Física 3 (EMB5043): Potencial elétrico

Física 3 (EMB5043): Potencial elétricoMATERIAL DE APOIO PARA CURSO PRESENCIAL

Prof. Diego Alexandre DuarteUniversidade Federal de Santa Catarina | Centro Tecnológico de Joinville

Sumário• Energia potencial elétrica

• Potencial elétrico

• Superfícies equipotenciais

• Potencial elétrico • PRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS

• DIPOLO ELÉTRICO• DIPOLO ELÉTRICO

• Campo elétrico• CALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO• DIPOLO ELÉTRICO

• RESOLUÇÃO NA PLATAFORMA PhET

• Potencial elétrico • PRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS

• Resolução de problemas da Lista 4

Material para estudos

• Capítulo 24 do Halliday volume 3 e capítulo 4 do Moysés volume 3.

• Estudar os problemas da Lista 4 que está disponível em diegoduarte.paginas.ufsc.br.

Energia potencial elétricaConsidere uma carga q com velocidade v0 que está se aproximando de uma carga Q.

A força de repulsão sobre q é dada por:

2

0

ˆ4

qQF r

rπε=�

W F dr= ⋅∫� �

+Q

q F

em que r é a posição de q no instante da análise. A carga

Q está na origem. O trabalho realizado sobre q é dado por:v0

W F dr= ⋅∫� �

+

Qr

em que dr é um elemento de caminho percorrido pela carga q e que

tem sentido oposto ao da força F:

( ) ( )2 2 2

0 0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ4 4 4

qQ qQ qQ drW r rdr r r dr

r r rπε πε πε

= ⋅ = ⋅ = ∫ ∫ ∫O sinal negativo será

implementado no sentido

de integração

Energia potencial elétricaA força F realiza trabalho entre dois raios quaisquer r1 e r2 (r1 > r2):

indicando, pelo teorema do trabalho e da energia cinética, que a energia cinética da

partícula q está reduzindo:

2

1

1 2

2

0 0 2 1 0 1 2

1 10

4 4 4

r

r

r rqQ dr qQ qQW

r r r r rπε πε πε

− = =− − =− < ∫

=∆ = − <

(1)

até entrar em repouso. Em seguida, na mesma distância, a força realiza trabalho

positivo com o mesmo módulo:

indicando que a força elétrica é conservativa...

0 0W K K K=∆ = − <

1

2

2 1

2

0 0 1 2 0 1 2

1 10

4 4 4

r

r

r rqQ dr qQ qQW

r r r r rπε πε πε

− = =− − =− > ∫

Energia potencial elétrica...pois a integral no caminho fechado é zero:

mostrando, pelo princípio da conservação de energia, que ela converte energia

potencial elétrica em energia cinética e vice-versa. Assim, o trabalho pode ser

escrito também da seguinte forma:

2

0

04

C

qQ drW

rπε= =∫�

( )=−∆ =− −

em que U é a energia potencial elétrica armazenada no campo elétrico. Com (1) em

(2), temos:

Considerando que a partícula q vem do infinito (r1 → ∞) até uma posição r2 = r, a

energia potencial elétrica fica escrita como:

( )0W U U U=−∆ =− − (2)

0

0 2 1

1 1

4

qQU U

r rπε

− = −

Energia potencial elétrica

onde o termo U0 = 0 é a energia potencial elétrica de referência.

04

qQU

rπε=

Potencial elétricoConsidere uma carga elétrica q com uma energia potencial elétrica U num ponto P

do espaço. A quantidade de energia potencial para cada unidade de carga recebe o

nome de potencial elétrico V:

representado em joule por coulomb (J/C) ou volt (V) no SI. Considerando que a

partícula está num campo conservativo, a variação da energia potencial indica a

realização de trabalho:

UV

q=

realização de trabalho:

0 00

U U UU WV V V

q q q q

−∆ = − = − = =−

2

0

1

4

rQ dr

V F dr E drq rπε

∞

∆ =− ⋅ =− ⋅ =−∫ ∫ ∫� ��

+

E�

F�

O sentido de dr no produto escalar foi

definido no sentido de integração

Superfícies equipotenciaisque fornece:

em que V0 = 0 no infinito. Assim:

0 04 4

r

Q QV

r rπε πε∞

∆ = =

04

QV

rπε=

Potencial elétrico

gerado por uma carga

pontual

E�

dr�

+

V3

V2

V1

V E dr∆ =− ⋅∫� �

Quando o caminho de integração é perpendicular ao campo elétrico,

a d.d.p. é zero, dando origem às superfícies equipotenciais.

