FRENADO DE UN DISCO METÁLICO MEDIANTE EL DIPOLO

ELECTROMAGNÉTICO

Juan Leonardo Hernández Anda

Abismos #1, Colonia Atlanta, Cuautitlán Izcalli, Estado de México 54740, México.

E-mail: roaltec@prodigy.net.mx

Angel Alfonso Rojas Salgado

Departamento de Ingeniería Mecánica, Facultad de Ingeniería, UNAM.

Apartado postal 70 256, Cd Universitaria, 04510 México D.F., México.

E-mail: arojas@servidor.unam.mx

RESUMEN

Aplicando la teoría de las imágenes que retroceden,

propuesta por Maxwell, a los dipolos magnéticos

generados por un electroimán sobre un disco en

movimiento de rotación, se obtienen expresiones

algebraicas para calcular la fuerza de frenado que

detiene al disco debido a las corrientes parásitas que

se generan durante su movimiento. El resultado del

cálculo de esta fuerza para varias condiciones de

operación, tanto del disco como del electroimán, se

muestra gráficamente.

ABSTRACT

Applying the theory of images that receding,

proposed by Maxwell, the magnetic dipole generated

by an electromagnet on a rotary disc, algebraic

expressions are obtained to calculate the braking

force that stops the disk due to the eddy currents

generated during its movement. The calculation about

this force for several operations, both the disc and the

electromagnet, is shown graphically.

I. INTRODUCCIÓN

En trabajos como el de W. M. Saslow [2], se muestra

que la fuerza de frenado que produce un electroimán

sobre un disco con movimiento de rotación depende

de la densidad de flujo magnético, inducido en el

disco. Éste depende, a su vez, del tipo de material del

disco, de la separación entre el electroimán y el disco

y del monopolo magnético generado por la corriente

que alimenta el electroimán.

Sin embargo, debido a que los monopolos magnéticos

no se conocen, hasta ahora, libres en la naturaleza

sino formando dipolos magnéticos en los imanes; el

cálculo del monopolo magnético, q, ha sido inexacto,

ya que se ha considerado como la razón entre el

dipolo magnético y la separación que se deja entre el

disco y el extremo del electroimán para evitar

rozamiento.

Mediante un algoritmo basado en la teoría de las

imágenes de Maxwell [2], se construye una expresión

algebraica del potencial escalar para un dipolo

magnético, y con ésta, se calcula la fuerza de arrastre

producida por las corrientes de remolino sobre un

disco metálico en movimiento de rotación.

El algoritmo muestra la independencia de la fuerza de

arrastre de la permeabilidad, , del material del

núcleo del electroimán, pero está en función de la

conductividad del material del disco, de la

separación entre el polo del electroimán y el disco, h,

de la permitividad del aire, 0, de la corriente que

circula en la bobina, I, y del área limitada por su

trayectoria, A.

A continuación se muestra la forma de obtener los

resultados

II. POTENCIAL MAGNÉTICO

El potencial escalar magnético generado por un

dipolo magnético [1], se define como:

(1)

Donde el dipolo magnético

(2)

tiene dimensiones de intensidad de corriente por área

; 0 es la permeabilidad magnética del vacío y

ri la distancia del centro del dipolo al punto de

prueba. La densidad de flujo magnético se calcula, [2],

mediante

(3)

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III. IMÁGENES DE MAXWELL

Siguiendo la teoría de las imágenes de Maxwell, Fig.

1, un dipolo magnético, moviéndose a una velocidad

v en el eje x, sobre una lámina de espesor d,

conductividad y a una altura constante h, crea

trenes de imágenes de dipolos iguales y opuestos en

cada incremento de su movimiento, iguales en la

posición inicial y opuestos en cada incremento, de tal

forma que el potencial de los dipolos intermedios con

respecto a la posición final del dipolo fuente se

cancelan.

