VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL DE UM MODELO TEÓRICO

PARA CÁLCULO DE ELEVADOS GRADIENTES TÉRMICOS

EM ESTRUTURAS DE PAREDE FINA

Fonseca, E.M.M.’; Oliveira, C.A.M.2; Meio, F.Q..3

‘Prof. Adjunta, 2Prof. Associado, ‘Prof. Auxiliar‘Escola Superior de Tecnologia e de Gestão de Bragança do IPB

2”Depento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial da FEUP

É apresentada uma formulação baseada no método dos elementos finitos para modelação deestruturas de parede fina para cálculo de temperaturas ao longo da espessura. Com base nateoria de condução de calor em corpos sólidos, foi possível desenvolver uma metodologia decálculo simpltficada para situações deste género. Pretende-se ainda validar o modelo teóricodesenvolvido através da execução de ensaios como será demonstrado.

1-INTRODUÇÃO

É frequente a exposição de elementosestruturais a solicitações térmicasagressivas, quer climáticas quer devidas aelevadas temperaturas de funcionamento oumesmo à ocorrência de incêndios eminstalações. E importante o conhecimentoprévio do campo de temperaturas a que umdado elemento estrutural possa estar sujeito,de forma a minimizar ou prevenir possíveissituações de risco.

Pretende-se desenvolver um modeloteórico com base no método de elementosfinitos, utilizando elementos sólidos eplanos, capaz de modelar qualquer tipo deestrutura de parede fina, para obtenção decampos de temperaturas. Considera-seassim a análise e cálculo da distribuição datemperatura num corpo sólido através dasleis gerais da transmissão de calor, porcondução, convecção e radiação. Formula-se a equação de calor, suas condiçõesiniciais e de fronteira, usando o método dosresíduos pesados.

Finalmente apresentam-se os resultadosobtidos com o programa desenvolvido,através de uma análise não-linear emregime transiente e comparam-se essesresultados com os obtidosexperimentalmente num modelo real emestudo.

2 - APLICAÇÃO DO MÉTODO DOSELEMENTOS FINITOS À EQUAÇÃODE CONDUÇÃO DE CALOR

A equação básica que governa atransferência de calor através de um sólido,para um material isotrópico é dada por:

a ( ao a f ao ‘ a f ao • ao ‘-i—1 t— I+—I 2— I+—I — I+Q=pc —

aayay)azaz) 9t

onde: - é a quantidade de calor geradointernamente por unidade de volume etempo; p - a densidade; c - o calorespecífico e - a condutividade térmica.

RESUMO

41

A equação diferencial da condução docalor (1) tem que satisfazer às condiçõesiniciais e de fronteira do problema.

Para domínios axissimétricos em regimetransitório, a mesma equação define-se por:

iaf ao aí ao——1 rt— I+—I — I+Q=pc,—r ar ar) az az) / at

sendo: r — a coordenada radial e z - acoordenada axial.

O método dos resíduos pesados permitepassar da forma diferencial das equações àsua forma integral. A aplicação do métododos elementos finitos permite obter umsistema global de equações, com a seguinteforma:

Ke+C9 = E

Para elementos sólidos ou planos arepresentação dos elementos das matrizesK, C e vector F, no domínio cartesiano, éfunção de:

K, =f (4.a)

+ IÀ’1k’’C’I

C = Jpc,,N,N,dxdydzc=I f2’

= JNI QcIxdydz_fN,7dÇ+

Para elementos axissimétricos, no domínioaxissimétrico, os termos da equação (3)representam-se na forma:

K11

+SN1Nk,rdr;

C = 27rfpc,,N1NrUrdz

F,

+ foAr,rír

com: E — o número total de elementos; n —

o número de elementos com fronteira dotipo T1, e p - o número de elementos comfronteira do tipo Tq.

O campo de temperaturas nodais 8, nocaso de um elemento estrutural de parede

(2) fina, é obtido no plano médio do elemento,para qualquer instante de tempo, t.Admitiu-se que, o fluxo de calor existe nadirecção perpendicular ao plano doelemento, desprezando o fluxo em qualquerdirecção ao longo desse plano, por seconsiderar o modelo de parede fina. Astemperaturas nas superfícies que delimitamessa parede fina são obtidas em função dasequações a seguir apresentadas, função dasvárias condições de fronteira possíveis,

(3 figura 1. Para tal admitiu-se que a variação“ -‘ do campo de temperaturas ao longo da

espessura é linear, considerando a taxa detransferência de calor por unidade de áreaproporcional ao gradiente da temperatura.

esp

Radiação

r Fluxo de calor presci ito = q

Temperatura prescrita =

(4 b) — Consecçto

6int O6su

q qesp esp 1

(4.c)

Fig. 1 - Trocas de calor no elemento de parede fina.

