Formulario de Mecanica Aplicada IAno Lectivo 2005/06

Nota: Este formulario deve ser impresso numa unica folha A4.A interpretacao das formulas e responsabilidade do aluno.

• Chumaceiras axiais; atrito em discos:

M =2

3µkQ

R32 −R3

1

R22 −R2

1

• Definicao de produto de inercia utilizada neste formulario: Iij = −∫

xixj dm

• Momento de inercia em relacao a um eixo OM que passa pela origem O do referencial:

IOM = Ixxn2x + Iyyn

2y + Izzn

2z + 2Ixynxny + 2Ixznxnz + 2Iyznynz

em que ~n = (nx, ny, nz) e um vector unitario com a direccao do eixo.

• Rotacao θ do referencial no plano, de (x, y) para (x′, y′):

– Transformacao do tensor de inercia: Ix′x′

Iy′y′

Ix′y′

=

cos2 θ sin2 θ sin 2θsin2 θ cos2 θ − sin 2θ

−12sin 2θ 1

2sin 2θ cos 2θ

Ixx

Iyy

Ixy

– Rotacao θ para passar para referencial principal de inercia:

tan 2θ =2Ixy

Ixx − Iyy

– Valores maximo e mınimo dos momentos de inercia:

Imax, Imin =Ixx + Iyy

2±

√(Ixx − Iyy

2

)2

+ I2xy

• Teorema dos eixos paralelos para produtos de inercia:

– Se no referencial Oxyz a posicao da origem O′ do referencial O′x′y′z′ e ~rO′/O =(a, b, c) e a posicao do centro de massa em Oxyz e ~r = (x, y, z) entao

Ix′y′ = Ixy + m(ay + bx− ab),

Ix′z′ = Ixz + m(az + cx− ac),

Iy′z′ = Iyz + m(bz + cy − bc).

1

Rectangulo

Ix′ = 112 bh3

Iy′ = 112 b3h

Ix = 13 bh3

Iy = 13 b3h

JC = 112 bh

�b2 + h2�

TrianguloIx′ = 1

36 bh3

Ix = 112 bh3

CırculoIx = Iy = 1

4 πr4

JO = 12 πr4

Semicır-culo

Ix = Iy = 18 πr4

J0 = 14 πr4

y = 4r3π

Quartode

cırculo

Ix = Iy = 116 πr4

J0 = 18 πr4

y = 4r3π

Elipse

Ix = 14 πab3

Iy = 14 πa3b

J0 = 14 πab

�a2 + b2

�

Tabela 1: Momentos de inercia de superfıciescom formas geometricas usuais. Os produtosde inercia nao sao necessariamente nulos noseixos indicados.

Barraesbelta Iy = Iz = 1

12 mL2

Placa rec-tangular

fina

Ix = 112 m

�b2 + c2

�

Iy = 112 mc2

Iz = 112 mb2

Prismarectangu-

lar

Ix = 112 m

�b2 + c2

�

Iy = 112 m

�c2 + a2�

Iz = 112 m

�a2 + b2

�

Disco finoIx = 1

2 mr2

Iy = Iz = 14 mr2

Cilindrocircular

Ix = 12 ma2

Iy = Iz = m12

�3a2 + L2�

Conecircular

Ix = 310 ma2

Iy = Iz = 35 m

� a24 +h2�

EsferaIx = Iy = Iz = 2

5 ma2

Tabela 2: Momentos de inercia de massa de so-lidos com formas geometricas usuais. Os pro-dutos de inercia nao sao necessariamente nulosnos eixos indicados.

• Igualdade entre os sımbolos de permutacao e os deltas de Kronecker

eijkeimn = δjmδkn − δkmδjn.

2