La trayectoria de cada dipolo imagen, , tiene

una pendiente v0/v, donde v0 es la velocidad con la

que las imágenes “retroceden” (velocidad de

retroceso) desde la superficie del conductor hacia el

infinito [2] y se calcula mediante

(4)

Fig.1 Imágenes inducidas por el dipolo magnético

alejándose de la lámina con una velocidad v0 << v

II. POTENCIAL MAGNÉTICO DEL TREN DE

IMÁGENES

Aplicando la ecuación (1) al tren de imágenes

generadas por el dipolo fuente durante su

movimiento, Fig. 1, y teniendo en cuenta que la

distancia entre los polos es l, resulta

(5)

Mediante las sustituciones, n=t, = dt, usando la

expansión binomial y despreciando términos en dt2, la

ecuación (5) se puede escribir en forma de una

integral

Integrando y evaluando el resultado en x=0, que es la

posición del dipolo fuente, y usando la ecuación (2),

se obtiene

(6)

y el campo magnético será

(7)

La fuerza de levitación, producida por un dipolo

magnético es

Derivando y evaluando la ecuación (6) en z=h, y

sustituyendo en la ecuación previa se obtiene;

(8)

La fuerza de frenado [6], se obtiene mediante la

relación

v

z+hh

LÁMINA

v0

+-

v0

v

z+h+(n+1)v0

x+nv

l

q

q

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(9)

Esta expresión es la misma que la obtenida por Reitz

[3].

IV. MOMENTO MAGNÉTICO DE UNA ESPIRA

CUADRADA

Mediante la ley de Biot-Savart [7],

se puede calcular la densidad de flujo magnético

producido por una espira cuadrada, de lado b, a lo

largo del eje z, Fig. 2, obteniéndose

(10)

Para z<<b, el campo magnético producido por el

solenoide es

Fig. 2 Espira cuadrada

(11)

En esta última ecuación, el dipolo magnético ha

sido sustituido por m.

En general, el dipolo magnético de una bobina con N

espiras de cualquier geometría, se halla mediante

(12)

I es la corriente que circula por la bobina y , el

área limitada por las espiras,

Puede observarse entonces, que el momento del

dipolo magnético no depende del material con el que

está construido el solenoide.

VII. PAR DE FRENADO EN UN DISCO DE

ACERO

En esta sección se presenta el cálculo del par de

frenado que produce el campo magnético de un

electroimán sobre un disco en movimiento, para

distintas velocidades del disco, en rpm, y varias

corrientes I, de alimentación al electroimán

El disco de acero, de conductividad

, tiene un radio, en el polo, r=0.141m y un

espesor d=0.019m. El electroimán cuadrado con

núcleo de acero tiene N=30 espiras, lado b=0.0443 m,

y es perpendicular al disco.

La separación entre el disco y el electroimán es de

0.0013m.

El par de frenado MT se halla mediante del producto

de la fuerza de arrastre electromagnética FD y del

radio en el polo r, es decir

(13)

que al sustituir en la ecuación anterior, la ecuación

(9), se llega a:

(14)

Donde:

0 es la permeabilidad del vacío

m dipolo magnético de la bobina ( ecuación 12)

h la separación entre el disco y el electroimán

la velocidad de retroceso

la velocidad angular del disco

la conductividad del acero

d el espesor del disco

En la Fig. 3 Se grafica el par de frenado disco en

función de su velocidad angular, para intensidades de

corriente en la bobina I, de 4, 8, 12 y 14 amperes:

PAR DE FRENADO

Fig.3 Par de frenado del disco en función de su

velocidad angular

b

x

y

z

I

R

rm

b

0 80 160 240 320 4000

133.333

266.667

400

533.333

666.667

800

PAR DE TORSIÓN

RADIANES / S

N-m

Mt 14 r ( )

Mt 12 r ( )

Mt 8 r ( )

Mt 4 r ( )

r

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La Fig. 4 es la gráfica del par de frenado, variando la

corriente de la bobina para cuatro valores discretos de

la velocidad angular del disco entre 100 y 400 s-1

.

PAR DE FRENADO

Fig.4 Par de torsión generado por el electroimán en

función de la corriente en la bobina

Los valores de la velocidad angular -

y de la corriente de alimentación de la

bobina Amperes, se han tomado con el fin

de inspeccionar la forma de las gráficas de par para

distintas velocidades de operación de un vehículo

automotor que se mueve sobre los rodillos de un

dinamómetro que es frenado mediante electroimanes.

La velocidad angular de - corresponde a una

velocidad de 40 km/h, para la verificación de

emisiones.