No caso de condições fronteira do tipoconvectivo e/ou radiactivo, o cálculo docampo de temperaturas’ na superficiesuperior é obtida em função da seguinteexpressão:

t 22iO’

=

O+](6)

esp)

sendo: h1. — o coeficiente de convecçãoe/ou radiação; O - temperatura no planomédio; °a - a temperatura ambiente; Â - acondutividade térmica e esp — a espessurado elemento estrutural.

Se a condição imposta for um campo detemperaturas prescritas, então a

(5 .a)

(5.b)

(5.c)

42

temperatura na superfície exterior é funçãounicamente do valor prescrito:

0sup °prescrita (7)

No caso de se impor um fluxo de calor

q, o cálculo da temperatura será como

enunciado na equaçãó:

e22

Partindo• de uma variação linear entre assuperfícies externas, ao longo da espessura,o campo de temperaturas na superfícieinferior é determinado com base na seguinteequação:

°ínf = 20 —

2.1 - Imposição de condïções fronteiranuma das faces do elemento

Para imposição de condições fronteiranuma das faces do elemento, o termo daequação (4.c), é representado através docálculo do vector carregamento térmico,para o caso de modelação sólida oumodelação de estruturas planas finas (l0.a)Para estruturas axissimétricas o termo daequação (5.c) é desenvolvido através daequação (10.5).

= _f 1\Ti1Fq ÷ f kr6.Njhlfcr =

+1+1

= _JJN1J (,j)(e) ddri+ (l0.a)

+1+1

+ =

= +

pl q=1

+p1 q=1

= f Njqdfq + f hcr0.,NidIcr =

+

+2SNihrc0J()(e)Xd =

+

+

3- EXEMPLOS DE APLICAÇÃO

Através de exemplos numéricospretende-se testar o desempenho do modelodesenvolvido comparando-o comresultados experimentais.

Modelou-se por elementos finitos umaplaca em aço através de elementos sólidostridimensionais e planos, impondo-se a

(8) presença de calor numa das faces da placa,sendo a outra devidamente isolada.Modelou-se ainda por elementos finitos umtubo em aço através de elementos sólidostridimensionais, planos, bidirnensionaisaxissimétricos e unidimensionaisaxissimétricos, sendo aquecidoexternamente e isolado no seu interior.

A evolução da temperatura ambientesegue uma variação linear no tempo,função da taxa de aquecimento impostapelo sistema experimental a ser usado,equação (11).

0=2O+O.25xt (11)

As propriedades do material variam coma temperatura conforme equações propostasno Eurocódigo3. Efectuou-se um estudo emregime transiente não-linear de forma aobter um campo de temperaturas até uminstante final de 3600 segundos, paraambos os casos. Os resultados obtidos sãoevidenciados em forma de gráficos ecomparados com os obtidosexperimentalmente.

3.1—Placa: caso 1

A figura 2 representa. a geometria domodelo para a placa de aço. A placa numadas suas faces está sujeita a condições defronteira de convecção e radiação, sendoisolada na outra face. Este modelo édiscretizado por elementos finitos eutilizado no programa desenvolvido.

À Àf 1

- 4 _-.4

3O-

14_____.__._Q_.__

Fig. 2 — Geometria da placa e respectivas condiçõesde fronteira.

(9)

(10.b)

43

As figuras seguintes pretendem mostraralgumas das fases de realização do ensaiopara o modelo experimental. Foramaquecidas duas placas de aço através dacolocação de resistências eléctricas numadas suas faces, figura 3. As placas foramdevidamente isoladas conforme se observana figura 4.

- r ‘7T..1

T, I. T T T t r ir t i t t rt

Fig. 3 Preparação do ensaio: colocação de resistências eléctricas.

Fig. 4 — Preparação do ensaio: colocação da mantade isolamento.

Para obtenção e leitura dos resultadosexperimentais foram colocados quatrotermopares de forma a medir a temperaturaem pontos distintos da superfície superior einferior das placas, figuras 5 e 6.

400 800 8200 1600 2000 2400 2100 3200 3100

fig. 7— Campo de temperaturas obtido na superfíciesuperior: resultados numéricos e experimentais.

O gráfico da figura 8 representa aevolução da temperatura na superfíciemédia, com base unicamente nos dadosnuméricos.

100

o400 800 1200 8600 2000 2400 2100 3200 3600

Tp []0Plno

Fig. 8 — Campo de temperaturas obtido na superfíciemédia do modelo numérico.

fig. 5 - Resultados experimentais ao longo doensaio.

