Fluxo de um campo vetorial e a Lei de Gauss Bibliografia e figuras: Sears & Zemanski, 12a ed. cap 22

• Nesta aula vamos aprender a:

• determinar a quantidade de carga no interior de uma superfície fechada examinando o vetor campo elétrico

• aprender o que é fluxo de um vetor (especificamente o vetor campo elétrico) e como calculá-lo

• Como relacionar a carga no interior de uma superfície com o fluxo do campo elétrico através dela -> Lei de Gauss

• Aplicações da Lei de Gauss

Simetrias em física

• A grosso modo, a utilização da simetria de sistemas físicos, nos ajudam a transformar problemas complicados em problemas mais simples de resolver.

• Exemplos de sistemas físicos simétricos:

• Cilindro, esfera, fios, planos

• O campo elétrico de um fio retilínio pode ser calculado por sucessivas integrações (como fizemos) ou em poucas linhas se utilizarmos a simetria do sistema.

• A lei de Gauss nos ajuda muito nestes casos onde podemos utilizar as simetrias.

Carga elétrica e fluxo elétrico

• Até agora no curso, tentamos responder à seguinte pergunta:

• Qual é o campo elétrico produzido por uma uma dada distribuição de cargas em um ponto P qualquer?

• E se ao invés desta pergunta, nos perguntarmos o seguinte:

• Se soubéssemos como é o campo elétrico em uma dada região, o que poderíamos afirmar sobre a distribuição de cargas neste região?

Como podemos determinar a quantidade de carga elétrica que existe no interior da caixa na figura (a)?

Colocando uma carga de teste q0 nas vizinhanças e mapeando o campo elétrico que atua sobre esta carga vemos que existe uma força F=q0E.

Neste caso, o mapeamento mostra que o campo elétrico é produzido por uma única carga.

Se medirmos o campo elétrico E na superfície da caixa conseguiremos determinar o conteúdo interno da caixa.

Carga elétrica e Fluxo elétrico

O fato de existir uma carga interna positiva ou negativa dentro de uma superfície fechada faz com que exista um fluxo do campo elétrico para fora (para dentro) desta superfície. E quando a carga líquida for nula dentro da superfície?

Qual a relação entre o módulo da carga elétrica e a intensidade do fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada?

Se o valor da carga q aumentar, o fluxo aumenta proporcionalmente.

Se as dimensões da superfície aumentam, o fluxo não se altera....

Cálculo do Fluxo Elétrico através de uma superfície fechada.

Seja S uma superfície fechada. O fluxo do campo elétrico através desta superfíce é definido matematicamente como:

~En̂

da

S

� =

I

S

~E · n̂da

Caso mais simplesQuando a superfície for conhecida (simétrica o suficiente) e o campo elétrico bem comportado podemos simplesmente escrever:

� = E.A

(P1-L6) Um quadrado de aresta 10cm está centrado no eixo x em uma região onde existe um campo elétrico uniforme dado por E=200kN/C na direção positiva do eixo x. a) Qual o fluxo elétrico deste campo através da superfície do quadrado se o vetor normal à superfície está também na direção positiva do eixo x? b) Qual o fluxo elétrico através da mesma superfície se o vetor normal à ela faz um ângulo de 60o com o eixo y?

Exemplos

(P3-L6) Um campo elétrico é dado por E= 200N/C na direção x (x>0) e por E=-200N/C na direção x (x<0). Uma superfície imaginária cilíndrica com comprimento igual a 20cm e raio R=5cm, tem seu centro na origem e seu eixo ao longo do eixo x, com uma extremidade em x=+10cm e a outra em x=-10cm. a) Calcule o fluxo resultante para fora desta superfície. b) Calcule a carga interna a esta superfície.

Exemplos

(P4-L6) Uma carga puntiforme q=2µC situa-se no centro de uma esfera imaginária de raio 0,5m. a) Determine a área da superfície da esfera. b) Determine o módulo do campo elétrico em todos os pontos da superfície da esfera. c) Qual o fluxo do campo elétrico devido a esta carga através da superfície da esfera? d) A resposta do ítem anterior seria diferente se a carga puntiforme fosse movimentada para algum outro ponto interno (diferente do centro) à superfície? e) Qual é o fluxo resultante através da superfície de um cubo de 1m que envolve a esfera?

A Lei de Gauss

A Lei de Gauss relaciona o fluxo líquido de um campo elétrico através de uma superfície fechada à carga líquida contida no interior desta superfície. !

Trata-se da primeira das equações de Maxwell, que unificam a eletricidade e o magnetismo. Esta equação vale somente para o vácuo (ou para aplicações práticas para o ar).

� =qint✏0I

S

~E · n̂da =qint✏0

Algumas observações

• Note que a carga interna à superfície fechada é a soma algébrica de todas as cargas contidas na superfície.

• Portanto, ela pode ser positiva, negativa ou mesmo nula.

• O sinal da carga é importante pois nos conta sobre o fluxo líquido através da superfície fechada.

• Se q > 0, o fluxo líquido sai da superfície.

• Se q < 0, o fluxo líquido entra na superfíce.

• Cargas externas à superfície, não importa o quão próximas, não estão incluídas na Lei de Gauss e portanto, não entram nos cálculos!

O que podemos dizer sobre o fluxo elétrico e a carga elétrica nas superfícies S1, S2, S3 e S4?