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Física III ______________________________________________________________________________
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Física Geral e Experimental III
Ondas
As ondas são um dos principais assuntos da física. Para se ter uma ideia da importância
das ondas basta considerar a indústria musical. Cada peça musical que escutamos depende da
produção de ondas pelos artistas e da capacidade da plateia de detectar essas ondas.
Tipos de Ondas
As ondas podem ser de três tipos principais:
1. Ondas mecânicas. Essas ondas são as mais familiares porque as encontramos
constantemente. Entre elas estão as ondas do mar, as ondas sonoras e as ondas
sísmicas. Todas essas ondas possuem duas características: são governadas pelas leis de
Newton e existem apenas em um meio material, como a água, o ar ou as rochas.
2. Ondas eletromagnéticas. Essas ondas podem ser menos familiares, mas estão entre as
mais usadas. Exemplos: luz visível, luz ultravioleta, as ondas de rádio e de televisão, as
microondas, os raios X e as ondas de radar. Estas ondas não precisam de um meio
material para existir. As ondas luminosas provenientes das estrelas, por exemplo,
atravessam o vácuo do espaço para chegar até nós. Todas as ondas eletromagnéticas se
propagam no vácuo com a mesma velocidade c = 299.792.458 m/s.
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3. Ondas de matéria. Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas elementares,
e mesmo a átomos e moléculas. Elas são chamadas de ondas de matéria porque
normalmente pensamos nessas partículas como elementos básicos da matéria.
Ondas transversais e longitudinais
Uma onda que se propaga em uma corda esticada é a mais simples das ondas mecânicas.
Quando sacudimos a ponta de uma corda esticada uma onda com a forma de um pulso se
propaga ao longo da corda, como na Figura 1. Este pulso e o seu movimento podem ocorrer
porque a corda está sob tensão. Quando se puxa a extremidade da corda para cima, ela puxa
para cima a parte vizinha da corda através da tensão que existe entre as duas partes. Quando a
parte vizinha se move para cima puxa para cima a parte seguinte da corda, e assim por diante. O
resultado geral é que a distorça da forma da corda (o pulso) se propaga ao longo da corda com
uma certa velocidade v.
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Figura 1. (a) Um pulso isolado é produzido em uma corda esticada. Como o movimento é perpendicular à direção de propagação da onda, o pulso é uma onda transversal. (b) Uma onda senoidal é produzida na corda, que se move para cima e para baixo com a passagem da onda.
Também é uma onda transversal.
Se você coloca a mão para cima e para baixo continuamente, em um movimento
harmônico simples, uma onda contínua se propaga ao longo da corda com velocidade v. Como o
movimento da sua mão é uma função senoidal do tempo, a onda tem uma forma senoidal em
qualquer instante, como na Figura 2, ou seja, a onda possui a forma da curva seno ou co-seno.
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Figura 2. Uma onda sonora é produzida, em um tubo cheio de ar, movendo o êmbolo para frente
e para trás. Como as oscilações de um elemento de ar são paralelas à direção de propagação da
onda, é uma onda longitudinal.
Todas as ondas mecânicas requerem alguma fonte de perturbação, um meio que possa
ser perturbado e algum mecanismo físico pelo qual as partículas do meio possam influenciar
umas às outras.
No momento, vamos considerar apenas o caso de uma corda “ideal”, na qual não existem
forças de atrito para reduzir a amplitude da onda enquanto ela se propaga. Além disso, vamos
supor que a corda é tão comprida que não é preciso considerar o retorno da onda depois de
atingir a outra extremidade.
Um modo de estudar a onda da Figura 1 é examinar a forma da onda, ou seja, a forma
assumida pela corda em um dado instante. Outro modo consiste em observar o movimento de um
elemento da corda enquanto oscila para cima e para baixo por causa da passagem da onda.
Usando o segundo método, constatamos que o deslocamento dos elementos da corda é sempre
perpendicular à direção de propagação da onda, como mostra a Figura 1(b). Este movimento é
chamado de transversal, e dizemos que a onda que se propaga em uma corda é uma onda
transversal.
