frba.utn.edu.ar · x + y = 0 y que están a una distancia de 3 unidades del planoπ: x + y + z = 1 b) Represente gráficamente el planoπ y el conjunto hallado. 2) Halle la proyección

UTN. FRBA PARCIAL PARTE A 2006Apellido y nombres: .............................................................................Tema 4TurnoLa condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo :a) Dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, ob) Dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica.

1 2 3 4 5 Calificación final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todoslos ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.

1) a) Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos que pertenezcan al plano: x + y = 0 y que están a una distancia de 3 unidades del plano π: x + y + z = 1b) Represente gráficamente el plano π y el conjunto hallado.

2) Halle la proyección ortogonal del punto A(1,2,3) sobre la recta L siendo:L: (x,y,z) = (-3λ ; 5+λ ; 7+2λ) con λ∈R, y calcule la distancia entre el punto A yla recta L.

3) Sean los siguientes subespacios de R3:S = { (x,y,z) ∈R3 / x = 2z ∧ y = 0 }W = { (x,y,z) ∈R3 / x + by + z = 0 }

Demuestre que: ∀b∈R: 3S W R⊕ =

4) Analice la validez de las siguientes proposiciones, justificando la respuesta:

a) Si B∈Rnxn es inversible y α∈R-{0}, entonces: ( ) ( )1

det .det

nTB

Bα

α−− =

b) Si A∈Rnxn , B∈Rnxn y C∈Rnxn son matrices invertibles y C-1.(A+X).B-1 = I,entonces el det (X) = det(C).det(B) - det(A)

5) a) Sea B = { ax + 2 ; x + b } una base de P1 = {p(x) / p(x) = cx + d ∨ p(x) = 0}

Si las coordenadas de q(x) = 5x + 6 respecto de la base B son94

−

, halle la base B.

b) Sea el conjunto A = { -x2 + 2x + 1 ; x + 1 ; -x2 + 3x + 2 } ⊂ P2 . Encuentre k∈R,si existe, para que el polinomio t(x) = -6x2 + 9x + k pertenezca al espacio generadopor A.

UTN. FRBA PARCIAL PARTE A 2006Apellido y nombres: .............................................................................Tema 4 CTurnoLa condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo :a) Dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, ob) Dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica.



1) a) Encuentre el lugar geométrico de todos los puntos que pertenezcan al plano: y + z = 0 y que están a una distancia de 2 3 unidades del plano π: x + y + z = 1b) Represente gráficamente el plano π y el conjunto hallado.

2) Halle la proyección ortogonal del punto M(1,2,3) sobre la recta “r” siendo:

r: 753 2x zy −

= − =−

, y calcule la distancia entre el punto A y la recta “r”.

3) Sean los siguientes subespacios de R3:a) S = { (x,y,z) ∈R3 / x = 2y ∧ z = 0 }b) W = { (x,y,z) ∈R3 / x + y + kz = 0 }Demuestre que: ∀k∈R: 3S W R⊕ =

4) Analice la validez de las siguientes proposiciones, justificando la respuesta:a) Si D∈Rnxn , E∈Rnxn y F∈Rnxn son matrices invertibles y F-1.(D+Y).E-1 = I,

entonces el det (Y) = det(F).det(E) - det(D)

b) Si A∈Rnxn es inversible y λ∈R-{0}, entonces: ( ) ( )1

det .det

nTA

Aλ

λ−− =

5) a) Sea B = { x + a ; bx + 2 } una base de P1 = {p(x) / p(x) = cx + d ∨ p(x) = 0}

Si las coordenadas de t(x) = 5x + 6 respecto de la base B son4

9−

, halle la base B.

b) Sea el conjunto A = { -x2 + 2x + 1 ; x + 1 ; -x2 + 3x + 2 } ⊂ P2 . Encuentre h∈R,si existe, para que el polinomio t(x) = -6x2 + hx + 3 pertenezca al espacio generadopor A.




1) Dados el plano π: x – y – z - 3 = 0 y la recta r.4 0

0x z

y− + =

=

a) Halle la ecuación general del plano que proyecta ortogonalmente la recta “r”sobre el plano π.

b) Calcule la distancia del plano α a la recta r , siendo πα ⊥ , α paralelo a larecta r , y el punto ( 1 , -3 , 5 ) pertenece al planoα

2) Sea la ecuación del haz de rectas en R2 : α.(x – y + 1) + β.(y – 5) = 0. Halle la

ecuación de la recta del haz que forma un ángulo igual a4π con el semieje positivo

Ox. ¿La solución es única? ¿Por qué?

3) Sean los subespacios:W1 = gen { (-1,1,0) ; (0,-2,1) ; (-1,3,-1) } y W2 = gen { (2,a,1) }a) Halle “a” para que la suma W1 + W2 = R3

b) Para a = -4, encuentre el W1 ∩ W2 , una base y su dimensión. Interpretegeométricamente y grafique ambos subespacios

4) Dadas A∈Rnxn y B∈Rnxn, analice la validez de las siguientes proposiciones,justificando su respuesta:a) A2 + A.B = I ⇒ A es inversible (I: matriz identidad)b) A2 = A ⇒ det(A) = 0

5) Sea1 0 1 0 0

; ;0 1 0 1 0

aA

a −

= − a) Halle a ∈ R, si existe, para que S = gen A tenga dimensión 2. Justifique su

respuesta.

b) Para a = 1, .determine si la matriz2 00 3

B =

pertenece al conjunto W = gen A




1) Dados el plano π: z = x – y - 3 y la recta r.4

0x z

y− = −

=

a) Halle la ecuación general del plano que proyecta ortogonalmente la recta “r”sobre el plano π.

b) Calcule la distancia del plano β a la recta r , siendo β paralelo a la recta r , elpunto ( 1 , -3 , 5 ) pertenece al plano β y πβ ⊥

2) Sea la ecuación del haz de rectas en R2 : α.(y – 5) + β.(x – y + 1) = 0. Halle la

ecuación de la recta del haz que forma un ángulo igual a4π con el semieje positivo

Oy. ¿La solución es única? ¿Por qué?

3) Sean los subespacios:W1 = gen { (0,-2,1) ; (-1,1,0) ; (1,-3,1) } y W2 = gen { (a, -4, 1) }a) Halle “a” para que la suma W1 + W2 = R3

b) Para a = 2, encuentre W1 ∩ W2 , una base y su dimensión. Interpretegeométricamente y grafique ambos subespacios

4) Dadas C∈Rnxn y D∈Rnxn, analice la validez de las siguientes proposiciones,justificando su respuesta:a) C2 = C ⇒ det(C) = 0b) C2 + C.D = I ⇒ A es inversible (I: matriz identidad)

5) Sea1 0 0 1 0

; ;0 1 0 0 1

kW

k −

= − a) Halle k ∈ R, si existe, para que A = gen W tenga dimensión 2. Justifique su

respuesta.

b) Para k = 2, determine si la matriz3 00 2

B =

pertenece al conjunto S = gen W




1) Sean las rectas: L1: (x,y,z) = (1,0,-1) + λ(1,2,1) con λ∈R ; L2:2 4 0

0x z

y z+ + =

− =

y

L3 : determinada por los puntos M(1,-1,0) y Q(1,2,1)a) Halle la ecuación general del plano que pasa por la intersección de L1 y L2 y

contiene a la recta L3b) ¿Es posible calcular la distancia entre la recta L3 y el plano coordenado Oyz?