0 se E dr= ⊥� �

Potencial elétricoPRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS: DIPOLO ELÉTRICO

Calcule o potencial elétrico num ponto P qualquer do plano

gerado pelo dipolo elétrico ao lado.

P

+q

z

+ r

r+

O potencial elétrico gerado no ponto P é a soma dos potenciais

gerados por cada carga:

d

–q

r

+

-

r−

0 0 0 0

1 1

4 4 4 4

r rq q q qV

r r r r r rπε πε πε πε

− +

+ − + − + −

−− = + = − =

θ

(2)

O potencial elétrico é uma grandeza escalar; desta forma, não há

necessidade de realizar decomposição vetorial!

Potencial elétricoPRODUZIDO POR CARGAS PONTUAIS: DIPÓLO ELÉTRICO

O termo r– – r+ representa a diferença entre as

distâncias das cargas até o ponto P. A distância r

representa a distância do CM até o ponto P.

Considerando que este ponto está numa distância r

muito maior que d, os segmentos r– e r+ tornam-se

aproximadamente paralelos e iguais. Desta forma,

escrevemos:escrevemos:

(3)cosr r d

r r r

θ− +

− +

− =

≈ ≈

Substituindo as equações (3) na equação (2), obtemos:

em que p = qd é o momento de dipolo elétrico.

2 2

0 0 0

cos 1 cos

4 4 4

r rq q d pV

r r r r

θ θ

πε πε πε

− +

+ −

− = ≈ = (4)

Campo elétricoCALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO

A partir da relação entre potencial e campo elétrico,

ou ,

em que é o elemento do caminho de integração e E tem direção radial, o campo elétrico

pode ser escrito como:

V E dr∆ =− ⋅∫� �

r

dVE

dr=−

dV E dr=− ⋅� �

dr�

Considerando um campo elétrico qualquer em coordenadas esféricas, por analogia, podemos

escrever:

o que permite representar o vetor campo elétrico:

dr

1 dVE

r dθ

θ=−

1

sin

dVE

r dφ

θ φ=−

ˆ ˆˆr

E E r E Eθ φθ φ= + +�

Campo elétricoCALCULADO PELO POTENCIAL ELÉTRICO

como:

1 1ˆ ˆˆsin

V V VE r

r r rθ φ

θ θ φ

∂ ∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂

�

1 1ˆ ˆˆsin

E r Vr r r

θ φθ θ φ

∂ ∂ ∂ =− + + ∂ ∂ ∂ �

�

��

onde o termo entre colchetes representa o operador gradiente:

A equação (5) traz um benefício muito interessante: como não há necessidade de análise

vetorial para o cálculo do potencial elétrico, podemos obter a direção do campo elétrico

resultante por meio da aplicação do gradiente no potencial. Desta forma, a informação

vetorial do campo é obtida automaticamente.

∇

�

��

E V=−∇��

(5)

Campo elétricoDIPÓLO ELÉTRICO

No problema do dipolo elétrico, obtemos a seguinte expressão para o cálculo do potencial:

que é representado em coordenadas esféricas (r, θ, ϕ). Para determinar o campo elétrico, basta

aplicar o gradiente do potencial:

=−∇��

2

0

1 cos

4

pV

r

θ

πε

=

nestas coordenadas:

1 1ˆ ˆˆsin

V V VE r

r r rθ φ

θ θ φ

∂ ∂ ∂ =− − − ∂ ∂ ∂

�

E V=−∇��

( )2 3

0

1 1 ˆˆcos cos4

pE r

r r rθ θ θ

πε θ

∂ ∂ =− + ∂ ∂

�

Campo elétricoDIPÓLO ELÉTRICO

...que fornece a seguinte equação:

( ) ( )3

0

ˆˆ2cos sin4

pE r

rθ θ θ

πε = +

�

3

0

o

ˆ2

0

pE r

rπε

θ

=

=

�

3

0

o

ˆ4

90

pE

rθ

πε

θ

=

=

�

3

0

o

ˆ2

180

pE r

rπε

θ

=−

=

�

3

0

o

ˆ4

270

pE

rθ

πε

θ

=−

=

�

P

P

P

P

Campo elétricoDIPÓLO ELÉTRICO: RESOLUÇÃO NA PLATAFORMA PhET

Vamos resolver este problema no programa Cargas e Campos

da plataforma PhET...da plataforma PhET...

