Fluxo de Potência via Método de Newton-Raphson

Joinville, 2 de Maio de 2013

Fluxo de Potência via Método de Newton-Raphson

Visão Genérica

Escopo dos Tópicos AbordadosSolução do Fluxo de Potência via método de Newton-Raphson

2

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema do fluxo de potência é de grande importância no planejamento, projeto e operação de Sistemas Elétricos de Potência (SEP);As principais grandezas elétricas obtidas via fluxo de potência são:– Tensões, módulo e ângulo em cada barra (nó);– Potência ativa e reativa em cada linha de transmissão ou

ramo;

3

Solução do Fluxo de PotênciaConfinaremos os estudos utilizando somente:– Representação da rede na forma monofásica (sequência positiva)

(assume-se que o sistema é equilibrado e que todas as linhas de transmissão são tranpostas), geradores e cargas apresentam potência constante;

– Matriz de admitância;– Método de Newton-Raphson;

Para que o problema de fluxo de potência possa ser formulado, são necessárias informações como:– Impedâncias série e “shunt” das LTs;– Dados de transformadores: potências, impedâncias,

valores de taps;– Elementos como: capacitores, reatores, cargas, dentre

outros;4

Solução do Fluxo de PotênciaA partir da matriz de admitância, obtém-se:

– G: representa a condutância (siemens ou mho);– B: representa a susceptância (siemens ou mho);

As tensões e correntes em uma dada Barra i são dadas por:

5

Solução do Fluxo de PotênciaA potência aparente em uma Barra i pode ser obtida via:

6

Como:

Solução do Fluxo de PotênciaA potência aparente em uma Barra i pode se reescrita:

Separando as partes real e complexa, tem-se:

7

Solução do Fluxo de PotênciaSeparando a parte real – na forma retangular:

8

Separando a parte complexa – na forma retangular :

Solução do Fluxo de PotênciaDe forma alternativa, pode-se escrever também a potência na forma complexo-conjugada na forma Polar: :

9

Separando as partes reais e complexas, na forma Polar:

Solução do Fluxo de PotênciaAs equações constituem as equações do fluxo de potência e fornecem os valores a serem calculados de potência para a barra i

10

Solução do Fluxo de PotênciaComposição do balanço de potência nas barras do sistema:– Potência programada “scheduled”:

11

Balanço de potência ativa.

Balanço de potência reativa.

Solução do Fluxo de PotênciaComposição do balanço de potência nas barras do sistema:– Erros ou “mismatches” :

12

Balanço de potência ativa.

Balanço de potência reativa.

,P QΔ Δ

Solução do Fluxo de PotênciaBalanço de potência nas barras do sistema:

13

Balanço de potência ativa.

Balanço de potência reativa.

Solução do Fluxo de PotênciaBalanço de potência nas barras do sistema:– Não havendo carga ou geração na barra i, os respectivos

termos podem ser zerados

14

Cada barra do sistema possui as duas referidas equações para o balanço de potência.

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência consiste em: dadas as equações de potência ativa e reativa, com as tensões desconhecidas:

Encontre P e Q que satisfaçam as condições de contorno do balanço de potência:

15

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Quatro grandezas associadas à barra i podem ser calculadas:– P, Q, |V| e δ:

No máximo existem duas equações iguais às do balanço de potência para cada barra:

16

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Se não houver potência programada (“scheduled”) P ou Qpara a barra i, os erros ou “mismatches” não podem ser definidos e os requisitos das respectivas condições de contorno não precisam ser satisfeitos:– Se , não é necessário satisfazer:

– Se , não é necessário satisfazer:

17

, 0i schP =

, 0i schQ =

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Desta forma, é necessário conhecer quais as variáveis podem ser eliminadas do problema para barra a fim de satisfazer as equações disponíveis:– Para isto, são definidos três tipos de barras que compõem

um SEP:– Para cada barra i, duas das quatro grandezas (P, Q, |V| e δ) são especificadas e as outras duas restantes devem ser determinadas;

– As grandezas são escolhidas de acordo com os seguintes tipos de barra:

18

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barras de carga ou PQ: – Não existe geração;– As potências ativa P e reativa Q são especificadas –

conhecidas via dados históricos, previsão de carga ou medições; Comumente somente P é conhecido e estipula-se um FP de 0,85 ou maior para estimar Q;