Justifique su respuesta. En caso afirmativo, encuentre dicha distancia.

2) Sean el plano π : z = x + y y la recta r: 21

x y z kh−

= = −−

Encuentre los valores de “h” y “k”, si existen, para que la recta “r” sea perpendicularal plano π y el punto de intersección sea M(-1,0-1).

3) Analice la validez de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta:∀ A∈Rnxn ∀ α∈R:

a) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 .T T TA A Aα α+ = +

b) ( )n nnA Aα α=

4) Sean los subespacios de R3:S = gen { (1,k,0) ; (3,6,k-2) }W = { (x,y,z) ∈R3 / y = 2x }

a) Para k = 2, determine la dimension de S∩W.b) Para k = 0, determine S+W, e indique si la suma es directa. Justifique.

5) Dado el conjunto:1 0 0 1 0 0

; ;2 0 0 1 1 1

A −

=

⊂ R2x2

Encuentre el espacio generado por A, una base y la dimensión del mismo.




1) Sean las rectas: L1:2

2 2x zx y− =

− =

L2: (x,y,z) = (-4,0,0) + λ(-2,1,1) con λ∈R ; y

L3 : determinada por los puntos A(1,2,1) y B(1,-1,0)a) Halle la ecuación general del plano que pasa por la intersección de L1 y L2 y

contiene a la recta L3b) ¿Es posible calcular la distancia entre la recta L3 y el plano coordenado Oyz?

Justifique su respuesta. En caso afirmativo, encuentre dicha distancia.

2) Sean el plano π : x + y – z = 0 y la recta r: 2xy a Rz b

λλ λ

λ

= − = + ∈ = +

Encuentre los valores de “a” y “b”, si existen, para que la recta “r” sea perpendicularal plano π y el punto de intersección sea T(-1,0-1).

3) Analice la validez de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta:∀ B∈Rnxn ∀ λ∈R:a) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 .

T T TB B Bλ λ+ = +

b) ( )n nnB Bλ λ=

4) Sean los subespacios de R3:S = gen { (h,2,0) ; (1,2,h-1) }W = { (x,y,z) ∈R3 / 2x – y = 0 }

a) Para h = 1, determine la dimensión de S∩W.b) Para h = 0, determine S+W, e indique si la suma es directa. Justifique.

5) Dado el conjunto:0 1 1 0 0 0

; ;0 1 2 0 1 1

A −

=

⊂ R2x2

Encuentre el espacio generado por A, una base y la dimensión del mismo.

UTN. FRBA PARCIAL PARTE A 2006Apellido y nombres: .............................................................................Tema 3Turno: Lunes 22 de mayo NocheLa condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo :a) Dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, ob) Dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica.



1) Dada la ecuación del haz de rectas en R2: α(x + 2y – 1) + β(-x + 2y – 3) = 0Halle la ecuación vectorial paramétrica de la recta que pertenece a dicho haz y esparalela a la recta L: 2x – y +1 = 0

2) Dadas las rectas: L1 : x +1 = y = z y L2 :1

2

xy Rz

λλ λ

λ

= − = ∈ = −

a) Determine si L1 y L2 son rectas alabeadas. En caso afirmativo, calcule ladistancia entre ellas.

b) Halle la proyección ortogonal de la recta L2 sobre el plano x + y + z = 3

3) Sean los subespacios:S1 = { (x,y,z) ∈R3 / x + 2y = 0 ∧ x – y – z = 0}S2 = { (x,y,z) ∈R3 / a.x + y – z = 0 }a) Halle “a” para que S1 ⊂ S2b) Para a = 2, S1 + S2 , una base y la dimensión , ¿ es suma directa? Justifique

4) Sea A = ( A1 , A2 , A3 ) ∈ R3x3 tal que |A| = ¼ siendo Ai la columna i-ésima de lamatriz A, y B = ( -A1 + aA2 , A1 – A3 , 2.A1 )a) ¿Para qué valores reales de “a” la matriz B es inversible? Justifique su respuesta.b) Halle a ∈ R+ tal que: |B2| = |A-1|

5) Sea A = { 2t3 + 3t2 –1 ; t3 + 1 , t2 –1 } ⊂ P3

Nota. P3 = {p(t) / p(t) =at3+bt2+ct+d ∨ p(t) = 0 }a) Halle el espacio generado por A, una base y la dimensión del mismo.b) Halle los valores reales de “h” y “k” para que el polinomio q(t) = t3 +ht2 + kt + 5

no pertenezca al espacio generado por A.




1) Dada la ecuación del haz de rectas en R2: α(-x + 2y – 3) + β(x + 2y – 1) = 0Halle la ecuación vectorial paramétrica de la recta que pertenece a dicho haz y esparalela a la recta L: y = 2x +1

2) Dadas las rectas: L1 :1x

y Rz

λλ λλ

= − + = ∈ =

y L2 :1

1 2x zy−

= =− −

a) Determine si L1 y L2 son rectas alabeadas. En caso afirmativo, calcule ladistancia entre ellas.

b) Halle la proyección ortogonal de la recta L2 sobre el plano 2x + 2y +2z – 6 = 0

3) Sean los subespacios:S1 = { (x,y,z) ∈R3 / x = - 2y ∧ x = y + z}S2 = { (x,y,z) ∈R3 / k.x + y = z }a) Halle “k” para que S1 ⊂ S2

b) Para k = 2, halle S1 ∩ S2 , una base y la dimensión.

4) Sea A = ( A1 , A2 , A3 ) ∈ R3x3 tal que |A| = 1/9 siendo Ai la columna i-ésima de lamatriz A, y B = (A1 – A3 , 3.A1 , -A1 + kA2)a) ¿Para qué valores reales de “k” la matriz B es inversible? Justifique su respuesta.b) Halle k ∈ R+ tal que: |B2| = |A-1|

5) Sea A = { t3 + 1 , t2 –1 ; 2t3 + 3t2 –1 } ⊂ P3 = {p(t) / p(t) =at3+bt2+ct+d ∨ p(t) = 0 }a) Halle el espacio generado por A, una base y la dimensión del mismo.b) Halle los valores reales de “h” y “m” para que el polinomio q(t) = ht3+t2 +mt +5

pertenezca al espacio generado por A.




1) Sean el plano π: a.x + y = -2 y la recta: r:1x z

y z k− = −

− =

a) Halle los valores de “a” y k∈R+ , si existen, para que la recta “r” sea paralela al

plano π y la distancia entre ambos sea igual a 5 22

.

b) Para a = -1 y k = -3, determine si la recta “r” está incluida en el plano π.Justifique.

