Potencial Elétrico - UTFPR

Capítulo 24:

Potencial Elétrico

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Energia Potencial Elétrica

Potencial Elétrico

Superfícies Equipotenciais

Cálculo do Potencial a Partir do Campo

Potencial Produzido por uma Carga Pontual

Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais

Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico

Potencial Produzido por uma Distribuição de Cargas Contínuas

Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial

Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais

Potencial de um Condutor Carregado

Cap. 24: Potencial Elétrico


Força Elétrica é Conservativa, portanto é possível associar à

Força Elétrica uma Energia Potencial Elétrica.

Uma Força é dita conservativa quando o trabalho realizado por

ela não depende da trajetória.

0sdF


Na Mecânica, nós definimos que a variação na energia potencial, ΔU, estáassociada a um trabalho realizado (Força gravitacional) sobre a partícula quedesloca d da posição i até f.

sdFWUUU if

Como o trabalho de uma força conservativa nãodepende da trajetória, podemos escolher atrajetória que facilite os cálculos e leve aosmesmos pontos iniciais e finais.

Por conveniência, usamos como configuraçãode referencia um sistema de partículascarregadas, a configuração na qual a distânciaentre as partículas é infinita e definimos que aenergia potencial de referencia é zero.Nesse caso,

WU f

EqF

0iU


Exemplo (Campo Independente da Posição)

1. Elétrons estão sendo constantemente arrancados das moléculas de ar daatmosfera por partículas de raios cósmicos provenientes do espaço sideral. Umavez liberados, esses elétrons estão sujeitos a uma força eletrostática F associada aum campo elétrico E produzido na atmosfera por partículas carregadas jáexistentes na Terra. Perto da superfície terrestre, este campo elétrico tem ummódulo de 150 N/C e aponta para o centra da Terra. Qual a variação de energiapotencial elétrica de um elétron livre na atmosfera da Terra quando a forçaeletrostática faz com que se mova verticalmente para cima de uma distância d =520 m? (-1,2 x 10-14 J)

d

qEdssdFWU0

dEqU


Potencial elétrico é definido como a energia potencial elétrica por

unidade de carga associada a uma carga de prova q0 neste ponto. O

potencial é uma propriedade do campo elétrico existente em uma região

do espaço.

• V é uma grandeza escalar, função de ponto.

• Unidade de Potencial Elétrico no SI é Volt (V = J/C)0q

UV

00 q

W

q

UV

Diferença de potencial (ΔV = voltagem):

Podemos associar uma energia à carga elementar e à diferença de potencial da seguinte forma:

1 eV (eletron-volt) = e (1V) = 1,6 x 10-19 J.


A

B

Cálculo do potencial a partir do campo Elétrico.

f

i

if sdEVV

.

Se Vi = 0, i está no infinito, temos o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no

infinito, tomado como sendo zero :

f

i

sdEV

.

f

i

sdEqWU

.0

Para uma partícula de carga q0 que está inicialmente no infinito:


Exemplo 2:

(a) A figura mostra dois pontos i e f napresença de um campo elétrico uniforme E.Os pontos estão sobre a mesma linha decampo elétrico (que não aparece na figura),separados por uma distância d. Determine adiferença de potencial Vf – Vi deslocando umacarga de prova q0 do ponto i ao ponto f aolongo da trajetória indicada, que é paralela àdireção do campo. (b) Determine a diferençade potencial deslocando a carga de provapositiva q0 ao longo da trajetória icf na figura.


Potencial Produzido por uma Carga Pontual.

r

qV

04

1

Gráfico gerado em computador do potencial elétrico V(r) produzido por uma carga

positiva situada na origem do plano xy.

Calculamos o potencial deslocando uma carga de prova q0 do ponto P ao infinito (Vf = V∞ = 0).

Partícula de carga q positiva → potencial elétrico positivo. Partícula de carga q negativa → potencial elétrico negativo.

i

if sdEVV

i

f


Potencial Produzido por uma Carga Pontual.

r

qV

04

1

n cargas pontuais (V∞ = 0).

Também pode ser usada pra calcular o potencial elétrico fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com

simetria esférica desde que (V∞ = 0). Neste caso q é a carga total da esfera e r a distância que separa o centro da

esfera ao ponto que se deseja determinar o potencial.

Potencial Produzido por um Grupo de Cargas Pontuais.

n

i i

in

i

ir

qVV

101 4

1


Exemplo 3:

Considerando V = 0 no infinito, qual o valor do potencial elétrico no ponto P,situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na figuraabaixo? A distância d = 1,3 m e as cargas são:

q1 = +12 nC

q2 = -24 nC

q3 = +31 nC

q4 = +17 nC

n

i i

in

i

ir

qVV

101 4

1

(R: V = 352 V)


Exercício:24.9) O campo elétrico em uma certa região do espaço tem componentes Ey = Ez= 0 e Ex = 4x N/C. O ponto A está sobre o eixo y em y = 3 m e o ponto B estásobre o eixo x em x = 4 m. a) Qual é a diferença de potencial VB – VA? b) Qual otrabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de 2 nC na condiçãoacima citada?(a) -32V; b) 64 nJ)

24.17) Na figura abaixo, partículas de carga q1 = +5e e q2 = -15e são mantidasfixas , separadas por uma distância d = 24 cm. Tomando V = 0 no infinito,determine o valor de x, a) positivo e b) negativo, no qual o potencial elétricosobre o eixo x é nulo. (a) x = 6cm; b) x = - 12 cm).

x não poderá ser maior que d, pois q2 gera umpotencial negativo que sempre será maior queo potencial de q1 nesta região!

x positivo será menor que d!