;)

Potencial elétricoPRODUZIDO POR CORPOS EXTENSOS

Calcule o potencial elétrico gerado no ponto P por um disco de raio R

carregado com densidade superficial uniforme σ.

Para calcular o potencial de corpos extensos, iniciamos com a mesma

lógica dos cálculos anteriores: definimos um elemento de carga dQ e

calculamos o potencial gerado em P:

dQ dQdV = =

em que dQ é um elemento de carga na superfície dA = 2πR’dR’ de um

anel de raio médio R’ e espessura dR’:

( )2 20

04 4 '

dVr R zπε πε

= =+

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2

0 0 0

2 ' '

4 ' 4 ' 4 '

dQ dA R dRdV

R z R z R z

σ σ π

πε πε πε= = =

+ + +

A integral é resolvida com a mudança de variável: e ⸫' tanR z α= ( )2' secdR z dα α=


( )

( )

( )

( )2 22

2 22 20 0

0 0

tan sec tan sec' 'tan sec

2 sec 22 ' 2 tan

z d z dR dR zdV d

R z z z

σ α α α σ α α ασ σα α α

ε α εε ε α= = = =

+ +

( )sindu dα α=−

( )2

0 00 0

sintan sec

2 2 cos

R Rz z

V d dσ σ α

α α α αε ε α

= =∫ ∫

Aplicando a segunda mudança de variável: e , temos:cosu α= ( )sindu dα α=−

( )2 2

2

0 00 0 0 000

'1 1

2 2 2 cos 2

R

R RR R zz du z z zV

u u z

σ σ σ σ

ε ε ε α ε

+=− = = =∫

( )2 2

02V R z z

σ

ε= + −

α

z

R’tan α = R’/z

Potencial elétrico

gerado no ponto P


Com este resultado, podemos calcular o campo elétrico a partir da aplicação do

gradiente do potencial em coordenadas cilíndricas:

E V=−∇��

1 ˆˆ ˆV V V

E zz

ρ φρ ρ φ

∂ ∂ ∂ =− − − ∂ ∂ ∂

�

com o potencial sendo uma função apenas da coordenada z:

ˆ ˆE zz

ρ φρ ρ φ

=− − − ∂ ∂ ∂

( )2 2

2 20 0

ˆ ˆ ˆ12 2

dV d zE z R z z z z

dz dz R z

σ σ

ε ε

=− =− + − = − +

�

que é o mesmo resultado obtido via lei de Coulomb.

Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 2

Para mostrar que este campo independe do

caminho, as integrais da função ao longo dos

três caminhos devem ser iguais:

1 2 3C C C

F dl F dl F dl⋅ = ⋅ = ⋅∫ ∫ ∫� � ��

Caminho 1: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 0 e um segmentoCaminho 1: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 0 e um segmento

vertical com 0 ≤ y ≤ 2 em x = 1:

( ) ( ) ( ) ( )1

1 22

0 0

0 1

1ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1

2 2C

xF dl xy x y dx x dy y xdx dy

= =

⋅ = + ⋅ + = + = ∫ ∫ ∫ ∫

��

��

Caminho 2: formado por um segmento horizontal com 0 ≤ x ≤ 1 em y = 2 e um segmento

vertical com 0 ≤ y ≤ 2 em x = 0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

1 22

0 0

1 0

ˆ ˆ ˆ ˆ 2 0 12

C

xF dl xy x y dx x dy y xdx dy

= =

⋅ = + ⋅ + = + = ∫ ∫ ∫ ∫

��

��


Caminho 3: formado por um único segmento descrito por y = 2x.Caminho 3: formado por um único segmento descrito por y = 2x.

Se F é um vetor de força e o caminhos de integração representam distâncias, as integrais de

linha são o trabalho realizado sobre um corpo.