2) Sea en R2 el haz de rectas cuya ecuación es: (x – y + 2) + β.(2x + y – 5) = 0Encuentre la recta del haz cuya abscisa al origen sea igual a 2, y determine el ánguloque forma dicha recta con la recta: - x + 3y – 6 = 0

3) Sean A∈Rnxn y B∈Rnxn . Determine si las siguientes proposiciones son verdaderaso falsas, justificando la respuesta:a) A2 = N ⇒ A = N (N: matriz nula)b) A y B son simétricas ⇒ A.B es simétrica

4) Sean los subespacios:S1 = { (x,y,z) ∈R3 / a.x – y = 0 } y S2 = gen { (-1,-2,1) }a) Halle “a” para que S1 ∩ S2 tenga dimensión 1b) Para a = 1, determine si S1 + S2 es directa. Justifique su respuesta.

5) Sean los subespacios:S = { (x,y,z,t) ∈R4 / y – 2x = 0 ∧ z + t = 0 } y W = { (x,y,z,t) ∈R4 / z = t = 0 }Analice si es posible obtener una base B = { v1 ; v2 ; v3 ; v4 } de R4 que verifique:{ v1 ; v2 } es base de S y { v3 ; v4 } es base de W. En caso afirmativo, encuentredicha base B.




1) Sean el plano π: m.y + z + 2 = 0 y la recta: r: 1x y h z+ = − =a) Halle los valores de “m” y h∈R- , si existen, para que la recta “r” sea paralela al

plano π y la distancia entre ambos sea igual a 52

b) Para m = -1 y h = -3, determine si la recta “r” está incluida en el plano π.Justifique.

2) Sea en R2 el haz de rectas cuya ecuación es: α.(x – y + 2) + (2x + y – 5) = 0Encuentre la recta del haz cuya ordenada al origen sea igual a 1, y determine elángulo que forma dicha recta con la recta: x + 2 y – 6 = 0

3) Sean C∈Rnxn y D∈Rnxn . Determine si las siguientes proposiciones son verdaderaso falsas, justificando la respuesta:a) C y D son simétricas ⇒ C.D es simétricab) C2 = N ⇒ C = N (N: matriz nula)

4) Sean los subespacios:S1 = { (x,y,z) ∈R3 / y = 2x ∧ z = -x } y S2 = gen { (1,a,0) ; (0,0,1) }a) Halle “a” para que S1 ∩ S2 tenga dimensión 1b) Para a = 1, determine si S1 + S2 es directa. Justifique su respuesta.

5) Sean los subespacios:T = { (x,y,z,t) ∈R4 / t = 2z ∧ x + y = 0 } y S = { (x,y,z,t) ∈R4 / x = y = 0 }Analice si es posible obtener una base B = { v1 ; v2 ; v3 ; v4 } de R4 que verifique:{ v1 ; v2 } es base de T y { v3 ; v4 } es base de S. En caso afirmativo, encuentredicha base B.

Apellido y nombres del alumno:............................................................................Tema 9Apellido y nombre del profesor: …………………………………………………Apellido y nombre del docente auxiliar: ………………………………………....La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tresejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos losejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.

1) a) Dada 2 29 x + k y + 54 x -2 k y +17 = 0 encuentre si es posible, k real para que laecuación en el plano corresponda a una elipse de semieje mayor a = 3 y eje focalparalelo al eje Y.

b) Escriba las ecuaciones paramétricas de la ecuación cartesiana2 y - 4 x - 4 y +8 = 0 para

1 x 2≤ ≤ . Grafique.

2) Dada la matriz A =5 0 01 5 00 1 5

∈ R3x3 . Establezca la verdad o la falsedad de las

siguientes proposiciones, justificando su respuesta.

Dada la transformación lineal F: R3→ R3 tal que su matriz asociada en base canónicaes A:

a) S = gen { (0, 0, 1) } es un autoespacio (subespacio propio) de F.b) Existe una base de R3 tal que la matriz asociada a F respecto de dicha base es

diagonal.

3) Sea la función G: R3→ R2 tal que: G(v1) = (1,2) , G(v2) = (0,2) y G(v3) = (1,0)

Analice si G es una transformación lineal en cada uno de los siguientes casos.Justifique.

a) v1 = (1,0,1) , v2 = (0,-1, 2) , v3 = (2,1,0) b) v1 = (1,0,1) , v2 = (0,-1, 2) , v3 = (0, 0, -1)

Cuando sea posible, obtenga la expresión analítica de G.

4) Sea B ∈ R 2x2 . Demuestre que el polinomio característico de B es:λ 2 - tr(B). λ + det(B), siendo tr(B) = b11+b22.

5) Dado el sistema homogéneo AX = N , siendo

−

+=

11210

101

kk

kA

Halle todos los valores de k para los cuales la dimensión del espacio solución es 1.Indique en cada caso una base de dicho espacio.

UTN FRBA Parcial B. Álgebra y G. Analítica . Viernes TN/ 1º2006

Apellido y nombres del alumno:............................................................................Tema 9 CApellido y nombre del profesor: …………………………………………………Apellido y nombre del docente auxiliar: ………………………………………....La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tresejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final


1) a) Dada 2 2x + 2 y + 2 k x - k y = 0 encuentre, si es posible, k real para que laecuación en el plano corresponda a una elipse de semieje mayor a = 18 y ejefocal paralelo al eje X.

b) Escriba las ecuaciones paramétricas de la ecuación cartesiana2 x - 4 x - 4 y +8 = 0 para

1 y 2≤ ≤ . Grafique.

2) Sea la matriz C =3 1 00 3 10 0 3

∈ R3x3 . Indique la verdad o la falsedad de las

siguientes proposiciones, justificando su respuesta.

Dada la transformación lineal G: R3→ R3 tal que su matriz asociada en basecanónica es C:

a) S = gen { (1, 0, 0) } es un autoespacio (subespacio propio) de G.b) Existe una base de R3 tal que la matriz asociada a G respecto de dicha base es

diagonal.

4) 3) Sea la función F: R3→ R2 tal que: F(v1) = (0,1) , F(v2) = (-3,0) y F(v3) = (1,2)

Analice si F es una transformación lineal en cada uno de los siguientes casos.Justifique.

a) v1 = (0,-1, 2) v2 = (1,0,1) v3 = (2,1,0) b) v1 = (0,-1, 2) v2 = (1,0,1) v3 = (0,0,1)

Cuando sea posible, obtenga la expresión analítica de F.4) Dado el sistema homogéneo AX = N , siendo

1 0 1A = 0 k-1 k 33 xℜ∈

k+1 2 1

Halle todos los valores de k para los cuales la dimensión del espacio solución es 1.Indique en cada caso una base de dicho espacio.5) Sea A ∈ R 2x2 . Demuestre que el polinomio característico de A es:

λ 2 - tr(A).λ + det(A), siendo tr(A) = a11+a22.

