝐵 = 𝐹𝑒

𝑞𝑣𝐵 = 𝑞𝐸

𝒗 =𝑬

𝑩

Aplicações do movimentos de partículas

carregadas em campos magnéticos

Espectrômetro de massa

• Faz separação de íons de acordo com

a razão entre carga e a massa.

O raio da trajetória no interior do

espectrômetro:

𝑟 =𝑚𝑣

𝑞𝐵0

Lembrando que a velocidade das

partículas quando passa pelo filtro,

é:

𝑣 =𝐸

𝐵

𝑟 =𝑚𝑣

𝑞𝐵0⇒ 𝑟 =

𝑚𝐸

𝑞𝐵0𝐵⇒

𝒎

𝒒=

𝒓𝑩𝟎𝑩

𝑬

Aplicações do movimentos de partículas

carregadas em campos magnéticos

Cíclotrons Acelera partículas com finalidade de

bombardear núcleos para obter reações

de interesse.

• As cargas circulam dentro de duas

peças semicirculares chamada de dês.

• Quando o raio da partícula é próximo ao

raio dos dês, a partícula sai com uma

velocidade v, dada por:

𝒗 =𝒒𝑩𝒓𝑫

𝒎

Esquema de um cíclotron, que consiste de uma fonte de

íons P , que entram em duas seções ocas, chamadas

dês, onde são aceleradas através de uma diferença de

potencial alternada. As partículas são postas em

movimento circular em virtude de um campo magnético

uniforme.

Força magnética sobre um

condutor de corrente Considere as cargas em movimento uniforme com

uma velocidade de migração, 𝑣 𝑑

𝐹 𝐵 = 𝑞𝑣 𝑑 × 𝐵

O número de portadores de carga no

segmento (N) é:

𝑁 = 𝑛𝐴ℓ

Onde n é o número de carga por unidade de

volume. A força resultante sobre o fio é:

𝐹 𝐵 = 𝑁 𝑞𝑣 𝑑 × 𝐵 = 𝑛𝐴ℓ(𝑞𝑣 𝑑 × 𝐵 )

Lembrando que: 𝑖 = 𝑞𝑛𝑣𝑑𝐴 , logo:

𝐹 𝐵 = 𝑖ℓ × 𝐵

Força magnética sobre um

condutor de corrente Se o fio tiver uma forma arbitrária, como o da

figura ao lado a força magnética sobre um

elemento do fio de comprimento ds:

𝑑𝐹 𝐵 = 𝑖𝑑𝑠 × 𝐵

A força total será:

𝑭 𝑩 = 𝒊 𝒅𝒔 × 𝑩

𝒃

𝒂

Em dois pontos aleatórios a e b ao longo do

fio.

Torque sobre uma espira de corrente em

um campo magnético uniforme Considere uma espira retangular conduzindo

uma corrente i na presença de um campo

magnético uniforme, como mostra a Figura

ao lado.

• As forças magnéticas sobre os lados 1 e 3

são nulas, pois o campo magnético tem a

direção da corrente i . Desse modo, ds × B

= 0

• Porém, as forças magnéticas nos lados 2

e 4 não são nulas, pois a corrente está

orientada perpendicularmente ao campo.

O valor dessas forças é:

𝐹2 = 𝐹4 = 𝑖𝑎𝐵

Produzindo um torque sobre a espira, dado

por:

𝜏 = 𝐹2𝑏

2+ 𝐹4

𝑏

2

𝜏 = 𝑖𝑎𝑏𝐵 ⇒ 𝜏 = 𝑖𝐴𝐵

onde A é a área da espira.

Torque sobre uma espira de corrente em

um campo magnético uniforme Se o campo magnético formar um ângulo 𝜃

com o plano da espira:

𝜏 = 𝑖𝐴𝐵𝑠𝑒𝑛 𝜃 ⇒ 𝜏 = 𝑖𝐴 × 𝐵

onde A é um vetor perpendicular ao plano da

espira.

O produto 𝑖𝐴 é denominado momento de

dipolo magnético da espira:

𝜇 = 𝑖𝐴

Unidade de medida no S.I. é ampère-metro

(𝐴𝑚2). Sendo assim o torque pode ser

reescrito como:

𝜏 = 𝜇 × 𝐵

Se formado por N espiras:

𝜇 = 𝑁𝑖𝐴

Questão 1 pág. 164

𝑎) 𝑩 = 𝟎, 𝟑𝟖𝒋 T

𝑭𝒎 = 𝒒𝒗 × 𝑩

𝒗 × 𝐵 =𝑖 𝑗 𝑘

2,75 × 106 0 00 0,38 0

𝒗 × 𝐵 = 2,75 × 106𝑚/𝑠. 0,38𝑘

𝒗 × 𝐵 = 10,45 × 105𝑘 𝑚/𝑠

𝑭𝒎 = −3,64 × 10−9𝐶 .10,45 × 105𝑘 𝑚/𝑠

𝑭𝒎 = −3,80 × 10−3𝑘 𝑁

𝑏)𝑩 = (𝟎, 𝟕𝟓𝑖 + 𝟎, 𝟕𝟓𝒋 ) T

𝒗 × 𝐵 =𝑖 𝑗 𝑘

2,75 × 106 0 00,75 0,75 0

𝒗 × 𝐵 = 2,75 × 106𝑚/𝑠. 0,75𝑘

𝒗 × 𝐵 = 2,06 × 105𝑘 𝑚/𝑠

𝑭𝒎 = −3,64 × 10−9𝐶 . 2,06 × 105𝑘 𝑚/𝑠

𝑭𝒎 = −7,51 × 10−3𝑘 𝑁

𝒒 = −𝟑, 𝟔𝟒𝒏𝑪 ⇒ −𝟑, 𝟔𝟒 × 𝟏𝟎−𝟗𝑪

𝒗 = 𝟐, 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎𝟔𝒊 𝒎/𝒔

Questão 5 pág. 164

𝑎)

𝒓 =𝒎𝒗

𝒒𝑩

𝒓 =𝟗, 𝟏𝟏 × 𝟏𝟎−𝟑𝟏𝒌𝒈. 𝟏𝟎𝟕𝒎/𝒔

𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗C . 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟕𝑻

𝒓 = 𝟏𝟒𝟐 𝐦

𝑏)

𝒓 =𝒎𝒗

𝒒𝑩

𝒓 =𝟗, 𝟏𝟏 × 𝟏𝟎−𝟑𝟏𝒌𝒈. 𝟏𝟎𝟕𝒎/𝒔

𝟏, 𝟔 × 𝟏𝟎−𝟏𝟗C . 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟓𝑻

𝒓 = 𝟐, 𝟒𝟖 𝐦

𝒗 = 𝟏𝟎𝟕𝒎/𝒔

𝑩 = 𝟐, 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎−𝟕𝑻