( ) ( ) ( )3

1 222 2

0 0

2/3 1/3

1ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1

2 8C

xF dl xy x y dx x dy y x dx y dy

= =

⋅ = + ⋅ + = + = ∫ ∫ ∫ ∫

��

��


O potencial em cada ponto é gerado pela soma dos potenciais individuais:

( ) ( )1 1

4 4 4A

q q qV

a b d a b dπε πε πε

− = + = − + +

e a diferença de potencial VA – VB é dada por:

( ) ( )0 0 04 4 4a b d a b dπε πε πε + +

( ) ( )0 0 0

1 1

4 4 4B

q q qV

a d b a d bπε πε πε

− = + = − + +

( ) ( )0

1 1 1 1

4A B

qV V

a b d a d bπε

− = − − − + +


Para calcular o potencial dentro da esfera no ponto Pin vamos

utilizar a definição de potencial:

Pin

Pout

V E dr∆ =− ⋅∫� �

Considere o trabalho realizado na direção radial para trazer uma

partícula do infinito até o ponto Pin. Neste caminho, existe o campo

elétrico do infinito até a superfície da esfera e outro campo elétrico da

superfície da esfera até o ponto P :superfície da esfera até o ponto Pin:

out inV E dr E dr E dr∆ =− ⋅ =− ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫� � ��

( ) ( )

out

2

0 0

ˆ ˆ ˆ ˆ4 3

R r

R

V

q rV dr r r dr r r

r

ρ

πε ε∞

∆ =− ⋅ − ⋅ ∫ ∫��

Item (a): o potencial

no ponto Pout é dado

por:

04

qV

rπε=


Pin

Pout 2

0 04 3

R r

R

q rV dr dr

r

ρ

πε ε∞

∆ =− −∫ ∫

2

0 04 3

R r

R

q drV rdr

r

ρ

πε ε∞

∆ =− −∫ ∫

r

R∞

em que ρ é a densidade volumétrica de carga : 33 4q Rρ π=

2 2 2

3 2

0 0 0

11

4 4 2 2 4 2 2

q q r R q rV

R R R Rπε πε πε

∆ = − − = − +

2

2

0

3

4 2 2

q rV

R Rπε

∆ = −


dQConsidere um elemento de carga dQ do balão que possui carga

total Q. A energia potencial deste elemento de carga é dada pela

equação:

( ) ( )2

0 0 0 04 4 4 4

Q dQ dQ dQQdQ QdQdU

R R R Rπε πε πε πε

−= = − ≈

��

Somando as energia potenciais de todos os elementos de carga

dQ, a energia total será:

0 0 0 0

0

4 4 4 4R R R Rπε πε πε πε

≈��

2

0 00

' '

4 8

QQ dQ Q

UR Rπε πε

= =∫


a 04

QV

rπε=

x

O

( ) ( )( )( )4 4 4

cx dxdQ dxdV

a x a x a x

λ

πε πε πε= = =

− − −

L

( ) ( ) ( )0 0 04 4 4dV

a x a x a xπε πε πε= = =

− − −

( )

0

04L

c xdxV

a xπε−

=−∫

Realizando a troca de variável e :u a x= − du dx=−

( ) ( )0 0 0

0

0 0 0

( )ln

4 4 4 LL L L

c a u du c du cV a du a a x a x

u uπε πε πε −− − −

− =− =− − =− − − − ∫ ∫ ∫


a

x

O

L

( ) ( ) ( ) ( ){ }0

ln ln ln4 4L

c cV a a x a x a a a a a L a L

πε πε− = − − + − = − + − − + + + ( ) ( ) ( ) ( ){ }

0 04 4Lπε πε−

0

ln 14

ac L LV

a aπε

= + −

Considerando L = 12,0 cm, c = 28,9 pC/m2, e a = 3,00 cm, obtemos: 18,6 mVV =−

Por que a tensão

é negativa?

A densidade linear cx é

negativa ao assumirmos

x negativo.

Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 11 – Observações

a

x

O

L

( ) ( )( )( )4 4 4

cx dxdQ dxdV

x a x a x a

λ

πε πε πε= = =

+ + +( ) ( ) ( )0 0 04 4 4x a x a x aπε πε πε+ + +

( )0 04

Lc xdx

Vx aπε

=+∫

Realizando a troca de variável e :u x a= + du dx=

( ) ( )0

0 0 00 0 0

( )ln

4 4 4

L L LLc u a du c du c

V du a x a a x au uπε πε πε

− = = − = + − + ∫ ∫ ∫

Resolução de problemasLISTA 4, PROBLEMA 11 – Observações

a

x

O

L

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0

ln ln ln4 4

Lc cV x a a x a L a a L a a a a

πε πε = + − + = + − + − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }

00 04 4πε πε

0

ln 14

ac L LV

a aπε

=− + −

Considerando L = 12,0 cm, c = 28,9 pC/m2, e a = 3,00 cm, obtemos:

18,6 mVV =+

Dúvidas?

[email protected]

Skype: diego_a_d

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Física 3 (EMB5043): Potencial elétrico