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UTN- FRBA

PARCIAL PARTE B jueves tarde/2006

Apellido nombres del Alumno:...............................................................................Tema5Apellido y nombres del Docente: .......................................................................................Apellido y nombres del Docente Auxiliar:…......................................................................La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos tres ejercicios


Importante: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos losejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.

1) a) Obtenga la ecuación canónica, identifique y grafique la curva cuya ecuación es: 3 x 2 + 2 (y2 + 6 y )– 6x + 3 = 0

b) Parametrice el arco de la curva recorrido en sentido antihorario desde el punto (1,0)

al punto (1, -6).

2) Encuentre todos los valores de m reales para que el siguiente sistema tenga más deuna solución:

2m x + 2y + mz = 0my + mz = 0

mx + my = 0

3) Sea el subespacio de R3 : W = gen { (1; 2; 0), (2; 4; -1), (0; 0; 1) }. Encuentre unatransformación lineal G: R3 → R3 que verifique que v W∀ ∈ , G (v) = 2 v y

Nu (G) = W⊥. ¿Cuál es la imagen de (-1; 1/2; 0)?. Justifique.

4) Sea T una transformación lineal T: P1 → P2. La matriz A =1 01 01 1 k

−

es la

M B’ E (T), siendo B’= { 1 , 1 –x } una base de P1 y E la base canónica de P2. Determine los valores de k ∈ R para los cuales T es monomorfismo.NOTA: T es monomorfismo o si y sólo si T es inyectiva.

5) Indique si la siguiente proposición es verdaderas, justificando (en caso de falsedad, puede justificar usando un contraejemplo).

a) “A es una matriz cuadrada inversible. Entonces 0 no es un autovalor de A.”

b) “

=

102012002

B es diagonalizable.”

ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA UTN- FRBA

PARCIAL PARTE B jueves tarde/2006

Apellido nombres del Alumno:............................................................................... Tema5cApellido y nombres del Docente: .......................................................................................Apellido y nombres del Docente Auxiliar:…......................................................................La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos tres ejercicios


Importante: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos losejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.

1) a) Obtenga la ecuación canónica, identifique y grafique la curva cuya ecuación es: 3 ( x 2 – 2x) + 2 y2 + 12 y + 3 = 0

b) Parametrice el arco de la curva recorrido en sentido horario desde el punto (1, 0)al

punto (1, - 6)

2) Encuentre todos los valores de m reales para que el siguiente sistema tenga más de

una solución: 2

m x + my = 0m x + 2y + m z = 0 my + m z = 0

3) Sea el subespacio de R3 : S = gen { (2, 4, -2), (1; 2; 0), (0; 0; 1) }. Proponga unatransformación lineal F: R3 → R3 que verifique que Nu (T) = S⊥ y v S∀ ∈ ,

T (v) = - 2 v . ¿Cuál es la imagen de (-2; 1; 0)?.

4) Sea F una transformación lineal F: P1 → P2. La matriz A =3 02 02 4 k

−

es la asociada

a F en las bases B’= {1 + x, -1 }de P1 y canónica de P2 . Determine los valores de k ∈ R para los cuales F no es monomorfismo.NOTA: F es monomorfismo si y sólo si F es inyectiva.

5) Indique si las siguientes proposiciones son verdaderas, justificando (en caso defalsedad, puede justificar usando un contraejemplo).

a) Si 0 no es un autovalor de la una matriz cuadrada A ⇒ A es inversible.

b) B=1 0 13 0 31 0 1

− − −

no es diagonalizable.

UTN FRBA Parcial B. Álgebra y G. Analítica . 1er.c./ 2006



1) Dado el sistema de ecuaciones lineales AX = B , siendo

A =

+−

12110

101

kkk y B =

k11

a)Halle todos los valores de k para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones.

b)Para k = 0 , obtenga una base del espacio solución del sistema homogéneo asociado.

2) Sea la función F: R2 → R2x2 / F(x, y) =

− yy

x 02

a)Demuestre que F es una transformación lineal.

b)Analice si M =

− 22

03∈ Im(F). En caso afirmativo, encuentre todos los

vectores del dominio cuya imagen es M.

3) Sea { }B (1, 1), (0,1)= − base de R2 y B´ = E la base canónica de R3 .

Dada la transformación lineal G: R2→ R3 / M(G) BB´ =0 k1 k 11 0

−

, demuestre que G es

inyectiva para cualquier valor de k ∈ R.

4) Sea A =

− 1136094043

Obtenga, si es posible, P ∈ R3x3 inversible tal que: A = P.D. P-1 , con D diagonal.

5) Dada la función c: [0, 2] → R2 / c(t) = ( 2,221 2 ++− tt )

obtenga la ecuación cartesiana, identifique y grafique la curva correspondiente.UTN FRBA Parcial B. Álgebra y G. Analítica . 1er.c./ 2006

Apellido y nombres del alumno:............................................................................Tema 10 C

Apellido y nombre del profesor: …………………………………………………Apellido y nombre del docente auxiliar: ………………………………………....La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tresejercicios. 1 2 3 4 5 Calificación final


1) Dada la función c: [-1, 1] → R2 / c(t) = ( 1,12 2 −+− tt )obtenga la ecuación cartesiana, identifique y grafique la curva correspondiente.

2) Sea la función F: R2 → R2x2 / F(x, y) =

− xy

y20

a)Demuestre que F es una transformación lineal.

b)Analice si M =

−

−5120

∈ Im(F). En caso afirmativo, encuentre todos los

vectores del dominio cuya imagen es M.

3) Sea B = { (0, 1) , (1, 2) } base de R2 y B´ = E la base canónica de R3 .

Dada la transformación lineal G: R2→ R3 / M(G) BB´ =0 k1 k 11 0

−

, demuestre que G es

inyectiva para cualquier valor de k ∈ R.

4) Sea A =

−700352

325

Obtenga, si es posible, P ∈ R3x3 inversible tal que: A = P.D. P-1 , con D diagonal.

5) Dado el sistema de ecuaciones lineales AX = B , siendo

A =

+−

12110

101

kkk y B =

k24

a)Halle todos los valores de k para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones.

b)Para k = -1 , obtenga una base del espacio solución del sistema homogéneo asociado.

UTN FRBA Parcial B. Álgebra y G. Analítica . jueves TN/2006



2) a) Encuentre la ecuación cartesiana de una elipse de eje focal paralelo al eje y tal

que sus vértices son (-1, ± 10) y su excentricidad es 45

. Grafique.

b) Un móvil recorre en el plano una trayectoria de ecuaciones paramétricas

ℜ∈

+−=+=

tconseny

xλ

λ2

cos1 ; π<< t0

Identifique la trayectoria, grafique e indique el sentido del recorrido.

