FORMULACIN DEL PROBLEMA DEL CONTROL PTIMO ESTOCSTICO

FORMULACIN DEL PROBLEMA DEL CONTROL PTIMO ESTOCSTICOING. DAVID SOSSA LAYMECLASE MAGISTRAL

TEORA DEL CONTROL

INTRODUCCINLa optimizacin dinmica estocstica es el estudio de sistemas dinmicos sujetos a perturbaciones aleatorias que puedan ser controladas con el objetivo de optimizar (maximizar o minimizar)algn criterio de desempeo que evoluciona en el tiempo.Surge en problemas de tomas de decisiones bajo incertidumbreEL control ptimo estocstico es una tcnica matemtica usada para resolver problemas de optimizacin de sistemas que evolucionan en el tiempo y en ambiente de incertidumbre.El problema matemtico general de optimizacin intertemporal estocstica, en tiempo continuo o discreto se compone de una funcin objetivo, definida sobre varios periodos (finitos o infinitos) sujeta a restricciones de las cuales al menos una de ellas es dinmica PROCESO ESTOCSTICOUn proceso estocstico es un concepto matemtico que sirve para caracterizar una sucesin de variables aleatorias (estocsticas) que evolucionan en funcin de otra variable, generalmente el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tiene su propia funcin de distribucin de probabilidadEjemplos dentro del amplio grupo de las series temporalesSeales de telecomunicacinSeales biomdicas (electrocardiograma, encefalograma, etc.)Seales ssmicasEl nmero de manchas solares ao tras aoEl ndice de la bolsa segundo a segundoLa evolucin de la poblacin de un municipio ao tras aoEl tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanillaEl clima es un gigantesco cmulo de procesos estocsticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, etc) que evolucionan en el espacio y en el tiempo.

Entonces el control estocstico se enfrentan a perturbaciones transitorias en los que el sistema ve modificadas sbitamente sus condiciones de funcionamiento y el objetivo es que el regulador retorne el estado a su condicin normal de equilibrio lo antes posible y procurando que el esfuerzo de control requerido no resulte excesivoAunque hay problemas que pueden formularse de esta manera, la situacin ms comn es que las perturbaciones sean aleatorias y persistentes (o al menos durante un largo periodo) tendiendo a desviar y mantener el sistema fuera de su posicin de equilibrioDependiendo del fenmeno a modelar, la dinmica del sistema se puede expresar en:Ecuaciones diferenciales.- si el sistema se estudia en un tiempo continuo.Ecuaciones en diferencia.- Si el sistema se estudia en tiempo discreto.SISTEMA ESTOCSTICO EN TIEMPO DISCRETOt: subindice que indica el tiempoN: tiempo terminalx: describe en estado del sistema en el tiempo tu: variable de control en el tiempo tW: perturbacin estocstica en el tiempo t

EJEMPLO DE UN SISTEMA DE INVENTARIOx: Cantidad de producto disponible en el principio del periodo tu: cantidad que se produce o se pide al principio del periodo tw: es la demanda del artculo durante el periodo t con distribucin de probabilidad dada.

Supongamos que en el problema se va a analizar en un periodo de N das, entonces el periodo t corresponde al t-simo da.

Tambin podemos considerar que se pierde cierta cantidad de dinero si al final de un da (t) no se vende toda su existencia, entonces este costo es una funcin del estado, digamos H(x), adems que cada artculo tiene su precio para el periodo t

FORMULACIN DEL PROBLEMAEl problema radica en minimizar costos de operacin, tomando en cuenta que x es variable aleatoria

Supongamos tambin que la capacidad del establecimiento est limitada, entonces tambin se dispondr las cantidades u, segn la funcin producida por da x, por lo tanto

FORMULACIN DEL PROBLEMA DE CONTROL PTIMOLos elementos que intervinieron en el anterior ejemplo son:

Restriccin de estadoRestriccin de controlPerturbaciones estocsticasDinmica del sistema Funcin de costo en un periodo

RESTRICCIN DE ESTADODependern del problema que se est analizando donde x pertenece al espacio X

RESTRICCIN DE CONTROLDe igual forma u tiene que pertenecer al espacio U

PERTURBACIONES ESTOCSTICASLas perturbaciones dependern de las variables x, u, siendo una funcin p(,x,u) por lo que esta no depender directamente de su espacio WDINMICA DEL SISTEMASe representar por medio de ecuaciones en diferencias:

FUNCIN DE COSTO EN UN PERIODOEs una funcin real g(t) sobre el espacio X,U,W