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Trabalho, Energia e Momentum Linear.
Física Geral
l Energia e Momentum Há muitas formas de energia como por exemplo, energia nuclear,
energia elétrica, energia sonora, energia luminosa. Quando você levanta um objeto que possui uma certa massa, várias
formas de energia são envolvidas neste processo, energia química, térmica, cinética, potencial.
Em uma central nuclear, a energia produzida pela fissão nuclear, é
transformada em energia térmica e no último estágio em energia elétrica.
Nos casos em que a energia total se conserva, aplica-se a lei de
conservação de energia.
Momentum ou quantidade de movimento
Momentum é uma medida da capacidade de parar um corpo ou partícula que se encontra em movimento. Depende da massa e velocidade da partícula, é um grandeza vetorial e definida como: Não é expresso por uma unidade específica. No SI: kg.m/s É uma grandeza vetorial, com mesma direção e sentido que a velocidade do corpo.
!p =m!v
Impulso
tF Δ⋅!
´tF Δ⋅!
Aplicação de uma força F sobre um objeto por um determinado intervalo de tempo ∆t.
v!
´v!.´ para tt Δ>Δ
Podemos expressar o impulso em termos da quantidade de movimento, utilizando a segunda lei de Newton:
( )pI
vmvmtFI
ttvmtFamF
!!!!!!
!!!!
Δ=⇒
⋅Δ=Δ⋅=Δ⋅=
Δ⋅Δ
Δ⋅=Δ⋅⇔⋅=
ou
A variação da quantidade de movimento é igual ao impulso.
Exemplo. Uma bola, cuja massa é de 0,1 kg, é solta de uma altura de 2 m e após atingir o solo, volta a uma altura de 1,8 m. Determine o impulso que ela recebeu da gravidade enquanto estava caindo e o impulso recebido quando atingiu o solo.
h = 2,0 m 1,8 m
Dado que na queda livre inicia-se do repouso, a velocidade ao tocar no chão pode ser calculada por
v1 = 2gh = 6,26 m/s, logo a variação da quantidade de movimento durante a queda é Δpq =m
v1 − 0 = −uy 0, 626 kg ⋅m/s( ).
Quando a bola atinge o solo, uma nova força age durante um tempo muito curto. A velocidade logo após o impacto será
v2 = 2gh2 = 5, 94 m/sA variação total da quantidade de movimento, ou seja, o impulso será dado por
p2 −p1 = uy (0, 594 + 0,626) =uy (1, 220) kg ⋅m/s.
Trabalho
Consideremos uma partícula que se move ao longo de uma curva C, sob a ação de uma força F.
Num intervalo muito curto dt ela se move de A a A´, efetuando um deslocamento . O trabalho executado pela força durante esse deslocamento é dado por
rd!
rdFdW !!⋅=
que pode também ser escrito como , onde ds é o comprimento percorrido pela partícula. Porém Fcosθ é também a componente FT da força ao longo da tangente à trajetória. Ou seja,
θcosFdsdW =
dsFdW T=
dsFdW T=O trabalho é igual ao produto do deslocamento pela componente da força ao longo do deslocamento.
FN não
executa trabalho.
O peso mg não executa trabalho nesse deslocamento.
O trabalho executado por uma partícula que percorre um trajeto não infinitesimal AB, é dado pela soma de todos os trabalhos infinitesimais realizados durante os sucessivos deslocamentos infinitesimais.
∫ ∫=⋅=
+⋅+⋅+⋅=
B
A
B
A T dsFrdFW
rdFrdFrdFW
!!
!!!!!!
ou...332211
O caso mais simples é aquele de um movimento retilíneo.
Neste caso, temos
FsFdsrdFWB
A
B
A==⋅= ∫ ∫
!!
que é a forma mais comum encontrada em livros escolares.
( )122
1
xxadxax
x−=∫
Sabendo que
No caso mais geral, em que a força possui componentes x,y e z, podemos escrever
( ).ou
∫ ++=
++=
B
A zyx
zyx
dzFdyFdxFW
dzFdyFdxFdW
O trabalho é igual à soma do trabalho executado por suas componentes retangulares.
( )rdFdW
rdFFFdW
rdFrdFrdFdW
dWdWdWdW
!!!!!!!!!!!!
⋅=
⋅+++=
+⋅+⋅+⋅=
+++=
...
...
...
321
321
321
O trabalho resultante de várias forças é igual ao trabalho executado pela força resultante.
Potência
Representa a “rapidez” com que o trabalho é executado, sendo definida por
.dtdWP =
Utilizando o conceito de trabalho e das relações cinemáticas, temos que
.vFdtrdFP !!!!
⋅=⋅=
(Potência instantânea)
A potência média é dada por
tWPmed =
onde W é o trabalho total e t o tempo necessário para a sua realização.