Exercício:

24.18) A figura abaixo mostra um arranjo de partículas carregadas mantidas fixas, com a= 39 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 = 3,4 pC e q2 = 6 pC. ComV=0 no infinito, qual é o potencial elétrico no centro do retângulo? (2,21 V)


Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico.

Dipolo Elétrico2

0

cos

4

1

r

pV


Momento Dipolar Induzido.


Potencial Produzido por distribuição contínua de cargas.

r

dqV

04

1

Distribuição contínua de

cargas

Potencial Produzido por Linha de cargas. (Sugerido pelo Livro)

d

dLLV

2122

0

ln4

2/1220 04

1

dx

dxV

L

LdxxV 0

2/122

0

|)(ln4

Consultando uma tabela de Integrais


r

dqV

04

1

Potencial Produzido por Linha de cargas. (Resolução Justificada!)

ddd

dV sec

4cos

cos4

1

0

2

0

θ

dr cos cosdr

dxdq

rsenx

cos

sendx

dd

dx2cos

d

ddq

2cos

Multiplicando por: tgsec

d

tg

tgV

)(sec

)(secsec

4 0

tgu sec

dtgdu )(secsec


Potencial Produzido por Linha de cargas. (Resolução Justificada!)

θSubstituindo as variáveis em θ:

d

tg

tgV

)(sec

)(secsec

4 0

tgu sec

dtgdu )(secsec

u

duV

04

)ln(sec4

ln4 00

tguV

d

xd

d

r 22

cos1sec

d

xtg

L

d

x

d

dxV

0

22

0

ln4

d

L

d

dLV

22

0

ln4


Potencial Produzido por um Disco carregado.

zRzV 22

02

RR

zr

rdr

zr

rdrV

0

2/1220

2/1220 0 2

2

4

1

h

dqV

04

1

Mudança de Variável:rdrdu

zru

2

22

Rzruduu

V 0

2/122

0

2/1

0

2/1

0

|2222

h


Exercício:

24.24) Na figura abaixo, uma barra de plástico com uma carga uniformementedistribuída Q = -25,6 pC tem a forma de um arco de circunferência R = 3,71 cm e umângulo central de 120°. Com V = 0 no infinito, qual é o potencial elétrico no ponto P, ocentro da curvatura da barra? (-6.20 V)

24.26) Uma esfera gaussiana de 4 cm de raioenvolve uma esfera de 1,0 cm de raio que contémuma distribuição uniforme de cargas. As duasesferas são concêntricas e o fluxo através dasuperfície da esfera gaussiana é 5,6 x 104 N.m2/C.Qual é o potencial elétrico a 12 cm do centro dasesferas? (3.71*104 V)


24.27) Na figura abaixo, determine o potencial elétrico produzido na origem porum arco de circunferência de carga Q1 = 7,21 pC e duas partículas de carga Q2 =4Q1 e Q3 = -2Q1. O centro do arco está na origem, o raio é R = 2m e o ânguloindicado é θ = 20°. (V = 32,4 mV)


Superfícies Equipontenciais

Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície potencial.

Linhas de campo elétrico e superfícies equipotenciais são mutuamente perpendiculares.

O trabalho realizado quando uma partícula se desloca em uma mesma superfícieequipotencial é zero.


O Campo Elétrico a partir do Potencial

Para coordenadascartesianas:

Para campo elétricoé uniforme:

VE

x

VEx

y

VEy

z

VEz

ss

VE ˆ

Onde s é perpendicular àssuperfícies equipotenciais

A componente do campo elétrico em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação do potencial elétrico com a distância nesta direção.

kz

jy

ix

ˆˆˆ

k

z

Vj

y

Vi

x

VVE ˆˆˆ


Exemplo 5:O potencial elétrico em um ponto sobre o eixo central de um disco uniformemente carregado é :

A partir dessa equação, determine o campo elétrico em qualquer ponto sobre o eixo central do disco.

24.39) Qual o módulo do campo elétrico no ponto (3î - 2j + 4k) m se o potencial é dado por V = 2xyz2? (150,1 V/m)

zRzV 22

02


Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Cargas Pontuais

A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao

trabalho que deve ser executado por um agente externo para montar o sistema,

começando com as cargas a uma distância infinita umas das outras.

r

qqU 21

04

1

Energia potencial elétrica de

um par de cargas

0 UU i

cefif WUUUU

Wce = trabalho realizado pelo campo.

i∞

f

F

sd


Potencial de um condutor carregado.

Em um condutor o potencial elétrico é constante!

i. Interior: Vi = Vf = potencial na superfície!

R

qVV fi

04

1

0E

ii. Exterior (casca esférica condutora):

2

04

1

r

qE

r

qV

04

1

VE


Potencial de um condutor carregado.


Lista de Exercícios 8ª Edição3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 18, 21, 24, 25, 27, 28, 31, 37, 39, 41, 45, 53, 55, 59, 67, 77

Referências

HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física:Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.

TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.

SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.

Lista de Exercícios 10ª Edição1, 5, 9, 7, 11, 17, 19, 16, 21, 24, 23, 29, 30, 27, 39, 37, 43, 51, 49, 59, 57, 67, 69

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