2) Dado el sistema homogéneo AX = N , siendo

1 0 1A = 0 k-1 k 33 xℜ∈

k+1 2 1

Halle todos los valores de k para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones.Para cada valor obtenido, indique la dimensión del espacio solución.

3) ) Sea la función F: R2x2 → R2x2 / F(A) = - At

a)Demuestre que F es una transformación lineal.b)Obtenga la dimensión del núcleo y establezca si es biyectiva. Justifique.

4) Sea { }B (1, 1), (0,1)= − una base de R2 y B´ = E la base canónica de R3 .

Dada la transformación lineal F: R2→ R3 / M(F) BB´ =0 k1 k 11 0

−

, se pide:

a)Encuentre, si existe, k real tal que F(x, y) = (x+y, x, x).b) Para k = 0 , obtenga todos los v ∈ R2 tales que F(v) = (0, 1, 2)

5) Sea A ∈ R3x3 . Analice si A es diagonalizable sabiendo que:- su polinomio característico es p(λ) = - (λ + 2) (λ2 - 4)- el autoespacio (subespacio propio) asociado al autovalor (-2) es: S = { X ∈ R3x1 / x1- 2x3 = 0 }

UTN FRBA Parcial B. Álgebra y G. Analítica . miércolesTN/2006

Apellido y nombres del alumno:.............................................................................Tema3Apellido y nombre del profesor: …………………………………………………Apellido y nombre del docente auxiliar: ………………………………………La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tresejerciciosÎ 1 2 3 4 5 Calificación final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todoslosejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.1) a) Proporcione la ecuación de una parábola de eje paralelo al eje de ordenadas,

cuyovértice está en la recta x + y = 4 y que pasa por los puntos P(1, 3) y Q (-5, -3).Grafique.

b) Si un cuerpo se mueve en sentido antihorario sobre la curva de ecuación cartesiana (x-1)2 + y2 + 2y = 0 desde el punto (2, -1) hasta el punto (1, 0), encuentre las

ecuaciones paramétricas de dicha trayectoria y grafique.

2) Demuestre la verdad o la falsedad de la siguiente afirmación. Justifique. a) “ P ∈ R n x n ∧ P 2 = N, entonces λ = 0 es un autovalor de P”. b) “A , B ∈ R n x n / A .( B - I ) = N entonces B = I ”.

3) Sea la transformación lineal F: 33 ℜ→ℜ F( a , b , c ) = (a- b + c, ka + b – c, b + 2c) .Se pide:

a) k real para que F no sea sobreyectiva.b) Si k = −1 halle el núcleo y dimensión del núcleo. Justifique.

Nota: F es sobreyectiva si y solo si Im (F) = 3ℜ

4) Si B = {v1 , v2, v3 } es una base de R3 y F: R3 → R3 es una transformación lineal quecumple: F (v1 - v2 ) = 4 v2 – 2 v3 F(v1 + v2 ) = 2 v3 F(v1 - v3 ) = v2 , se pide,

a) la matriz de F respecto de B.b) obtenga F (v1 + 2 v3 – 3v2 ).

5) Sea 34

02011

011011

x

kkA ℜ∈

−+

−= la matriz de los coeficientes del sistema de

ecuaciones lineales homogéneo A. X = N. Establezca, si existen valores reales de kpara los cuales el sistema sea compatible determinado. En caso afirmativo, ¿cuáles son?

UTN FRBA Parcial B. Álgebra y G. Analítica miércoles TN/2006

Apellido y nombres del alumno:.............................................................................Tema3CApellido y nombre del profesor: …………………………………………………Apellido y nombre del docente auxiliar: ………………………………………La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tresejercicios


IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todoslosejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.1) a) Proporcione la ecuación de una parábola de eje paralelo al eje de ordenadas, cuyo vértice pertenece a la recta 3x - y = 3 y que pasa por los puntos P( 4, 4) y Q ( 0,4).

Grafique.b)Si siguiente la ecuación [ ] 2F: 0, R / F(t) (1 2cos t, 2 2sen t)π → = + − + es la

ecuación paramétrica de la trayectoria de un cuerpo, halle la ecuación en coordenadas cartesianas de la trayectoria y grafique.

2) Demuestre la verdad o la falsedad de la siguiente afirmación. Justifique.a) “A ∈ R n x n ∧ A 3 = N entonces λ = 0 es un autovalor de A”.b) “ P , Q ∈ R n x n / ( P – I ) . Q = N entonces P = I ”.

3) Sea la transformación lineal T: 33 ℜ→ℜ / T(a , b, c) = (a + k b, -a + b + c , a – b + 2c) . Se pide:

a) k real para que T no sea sobreyectiva.b) Si k = −1, halle el Nu(T) y la dimensión del núcleo. Justifique.

Nota: T es sobreyectiva si y solo si Im (T) = 3ℜ

4) Si B = {w1 , w2, w3 } es una base R3 y H: R3 → R3 es una transformación lineal quecumple: H (w1 - w3 ) = 4 w1 – 4 w2 H(w1 + w3 ) = 2 w3 H(w1 + w2 ) = w2 Se pide:

a) La matriz de H respecto de B.b) obtenga H (2w1 - 2 w3 + 3w2 ) utilizando la matriz hallada en a).

5) Sea 34

10110211100

xkkA ℜ∈

+

−

= la matriz de los coeficientes del sistema de

ecuaciones lineales homogéneo A. X = N. Establezca si existen valores reales de k paralos cuales el sistema sea compatible determinado. En caso afirmativo, ¿cuáles son?

UTN. FRBA PARCIAL PARTE A 2008 Turno M - jueves 22 de mayo de 2008

Apellido y nombres: .............................................................................Tema 1 La condición para aprobar este parcial es tener 3 ejercicios bien resueltos como mínimo


IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ.

1) Dado el plano π cuyas trazas son: en el plano coordenado xz: 0

2 2y

x z 0=⎧

⎨− − + =⎩

en el plano coordenado xy 0

2 2z

x y 0=⎧

⎨− − + =⎩

Encuentre la proyección del punto A (6,-7,9) sobre el plano π 2) Dada las recta L: ( ) ( ), , , ,x y z Rλ λ λ λ= ∈ y el plano π : x + y + z + 1 = 0, Encuentre todos los puntos del eje z que equidisten del plano π y de la recta L.

3) Sean 1 1 0 1 1 1 0 2

; ; ;0 0 0 1 0 0 0 2

S gen− −⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛

= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎩ ⎭

⎞⎟⎠

y =

⎟

2 2 �� § � ·� � •� ® � ¾� ¨ � ¸� © � ¹� ¯ � ¿

Determine si la matriz pertenece al subespacio 0 00 2

M ⎛ ⎞= ⎜ −⎝ ⎠

S W∩

4) Sean las matrices 4 4xA R∈ y 4 4xB R∈ inversibles tales que: |A| = k2 y

3 0 1 00 01 1 10 0 1 0

kB

−

=−

02

Halle k∈R que verifique: 3|A| = |-3B|

5) Sea A = { x2 + 1 ; x + 1 ; k } P2 ⊂a) Halle k∈R para que A sea una base de P2 b) Para k = 1, verifique que A es base de P2.y encuentre las coordenadas del polinomio t(x) = 3x2 – x + 4 respecto de dicha base.