Os gráficos que a seguir seapresentam evidenciam a evolução docampo de temperaturas obtido nassuperfícies exteriores da placa. O gráfico dafigura 7 representa a evolução datemperatura na superfície que é aquecida,com base nos dados numéricos eexperimentais.

600

500

400

(00

r f.]

t.3D OP1. DE7

Fig. 9— Campo de temperaturas obtido na superfícieinferior do modelo: resultados numéricos eexperimentais.

O erro numérico obtido pela equação(12), determinado com a formulação doelemento plano em função dos resultadosobtidos com o modelo sólido, representa-seno gráfico da figura 10, em cada superfíciede leitura na placa.

A figura 9 representa a evolução datemperatura na superfície isolada, com basenos dados numéricos e experimentais.

Fig. 6— Instante final.

o 400 800 1200 (600 2000 2400 2800 3200 3600

44

Fig. 10 — Erro numérico obtido do campo de temperaturas em relação ao modelo sólido.

O gráfico da figura 11 permite verificar a

variação da temperatura entre as superfícies

externas da placa, tanto para o modelo real

como para o modelo numérico. Apesar da

tendência verificada na aproximação dos

valores experimentais aos numéricos,

verifica-se que num período de tempo

inicial essa discrepância é maior. Uma das

possíveis causas pode estar relacionada com

o facto de que à medida que a placa aquece

terá um diferencial de temperaturas maisuniforme conduzindo a uma variação

térmica mais próxima da obtida

numericamente.

11

20

15

10

400 800 1200 1000 2000 2400 2800 3200 3600

Tempo 7.)

3D oPteno

Fig. 11 — Variação da temperatura na espessura paracada modelo em estudo: numérico eexperimental. -

Os resultados apresentados nas figuras

seguintes foram obtidos para um instante de

tempo de 3600 segundos, usando umprograma de pós-processamento

desenvolvido para o efeito, de forma a

permitir verificar o gradiente térmico tanto

na modelação sólida como plana.

A figura 12 representa o modelo sólido

em estudo.

As figuras 13, 14 e 15 representam a

distribuição do campo de temperaturas nas

superfícies superior, média e inferior do

modelo plano, respectivamente.

3.2 — Tubo: caso 2

1•

1E-E

A figura 16 representa a geometria do

tubo de aço e respectivas condições

fronteira de convecção e radiação, a ser

utilizado no programa de elementos finitos.

O tubo é isolado internamente.

102D 83D1erro =

03D

(12)

ISO%

2.00%

L3O%

.00%

O 400 800 1200 £600 2000 2460 2800 3200 3600

T.poo [.7

OS_mpmim_Plem Sm&On_Pt..o o Se infuim Piem

Fig. 12 — Resultado numérico das temperaturas parao elemento sólido, t=o3600[s].

o

/

Fig. 13 — Resultado numérico das temperaturas parao elemento plano na superfície exterior,t=3600[sJ.

Fig. 14— Resultado numérico das temperaturas parao elemento plano na superfície média,t=3600[sJ.

45

‘A 0165À

1 0161*

L.:

vv

EE

8Ø2

Fig. 19 — Resultados experimentais ao longo doensaio.

A figura 20 evidencia o instante final deaquecimento.

Fig. 16 — Geometria do tubo e respectivas condiçõesde fronteira.

O mesmo tipo de ensaio será repetidopara duas estruturas tubulares de aço,conforme se pode identificar pelas figurasseguintes. Os resultados experimentais sãocomparados com os obtidos numericamenteem elementos sólido, plano, bidimensionalaxissimétrico e unidimensional axissimétrico. Os tubos foram isolados internamente, tendo sido envolvidos externamentepor resistências eléctricas de forma aefectuar o aquecimento simultâneo euniforme em toda a sua extensão, figura 17.

Fig. 17 — Preparação do ensaio: colocação deresistências eléctricas e isolamento nointerior do tubo.

Foram colocados quatro termoparespara obtenção da leitura dentro e fora dostubos, figuras 18 e 19.

Os gráficos que a seguir se apresentamevidenciãm a evolução do campo detemperaturas obtido nas superfícies dotubo. O gráfico da figura 21 representa aevolução da temperatura na superfície queé aquecida, com base nos dados numéricose experimentais.

1400 000 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3000

Tap, [J

•3D DPLA0q0AJCUNDB00J

Fig. 21 — Campo de temperaturas obtido na superfície exterior: resultados numéricos eexperimentais.

Fig. 15 — Resultado numérico das temperaturas parao elemento plano na superfície interior,t=3600[s].

Fig. 18 — Preparação do ensaio: colocação da mantade isolamento e termopares.

Fig. 20 — Instante final.