El valor de corresponde a 150 km/h,

aproximadamente, y se estableció con el fin de

conocer el comportamiento del par de freno

magnético en el disco de acero a altas velocidades.

La Fig. 5 muestra la variación del par de frenado en

función de la corriente en la bobina y de la velocidad

angular del disco.

PAR DE FRENADO N-m

Fig.5 Par de torsión en función de la corriente en la

bobina y la velocidad angular del disco

VIII. COMPORTAMIENTO DEL DISCO DE

FRENO CONSTRUÍDO DE OTROS MATERIALES

El par que se opone al movimiento del disco,

ecuación (14), está en función de la velocidad de

retroceso

, y ésta, en función de la

conductividad del material del disco. La Fig. 6

muestra la variación de v0 en relación con la

conductividad de distintos metales.

VELOCIDAD DE RETROCESO

Fig.6 Variación de la velocidad de retroceso, v0, en

relación con la conductividad de distintos metales

A medida que aumenta la conductividad del material

la velocidad de recesión, v0, disminuye, reduciendo el

par de frenado. Este resultado se muestra en la Fig. 7,

para el aluminio que tiene mayor conductividad que

la de hierro, con y en la Fig.

8 para el cobre con

PAR DE FRENADO

Fig. 7 Par de frenado de un disco de aluminio

4 6 8 10 12 140

100

200

300

400

500

600

PAR DE TORSIÓN

AMPERES

N-m

Mt I 400 ( )

Mt I 300 ( )

Mt I 200 ( )

Mt I 100 ( )

I

1 107

2 107

3 107

4 107

5 107

0

2.5

5

7.5

10

VELOCIDAD DE RECESIÓN

v0 ( )

0 80 160 240 320 4000

83.333

166.667

250

333.333

416.667

500

PAR DE TORSIÓN

RADIANES / S

N-m

Mt 14 r ( )

Mt 12 r ( )

Mt 8 r ( )

Mt 4 r ( )

r

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PAR DE FRENADO

Fig. 8 Par de frenado de un disco de cobre

Es decir; si el material es mejor conductor de la

corriente eléctrica, el campo magnético deja de

penetrarlo [1, 5], el par de torsión tiende a cero y

únicamente se producen fuerzas de levitación,

ecuación (8).

IX. CONCLUSIONES

- Se ha mostrado una forma alternativa para detener

vehículos en movimiento mediante la corriente

eléctrica en lugar de la fricción con materiales

contaminantes.

- Esta forma de frenado ya se usa como auxiliar de los

sistemas hidráulicos, mediante frenos

electromagnéticos montados directamente en los ejes

de transmisión de potencia.

- El método para hallar el par mediante el dipolo

magnético es aplicable a cualquier tipo de

electroimán y se usa en el cálculo de frenos

electromagnéticos.

- Los buenos conductores de la electricidad no

generan altos pares de torsión.

- A mayor velocidad del móvil el par de frenado

disminuye, requiriéndose un mayor número de

electroimanes para generar el par requerido.

- La variación de los parámetros de las ecuaciones

permite controlar el par resultante

X. REFERENCIAS

1. Feynman R. The Feynman Lectures on Physics,

definitive edition, Pearson, 2006

2. W. M. Saslow, Maxwell's theory of Eddy currents

in thin conducting sheets, and applications to

electromagnetic shielding and MAGLEV. Am Journal

of Physics, 60 (8), August 19923.

3. John H. Reitz, Forces on Moving Magnets due to

Eddy Currents, Journal of Applied Physics, Volume

41, number 5, April 1970

4. Halliday, D., Resnick R. & Walker J.,

Fundamentos de Física, volumen 2 versión extendida,

CECSA, 2006.

5. W. M. Saslow, “How a superconductor Levitates a

magnet”, American Journal of Physics. 59, 16-25,

1991.

6. Hernández J.L., Rojas A, “Fuerza de arrastre

producida por un campo magnético sobre un disco en

movimiento”, XVI SOMIM, 2010.

7. Serway R. A., “Física, Electricidad y

Magnetismo”, CENGAGE, 2009

0 80 160 240 320 4000

66.667

133.333

200

266.667

333.333

400

PAR DE TORSIÓN

RADIANES / S

N-m

Mt 14 r ( )

Mt 12 r ( )

Mt 8 r ( )

Mt 4 r ( )

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