A Figura 2 mostra como uma onda sonora pode ser produzida por um êmbolo em um tubo
com ar. Se você desloca o êmbolo bruscamente para a direita e depois para a esquerda, envia
um pulso sonoro ao longo do tubo. O movimento do êmbolo para a direita empurra as moléculas
do ar para a direita, aumentando a pressão do ar nesta região. O aumento da pressão do ar
empurra as moléculas vizinhas para a direita, e assim por diante.
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Se você desloca o êmbolo para a frente e para trás em um MHS, como da Figura 2, uma
onda senoidal se propaga ao longo do tubo. Como o movimento das moléculas de ar é paralelo à
direção de propagação da onda, este movimento é chamado de longitudinal, e dizemos que a
onda que se propaga no ar é uma onda longitudinal.
Tanto as ondas transversais como as ondas longitudinais são chamadas de ondas
progressivas quando se propagam de um lugar a outro, como os exemplos das Figuras 1 e 2.
Exemplo: As ondas sísmicas são ondas que se propagam tanto no interior como na superfície da
Terra. Quando ondas sísmicas passam por uma estação sismológica fazem a pena de um
registrador oscilar, desenhando um gráfico correspondente. A Figura 3 mostra um dos registros
das ondas sísmicas produzidas pelo submarino russo Kursk em 2000. As primeiras oscilações da
pena estão assinaladas por uma seta, e foram de pequena amplitude. Oscilações muito mais
fortes começaram cerca de 134 s depois. A partir de registros como esse, os analistas
concluíram que as primeiras ondas sísmicas foram geradas por uma explosão a bordo,
possivelmente de um torpedo que não chegou a ser lançado por causa de algum defeito no
sistema de propulsão. A explosão provavelmente abriu uma fenda no casco, provocou um
incêndio e fez o submarino afundar. As ondas sísmicas posteriores, muito mais fortes, foram
geradas depois que o submarino afundou e foram possivelmente geradas quando o incêndio
provocou a explosão simultânea de vários mísseis. Essas ondas mais fortes chegaram às
estações sismológicas como pulsos separados por um intervalo de tempo t de cerca de 0,11 s.
Qual era a profundidade D do local onde o submarino afundou?
Figura 3. (a) Gráfico produzido por um sismógrafo. (b) Com o submarino parado a uma
profundidade D, a grande explosão produziu pulsos no fundo do mar e na água.
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Resposta: Vamos supor que a explosão mais forte ocorreu depois que o Kursk chegou ao fundo.
A explosão produziu um pulso no leito do mar e um pulso na água. O intervalo de t entre a
detecção de dois pulsos consecutivos pelas estações é igual ao tempo que o pulso levou para se
propagar na água do fundo até a superfície e ser refletido de volta ao fundo. Se 𝑣𝑚é𝑑𝑖𝑜 = ∆𝑥/∆𝑡,
podemos relacionar a velocidade v do pulso na água à distância de ida e volta 2D e ao tempo de
ida e volta t:
𝑣 =2𝐷
∆𝑡 → 𝐷 =
𝑣∆𝑡
2
As ondas se propagam na água com uma velocidade da ordem de 1500 m/s. Portanto:
𝐷 = (1500
𝑚𝑠 ) (0,11𝑠)
2 𝐷 = 82,5 𝑚
Comprimento, Fase, Frequência, Amplitude, Período e Velocidade de uma Onda
Progressiva
Para descrever perfeitamente uma onda em uma corda, precisamos de uma função que
forneça a forma da onda. Isso significa que necessitamos de uma relação da forma y = h(x,t),
onde y é o deslocamento transversal de um elemento da corda e h é uma função do tempo t e da
posição x do elemento na corda. Toda forma senoidal pode ser descrita tomando h como uma
função seno ou uma função coseno. Ambas fornecem a mesma forma para a onda.