– Conhecidos os valores de P e Q programados, as condições de contorno podem ser definidas;

– As grandezas desconhecidas (a serem determinadas) são: |V| e δ

19

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barras de tensão controlada ou PV: – Qualquer barra do sistema em que a tensão pode ser

controlada;– São as barras de geração (P é controlado pela potência da

máquina primária) e V é controlada pela tensão de excitação do gerador, por exemplo;

– Havendo carga na barra, os erros ou “mismatches” de potência podem ser estabelecidos;

– Q do gerador necessário para manter a tensão controlada na barra não pode ser conhecido de antemão, assim calcula-se somente δ e em seguida Q; 20

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barras de tensão controlada ou PV: – Após a solução do fluxo de potência, Q é determinado via

equação:

– Existem também outros tipos de barras onde a tensão pode ser controlada. Em tais barras, a potência ativa gerada é nula.

– Nas barras PV, P e V são especificados e δ é calculado no fluxo de potência. Somente depois Q é calculado. 21

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barra de folga ou de referência ou Vδ ou Slack Bus ou Swing: – Serve para “fechar” o balanço de potência, assumindo

perdas em LTs, transformadores, capacitores, reatores que compõem a rede, pois as correntes em cada LT ou ramo não são conhecidas.

22

Solução do Fluxo de PotênciaA solução do problema de Fluxo de Potência:Tipos de barra:Barra de folga ou de referência ou Vδ ou Slack Bus ou Swing: – Após convergido o problema do fluxo de potência, as

perdas são atribuídas à barra de folga do sistema;– Determina-se assim P e Q da barra de folga. Tais

grandezas são “funções dependentes” do sistema, assim como Q das barras controladas e as Perdas no sistema;

23

Resumo das equações do Fluxo de Potência:

24

Solução do Fluxo de Potência

Resolução via método de Newton-Raphson:É o mais utilizado para a solução de sistemas de equações algébricas não-lineares;Consiste em aplicar a série de Taylor, truncada no primeiro termo, no sistema de equações, a ser resolvido e por aproximações sucessivas, dado um valor arbitrário inicial, encontrar a solução do problema.

25

Solução do Fluxo de Potência

Resolução via método de Newton-Raphson:Equações a serem resolvidas:

26

Solução do Fluxo de Potência

Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 1 linearizar as equações (obter a matriz jacobiana do sistema):

Para um sistema de 4 barras:

27

Solução do Fluxo de Potência

Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 1 linearizar as equações (obter a matriz jacobiana do sistema):

Multiplica-se e divide-se pelas magnitudes das tensões para se obter um jacobiano mais simples e simétrico:

28

Solução do Fluxo de Potência

Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 1 linearizar as equações (obter a matriz jacobiana do sistema):

Para um sistema de 4 barras:

29

Solução do Fluxo de Potência

Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 2 equação para realização de aproximações sucessivas: exclui-se da barra de folga.

30

Solução do Fluxo de Potência

1 1P e QΔ Δ

Resolução via método de Newton-Raphson:Passo 3: após calculadas todas as grandezas ou variáveis de estado, calculam-se as “funções dependentes” do sistema, tais como Q das barras controladas, as Perdas no sistema e P e Q na barra de referência;

31

Solução do Fluxo de Potência

Resolução das Equações NodaisExemplo do método de Newton-Raphson – última aula:Dado a equação algébrica:

Aplique a série de Taylor, e elimine os termos de ordem superior (trunque a série):

Assuma:

Com:32

Resolução das Equações NodaisExemplo do método de Newton-Raphson:Assuma:

Dado X0, a primeira aproximação é dada por:

Realizando sucessivas aproximações:

33

Resolução das Equações NodaisExemplo do método de Newton-Raphson:Resolva:

Dado X0 =6, encontre a raíz mais próxima de X0:Passo 1:

Graficamente:

34

Método de Newton-Raphson para uma EquaçãoExemplo do método de Newton-Raphson:

Dado X0 =6, graficamente, tem-se a solução:

35

Método de Newton-Raphson para uma EquaçãoAlgoritmo no Matlab:

36

Método de Newton-Raphson para uma EquaçãoResposta no Matlab:

37