Funções e Gáficos

2a aula – Profa. Marli

Sumario

• Definição de funções• Domínio e Contradomínio• Função definida ou não definida em uma variável• Variável dependente e independente• Imagem• Gráfico de uma função• Operações entre funções

Funções

• Função é uma relação que associa cada elemento de um conjunto numérico a um único elemento de um outro conjunto numérico.

• Exemplo:

100.83.9 -3.9

6.0 40.9

201.67.8 15.0

12.0 12.9 81.8

Conjunto D Conjunto C

Definição- função

• Seja A e B subconjuntos de R .• Uma função f:AB é uma regra que cada

elemento de A faz correspondência a um único elemento de B.

• O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por Dm(f).

• O conjunto B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f.

Escrevemos

f: A B

x f(x)

ou f

A B

x y = f(x).

f: A B ( é função)

v

A - Domínio

B - Contradomínio

g: A B ( não é função)

v

A

B

h: A B ( não é função)

vA

B

Função definida ou não definida em uma variável

• Se x está no domínio, dizemos que f e definida em x, ou que f(x) existe.

• Se x não está no domínio, dizemos que f e não é definida em x, ou que f(x) existe.

• Exemplo: Para ,o domínio é o intervalo [2,+).

Podemos dizer que f é definida em x pertencente ao intervalo [2,+) e f é não definida em x pertencente ao intervalo (-,2).

2)( xxf

Variável dependente e independente

• Seja f: A B

x y = f(x)

x A (domínio de f), x é uma variável independente,

x reapresenta um número arbitrário do domínio.

y B (contradomínio de f), y é uma variável dependente,

pois y depende de x.

Definição - imagem

• Seja f: A B.

• Dado x A, o elemento é chamado o valor da função f no ponto x ou imagem de x por f.

• O Conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado de conjunto imagem de f e é denotado por Im(f).

Gráficos de uma função

• Seja f uma função . O gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x,f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domínio de f.

• Exemplo: seja y = f(x) = 2x2

•Exemplo: seja y = f(x) = 2x2

x y = f(x)

-2.0 8.0

-1.5 4.5

-1.0 2.0

-0.5 0.5

0.0 0.0

0.5 0.5

1.0 2.0

1.5 4.5

2.0 8.0

Operações - soma, diferença, produto e quociente

• Dadas as funções f e g, sua soma f + g, diferença f - g, produto f . g e quociente f / g, são definidas por

• (f+g)(x) = f(x)+g(x)

• (f - g)(x) = f(x) - g(x)

• (f.g)(x) = f(x).g(x)

• (f/g)(x) = f(x)/g(x)

Domíniof+g, f-g, e f.g e f/g

• O domínio das funções f+g, f-g, e f.g, é a interseção dos domínios de f e g.

• O domínio das funções f/g é a interseção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos x onde g(x) =0.

Operação -kf

• Se f é uma função e k é um número real, definimos a função kf por

• (kf)(x) = kf(x).

• O domínio de kf coincide com o domínio de f .

Operação função composta

• Dadas duas funções f e g , a função composta de g com f, denotada por g0 f, é definida por

• (g0 f) (x) = g(f(x)).

• O domínio de g0 f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f(x) está no domínio de g.

Simbolicamente

• Dm(g0 f) = {xDm(f) / f(x) Dm(g)}.

• Em diagrama

xf(x)

g(f(x))

g0 f

f g

Exemplo• Seja e .

Encontramos gof.

Dm(f) = [0,+) e Im(f ) = [0,+).

Dm(g) = (-, ) e Im(g) = (-, ).

Im(f ) Dm(g).

Dm(g0 f) = {xDm(f) / f(x) Dm(g)}= [0,+).

xxf )( 1)( xxg

.1)())(()( xxgxfgfgo

Exemplo

• Seja e .

Encontramos fog.

Dm(f) = (0,+) e Im(f) = (0,+)

Dm(g) = (- , +) e Im(g) = (- , +)

Dm(fog) = {xDm(g) / g(x) Dm(f)}= [1,+).

Isso porque, x-1 Dm(f) = (0,+) ou seja x-10 ou x 1.

xxf )( 1)( xxg

.1)1())(()( xxfxgfgfo