-0.-.-

46

0 400 800 1200 1600 2000 2400 2006 3200 3600

T681p0 [8)

Fig. 22 — Campo de temperaturas obtido nasuperfície média do modelo numérico.

A figura 23 representa a evolução da

temperatura na superfície interior do tuboisolada, com base nos dados numéricos eexperimentais.

1000 —

900

o 400 800 8200 1600 2000 2400 2800 3200 3600

Tpo [8)

ØPL0340 OMG 033600 DE8p

Fig. 23 — Campo de temperaturas na superfícieinterior do modelo: resultadosnuméricos e experimentais.

Para se verificar o erro numéricoconforme a equação (12), função dosresultados obtidos com o modelo plano eunidimensional, em cada superfície deleitura no tubo, foi feita a comparação como elemento sólido, figura 24.

3.40%

2j03

Fig. 27 — Resultado numérico das temperaturas para oelemento plano na superfície média,t=3600[s].

O gráfico da figura 22 representa aevolução da temperatura na superfíciemédia, com base nos dados numéricos.

00

A variação de temperatura neste modeloentre as superfícies externas e internas nãoé tão significativa, como se pode concluirdos gráficos apresentados anteriormente.

Os resultados das figuras 25 a 28 foramobtidos também para um instante de tempode 3600 segundos, usando o mesmoprograma de pós-processamento.

iEEE

Fig. 25 — Resultado numérico das temperaturas parao elemento sólido, t=3600[s].

-

á88E.99888.

Fig. 26 — Resultado numérico das temperaturas parao elemento axissimétrico, t=3600[s].

2.00%

3.50%

3.00%

0.50%

88I.85I8I8

-EEE

Fig.

O 400 800 230 600 2000 2400 2000 3200 3600

Tp [81

L_0000P.

24 — Erro numérico obtido do campo detemperaturas em relação ao modelosólido.

47

REFERÊNCIAS

Fig. 28 — Resultado numérico das temperaturas parao elemento unidimensional, t=3600[sJ.

4- CONCLUSÕES

Foram efectuados ensaios emmodelos reais para obtenção de campos detemperaturas. Os mesmos modelos, nasmesmas condições, foram utilizados numprograma de elementos finitosdesenvolvido. Os resultados numéricosobtidos são comparáveis com os obtidosexperimentalmente. De salientar autilização de vários tipos de elementosfinitos, mostrando um elevado desempenhonos vários resultados obtidos.

O modelo de cálculo matemático paraobtenção do gradiente de temperaturas emelementos estruturais de parede fina,mostrou-se eficiente como se pode verificarno erro numérico obtido com a formulaçãotridimensional. Tendo em consideração ahipótese de desprezar o ftux de calor emqualquer direcção ao longo do plano doelemento de parede fina, será de esperar quea obtenção do campo de temperaturas seaproxime do valor real para espessuras deelementos mais finos. Esta situaçãoverifica-se através do cálculo do erronumérico nos casos em estudo.

Ficou ainda demonstrado que existeum gradiente térmico ao longo da espessurade elementos estruturais de parede fina,possível de quantificar.

Fonseca, E.M.M., Program FEMSEF “FiniteElement Modeliing for $tructures Exposedto Fire” - User’ s Manual, V2, E$TIG,Bragança, 2001

Ugural, A.C., Stresses in Piates and Shells,McGrawlHill, mc., 1981

Jawad, M.H., Theory and Design of Plate andSheli Structures, Chapman & Hail, 1994

Rügge, W., Stresses in Shefls, Springer-Verlag,1973

Ofiate, E., Cálculo de Estructuras por eiMétodo de Elementos Finitos, CentroInternacional de Métodos Numéricos enIngeniería, 1995

Owen, D.R.J, Hinton, E., Finite Elements inPlasticity, Pinendge Press, 1980

Comini, G., Giudice, $., Nonino, C., FiniteElement Analysis in Heat Transfer, Taylor& Francis, 1976

Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., The FiniteElement Method, Vol.2, McGraw-Hill, 1991

EUROCODE 3, Design of Steei Structures Part1-2: General Rules - Structural Fire Design,ENV 1993-1-2:1995

EUROCODE 1, Basis of Design and Actionson Structures Part 1-2: General Rules -

$tructural Fire Design, ENV 199 1-2-2:1995

Huang, H., Usmani, A., Finite ElementAnaiysis for Heat Transfer, SpringerVerlag, 1994

Krishnamoorthy, C.S., Finite Element Analysis,Tata Mc Graw-Hill, 1997

$tasa, EL., Applied Finite ElementAnalysis for Engineers, L.S. Fletcher,Series Editor, 1985

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