UTN. FRBA PARCIAL PARTE A 2008 Turno Noche Jueves 22-5-2008



IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Dados: π: x + 2y – z + 1 = 0

¨ 1

:2

x aL y b R

z c

λλ λ

λ

= +⎧⎪ = ∈⎨⎪ = +⎩

3:

4x y

rz− = −⎧

⎨ =⎩

a) Halle “a” , “b” y “c” , si existen, para que la recta L cumpla simultáneamente las siguientes dos condiciones:

i) L y r se corten formando un ángulo recto ii) L esté incluida en el plano π

b) Para a = b = 0 y c = 1, encuentre la distancia entre las rectas L y “r” 2) Dada la ecuación del haz de planos: ( )10 2 4 8 2 2 0x y z x yλ− + − + + − − = Halle, si existe, el plano del haz que es perpendicular a la recta L:

(( , , ) 1 ;2 ; 1 2 )x y z Rλ λ λ λ= + + − + ∈ En caso de que el plano exista, grafíquelo.

3) Sea ⊂ R2x2 1 1 1 2 2 0 0

; ; ;1 1 0 0 0 1 1 0

kA

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

a) Halle k∈R para que A no sea una base de R2x2. Justifique. b) Para k = 0, encuentre el subespacio generado por el conjunto A, una base del mismo y su dimensión. 4) Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando su respuesta: a) 2:nxnA R A A A es inversible∀ ∈ = ⇒b) (N: matriz nula) : .nxn nxnA R B R A B N A N B N∀ ∈ ∀ ∈ = ⇒ = ∨ = 5) Sea S = gen { x2 – 1 ; x2 – x – 3 ; x + 2 } Halle el complemento ortogonal de S, una base y su dimensión.

UTN. FRBA PARCIAL PARTE A 2008 Turno Tarde- Viernes 23-5-2008



IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Dados los planos ( ) ( )1 : , , ; ;1 ,x y z R Rπ λ β λ β λ β= + + ∈ ∈ 2 : 1x y 0π + − = Encuentre la ecuación general del plano que contiene a la recta intersección de π1 y π2 , y que pasa por el punto M(1,2,4). Grafique dicho plano.

2) Sean la recta 1

:2 6x y

rx z+ =⎧

⎨ − =⎩ y el plano π: x + y – z + 5 = 0

a) Determine un punto del plano π cuya abscisa y ordenada sean iguales a (-1), y calcule la distancia de dicho punto a la recta “r”. b) Determine el punto perteneciente a la recta “r” cuya cota es igual a 4, y obtenga la proyección del mismo sobre el plano π. 3) Sean los subespacios de P3: S = gen { x3 + x – 1 ; - x ; x3 – 1 } W = { p(x) = ax3 + bx2 + cx + d ∈P3 / c = d } Encuentre el subespacio , una base y la dimensión. S W∩

4) Sean: y

0 0 00 02 1 2 01 3 2 1

kk

Ak

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟−⎜ ⎟

−⎝ ⎠

0 ( )1 2 1 3 42 ; 3 ; 2 ;B A A A A A= − siendo:

A1 , A2 , A3 y A4 las columnas de la matriz A Halle todos los valores de “k” reales, para que la matriz B no admita inversa. 5) Analice si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas, justificando su respuesta: a) Si S = gen { (1,1,0,1) ; (1,-1,0,-1)}, entonces el complemento ortogonal de S es un subespacio generado por { (0,-1,0,1) ; (0,0,1,0) } b) ( )22 2: . . . .nxn nxnA R B R A B B A A A B B A B A∀ ∈ ∀ ∈ = ∧ = ∧ = ⇒ = B

UTN. FRBA REC. PARCIAL PARTE A Jueves 10/72008 TM Apellido y nombres: .............................................................................Tema 12

La condición para aprobar este parcial es tener 3 ejercicios bien resueltos como mínimo



1) Sean el plano π y las rectas “r” y “s” tales que:

π: 2x + y + z + 1 = 0 s: ( ) ( ) ( ), , 0,0,1 2,1,1x y z Rα α= + ∈

r: ( ) ( ), , 2 , , 1x y z h k Rλ λ λ= + + ∈

Halle y rh R∈ k R+∈ tal que “r” sea paralela a π y la distancia entre “r” y “s” sea igual a 30

2) Sea π: 2x + y – z + d = 0 Obtenga el valor de “d” para que la proyección ortogonal del punto M(1,1,2) sobre el plano π sea un punto M’ perteneciente al plano coordenado Oxz. Halle dicho punto M’.

3) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones, justificando su respuesta:

a) nxn nxnA R B R∀ ∈ ∀ ∈ { }0k R∀ ∈ − : ( ) 1det nB k −= ⇒ ( )1 1det . detA B Ak k

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) : A.B = B.A nxn nxnA R B R∀ ∈ ∀ ∈ ∧ A2 = I ∧ B2 = I (A.B)2 = I ⇒Nota: I: matriz identidad 4) Dados los siguientes subespacios de (R3 , + , R, • )

( ){ }3, , / 2 3 0S x y z R hx y z= ∈ + − =

( ){ }3, , / 2 0 2 0W x y z R x y z x y= ∈ + − = ∧ − = Halle todos los valores de para que S + W sea suma directa. h R∈

) y { }3 / . 0S v R u v= ∈ = 5) Sea (3,2,1u =

a) Demuestre aplicando la condición suficiente que S es un subespacio de (R3 , + , R, • ) b) Proporcione una base y la dimensión de S.

UTN FRBA Parcial A. Álgebra y G. Analítica

TURNO N FECHA: 21-5-2008 Apellido y nombres del alumno:.............................................................................Tema 9 Apellido y nombre del profesor: ………………………………………………… La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo : a) Dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, o b) Dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica. 1 2 3 4 5 Calificación final


1) a) Obtenga las ecuaciones de los planos perpendiculares a la recta

⎩⎨⎧

=+=+−02

12:

zyzyx

r

tales que su distancia al origen es : 21/2

b) Grafique los planos utilizando sus trazas

2) Sean las rectas: ⎩⎨⎧

=+−=+++023

01:1 yx

zyxt

: determinada por los puntos R = (2;-1;3) y T = ( h + 1; k ; 4 ). 2t a) Obtenga h y k reales sabiendo que . 21 // tt b) Para h = 3 y k = − 1 determine si las rectas son alabeadas o coplanares; si son coplanares halle la ecuación del plano que las contiene , en caso que sean alabeadas obtenga la distancia entre ambas rectas.