A equação a seguir representa uma onda em uma corda. Essa onda é senoidal, como na
Figura 1, se propagando no sentido positivo de um eixo x.
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
Onde: 𝑦(𝑥, 𝑡) é o deslocamento em função do tempo; 𝑦𝑚 é a amplitude; k é o número de onda; x é
a posição; é a frequência angular e t é o tempo.
Tal equação pode ser escrita em termos da posição x, e pode ser usada para calcular os
deslocamentos de todos os elementos da corda em função do tempo. Assim, pode nos dizer qual
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é a forma da onda em qualquer instante de tempo e como esta forma varia quando a onda se
move ao longo da corda.
Uma onda que se propaga no sentido negativo de x possui a seguinte função:
𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡)
A amplitude de uma onda é o módulo do deslocamento máximo dos elementos a partir da
posição de equilíbrio quando uma onda passa por eles. É sempre uma grandeza positiva.
A fase da onda é o argumento kx - t, ou seja, quando a onda passa por um elemento da
corda em uma certa posição x a fase varia linearmente com o t. Isso significa que o seno também
varia, oscilando entre +1 e -1. O valor extremo positivo (+1) corresponde à passagem pelo
elemento de pico da onda. Nesse instante, o valor de y na posição x é ym. O valor extremo
negativo (-1) corresponde à passagem pelo emento de um vale da onda. Nesse instante, o valor
de y na posição x é –ym. Assim, a função seno e a variação com o tempo da fase da onda
correspondem à oscilação de um elemento da corda, e a amplitude da onda determina os
extremos do deslocamento do elemento.
O comprimento de onda de uma onda é a distância (paralela à direção de propagação
da onda) entre repetições da forma de onda.
O parâmetro k é o número de onda, ou seja,
𝑘 =2𝜋
[rad/m]
O período T de oscilação de uma onda é o tempo que um elemento da corda leva para
realizar uma oscilação completa.
𝑇 =2𝜋
A frequência f de uma onda é definida como 1/T, e é o número de oscilações realizadas
por um elemento da corda.
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𝑓 =1
𝑇=
2𝜋
Uma onda possui velocidade quando está se propagando no sentido positivo de x com
toda forma de onda se deslocando de uma distancia x nessa direção durante o intervalo t. A
razão x/t é a velocidade da onda, que também pode ser escrita na forma
𝑣 = 𝜔
𝑘=
𝑇= 𝑓
Exemplo 16-2
Velocidade da Onda em uma Corda Esticada (onda transversal)
A velocidade de uma onda está relacionada ao comprimento da onda e à frequência
através da Equação acima, mas é determinada pelas propriedades do meio. Se uma onda se
propaga em um meio como a água, o ar, o aço ou uma corda esticada, isso faz com que as
partículas do meio oscilem quando ela passa. Para que isso aconteça o meio deve possuir massa
(para que possa haver energia cinética) e elasticidade (para que possa haver energia potencial).
Assim, as propriedades de massa e de elasticidade determinam a velocidade com a qual a
onda pode se propagar no meio. Logo, é possível calcular a velocidade da onda em um meio a
partir dessas propriedades. Podemos supor que um aumento da tensão produz um aumento da
força restauradora que tende a esticar a corda quando ela é perturbada, provocando um aumento
na velocidade da onda. Podemos supor também que o aumento da massa deve fazer o
movimento ficar mais lento, causando uma diminuição da velocidade da onda.
Assim, baseado nestas duas propriedades, podemos calcular a velocidade da onda por
meio de duas formas: análise dimensional e pela segunda lei de Newton.
Análise dimensional
Na análise dimensional, examinamos as grandezas físicas que influenciam uma dada
situação. Neste caso, avaliaremos a massa e a elasticidade para determinar a velocidade.
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No caso da massa, consideramos a massa de um elemento da corda, que é a massa total
m da corda dividida pelo comprimento l. Essa razão é a massa específica linear da corda.