Unidades de Trabalho e Potência Sistema Internacional (SI) de unidades físicas
Trabalho → Newton x Metro = Joule (J) em homenagem a James Prescott Joule.
Um joule é o trabalho executado por uma força de um newton quando ela desloca uma partícula por um metro.
-22-2 skgmmN J skgm N ⋅⋅=⋅=⋅⋅=
Potência → Joule x segundo-1 = Watt (W) em homenagem a James Watt.
W10MWMegawattW10kWQuilowatt
skgmsJ Wskgm J
6
3
-32-1-22
==⇒
==⇒
⋅⋅=⋅=⋅⋅=
Uma unidade popular de trabalho é o quilowatt-hora, que é o trabalho executado por uma máquina de potência de 1kW durante o período de uma hora.
No Brasil é bastante utilizada a unidade cavalo-vapor (cv) que equivale a 75 kgf m s-1 ou ~735,5 W.
Cnxdxxn
n ++
=∫+
1
1Sabendo que
Energia Cinética
Podemos escrever o trabalho de um deslocamento infinitesimal como
22
21
21
Portanto
AB
B
A
B
AT
T
mvmvdvvmdsFW
dvvmdtdsdvmds
dtdvmdsF
−===
===
∫ ∫ Cnxdxxn
n ++
=∫+
1
1Sabendo que
partícula. da cinética energia a chamada É 21 2 →= vmEK
AkBk EEW ,, −=Logo O trabalho realizado por uma força sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética.
( )21222
12
1
xxaxdxax
x−=∫
Sabendo que
Trabalho de uma força constante
( ) .∫ ∫ −⋅=⋅=⋅=B
A
B
A AB rrFrdFrdFW !!!!!!!
Se a força é constante, então podemos fazer
Isso mostra que o trabalho independe da trajetória que liga A e B.
Uma aplicação importante é quando o trabalho é realizado pela força da gravidade.
Nesse caso
( ) ( ).ˆˆ e ˆ
AByABxAB
y
yyuxxurrmgugmF
−+−=−
−==!!
!!
Substituindo, obtemos
( ) BAAB mgymgyyymgW −=−−=
( )122
1
xxadxax
x−=∫
Energia Potencial
Forças conservativas são aquelas que sua dependência com o vetor posição ou com as coordenadas (x, y, z) da partícula é tal que o trabalho W pode ser expresso como a diferença entre os valores de uma quantidade Ep(x, y, z) nos pontos inicial e final. A quantidade Ep é chamada energia potencial e é função das coordenadas da partícula.
∫ −=⋅=B
A BpAp EErdFW
F
.
então va,conservati força uma é Se
,,!!
!
A energia potencial é uma função das coordenadas tal que a diferença entre seus valores na posição inicial e na posição final é igual ao trabalho realizado para movê-la da posição inicial até a posição final.
Energia Potencial
Da equação obtida anteriormente para o trabalho realizado pela gravidade
W = −mg yB − yA( ) =mgyA −mgyB,
comparando com a definição de energia potencial
W =F ⋅dr = Ep,A −Ep,B,A
B∫
temos diretamente que a energia potencial gravitacional é dada por
Ep =mgy
Energia Potencial
O trabalho realizado por forças conservativas é independente da trajetória.
Em particular, no caso em que a trajetória é fechada, o trabalho realizado será nulo visto que
Ep,A = Ep,B
Conservação de energia de uma partícula
Quando a força que age sobre uma partícula é conservativa, podemos utilizar a definição de trabalho em termos da energia cinética e energia potencial para escrever
Ek,B −Ek,A = Ep,A −Ep,B
ou, da mesma forma Ek +Ep( )A = Ek +Ep( )B
onde E = Ek + Ep é a energia total da partícula.
Quando as forças são conservativas, a energia total E da partícula permanece constante.
Assim, para qualquer posição da partícula, podemos escrever
E = Ek +Ep = const.
Conservação do Momentum Linear Vamos considerar um sistema ideal de dois corpos que interagem entre si, mas não interagem com nenhum outro corpo. Apenas forças internas agem no sistema. Cada corpo exerce uma força sobre o outro. De acordo com a terceira lei de Newton, as duas forças possuem o mesmo módulo e mesma direção, porém sentidos contrários. Logo, o impulso que um corpo recebe é igual ao do outro, porém tem sentido contrário. Sendo,
baba ppII !!!!Δ−=Δ↔−=
a
b
pmvmvttvmtFI if
!!!!
Δ=−=ΔΔ
Δ=Δ⋅=
temos
if
bbaa
ba
pp
pppppp
fiif
!!
!!!!
!!
=
−=−
Δ−=Δ
Conservação do Momentum Linear
Quando a soma vetorial de todas as forças externas é igual a zero e apenas forças internas atuam sobre um sistema, o momentum linear total do sistema permanece constante.