3) a) Sean las matrices y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ −=

kkA13

11112

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

110

B

¿ para qué valor de k el vector columna no es combinación lineal de los vectores columna de A? b) Analice si es verdadero o falso: )det()det(])det[(0det0det 111 −−− =⇒≠∧≠ BAABBA

4) Sea { }02024 =−∧=+−ℜ∈= uyyx/)u,z,y,x(S subespacio vectorial de : 4ℜ

a) Halle base y dimensión de S b) Halle base y dimensión de ⊥S 5) Obtenga / dim S < 3, siendo: ℜ∈k { })0,1,1()0,,1()2,1,2( kgenS = y obtenga siendo: WS + { })1,0,0()2,1,1()1,1,1( −= genW . ¿Es suma directa? Justifique.

UTN. FRBA REC. PARCIAL PARTE A Viernes 11-7-2008 TM

Apellido y nombres: .............................................................................Tema 15

La condición para aprobar este parcial es tener 3 ejercicios bien resueltos como mínimo



1) Dados: el plano π : determinado por los puntos A (1,0,0) , B (0,1,1) y C (0,0,1)

y la recta 2: 3xL y zk+

= = −

a) Determine el valor de k, si existe, para que la recta L esté incluida en el plano π . b) Para k = 1, calcule la distancia que hay de un punto perteneciente a la recta L de cota igual a cero, al plano π . 2) Sea la ecuación del haz de planos: ( )2 2 2 1 0x y z x yλ + + + + + − = Halle la ecuación vectorial paramétrica de un plano del haz, si existe, que sea paralelo al plano:

π : 3x +3y + z =3 3) Dado el subespacio S = gen { (1,1,a,1) ; (-1,1,1,-1) ; (0,a,3.0) } 4R⊂ a) Determine los valores de para que S tenga dimensión 3. a R∈b) Para a = -3, defina mediante ecuaciones el subespacio S.

4) Sea 2 21 0 1 1 1 1 1 1; ; ;

0 0 0 0 1 0 1 1xB R

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⊂⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

a) Verifique que B es una base de R2x2 y halle las coordenadas de la matriz 0 30 4

M−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

respecto de dicha base.

b) Si las coordenadas de una matriz A en la base B son:

1234

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, encuentre la matriz A.

5) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones a) : C A nxn nxnA R B R∀ ∈ ∀ ∈ 2. .B A B= + ⇒ ( ) ( ) ( )det det . .detC A B A I= + Nota: I: matriz identidad b) W1 = gen { x + 1 } y W2 = gen{ x + 1 ; x – 1 } ⇒ W1 + W2 es suma directa. 2P⊂ 2P⊂

UTN. FRBA AGA PARCIAL B 7 de julio de 2008 Apellido y nombres: ............................................................................. Tema 30 TN La condición para aprobar es tener como mínimo tres ejercicios resueltos.



1a) Encuentre la ecuación de la elipse de vértice (6,3) y focos en (-4,3) y (4,3).

b) Obtenga la ecuación cartesiana de la curva parametrizada: ℜ∈∀⎩⎨⎧

−=−=

ttytx

2)1(22

y realice una parametrización del arco de dicha curva tal que x ≤ 0 2)Sean la base B={(1,0,1),(1,1,0),(1,-1,1)} y la base canónica.(E) . Dada la transformación lineal T: R3→ R3 tal que su matriz asociada es:

M(T)BE = , encuentre la expresión analítica de la TL y una base de Nu(T). ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

111111111

3) Dada la matriz A = , calcule el rango de ( A – 3I ) y con el resultado obtenido ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

304021003

indique si A es diagonalizable. Justifique su respuesta. 4) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta ( demostrando la proposición en caso de que sea verdadera y exhibiendo un contraejemplo en caso de que sea falsa ). a) “A ∈ R n x n ∧ A 3 = N entonces λ = 0 es un autovalor de A”. b) Sea la transformación lineal T: V → W Si dim V = dim Im (T) = n , entonces T es monomorfismo (inyectiva). 5) Sea la función F: R3→ R2 tal que: F(v1) = (0,1) , F(v2) = (-3,0) y F(v3) = (1,2) Analice si F es una transformación lineal en cada uno de los siguientes casos. Justifique.

a) v1 = (0,-1, 2) v2 = (1,0,1) v3 = (2,1,0) b) v1 = (0,-1, 2) v2 = (1,0,1) v3 = (0,0,1)

Cuando sea posible, obtenga la expresión analítica de F.

UTN. FRBA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA 2 de julio de 2008 Parcial Parte B T.N. Apellido y nombres del alumno:.......................................................................Tema 1 La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios, dos de álgebra y uno de geometría.


IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Defina una transformación lineal T:R3→ R 3 / Im(T)={(x,y,z)/ x+y-2z=0} Nu(T)=S⊥ siendo S={(x,y,z)/2x-2y+z=0} .Justifique (Nota : no es necesario encontrar la expresión algebraica de la transformación lineal) 2)Sea T: R 3→ R 3 / tal que su matriz asociada respecto de las bases canónicas es

A= , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

121010001

i) clasifique T , encuentre una base del Nu(T) y de la Im(T) y sus respectivas dimensiones ii) indique si existe la transformación lineal T-1: R 3→ R 3 , justifique.

iii) encuentre T-1: R 3→ R 3 sabiendo que B= tal que A.B = B.A = I, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

121010001

3) Analice el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta (demuestre la proposición si es verdadera y exhiba un contraejemplo si es falsa ).

i) Si A es una matriz diagonalizable tal que A.P = P.D entonces Det(P) =0 ii) Si v es un autovector de la matriz A entonces v es autovector de At

iii) Si T:V→W monomorfismo entonces T es un epimorfismo 4) Dada la superficie z = 4 – x2 – y2 , analice sus cortes con planos z = k. Identifique y grafique la superficie, indicando en el gráfico la curva de intersección entre dicha superficie y el plano z = 3. 5) Dada la ecuación x2 + y2 + Ax + 2By = 0 (en R 2 ) a) Determine todos los valores de A y B para los cuales representa una circunferencia de radio 2 con centro en un punto de la recta x + y = 0. b) Parametrice la curva correspondiente para A = 2 y B = - 2 , indicando el sentido de recorrido acorde a la parametrización.

UTN. FRBA ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA Recuperatorio Parcial Parte B 28/7/08 Apellido y nombres del alumno:........................................................... Tema 15 T.N. La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo tres ejercicios, dos de álgebra y uno de geometría.


IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ. 1) Sea T: R3 →R3 la transformación lineal cuya matriz asociada respecto de la base canónica es M

= . ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

1112781321

a) Obtenga una base de la imagen de T y la dimensión del núcleo de T. b) Dada la T.L. G: R3 →R3 / G(x,y,z) = (x+z, -y, -x), analice si existe (G º T)-1 . Justifique su respuesta.