Assim, = m/l.
Uma onda não se propaga em uma corda a menos que a corda esteja sob tensão, o que
significa que foi alongada e mantida alongada por forças aplicadas a suas duas extremidades. A
tensão da corda é igual ao modulo comum dessas duas forças (uma em cada extremidade).
Assim, podemos associar a tensão da corda ao alongamento (elasticidade) da corda.
Combinando a tensão com a massa da corda, obtemos a seguinte relação
𝑣 = 𝐶 √𝜏
𝜇
Onde C é uma constante adimensional, é a massa específica linear da corda e é a tensão da
corda.
Demonstração usando a Segunda Lei de Newton
Considerando um único pulso simétrico (não uma onda senoidal) como na Figura 4,
podemos considerar a seguinte relação
𝐹 = 𝜏 𝑙
𝑅
Onde F é a força, é a tensão da corda, l é a variação do comprimento na região do pulso com
um raio R.
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Figura 4. Pulso simétrico visto a partir de um referencial no qual o pulso está estacionário e a
corda parece se mover da direita para a esquerda com velocidade v.
A massa do elemento é dada por
∆𝑚 = 𝜇∆𝑙
Onde é a massa específica linear da corda.
O elemento de corda ∆𝑙 está se movendo em um arco de círculo. Assim, possui uma
aceleração em direção ao centro do círculo que é dada por
𝑎 = 𝑣2
𝑅
Combinando os elementos da segunda lei de Newton
força = massa x aceleração 𝜏∆𝑙
𝑅= (𝜇∆𝑙).
𝑣2
𝑅
Escrevemos:
𝑣 = √𝜏
𝜇
Que está de acordo com a Equação 23. A equação acima fornece a velocidade do pulso e a
velocidade de qualquer outra onda na mesma corda e sob a mesma tensão.
Exemplo: Na Figura 5 duas cordas foram amarradas uma na outra com um nó e esticadas entre
dois suportes rígidos. As cordas tem massas específicas lineares 1 = 1,4x10-4 Kg/m e 2 =
2,8x10-4 Kg/m. Os comprimentos são L1 = 3,0 m e L2 = 2,0 m, e a corda 1 está submetida a uma
tensão de 400 N. Dois pulsos são enviados simultaneamente em direção ao nó a partir dos
suportes. Qual dos pulsos chega primeiro ao nó?
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Figura 5. Duas cordas, de comprimento L1 e L2, emendadas com um nó e esticadas entre dois
suportes rígidos.
Resolução:
1. O tempo t que um pulso leva para percorrer uma distância L é t = L/v.
2. A velocidade de um pulso em uma corda esticada depende da tensão e da massa
específica linear (𝑣 = √𝜏/𝜇)
3. Como as duas cordas foram esticadas juntas, estão submetidas à mesma tensão.
Assim:
𝑡1 =𝐿1
𝑣1= 𝐿1√𝜇1/𝜏 = 1,77x10-3 s.
𝑡2 =𝐿2
𝑣2= 𝐿12√𝜇2/𝜏 = 1,67x10-3 s.
O pulso da corda 2 chega primeiro ao nó.
Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda
Quando produzimos uma onda em uma corda esticada fornecemos energia para que a
corda se mova. Quando a onda se afasta de nós transporta essa energia como energia cinética e
como energia potencial elástica, da mesma forma como visto no MHS.
Quando uma onda em uma corda passa por partes da corda que estavam anteriormente
em repouso a energia é transferida para essas partes. Assim, dizemos que a onda transporta
energia ao longo da corda.
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a taxa média com a qual as duas formas de energia (cinética e potencial) são transmitidas
pela onda é chamada de potência média, e é calculada por
𝑃𝑚é𝑑 =1
2𝜇 𝑣 𝜔2𝑦𝑚
2 [W]
Onde: é a massa específica da corda; v é a velocidade da onda e dependem do material e da
tensão da corda. e ym dependem do processo usado para produzir a onda.
