INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURALFORÇAS NO ESPAÇO

CONTEÚDO

• Componentes retangulares de uma força no espaço;

• Equilíbrio de uma partícula no espaço;

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA

FORÇA NO ESPAÇO

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

Considere a força F atuando na origem O do sistema de coordenadas retangulares x, y e z.

Para definir a direção de F, traçamos o plano vertical OBAC contendo F. Esse plano passa pelo

eixo vertical y; sua orientação é definida pelo ângulo ϕ que ele forma com o plano xy.

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

A direção de F no plano é definida pelo ângulo θy que F forma com o eixo y.

A força F pode ser decomposta em um componente vertical Fy e um componente horizontal Fh.

yy FF cos yh FsenF

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

Fh pode ser decomposta em dois componentes retangulares Fx e Fz ao longo dos eixos x e z. Essa

operação é feita no plano xz.

coshx FF senFF hz

cosyx FsenF senFsenF yz

A força F dada foi decomposta em três componentes retangulares Fx , Fy e Fz que estão dirigidos

ao longo dos três eixos coordenados.

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD:

222 BAOBOA

222hy FFF

222 DCODOC

222zxh FFF

222zyx FFFF

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

xx FF cos

yy FF cos zz FF cos

Os ângulos θx, θy e θz definem a direção da

força F. Os cossenos de são conhecidos como

cossenos diretores da força F.

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

Com os vetores unitários i, j e k, dirigidos respectivamente ao longo dos eixos x, y e z,

podemos expressar F na seguinte forma:

kFjFiFF zyx

xx FF cos yy FF coszz FF cos

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

O ângulo que a força F forma com um eixo deve ser medido a partir do lado positivo do eixo

e será sempre entre 0 e 180°.

Um ângulo θx menor que 90° indica que F está no mesmo lado do plano yz como o eixo x

positivo; cos θx e Fx serão positivos.

Um ângulo θx maior que 90° indica que F está no outro lado do plano yz; cos θx e Fx serão

então negativos.

kFjFiFF zyx

xx FF cos yy FF coszz FF cos

kjiFF zyx

coscoscos

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

A força F pode ser expressa como o produto escalar F pelo vetor λ:

kjiFF zyx

coscoscos

FF

kji zyx

coscoscos

λ é um vetor cuja intensidade é igual a 1 cuja

direção e sentido são os mesmos que os de F.

É chamado de vetor unitário ao longo da

linha de ação de F.

COMPONENTES RETANGULARES DE UMA FORÇA NO ESPAÇO

Os componentes do vetor unitário λ são iguais aos cossenos que orientam a linha de ação

de F:

xx cos yy coszz cos

1222 zyx

1coscoscos 222 zyx

F

Fxx cos

F

Fyy cos

F

Fzz cos

FORÇA DEFINIDA POR SUA INTENSIDADE E POR DOIS PONTOS EM SUA LINHA DE AÇÃO

Em muitas aplicações, a direção de uma força F é definida pela coordenada de dois pontos, M(x1,

y1, z1) e N(x2, y2, z2), localizados em sua linha de ação.

Considere o vetor ligando M e N e de mesmo sentido de F. Representando seus componentes

escalares por dx, dy e dz, escrevemos:

kdzjdyidxMN

FORÇA DEFINIDA POR SUA INTENSIDADE E POR DOIS PONTOS EM SUA LINHA DE AÇÃO

O vetor unitário λ ao longo da linha de ação de F pode ser obtido dividindo-se o vetor por

intensidade MN. Sendo MN igual à distância d de M a N:

kdzjdyidxdMN

MN

1 kdzjdyidxd

FFF

d

FdF x

x d

FdF y

y d

FdF z

z

222zyx dddd

d

d xx cos

d

d yy cos

d

d zz cos

Exemplo 1: um cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso em

A. A tração no cabo é 2500 N. Determine os componentes de Fx, Fy e Fz da força que atua sobre

o parafuso. Calcule os ângulos que definem a direção da força.

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

Uma partícula estará em equilíbrio se a resultante de todas as forças que atuam sobre a mesma

for zero.

0 xF 0 yF 0 zF

Para resolver problemas relacionados ao equilíbrio de uma partícula, deve-se desenhar um

diagrama de corpo livre representando a partícula em equilíbrio e todas as forças que atuam

sobre ela. Deve-se escrever as equações de equilíbrio e resolve-las para as três incógnitas.

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

Exemplo 2: um cilindro de 200 kg está pendurado por meio de dois cabos AB e AC, presos ao

topo de uma parede vertical. Uma força horizontal P perpendicular à parede segura o cilindro

na posição mostrada. Determine a intensidade de P e a tração em cada cabo.

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

Exemplo 3: uma seção de um muro de concreto pré-moldado é temporariamente segura pelos

cabos mostrados. Sabendo que a tração é 3780 N no cabo AB e 5400 N no cabo AC, determine a

intensidade e a direção da resultante das forças exercidas pelos cabos AB e AC na estaca A.

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

Exemplo 3

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

Exemplo 4: o conjunto de apoios mostrado na figura é aparafusado no local em B, C e D, e

sustenta uma força P para baixo em A. Sabendo que a força nos elementos AB, AC e AD são

dirigidas ao longo dos seus respectivos elementos e que a força no elemento AB é 146 N,

determine a intensidade de P.

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

Exemplo 5: o conjunto de apoios mostrado na figura é aparafusado no local em B, C e D, e

sustenta uma força P para baixo em A. Sabendo que a força nos elementos AB, AC e AD são

dirigidas ao longo dos seus respectivos elementos e que P = 200 N, determine as forças nos

elementos.

EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA NO ESPAÇO

Exemplo 6: três cabos são usados para amarrar

um balão. Determine a força vertical P exercida

pelo balão em A, sabendo que a tração no cabo

AB é 270N.

Exemplo 7: três cabos são usados para amarrar

um balão. Determine a força vertical P exercida

pelo balão em A, sabendo que a tração no cabo

AC é 450N.

FIM DA AULA