2) Sean T: R3 →R2 / MBB’ (T)= y las bases B= {(1,-1,0},(1,0,2),(0,-2,0}} y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛030101

B´={(-1,0),(1,-1)}. Encuentre h∈R, si existe, tal que ( h+1,1,0 )∈Nu(T). 3) Analice la validez de las siguientes proposiciones: Sea A ∈ Rnxn. a) A y At tienen el mismo polinomio característico. b) Si u, v son autovectores de A, entonces u + v es autovector de A. 4) Dadas las ecuaciones:

x2 + 9y2 - 4x - 5 = 0 (en R2) y [ ]π2,0)(

)cos(.∈

⎩⎨⎧

=+=

ttseny

tBAx

determine todos los valores de A y B para los cuales ambas ecuaciones corresponden a la misma curva. Grafique. 5) Dada la ecuación: 2x2 + Ky2 + z2 = 4 a) Identifique y grafique la superficie correspondiente para i) K = 0 , ii) K < 0 b) Halle los valores de K para los cuales la ecuación dada corresponde a un elipsoide cuya intersección con el plano x = 1 es una elipse de eje focal paralelo al eje "y".

UTN FRBA Álgebra y G. Analítica: Parcial B 10/11/2008 LUNES TN Apellido y nombre del alumno: ...................................................................................... Tema 67 Legajo: …………….. Curso: …………..... Docente:………………………………….….................Docente auxiliar................................................ La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo: a) dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, ó b) dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica. 1 2 3 4 5 Calificación Final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ 1) a) Obtenga la ecuación ordinaria de la curva definida por las ecuaciones paramétricas

0 ≤ t ≤ 2 π ⎩⎨⎧

−=+=tseny

tx3

1cos2

Grafíquela e indique el sentido de circulación. b) Halle las ecuaciones paramétricas que describen la curva dada por 2 y = x2 − 2 x − 3 en el 3er y 4to cuadrantes. 2) Dada la ecuación Ax2 + By2 – z2 = C, determine los valores reales de A, B y C para que correponda a una superficie que verifique simultáneamente: i) su intersección con el plano x = -1 es una circunferencia de radio 3. ii) su intersección con el plano z = 1 es una hipérbola de eje focal “x” tal que la distancia entre sus

vértices es 3

32 . Grafique la superficie para los valores hallados.

3) Sea F:R3→R3 tal que: F(1;1;0) = (2;2;1) , F(0;2;-1) = 2.(1;1;1) y F(1;0;a) = (1;1;1).

a) ¿Para qué valores de “a”, F es una transformación lineal? Enuncie el teorema que aplica para resolver el ejercicio.

b) Para a = 0, encuentre la expresión analítica de F y una base del núcleo de F.

4) Sea A = la matriz asociada a T: respecto de las bases canónicas ordenadas de

ambos espacios.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−

4263

21 32 RR →

Halle M(T) respecto de las bases B1 = {(1, 1), (3, 0)} y B2 = { (2, 0, 1), (0, 0, 2), (0, 2, 1). 5) Sean A ∈ Rnxn , λ ∈ R, μ ∈ R. Demuestre las siguientes proposiciones: a) Si λ autovalor de A y v es un autovector asociado a él entoces ( μλ + ) es un autovalor de ( A+ μ I ) y v es un autovector asociado a él. b) Si A es inversible y λ es autovalor de A, entonces λ es distinto de cero.

UTN FRBA Álgebra y G. Analítica: Parcial B 11/11/2008 MARTES TN Apellido y nombre del alumno: ...................................................................................... Tema 12 Legajo: …………….. Curso: …………..... Docente:………………………………….….................Docente auxiliar................................................ La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo: a) dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, ó b) dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica. 1 2 3 4 5 Calificación Final

IMPORTANTE: usted debe presentar en las hojas que entrega, el desarrollo de todos los ejercicios, para justificar sus respuestas. NO USE LÁPIZ

1) Si T:R3→R4 es una transformación lineal con matriz asociada MBE(T) = siendo

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

a32242142121

B={(1,1,-1),(2,1,-1),(0,0,1)} una base de R3 y E la base canónica de R4. Encuentre el valor de a∈R tal que T(3,-1, 4 ) = (6, 9, 12, 5) 2) Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones y justifique cada respuesta:

a) Si T : R4→ R4/ es un monomorfismo entonces existe T-1 b) Existe una transformación lineal T: R3→ R4 tal que:

Nu(T)=gen{(1,0,1),(3,1,5),(2,-1,0) } y la Im(T)= gen{(1,1,1,1),(-1,0,01)}.

3) Sea la matriz . 1 0 1

A 0 4 00 0 a

⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Halle el valor de “a” para que λ= 4 sea autovalor de A de multiplicidad algebraica igual a dos. Para el valor hallado, obtenga si es posible P inversible y D diagonal tales que: A = P.D.P-1

4) Dada la superficie 4

x2 – y2 + z2 =1

a) Halle las trazas, identifique y grafique la superficie. b) Obtenga todos los planos paralelos a x = 0 cuya intersección con la superficie es un par de rectas. 5) Sea la ecuación en R2 : 0ay12y2x2x 22 =+++−a) Encuentre los valores de a ∈R para que no exista lugar geométrico real. b) Si a =15 identifique, grafique y parametrice la curva correspondiente.

UTN FRBA Álgebra y G. Analítica - Recuperatorio Parcial B 1-12-2008 Apellido y nombres del alumno: .......................................................................... TN Legajo: …………….. Curso: ………….. . Docente:………………………………….…..................................... La condición para aprobar este parcial es tener bien resueltos como mínimo: a) dos ejercicios de Geometría Analítica y uno de Álgebra, ó b) dos ejercicios de Álgebra y uno de Geometría Analítica.



1) Sea T: R3→R3 / M(T)E = , donde E es la base canónica,

determine los valores de k para que el conjunto el núcleo de la transformación lineal tenga:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+

)4k(001)2k2(11k1

2

a) dimensión 1 b) dimensión 2. 2) Sea T: R3→ R2/T(x,y,z)= (x+y, y+az) y F: R2→ R4 /F(x, y)= (x, y-2x,3y,x+y)

a) Obtenga la transformación lineal F º T. b) Encuentre el valor de a∈R tal que dim (Im(F º T)) = 2

3) Estudie para qué valores de a, b, c∈R la matriz A= es diagonalizable. ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

c00b101a1

4) Sea en R2 la ecuación: 04y4x8yx4 22 =++−+ a) Identifique y encuentre el centro. b) Parametrice la curva de modo que se recorra desde el punto A(2,-2) hasta el punto en sentido antihorario. )2,0(B −

5) Halle los valores de A, B ∈ R para que la ecuación , represente un hiperboloide de eje X, cuya intersección con el plano XY sea una hipérbola equilátera

cuyos vértices sean puntos de ordenadas

1222 =++ BzByAx

31

± . Grafique la superficie que se obtiene.

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frba.utn.edu.ar · x + y = 0 y que están a una distancia de 3 unidades del planoπ: x + y + z = 1 b) Represente gráficamente el planoπ y el conjunto hallado. 2) Halle la proyección