O princípio da Superposição de Ondas
Frequentemente acontece que duas ou mais ondas passam simultaneamente pela mesma
região. Quando ouvimos um concerto ao vivo, por exemplo, as ondas sonoras de vários
instrumentos chegam simultaneamente aos nossos ouvidos. Os elétrons presentes nas antenas
dos receptores de rádio e televisão são colocados em movimento pelo efeito combinado das
ondas eletromagnéticas de muitas estações.
Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma corda esticada. O
deslocamento da corda quando as ondas se propagam ao mesmo tempo é a soma algébrica
𝑦 ′(𝑥, 𝑡) = 𝑦1(𝑥, 𝑡) + 𝑦2(𝑥, 𝑡)
Ondas superpostas se somam algebricamente para produzir uma onda resultante ou onda
total. Além disso, cada pulso passa pelo outro como se ele não existisse, ou seja, ondas
superpostas não se afetam mutuamente.
Interferência de Ondas
Se duas ondas estiverem exatamente em fase (ou seja, se os picos e os vales de uma
estão exatamente alinhados com os da outra), o deslocamento total a cada instante é o dobro do
deslocamento que seria produzido por apenas uma das ondas. Se estiverem totalmente
defasadas (ou seja, se os picos de uma estão exatamente alinhados com os vales da outra), elas
se cancelam mutuamente e o deslocamento é zero, a corda permanece parada. O fenômeno de
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combinação de ondas recebe o nome de interferência, e as ondas interferem entre si. (O termo se
refere apenas aos deslocamentos, a propagação das ondas não é afetada).
Duas ondas que se propagam em fases diferentes, possuem a mesma frequência angular,
mesma frequência f, mesmo número de onda k e mesma amplitude. Elas diferem apenas na
constante de fase , ou seja, podemos dizer que estas ondas estão defasadas.
Existem três tipos de interferência: a totalmente construtiva, a totalmente destrutiva e a
intermediária. A interferência que produz a maior amplitude possível é a interferência totalmente
construtiva. Quando a onda resultante é nula, não vemos a corda se mover, e ocorre a
interferência totalmente destrutiva. Quando não é nenhuma das duas acima, temos uma
interferência intermediária.
Figura 1. (a) Cinco instantâneos de uma onda se propagando para a esquerda, em instantes t
indicados na parte (c). (b) Cinco instantâneos de uma onda igual à de (a), mas se propagando
para a direita, nos mesmos instantes t. (c) Instantâneos correspondentes para a superposição das
duas ondas na mesma corda. Nos instantes t=0, T/2 e T, a interferência é totalmente construtiva,
ou seja, os picos se alinham com picos e os vales com vales. Em t = T/4 e 3T/4, a interferência é
totalmente destrutiva, pois os picos se alinham com vales.
Ondas estacionárias
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Se duas ondas senoidais de mesma amplitude e mesmo comprimento de onda se
propagam em sentidos opostos em uma corda, a interferência mutua produz uma onda
estacionária. Em uma onda estacionária a forma da onda não se move para a esquerda nem para
a direita. A onda resultante da equação
𝑦′(𝑥, 𝑡) = [2𝑦𝑚𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥]𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
é uma onda estacionária, produzida pela interferência de duas ondas senoidais de mesma
amplitude e mesmo comprimento de onda que se propagam em sentidos opostos.
Ressonância
Ondas estacionárias podem ser produzidas em uma corda através da reflexão de ondas
progressivas nas extremidades da corda. Se uma extremidade é fixa, deve ser a posição de um
nó. Isso limita as frequências possíveis para as ondas estacionarias em uma corda. Cada
frequência possível é uma frequência de ressonância, e a onda estacionaria correspondente é um
modo de oscilação. Para uma corda esticada de comprimento L com as extremidades fixas as
frequências de ressonância são dadas por
𝑓 = 𝑣
= 𝑛
𝑣
2𝐿
O modo de oscilação correspondente a n = 1 é chamado de modo fundamental ou primeiro
harmônico; o modo correspondente a n = 2 é o segundo harmônico, e assim por diante.