O ponto importante da lei da conservação do momento, é que sua aplicação independe da natureza detalhada das forças internas entre os corpos constituintes do sistema. Isso significa que podemos aplicar a lei mesmo quando sabemos muito pouco a respeito das forças internas entre os corpos.
O momento se conserva.
Leis de conservação em colisões
Y
X m1 m2
1p!
02 =p!
Y
X
m1
m2
1'p!
2'p!
Antes Depois
É um exemplo de como as leis de conservação podem fornecer várias informações físicas de um sistema, sem conhecer detalhes das forças envolvidas no processo.
Tipos de colisões
- Elásticas: conservação do momentum linear e da energia cinética. - Inelásticas: conservação do momentum linear, mas não da energia cinética.
Exemplo de colisão inelástica Um corpo de massa m1 = 3kg se move com velocidade v1 = 4 m/s, quando colide com um corpo de massa m2 = 1kg que esta em repouso, resultando em um corpo composto. Qual a sua velocidade imediatamente após a colisão?
m1 1v! m2 m1 'v!m2
Exemplo de colisão inelástica Um corpo de massa m1 = 3kg se move com velocidade v1 = 4 m/s, quando colide com um corpo de massa m2 = 1kg que esta em repouso, resultando em um corpo composto. Qual a sua velocidade imediatamente após a colisão?
m1 1v! m2 m1 'v!m2
Solução
Momentum antes da colisão: 11211 0 vmmvmp !!!=⋅+=
Momentum após a colisão: ( ) '' 21 vmmp !!+=
Pela lei de conservação do momentum linear temos que '.pp !!=
Ou seja, ( ) m/s. 3''21
112111 =
+=→+=
mmvmvvmmvm !!
Colisões elásticas Vamos examinar a colisão entre duas partículas de massa m1
e m2, com velocidades iniciais v1i e v2i e velocidades finais v1f e v2f.
Pela conservação de energia,
m1v1i2 + m2v2i2 = m1v1f2 + m2v2f2
E1i+ E2i= E1f+ E2f
12m1v1i
2 + 12m2 v2i
2 = 12m1v1f
2 + 12m2v2f
2
m1(v1i2 − v1f2 )= m2(v2f2 − v2i2 ) (1)
Pela conservação de momentum: Lembrando que e aplicando a (1), temos: Usando a equação (2), temos:
p1i+ p2i = p1f+ p2f
m1v1i+ m2v2i = m1v1f+ m2v2f
m1(v1i− v1f ) = m2(v2f− v2i) (2)
(a2− b2)= (a+ b).(a− b)
m1(v1i− v1f )(v1i+ v1f ) = m2(v2f− v2i)(v2f+ v2i)
v1i+ v1f = v2f+ v2i (3)
Assim, se conhecemos as velocidades iniciais das partículas, pelas equações (2) e (3), podemos determinar as velocidades finais das partículas envolvidas na colisão. Da equação (3), temos: Então substituindo na equação (2),
v1f = v2f+ v2i− v1i
m1(v1i− v2f− v2i+ v1l) = m2(v2f− v2i)
m1(2v1i− v2f− v2i) = m2(v2f− v2i)
Mostre que:
− (m1+ m2)v2f= (m1− m2)v2i− 2m1v1i
(m1+ m2)v2f= (m2− m1)v2i+ 2m1v1i
v2f=m2− m1
m2+ m1v2i+
2m1
m2+ m1v1i
v1f=2m2
m1+ m2v2i+ (
m1− m2
m1+ m2)v1i
l Velocidades relativas entre as partículas que colidem Colisão elástica De (3), O resultado foi obtido considerando que não há qualquer
perda de energia cinética das partículas envolvidas na colisão (colisão perfeitamente elástica).
v2f− v1f = − (v2i− v1i) (4)
Nas colisões perfeitamente elásticas, a velocidade relativa de afastamento das partículas após a colisão é igual à velocidade relativa de aproximação das partículas antes da colisão. Colisões perfeitamente elásticas, Fisicamente é difícil encontrar colisões perfeitamente elásticas. Normalmente há perdas devido à forças dissipativas (atrito, deformações, etc.).
r=v2f− v1fv2i− v1i
r= 1
l Colisões parcialmente elásticas Nestas colisões, a velocidade relativa final é menor que a
velocidade relativa inicial. l Colisões perfeitamente inelásticas Após a colisão, a velocidade relativa é nula; as partículas se
deslocam com a mesma velocidade.
r< 1
r= 0
Há conservação do momentum, portanto: A energia cinética do centro de massa do sistema de partículas permanece constante mesmo em colisões inelásticas, quando forças externas ao sistema são desprezíveis. Nas colisões perfeitamente inelásticas, após a colisão, a velocidade relativa é nula e as partículas se movem com a energia do centro de massa.
pi= pf ⇒ m1v1i+ m2v2i = (m1+ m2) vf
vf=m1v1i+ m2v2im1+ m2