Ondas Sonoras
Vimos anteriormente que existem dois tipos de ondas mecânicas: as ondas transversais,
nas quais as oscilações são perpendiculares à direção de propagação, e as ondas longitudinais,
em que as oscilações acontecem na direção de propagação da onda.
A onda sonora é definida, de forma geral, como qualquer onda longitudinal. As ondas
sonoras podem se propagar através de qualquer meio material e sua velocidade depende das
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propriedades desse meio. Estudaremos, agora, as ondas que se propagam no ar e que podem
ser ouvidas pelas pessoas.
A figura a seguir ilustra os seguintes aspectos: o ponto S representa uma pequena fonte
sonora, chamada de fonte pontual, que emite ondas sonoras em todas as direções.
As frentes de onda e os raios indicam a direção de propagação e o espalhamento das
ondas sonoras. Frentes de onda são superfícies nas quais as oscilações produzidas pelas ondas
sonoras tem o mesmo valor. Essas superfícies são representadas por circunferências completas
ou parciais em um desenho bidimensional de uma fonte pontual.
Nas proximidades de uma fonte pontual, as frentes de onda são esféricas e se espalham
nas três dimensões. São as chamadas ondas esféricas.
À medida que as frentes de onda se expandem e seu raio aumenta, sua curvatura diminui.
Muito longe da fonte as frentes de onda são aproximadamente planas (ou retas, em desenhos
bidimensionais). Ondas desse tipo são chamadas de ondas planas.
Figura 1. Uma onda sonora se propaga a partir de uma fonte pontual S em um meio
tridimensional. As frentes de onda formam esferas com centro em S; os raios são perpendiculares
às frentes de onda. As setas de duas cabeças mostram que os elementos do meio oscilam
paralelamente aos raios.
A velocidade do som
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A velocidade de qualquer onda mecânica, transversal ou longitudinal, depende tanto das
propriedades inércias do meio (que armazenam energia cinética) como das propriedades
elásticas (que armazenam energia potencial), como visto anteriormente (𝑣 = √𝜏/𝜇).
Se o meio de propagação é o ar e a onda é longitudinal, podemos supor que a propriedade
inercial, correspondente a , é a massa específica do ar.
A propriedade elástica, , relativo à energia potencial, em se tratando de uma onda sonora,
está associada à compressão e à expansão de pequenos elementos de volume do ar. A
propriedade que determina o quanto um elemento de um meio muda de volume quando é
submetido a uma pressão é o módulo de elasticidade volumétrico B, definido como:
𝐵 = −∆𝑝
∆𝑉/𝑉 (definição do módulo de elasticidade volumétrico) [Pa]
∆𝑉/𝑉 é a variação relativa de volume produzida por uma variação de pressão ∆𝑝. os sinas de p
e V são sempre opostos: quando aumentamos a pressão sobre um elemento (V positivo), o
volume diminui (V negativo). Incluímos um sinal negativo na Equação 31 para que B seja um
número positivo.
p = [N/m2] ou Pa
Assim, obtemos a equação:
𝑣 = √𝐵
𝜌 (velocidade do som)
Ou
𝐵 = 𝜌𝑣2
A tabela a seguir mostra a velocidade do som em vários meios.
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A velocidade de uma onda sonora no ar depende somente da temperatura do ar. Para uma
pequena gama de temperaturas em trono da temperatura ambiente, a velocidade do som é
descrito por
𝑣 = 331 + 0,6 . 𝑇𝐶
Onde Tc é a temperatura em graus Celsius e a velocidade do som a 0ºC é 331 m/s.
A frequência de uma onda sonora é calculada por
𝑓 = 1
2𝐿√
𝜏
𝜇
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Bibliografia
HALLIDAY, D.; RESNICK, R. Fundamentos da física vol 2. 8ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
